Ondes Electromagnetiques
Propagation sur les lignes de transmission
1 Introduction
Etude theorique :−→E ,
−→H
En pratique on prefere I,VEn haute frequence i(x, t),v(x, t)Le long des lignes de transmission on a un mode TEM, avec Ox la direction de propagation.On peut etablir une analogie avec les lignes bifilaires.Les grandeurs caracteristiques sont :• la self-inductance lineique L (H.m−1), liee a l’energie magnetique.• la capacite lineique C (F.m−1), liee a l’energie electrostatique.• la resistance lineique R (Ω.m−1), liee aux pertes dans les conducteurs.• la conductance lineique G (S.m−1), liee aux pertes dans les dielectriques.On a donc le circuit suivant le long d’un troncon de longeur ∆x
2 Equations generales de propagation
2.1 Mise en equation
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Theorie de Kirchhoff
On pose :
v(x, t) = vi(x, t) = i
v(x + ∆x, t) = v + ∆vi(x + ∆x, t) = i + ∆i
v + ∆v = v −R∆x
2i− L
∆x
2∂i
∂t− L
∆x
2∂(i + ∆i)
∂t−R
∆x
2(i + ∆i)
Au premier ordre on obtient :
∆v = −R∆x
2i− L
∆x
2∂i
∂t− ∆x
2∂i
∂t−−R
∆x
2i
donc
∆v = −R∆xi− L∆x∂i
∂t
De la meme maniere on a :i + ∆i = i−G∆xv − C∆x
∂v
∂tdonc
∆i = −G∆xv − C∆x∂v
∂t∆v
∆x→ ∆x → 0
∂v
∂x,
∆i
∆x→ ∆x → 0
∂i
∂x
∂v
∂x= −Ri− L
∂i
∂t(1)
∂i
∂x= −Gv − C
∂v
∂t(2)
∂(1)∂x
:∂2v
∂x2= −R
∂i
∂x− L
∂2i
∂x∂t∂(2)∂t
:∂2i
∂x∂t= −G
∂v
∂t− C
∂2v
∂t2d’ou∂2v
∂x2= −R(−Gv − C
∂v
∂t)− L(−G
∂v
∂t− C
∂2v
∂t2)
∂2v
∂x2= LC
∂2v
∂t2+ (RC + LG)
∂v
∂t+ RGv
Equation de propagationde meme
∂2i
∂x2= LC
∂2i
∂t2+ (RC + LG)
∂i
∂t+ RGi
Si la propagation se fait sur une ligne sans pertes (R=0, G=0) on aura :∂2v
∂x2= LC
∂2v
∂t2
2.2 Solutions generales des equations de propagation
Cas ideal des lignes sans pertes : v(x, t) = F+(t− x
vp) + F−(t +
x
vp)
F+ est l’onde O+, qui se propage dans le sens des x croissants avec la vitesse de propagation vp =1√LC
F− est l’onde O−, qui se propage dans le sens des x decroissants avec la vitesse de propagation vp =1√LC
3 Solutions generales des equations de propagation en regime har-monique etabli
v(x, t) → V (x) complexev(x, t) = <[V (x)exp(jωt)]i(x, t) → I(x) complexei(x, t) = <[I(x)exp(jωt)]
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3.1 Equations de propagation
∂v
∂x= −Ri− L
∂i
∂t∂i
∂x= −Gv − C
∂v
∂t
dV
dx= −RI − jLωI (1)
dI
dx= −GV − jCωV (2)
d2V
dx2= −R
dI
dx− jLω
dI
dx
d2V
dx2= (R + jLω)(G + jCω)V
de meme
d2I
dx2= (R + jLω)(G + jCω)I
Par analogie, on pose Γ2 = (R + jLω)(G + jCω), avec Γ constante de propagation.Γ = α + jβ, α constante de perte, β constante de phase.d2V
dx2= Γ2V ,
d2I
dx2= Γ2I
3.2 Integration des equations
d2V
dx2= (±Γ)2V
V (x) = Ae−Γx + BeΓx
I(x) = − 1R + jLω
(−ΓAe−Γx + ΓBeΓx)
I(x) =Γ
R + jLω(Ae−Γx − ΓBeΓx)
I(x) =
√G + jCω
R + jLω(Ae−Γx − ΓBeΓx)
On pose Zc =
√R + jLω
G + jCω(Ω), avec Zc l’impedance caracteristique de la ligne.
