13. Układy z pętla sprzężenia fazowego PLL
13.1. Wstęp
Układy z pętlą sprzężenia fazowego PLL (phase-locked-loops) znajdujązastosowanie we wielu systemach elektronicznych i to zarównoanalogowych jak i cyfrowych. Z typowych zastosowań można wymienić układy :-synchronizacji,-dzielenia i powielania częstotliwości,- syntezy częstotliwości,- demodulacji.
Układy z pętla sprzężenia fazowego są układami nieliniowymi,jednakowoż w zakresie synchronizacji mogą być dostateczniedobrze opisane za pomocą liniowych równań różniczkowych.
Rys. 13.2.1.Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej
DFFDp A
VCO
uI(t) uD(t) uF(t)
uS(t)
uG(t)
[V/rad] [V/V] [V/V]
[rad/V]
13.2. Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej
uO(t)
uG(t) φG(t)
[rad]
[rad]
[V] [V][V]
[rad]
[V]
13.3. Zasada działania układu z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego :
• detektor fazy (DF) dokonuje porównania kątów fazowych sygnału wejściowego uI(t) oraz sygnału uG(t) z pomocniczego generatora przestrajanego napięciem VCO i wytwarza napięcie błędu uD(t) zależne od różnicy tych faz;
• po odfiltrowaniu składowych w.cz. sygnału błędu uD(t) przez filtr dolnoprzepustowy FDp i wzmocnieniu otrzymujemy wolnozmienny sygnał uS(t), który po podaniu na generator VCO przestraja go tak, aby różnica faz uległa zmniejszeniu. Sygnał uS(t) jest jednocześnie sygnałem wyjściowym uO(t);
• przez śledzenie fazy chwilowej sygnału wejściowego uS(t) uzyskujemy również śledzenie częstotliwości chwilowej tego sygnału przez sygnał generatora uG(t), czyli synchronizację częstotliwości generatora z częstotliwością sygnału.
Rozważmy sytuację, gdy na detektor fazy, pracujący jako układmnożący, zostały podane dwa przebiegi sinusoidalne :
uG(t) = UG cos[ω0 t + φG(t)] (13.3.1)uI(t) = UI sin[ω0 t + φI(t)]. (13.3.2)
Pulsacje chwilowe sygnałów uG(t) i uI(t) określają zależności :
ωI(t) = ω0 + d[φI(t)] /dt (13.3.3.) ωG(t) = ω0 + d[φG(t)] /dt (13.3.4)
Jeśli jako układ detektora fazy zastosujemy układ mnożący, sygnał wyjściowy z detektora fazy uD(t) wyraża się wówczas wzorem :
uD(t) = 1/2 kmUI UG {sin[φI(t) - φG(t)] + sin[2ω0 t + φI(t)+ φG(t)] }
gdzie : km - stała układu mnożącego (13.3.5)
Pierwszy składnik wyrażenia (13.3.5) jest sygnałem wolnozmiennym,natomiast drugi składnik ma widmo skupione wokół pulsacji 2ω0.
Z sygnału uD(t) należy zatem usunąć niepożądany składnik wielkiejczęstotliwości za pomocą filtru dolnoprzepustowego, otrzymując
uD(t) = 1/2 kmUI UG sin[φI(t) - φG(t)] = KΦ sin [Φ(t)]
Dla Φ(t) = const = Φ
uD(Φ) = KΦ sin Φ = UD max sin Φ
gdzie : KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,
Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy
(13.3.6)
(13.3.7)
Dla małych wartości Φ zależność (13.3.7) może być aproksymowanajako
uD(Φ) ≈ UD max Φ (13.3.8)
tzn. napięcie wyjściowe detektora fazy, dla małych wartości kątaΦ, jest w przybliżeniu wprost proporcjonalne błędu fazy Φ.To przybliżenie jest stosowane w analizie pętli PLL , zakładającejjej liniową pracę.
Należy podkreślić, że współczynnik proporcjonalności UD max zależyzarówno od amplitudy oscylatora UG jak i od amplitudy sygnałuwejściowego UI.
