1
Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA
Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević
1. Predavanje
FUNKCIONALNI MODEL GPS MERENJA
Princip merenja kodnih i
faznih pseudodužina
Postupak kojim GPS prijemnik vrši kodna i fazna merenja konceptualno je veoma
jednostavan, kao što ilustruje slika 1.1. Prijemnik ustvari generiše kopiju kodnog niza i
vremenski je pomera u odnosu na originalni kodni niz koga prima sa satelita, prateći pri
tome neprekidno vrednost korelacione funkcije. Kopija i original koda vremenski su
poravnate onda kada vrednost korelacione funkcije dostigne maksimum. Ukupan
vremenski pomak do momenta poravnanja predstavlja ustvari vreme potrebno signalu da
od satelitske antene stigne do antene prijemnika. Naknadno množenje brzinom
prostiranja radio talasa daje kodnu pseudodužinu. Ceo proces odvija se u povratnom
kontrolnom sistemu implementiranom u vidu kodnog filtera (DLL).
Slika 1.1. Princip merenja GPS prijemnika upoređenjem kopije i originala signala.
Nakon poravnanja i merenja vremena puta kodovi se uklanjaju iz signala, tako da
preostaje samo noseći talas modulisan navigacionom porukom. On se dalje prati u
drugom povratnom kontrolnom sistemu koji se naziva faznim filterom (PLL). U tu svrhu
prijemnik generiše kopiju nosećeg talasa i menja mu frekvenciju sve dok se ne poklopi
sa frekvencijom i fazom originalnog nosećeg talasa. Tokom tog procesa istovremeno se
identifikuju bitovi navigacionih podataka. Razlika između frekvencije kopije i originala
nosećeg talasa pokazuje koliko je satelitski noseći talas Doplerski pomeren usled
relativnog kretanja satelita i prijemnika. Razlika između faze kopije i originala nosećeg
talasa se u trenutku prvog merenja može odrediti samo u okviru jednog faznog ciklusa
zbog periodičnosti sinusne funkcije. Od tog momenta poseban registar počinje da
uvećava ili smanjuje svoj brojač kad god se fazna razlika promeni za ceo fazni ciklus.
Nepoznati ceo broj faznih ciklusa na početku merenja naziva se faznom neodređenošću.
Množenje izmerene fazne razlike talasnom dužinom radio talasa daje faznu
pseudodužinu, a kada se talasnom dužinom pomnoži izmereni Doplerski pomak dobija
se njena brzina promene.
Kodne i fazne pseudodužine predstavljaju meru istih rastojanja, ali između njih postoje
dve bitne razlike. Prva se odnosi na tačnost. Rezolucija sa kojom komponente prijemnika
mere vreme puta signala i njegovu fazu iznosi oko 1% odgovarajuće talasne dužine, što
znači da je tačnost kodnih pseudodužina na metarskom, a faznih pseudodužina na
milimetarskom nivou. Druga razlika sastoji se u tome da su kodne pseudodužine potpuna
mera rastojanja između prijemnika i satelita, dok su fazne pseudodužine neodređene
zbog nepoznatog celog broja faznih ciklusa.
2
Funkcionalni model
kodnih pseudodužina
Funkcionalni model je deo matematičkog modela koji opisuje matematičke veze između
izvršenih merenja i nepoznatih parametara. S obzirom na to da su GPS merenja funkcija
vremena jer se izvode u dinamičkom okruženju, neophodno je prvo definisati sledeće
veličine:
t: istiniti trenutak vremena prijema signala (trenutak kada je prijemnik izvršio
merenje),
τ: istinita vrednost vremena puta signala od satelita do prijemnika,
tr: pokazivanje časovnika prijemnika r,
ts: pokazivanje časovnika satelita s.
Pod istinitom vremenskom skalom podrazumevaćemo sistemsko GPS vreme. Iz
navedenih oznaka sledi da je signal napustio satelitsku antenu u istinitom trenutku
vremena t – τ. Pošto se GPS sateliti kreću na visinama od oko 20000 – 26000 km, vreme
puta signala iznosi u proseku 75 ms.
Sada se za kodnu pseudodužinu P između prijemnika r i satelita s izmerenu u istinitom
trenutku prijema signala t može napisati:
0( ) ( ) ( ) s s
r rP t c t t t t
gde c0 označava brzinu svetlosti. Pokazivanja časovnika prijemnika i satelita u istinitim
trenucima vremena prijema signala t i emitovanja signala t – τ opterećena su greškama
δtr(t) i δts(t – τ), tako da iznose:
( ) ( ) r rt t t t t
( ) ( ) s st t t t t
Zamenom u izraz za kodnu pseudodužinu dobija se:
0 0 0( ) ( ) ( ) s s
r rP t c c t t c t t
Prvi član c0τ predstavljao bi istinito geometrijsko rastojanje R koje bi signal prešao da se
kretao kroz vakuum. Međutim, zbog prisustva atmosfere dolaze do izražaja uticaji
jonosfere I i troposfere T, zbog čega je:
0 ( , ) ( ) ( ) s s s
r r rc R t t I t T t
Primetimo da se geometrijsko rastojanje R odnosi na dužinu između položaja satelita u
trenutku emitovanja signala i položaja prijemnika u trenutku prijema signala. Da bi se
kompletirao funkcionalni model kodne pseudodužine potrebno je još uzeti u obzir
sledeće:
Položaj satelita u trenutku emitovanja signala računa se na osnovu podataka
navigacione poruke, što znači da nije apsolutno tačno poznat. Stoga se mora
3
predvideti i greška kodne pseudodužine E satelitskih efemerida u trenutku
emitovanja signala. Pošto se ta greška sporo menja, može se reći da ima istu
vrednost i u trenutku prijema signala.
Satelitski časovnici su visokostabilni i njihova greška se takođe sporo menja.
Stoga se može reći da je greška satelitskog časovnika u trenutku prijema signala
ista kao i u trenutku emitovanja signala.
Izmerena kodna pseudodužina opterećena je greškom M zbog višestruke
refleksije koja nastupa kada se direktni signal meša u prijemniku sa signalom
odbijenim od okolnih prirodnih i veštačkih reflektujućih površi.
Konačno, u funkcionalnom modelu mora biti prisutna i slučajna greška merenja
ε koja se nikada ne može u potpunosti izbeći.
Imajući u vidu ove napomene, kompletan funkcionalni model kodne pseudodužine
dobija sledeći oblik:
0 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s
r r r r r r PP t R t t E t c t t c t t I t T t M t t
Pošto se sada svi članovi modela odnose na istiniti trenutak prijema signala, eksplicitna
zavisnost od vremena se može izostaviti da bi se pojednostavila notacija. Definitivni
funkcionalni model kodnih pseudodužina u tom slučaju glasi:
0 0
s s s s s s s
r r r r r r PP R E c t c t I T M
Funkcionalni model
faznih pseudodužina
Fazna pseudodužina Φ u ciklusima dobija se po definiciji upoređenjem faze nosećeg
talasa prijemnika φr u trenutku prijema signala i faze nosećeg talasa satelita φs u trenutku
emitovanja signala:
( ) ( ) ( )s s s
r r rt t t N
Celi broj ciklusa N je inicijalno nepoznat, ali ostaje konstantan sve dok ne dođe do
eventualnog prekida prijema signala, zbog čega je prikazan kao nezavisan od vremena.