Pour les lignes sans pertes Zc =
√L
Creelle
V (x) = V +(x) + V −(x)I(x) = I+(x) + I−(x)
Onde O+
V +(x) = Ae−Γx
I+(x) =A
Zce−Γx
∀x,V +(x)I+(x)
= Zc
Onde O−
V −(x) = Be+Γx
I−(x) = − B
Zce+Γx
∀x,V −(x)I−(x)
= −Zc
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4 Ondes progressives sur une ligne
4.1 Solution generale
Zc =
√R + jLω
G + jCω, Γ =
√(R + jlω)(G + jCω)
V (x) = Ae−Γx + Be+Γx
I(x) =1Zc
(Ae−Γx −Be+Γx)
4.2 Conditions aux limites
en x = L V (x = L) = ZcI(x = L)
Ae−ΓL + BeΓL =Zc
Zc(Ae−ΓL −BeΓL)
2BeΓL = 0 ⇒ B = 0
V (x) = Ae−Γx
I(x) =A
Zce−Γx
Onde progressive directe sur la ligneen x=0 V (x = 0) = E − ZgI(x = 0)
A = E − ZgA
Zc
A =E
1 + Zg
Zc
= EZc
Zc + Zg
V (x) = EZc
Zc + Zge−Γx
I(x) = E1
Zc + Zge−Γx
5 Ondes pseudo-stationnaires sur une ligne
5.1 Solutions generales
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ZR charge quelconque positive : <[ZR] > 0
V (x) = Ae−Γx + Be+Γx
I(x) =1Zc
(Ae−Γx −Be+Γx)
V +(x) = Ae−Γx , I+(x) =A
Zce−Γx = 0+
V −(x) = Be+Γx , I−(x) =−B
Zce+Γx = 0−
∀x V +(x)I+(x)
= Zc = −V −(x)I−(x)
Changement de variable y = L− xV (y) = Ae−ΓLe+Γy + Be+ΓLe−Γy
donc
V (y) = V +(x = L)e+Γy + V −(x = L)e−Γy
I(y) =1Zc
(Ae−ΓLeΓy −Be+ΓLe−Γy)
donc
I(y) = I+(x = L)e+Γy + I−(x = L)e−Γy
5.2 Conditions aux limites - Coefficients de reflexion
en x=L (y=0)V (y = 0) = ZRI(y = 0)V +(x = L) + V −(x = L) = ZR(I+(x = L) + I−(x = L))On definit le coefficient de reflexion en tension
RV =V −(x = L)V +(x = L)
On definit le coefficient de reflexion en courant
RI =I−(x = L)I+(x = L)
= −V −(x = L)Zc
Zc
V +(x = L)RI = −RV
On notera R le coefficient de reflexion en tensionV +(x = L)(1 + R) = ZRI+(x = L)(1−R)
V +(x = L)(1 + R) = ZRV +(x = L)
Zc(1−R)
(1 + R) =ZR
Zc(1−R)
R =ZR − Zc
ZR + Zc
|R| 6 1 si <(ZR) > 0
5.3 Solutions particulieres
V (y) = V +(x = L)(eΓy + Re−Γy)V (y) = V +(x = L)eΓy(1 + Re−2Γy)V (y) = V +(x)(1 + Re−2Γy)de memeI(y) = I+(x)(1−Re−2Γy)Dans le cas particulier des lignes sans pertes Γ = jβV +(x) = Ae−Γx = Ae−jβx
|V +(x)| = |A| = cst|V (y)| = |V +(x)||1 + Re−2jβy||I(y)| = |I+(x)||1−Re−2jβy|
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5.4 Repartition de la tension et du courant - Cas des lignes sans pertes
5.4.1 Diagramme de Bergeron
| V (x)V +(x)
| = |1 + Re−2jβy|
Si y = 0 alors | V (x)V +(x)
| = |1 + R| car dans ce cas |1 + Re−2jβy| = |1 + R|2βy = 2π (1 tour)
Pour avoir 22π
λy = 2π on doit avoir : y =
λ
2.
La propagation sur les lignes de transmission est periodique de periode λ2 .
| I(x)I+(x)
| = |1−Re−2jβy|
quand y = 0 on a | I(x)I+(x)
| = |1−R|
5.5 Rapport d’onde stationnaire (ROS)
On pose ρ =Vmax
Vmin=| V (x)V +(x) |max
| V (x)V +(x) |min
=1 + |R|1− |R|
|R| 6 1 ⇒ ρ > 1Si ZR = ZC , R = 0 → ρ = 1 → onde progressive.
