16-isolamento

8/16/2019 16-isolamento

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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Analisi sismica di un sistema lineare viscoso

a un grado di libertà isolato alla base


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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2

Un sistema di isolamento alla base consiste nell’interporre tra la struttura in elevazione e le

fondazioni una serie di dispositivi di rigidezza laterale molto piccola. Il periodo fondamentale si

allunga, diventando molto più grande di quello dell’analoga struttura su base fissa. La pseudo-accelerazione spettrale si riduce, così come le forze indotte dal sisma. La richiesta di spostamento

aumenta, ma è concentrata al livello degli isolatori. Un sistema di isolamento è efficace anche se

la struttura è non smorzata. Tuttavia, lo smorzamento riduce ulteriormente le forze nella struttura

e diminuisce lo spostamento degli isolatori.

Isolamento alla base 1/2


3/24


Isolamento alla base 2/2


4/24


Si vuole mettere in evidenza il perché un sistema di isolamento alla base riduce le forze sismiche

negli edifici. Per questo scopo si considera un edificio a un piano, con un sistema di isolamento

interposto tra la sua base e il terreno. Si assume che il legame forze-deformazioni del sistema diisolamento sia lineare.

! f =k

m T f =

2"

! f # f =

c

2m! f

Siano m, k e c rispettivamente la massa, la rigidezza e la costante di smorzamento del sistema in

elevazione. Per il sistema su base fissa, privo cioè del sistema di isolamento, la frequenza, il

periodo e il rapporto di smorzamento risultano rispettivamente

m

ck

m

ck

k b, cb

mbSistema di isolamento

Soletta di base

Sistema isolato 1/2


5/24


Sistema isolato 2/2

L’edificio è vincolato a una soletta di base di massa mb, a sua volta sostenuta da un sistema di

isolamento di rigidezza laterale k b e costante di smorzamento viscoso cb. Il sistema di isolamentoè caratterizzato dai parametri

! b =

k b

m +mb

T b =

2"

! b

# b =

cb

2 m +mb( )! b

T b e !b possono essere interpretati come il periodo naturale e il rapporto di smorzamento viscoso

dell’edificio isolato, con la parte in elevazione assunta rigida.

Affinché il sistema di isolamento sia efficace nel ridurre le forze sismiche, T b deve essere molto

maggiore di T f .

m

ck

m

ck

k b, cb


Soletta di base


6/24


Equazioni del moto

Il sistema di isolamento trasforma l’edificio su base fissa a un grado di libertà in un sistema a due

gradi di libertà, caratterizzato dalle seguenti matrici di massa M, di rigidezza K e di smorzamento

C.

u2m

ck

m

ck

k b, cb


Soletta di base

u

u1

M =m

b 0

0 m

!

"##

$

%&&

K =k

b + k !k

!k k

"

#$$

%

&''

C =c

b + c !c

!c c

"

#$$

%

&''

Le equazioni del moto si scrivono

M!!u(t )+C !u(t )+Ku(t ) = !M1!!ug(t )


7/24


Frequenze e modi naturali di vibrazione 1/5

Le frequenze naturali del sistema a due gradi di libertà si calcolano dalla relazione

cioè

K!" 2M = 0

k b + k ( )!" 2mb !k

!k k !" 2

m

= 0

da cui si ottiene

mb

m! 4 " m k

b + k ( )+ mb k #$ %&!

2+ k k

b + k ( )" k 2 = 0

mbm!

4 " mk b + m +m

b( )k #$ %&! 2+ k

bk = 0

mb

m! 4 " m m

b + m( )

k b

m + mb

+k

m

# $ %

& ' ( !

2+ m m

b + m( )

k b

mb + m

k

m= 0

m2 mb

m

! 4 " m2

mb

m

+1#

$ %

&

' ( ! b

2+! f

2( )! 2 +m2 mb

m

+1#

$ %

&

' ( ! b

2! f

2= 0

mb

m!

4 " mb

m+1

# $ %

& ' ( ! b

2+! f

2( )! 2 +mb

m+1

# $ %

& ' ( ! b

2! f

2= 0


8/24


…

A titolo di esempio, ponendo

mb

m

! 4 "

mb

m

+1#

$ %

&

' ( ! b

2+! f

2( )! 2 +mb

m

+1#

$ %

&

' ( ! b

2! f

2= 0

mb

m=

2

3T f = 0.4 s T b = 2.0 s

mb

m!

4 " 4# 2 mb

m+1

$ % &

' ( ) 1

T b2 +

1

T f 2

$

% &'

( ) !

2+16#

4 mb

m+1

$ % &

' ( ) 1

T b2

1

T f 2 = 0

mb

mT f

2T b

2!

