FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE
VARIACIÓN PARA SISTEMAS
ISOTÉRMICOS.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 4. Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes
de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,
Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los
núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó
[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
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ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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4.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.
Coordenadas rectangulares.
Ecuación de continuidad: 0)()()(
zyx v
zv
yv
xt
Ecuación de movimiento.
En función de .
Componente x .
x
xzxyxxx
z
x
y
x
x
x gzyxx
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
Componente y .
y
yzyyyxy
z
y
y
y
x
yg
zyxy
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
Componente z .
z
zzzyzxzz
zy
zx
z gzyxz
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.
Componente x .
x
xxxx
z
x
y
x
x
x gz
v
y
v
x
v
x
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
2
2
2
2
2
2
Componente y .
y
yyyy
z
y
y
y
x
yg
z
v
y
v
x
v
y
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
2
2
2
2
2
2
Componente z .
zzzzz
zz
yz
xz g
z
v
y
v
x
v
z
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
2
2
2
2
2
2
Coordenadas cilíndricas.
Ecuación de continuidad: 0)()(1
)(1
zr v
zv
rvr
rrt
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Ecuación de movimiento.
En función de .
Componente r .
r
zrr
rrr
zrr
rr g
zrrr
rrr
p
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
v
1)(
12
Componente .
g
zrrr
rr
p
rz
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v z
rz
r
r
1)(
11 2
2
Componente z .
z
zzz
zrz
zzz
rz g
zrr
rrz
p
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
1)(
1
En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.
Componente r .
rrr
rr
zrr
rr g
z
vv
r
v
rvr
rrrr
p
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
v
2
2
22
2
2
221
)(1
Componente .
g
z
vv
r
v
rvr
rrr
p
rz
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v rz
rr
2
2
22
2
2
21)(
11
Componente z .
zzzzz
zzz
rz g
z
vv
rr
vr
rrz
p
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
2
2
2
2
2
11
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.
x
v
y
v yx
xyyx
x
v
z
v zxxzzx
y
v
z
vzy
yzzy
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas.
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r
rr
v
rr
v
rr
1
r
v
z
v zrrzzr
z
zz
v
rz
v 1
Caudal: R
AdvQ
Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: rddrAd
Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: zdrdAd
El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: zddrAd
Forma de la superficie libre de un líquido contenido en un recipiente que gira.
Altura de la superficie del fluido: 22
02
rg
zz
Volumen inicial: ii zRV 2
Volumen final: R
f rdzrV0
2 ,
g
RzRV f
4
22
0
2
a) El fluido no se derrama.
Altura de la superficie del fluido:
2
1
2 2
222
R
r
g
Rzz i
0z
R
iz
r
z
H
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Altura del vórtice: g
Rzz i
4
22
0
Altura mínima del recipiente: g
RzH
2
22
0min
Velocidad angular mínima: R
gzH i )(2min
Radio del fondo descubierto: 2
2 2
20
Rzgr i
Área del fondo descubierto: 2
2 2
2 izgR
A
b) El fluido se derrama.
Altura de la superficie de fluido:
1
2
222
R
r
g
RHz
Altura del vórtice: g
RHz
2
22
0
Radio del fondo descubierto: RR
Hgr
220
21
Área del fondo descubierto:
22
2 21
R
HgRA
Volumen que permanence en el recipiente:
g
RHRV f
4
222
c) Recipiente cerrado.
4.2.- FLUJO ROTACIONAL.
1. La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el
agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a
una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido
es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el
fluido permanece en reposo. Determine:
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La distribución de velocidades del fluido.
La distribución de presiones del fluido.
La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el
cilindro en la dirección tangencial.
Respuesta: a) r
Rwv
2
; b) 0pp ; c) LRwRF 4)( , en sentido opuesto al sentido
de giro de la varilla.
2. Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito.
a) Halle el perfil de velocidad.
b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte.
c) Calcule la velocidad y esfuerzo para 1r m.
d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula?
Datos adicionales: 800 kg/m3; 01.0 Pa.s. Desprecie los efectos de borde.
Respuesta: a) r
Rwv
2
; b) 2
22
r
Rwr
; c) m/s 02827.0v ; Pa 106549.5 4 r :
d) r .
3. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de
aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio
de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210–3
cm. ¿Qué torque se requiere para
mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza Distancia
al eje.
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Respuesta: 2
22
1
4
k
LRkw
.
4. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos.
Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar
tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros
verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 .
Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales
pueden despreciarse.
Respuesta:
kk
Rk
r
r
Rk
Rv1
0 ;
2
2
2
2
01
12
k
k
rRr ;
2
22
01
4k
kLRT .
5. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de
potencias.
Volver a trabajar el ejercicio 4 para un fluido que obedece a la ley de potencias.
Respuesta: n
n
k
r
Rk
r
v/2
/2
0 1
1
;
n
n
n
k
nLRkmT
/2
2
01
)/2()(2
6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer.
Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior
de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se
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determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación
de un par conocido.
Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función
del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos
finales.
Respuesta:
22
11
4 RrL
T
r
v
.
7. Calcule el par torsión (T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una
velocidad constante de rpm 30w . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la
cavidad es de "241 . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una
viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara
inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la
cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula.
Respuesta: 2
2
2
1
2
2
2
14
RR
LRRwT
.
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8. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades
constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de
movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las
velocidades angulares y los radios.
Si rpm 301 w , cp 492 y 2g/s 5v , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm?
9. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de
diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno
y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3
de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar:
a) La ecuación de distribución de velocidades.
b) La ecuación de distribución de flux de momento.
c) La ecuación de distribución de presiones.
d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete.
10. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción.
Calcular el momento de torsión en lbf.ft, y la potencia en caballos que se necesitan para
hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la
superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del
lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/pie3. Despreciar el efecto de la excentricidad.
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Datos: cm 54.2R , cm 0051.0 .
Sugerencia: rFT ; wTP
Respuesta: .ftlb 32.0 fT ; hp 012.0P .
11. Pérdidas por fricción en cojinetes.
Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor
de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en
una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje
gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de
1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los
ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad.
Respuesta: 0.115.
12. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran.
Determinar )(rv entre dos cilindros coaxiales de radios R y Rk que giran con
velocidades angulares 0 y 1 , respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido
entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con
flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro
interno.
R w
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Respuesta:
)()(
)1(
110
4222
1
2
022 r
RkRkRr
kRv
1
)(4)(
2
01
k
LRkRkF
.
13. Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en
dirección z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano
de densidad y viscosidad . El cilindro interno tiene radio 1R y gira a una velocidad
angular 1w , mientras que el cilindro externo tiene radio 2R y una velocidad angular 2w .
Con los datos anteriores calcules:
a) El perfil de velocidades.
b) El radio donde la velocidad es cero.
c) Los torques 1M y 2M ( 1M aplicado al cilindro interno y 2M al cilindro externo) que
hay que ejercer.
d) Si www 21 y 12 2 RR , calcule la proporción 12 / MM calculadas en c) y d).
Comente.
Nota: Torque = Fuerza Brazo.
Respuesta: a) rRR
RRwwr
RR
RwRwv
1)(2
2
2
1
2
2
2
121
2
2
2
1
2
22
2
11
; b)
2
22
2
11
21
21RwRw
wwRRr
;
c) 2
2
2
1
2
2
2
121
1
)(4
RR
RRwwLM
; d) 1
1
2 M
M.
14. Dos tubos concéntricos ( cm 21 D , cm 102 D ) verticales (muy largos) giran en
direcciones opuestas ( rpm 201 w , rpm 152 w ). Un fluido newtoniano se encuentra entre
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estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben
aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos: 3kg/m 1250 ;
Pa.s 0.1 ; Estado estacionario.
Respuesta: 2
2
2
1
2
21211 )(4)(
RR
RRww
L
RF
; 2
2
2
1
2
2
1212 )(4)(
RR
RRww
L
RF
.
15. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros
concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad
angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo
cortante según el modelo de la potencia es:
n
rrd
r
vd
rm
16. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos.
Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de
Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el
cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 , en función del par T comunicado al
cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.