Równanie (13.3.7) opisuje charakterystykę detektora fazy, którajest funkcją sinusoidalną o okresie 2π, a jej nachylenie w punkcieΦ=0 ma współczynnik kΦ (rys.13.3.1)
Φ
uD
uDmax
-uDmax
π
-π
Rys.13.3.1. Charakterystyka detektora fazy.
arctg (kΦ)
Sygnał na wyjściu filtru dolnoprzepustowego, po odfiltrowaniu sygnału niepożądanego 2ω0, ma postać (funkcja korelacji sygnałów):
dtthK
tKtuKt
F
FDF
t
0
F
tsinK
h(t)*sinKth*)(u
gdzie : KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,KF - transmitancja filtru dolnoprzepustowego w paśmie
pracy pętli fazowej (KF 1), Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy h(t) = L-1 [H(s)] - odpowiedź impulsowa filtru o transmitancji H(s).
(13.3.9)
Jeśli obydwa sygnały są nieskorelowane (Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 0, cooznacza, że sygnał wejściowy jest sinusoidą, a sygnał z generatora – cosinusoidą) wówczas napięcie na wyjściu filtru będzie równe
Jeśli natomiast obydwa sygnały są w pełni skorelowane (Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 90o , co oznacza, że zarówno sygnał wejściowy jak i sygnał z generatora są sinusoidami) , wówczas napięcie na wyjściu filtru będzie równe
F F Φ m I G F
1u ( ) K K k U U K
2t
Fu ( ) 0t
W większości przypadków praktycznych w paśmie przenoszenia filtrudolnoprzepustowego KF = 1 i wówczas
F Φ m I G
1u ( ) K k U U
2t
(13.3.10)
(13.3.11)
Sygnał z wyjścia filtru dolnoprzepustowego jest wzmacnianyi podawany na wejście generatora VCO jako sygnał sterujący uS(t)
F F0
K sin ( )* K sin ( )t
Su t A K t h t A K t h t dt
(13.3.12)
Sygnał ten jest jednocześnie jednym z sygnałów wyjściowych pętli fazowej
uO(t) = uS(t) (13.3.13)
(wyjście to jest stosowane w detektorach sygnałów zmodulowanychczęstotliwościowo)
Pulsacja generatora VCO powinna być liniową funkcją napięciasterującego w całym zakresie częstotliwości pracy pętli fazowej (rys. 13.3.2)
ωG(t) = ω0 + KV uS(t) (13.3.14)
uS
ωG
ω0
Rys.13.3.2. Charakterystyka przestrajania generatora VCO
arctg(KV)
d[φG(t)] /dt = KV uS(t) = KV A [sin ( ) * h(t)]= FK K t
Podstawiając K = KV A KF KΦ , jako wzmocnienie pętli fazowejotrzymujemy ostateczne równanie opisujące związek pomiędzyfazą sygnału generatora VCO φG , a różnicą faz Φ(t) = φI(t) - φG(t) pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem z generatora VCO
d[φG(t)] /dt = { sin[ ( ) - (t)]* h(t)} I GK t dtthK t
0tsin
Powyższe równanie można zapisać w innej postaci
d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)]/dt - h(t)]*)([sin tK
= d[φI(t)]/dt - dtthK t
0tsin
(13.3.15)
(13.3.16)
(13.3.17)
Porównując zależność (13.3.11) z zależnością (13.3.4) i korzystającz zależności (13.3.9) otrzymujemy
V F0
K A K sin ( )t
K t h t dt
Dla Φ = (-π/2 do π/2 ) +/- 2π n - w pętli występuje ujemne sprzężeniezwrotne ( nachylenie charakterystyki detektora fazy jest dodatnie, zmniejszające błąd fazy Φ układu (pętla w synchronizacji)Dla Φ poza tym zakresem występuje dodatnie sprzężenie zwrotne(nachylenie charakterystyki detektora fazy jest ujemne), zwiększającebłąd fazy Φ ( pętla nie jest w synchronizacji)
Pętla PLL opisana równaniami (13.3.6) i (13.3.7) jest układem silnie nieliniowym z powodu nieliniowości charakterystyki detektorafazy. Nachylenie charakterystyki detektora uD = f(Φ) (rys.13.3.1)ulega nie tylko znacznym zmianom co do wartości (13.3.7) , leczrównież zmienia swój znak przy zmianie błędu fazy od Φ = - doΦ= + (rys. 13.3.1).