4 " 4# 2 mb

m+1

$ % &

' ( ) T f

2+T b

2( )! 2 +16# 4 mb

m+1

$ % &

' ( ) = 0

1.28! 4" 83.20#

2!

2+ 80#

4= 0

si ha

! 1,2

2=

41.60 ! 41.602 "1.28 # 80

1.28$

2=

41.60 ! 40.35

1.28$

2=

! 1

2= 0.976 $

2

! 2

2= 64.024 $

2

%

&'

('



9/24


…

da cui si ricava

! 1,2

2=

41.60 ! 41.602 "1.28 # 80

1.28

$ 2=

41.60 ! 40.35

1.28

$ 2=

! 1

2= 0.976 $

2

! 2

2=

64.024 $ 2

%

&'

('

Le componenti dei modi si ricavano dalle equazioni del moto in vibrazioni libere

! 1 = 0.988 " s

#1

! 2 = 8.001 " s

#1

$

%&

'&

T 1 = 2.024 s

T 2 = 0.250 s

!"#

$#

K!" j 2M( ) û j = 0 con j =1,2

k b + k ( )!" j 2

mb !k

!k k !" j 2

m

#

$

%%

&

'

((

û1, j

û2, j

#

$

%%

&

'

(( =

0

0

#

$%

&

'(

Dalla seconda equazione si ha …



10/24


…

Ponendo , si ha

!k û1, j + k !" j

2m( ) û2, j = 0

! û1, j + 1!

" j 2

" f

2# $ %

& ' ( û

2, j = 0

! û1, j + 1!

T f 2

T j 2

"

# $%

& ' û

2, j = 0

û1, j =

1

! û1, j +

T j 2!T f

2

T j 2 û2, j = 0

û2, j =

T j 2

T j 2!T f

2

Risulta

û21

= T 12

T 1

2!T f

2 = 2.024

2

2.0242! 0.4

2 =1.041 û22 = T

2

2

T 2

2!T f

2 = 0.250

2

0.2502! 0.4

2 =

! 0.641



11/24


I modi assumono la forma

û1 =

1.000

1.041

!

"

#$

%

& û2 =1.000

! 0.641

"

#

$%

&

'

1 =

0.961

1.000

"

#$

%

&'

2 =

1.000

" 0.641

#

$%

&

'(


m

(2/3)m

T f = 0.4 s

T b = 2.0 s

T 2 = 0.250 s

2° modo

1.000

0.641

T 1 = 2.024 s

1° modo

0.961

1.000

Nel primo modo gli isolatori si deformano, ma la struttura in elevazione si comporta quasi come

se fosse rigida. Il suo periodo di vibrazione, 2.024 s, è solo leggermente maggiore del periodo del

sistema di isolamento, pari a 2.0 s, a causa della flessibilità della struttura. Nel secondo modo sideformano sia gli isolatori, sia la struttura in elevazione. Come sarà mostrato in seguito, questo

modo contribuisce molto poco alle forze indotte dal sisma sulla struttura. Il suo periodo è pari a

0.25 s e risulta decisamente minore del periodo della struttura su base fissa, pari a 0.4 s.

Normalizzando si ha


12/24


Il generico vettore di eccitazione modale sn assume la forma

s = M 1 = m2 3 0

0 1

!

"##

$

%&&

1

1

!

"#

$

%& = m

2 3

1

!

"##

$

%&&

! n =

n

T s

n

T M

n

=

n

T s

M n

sn = !

nM

n

Le masse modali sono pari a

Le forze sismiche efficaci sono date dalla relazione

Calcolo dei vettori di eccitazione modale 1/2

con

M 1 =

1

T M

1 = 0.961 1.000"# $%m

2 3 0

0 1

"

#&&

$

%''

0.961

1.000

"

#&

$

%' = 1.616 m

M 2 =

2

T M

2 = 1.000 " 0.641#$ %&m

2 3 0

0 1

#

$''

%

&((

1.000

" 0.641

#

$'

%

&( =1.078 m


13/24


e i vettori di eccitazione modale valgono

! 1 =

1

T s

M 1

=

1

1.6160.961 1.000#$ %&

2 3

1

#

$''

%

&((= 1.015

s1 = !

1M

1 = 1.015m

2 3 0

0 1

#

$

%

%

&

'

(

(

0.961

1.000

#

$

%&

'

( =0.651

1.015

#

$

%&

'

(m

Risulta quindi

Calcolo dei vettori di eccitazione modale 2/2

! 2 =

2

T s

M 2

=

1

1.078 1.000 # 0.641$% &'

2 3

1

$

%((

&

'))= 0.024

s2 = !

