8/16/2019 16-isolamento
1/24
Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1
Analisi sismica di un sistema lineare viscoso
a un grado di libertà isolato alla base
8/16/2019 16-isolamento
2/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2
Un sistema di isolamento alla base consiste nell’interporre tra la struttura in elevazione e le
fondazioni una serie di dispositivi di rigidezza laterale molto piccola. Il periodo fondamentale si
allunga, diventando molto più grande di quello dell’analoga struttura su base fissa. La pseudo-accelerazione spettrale si riduce, così come le forze indotte dal sisma. La richiesta di spostamento
aumenta, ma è concentrata al livello degli isolatori. Un sistema di isolamento è efficace anche se
la struttura è non smorzata. Tuttavia, lo smorzamento riduce ulteriormente le forze nella struttura
e diminuisce lo spostamento degli isolatori.
Isolamento alla base 1/2
8/16/2019 16-isolamento
3/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 3
Isolamento alla base 2/2
8/16/2019 16-isolamento
4/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 4
Si vuole mettere in evidenza il perché un sistema di isolamento alla base riduce le forze sismiche
negli edifici. Per questo scopo si considera un edificio a un piano, con un sistema di isolamento
interposto tra la sua base e il terreno. Si assume che il legame forze-deformazioni del sistema diisolamento sia lineare.
! f =k
m T f =
2"
! f # f =
c
2m! f
Siano m, k e c rispettivamente la massa, la rigidezza e la costante di smorzamento del sistema in
elevazione. Per il sistema su base fissa, privo cioè del sistema di isolamento, la frequenza, il
periodo e il rapporto di smorzamento risultano rispettivamente
m
ck
m
ck
k b, cb
mbSistema di isolamento
Soletta di base
Sistema isolato 1/2
8/16/2019 16-isolamento
5/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 5
Sistema isolato 2/2
L’edificio è vincolato a una soletta di base di massa mb, a sua volta sostenuta da un sistema di
isolamento di rigidezza laterale k b e costante di smorzamento viscoso cb. Il sistema di isolamentoè caratterizzato dai parametri
! b =
k b
m +mb
T b =
2"
! b
# b =
cb
2 m +mb( )! b
T b e !b possono essere interpretati come il periodo naturale e il rapporto di smorzamento viscoso
dell’edificio isolato, con la parte in elevazione assunta rigida.
Affinché il sistema di isolamento sia efficace nel ridurre le forze sismiche, T b deve essere molto
maggiore di T f .
m
ck
m
ck
k b, cb
mbSistema di isolamento
Soletta di base
8/16/2019 16-isolamento
6/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 6
Equazioni del moto
Il sistema di isolamento trasforma l’edificio su base fissa a un grado di libertà in un sistema a due
gradi di libertà, caratterizzato dalle seguenti matrici di massa M, di rigidezza K e di smorzamento
C.
u2m
ck
m
ck
k b, cb
mbSistema di isolamento
Soletta di base
u
u1
M =m
b 0
0 m
!
"##
$
%&&
K =k
b + k !k
!k k
"
#$$
%
&''
C =c
b + c !c
!c c
"
#$$
%
&''
Le equazioni del moto si scrivono
M!!u(t )+C !u(t )+Ku(t ) = !M1!!ug(t )
8/16/2019 16-isolamento
7/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 7
Frequenze e modi naturali di vibrazione 1/5
Le frequenze naturali del sistema a due gradi di libertà si calcolano dalla relazione
cioè
K!" 2M = 0
k b + k ( )!" 2mb !k
!k k !" 2
m
= 0
da cui si ottiene
mb
m! 4 " m k
b + k ( )+ mb k #$ %&!
2+ k k
b + k ( )" k 2 = 0
mbm!
4 " mk b + m +m
b( )k #$ %&! 2+ k
bk = 0
mb
m! 4 " m m
b + m( )
k b
m + mb
+k
m
# $ %
& ' ( !
