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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
2
CONTENIDO1. Función Exponencial.
Definición de Asíntota Horizontal.Representación Gráfica.Exponencial Natural.Transformación de Funciones.
2. Función Logaritmo. Definición de Asíntota Vertical. Representación Gráfica. Logaritmo Común.
Logaritmo Natural.Transformación de Funciones.
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FUNCIÓN EXPONENCIAL
Hemos estudiado funciones de la forma:
Como por ejemplo: 2( )f x xAhora estudiaremos funciones de la forma:
Como por ejemplo: xxf 2)(
nxxf )(
Base variable
Exponente constanteFunción potencia
xaxf )(
Base constante
Exponente variable
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DEFINICION DE FUNCION EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la forma:
xaxf )(
En donde: y a 0 a 1
x
Base constante
Exponente variable
El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.
El rango de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.
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DEFINICIÓN DE ASINTOTA HORIZONTAL
Una recta de la forma y=b es una asíntota horizontal de una función f, sí: ocuando x cuando x bxf )(
x
y
xbxf cuando )(
y=b
x
y
y=b
xbxf cuando )(
x
y
y=b
x
y
y=b
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Hacer la gráfica de la función: xxf 2)( x xy 2
3
2
10
1
8
2
1
21
41
81
2 4
3
CaracterísticasDominio:
Rango: ),0(
Asíntota horizontal:0y
Intersección eje y: )1,0(
Intersección eje x: No hay
CrecienteComportamiento extremo:
0f(x)entoncesxSi
f(x)entoncesxSi
10 10241
10 1024 Función uno a uno
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Hacer la gráfica de la función: x
xf
21
)(x xy 21
3
2
10
1
8
2
1
21
41
81
2
4
3
CaracterísticasDominio:
Rango: ),0(
Asíntota horizontal:0y
Intersección eje y: )1,0(
Intersección eje x: No hay
DecrecienteComportamiento extremo:
f(x)entoncesxSi
f(x)entoncesxSi 0
10
1024110
1024
Función uno a uno
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Veamos las dos gráficas en el mismo plano:
x
y
x
y
xy 2
xxy 212
•La gráfica decorresponde a una reflexión sobre el eje y de la gráfica de
xxy 212
xy 2
xx xfxf 2)(2)(
•En la base es 2 y 2>1 .
xy 2
•En la base es ½ y 0<1/2<1
xy 21
•La función es creciente.
•La función es decreciente.
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x
y
x
y
EN FORMA GENERAL
1,0
xay 1aPara
xay 10 aPara
xay xay En el ejemplo anterior
2a
En el ejemplo anterior
2
1a
10
x
y
x
y
1aparafdeGráfica 10 aparafdeGráfica
xaxf )(
GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
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x
y
x
y
x
y
x
y
La siguiente figura muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales xaxf )(
xy 2xy 10x
y
2
1x
y
10
1
1,0
La gráfica de está entre la gráfica de y la de observe que 2<3<10.
Todas las gráficas cortan al eje y en el punto (0,1)
xy 3x
y
3
1
xy 3xy 2
xy 10
La gráfica de está entre la gráfica de y la de
xy 31 xy 21
xy 101
2
1
3
1
10
1 que observe
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FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
La función exponencial natural está definida por:xexf )(
Donde el número es un número irracional llamado número de Euler y está definido como el valor al que tiende
e
n
n
11 Cuando n
El valor aproximado del número es:
7182818284.2e
Donde es un entero positivon
e
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x
y
x
y
x
y
GRAFICA DE xexf )(
Puesto que , la gráfica de la función exponencial natural se encuentra entre las gráficas de como se muestra en la figura:
32 e2 y 3x xy y
xy 2xy 3 xey
CaracterísticasDominio:Rango: ),0(
Asíntota horizontal:0y
CrecienteComportamiento extremo:
0f(x)entoncesxSi
f(x)entoncesxSi
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESPartiendo de la gráfica de la función graficar: xy 2
xy 21
xy 2xy 21
CARACTERISTICAS
FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL
FUNCIONES CRECIENTES
xy 2xy 21
),0(
),1(
0y
1y
Traslación vertical, una unidad hacia arriba
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Partiendo de la gráfica de la función graficar:
xxf 2)( )( xf )(xf
xy 2xy 2 xy 2
xy 2
x2Reflexión eje y
x2
Reflexión eje x
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FUNCION
DOMINIO RANGO
FUNCION
DOMINIO RANGO
x
y
x
yxy 2
xy 2
CARACTERISTICAS DE LA FUNCION
xy 2
xy 2
xy 2
xy 2
x
y
x
y
xy 2xy 2
crecientefuncióny x2
edecrecientfunciónyx2
crecientefuncióny x2
edecrecientfuncióny x2
),0(
),0(
),0( )0,(
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Graficar: 23 2 xy
xy 3 23 xy
Transformaciones:
•Traslación horizontal, 2 unidades a la derecha.•Reflexión eje x.
•Traslación vertical, 2 unidades hacia abajo.