2M

2 = 0.024m

2 3 0

0 1

#

$%%

&

'((

1.000

) 0.641

#

$%

&

'( =

0.016

) 0.015

#

$%

&

'(m

m

(2/3)m

1.015m

0.651m

V b1=1.015mst

=

0.015m

0.016m

V b2=-0.015mst

+


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Questo risultato indica che le forze relative al primo modo, s1, sono essenzialmente le stesse di

quelle totali s, e che quelle relative al secondo modo, s2, sono molto piccole. L’analisi statica

della struttura sollecitata da queste forze fornisce le risposte statiche modali. In particolare i

contributi modali al taglio alla base e allo spostamento della base risultano

In generale, è chiaro che le quantità relative al secondo modo sono trascurabili rispetto a quelle

relative al primo modo. Questo risultato e la circostanza che il periodo naturale di vibrazione del

primo modo è molto maggiore del periodo della struttura su base fissa rappresentano le ragionidell’efficacia del sistema di isolamento sismico.

Queste considerazioni prescindono dall’entità dello smorzamento del sistema di isolamento: la

dissipazione di energia è un fattore secondario riguardo alla riduzione della risposta strutturale.

Calcolo delle risposte statiche modali 1/2

m

(2/3)m

1.015m

0.651m

V b1=1.015mst

=

0.015m

0.016m

V b2=-0.015mst

+

V b1

st=1.015m V

b2

st= ! 0.015m

ub1

st= 0.101 u

b2

st= 6.08 !10

"5


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Calcolo degli spostamenti statici modali del sistema di isolamento

m

(2/3)m

1.015m

0.651m

V b1=1.015mst

=

0.015m

0.016m

V b2=-0.015mst

+

u j st= 1

T

s j

k b= 1

T

s j

m +mb( )! b2 =

T b2

4" 2

3

5

1

T

s j

m= 3T b

2

20" 2

1

T

s j

m= 3 #2.0

2

20" 2

1

T

s j

m= 0.0611

T

s j

m

ub1

st= 0.061 1 1!" #$

1.015

0.651

!

"%

#

$& = 0.101

ub2

st= 0.061 1 1!" #$

% 0.015

0.016

!

"&

#

$' = 6.08 (10

%5

Calcolo delle risposte statiche modali 2/2


16/24


Su assuma che per il sistema su base fissa e per il sistema di isolamento i rapporti di smorzamento

valgono

Calcolo dei rapporti di smorzamento modali 1/2

! f =c

2m" f

= 0.02 = 2% ! b =cb

2 m

+

mb( )" b= 0.10 = 10%

Le costanti di smorzamento sono quindi pari a

c = 2m! f " f =4#" f

T f m =

4# $0.02

0.4m = 0.628m

cb = 2 m +m

b( )! b" b =5

3

4#" b

T b

m =5

3

4# $0.10

2.0m = 1.047m

e la matrice di smorzamento si scrive

C =c

b + c !c

!c c

"

#$$

%

&''=

1.675 ! 0.628

! 0.628 0.628

"

#$

%

&'

Le costanti di smorzamento modali risultano

C 1 =

1

T

C 1 = 0.961 1.000"# $%

1.675 & 0.628

& 0.628 0.628

"

#'

$

%(m

0.961

1.000

"

#'

$

%( = 0.968 m

C 2 =

2

T C

2 = 1.000 " 0.641#$ %&

1.675 " 0.628

" 0.628 0.628

#

$'

%

&(m

1.000

" 0.641

#

$'

%

&( = 2.739 m


17/24


I rapporti di smorzamento modali sono quindi pari a

Calcolo dei rapporti di smorzamento modali 2/2

! 1 =

C 1

2 M 1" 1=

0.968m

2#1.616m

#0.988$

= 0.0965 = 9.65%

! 2 =

C 2

2 M 2"

2

=

2.739m

2 #1.078m #8.001$ = 0.0505 = 5.05%

Si osserva che lo smorzamento relativo al primo modo, pari al 9.65%, è molto simile a quello del

sistema di isolamento, pari al 10%. Lo smorzamento nella struttura influenza ben poco lo

smorzamento del primo modo, dato che la struttura rimane pressoché rigida in quel modo.Al contrario, l’elevato smorzamento del sistema di isolamento determina un aumento dal 2% al

5.05% del secondo modo, che rappresenta il cosiddetto modo strutturale.


18/24


Il valore massimo del generico contributo modale alla risposta si ottiene mediante la relazione

Calcolo delle risposte massime modali 1/3

rn = r

n

st A

n

dove

An = A

n T

n,!

n( )

è l’ordinata dello spettro di progetto in termini di pseudo-accelerazione al periodo T n che

corrisponde a un rapporto di smorzamento !n.