2+ m m
b + m( )
k b
mb + m
k
m= 0
m2 mb
m
! 4 " m2
mb
m
+1#
$ %
&
' ( ! b
2+! f
2( )! 2 +m2 mb
m
+1#
$ %
&
' ( ! b
2! f
2= 0
mb
m!
4 " mb
m+1
# $ %
& ' ( ! b
2+! f
2( )! 2 +mb
m+1
# $ %
& ' ( ! b
2! f
2= 0
8/16/2019 16-isolamento
8/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 8
…
A titolo di esempio, ponendo
mb
m
! 4 "
mb
m
+1#
$ %
&
' ( ! b
2+! f
2( )! 2 +mb
m
+1#
$ %
&
' ( ! b
2! f
2= 0
mb
m=
2
3T f = 0.4 s T b = 2.0 s
mb
m!
4 " 4# 2 mb
m+1
$ % &
' ( ) 1
T b2 +
1
T f 2
$
% &'
( ) !
2+16#
4 mb
m+1
$ % &
' ( ) 1
T b2
1
T f 2 = 0
mb
mT f
2T b
2!
4 " 4# 2 mb
m+1
$ % &
' ( ) T f
2+T b
2( )! 2 +16# 4 mb
m+1
$ % &
' ( ) = 0
1.28! 4" 83.20#
2!
2+ 80#
4= 0
si ha
! 1,2
2=
41.60 ! 41.602 "1.28 # 80
1.28$
2=
41.60 ! 40.35
1.28$
2=
! 1
2= 0.976 $
2
! 2
2= 64.024 $
2
%
&'
('
Frequenze e modi naturali di vibrazione 2/5
8/16/2019 16-isolamento
9/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 9
…
da cui si ricava
! 1,2
2=
41.60 ! 41.602 "1.28 # 80
1.28
$ 2=
41.60 ! 40.35
1.28
$ 2=
! 1
2= 0.976 $
2
! 2
2=
64.024 $ 2
%
&'
('
Le componenti dei modi si ricavano dalle equazioni del moto in vibrazioni libere
! 1 = 0.988 " s
#1
! 2 = 8.001 " s
#1
$
%&
'&
T 1 = 2.024 s
T 2 = 0.250 s
!"#
$#
K!" j 2M( ) û j = 0 con j =1,2
k b + k ( )!" j 2
mb !k
!k k !" j 2
m
#
$
%%
&
'
((
û1, j
û2, j
#
$
%%
&
'
(( =
0
0
#
$%
&
'(
Dalla seconda equazione si ha …
Frequenze e modi naturali di vibrazione 3/5
8/16/2019 16-isolamento
10/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 10
…
Ponendo , si ha
!k û1, j + k !" j
2m( ) û2, j = 0
! û1, j + 1!
" j 2
" f
2# $ %
& ' ( û
2, j = 0
! û1, j + 1!
T f 2
T j 2
"
# $%
& ' û
2, j = 0
û1, j =
1
! û1, j +
T j 2!T f
2
T j 2 û2, j = 0
û2, j =
T j 2
T j 2!T f
2
Risulta
û21
= T 12
T 1
2!T f
2 = 2.024
2
2.0242! 0.4
2 =1.041 û22 = T
2
2
T 2
2!T f
2 = 0.250
2
0.2502! 0.4
2 =
! 0.641
Frequenze e modi naturali di vibrazione 4/5
8/16/2019 16-isolamento
11/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 11
I modi assumono la forma
û1 =
1.000
1.041
!
"
#$
%
& û2 =1.000
! 0.641
"
#
$%
&
'
1 =
0.961
1.000
"
#$
%
&'
2 =
1.000
" 0.641
#
$%
&
'(
Frequenze e modi naturali di vibrazione 5/5
m
(2/3)m
T f = 0.4 s
T b = 2.0 s
T 2 = 0.250 s
2° modo
1.000
0.641
T 1 = 2.024 s
1° modo
0.961
1.000
Nel primo modo gli isolatori si deformano, ma la struttura in elevazione si comporta quasi come
se fosse rigida. Il suo periodo di vibrazione, 2.024 s, è solo leggermente maggiore del periodo del
sistema di isolamento, pari a 2.0 s, a causa della flessibilità della struttura. Nel secondo modo sideformano sia gli isolatori, sia la struttura in elevazione. Come sarà mostrato in seguito, questo
modo contribuisce molto poco alle forze indotte dal sisma sulla struttura. Il suo periodo è pari a
0.25 s e risulta decisamente minore del periodo della struttura su base fissa, pari a 0.4 s.
