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Finanzas
Santiago, Chile
2002
Profesor : Rodrigo Sanchez H.
I. Matemática Financiera
• Interés Simple
• Interés Compuesto
• Real vs Nominal
• Perpetuidades
• Anualidades
Interés Simple
• Si se invierte un monto X, los intereses acumulados al cabo de n períodos usando tasa de interés simple r% serán:
Intereses = X * r * n
Interés Simple: Ejemplo
• Un banco le ofrece una tasa de 1,1% mensual (30 días), con interés simple para un depósito a plazo por $100.000. ¿Cuál sería el interés obtenido al cabo de 40 días?
7,466.140000.100
30011,0 Intereses
Interés Simple
• Hay que notar que al dividir la tasa por 30, se ha transformado la tasa mensual a tasa diaria para mantener una consistencia en el cálculo.
• También se podría haber expresado los cuarenta días en términos de meses.
Interés Simple
• Otra forma de ver lo mismo. Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, al cabo de n años tendremos:
Valor Futuro = X*(1 + r*n)
Interés Simple: Ejemplo
• Invierte $100.000 en un instrumento financiero con vencimiento a 90 días. La tasa que entrega este instrumento es 1,2% mensual. ¿Cuánto será el monto final de la inversión al cabo de los 90 días?
600.1033012,0000.100000.100
MontoFinal
InteresesCapitalMontoFinal
Interés Compuesto
• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula una vez al año, al cabo de n años tendremos un saldo final:
Valor Futuro = X(1 + r)n
Interés Compuesto: Ejemplo
• Se deposita $140.000 en una institución financiera durante 5 meses, a una tasa de 1,2% mensual, con interés compuesto y capitalización mensual. ¿Cuál será el saldo final al término de los 5 meses?
604.148012,01000.140 5 SaldoFinal
Interés Compuesto
• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula m veces al año, al cabo de n años tendremos:
mn
mr
InicialSaldooValorFutur
1
Interés Compuesto: Ejemplo
• Si depositamos $150.000 en el banco a la tasa del 8% anual durante un año, con interés compuesto capitalizado trimestral-mente ¿cuál será el saldo al final del año?
8,364.162408,0
1000.150 1 4
FinalSaldo
Interés Real y Nominal
• Si el mercado financiero es eficiente, debe cumplirse la siguiente equivalencia:
i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
π = tasa de inflación
111 ri
Interés Real y Nominal: Ejemplo
• Un banco ofrece una tasa nominal de 4,6% mensual, se espera que la inflación sea 3,2% durante el próximo mes. ¿Qué tasa de interés real está ofreciendo el banco?
%36,10136,01032,01046,01
r
Formulas de Valor Presente
• Dado el valor del dinero en el tiempo (un peso hoy vale más que uno mañana), flujos que se recibirán en el futuro deben ser descontados.
• La idea es tratan hacer comparable flujos que se recibirán en distintos instantes, llevándolos a un mismo período.
Fórmulas de Valor Presente
Las fórmulas más usadas son:
• Perpetuidad constante
• Perpetuidad creciente
• Anualidad constante
• Anualidad creciente
Perpetuidad constante
• Una perpetuidad, se refiere a flujos que se recibirán todos los períodos hasta el infinito.
• Si los flujos son iguales todos los períodos, decimos que es una perpetuidad constante.
• El valor presente de una perpetuidad cons-tante se calcula:
rFlujo
VP
Perpetuidad: ejemplo
• Le ofrecen una acción de la empresa RIESGO S.A. que reparte $20 en dividendos todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?
12516,0
20 r
FlujoVP
Perpetuidad creciente
• Hablamos de perpetuidad creciente si los flujos que entrega van aumentando a medida que pasa el tiempo.
• Si los flujos aumentan a una tasa constante g, valor presente se puede calcular:
grFlujo
VP
1
– Observación: La tasa de crecimiento no puede ser mayor a la tasa de descuento.
Perpetuidad: ejemplo
• Le ofrecen una acción de la empresa JUGO S.A. se espera que reparta $20 en dividendos el próximo año y éstos crezcan al 8% todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?
25008,016,0
20
gr
FlujoVP
Anualidades
• Nos referimos flujos de caja que se recibirán por un período limitado de tiempo T.
• En general, para cualquier conjunto de flujos el valor presente se puede calcular como:
T
iii
r
FlujoVP
1 1
Anualidades
• Si todos los flujos que se recibirán son iguales, la sumatoria anterior se puede simplificar.