FUNCION
DOMINIO
RANGO
ASÍNTOTA HORIZONTAL
CRECIMIENTO
xy 3 23 2 xy
0y23 xy
23 2 xy
2y
),0( )2,(
2ycrecientedecreciente
FUNCIONES UNO A UNO
A partir de xy 3
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Graficar: 42
13
1
x
y
x
y
2
1
42
13
)1(
x
y
•Reflexión eje y.
•Traslación horizontal 1 unidad a la derecha.•Dilatación vertical por 3.•Traslación vertical 4 unidades hacia abajo.
42
13
1
x
y
FUNCION
DOMINIO
RANGO
ASÍNTOTA HORIZONTAL
CRECIMIENTO
0y
),0( ),4(
4ydecrecientecreciente
FUNCIONES UNO A UNO
Características:x
y
2
14
2
13
1
x
y
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EjemploEncuentre la función de la forma que corresponde a la siguiente gráfica
xCaxf )(
x
y
3,0
12,2
Puesto que:
3)0( 0 Caf
Podemos saber que:
3CEntonces :
12)2( 2 Caf
Como sabemos que tenemos que :
3C
123 2 a De donde 2a
La función es: xxf )2(3)(
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FUNCIÓN LOGARITMO
Como ya se ha explicado toda función exponencial
( ) 0 y 1xf x a con a a
Es una función uno a uno y por lo tanto tiene una función inversaLa función inversa se conoce como la función logaritmo, con base de x y se denota como
)(1 xf
a )(log xa
La función logaritmo se define como:
xayx ya log
Es decir que es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener
alog x
a x
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DEFINICIÓN DE ASINTOTA VERTICAL Una recta con ecuación x=a es una asíntota vertical
de una función f, sí:
En la medida que x se aproxima a a.
)(xf)(xf o
x
y
x=a
axcuandoxf ,)( axcuandoxf ,)(
x
y
x=a
axcuandoxf ,)(
x
y
x=a
axcuandoxf ,)(
x
y
x=a
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
Utilizando un tabla de valores vamos a graficar la función xxf 2log)(
x xy 2log
1
34
234
1
xy 2log
02
223242
12
22
32
42
12
23
GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMOYa que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial , La gráfica de la función logaritmo se obtiene reflejando la función exponencial en la recta .
xxf alog)( xaxf )(
xy Si a>1, se obtiene :
x
y
xay
x
y
xy
x
y
xy alog
FUNCION
DOMINIO
RANGO
ASÍNTOTA
CRECIMIENTO
0 y
Horizontal
),0(
creciente creciente
FUNCIONES UNO A UNO
1
a
ay x
1
log
a
xy a
),0(
0x
Vertical
Características:
24
GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMOxxf alog)( Si 0<a<1, se obtiene :
xay xy
xy alog
FUNCION
DOMINIO
RANGO
ASÍNTOTA
CRECIMIENTO
0 y
Horizontal
),0(
decreciente decreciente
FUNCIONES UNO A UNO
10 a
ay x
10
log
a
xy a
),0(
0x
Vertical
Características:
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10
x
y
xy 10log
x
y
xy 5log
x
y
xy 3log
x
y
xy 2log
La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 1/2, 1/3, 1/5 y 1/10
xy2
1log
xy3
1log
xy5
1log
xy10
1log
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LOGARITMO COMUN
El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base, así: xx 10loglog
Las calculadoras permiten evaluar estos logaritmos, si el logaritmo tiene otra base es necesario utilizar la fórmula de cambio de base para evaluarlos, así:
b
xx
a
ab log
loglog
Donde 10a
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LOGARITMO NATURAL
xxy elogln
La función logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial
xy ln
xey
El logaritmo con base se conoce como logaritmo natural y se denota como
e:ln
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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
La gráfica de la función logaritmo natural se obtiene reflejando la gráfica de la función exponencial en la recta: xy
x
y
xey
x
y
xy
x
y
)ln(xy
FUNCION
DOMINIO
RANGO
ASÍNTOTA
CRECIMIENTO
0 y
Horizontal
),0(
creciente creciente
FUNCIONES UNO A UNO
xey xy ln
),0(
0x
Vertical
Características:
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…RESUMIENDO
x
y
x
y
1
a
ay x
1
log
a
xy a
10 a
ay x
10
log
a
xy a
30
x
y
x
y
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Trazar la gráfica de la función: 13log)( 3 xxf
xy 3log
3log3 xy
FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL
FUNCIONES CRECIENTES
),3(
),0( 0x
3x
Traslación horizontal, 3 unidades hacia la derecha.
Características:
xy 3log
3log3 xy
3x
Trasformaciones:
13log3 xy
Traslación vertical, 1 unidad hacia arriba.
31
x
y
x
y
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Trazar la gráfica de la función: )2ln()( xxf
xy ln
2x
))2(ln( x
•Reflexión eje y.Trasformaciones:
•Traslación horizontal 2 unidades a la derecha.•Reflexión eje x.
FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL
)2,(
),0( 0x
2x
Características:
xy ln
xy 2ln
xy ln creciente
xy 2ln decreciente
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Encuentre la función de la forma cuya gráfica se da.
xy alog
)1,5(
Reemplazando el punto (5,1) en , se tiene:
xy alog
5log1 a
51 a
De donde:
5 a
Luego:
xy 5log