13.4. Pętla w stanie synchronizacji
13.4.1. Liniowy model pętli fazowej
Fazowa pętla sprzężenia zwrotnego jest układem silnie nieliniowymz powodu nieliniowości charakterystyki przejściowej detektora fazy.Jeśli założymy, że pracujemy w stanie synchronizacji
ωG(t) = ωI(t)
wówczas
φI(t) - φG(t) = Φ = const
(13.4.1.1)
(13.4.1.2)
W stanie synchronizacji
2
(13.4.1.3)
• napięcie wyjściowe z detektora fazy
D ΦU K
• sygnał sterujący generatorem VCO
S F D ΦU K AU AK
• zmieniona częstotliwość (pulsacja) generatora f
(bo KF=1 w paśmie pracy PLL)
ω = ω0 + KV US
(13.4.2.1)
(13.4.2.2)
(13.4.2.3)
13.4.2. Zakres trzymania
• pętla PLL jest w stanie synchronizmu z częstotliwością sygnału wejściowego fI, więc mamy :
• po uwzględnieniu zależności na US otrzymujemy :
• maksymalne napięcie wyjściowe detektora fazy U0 występuje
dla = π/2 i dla = , czemu odpowiada maksymalna możliwa do uzyskania zmiana częstotliwości generatora :
ωI = ω =ω0 + KV US
I 0
V ΦK K A
2
πAKK ΦVMAX0
(13.4.2.4)
(13.4.2.5)
(13.4.2.6)
• maksymalny zakres częstotliwości sygnału, dla którego układ PLL pozostaje w stanie synchronizmu wyraża się wzorem :
gdzie:L2 jest zakresem trzymania równym :
L0ΦV0I Δ2
πAKK
2ωL = KVKA
ω0 - KV A KF KΦ π/2 < ωG < ω0 + KV A KF KΦ π/2
(13.4.2.7)
(13.4.2.8)
• poza zakresem trzymania nie jest możliwe uzyskanie synchronizmu, ponieważ powstaje różnica kątów fazowych
0011 θtωθtωΦ
zmieniająca się gwałtownie w funkcji czasu, co powoduje duże zmiany u0, które jest silnie tłumione w filtrze FDp, w wyniku czego uS jest bardzo małe i nie przestraja generatora VCO.
(13.4.2.9)
US - napięcie
przestrajające
generator
2ωZ = zakres zaskoku
ω0-ω L
ω0 ω0+ ωZ ω0+ω L
AK2
πΦ
2ωL = zakres trzymania
nachylenie=1/KV
ω I
Rys. 13.4.2,1.Zakresy trzymania oraz zaskoku generatora VCO
ω0 - ωZ
AK2
πΦ
Przykład 13.4.2,1 :Rozważmy pętlę PLL, w której amplitudy sygnału wejściowegoi generatora są równe i wynoszą UI = UG = 0,75 V.Układ mnożnika ma liniową charakterystykę mnożenia i daje na swym wyjściu napięcie 2V (DC), jeśli obydwa napięcia wejściowemają wartość 2V (DC).Generator VCO bez sygnału zewnętrznego (uS=0V) pracuje na częstotliwości 10 MHz. Częstotliwość ta liniowo zmniejsza się do zera, jeśli napięcie sterujące osiągnie uS = -1V.Wzmocnienie wzmacniacza A = 0 dB (1 V/V).Ile wynosi różnica faz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem generatora, jeśli częstotliwość sygnału wejściowego wynosi fI=11 MHz a pętla jest w synchronizacji ?Ile będzie wynosiła różnica faz, gdy częstotliwość sygnału wejściowegofI = 9 MHz ?Jak zmienią się wartości różnicy faz, gdy wzmocnienie wzmacniaczaA = 6dB (2V/V) ?