Normalizzando si ha
8/16/2019 16-isolamento
12/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 12
Il generico vettore di eccitazione modale sn assume la forma
s = M 1 = m2 3 0
0 1
!
"##
$
%&&
1
1
!
"#
$
%& = m
2 3
1
!
"##
$
%&&
! n =
n
T s
n
T M
n
=
n
T s
M n
sn = !
nM
n
Le masse modali sono pari a
Le forze sismiche efficaci sono date dalla relazione
Calcolo dei vettori di eccitazione modale 1/2
con
M 1 =
1
T M
1 = 0.961 1.000"# $%m
2 3 0
0 1
"
#&&
$
%''
0.961
1.000
"
#&
$
%' = 1.616 m
M 2 =
2
T M
2 = 1.000 " 0.641#$ %&m
2 3 0
0 1
#
$''
%
&((
1.000
" 0.641
#
$'
%
&( =1.078 m
8/16/2019 16-isolamento
13/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 13
e i vettori di eccitazione modale valgono
! 1 =
1
T s
M 1
=
1
1.6160.961 1.000#$ %&
2 3
1
#
$''
%
&((= 1.015
s1 = !
1M
1 = 1.015m
2 3 0
0 1
#
$
%
%
&
'
(
(
0.961
1.000
#
$
%&
'
( =0.651
1.015
#
$
%&
'
(m
Risulta quindi
Calcolo dei vettori di eccitazione modale 2/2
! 2 =
2
T s
M 2
=
1
1.078 1.000 # 0.641$% &'
2 3
1
$
%((
&
'))= 0.024
s2 = !
2M
2 = 0.024m
2 3 0
0 1
#
$%%
&
'((
1.000
) 0.641
#
$%
&
'( =
0.016
) 0.015
#
$%
&
'(m
m
(2/3)m
1.015m
0.651m
V b1=1.015mst
=
0.015m
0.016m
V b2=-0.015mst
+
8/16/2019 16-isolamento
14/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 14
Questo risultato indica che le forze relative al primo modo, s1, sono essenzialmente le stesse di
quelle totali s, e che quelle relative al secondo modo, s2, sono molto piccole. L’analisi statica
della struttura sollecitata da queste forze fornisce le risposte statiche modali. In particolare i
contributi modali al taglio alla base e allo spostamento della base risultano
In generale, è chiaro che le quantità relative al secondo modo sono trascurabili rispetto a quelle
relative al primo modo. Questo risultato e la circostanza che il periodo naturale di vibrazione del
primo modo è molto maggiore del periodo della struttura su base fissa rappresentano le ragionidell’efficacia del sistema di isolamento sismico.
Queste considerazioni prescindono dall’entità dello smorzamento del sistema di isolamento: la
dissipazione di energia è un fattore secondario riguardo alla riduzione della risposta strutturale.
Calcolo delle risposte statiche modali 1/2
m
(2/3)m
1.015m
0.651m
V b1=1.015mst
=
0.015m
0.016m
V b2=-0.015mst
+
V b1
st=1.015m V
b2
st= ! 0.015m
ub1
st= 0.101 u
b2
st= 6.08 !10
"5
8/16/2019 16-isolamento
15/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 15
Calcolo degli spostamenti statici modali del sistema di isolamento
m
(2/3)m
1.015m
0.651m
V b1=1.015mst
=
0.015m
0.016m
V b2=-0.015mst
+
u j st= 1
T
s j
k b= 1
T
s j
m +mb( )! b2 =
T b2
4" 2
3
5
1
T
s j
m= 3T b
2
20" 2
1
T
s j
m= 3 #2.0
2
20" 2
1
T
s j
m= 0.0611
T
s j
m
ub1
st= 0.061 1 1!" #$
1.015
0.651
!
