20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin

Семинар по сложности булевых функцийЛекция 4: Сложность графов: на расстоянии

константы от P=NP

И. Михайлин

Computer Science клуб при ПОМИhttp://compsciclub.ru

02.10.2011

И. Михайлин (Computer Science клуб)4. Сложность графов 02.10.2011 1 / 19

http://compsciclub.ru

План лекции

1 Определения

2 Связь оценок на графы и на схемы


Введение

Почти все известные функции или очень простые (пороговыефункции, MOD-функции. . . ) или очень сложные (клика и другиеNP-трудные задачи). С другой стороны, например, графы обладаютзначительно более широким спектром сложности. Кроме того ихсвойства хорошо изучены, и можно было бы ожидать, что еслисвязать графы и схемы, то можно было бы получить новый подход кдоказательству нижних оценок.






Показательная функция для графов

Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :

au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v

Тогда f : 0, 1n → 0, 1 называется показательной функциейдля графа G, если:

f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E

, где u, v ≤ n и Vv — вершина c номером v , а Vu — вершина сномером u. (На строках, которые нельзя представить в видеa(u, v), значение функции произвольно).



Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.

Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :

au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v


f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E




Неформально: показательная функция при подстановке в неестроки с двумя единицами проверяет, соединены лисоответствующие вершины.Дан граф G = (V ,E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектор a ∈ 0, 1n.Рассмотрим вектор a(u, v) :

au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = v


f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Vu,Vv ∈ E



Показательная функция для двудольного графа

Показательная функция для двудольного графа: Дан двудольный графG = (U,V ,E ), |U| = |V | = n. Каждой вершине сопоставляетсяпеременная, которые в совокупности дают вектора x ∈ 0, 1n иy ∈ 0, 1n для вершин из U и V соответственно. Рассмотрим вектордлины 2n a(u, v) :

u, v ≤ n, au = 1, an+v = 1, aj = 0 ⇐⇒ j = u, j = n + v

Тогда f : 0, 12n → 0, 1 является показательной функцией дляграфа G, если:

f (a(u, v)) = 1 ⇐⇒ Uu,Vv ∈ E

, где u, v ≤ n и Uu - вершина из первой доли с номером u, а Vv -вершина из второй доли с номером p. (На строках, которые нельзяпредставить в виде a(m, n), значение произвольно).


Характеристическая функция

Дан двудольный граф G = (U,V ,E ), |U| = |V | = 2n. Функцияf : 0, 12n ⇐⇒ 0, 1 является характеристической, если для всехq, p ∈ 0, 1n : f (qp) = 1⇔Uq,Vp ∈ E .

ЛеммаЛемма о расширении. В схеме FG , вычисляющей характеристическуюфункцию графа G, можно заменить литералы на дизъюнкции новыхпеременных, так, чтобы полученная схема HG стала показательной дляG.


Лемма о расширении

ДоказательствоОбозначим входные литералы векторами x и y и введем следующиеобозначения:

x𝜎i = xi , 𝜎 = 0

x𝜎i = ¬xi , 𝜎 = 1

,

y𝜎i = yi , 𝜎 = 0

y𝜎i = ¬yi , 𝜎 = 1

Теперь мы заменим исходные литералы дизъюнкциями новыхлитералов z:

x𝜎i =

⋁v∈V ,vi=𝜎

zv , y𝜎i =

⋁u∈U,ui=𝜎

zu

Тогда если в строке z только 2 единицы в позиции u и v , то в x и yбудет закодированы v и u соответственно. А так как FG (x , y) —характеристическая, то HG будет показательной.






Сложность графа

Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2

.



Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.

Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2

.



Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.

Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2

.



Сложность графа C (G ) — это минимальный размерпоказательной для графа схемы.Монотонная сложность графа C+(G ) — это минимальный размерпоказательной для графа монотонной схемы.Почти все графы имеют монотонную сложность:C+(G ) = Ω(n2/ log n). Доказательство абсолютно аналогичноприводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, чтоколичество монотонных схем из не более t элементов не больше(nt)O(t), а количество графов есть 2n2

.


Открытая задача

Придумать явный двудольный граф размера n × n, с монотоннойсложностью (2 + 𝜖)n


Лемма о вычислении дизъюнкций

Лемма

Лемма о вычислении дизъюнкций: Пусть n = 2k . Тогда любой набориз p log2(n) дизъюнкций может быть посчитан за 3pn гейтов.Доказательство этого факта будет приведено в конце лекции.



ТеоремаПусть мы можем предъявить явный граф G, такой, чтоC+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n), тогда можно построить функциюf : 0, 12m → 0, 1 , которую нельзя посчитать меньше чем за 𝜑(2m)гейтов.