Stała układu mnożącego km może być obliczona z zależności (4.11)
Mamy zatemkm = U0/(Ux Uy) = 2V/4V2 = 0,5V-1
Wzmocnienie detektora fazy wynosi (13.3.7)
KΦ = 1/2 km UI UG = 1/2 x 0,5x 0,75x0,75 = 0,1406 V/rad
a nachylenie charakterystyki KV generatora VCO (13.3.14)
0 m x yu k u u
KV = (ωG- ω0)/ΔuS = 2π x10 MHz/ 1V= 6,28 x 107 rad/V sek
0I 0I G 7
V Φ
2π (11MHz-10MHz) rad- 0,7112 40,8
K K A 6,28x10 x 0,1406 x1 Vsek
Mamy zatem na podstawie (13.4.17)
Powyższy wynik daje różnicę faz początkowych obydwu przebiegów.Pamiętając, że dla prawidłowej pracy układu mnożnika, jeśli sygnałwejściowy jest sygnałem o sinusoidalnym to synal generatoramusi być przebiegiem cosinusiodalnym, możemy obliczyć różnicęfaz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem generatora jako równą
900- 40,80 = 49,20
Jest to różnica faz znacznie bliższa zeru, a zatem układ będzie bliższysynchronizacji.
Jeśli fI = 9 MHz, wówczas Φ=-40,80, a różnica faz pomiędzy sygnałemwejściowym i sygnałem generatora wyniesie 900+40,80=130,80,Będzie zatem zbliżona do kąta 1800, czyli stanu niezsynchronizowanego.Dla A = 6dB, otrzymujemy odpowiednia Φ = 20,40 i Φ = -20,40
13.5. Wpływ transmitancji filtru na właściwości śledzące pętli
W stanie synchronizacji błąd fazy jest mały
2
(13.5.1)
i wówczas zależności
d[φG(t)] /dt = )(*(t)K h(t)]*)([sin thtK
(13.3.16) i (13.3.17) przyjmą postać
(13.5.1)
d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)] - h(t)]*)([sin tK
≈ d[φI(t)] - h(t)*)(tK (13.5.2)
Powyższe przybliżone równania są liniowe, zatem stosującprzekształcenie Laplace’a otrzymujemy równania algebraiczneo postaci
s φG(s) = )((s)K sH (13.5.3)
s Φ(s) = s φI(s) - H(s))(sK (13.5.4)
gdzie : φG(s), Φ(s), H(s) są transformatami Laplace’a.
)((s)]-(s)[K G sHI
φG(s),
Na podstawie (13.5.3) można wyznaczyć transmitancję zamkniętej pętli fazowej
H(s)Ks
)(
)(
)()(
sHK
s
ssG
I
G
(13.5.5)
Podobnie można wyznaczyć na podstawie (13.5.4) transmitancjęodniesioną do błędu fazy Φ(s)
)(1H(s)Ks)(
)()( sG
s
s
ssG
I
(13.5.6)
oraz na podstawie (13.3.15) transmitancję generatora VCO
s)(
)( V
S
G K
sU
s
(13.5.7)
Z przeprowadzonej analizy wynika, ze w stanie synchronizacji, przy|Φ0| << π/2, schemat blokowy pętli może być zastąpiony modelemliniowym przedstawionym na rysunku 13.4.2.
KF = H(s)
1/s
KΦ
KV
φI(s)
φG(s)
+
-
Φ(s)
[V/rad] [V/V]
[rad/Vsek]
UD(s)
Rys. 13.4.2. Liniowy model pętli fazowej w stanie synchronizacji
A
[V/V]U0(s)
uG(s) φG(s)
Właściwości śledzące pętli fazowej w liniowym zakresie pracyzależą w istotny sposób, jak można się o tym przekonać na podstawie zależności (13.5.5) i (13.5.6) od transmitancji zastosowanego filtrudolnoprzepustowego KF(s).Wyróżnia się przy tym kilka najbardziej typowych układów filtrówdolnoprzepustowych pierwszego rzędu. Jak wynika to z zależności (13.5.5) zastosowanie filtru pierwszego rzędu daje w efekcie transmitancję zamkniętej pętli fazowej drugiego rzędu.W literaturze przedmiotu pętle fazowe klasyfikuje się na podstawietransmitancji pętli fazowej otwartej
Otw
( ) H(s)G (s) K
( ) sG
I Otw
s
s
(13.5.8)
przy czym liczba biegunów GOtw(s) określa rząd pętli, natomiast liczbabiegunów w początku układu współrzędnych określa typ pętli.
Najczęściej rozważa się pętle fazowe pierwszego rzędu (bez filtru)lub pętle drugiego rzędu z typowymi pasywnymi lub aktywnymifiltrami pierwszego rzędu. Poniżej przedstawiono kilka typowychfiltrów stosowanych w pętlach fazowych.