Pošto je faza jednaka proizvodu frekvencije i vremena, sledi:
( ) ( ) ( )r r rt ft t f t t t
( ) ( ) ( )s s st ft t f t t t
Odavde se za faznu pseudodužinu u ciklusima dobija:
( ) ( ) ( )s s s
r r rt f f t t f t t N
Množenje fazne pseudodužine u ciklusima talasnom dužinom λ daje faznu pseudodužinu
L u linearnim jedinicama. Ako se još uzme u obzir poznata veza c0 = λf, sledi:
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )s s s s
r r r rL t t c c t t c t t N
Postupajući dalje na potpuno isti način kao kod kodnih pseudodužina, dobija se sledeći
definitivni oblik funkcionalnog modela faznih pseudodužina:
0 0
s s s s s s s s
r r r r r r r LL R E c t c t I T N M
4
Očigledno je da su funkcionalni modeli kodnih i faznih pseudodužina veoma slični, što
je logično jer i jedan i drugi opisuju istu veličinu. Međutim, prisutne su i dve značajne
razlike:
U funkcionalnom modelu faznih pseudodužina jonosferski uticaj ima negativni
predznak. To je posledica činjenice da jonosfera utiče na prostiranje kodova i
nosećih talasa istim intenzitetom ali suprotnog smera. Drugim rečima, kodne
pseudodužine su zbog jonosferskog uticaja uvek duže, a fazne pseudodužine
kraće.
Funkcionalni model faznih pseudodužina sadrži dodatni član N (ceo broj
talasnih dužina) zbog toga što je merenje fazne razlike u prijemniku moguće
samo u okviru jedne talasne dužine.
Koordinate prijemnika Pošto funkcionalni model predstavlja matematičku vezu između izvršenih merenja i
nepoznatih parametara, može se postaviti pitanje gde su u funkcionalnim modelima
kodnih i faznih pseudodužina koordinate prijemnika koje upravo predstavljaju geodetski
interesantne veličine.
Nepoznate koordinate prijemnika implicitno su sadržane u geometrijskom rastojanju R.
Ako se sa Xr, Yr, Zr označe koordinate prijemnika u trenutku prijema signala, a sa Xs, Y
s,
Zs koordinate satelita u trenutku emitovanja signala, geometrijsko rastojanje iznosi:
2 2 2( ) ( ) ( )s s s s
r r r rR X X Y Y Z Z
Vrednosti pojedinih
članova funkcionalnog
modela
Kodne i fazne pseudodužine predstavljale bi u idealnim uslovima meru geometrijskog
rastojanja R između prijemnika i satelita. U realnosti je, međutim, prisutan čitav niz
poremećajnih uticaja koje smo morali uzeti u obzir prilikom formulisanja funkcionalnog
modela. Njihov intenzitet je varijabilan jer zavisi od mnogih faktora, ali se za neke
prosečne uslove može reći sledeće:
Uticaj greške efemerida E: Da bi se sračunale koordinate satelita u trenutku
emitovanja signala koriste se podaci o satelitskim efemeridama iz navigacione
poruke. Greška pseudodužine E pojavljuje se zbog toga što su podaci iz
navigacione poruke takođe opterećeni greškama jer su rezultat merenja i
računanja koja vrši kontrolni GPS segment. Ova greška iznosi oko 1 m kada se
koriste komercijalne efemeride koje su dostupne u realnom vremenu. Precizne
efemeride imaju mnogo veću tačnost, i u tom slučaju greška E iznosi 2 – 3 cm.
Greška časovnika prijemnika δtr: Kod savremenih GPS prijemnika greška
časovnika nikad ne prelazi vrednost od 1 ms. Međutim, problem je u tome što
se ona množi brzinom svetlosti, tako da odgovarajuća greška pseudodužine
dostiže 300 km.
Greška časovnika satelita δts: Za razliku od prijemnika, GPS sateliti su
opremljeni rubidijumskim i cezijumskim atomskim časovnicima visoke
preciznosti i stabilnosti. Osim toga, u navigacionoj poruci emituju se podaci o
koeficijentima kojima se može sračunati greška satelitskog časovnika. Pošto su
ti podaci takođe rezultat merenja i računanja kontrolnog GPS segmenta,
preostala greška časovnika iznosi manje od 5 ns, što nakon množenja brzinom
svetlosti daje grešku pseudodužine od 1 – 2 m.
Uticaj jonosfere I: Jonosferski uticaj zavisi od doba dana, godine, Sunčeve
aktivnosti, frekvencije talasa i vertikalnog ugla satelita u trenutku opažanja.
5
Kada je satelit u zenitu, greška pseudodužine usled uticaja jonosfere kreće se od
3 – 15 m. Za satelite blizu horizonta ovaj uticaj može biti 3 – 4 puta veći.
Uticaj troposfere T: Troposferski uticaj pre svega zavisi od stanja atmosfere
odnosno vrednosti temperature, atmosferskog pritiska i vlažnosti vazduha. Osim
toga, od značaja su i visina na kojoj je prijemnik, kao i vertikalni ugao satelita u
trenutku merenja. Kada je satelit u zenitu, greška pseudodužine usled uticaja
troposfere iznosi 1 – 2.5 m. Za satelite u blizini horizonta, greška može biti i do
10 puta veća.
Uticaj višestruke refleksije M: Zbog odbijanja GPS signala od okolnih prirodnih
i veštačkih površi, u prijemniku dolazi do mešanja direktnih i reflektovanih
talasa, zbog čega je izmerena pseudodužina opterećena određenom greškom.
Ovaj uticaj nije isti za kodne i fazne pseudodužine. Kod kodnih pseudodužina je
greška usled višestruke refleksije 1 – 2 m u normalnim okolnostima. Greška
faznih pseudodužina teorijski može iznositi najviše četvrtinu talasne dužine,
odnosno oko 5 cm.
Slučajna greška merenja ε: Merenje vremena puta signala i fazne razlike obavlja
se u posebnim digitalnim filterima prijemnika, i to je proces kojeg prate
neizbežne slučajne greške. Elektronske komponente prijemnika omogućuju
tačnost merenja sa greškom manjom od 1% od talasne dužine. To znači da je
slučajna greška merenja kodne pseudodužine oko 2 – 3 m, dok je kod fazne
pseudodužine 2 – 3 mm.