Per il taglio alla base e per la deformazione degli isolatori, si ha

V bn

=V bn

st A

n u

bn = u

bn

st A

n =!

n

2ubn

st D

n

in cui Dn è l’ordinata dello spettro in termini di spostamento.


19/24


Si considerano gli spettri di progetto allo stato limite di danno per la città di Reggio Calabria,

corrispondenti agli smorzamenti del 2%, 5% e 10%.


1.0 2.0 3.0 4.00.0T (s)

0.4

0.3

0.2

0.1

Ang

2%

5%

! = 10% T

f =

0 . 4

s

T 2 =

0 . 2

5

s

T 1

= 2 . 0

2 4

s

0.309

0.369

0.055

Modo An/g V bn/w Dn (cm) ubn (cm)

1

0.055

1.015

0.056

5.702

0.975

5.559

2

0.309

- 0.015

- 0.005

0.480

0.024

0.012

SRSS 0.056 5.559

V bn

st/m !

n

2ubn

st

Si sono indicati con w il peso della struttura in elevazione e con g = 981 cm/s2 l’accelerazione di gravità.


20/24


Per la struttura su base fissa si ha


V bf = mA T f ,! f

( )= m "0.369g = 0.369w

cioè V bf

w= 0.369

Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 6.59 volte più grande rispetto a quello della

struttura isolata.

V bf

V b=

0.369

0.056= 6.59

Risulta


21/24


L’efficacia del sistema di isolamento nel ridurre le forze sismiche è strettamente legata all’allun-

gamento del periodo fondamentale di vibrazione della struttura. A tal fine il rapporto T b/T f deve

essere il più grande possibile.Nel caso dell’esempio precedente, il periodo della struttura su base fissa corrispondeva al valore

massimo dello spettro di progetto. Per effetto del sistema di isolamento, il periodo fondamentale

risultava traslato nella regione dello spettro con valori di pseudo-accelerazione molto più bassi.

Di conseguenza, il valore del taglio alla base era ridotto dal 36.9% del peso della struttura in

elevazione a solo il 5.6%.

Nel caso di strutture con un periodo su base fissa relativamente lungo, l’efficacia del sistema di

isolamento è molto inferiore. A tale proposito si consideri una struttura simile alla precedente, ma

con un periodo su base fissa T f = 2.0 s. I parametri che caratterizzano il sistema sono quindi

Efficacia del sistema di isolamento 1/4

T f = 2.0s ! f = 2% mb =2

3m T b = 2.0s ! b =10%

Seguendo lo stesso procedimento si ottiene …


22/24


…


Le frequenze e i rapporti di smorzamento modali risultano #1 = 0.751$ , #2 = 2.107$ , !1 = 4.50%

e !2 = 12.64%.

Al contrario del caso precedente, si osserva che:

(1) la struttura non si comporta rigidamente nel primo modo e il relativo periodo di vibrazione è

influenzato dalla flessibilità della struttura;

(2) il contributo del secondo modo alle forze sismiche non è più trascurabile;

(3) lo smorzamento del primo modo, pari al 4.5%, non è più simile allo smorzamento del sistema

di isolamento, pari al 10%.

m

(2/3)m

1.145m

0.333m

V b1=1.145

mst

=

0.145m

0.333m

V b2=-0.145

mst

+

T 2 = 0.949 s

2° modo

1.000

0.291

T 1 = 2.664 s

1° modo

0.436

1.000m

(2/3)m

T f = 2.0 s

T b = 2.0 s


23/24



Per il calcolo delle risposte massime modali si ha

Modo An/g V bn/w Dn (cm) ubn (cm)

1

0.047

1.145

0.054

8.283

0.501

4.150

2

0.116

- 0.145

- 0.017

2.597

0.482

1.252

SRSS 0.057 4.335

1.0 2.0 3.0 4.00.0T (s)

0.4

0.3

0.2

0.1

Ang

2%5%

! = 10%

T f = 2 . 0

s T 2

= 0 . 9

4 9

s

T 1

= 2 . 6

6 4

s

0.116 0.089

0.047

V bn

st/m !

n

2ubn

st


24/24


Per la struttura su base fissa si ha

V bf = mA T f ,! f ( ) = m "0.089g = 0.089wcioè

V bf

w= 0.089

Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 1.59 volte più grande rispetto a quello della

struttura isolata.

Come si può facilmente notare, questa volta il beneficio dell’isolamento è minore. Per questa

ragione l’isolamento alla base è usato raramente nel caso di sistemi strutturali con periodo

fondamentale alto, come accade per esempio nel caso degli edifici alti.

V bf

V b=

0.089

0.056=1.59

Risulta


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