ДоказательствоДоказательство:Дан граф G : C+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n). Рассмотрим егохарактеристическую функцию FG . Пусть C (FG ) < 𝜑(n), тогда можнозаменить литералы в функции F , чтобы получить показательнуюфункцию HG . Для этого нужно заменить 4 log2(n) литералов и ихотрицаний на соответствующие дизъюнкции. По лемме о быстромвычислении дизъюнкций на это уйдет 12n. Значит показательнаяфункция HG посчиталась за < 12n + 𝜑(n) - противоречие. ЗначитC (FG ) ≥ 𝜑(n) = 𝜑(2m).



ТеоремаПусть мы можем предъявить явный граф G, такой, чтоC+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n), тогда можно построить функциюf : 0, 12m → 0, 1 , которую нельзя посчитать меньше чем за 𝜑(2m)гейтов.

ДоказательствоДоказательство:Дан граф G : C+(G ) ≥ 12n + 𝜑(n). Рассмотрим егохарактеристическую функцию FG . Пусть C (FG ) < 𝜑(n), тогда можнозаменить литералы в функции F , чтобы получить показательнуюфункцию HG . Для этого нужно заменить 4 log2(n) литералов и ихотрицаний на соответствующие дизъюнкции. По лемме о быстромвычислении дизъюнкций на это уйдет 12n. Значит показательнаяфункция HG посчиталась за < 12n + 𝜑(n) - противоречие. ЗначитC (FG ) ≥ 𝜑(n) = 𝜑(2m).


Лемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций

ЛеммаЛемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций: Любойнабор из k дизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2:

Доказательство

Доказательство: Дано k множеств S1, S2..Sk ⊂ 1, 2 . . . n, схемаполучает на вход 0, 1n выходом схемы являются:

⋃i∈Sj

xi , j = 1 . . . k .Для всех строк w длины ≤ k построим вспомогательные множества Jw:Jw = j |j ∈ Si ⇔ wi = 1Тогда множества Jw обладают следующими свойствами:1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′|,w = w ′

2)Jw = Jw0 ∪ Jw1, если |w | < k3)Si =

⋃|w |=i−1 Jw1, для i ≤ k


Продолжение доказательства

Доказательство

1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′|,w = w ′

2)Jw = Jw0 ∪ Jw1, если |w | < k3)Si =

⋃|w |=i−1 Jw1, для i ≤ k

Для начала посчитаем все Vw =⋃

i∈Jwxi для всех w : |w | = k . По

первому свойству у них нет общих элементов, а значит они все могутбыть посчитаны за n гейт. Теперь все остальные Vw , по свойству 2,выражаются как дизъюнкция уже полученных V, а значит все вместемогут быть посчитаны за 2k − 1. m-ный выходной гейт может бытьпосчитан, через свойство 3, как дизъюнкция 2m−1Vw , а значит на всехуйдет

∑k −1m=0(2m−1 − 1) = 2k − k − 1 Итого: набор из kдизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2.


Лемма о быстром вычислении дизъюнкций

Лемма

Пусть n = 2k . Тогда любой набор из p log2(n) дизъюнкций может бытьпосчитан за 3pn гейтов.

ДоказательствоЛюбой набор из k дизъюнкций может быть посчитаны заn + 2k+1 − k − 2. Если в качестве k подставить log2(n), то:n + 2log2(n)+1 − log2(n) − 2 < 3n. Значит если разбить набор изp log2(n) дизъюнкций на p групп, то каждую из них можно будетпосчитать за 3n. А значит на все уйдет 3pn


Задачи

1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =

⋁Fi , где

Fi = xi ∧ (⋁

j :Vi ,Vj∈E

xj)

Особым свойством этой формулы является то, что переменная xiвходит в нее не более di + 1 раз.Докажите, что если ∀i : di < (n − 1), то любая минимальнаяпоказательная формула для G будет обладать тем же свойством.


Задачи

1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .

2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =

⋁Fi , где

Fi = xi ∧ (⋁

j :Vi ,Vj∈E

xj)



Задачи

1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершинеи одной изолированной вершины.Докажите, что C+(G ) ≥ 2n − c .2) Рассмотрим граф G = V ,E, |V | = n. Пусть теперь степеньi-ой вершины di . Тогда F =

⋁Fi , где

Fi = xi ∧ (⋁

j :Vi ,Vj∈E

xj)



Задачи

3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержиттреугольников и изолированных вершин. Докажите, что длялюбого насыщенного графа G = V ,E, функцияfG =

⋁i ,j :Vi ,Vj∈E (xi ∧ xj) является единственной показательной

функцией.4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)


Задачи



функцией.

4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)


Задачи



функцией.4) Мультипликативная сложность функции F - CM(F ) —минимальное количество гейтов типа AND, необходимых длявычисления функции F . Минимальная мультипликативнаясложность графа G — CM(G ) - минимальное CM(FG ), где FG -показательная функция графа G .Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, чтоCM(G ) ≥ 𝜑(n), тогда можно построить функциюF : 0, 12m → 0, 1 , такую, что CM(F ) ≥ 𝜑(2m)


Спасибо за внимание!


Documents

20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin