Семинар по сложности булевых функцийЛекция 4: Сложность графов: на расстоянии
константы от P=NP
И. Михайлин
Computer Science клуб при ПОМИhttp://compsciclub.ru
02.10.2011
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 1 / 19
План лекции
1 Определения
2 Связь оценок на графы и на схемы
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 2 / 19
Введение
Почти все известные функции или очень простые (пороговыефункции, MOD-функции. . . ) или очень сложные (клика и другиеNP-трудные задачи). С другой стороны, например, графы обладаютзначительно более широким спектром сложности. Кроме того ихсвойства хорошо изучены, и можно было бы ожидать, что еслисвязать графы и схемы, то можно было бы получить новый подход кдоказательству нижних оценок.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 3 / 19
План лекции
1 Определения
2 Связь оценок на графы и на схемы
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 4 / 19
Показательная функция для графов
Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :
au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v
Тогда f : 0, 1n → 0, 1 называется показательной функциейдля графа G, если:
f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E
, где u, v ≤ n и Vv — вершина c номером v , а Vu — вершина сномером u. (На строках, которые нельзя представить в видеa(u, v), значение функции произвольно).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 5 / 19
Показательная функция для графов
Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.
Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :
au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v
Тогда f : 0, 1n → 0, 1 называется показательной функциейдля графа G, если:
f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E
, где u, v ≤ n и Vv — вершина c номером v , а Vu — вершина сномером u. (На строках, которые нельзя представить в видеa(u, v), значение функции произвольно).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 5 / 19
Показательная функция для графов
Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :
au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v
Тогда f : 0, 1n → 0, 1 называется показательной функциейдля графа G, если:
f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E
, где u, v ≤ n и Vv — вершина c номером v , а Vu — вершина сномером u. (На строках, которые нельзя представить в видеa(u, v), значение функции произвольно).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 5 / 19
Показательная функция для двудольного графа
Показательная функция для двудольного графа: Дан двудольный графG = (U,V ,E ), |U| = |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектора x ∈ 0, 1n иy ∈ 0, 1n для вершин из U и V соответственно. Рассмотрим вектордлины 2n a(u, v) :
u, v ≤ n, au = 1, an+v = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = n + v
Тогда f : 0, 12n → 0, 1 является показательной функцией дляграфа G, если:
f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Uu,Vv ∈ E
, где u, v ≤ n и Uu - вершина из первой доли с номером u, а Vv -вершина из второй доли с номером p. (На строках, которые нельзяпредставить в виде a(m, n), значение произвольно).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 6 / 19
Характеристическая функция
Дан двудольный граф G = (U,V ,E ), |U| = |V | = 2n. Функцияf : 0, 12n ⇐⇒ 0, 1 является характеристической, если для всехq, p ∈ 0, 1n : f (qp) = 1⇔Uq,Vp ∈ E .
ЛеммаЛемма о расширении. В схеме FG , вычисляющей характеристическуюфункцию графа G, можно заменить литералы на дизъюнкции новыхпеременных, так, чтобы полученная схема HG стала показательной дляG.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 7 / 19
Лемма о расширении
ДоказательствоОбозначим входные литералы векторами x и y и введем следующиеобозначения:
x𝜎i = xi , 𝜎 = 0
x𝜎i = ¬xi , 𝜎 = 1
,
y𝜎i = yi , 𝜎 = 0
y𝜎i = ¬yi , 𝜎 = 1
Теперь мы заменим исходные литералы дизъюнкциями новыхлитералов z:
x𝜎i =
⋁v∈V ,vi=𝜎
zv , y𝜎i =
⋁u∈U,ui=𝜎
zu
Тогда если в строке z только 2 единицы в позиции u и v , то в x и yбудет закодированы v и u соответственно. А так как FG (x , y) —характеристическая, то HG будет показательной.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 8 / 19
План лекции
1 Определения
2 Связь оценок на графы и на схемы
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 9 / 19
Сложность графа
Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2
.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 10 / 19
Сложность графа
Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.
Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2
.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 10 / 19
Сложность графа
Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.
Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2
.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 10 / 19
Сложность графа
Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2
.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 10 / 19
Открытая задача
Придумать явный двудольный граф размера n × n, с монотоннойсложностью (2 + 𝜖)n
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 11 / 19
Лемма о вычислении дизъюнкций
Лемма
Лемма о вычислении дизъюнкций: Пусть n = 2k . Тогда любой набориз p log2(n) дизъюнкций может быть посчитан за 3pn гейтов.Доказательство этого факта будет приведено в конце лекции.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 12 / 19
Сложность графа
ТеоремаПусть мы можем предъявить явный граф G, такой, чтоC+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n), тогда можно построить функциюf : 0, 12m → 0, 1 , которую нельзя посчитать меньше чем за 𝜑(2m)гейтов.
ДоказательствоДоказательство:Дан граф G : C+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n). Рассмотрим егохарактеристическую функцию FG . Пусть C (FG ) < 𝜑(n), тогда можнозаменить литералы в функции F , чтобы получить показательнуюфункцию HG . Для этого нужно заменить 4 log2(n) литералов и ихотрицаний на соответствующие дизъюнкции. По лемме о быстромвычислении дизъюнкций на это уйдет 12n. Значит показательнаяфункция HG посчиталась за < 12n + 𝜑(n) - противоречие. ЗначитC (FG ) ≥ 𝜑(n) = 𝜑(2m).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 13 / 19
Сложность графа
ТеоремаПусть мы можем предъявить явный граф G, такой, чтоC+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n), тогда можно построить функциюf : 0, 12m → 0, 1 , которую нельзя посчитать меньше чем за 𝜑(2m)гейтов.
ДоказательствоДоказательство:Дан граф G : C+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n). Рассмотрим егохарактеристическую функцию FG . Пусть C (FG ) < 𝜑(n), тогда можнозаменить литералы в функции F , чтобы получить показательнуюфункцию HG . Для этого нужно заменить 4 log2(n) литералов и ихотрицаний на соответствующие дизъюнкции. По лемме о быстромвычислении дизъюнкций на это уйдет 12n. Значит показательнаяфункция HG посчиталась за < 12n + 𝜑(n) - противоречие. ЗначитC (FG ) ≥ 𝜑(n) = 𝜑(2m).
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 13 / 19
Лемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций
ЛеммаЛемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций: Любойнабор из k дизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2:
Доказательство
Доказательство: Дано k множеств S1, S2..Sk ⊂ 1, 2 . . . n, схемаполучает на вход 0, 1n выходом схемы являются:
⋃i∈Sj
xi , j = 1 . . . k .Для всех строк w длины ≤ k построим вспомогательные множества Jw:Jw = j |j ∈ Si ⇔ wi = 1Тогда множества Jw обладают следующими свойствами:1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′|,w = w ′
2)Jw = Jw0 ∪ Jw1, если |w | < k3)Si =
⋃|w |=i−1 Jw1, для i ≤ k
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 14 / 19
Продолжение доказательства
Доказательство
1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′|,w = w ′
2)Jw = Jw0 ∪ Jw1, если |w | < k3)Si =
⋃|w |=i−1 Jw1, для i ≤ k
Для начала посчитаем все Vw =⋃
i∈Jwxi для всех w : |w | = k . По
первому свойству у них нет общих элементов, а значит они все могутбыть посчитаны за n гейт. Теперь все остальные Vw , по свойству 2,выражаются как дизъюнкция уже полученных V, а значит все вместемогут быть посчитаны за 2k − 1. m-ный выходной гейт может бытьпосчитан, через свойство 3, как дизъюнкция 2m−1Vw , а значит на всехуйдет
∑k −1m=0(2m−1 − 1) = 2k − k − 1 Итого: набор из kдизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 15 / 19
Лемма о быстром вычислении дизъюнкций
Лемма
Пусть n = 2k . Тогда любой набор из p log2(n) дизъюнкций может бытьпосчитан за 3pn гейтов.
ДоказательствоЛюбой набор из k дизъюнкций может быть посчитаны заn + 2k+1 − k − 2. Если в качестве k подставить log2(n), то:n + 2log2(n)+1 − log2(n) − 2 < 3n. Значит если разбить набор изp log2(n) дизъюнкций на p групп, то каждую из них можно будетпосчитать за 3n. А значит на все уйдет 3pn
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 16 / 19
Задачи
1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =
⋁Fi , где
Fi = xi ∧ (⋁
j :Vi ,Vj∈E
xj)
Особым свойством этой формулы является то, что переменная xiвходит в нее не более di + 1 раз.Докажите, что если ∀i : di < (n − 1), то любая минимальнаяпоказательная формула для G будет обладать тем же свойством.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 17 / 19
Задачи
1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .
2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =
⋁Fi , где
Fi = xi ∧ (⋁
j :Vi ,Vj∈E
xj)
Особым свойством этой формулы является то, что переменная xiвходит в нее не более di + 1 раз.Докажите, что если ∀i : di < (n − 1), то любая минимальнаяпоказательная формула для G будет обладать тем же свойством.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 17 / 19
Задачи
1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =
⋁Fi , где
Fi = xi ∧ (⋁
j :Vi ,Vj∈E
xj)
Особым свойством этой формулы является то, что переменная xiвходит в нее не более di + 1 раз.Докажите, что если ∀i : di < (n − 1), то любая минимальнаяпоказательная формула для G будет обладать тем же свойством.
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 17 / 19
Задачи
3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержиттреугольников и изолированных вершин. Докажите, что длялюбого насыщенного графа G = V ,E, функцияfG =
⋁i ,j :Vi ,Vj∈E (xi ∧ xj) является единственной показательной
функцией.4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 18 / 19
Задачи
3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержиттреугольников и изолированных вершин. Докажите, что длялюбого насыщенного графа G = V ,E, функцияfG =
⋁i ,j :Vi ,Vj∈E (xi ∧ xj) является единственной показательной
функцией.
4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 18 / 19
Задачи
3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержиттреугольников и изолированных вершин. Докажите, что длялюбого насыщенного графа G = V ,E, функцияfG =
⋁i ,j :Vi ,Vj∈E (xi ∧ xj) является единственной показательной
функцией.4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)
И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 18 / 19