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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
• Os sistemas físicos, em sentido amplo, são uma interconexão de componentes, dispositivos ou subsistemas.
• Um sistema de tempo contínuo é um sistema em que os sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e resultam em sinais de saída de tempo contínuo.
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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
• Um sistema de tempo discreto é um sistema que transforma entradas de tempo discreto em saídas de tempo discreto.
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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
( ) ( )x t y t®
[ ] [ ]x n y n®
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.8: Circuito RC – Figura 1.1
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.8: Circuito RC – Figura 1.1
( ) ( )( ) s cv t v ti t
R
-=
( )( ) cdv ti t C
dt=
( ) 1 1( ) ( )cc s
dv tv t v t
dt RC RC+ =
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.9: Veículo – Figura 1.2
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.9: Veículo – Figura 1.2
[ ]( ) 1
( ) ( )dv t
f t v tdt m
r= -
( ) 1( ) ( )
dv tv t f t
dt m m
r+ =
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo contínuo descritos por equações diferenciais lineares de primeira ordem:
( )( ) ( )
dy tay t bx t
dt+ =
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.10: Modelo de Balanço Mensal em Conta Bancária
[ ] 1,01 [ 1] [ ]y n y n x n= - +
[ ] Saldo ao final do mês y n nº
[ ] Depósito Líquido ao final do mês x n nº
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Exemplo 1.11: Simulação Digital da Equação Diferencial
( ) 1( ) ( )
dv tv t f t
dt m m
r+ =
( ) ( ) (( 1) )dv t v n v n
dt
D - - D»
D
( ) (( 1) ) 1( ) ( )
v n v nv n f n
m m
rD - - D+ D = D
D
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
[ ] [ 1] 1[ ] [ ]
v n v nv n f n
m m
r- -+ =
D
[ ] [ 1] [ ] [ ]mv n mv n v n f nr- - + D = D
( ) [ ] [ 1] [ ]m v n mv n f nr+ D - - = D
( ) ( )[ ] [ 1] [ ]
mv n v n f n
m mr r
D- - =
+ D + D
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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas
• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo discreto descritos por equações de diferenças lineares de primeira ordem:
[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n+ - =
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Conclusões
• As representações matemáticas de sistemas de uma grande variedade de aplicações têm muito em comum.
• Isso motivou o desenvolvimento de ferramentas amplamente aplicáveis para a análise de senais e sistemas.
• A chave para obter o sucesso é a identificação de classes de sistemas.
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1.5.2 Interconexão de Sistemas
• Muitos sistemas reais são construídos como interconexão de diversos subsistemas.
• Existem alguns tipos básicos de conexão que merecem ser estudados.
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1.5.2 Interconexão de Sistemas
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1.6 Propriedades Básicas de Sistemas
• Nesta sessão estudaremos algumas propriedades básicas dos sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto.
• Essas propriedades possuem descrições matemáticas relativamente simples, usando a linguagem de sinais e sistemas que começamos a desenvolver.
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1.6.1 Sistemas com e sem Memória
• Um sistema é dito sem memória se a sua saída, para todo valor da variável independente, em um dado instante, depende somente da entrada nesse mesmo instante.
• Exemplos:2 2[ ] (2 [ ] [ ])y n x n x n= -
( ) ( )y t Rx t=
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1.6.1 Sistemas com e sem Memória
• Um sistema sem memóreia particularmente simples é o sistema identidade:
[ ] [ ]y n x n=
( ) ( )y t x t=
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1.6.1 Sistemas com e sem Memória
• Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória sistema é o sistema acumulador (somador):
[ ] [ ]n
k
y n x k=-¥
= å
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1.6.1 Sistemas com e sem Memória
• Um segundo exemplo seria o sistema atrasador:
[ ] [ 1]y n x n= -
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1.6.1 Sistemas com e sem Memória
• Um capacitor é um exemplo de sistema de tempo contínuo com memória:
1( ) ( )
t
y t x dC
t t-¥
= ò
• Em geral, em um sistema com memória há presença de um mecanismo que retém ou guarda a informação sobre os valores de entrada em instantes que não o atual.
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1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade
• Um sistema é dito invertível se entradas distintas levam a saídas distintas.