6
Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA
Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević
2. Predavanje
ODREĐIVANJE POLOŽAJA GPS SATELITA
Keplerovi orbitalni
parametri
Kao što je poznato, opšte rešenje vektorske diferencijalne jednačine drugog reda koja
opisuje neporemećeno satelitsko kretanje zavisi od šest konstanti integracije. Njihov
izbor nije jedinstven. To, na primer, mogu biti elementi vektora položaja i brzine satelita
u određenom trenutku vremena. Međutim, iz teorije diferencijalnih jednačina poznato je
da jedan skup integracionih konstanti može zameniti drugi, pod uslovom da između ovih
skupova postoji obostrano jednoznačna veza.
Alternativni i geometrijski mnogo očigledniji skup integracionih konstanti predstavljaju
Keplerovi elementi. Pet Keplerovih elemenata definiše veličinu, oblik i orijentaciju
satelitske orbite, dok šesti određuje mesto satelita na putanji. Na taj način je fiksirano
svih šest stepeni slobode kretanja, tako da se uz pomoć Keplerovih elemenata mogu
odrediti položaj i brzina satelita za bilo koji trenutak vremena.
Slika 2.1. Ilustracija geometrijskog karaktera Keplerovih parametara.
Slika 2.1 prikazuje orbitu satelita S u inercijalnom referentnom sistemu sa početkom u
centru mase Zemlje, i istovremeno ilustruje geometrijski karakter Keplerovih elemenata.
Prva dva elementa određuju oblik i veličinu eliptične putanje. To su velika poluosa elipse
a i ekscentricitet e. Umesto njih se ravnopravno mogu upotrebiti kombinacije sa drugim
parametrima kao što su mala poluosa b, parametar p ili spljoštenost f, ali pod uslovom da
u izabranom paru barem jedan element ima dimenzije dužine.
Sledeća tri Keplerova elementa, inklinacija i, rektascenzija uzlaznog čvora Ω i argument
perigeuma ω, definišu orijentaciju orbitalne ravni u inercijalnom prostoru, odnosno
7
orijentaciju eliptične putanje u orbitalnoj ravni. Ove veličine imaju sledeća značenja:
Inklinacija i je ugao pod kojim je orbitalna ravan nagnuta u odnosu na ravan
ekvatora.
Rektascenzija uzlaznog čvora Ω predstavlja ugao u ravni ekvatora između
pravca ka γ tački (x osa inercijalnog sistema) i pravca ka uzlaznom čvoru
satelitske orbite. Uzlazni čvor je tačka u kojoj satelit prolazi kroz ekvatorsku
ravan pri svom kretanju iz južne prema severnoj hemisferi. Odgovarajuća tačka
na suprotnoj strani zove se silazni čvor. Uzlazni i silazni čvor definišu
takozvanu nodalnu liniju.
Argument perigeuma ω je ugao u orbitalnoj ravni između pravca ka uzlaznom
čvoru i pravca ka perigeumu P. Perigeum je tačka orbite u kojoj je satelit
najbliži Zemlji. Tačka u kojoj je satelit najudaljeniji od Zemlje zove se
apogeum. Perigeum i apogeum definišu duž koja prolazi kroz geometrijski
centar Keplerove elipse i naziva se apsidnom linijom.
Poslednji od šest Keplerovih elemenata određuje položaj satelita na putanji. To je prava
ili istinita anomalija ν, koja se definiše kao ugao u orbitalnoj ravni između pravca ka
perigeumu P i pravca ka satelitu S. Potrebno je primetiti da perigeum kod kružnih orbita
nije definisan, pa samim tim nije ni prava anomalija. Položaj satelita je u tom slučaju
određen uglom u = ω + ν koji se naziva argumentom širine. Osim toga, umesto prave ili
istinite anomalije ravnopravno se može koristiti i ekscentrična anomalija E ili srednja
anomalija M. Od sve tri pomenute, jedino se srednja anomalija menja linearno sa
vremenom.
Sadržaj navigacione
GPS poruke
Keplrovi elementi, sa izuzetkom srednje anomalije, imaju konstantne vrednosti tokom
vremena, ali to važi samo za neporemećeno satelitsko kretanje. U realnim uslovima
postoji još čitav niz poremećajnih sila koje utiču na kretanje satelita. Zbog toga se
aktuelno satelitsko kretanje mora opisivati i dodatnim parametrima koji definišu
promene Keplerovih elemenata tokom vremena.
Rešenje koje je usvojeno pri dizajnu NAVSTAR sistema podrazumeva sledeći sadržaj
navigacione poruke:
t0e: referentni trenutak vremena satelitskih efemerida na koji se odnose svi
Keplerovi elementi,
a1/2
: kvadratni koren velike poluose satelitske orbite,
e: prvi numerički ekscentricitet satelitske orbite,
i0: inklinacija satelitske orbite u referentnom trenutku vremena,
Ω0: longituda uzlaznog čvora satelitske orbite u referentnom trenutku vremena,
u odnosu na položaj Griničkog meridijana na početku aktuelne GPS nedelje,
ω: argument perigeuma satelitske orbite,
M0: srednja anomalija GPS satelita u referentnom trenutku vremena,
di/dt: brzina promene inklinacije satelitske orbite,
: brzina promene rektascenzije uzlaznog čvora satelitske orbite,
Δn: korekcija srednjeg kretanja satelita,
Crc, Crs: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije rastojanja do satelita,
Cuc, Cus: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije argumenta širine,
Cic, Cis: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije inklinacije satelitske
orbite.
8
Računanje položaja GPS
satelita u proizvoljnom
trenutku vremena
Računanje položaja GPS satelita u proizvoljnom trenutku vremena t vrši se pomoću
podataka navigacione poruke u sledećim koracima:
Vremensko udaljenje tk od referentnog trenutka vremena:
0k et t t
Popravljeno srednje kretanje satelita n (pri čemu je vrednost geocentrične
gravitacione konstante GM poznata):
3
GMn n
a
Srednja anomalija Mk:
0k kM M n t
Ekscentrična anomalija Ek iterativnim rešavanjem Keplerove jednačine:
sink k kE M e E
Prava anomalija νk:
1
tan tan2 1 2
k kEe
e
Približna vrednost argumenta širine φk:
k k
Korekcija za rastojanje do satelita δrk:
cos(2 ) sin(2 )k rc k rs kr C C
Korekcija za argument širine δuk:
cos(2 ) sin(2 )k uc k us ku C C
Korekcija za inklinaciju orbite δik:
cos(2 ) sin(2 )k ic k is ki C C
Korigovano rastojanje do satelita rk:
(1 cos )k k kr a e E r
Korigovani argument širine uk:
k k ku u
9
Korigovana inklinacija orbite ik:
0k k k
dii i t i
dt
Korigovana longituda uzlaznog čvora Ωk (pri čemu je vrednost uglovne brzine
rotacije Zemlje poznata):
0 0( )k e k e et t
Koordinate satelita u orbitalnom sistemu x0, y0, z0:
0
0
0
cos
sin
0
k k
k k
x r u
y r u
z
Koordinate satelita u sistemu WGS84:
84 0 0
84 0 0
84 0
cos cos sin
sin cos cos
sin
WGS k k k
WGS k k k
WGS k
x x y i
y x y i
z y i
Objašnjenje za računanje
longitude uzlaznog čvora
Parametar Ω0 koji je dat u okviru navigacione GPS poruke predstavlja longitudu
uzlaznog čvora satelitske orbite u referentnom trenutku vremena, u odnosu na položaj
Griničkog meridijana na početku aktuelne GPS nedelje. On se dakle može prikazati kao:
0 0 0( ) ( )et t
gde Ω(t0e) označava rektascenziju uzlaznog čvora u referentnom trenutku vremena, dok
je θ(t0) časovni ugao Griničkog meridijana u trenutku početka aktuelne GPS nedelje.
