1

Finanzas

Santiago, Chile

2002

Profesor : Rodrigo Sanchez H.

I. Matemática Financiera

• Interés Simple

• Interés Compuesto

• Real vs Nominal

• Perpetuidades

• Anualidades

Interés Simple

• Si se invierte un monto X, los intereses acumulados al cabo de n períodos usando tasa de interés simple r% serán:

Intereses = X * r * n

Interés Simple: Ejemplo

• Un banco le ofrece una tasa de 1,1% mensual (30 días), con interés simple para un depósito a plazo por $100.000. ¿Cuál sería el interés obtenido al cabo de 40 días?

7,466.140000.100

30011,0 Intereses

Interés Simple

• Hay que notar que al dividir la tasa por 30, se ha transformado la tasa mensual a tasa diaria para mantener una consistencia en el cálculo.

• También se podría haber expresado los cuarenta días en términos de meses.

Interés Simple

• Otra forma de ver lo mismo. Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, al cabo de n años tendremos:

Valor Futuro = X*(1 + r*n)

Interés Simple: Ejemplo

• Invierte $100.000 en un instrumento financiero con vencimiento a 90 días. La tasa que entrega este instrumento es 1,2% mensual. ¿Cuánto será el monto final de la inversión al cabo de los 90 días?

600.1033012,0000.100000.100

MontoFinal

InteresesCapitalMontoFinal

Interés Compuesto

• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula una vez al año, al cabo de n años tendremos un saldo final:

Valor Futuro = X(1 + r)n

Interés Compuesto: Ejemplo

• Se deposita $140.000 en una institución financiera durante 5 meses, a una tasa de 1,2% mensual, con interés compuesto y capitalización mensual. ¿Cuál será el saldo final al término de los 5 meses?

604.148012,01000.140 5 SaldoFinal

Interés Compuesto

• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula m veces al año, al cabo de n años tendremos:

mn

mr

InicialSaldooValorFutur

1

Interés Compuesto: Ejemplo

• Si depositamos $150.000 en el banco a la tasa del 8% anual durante un año, con interés compuesto capitalizado trimestral-mente ¿cuál será el saldo al final del año?

8,364.162408,0

1000.150 1 4

FinalSaldo

Interés Real y Nominal

• Si el mercado financiero es eficiente, debe cumplirse la siguiente equivalencia:

i = tasa de interés nominal

r = tasa de interés real

π = tasa de inflación

111 ri

Interés Real y Nominal: Ejemplo

• Un banco ofrece una tasa nominal de 4,6% mensual, se espera que la inflación sea 3,2% durante el próximo mes. ¿Qué tasa de interés real está ofreciendo el banco?

%36,10136,01032,01046,01

r

Formulas de Valor Presente

• Dado el valor del dinero en el tiempo (un peso hoy vale más que uno mañana), flujos que se recibirán en el futuro deben ser descontados.

• La idea es tratan hacer comparable flujos que se recibirán en distintos instantes, llevándolos a un mismo período.

Fórmulas de Valor Presente

Las fórmulas más usadas son:

• Perpetuidad constante

• Perpetuidad creciente

• Anualidad constante

• Anualidad creciente

Perpetuidad constante

• Una perpetuidad, se refiere a flujos que se recibirán todos los períodos hasta el infinito.

• Si los flujos son iguales todos los períodos, decimos que es una perpetuidad constante.

• El valor presente de una perpetuidad cons-tante se calcula:

rFlujo

VP

Perpetuidad: ejemplo

• Le ofrecen una acción de la empresa RIESGO S.A. que reparte $20 en dividendos todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?

12516,0

20 r

FlujoVP

Perpetuidad creciente

• Hablamos de perpetuidad creciente si los flujos que entrega van aumentando a medida que pasa el tiempo.

• Si los flujos aumentan a una tasa constante g, valor presente se puede calcular:

grFlujo

VP

1

– Observación: La tasa de crecimiento no puede ser mayor a la tasa de descuento.

Perpetuidad: ejemplo

• Le ofrecen una acción de la empresa JUGO S.A. se espera que reparta $20 en dividendos el próximo año y éstos crezcan al 8% todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?

25008,016,0

20

gr

FlujoVP

Anualidades

• Nos referimos flujos de caja que se recibirán por un período limitado de tiempo T.

• En general, para cualquier conjunto de flujos el valor presente se puede calcular como:

T

iii

r

FlujoVP

1 1

Anualidades

• Si todos los flujos que se recibirán son iguales, la sumatoria anterior se puede simplificar.