• Se um sistema é invertível, então existe um sistema inverso que, ao ser colocado em série com o sistema original, produz uma saída que é igual a entrada do primeiro sistema.
• Utilizados, por exemplo, em sistemas de codificação em aplicações de comunicação.
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1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade
• Exemplo de sistemas não-invertíveis:
[ ] 0y n =
2( ) ( )y t x t=
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1.6.3 Causalidade
• Um sistema é dito causal se a saída, em qualquer tempo, depender dos valores da entrada somente nos instantes presente e passados.
• Também conhecido com não-antecipativo.
• Exemplos:– O circuito RC
– O veículo
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1.6.3 Causalidade
• Exemplos de sistemas não-causais:
[ ] [ ] [ 1]y n x n x n += -
( ) ( 1)y t x t +=
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1.6.3 Causalidade
• Todos os sistemas sem memória são causais.
• A causalidade nem sempre é uma restrição essencial em aplicações em que a variável independente não é o tempo, como, por exemplo, o processamento de imagens.
• Quando os dados forem gravados, não estamos limitados ao processamento causal. Por exemplo na análise histórica do mercado de ações.
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Exemplo 1.12
• Verificar a causalidade dos sistemas descritos pelas seguintes equações:
[ ] [ ]y n x n= -
( ) ( )cos( 1)y t x t t= +
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1.6.4 Estabilidade
• Um sistema será estável se, para toda entrada limitada (isto é, seu módulo não cresce sem limites), a sua saída também for limitada.
• BIBO (Bound Input Bound Output)
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Exemplo 1.13
• As vezes “suspeitamos” que um sistema é instável;
• Para verificarmos isso, “basta” mostrarmos que existe uma entrada limitada específica que produz uma saída ilimitada.
• Verificar a estabilidade dos seguintes sistemas:
1 : ( ) ( )S y t tx t= ( )2 : ( ) x tS y t e=
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Exemplo 1.13
• Solução
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1.6.5 Invariânça no tempo
• Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento, no tempo do sinal de entrada (qualquer que seja ele) resulta em um deslocamento no tempo idêntico no sinal de saída.
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Exemplo 1.14
• Verifique se o sistema definido abaixo é ou não invariante no tempo.
[ ]( ) sin ( )y t x t=
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Exemplo 1.15
• Verifique se o sistema definido abaixo é ou não invariante no tempo.
[ ] [ ]y n nx n=
• Teste a propriedade da invariânca para a seguinte entrada:
[ ] [ ]x n nd=
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Exemplo 1.16
• Verifique se o sistema definido abaixo é ou não invariante no tempo.
( ) (2 )y t x t=
• Dica: testar para um sinal de entrada simples, por exemplo, um pulso de largura 2 e amplitude 1.
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Exemplo 1.16
( ) (2 )y t x t=
1 1 1( ) ( ) (2 )x t y t x t® =
2 2 2( ) ( ) (2 )x t y t x t® =
2 1 0 2 2 1 0Se ( ) ( ) ( 2( )2) ) (t t tx x t y t tx x t= - ® = = -
2 1 0( ) ( )x x t= *-*
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Exemplo 1.16
1 0Deslocando ( ) de :y t t
1 1( ) (2 )y t x t=
2 1 0Portanto ( ) ( )y t y t t¹ -
1 1( ) (2 )y x=* *
01 10 01 (( ) (2 ) (2 2 ))t t t t x ty x t- - -= =
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1.6.6 Linearidade
• Um sistema é dito linear, se ele possui a propriedade da sobreposição: – Propriedade da homogeneidade
( ) ( ) ( ) ( ) x t y t ax t ay t® ®
– Propriedade da aditividade
1 1
1 2 1 2
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t y tx t x t y t y t
x t y t
® ü+ ® +ý
® þ
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Exemplo 1.17
• Determine se o sistema abaixo é linear.
( ) ( )y t tx t=
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Exemplo 1.18
• Determine se o sistema abaixo é linear.
2( ) ( )y t x t=
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Exemplo 1.19
• Determine se o sistema abaixo é linear.
{ }[ ] Re [ ]y n x n=
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Exemplo 1.20
• Determine se o sistema abaixo é linear.
[ ] 2 [ ] 3y n x n= +
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