Pętla pierwszego rzędu, typu pierwszego (bez filtru)
1)(0 sH
Ks)(
)()(
K
s
ssG
I
G
(13.5.9)
(13.5.10)
Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem całkującym
ssHsH
11 1
1)()(
1-1
11
2
11
Kss)(
KsG
(13.5.11)
(13.5.12)
Rys. 13.5.1. Pasywny filtr całkujący
R1 C
gdzie τ1 = R1C
Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem proporcjonalno-całkującym
Rys. 13.5.2. Pasywny filtr proporcjonalno-całkujący
R1
C
R2
(13.5.13)
gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.
s
ssHsH
)(1
1)()(
21
22
12 1 2
2 2
1 2 1 2
(1 ) ( )( )
1s s
K sG s
K K
Powyższą transmitancję można wyrazić w unormowanej postaci jako
200 0
2 20 0
2( )
s 2 s
sK
G s
gdzie
01 2
K
2
1 2
11
2
KK
K
- pulsacja swobodnych drgań pętli
- współczynnik tłumienia
(13.5.14)
(13.5.15)
Pętla drugiego rzędu, typu drugiego z aktywnym filtrem proporcjonalno-całkującym
Rys. 13.5.3. Aktywny filtr proporcjonalno-całkujący
(13.5.16)
gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.
s
ssHsH
1
23
1)()(
R1
R2 C
12 1
2 2
1 1
(1 )( )
s s
K sG s
KK
Wzór powyższy w postaci unormowanej ma postać2
0 02 2
0 0
2( )
s 2 s
sG s
gdzie :
01
K
2
12
K
(13.5.17)
(13.5.18)
Przykład 13.5.1.
Dla pętli PLL, o danych z przykładu 13.1.1. zaprojektować filtrproporcjonalno-całkujący tak aby stała czasu filtru wynosiła około 100 okresów przy 10 MHz a dobroć Q =1/2.
Na podstawie obliczeń wykonanych w przykładzie 13.4.1 możemy napisać
KΦ = 1/2 km UI UG = 0,1406 V/rad KV = 6,28 x 107 rad/V sek
Przyjmując A = 1, KF0=1 obliczmy
K0 = KV A KΦ = 0,1406 x 6,28 x107 = 0,882968 x 107 [1/sek]
Układy z pętlami fazowymi wykazują bardzo korzystne właściwościzmniejszenia stosunku szum/sygnał na wyjściu układu w porównaniu do wejścia. Bardzo korzystne właściwości szumowe wykazują pętlePLL z filtrem proporcjonalno-całkującym o transmitancjach H2(s)i H3(s) ponadto charakteryzują się małymi statycznymi błędami fazy.Z tego powodu są najczęściej stosowanymi w praktyce.
13.6. Dochodzenie do stanu synchronizacji – zakres chwytania
Wyznaczenie zakresu chwytania pętli synchronizacji fazowej jestraczej zagadnieniem bardzo złożonym. Zakres chwytania możebyć estymowany za pomocą wzorów przybliżonych
)]([2
)( GIVGI jFAKK
13.7. Detektory fazy
Można wyróżnić następujące typy układów detektorów fazy:- układy mnożące,- układy kluczowane,- układy próbkująco-pamiętające,- układy cyfrowe
Detektory fazy z układem mnożącym (modulatory zrównoważone)
iC1 iC2
RC
iC5
Ux
-EEE
Uy
T1 T2
iC3iC4
RC
iC6
T3 T4
I0
T5 T6
u2R
+ECC
uRCL uRCP
Przypadek 1
TyTx tutu ;
gdzie : φT = kT/q - potencjał termiczny elektronu
T
xC
T
xCCC
T
xC
T
xCCC
tui
tuhiii
tui
tuhiii
22tg
22tg
6634
5521
3421
42312
CCCCC
CCCCCRCPRCLR
iiiiR
iiiiRuuu
tutuI
Rtu
iiRu yx
T
CT
xCCCR 2
0652
42
Dla dwu przebiegów przesuniętych w fazie
tUtu
tUtu
yy
xx
0
0
cos
cos
cos8
)( 20
202 yx
T
CRR UUI
RtuU
Wartość średnia napięcia na wyjściu detektora wynosi :