• Si designamos como F el flujo a recibir por T períodos, la fórmula de valor presente es:

TrrF

VP1

11

Anualidades: ejemplo

• Le ofrecen un crédito de 12 cuotas iguales de 15.000. La tasa de interés mensual es 1,3%, compuesta con capitalización mensual. ¿Cuál es el valor actual del préstamo?

6,669.165

013,01

11

013,0000.15

12

VP

Anualidades: ejemplo

• Una empresa decide vender un bien en $1.200 al contado. Uno sus clientes le solicita crédito en 3 cuotas iguales a 30, 60 y 90 días. La empresa decide entregar el crédito cobrando una tasa de interés de 2% mensual, compuesto con capitalización mensual. ¿Cuál debería ser la cuota que se le ofrece al cliente?

Anualidades: ejemplo

• Debemos despejar F de la fórmula anterior, para poder encontrar la cuota correspon-diente.

11,416

02,01

11*02,0*200.1

1

11**

1

11

1

3

1

F

rrVPF

rrF

VP

T

T

Anualidades: ejemplo

• Queremos comprar un televisor en Almacenes París. El precio contado es $137.600.– Usando la tarjeta de Almacenes París, le ofrecen

pagar el mismo televisor en 12 cuotas de $13.736.– Si utiliza la tarjeta de crédito Visa, la tasa de

interés es 2,6% mensual.

¿Cuál debería elegir?

Anualidades: ejemplo

• Primero hay que calcular el interés implícito en la cuota de Almacenes París.

• Generalmente es muy difícil despejar la tasa de interés. Sin embargo, cualquier calculadora financiera puede encontrar el resultado

121

11

736.13600.137

1

11

rr

rrF

VP T

Anualidades: ejemplo

• Usando Excel (función tasa) o una calculadora financiera (función IRR), obtenemos una tasa de interés de 2,89% mensual.

• Como la tasa de Almacenes París es mayor que la tasa de 2,6% ofrecida por la tarjeta VISA, preferimos esta última.

Anualidades crecientes

• Si los flujos que se recibirán van aumentando a una tasa constante g, siempre que sea menor a la tasa de descuento r podemos usar la fórmula siguiente.

T

T

r

ggr

FVP

1

111

Uso de Excel

• Funciones más usadas en Excel:– Pago(tasa;períodos;va): se utiliza para calcular

la cuota, dado la tasa de interés, número de períodos y el valor actual.

– Tasa(períodos;pago;va): Se usa para calcular la tasa implícita dados los flujos, número de períodos y el valor actual. Supone todos los flujos iguales.

Uso de Excel

– VA(tasa;períodos;pago): permite calcular el valor actual de pagos de un préstamo, dado el número de períodos y la tasa de descuento.

– VNA(tasa;flujo1;flujo2;flujo3…;flujon): esta es equivalente a la fórmula general de valor presente. Calcula el valor actual de una serie de flujos, dada una tasa de descuento.

– TIR (flujos): Calcula la TIR para una serie de flujos.

Criterios de Evaluación de Inversiones

• Payback

• Valor presente neto

• TIR

• Razón beneficio a costo

• Costo anual equivalente

Payback

• Es el número períodos en que se recupera la inversión inicial.

• Se debe elegir el proyecto con menor payback.

• Da una medida de la rapidez con que se recuperan los fondos invertidos.

• El problema es que no considera el valor del dinero en el tiempo.

Valor presente neto

• Consiste en descontar los flujos a una tasa apropiada y restarles la inversión inicial.

• Si no existen restricciones, debe llevarse a cabo todos los proyectos con VAN>0.

• Problema 1: ¿Qué tasa de descuento usar?

• Problema 2: ¿Qué pasa con proyectos de distinta vida?

Tasa interna de retorno (TIR)

• Es el resultado de buscar la tasa que hace cero el valor presente de un proyecto o inversión.

• Se debe comparar esta tasa (TIR) con un rendimiento exigido a la inversión. Si no existen restricciones y la TIR es mayor debe llevarse a cabo el proyecto.

Tasa interna de retorno (TIR)

• Si no existen restricciones, lleva a la misma decisión que el criterio de valor presente.

• Problema 1: Puede haber varias tasas que cumplan con la condición VAN=0.

• Esto dependerá de los flujos de caja. Habrá tantas tasas como cambios de signo existan.

• Problema 2: Si hay proyectos excluyentes, este criterio no asegura la máxima riqueza.

Razón beneficio a costo

• Es la razón entre el valor actual de los beneficios, dividido por el valor actual de los costos más la inversión inicial.

• Si la razón calculada es mayor a uno, conviene hacer el proyecto, si es menor a uno, no conviene.

Costo anual equivalente