"%
#
$& = 0.101
ub2
st= 0.061 1 1!" #$
% 0.015
0.016
!
"&
#
$' = 6.08 (10
%5
Calcolo delle risposte statiche modali 2/2
8/16/2019 16-isolamento
16/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 16
Su assuma che per il sistema su base fissa e per il sistema di isolamento i rapporti di smorzamento
valgono
Calcolo dei rapporti di smorzamento modali 1/2
! f =c
2m" f
= 0.02 = 2% ! b =cb
2 m
+
mb( )" b= 0.10 = 10%
Le costanti di smorzamento sono quindi pari a
c = 2m! f " f =4#" f
T f m =
4# $0.02
0.4m = 0.628m
cb = 2 m +m
b( )! b" b =5
3
4#" b
T b
m =5
3
4# $0.10
2.0m = 1.047m
e la matrice di smorzamento si scrive
C =c
b + c !c
!c c
"
#$$
%
&''=
1.675 ! 0.628
! 0.628 0.628
"
#$
%
&'
Le costanti di smorzamento modali risultano
C 1 =
1
T
C 1 = 0.961 1.000"# $%
1.675 & 0.628
& 0.628 0.628
"
#'
$
%(m
0.961
1.000
"
#'
$
%( = 0.968 m
C 2 =
2
T C
2 = 1.000 " 0.641#$ %&
1.675 " 0.628
" 0.628 0.628
#
$'
%
&(m
1.000
" 0.641
#
$'
%
&( = 2.739 m
8/16/2019 16-isolamento
17/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 17
I rapporti di smorzamento modali sono quindi pari a
Calcolo dei rapporti di smorzamento modali 2/2
! 1 =
C 1
2 M 1" 1=
0.968m
2#1.616m
#0.988$
= 0.0965 = 9.65%
! 2 =
C 2
2 M 2"
2
=
2.739m
2 #1.078m #8.001$ = 0.0505 = 5.05%
Si osserva che lo smorzamento relativo al primo modo, pari al 9.65%, è molto simile a quello del
sistema di isolamento, pari al 10%. Lo smorzamento nella struttura influenza ben poco lo
smorzamento del primo modo, dato che la struttura rimane pressoché rigida in quel modo.Al contrario, l’elevato smorzamento del sistema di isolamento determina un aumento dal 2% al
5.05% del secondo modo, che rappresenta il cosiddetto modo strutturale.
8/16/2019 16-isolamento
18/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 18
Il valore massimo del generico contributo modale alla risposta si ottiene mediante la relazione
Calcolo delle risposte massime modali 1/3
rn = r
n
st A
n
dove
An = A
n T
n,!
n( )
è l’ordinata dello spettro di progetto in termini di pseudo-accelerazione al periodo T n che
corrisponde a un rapporto di smorzamento !n.
Per il taglio alla base e per la deformazione degli isolatori, si ha
V bn
=V bn
st A
n u
bn = u
bn
st A
n =!
n
2ubn
st D
n
in cui Dn è l’ordinata dello spettro in termini di spostamento.
8/16/2019 16-isolamento
19/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 19
Si considerano gli spettri di progetto allo stato limite di danno per la città di Reggio Calabria,
corrispondenti agli smorzamenti del 2%, 5% e 10%.
Calcolo delle risposte massime modali 2/3
1.0 2.0 3.0 4.00.0T (s)
0.4
0.3
0.2
0.1
Ang
2%
5%
! = 10% T
f =
0 . 4
s
T 2 =
0 . 2
5
s
T 1
= 2 . 0
2 4
s
0.309
0.369
0.055
Modo An/g V bn/w Dn (cm) ubn (cm)
1
0.055
1.015
0.056
5.702
0.975
5.559
2
0.309
- 0.015
- 0.005
0.480
0.024
0.012
SRSS 0.056 5.559
V bn
st/m !
n
2ubn
st
Si sono indicati con w il peso della struttura in elevazione e con g = 981 cm/s2 l’accelerazione di gravità.