Sledi da je longituda uzlaznog čvora u proizvoljnom trenutku vremena t jednaka:
0 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
k
e k e e k
e k e e
t t
t t t t t
t t
Korekcija položaja
satelita zbog rotacije
Zemlje
Iako se već opisanim algoritmom dobijaju koordinate GPS satelita u trenutku emitovanja
signala, potrebno je napomenuti da se te koordinate odnose na referentni sistem WGS84
u istom tom trenutku. Međutim, dok signal putuje prema anteni na Zemljinoj površi,
referentni sistem WGS84 će se zarotirati zajedno sa Zemljom za neki mali ugao i u
trenutku prijema signala zauzeće položaj koji nije identičan položaju koji je imao u
trenutku emitovanja signala. Da bi dužina između prijemnika i satelita mogla da se izrazi
u funkciji koordinata krajnjih tačaka, te koordinate moraju se odnositi na jedinstveni
koordinatni sistem. To znači da je WGS84 koordinate satelita u trenutku emitovanja
signala potrebno transformisati u referentni sistem WGS84 za njegov položaj u trenutku
prijema signala.
10
Ova transformacija lako se izvodi. Ako je xWGS84, t – τ vektor položaja satelita u sistemu
WGS84 za trenutak emitovanja signala t – τ, tada se vektor položaja satelita xWGS84, t koji
se odnosi na sistem WGS84 u trenutku prijema signala t dobija kao:
84, 3 84,( )WGS t e WGS t x R x
pri čemu matrica rotacija R3 ima oblik:
3
cos( ) sin( ) 0
( ) sin( ) cos( ) 0
0 0 1
e e
e e e
R
11
Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA
Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević
3. Predavanje
MODELI POPRAVAKA I STOHASTIČKI MODEL GPS MERENJA
Računanje popravke za
časovnik satelita
Časovnici smešteni u GPS satelitima pripadaju klasi atomskih oscilatora zasnovanih na
oscilatornim svojstvima atoma nekih elemenata. U svakom GPS satelitu nalaze se dva
rubidijumska i dva cezijumska časovnika od kojih se jedan (obično cezijumski)
proglašava glavnim, dok ostali služe kao rezerva. MeĎutim, iako ih odlikuje visoka
preciznost i odlična dugoročna stabilnost, ni atomski časovnici nisu apsolutno tačni.
Tokom postupka odreĎivanja satelitskih orbita, kontrolni GPS segment ocenjuje za svaki
satelit i koeficijente kvadratnog polinoma, af0, af1, af2, pomoću kojih se može izračunati
odstupanje pokazivanja njegovog časovnika od sistemskog GPS vremena za proizvoljni
trenutak vremena. Ovi koeficijenti se zajedno sa referentnim trenutkom vremena t0c
smeštaju u navigacionu satelitsku poruku tako da su na raspolaganju u realnom vremenu.
Popravka satelitskog časovnika δts u proizvoljnom trenutku vremena t računa se onda po
izrazu:
2
0 1 0 2 0( ) ( ) ( )s
f f c f c rt t a a t t a t t t
pri čemu Δtr označava takozvanu periodičnu relativističku popravku časovnika. Imajući
u vidu činjenicu da su polinomski koeficijenti rezultat ocenjivanja na osnovu merenja,
jasno je da ukupna popravka časovnika satelita ne može biti apsolutno tačna. Tačnost
ove popravke procenjuje se na 2 – 3 ns što je u linearnim jedinicama manje od 1 m.
Računanje relativističke
popravke
Kod razmatranja vremena koje pokazuju časovnici GPS satelita moraju se uzeti u obzir
efekti teorije relativiteta, i to iz sledeća dva razloga:
GPS sateliti se kreću relativno velikim brzinama od oko 4 km/s, zbog čega
njihovi časovnici pokazuju vreme koje sporije teče u odnosu na časovnik na
Zemljinoj površi.
GPS sateliti se s druge strane kreću u polju višeg gravitacionog potencijala,
zbog čega njihovi časovnici pokazuju vreme koje brže teče u odnosu na
časovnik na Zemljinoj površi.
Oba navedena efekta imaju konstantne vrednosti za kružnu satelitsku orbitu. Ovaj
konstantni deo uzima se u obzir na taj način što se frekvencija satelitskog oscilatora
postavlja na nešto nižu vrednost pre lansiranja satelita. Pošto su orbite GPS satelita
eliptične, oni će periodično menjati svoje rastojanje do Zemlje, tako da se periodični
relativistički efekat može izračunati po izrazu:
sinrt Fe a E
Konstanta F ima vrednost – 4.44280763310-10
, e je prvi numerički ekscentricitet
satelitske orbite, a je velika poluosa orbite, a E je ekscentrična anomalija. Rezultat za
relativističku popravku časovnika satelita dobija se u sekundama i može se smatrati
tačnim.
12
Računanje popravke za
jonosfersku refrakciju
Jonosfera je disperzivna sredina za radio talase koje koristi GPS, tako da je još u fazi
dizajna NAVSTAR sistema bilo predviĎeno da GPS sateliti emituju signale na dve
frekvencije. Kombinacijom merenja izvršenih na dve frekvencije moguće je gotovo u
potpunosti eliminisati uticaj jonosferskog kašnjenja signala, ali je za to naravno potrebno
vršiti merenja dvofrekventnim GPS prijemnikom. Korisnici koji su opremljeni samo
jednofrekventnim GPS prijemnicima još uvek mogu svoja merenja korigovati zbog
jonosferske refrakcije koristeći podatke iz satelitske navigacione poruke. Ti podaci
sastoje se od ukupno 8 koeficijenata αi, βi (i = 0, .. 3) pomoću kojih se računaju
amplituda AMP i period PER jonosferskog kašnjenja u zenitnom pravcu:
3
0
3
0
AMP
PER
i
i m
i
i
i m
i
pri čemu φm označava geomagnetsku širinu tačke kroz koju signali prodiru kroz
jonosferu. Jonosfersko kašnjenje u proizvoljnom pravcu dobija se pomoću funkcije
zenitnog odstojanja ili vertikalnog ugla pod kojim signal dospeva u prijemnik. Postupak
po kojem se računa jonosfersko kašnjenje signala zove se model KLOBUCHAR po
svom autoru.