• Si designamos como F el flujo a recibir por T períodos, la fórmula de valor presente es:
TrrF
VP1
11
Anualidades: ejemplo
• Le ofrecen un crédito de 12 cuotas iguales de 15.000. La tasa de interés mensual es 1,3%, compuesta con capitalización mensual. ¿Cuál es el valor actual del préstamo?
6,669.165
013,01
11
013,0000.15
12
VP
Anualidades: ejemplo
• Una empresa decide vender un bien en $1.200 al contado. Uno sus clientes le solicita crédito en 3 cuotas iguales a 30, 60 y 90 días. La empresa decide entregar el crédito cobrando una tasa de interés de 2% mensual, compuesto con capitalización mensual. ¿Cuál debería ser la cuota que se le ofrece al cliente?
Anualidades: ejemplo
• Debemos despejar F de la fórmula anterior, para poder encontrar la cuota correspon-diente.
11,416
02,01
11*02,0*200.1
1
11**
1
11
1
3
1
F
rrVPF
rrF
VP
T
T
Anualidades: ejemplo
• Queremos comprar un televisor en Almacenes París. El precio contado es $137.600.– Usando la tarjeta de Almacenes París, le ofrecen
pagar el mismo televisor en 12 cuotas de $13.736.– Si utiliza la tarjeta de crédito Visa, la tasa de
interés es 2,6% mensual.
¿Cuál debería elegir?
Anualidades: ejemplo
• Primero hay que calcular el interés implícito en la cuota de Almacenes París.
• Generalmente es muy difícil despejar la tasa de interés. Sin embargo, cualquier calculadora financiera puede encontrar el resultado
121
11
736.13600.137
1
11
rr
rrF
VP T
Anualidades: ejemplo
• Usando Excel (función tasa) o una calculadora financiera (función IRR), obtenemos una tasa de interés de 2,89% mensual.
• Como la tasa de Almacenes París es mayor que la tasa de 2,6% ofrecida por la tarjeta VISA, preferimos esta última.
Anualidades crecientes
• Si los flujos que se recibirán van aumentando a una tasa constante g, siempre que sea menor a la tasa de descuento r podemos usar la fórmula siguiente.
T
T
r
ggr
FVP
1
111
Uso de Excel
• Funciones más usadas en Excel:– Pago(tasa;períodos;va): se utiliza para calcular
la cuota, dado la tasa de interés, número de períodos y el valor actual.
– Tasa(períodos;pago;va): Se usa para calcular la tasa implícita dados los flujos, número de períodos y el valor actual. Supone todos los flujos iguales.
Uso de Excel
– VA(tasa;períodos;pago): permite calcular el valor actual de pagos de un préstamo, dado el número de períodos y la tasa de descuento.
– VNA(tasa;flujo1;flujo2;flujo3…;flujon): esta es equivalente a la fórmula general de valor presente. Calcula el valor actual de una serie de flujos, dada una tasa de descuento.
– TIR (flujos): Calcula la TIR para una serie de flujos.
Criterios de Evaluación de Inversiones
• Payback
• Valor presente neto
• TIR
• Razón beneficio a costo
• Costo anual equivalente
Payback
• Es el número períodos en que se recupera la inversión inicial.
• Se debe elegir el proyecto con menor payback.
• Da una medida de la rapidez con que se recuperan los fondos invertidos.
• El problema es que no considera el valor del dinero en el tiempo.
Valor presente neto
• Consiste en descontar los flujos a una tasa apropiada y restarles la inversión inicial.
• Si no existen restricciones, debe llevarse a cabo todos los proyectos con VAN>0.
• Problema 1: ¿Qué tasa de descuento usar?
• Problema 2: ¿Qué pasa con proyectos de distinta vida?
Tasa interna de retorno (TIR)
• Es el resultado de buscar la tasa que hace cero el valor presente de un proyecto o inversión.
• Se debe comparar esta tasa (TIR) con un rendimiento exigido a la inversión. Si no existen restricciones y la TIR es mayor debe llevarse a cabo el proyecto.
Tasa interna de retorno (TIR)
• Si no existen restricciones, lleva a la misma decisión que el criterio de valor presente.
• Problema 1: Puede haber varias tasas que cumplan con la condición VAN=0.
• Esto dependerá de los flujos de caja. Habrá tantas tasas como cambios de signo existan.
• Problema 2: Si hay proyectos excluyentes, este criterio no asegura la máxima riqueza.
Razón beneficio a costo
• Es la razón entre el valor actual de los beneficios, dividido por el valor actual de los costos más la inversión inicial.
• Si la razón calculada es mayor a uno, conviene hacer el proyecto, si es menor a uno, no conviene.
Costo anual equivalente