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5.6 Impedance Z(y) sur la ligne
V (x) = V +(x)(1 + Re−2jβy)I(x) = I+(x)(1−Re−2jβy)
Z(y) = Z(x) =V (x)I(x)
=V +(x)I+(x)
(1 + Re−2jβy
1−Re−2jβy)
Z(y) = Zc1 + Re−2jβy
1−Re−2jβy
avec R =ZR − Zc
ZR + Zc
6 Abaque de Smith
6.1 Preliminaire
Ligne de transmission ZC reelle Γ = jβ
Impedance reduite : z =Z
ZC
6.2 Trace de l’abaque de Smith
Z(y) = ZC1 + R(y)1−R(y)
(R(y) =Z(y)− ZC
Z(y) + ZC)
z =1 + R
1−Rz = r + jxR = a + jb
r + jx =1 + a + jb
1− a− jbr(1− a) + bx = 1 + a (1)r(1− a)− br = b (2)
• On elimine r entre les deux expressions :
(a− 1)2 + (b− 1x
)2 =1x2
On a un cercle de centre (1,1x
), de rayon1|x|
x = 1 cercle de centre (1,1) de rayon 1
x = 2 cercle de centre (1,12) de rayon
12
x = 3 cercle de centre (1,13) de rayon
13...
x = −1 cercle de centre (1,−1) de rayon 1...• On elimine x de (1) et de (2) :
(a− r
1 + r)2 + b2 = (
11 + r
)2
On a un cercle de centre (r
1 + r,0), de rayon
11 + r
r = 0 cercle de centre (0,0) de rayon 1
r = 1 cercle de centre (12,0) de rayon
12
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r = 2 cercle de centre (23,0) de rayon
13
6.3 Proprietes de l’abaque de Smith
6.3.1 Inversion d’impedance
z =1 + R
1−R,
1z
=1−R
1 + R
ie1z
=1 + (−R)1− (−R)
1z
est donc l’impedance reduite associee au coefficient de reflexion (−R). C’est l’admittance reduite associeea z.
6.3.2 Transformation d’impedance sur la ligne
z =1 + R
1−R
Coefficient de reflexion au niveau de la charge : RT =ZR − ZC
ZR + ZC=
zR − 1zR + 1
R(y) = RT e−2jβy
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λ = 9cmZR = 75 + j150ω, ZC = 50ω
donc zR =ZR
ZC= 1, 5 + 3j
Determinez ZE , l’impedance vue par le generateur est ZE = Z(y = L)Cf abaque 3
2βL = 22π
λL = 2π
L
λL
λ=
13
= 0.33
Periodicite deλ
2
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6.4 Annexe : Abaque 1
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6.5 Annexe : Abaque 2
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6.6 Annexe : Abaque 3
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6.7 Mesures d’impedance sur une ligne a l’aide de l’abaque de Smith
6.7.1 Dispositif experimental
On peut mesurer :-Le rapport d’onde stationnaire sur la ligne :
ρ =Vmax
Vmin
-Detection quadratique VD = kV 2
ρ =√
VDmax
VDmin-Position des minimums de tension sur la ligne, on a besoin d’un court circuit
6.7.2 Mesure de l’impedance
- Ligne fermee par l’impedance inconnue ZR
ROS : ρ =1 + |R|1− |R| (cf 5.5)
ex : on mersure ρ = 4cf abaque 4
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On mesure la position des minimums de tension : m1, m2 ...
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On peut deduireλ
2= m1 −m0 = m2 −m1 ...
Pour une ligne fermee par un court-circuit :
7 Adaptation d’impedance
7.1 Puissance recue par une charge reelle quelconque
V = EZR
ZR + Zg
I =E
ZR + Zg
P puissance dissipee dans la charge reelle ZR
P =12
E2
(ZR + Zg)2ZR
On cherche Pmax
∂P
∂ZR=
12E2 (ZR + Zg)2 − 2ZR(ZR + Zg)
(ZR + Zg)4∂P
∂ZR=
12E2 Zg − ZR
(ZR + Zg)3∂P
∂ZR= 0 ⇒ ZR = Zg
C’est un maximum
Pmax =12
E2Zg
4Z2g
Pmax =E2
8Zg
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7.2 Charge reelle - Adaptation a l’aide d’une resistance
Adaptation d’impedance : le generateur ”sort” avec une impedance egale a son impedance interne.