Model KLOBUCHAR čije koeficijente sadrži navigaciona poruka formulisan je tako da
odražava prosečne jonosferske uticaje tokom cele godine i za celu Zemljinu kuglu. Zbog
toga se ovim modelom ne može eliminisati ukupan uticaj jonosferske refrakcije.
Procenjeno je da se modelom KLOBUCHAR može u najboljem slučaju obuhvatiti oko
50% jonosferskog kašnjenja signala.
Računanje popravke za
troposfersku refrakciju
Za razliku od jonosfere, troposfera nije disperzivna sredina za radio talase koje koristi
GPS, tako da njihova brzina zavisi samo od atmosferskih parametara: temperature
vazduha, atmosferskog pritiska i vlažnosti (parcijalnog pritiska vodene pare). S obzirom
na to da se atmosferski parametri mogu direktno meriti ili procenjivati na lokaciji na
kojoj se nalazi GPS prijemnik, u satelitskoj navigacionoj poruci nisu predviĎeni nikakvi
podaci u vezi troposferske refrakcije.
Uticaj troposferskog kašnjenja signala može se izračunati po raznim modelima, ali su u
najčešćoj upotrebi model SAASTAMOINEN i model HOPFIELD nazvani po svojim
autorima.
Uticaj troposferske refrakcije za pseudodužinu koja je merena u pravcu zenita (Tz0)
razdvaja se na komponentu troposferskog uticaja suvih atmosferskih gasova (Tz,d) i
komponentu troposferskog uticaja vodene pare (Tz,w):
Tz0 = Tz,d + Tz,w
Suva komponenta po pravilu zavisi od temperature (T) i atmosferskog pritiska (P), dok
dominantni uticaj u vlažnoj komponenti ima parcijalni pritisak vodene pare (e).
Troposferske komponente računaju se po modelu SAASTAMOINEN sledećim
formulama:
13
,
,
0.002277(1 0.0026cos 0.00028 )
12550.002277 0.05
z d
z w
T H P
T eT
pri čemu φ označava geodetsku širinu stanice, H je visina stanice u (km) P je atmosferski
pritisak na stanici u (mbar), T je temperatura vazduha na stanici u (0K), i e je parcijalni
pritisak vodene pare na stanici u (mbar). Rezultati se dobijaju u metrima.
Komponente troposferske refrakcije po modelu HOPFIELD račinaju se u skladu sa
sledećim formulama:
6
,
, 2
77.6 105
0.3735
d
z d
w
z w
hPT
T
heT
T
pri čemu je hd referentna visina za suvu komponentu i iznosi 43000 m, hw je referentna
visina za vlažnu komponentu i iznosi 12000 m, a ostale oznake i njihove jedinice već su
definisane u modelu SAASTAMOINEN. Rezultati se dobijaju u metrima.
Većina drugih modela pored modela SAASTAMOINEN i HOPFIELD takoĎe definiše
troposfersko kašnjenje signala samo u zenitnom pravcu. MeĎutim, pseudodužina po
pravilu nije u pravcu zenita već se odnosi na satelit koji je pod zenitnim odstojanjem z u
odnosu na stanicu. Uticaj troposferske refrakcije za takvu pseudodužinu (Tz) može se
dobiti na razne načine, ali je najjednostavnije da se zenitna vrednost (Tz0) podeli
kosinusom zenitnog odstojanja:
0
cos
z
z
TT
z
Modeli SAASTAMOINEN i HOPFIELD kao i parametri na osnovu kojih se vrši
računanje ne mogu biti apsolutno tačni, tako da i popravka za troposfersko kašnjenje
signala ima odreĎenu nesigurnost. Suva komponenta troposferske refrakcije ne
predstavlja problem i može se odrediti sa milimetarskom tačnošću (1 – 2 mm). MeĎutim,
vlažna komponenta ne može tako lako da se modelira sa visokim kvalitetom jer su
sadržaj i prostorni raspored vodene pare u atmosferi veoma varijabilni. Stoga se
procenjuje da je standardna devijacija ukupne popravke za troposfersko kašnjenje signala
na nivou od 0.5 – 1 cm.
Stohastički model GPS
merenja
Pod stohastičkim modelom GPS merenja podrazumeva se opis stohastičkih osobina
izmerenih kodnih i faznih pseudodužina. Njihove greške obično se smatraju slučajnim,
centriranim i normalno rasporeĎenim. U tom slučaju, za konstrukciju stohastičkog
modela dovoljno je poznavati disperzije ili standardne devijacije GPS merenja.
Samo merenje kodnih i faznih pseudodužina u prijemniku obavlja se u filterima čije
performanse zavise pre svega od snage signala. MeĎutim, snaga signala je u direktnoj
vezi sa zenitnim odstojanjem ili vertikalnim uglom pod kojim dospeva u prijemnik. S
druge strane, atmosferski efekti (jonosferska i troposferska refrakcija) i efekti okruženja
(višestruka refleksija) utiču na tačnost pseudodužina takoĎe u skladu sa zenitnim
odstojanjem odnosno vertikalnim uglom. Zbog svega toga, principijeno je prihvaćeno da
standardna devijacija kodnih i faznih pseudodužina zavisi od zenitnog odstojanja z
14
odnosno vertikalnog ugla E po modelu:
0 0
cos sinz
z E
gde σ0 označava standardnu devijaciju u pravcu zenita, za koju se može usvojiti vrednost
0.5 – 1 m za kodne pseudodužine i 0.5 – 1 cm za fazne pseudodužine.
15
Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA
Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević
4. Predavanje
FREKVENCIJSKE KOMBINACIJE GPS MERENJA
Definicija frekvencijskih
kombinacija
Kao što je poznato, GPS sateliti emituju signale na dve frekvencije, tako da odgovarajući
dvofrekventni GPS prijemnik može simultano izmeriti kodnu i faznu pseudodužinu na
svakoj od frekvencija. Funkcionalni modeli na primeru faznih pseudodužina glase:
1 1 1 1
2 2 2 2
L I N
L I N
pri čemu je sa ρ označeno geometrijsko rastojanje opterećeno svim nedisperzivnim
članovima (greška časovnika prijemnika i satelita, i uticaj troposferske refrakcije). Radi
jednostavnosti, u modelu nisu prikazani efekti slučajnih grešaka merenja i višestruke
refleksije koji su u svakom slučaju prisutni. Donji indeks svih prikazanih članova modela
označava frekvenciju.
