以一有效率的方法來建構正交矩陣 (Orthogonal Matrix)
指導教授 : 陳正宗
學 生 : 李慶鋒
國立台灣海洋大學河海工程學系 4B中華民國八十八年六月十六日
河海工程系二館 307 室
邊界元素法期末報告
研 究 動 機研 究 動 機
BEM/FEM 特徵值問題 xxA ~~
yQx ~~ 令正交化
yyAQQ
yQyAQT ~~
~~
y~y~QQAQQQQ NNTT
NTN 1111
如何將 A 對角化及找 Q?
vvvv
IH T
T
~~~~
2
Householder 矩陣介紹Householder 矩陣介紹
定義:
特性:[A] HT=H[B] HHT=HTH=H2=I ( 單位矩陣 )
[C] yyHHPyH ~)~(~
22 矩陣映射 (Image) 關係圖
22 矩陣映射 (Image) 關係圖
x2 x2 v~
v~
Hv(v~)
x1 x
Hv(v~) 映射平面v~法向量 ( x1cos+x2sin=0 )
Cayley-Hamilton 定理與矩陣的餘式定理
Cayley-Hamilton 定理與矩陣的餘式定理
(1) Cayley-Hamilton 定理:存在一個 nn方陣 A,其特徵方程式為
f()=0(其中為特徵值),則 A方陣滿足 f(A)=0。
(2) 矩陣餘式定理: 存在一個 nn方陣 A,A方陣滿足
f(A)=(anAn+an-1A
n-1+…+a1A+a0I )Q(A)+rn-1A
n-1+…+r1A+r0I
矩陣的相似定理矩陣的相似定理
存 在 一 個 n 階 方 陣 A , 其 特 徵 值 為 1 ,
2 , … , n , 相 對 應 的
特 徵 向 量 為 1 ,
2 … , n , 則 滿 足 A C = C D , A = C D C - 1 。
其 中
n
D
000
000
000
2
1
, nC 21
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係
vvvv
IH T
T
~~~~
2
存在一奇數階反實對稱矩陣 A( AT=-A) ,使得 eAt=-H ,且 A =0 。v~
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(1)
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(1)
AC=CD, A=CDC-1=TD
DA=
ni
ni
i
i
i
i
000000
000000
000000
000000
000000
000000
0000000
A= nnv DA Tnnv
De=
nti
nti
ti
ti
ti
ti
t
e
e
e
e
e
e
e
000000
000000
000000
000000
000000
000000
0000000
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(2)
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(2)
eAt= nnv De Tnnv
令 ==…=n=k , t=/k( 其中 k 為實數 ) ,則可得到eAt=
= nnv D E A T Tnnv
= nnv {D 1 + D 2 } Tnnv
= - I + 2 v v T
= - H
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(3)
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(3)
DEAT=
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000002
D1=
1000000
0100000
0010000
0001000
0000100
0000010
0000001
D2=
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000002
因此 eAt=-H
故得證。
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(4)
奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(4)
利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (1)利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (1)
令 v~ =
c
b
a
,vv
vvIH
T
T
~~
~~2 =
2
2
2
2122
2212
2221
ccbca
bcbba
acaba
, 當 Tv~ v~ = 1
令 A =
0
0
0
ab
ac
bc
, 則 A 的 特 徵 值 為
0 , 222 cba , - 222 cba , 則 利 用 矩 陣 的 餘 式 定 理 , 則 可 得 到
IAtsin
Atcos
e At
22
1
其 中 222 cba = 1
當=1,t=時,則可得到
eAt=
1222
2122
2212
2
2
2
ccbca
bcbba
acaba
=-H
利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (2)利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (2)
實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(1)
實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(1)
B 為 一 對 稱 矩 陣 , 存 在 一 向 量 v~ 使 得 B = v~ Tv~ , 則i B = nnv 14321 D B T
nnv 14321
e i B t = nnv D E B T Tnnv 14321
nnv {D 3 - D 4 } Tnnv 14321
= I - 2 v v T
= H
因此eiBt= tivvT
e=H
DB=
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
000000
i
DEBT=
1000000
0100000
0010000
0001000
0000100
0000010
0000001
D3=
1000000
0100000
0010000
0001000
0000100
0000010
0000001
D4=
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000002
實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(2)
實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(2)
總結:奇數階反對稱矩陣判斷原則總結:奇數階反對稱矩陣判斷原則
正 交 矩 陣 t=
e A t, t R
H ou s eh old er 矩 陣
vv
vvIH
T
T
~~
~~2
奇數階反對稱方陣A
正 交 矩 陣 t =
e iB t, t R
H o u s e h o ld e r 矩 陣
vv
vvIH
T
T
~~
~~2
實對稱方陣B
總結:實對稱方陣判斷原則總結:實對稱方陣判斷原則