I =E
Zg + R + ZR
PZR =12ZR
E2
(Zg + R + ZR)2
PZR=
12
3E2
4Z2g
=18
E2
Zg
350
PZR=
350
ZR
7.3 Charge reelle - Adaptation quart-d’onde
Adaptateur : on veut ZE = Zg
Inconnue : ZC
Z(y) = ZCZR + jZC tan(βy)ZC + jZR tan(βy)
ZE = Z(y = L)
βL =2π
λ
λ
4=
π
2
ZE =Z2
C
ZR
ZR =ZR
ZC→ vers le generateur ZE =
ZE
ZC
L =λ
4⇒ zE =
1zR
ZE
ZC=
ZC
ZR→ ZE =
Z2C
ZR
On veut ZE = Zg =Z2
C
ZR, on choisit ZC =
√ZRZg
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7.4 Charge quelconque - Adaptation quart-d’onde
On a ZB1 l’impedance equivalente du troncon vu du point B (impedance d’entree). On doit determiner L1
et ZC
En partant de zA et en se deplacant deL1
λvers le generateur on obtient zB1 , or zA = 0 donc
ZB1 = Z(y = L1) = Z ′CZA + jZ ′C tan(βL1)Z ′C + jZAtan(βL1)
ZB1 = jZ ′C tan(βL1), zB1 = j tan(βL1) ∈ jRRemarqueL’impedance d’entree d’un troncon de ligne termine par un court circuit ou un circuit ouvert est imaginairepure. (Troncon termine par un court circuit ou circuit ouvert = stub en anglais).
On choisit L1 telle que tan(βL1) = −X on a alors ZB = ZR + ZB1 , ce qui nous donne le schema electriqueequivalent :
puis on realise l’adaptation quart d’onde ZC =√
ZgR, on obtient une adaptation ”bande etroite”.
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7.5 Adaptation a un stub
On a zR =ZR
ZCen se deplacant de
L2
λvers le generateur on a zB2
On a aussi zA =ZA
ZCen se deplacant de
L1
λvers le generateur on a zB1
On a une connexion en parallele en B, on va donc travailler sur les admittances : on part de yR et on se
deplace deL2
λvers le generateur et on obtient yB2 , on part de yA et on se deplace de
L1
λvers le generateur et
on obtient yB1 .On a donc le schema equivalent suivant :
YB = YB1 + YB2 , yB = YBZC = yb1 + yb2
On fait l’adaptation d’impedance ZE = Zg, et on choisit le cas ou ZC = Zg (dans le cas le plus courant
ZC = Zg = 50Ω). On peut alors en deduire que zE =Zg
ZC= 1.
On part de zE et on se deplace deL
λvers la charge et on obtient zB , on en deduit alors que zB = 1∀L (zE
est place au centre de l’abaque, si l’on tourne deL
λvers la charge il ne bouge pas, donc zB = zE).
Notre but est toujours de calculer L1 et L2
yB1 = jX (yB1 ∈ jR car zB1 ∈ jR)yB = yB1 + yB2 = 1 par consequent yB2 = 1− jX (on trace sur l’abaque le cercle qui represente l’ensemble
des points de partie reelle 1 ”1er lieu de yB2”)On prend par exemple comme valeurs numeriques ZC = 50ω, ZR = 150− j100ω, zR = 3− j2On place alors 3 − j2 sur l’abaque ”zR”, on construit alors yR symetrique de zR par rapport au centre de
l’abaque. Le cercle de centre le centre de l’abaque et passant par yR est le ”2eme lieu de yB2”. On a donc deux
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possibilites pour yB2 (les points d’intersection des deux cercles). On choisit arbitrairement l’une des solutions.(ici on lit yB2 = 1 + j1.7).
On avait yB obtenu en partant de yR et en se deplacant deL2
λvers le generateur, on lit alors l’angle normalise
sur l’abaque (towards generator) entre yR et yB , on obtientL2
λ= 0.158, on en deduit alors L2 = 0.16λ + m
λ
2Pour calculer L1 on suit le meme procede en se deplacant de yA vers yA soit en parcourant
L1
λvers le
generateur. (on obtient ici L2 = 0.085λ + nλ
2).
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