Pod frekvencijskom kombinacijom Lc podrazumeva se linearna kombinacija faznih
pseudodužina L1 i L2:
1 2cL aL bL
gde a i b predstavljaju realne koeficijente. Očigledno je da se može formirati beskonačno
mnogo frekvencijskih kombinacija variranjem koeficijenata. Potrebno je, međutim,
formirati samo linearne kombinacije koje su pogodne za dalju matematičku obradu, što
znači jedno od sledećeg:
Da linearna kombinacija ne sadrži neki od uticaja (kao što je jonosferska ili
troposferska refrakcija), ili da su oni svedeni na najmanju moguću meru,
Da linearna kombinacija omogućava lakše i pouzdanije rešavanje faznih
neodređenosti,
Da je linearna kombinacija pogodna u pogledu tačnosti.
Inače, iako su u ovom slučaju za primer uzete fazne pseudodužine na dve frekvencije,
linearne kombinacije se na potpuno isti način mogu formirati i za kodne pseudodužine. U
nastavku će biti prikazane četiri najčešće korišćene frekvencije ske kombinacije.
Frekvencijska
kombinacija LIF
Frekvencijska kombinacija pod nazivom LIF (IONO FREE) dobija se sledećim izborom
koeficijenata:
2
1
2 2
1 2
2
2
2 2
1 2
fa
f f
fb
f f
pri čemu f1 i f2 označavaju frekvencije čije su brojne vrednosti poznate (oko 1.5 GHz i
16
1.2 GHz respektivno). Imajući u vidu da je jonosfera disperzivna sredina, između
jonosferskih uticaja na prvoj i drugoj frekvenciji, I1 i I2, postoji sledeća veza:
2
1
2 12
2
fI I
f
Sada se funkcionalni model frekvencijske kombinacije LIF dobija kao:
2 2
1 2
1 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
1 1 2 22 2 2 2
1 2 1 2
IF
f fL L L
f f f f
f fN N
f f f f
Ova frekvencijska kombinacija očigledno je pogodna zbog toga što ne sadrži uticaj
jonosferske refrakcije (odakle joj i potiče ime). Kada se uzme u obzir činjenica da je
jonosferska refrakcija dominantni izvor grešaka GPS merenja, to čini frekvencijsku
kombinaciju LIF glavnim kandidatom za matematičku obradu u najvećem broju
softverskih paketa. Nedostatak frekvencijske kombinacije LIF sastoji se u tome što
odgovarajuće fazne neodređenosti više nisu celi brojevi tako da je otežano ocenjivanje
njihovih tačnih vrednosti.
Frekvencijska
kombinacija LGF
Frekvencijska kombinacija pod nazivom LGF (GEOMETRY FREE) dobija se sledećim
izborom koeficijenata:
1
1
a
b
Pomoću njih se funkcionalni model frekvencijske kombinacije LGF dobija kao:
1 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1 2
1 1 1 2 22
2
GFL L L
I I N N
f fI N N
f
U ovoj frekvencijskoj kombinaciji nema geometrijskog rastojanja (odakle potiče ime),
niti bilo kakvih nedisperzivnih uticaja. Zbog toga se kombinacija LGF ne može koristiti
za pozicioniranje odnosno ocenjivanje koordinata tačaka. Isto tako, iz funkcionalnog
modela se vidi da je jonosferski uticaj prisutan, ali je zbog koeficijenta kojim se množi
znatno redukovan. S druge strane, fazne neodređenosti su celi brojevi tako da je olakšano
ne samo ocenjivanje njihovih tačnih vrednosti, već i njihove nagle promene zbog prekida
prijema signala (fazni skokovi).
Frekvencijska
kombinacija LWL
Frekvencijska kombinacija pod nazivom LWL (WIDE LANE) dobija se sledećim izborom
koeficijenata:
1
1 2
2
1 2
fa
f f
fb
f f
17
Funkcionalni model frekvencijske kombinacije LWL dobija se sada kao:
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
01
1 1 2
2 1 2
1
1
2
( )
WL
WL WL
f fL L L
f f f f
f f f fI I N N
f f f f f f f f
cfI N N
f f f
fI N
f
U izvođenju ovog izraza iskorišćena je poznata veza c0 = λf. Frekvencijska kombinacija
LWL očigledno sadrži jonosferski uticaj koji je još pri tome nešto povećan zbog
koeficijenta kojim se množi. S druge strane, fazne neodređenosti NWL su celi brojevi jer
se dobijaju kao razlika celih brojeva. Najznačajnija prednost ove frekvencijske
kombinacije je međutim njena relativno velika talasna dužina λWL = 86 cm po kojoj je i
dobila ime, i zbog koje je znatno olakšano rešavanje faznih neodređenosti.
Frekvencijska
kombinacija LNL
Frekvencijska kombinacija pod nazivom LNL (NARROW LANE) dobija se sledećim
izborom koeficijenata:
1
1 2
2
1 2
fa
f f
fb
f f
Funkcionalni model frekvencijske kombinacije LNL dobija se sada kao:
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
01
1 1 2
2 1 2
1
1
2
( )
WL
NL NL
f fL L L
f f f f
f f f fI I N N
f f f f f f f f
cfI N N
f f f
fI N
f
Frekvencijska kombinacija LNL sadrži jonosferski uticaj koji je nešto povećan kao i kod
frekvencijske kombinacije LWL. S druge strane, fazne neodređenosti NNL su celi brojevi
jer se dobijaju kao zbir celih brojeva. Najznačajnija karakteristika ove frekvencijske
kombinacije je međutim njena mala talasna dužina λNL = 11 cm, odakle joj i potiče ime, i
zbog koje je znatno otežano rešavanje faznih neodređenosti tako da se ona obično ne
koristi za precizno pozicioniranje.
Opšta svojstva
frekvencijskih
kombinacija
Navedene frekvencijske kombinacije karakterišu razna svojstva na osnovu kojih se može
suditi o njihovoj pogodnosti za geodetsko pozicioniranje. Najvažnija su: talasna dužina,
tačnost (relativno u odnosu na tačnost faznih pseudodužina na prvoj frekvenciji) i
prisustvo jonosferskog uticaja (relativno u odnosu na jonosferski uticaj fazne
18
pseudodužine na prvoj frekvenciji).
U narednoj tabeli prikazani su svi ovi parametri, kako za originalna fazna merenja na
prvoj i drugoj frekvenciji, tako i za frekvencijske kombinacije. Prilikom računanja
standardne devijacije frekvencijske kombinacije pretpostavljena je ista tačnost za
originalan fazna merenja na obe frekvencije:
2 2 2 2 2 2
1 2 1c a b a b
Frekvencijska
kombinacija
Talasna dužina
(cm)
Standardna devijacija
(u odnosu na L1)
Jonosferski uticaj
(u odnosu na L1)
L1 19 1.0 1.0
L2 24 1.0 1.6
LIF 0 3.0 0.0
LGF ∞ 1.4 0.6
LWL 86 5.7 1.3
LNL 11 0.6 1.3
19
Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA
Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević
5. Predavanje
APSOLUTNO GPS POZICIONIRANJE
Neophodne definicije Pod pozicioniranjem tačaka ili objekata podrazumeva se određivanje njihovih položaja.