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Sugerencia: Para un fluido de Bingham:
r
v
rd
drr
00
Respuesta:
00
0
2
0
2
00
ln14 r
r
r
r
rL
T
r
v
para 0rrRk ,
r
v para
Rrr 0
17. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo
cegador denominada <<Leer». Se ha construido ya una pequeña planta piloto y se dispone
de muestras de «Leer» para ensayos. En la planta industrial se tendrá que bombear «Leer» a
diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita saber sus propiedades de
flujo. Para ello se introduce «Leer» en un viscosímetro de capa rotatoria de las dimensiones
mostradas a continuación:
Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede
N.m 10/ ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es N.m 5/ . ¿Qué clase de
fluido es <<Leer>> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?
9.9 cm
10.1 cm
10 cm
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18. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente
chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos
obtenidos en un viscosímetro rotatorio de separación estrecha
( mm 251 R , mm 282 R , mm 4.76L )
Par de torsión (N.m) 0.0051 0.0077 0.0158 0.0414
Velocidad de rotación (r.p.m) Empieza justo a girar 0.39 2.62 14.81
19. Se sumerge un cilindro ( cm 95.0R , cm 4L ) en un recipiente de zumo de naranja
concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados:
Velocidad de rotación (s–1
) 0.1 0.2 0.5 1.0
Factor de torsión (N.m) 61042 61063 610107 610152
Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja.
20. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios 1R y 2R respectivamente
como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio 1R ) gira a una velocidad
angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos
cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine:
a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las
ecuaciones necesarias para su solución).
b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno.
c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el
apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.
21. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos
cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más
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interno un fluido tipo Bingham ( cp 3 , 3kg/m 800 ; Pa 50000 ) y el más externo
un fluido newtoniano ( Pa.s 5 , 3kg/m 1000 ). Si se aplica al cilindro interno una
fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en
estado estacionario:
i. El perfil de velocidades de los dos fluidos.
ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro
externo.
iii. La velocidad angular del cilindro interno.
cm 41 R , cm 82 R , cm 123 R
22. Forma de la superficie de un líquido que gira.
Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de
radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una
velocidad angular . El eje del cilindro es vertical, de forma que 0 ggr y gg z .
Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario.
Respuesta: 22
02
rg
zz
. Forma parabólica.
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23. Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de
115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua
que se pierde en kg. Propiedades del agua: 3kg/m 1000 y cp 1 .
Sugerencias:
a) Determine el perfil de presiones.
b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido.
c) Calcule el volumen final del fluido.
d) Compare con el volumen inicial.
Respuesta: Se derraman 0.0203 m3 de agua.
24. [GE] Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se
llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la
profundidad del eje?
Respuesta: 0.433 m3; 1.083 m.
25. [GE] ¿A qué velocidad debe girar el depósito del problema 24 para que en el centro del
fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?
Respuesta: 9.83 rad/s.
26. [GE] Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m
de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se
puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del
depósito en C y D cuando rad/s 00.6w ?
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Respuesta: a) 8.86 rad/s; b) Pa 25.12464CP ; Pa 70.16955CP .
27. [GE] Considere el depósito del problema 26 cerrado y con el aire sobre la superficie
libre a una presión de 1.09 kp/cm2. Cuando la velocidad angular es de 12.0 rad/s, ¿cuáles
son las presiones, en kp/cm2, en los puntos C y D de la figura?
Respuesta: Pa 330.11CP ; Pa 945.12CP .
28. [GE] A qué velocidad debe girar el depósito del problema 26 para que el centro del
fondo tenga una profundidad de agua igual a cero?
Respuesta: 17.7 rad/s.
29. [GE] Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene
1.40 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del
fondo quedará descubierto?
Respuesta: 2m 0204.0A .
30. [GE] Un recipiente cerrado, de 1 m de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el
recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia
de la parte superior del depósito?
Respuesta: 19319.10 Pa.
31. [GE] Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando
alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje
forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación.
Respuesta: 9.00 rad/s.
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32. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular rpm 30w . ¿Cuál será la altura
h de los tubos capilares, después de alcanzar el estado estacionario? No considere los
efectos de capilaridad.
33. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial.
a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios Rk
y R , y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el
cilindro interior gira con velocidad angular i y el cilindro exterior permanece fijo, la
superficie libre del líquido tiene la forma
)ln4(12
1 22
2
2
2
0
k
Rk
gzz i
R
donde Rz es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior, y Rr / .
b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una
velocidad angular 0 . Demostrar que la forma de la superficie del líquido es
)]1(ln4)1[(12
1 2422
2
2
0
2
0
kk
k
Rk
gzzR
34. Un fluido newtoniano está contenido en un tanque cilíndrico que rota con una velocidad
angular 0w alrededor del eje central (ver figura). Halle la ecuación que describe la posición
de la superficie libre como función de la coordenada radial r. Suponga que el flujo es
unidimensional en la dirección en todo punto y que los efectos de tensión superficial son
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despreciables. La altura cuando el fluido está en reposo es 0h . ¿Cómo sería la forma de la
interfase si el fluido siguiera el modelo de Bingham?
35. Flujo laminar en un ducto cuadrado.
a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud L y su sección transversal es
cuadrada, limitada por las rectas Bx y By . Un colega comenta al lector que la
distribución de velocidad está dada por
222
0 114
)(
B
y
B
x
L
BPPv L
z
(3.B.3-1)
debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado
a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la
ecuación diferencial relevante?
b) Según el artículo de revisión escrito por Berker, la velocidad de flujo másico en un ducto
cuadrado está dada por
L
BPPw L
4
0 )(563.0
Comparar el coeficiente de esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la
ecuación 3.B.3-1.
Respuesta: a) Se satisfacen las condiciones de borde. No se satisface la ecuación de
movimiento; b) L
BPPw L
4
091 )(
36. Efecto de la altitud sobre la presión del aire.
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En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el
nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la
ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government
Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine.
Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la
altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla
sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud
puede despreciarse para este problema.
La variación de la densidad del aire en función de la temperatura se muestra en la tabla
siguiente.
)Cº(T )kg/m( 3 )Cº(T )kg/m( 3 –25 1423 10 1247
–20 1395 15 1225
–15 1368 20 1204
–10 1342 25 1184
–5 1317 30 1165
0 1292 35 1146
5 1269 40 1127
Respuesta: mmHg 47.711P
4.3.- FLUJO RADIAL.
37. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo R2 lleno de un fluido
newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior
( Rr 2 ) se mantiene a una presión 02 p , mientras que la superficie interior se mantiene a
una presión 0p , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando
los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de
velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.
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Respuesta:
r
Rpvr
3
8 0 ;
2
03
1 47r
Rpp ;
3
24 0p
LRQ
38. Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros
concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a
través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del
cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales,
sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es
Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial ( rP / ). El fluido es
newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es
unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial.
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Respuesta: Lr
Qvr
2 ;
232
2
4 Lr
Q
rd
pd
.
39. Se tiene un espacio anular de radio interno 1R y radio externo 2R lleno de un fluido
newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se
mantiene a una presión 0p y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia
afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule:
a) El perfil de velocidades.
b) La distribución de presiones.
Respuesta: Lr
Qvr
2 ;
232
2
4 Lr
Q
rd
pd
;
2
222
2
0 18 r
R
LR
Qpp
40. Un fluido newtoniano fluye entre dos cilindros concéntricos en dirección angular. El
fluido tiene una densidad , una viscosidad , y fluye en flujo estacionario e
incompresible. Ambos cilindros están fijos. El fluido entra a través de la sección 1 y sale a
través de la sección 2 (Ver figura). Las presiones en dichas secciones son 1P y 2P ,
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respectivamente ( 21 PP ). Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección angular.
Los ejes de los cilindros están alineados con el vector aceleración de gravedad (dicho
vector apunta en dirección perpendicular al plano de la figura). Utilice el sistema de
coordenadas cilíndricas ),,( zr . Los cilindros tienen longitud L .
a) Demuestre que la presión varía linealmente con la posición angular )( .
b) Determine el perfil de velocidades en el fluido.
c) Determine la fuerza en dirección angular que el fluido ejerce sobre ambos cilindros.
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BIBLIOGRAFÍA.
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MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,
México, 1996.
STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-
Graw Hill., México, 1988.
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