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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换. 主要问题： 1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质. 一、矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主 元的个数（即非零行的数目）唯一。. 定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为 矩阵 A 的 秩 ，记为 秩 ( A ) 或 。. 例 求下述矩阵的秩. 解. 所以 秩 ( A ) = 4 。 ▌. 性质 (1) 秩 ( A ) = 0 当且仅当 A = 0 - PowerPoint PPT Presentation
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主要问题： 1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质
一、矩阵的秩
定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。
定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵 A 的秩，记为 秩 (A) 或 。)(Ar
例 求下述矩阵的秩
616222
853614
101213
213012
A
解
616222
853614
101213
213012
A
823210
439630
112221
213012
12
13
14
)1(
)2(
)1(
RR
RR
RR
823210
439630
213012
112221
12R
823210
439630
437450
112221
12 )2( RR
437450
439630
823210
112221
24R
44138600
2030000
823210
112221
23
24
3
)5(
RR
RR
2030000
44138600
823210
112221
34R
所以 秩 (A) = 4 。 ▌
性质(1) 秩 (A) = 0 当且仅当 A = 0
(2) 秩 ( )≤min{ m , n }
(3) 初等行变换不改变矩阵的秩。
nmA
定义 设 A 是 n 阶方阵。若 秩 (A) = n ，则称 A 是满秩方阵；若 秩 (A) < n ，则称 A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
二、矩阵的初等变换
矩阵初等行变换的推广： （ 1 ）用一个非零数乘某一列的全部元素 （ 2 ）一列的倍数加到另一列上 （ 3 ）互换两列的位置称上述对矩阵列的处理为矩阵的初等列变换。
矩阵的初等列变换矩阵的初等行变换
矩阵的初等变换
定义 设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过有限
次初等变换化为 B ，则称 A 相抵于 B ，记为 A B 。
性质 矩阵的相抵满足：(1) 自反性：(2) 对称性：(3) 传递性：
AA
ABBA CACBBA ,
结论：矩阵相抵是同型矩阵间的一个等价关系
称之为 A 的相抵标准型。
行 r
nm
0000
0000
0100
0010
0001
定理 设 A 是 m×n 矩阵，且 秩 (A)= r ，则 A 相抵于下述矩阵
例 用初等变换化下述矩阵为相抵标准型
2614
3021
4212
1211
A
解
2230
2230
2230
1211
2614
3021
4212
1211
12
13
14
)2(
)1(
)4(
RR
RR
RR
A
4000
0000
2230
1211
24
23
)1(
)1(
RR
RR
0000
4000
2230
1211
34R
0000
100032
32
10
1211
4
3
)4
1(
)3
1(
R
R
0000
1000
032
10
0211
32
31
3
2)1(
RR
RR
0000
1000
032
10
034
01
21 )1( RR
0000
1000
0010
0001
13
23
)3
4(
)3
2(
CC
CC
0000
0100
0010
0001
34C
。
三、初等矩阵
例 已知矩阵
321
321
321
ccc
bbb
aaa
A
构造三个矩阵
100
001
010
,
120
010
001
,
100
020
001
321 P P P
分别计算 、 、 与 A 的乘积。1P 2P 3P解
100
020
001
1AP
321
321
321
ccc
bbb
aaa
321
321
321
222
ccc
bbb
aaa
332211
321
321
222 bcbcbc
bbb
aaa
120
010
001
2 AP
321
321
321
ccc
bbb
aaa
100
001
010
3 AP
321
321
321
ccc
bbb
aaa
321
321
321
ccc
aaa
bbb
100
020
001
321
321
321
1
ccc
bbb
aaa
AP
321
321
321
2
2
2
ccc
bbb
aaa
120
010
001
321
321
321
2
ccc
bbb
aaa
AP
3321
3321
3321
2
2
2
cccc
bbbb
aaaa
100
001
010
321
321
321
3
ccc
bbb
aaa
AP
312
312
312
ccc
bbb
aaa
定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
▌
1
1
1
1
)(
ccEI icRi
1
1
1
1
)(
c
cEI ijcRR ij
1
01
10
1
ijR
EI ji
1
1
01
1
1
10
1
1
ijR
EI ji
定理 对 m×n 矩阵 A 作一次初等行变换，等同于
在 A 的左边乘上一个对应的 m 阶初等矩阵；对 A 作一
次初等列变换，等同于在 A 的右边乘上一个对应的 n
阶初等矩阵。
2222
1111
222
111
222
111
222
111
2
2,
3
3,
cbba
cbbaD
abc
abcC
cba
cbaB
cba
cbaA
例 已知矩阵
问 A 与 B 、 C 、 D 之间有何联系？
解 因为
BA C 33
与之相对应，
)3(
3
1
1
33
33 EI C
故
BAE )3(3
同理可得 。CAE 12
因为DA CC 21 )2(
而
)2(
1
12
1
12)2(
321
EI CC
故 。 ▌ DAE )2(12
例 已知矩阵
332211
321
321
321
321
321
222
,
acacac
aaa
bbb
B
ccc
bbb
aaa
A
,
100
001
010
P
，
120
010
001
Q
问 P 与 Q 如何与 A 相乘可得到 B ？
解 因为对 A 作两次初等行变换可得 B ，而 P 与 Q 均为初等矩阵，所以应有 PQA=B 或 QPA=B 。
321
321
321
321
321
32121
ccc
aaa
bbb
ccc
bbb
aaa
A RR
B
acacac
aaa
bbbRR
332211
321
3212
222
23
又 对应 P ， 对应 Q12R 23 2RR
BPAQQPA )(
性质 （ 1 ）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵； （ 2 ）对任一初等矩阵 P ，均存在初等矩阵 Q ，使 PQ = QP = I 。
定理 满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
▌
定理 设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵于 B的
充分必要条件是：存在 m 阶满秩方阵 P 与 n 阶满秩方
阵 Q ，使 PAQ = B 。 定理 同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 秩 (A) = 秩 (B)
推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理 （ 1 ）秩 ( A ) = 秩 （ 2 ）设 A 是 m×n 矩阵， P 是 m 阶满秩方阵， Q 是 n阶满秩方阵，则 秩 (A) = 秩 (PA) = 秩 (AQ) = 秩 (PAQ)
)( TA
例 设 A 是 4×5 矩阵且 秩 (A) =3 ，
0004
0043
0432
4321
B
求 秩 (BA) 。
阵 ，满足 ， 。于是，
例 对任一满秩方阵 P ，均存在同阶的满秩方阵 Q ，使 PQ = QP = I 。
证 因为 P 满秩，故存在初等矩阵 sPPP ,,, 21
sPPPP 21 iP
iQ IPQQP iiii si ,,2,1
121 QQQQQ ss Q
使 。已知对初等矩阵 ，存在初等矩
令 ，则 满秩且
PQ = QP = I ▌