U zavisnosti od posmatranog prostora, pozicioniranje može biti jednodimenzionalno
(1D), dvodimenzionalno (2D) i trodimenzionalno (3D).
Pozicioniranje odnosno određivanje položaja tačaka ili objekata vrši se po pravilu
računanjem (ocenjivanjem) njihovih koordinata. Ako su to koordinate u odnosu na
koordinatni početak koordinatnog sistema, pozicioniranje se naziva apsolutnim. Kada se
ocenjuju koordinate jedne tačke u odnosu na neku drugu (određivanje koordinatnih
razlika) radi se o relativnom pozicioniranju.
Da bi se ocenjivale koordinate tačaka ili objekata bilo u apsolutnom ili u relativnom
režimu, neophodna su merenja. Koordinate ili koordinatne razlike se po pravilu ne mere
direktno jer ne postoje merni uređaji sposobni za tako nešto. Umesto toga mere se
skalarne veličine kao što su uglovi ili dužine, koji su sa koordinatama ili koordinatnim
razlikama funkcionalno povezani.
GPS prijemnik meri kodne (P) i fazne (L) pseudodužine između svoje antene i antene
satelita. U jednoj epohi vremena, GPS prijemnik izvrši merenja do svih elektronski
vidljivih satelita. Ako je ukupan broj elektronski vidljivih satelita n, skup merenja u
jednoj epohi predstavljaće u opštem slučaju ukupno 4n kodnih i faznih pseudodužina na
obe frekvencije:
1
1 1
1
2 2
1
1 1
1
2 2
,..,
,..,
,..,
,..,
n
n
n
n
P P
P P
L L
L L
kada se merenja vrše dvofrekventnim prijemnicima, odnosno 2n kodnih i faznih
pseudodužina na jednoj frekvenciji:
1
1 1
1
1 1
,..,
,..,
n
n
P P
L L
kada se merenja vrše jednofrekventnim prijemnicima. Odgovarajuće GPS pozicioniranje
se naravno naziva dvofrekventnim ili jednofrekventnim.
Pored toga, u zavisnosti od vrste pseudodužine koja se koristi, GPS pozicioniranje može
još biti kodno ili fazno, mada je uobičajeno da se koriste obe vrste simultano.
Konačno, GPS pozicioniranje se može podeliti na statičko i kinematičko. Kod statičkog
pozicioniranja prijemnik je stacionaran i stoji na tački dok se pseudodužine mere i
memorišu. Računanje u svrhu određivanja koordinata vrši se naknadno. Kinematičko
20
pozicioniranje je pozicioniranje dok je prijemnik u pokretu, ili se na tački zadržava
veoma kratko vreme. U ovom slučaju su koordinate po prirodi stvari potrebne u realnom
vremenu tako da se i računanje vrši na licu mesta. Moguće je, međutim, isto tako
memorisati rezultate merenja, a onda koordinate tačaka određivati naknadnom
matematičkom obradom.
U nastavku će radi ilustracije biti prikazan način apsolutnog pozicioniranja pomoću
kodnih pseudodužina izmerenih na jednoj frekvenciji i u jednom trenutku vremena.
Ovakav način trenutnog pozicioniranja u realnom vremenu naziva se navigacionim
rešenjem, i omogućen je softverski kod svakog GPS prijemnika.
Matematički model
apsolutnog pozicioniranja
Ako su jednofrekventne kodne pseudodužine izmerene u nekom trenutku vremena t na
stanici A prema n elektronski vidljivih satelita, njihov funkcionalni model glasiće:
0 0 ,
k k k k k k k k
A A A A A A P AP R E c t c t I T M
pri čemu je k oznaka satelita (k = 1,..,n), dok su ostale oznake već poznate. Za svaku
izmerenu pseudodužinu moguće je sračunati sledeće:
Uticaj greške časovnika odgovarajućeg GPS satelita pomoću podataka iz
navigacione poruke,
Uticaj jonosferske refrakcije po modelu KLOBUCHAR pomoću podataka iz
navigacione poruke,
Uticaj troposferske refrakcije pomoću nekog od troposferskih modela kao što su
SAASTAMOINEN ili HOPFIELD.
U tom slučaju se funkcionalni model dobija u jednostavnijem obliku:
0 0 ,
k k k k k k k
A A A A A A AP c t I T R c t
samo što je neophodno napomenuti da sada član ε ne predstavlja samo slučajnu grešku
merenja kodne pseudodužine, već sadrži i uticaj usled greške efemerida, preostale
nemodelirane uticaje jonosferske i troposferske refrakcije i uticaj višestruke refleksije.
Merena kodna pseudodužina koja je popravljena za sve nabrojane uticaje obeležena je
oznakom ρ.
S obzirom na to da su koordinate stanice A sadržane u geometrijskom rastojanju R, iz
funkcionalnog modela se vidi da on sadrži ukupno 4 nepoznate veličine: tri koordinate
tačke A (xA, yA, zA) i jednu grešku časovnika prijemnika (δtA). To je razlog zbog kojeg je
za GPS pozicioniranje neophodno najmanje 4 elektronski vidljivih satelita.
Stohastički model izmerenih kodnih pseudodužina formira se računanjem njihovih
standardnih devijacija. Po pravilu, standardne devijacije formulišu se u funkciji zenitnog
odstojanja odgovarajućeg satelita:
0
,cos
k
A kz
gde ζ0 označava standard kodne pseudodužine u pravcu zenita, za koji se može uzeti
vrednost od oko 1 m.
21
Linearizacija
funkcionalnog modela
Nepoznate koordinate stanice A sadržane su u geometrijskom rastojanju R, ali u
nelinearnom obliku:
2 2 2( ) ( ) ( )k k k k
A A A AR x x y y z z
sa napomenom da se koordinate satelita računaju pomoću podataka iz navigacione
poruke koji se odnose na trenutak emitovanja signala tk. Do tog trenutka vremena može
se doći pomoću izraza:
0
kk At t
c
Pored toga, sračunate koordinate satelita potrebno je još popraviti za efekat rotacije
Zemlje (Sanjakov efekat).
Nepoznata greška časovnika prijemnika δtA već je u linearnom obliku. Da bi se izbegli
numerički problemi obično se uvodi zamena u koja podrazumeva proizvod sa brzinom
svetlosti tako da je izražena u linearnim jedinicama:
0A Au c t
Prema tome, nelinearizovane funkcije veze imaju oblik:
2 2 2
,( ) ( ) ( )k k k k k
A A A A A Ax x y y z z u
Da bi se ove funkcije veze linearizovale potrebne su približne vrednosti nepoznatih
koordinata stanice x0, y0, z0. Za približnu vrednost greške časovnika prijemnika u0 može
se usvojiti nula. U tom slučaju, razvoj u Tejlorov red sa zadržanim linearnim članovima
daje:
,0 ,
0 0 0 0
k k k k
k k kA A A A
A A A A A A A
A A A A
dx dy dz dux y z u
pri čemu približna vrednost pseudodužine i priraštaji nepoznatih veličina imaju sledeći
oblik:
2 2 2
,0 0 0 0
0
0
0
0
( ) ( ) ( )k k k k
A
A A
A A
A A
A A
x x y y z z
dx x x
dy y y
dz z z
du u u
Parcijalni izvodi potrebni za linearizaciju glase:
22
0
,00
0
,00
0
,00
0
1
kk
A
k
A A
kk
A
k
A A
kk
A
k
A A
k
A
A
x x
x
y y
y
z z
z
u
Može se primetiti da parcijalni izvodi po koordinatama stanice A predstavljaju ustvari
komponente jediničnih vektora ek usmerenih od stanice prema svakom satelitu do kojeg
su izvršena merenja.