8/16/2019 16-isolamento
20/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 20
Per la struttura su base fissa si ha
Calcolo delle risposte massime modali 3/3
V bf = mA T f ,! f
( )= m "0.369g = 0.369w
cioè V bf
w= 0.369
Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 6.59 volte più grande rispetto a quello della
struttura isolata.
V bf
V b=
0.369
0.056= 6.59
Risulta
8/16/2019 16-isolamento
21/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 21
L’efficacia del sistema di isolamento nel ridurre le forze sismiche è strettamente legata all’allun-
gamento del periodo fondamentale di vibrazione della struttura. A tal fine il rapporto T b/T f deve
essere il più grande possibile.Nel caso dell’esempio precedente, il periodo della struttura su base fissa corrispondeva al valore
massimo dello spettro di progetto. Per effetto del sistema di isolamento, il periodo fondamentale
risultava traslato nella regione dello spettro con valori di pseudo-accelerazione molto più bassi.
Di conseguenza, il valore del taglio alla base era ridotto dal 36.9% del peso della struttura in
elevazione a solo il 5.6%.
Nel caso di strutture con un periodo su base fissa relativamente lungo, l’efficacia del sistema di
isolamento è molto inferiore. A tale proposito si consideri una struttura simile alla precedente, ma
con un periodo su base fissa T f = 2.0 s. I parametri che caratterizzano il sistema sono quindi
Efficacia del sistema di isolamento 1/4
T f = 2.0s ! f = 2% mb =2
3m T b = 2.0s ! b =10%
Seguendo lo stesso procedimento si ottiene …
8/16/2019 16-isolamento
22/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 22
…
Efficacia del sistema di isolamento 2/4
Le frequenze e i rapporti di smorzamento modali risultano #1 = 0.751$ , #2 = 2.107$ , !1 = 4.50%
e !2 = 12.64%.
Al contrario del caso precedente, si osserva che:
(1) la struttura non si comporta rigidamente nel primo modo e il relativo periodo di vibrazione è
influenzato dalla flessibilità della struttura;
(2) il contributo del secondo modo alle forze sismiche non è più trascurabile;
(3) lo smorzamento del primo modo, pari al 4.5%, non è più simile allo smorzamento del sistema
di isolamento, pari al 10%.
m
(2/3)m
1.145m
0.333m
V b1=1.145
mst
=
0.145m
0.333m
V b2=-0.145
mst
+
T 2 = 0.949 s
2° modo
1.000
0.291
T 1 = 2.664 s
1° modo
0.436
1.000m
(2/3)m
T f = 2.0 s
T b = 2.0 s
8/16/2019 16-isolamento
23/24
Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 23
Efficacia del sistema di isolamento 3/4
Per il calcolo delle risposte massime modali si ha
Modo An/g V bn/w Dn (cm) ubn (cm)
1
0.047
1.145
0.054
8.283
0.501
4.150
2
0.116
- 0.145
- 0.017
2.597
0.482
1.252
SRSS 0.057 4.335
1.0 2.0 3.0 4.00.0T (s)
0.4
0.3
0.2
0.1
Ang
2%5%
! = 10%
T f = 2 . 0
s T 2
= 0 . 9
4 9
s
T 1
= 2 . 6
6 4
s
0.116 0.089
0.047
V bn
st/m !
n
2ubn
st
8/16/2019 16-isolamento
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 24
Per la struttura su base fissa si ha
V bf = mA T f ,! f ( ) = m "0.089g = 0.089wcioè
V bf
w= 0.089
Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 1.59 volte più grande rispetto a quello della
struttura isolata.
Come si può facilmente notare, questa volta il beneficio dell’isolamento è minore. Per questa
ragione l’isolamento alla base è usato raramente nel caso di sistemi strutturali con periodo
fondamentale alto, come accade per esempio nel caso degli edifici alti.
V bf
V b=
0.089
0.056=1.59
Risulta
Efficacia del sistema di isolamento 4/4