Ocenjivanje nepoznatih u
modelu izravnanja
Da bi se izvršilo ocenjivanje nepoznatih koordinata i greške časovnika prijemnika koristi
se formalizam metode najmanjih kvadrata. U tu svrhu potrebno je formirati matricu
dizajna A, vektor slobodnih članova f i kovarijacionu matricu merenja C. Njihov oblik je
sledeći:
1 1 1
0 0 01 T
2 2 2
2 T
0 0 0
T
0 0 0
1
( ) 1
1 ( ) 1
... ...... ... ... ...
( ) 1
1
A A A
A A A
A A A
A A A
n
n n n
A A A
A A A
x y z
x y z
x y z
e
eA
e
1 1
1,0
2 2
2,0
,0
......
A A
A A
n n
nA A
f
f
f
f
2
0
2 12
122022 2
2
2
0
2
0 ... 0cos
0 ... 0
0 ... 00 ... 0cos
... ... ... ...... ... ... ...
0 0 ...
0 0 ...cos
n
n
z
z
z
C
Dalji postupak podrazumeva računanje matrice normalnih jednačina N i vektora
slobodnih članova n:
T 1
T 1
N A C A
n A C f
23
Rešavanjem normalnih jednačina dobijaju se sledeći najvažniji rezultati primene metode
najmanjih kvadrata:
Vektor nepoznatih veličina:
1
A
A
A
A
dx
dy
dz
du
x N n
Vektor popravaka:
v Ax f
Standard jedinice težine:
2
2 T 11
04 4
ni
i i
v
n n
v C v
Kovarijaciona matrica nepoznatih veličina:
2
, , ,
2
, , , 2 1
02
, , ,
2
, , ,
dx dx dy dx dz dx du
dx dy dy dy dz dy du
x
dx dz dy dz dz dz du
dx du dy du dz du du
C N
Definitivne vrednosti nepoznatih koordinata stanice i greške časovnika prijemnika
dobijaju se naravno po izrazima:
0
0
0
0
A A
A A
A A
A A
x x dx
y y dy
z z dz
u u du
U opštem slučaju, može se smatrati da je tačnost ovako određenog položaja tačke na
nivou od nekoliko metara.
Kvalitet navigacionog
rešenja
Tačnost navigacionog rešenja zavisi od dva ključna faktora: tačnosti izmerenih kodnih
pseudodužina koju karakteriše standard jedinice težine ζ0 i geometrijske konstelacije
stanice i GPS satelita koju karakterišu dijagonalni članovi inverzije matrice normalnih
jednačina N. Kada bi se parametrizacija u funkcionalnom modelu izvršila ne po
pravouglim koordinatama stanice A već po njenim geografskim koordinatama φ, λ, h,
kovarijaciona matrica nepoznatih parametara imala bi oblik:
24
2
, , ,
2
, , , 2 1
02
, , ,
2
, , ,
d d d d dh d du
d d d d dh d du
x
d dh d dh dh dh du
d du d du dh du du
C N
U tom slučaju mogle bi da se definišu sledeće standardne devijacije:
Standardna devijacija horizontalnog položaja:
2 2
0H HDOP
Standardna devijacija visine:
2
0V h VDOP
Standardna devijacija prostornog položaja:
2 2 2
0P h PDOP
Standardna devijacija vremena:
2
0t u TDOP
Standardna devijacija navigacionog rešenja:
2 2 2 2
0G h u GDOP
Upotrebljene skraćenice imaju sledeća značenja:
HDOP: Horizontal Dilution of Precision
VDOP: Vertical Dilution of Precision
PDOP: Position Dilution of Precision
TDOP: Time Dilution of Precision
GDOP: General Dilution of Precision
Pojedine standardne devijacije biće očigledno tim manje što su manji DOP faktori. A oni
će biti manji ukoliko je broj satelita prema kojima se vrše merenja veći i ukoliko su oni
ravnomernije razmešteni i po visini i po horizontu.
Ostale kombinacije
apsolutnog pozicioniranja
U ostale kombinacije koje se koriste za apsolutno GPS pozicioniranje mogu se ubrojiti
još i slučajevi dvofrekventnih kodnih merenja, kao i jednofrekventnih i dvofrekventnih
faznih merenja:
U slučaju dvofrekventnih kodnih merenja može se postupiti kao i u slučaju
jednofrekventnih, a to je da se za svaku pseudodužinu formira funkcionalni i
stohastički model, a zatim primeni metod najmanjih kvadrata. Pošto u odnosu
na jednofrekventnu situaciju sada ima dvostruko više merenja može se očekivati
i nešto veća tačnost. Alternativa je da se na osnovu merenja na prvoj i drugoj
25
frekvenciji formiraju kombinacije oslobođene jonosferskog uticaja PIF pa da se
ocenjivanje koordinata vrši pomoći njih.
U slučaju jednofrekventnih faznih merenja, problem se sastoji u tome što se
pored koordinata stanice i greške časovnika prijemnika pojavljuju još i fazne
neodređenosti kao nepoznate veličine. Pošto njih ima onoliko koliko i satelita,
sledi zaključak da se faznim pseudodužinama ne može vršiti apsolutno GPS
pozicioniranje na osnovu merenja samo jedne epohe. Ako je dakle broj satelita
n, broj nepoznatih biće n + 4, tako da u slučaju neprekinutog signala broj epoha
merenja e može da se dobije iz uslova da je e > (n + 4)/n. Na primer, kada su
vidljiva 4 satelita, potrebne su najmanje dve epohe merenja.
Konačno, u slučaju kada se raspolaže dvofrekventnim faznim merenjima
najbolje je formirati kombinacije oslobođene jonosferske refrakcije i pomoću
njih ocenjivati koordinate u modelu izravnanja. U opštem slučaju korišćenje
bilo jednofrekventnih bilo dvofrekventnih faznih merenja ne obezbeđuje veću
tačnost u odnosu na kodne pseudodužine. To je uglavnom zbog toga što se
fazne neodređenosti ne mogu oceniti kao celi brojevi, i što je u slučaju faznih
pseudodužina broj suvišnih merenja veoma mali.