La derivada
El problema de la recta tangente
¿Cómo definimos una recta tangente a una curva?
¿Cómo definimos una recta tangente a una curva?
La recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P
Para un círculo
P
¿Pero que pasa con una curva en general?
¿Cómo definimos una recta tangente a una curva cualquiera?
x
y
y = f(x)
y
y = f(x)
y
y = f(x)x x
¿Se podría afirmar que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla?
¿Podríamos decir que una recta es tangente a una curva en P si la toca o la intersecta solo en el punto P?
PP P
¿Cómo definimos una recta tangente a una curva cualquiera?
x
y
y = f(x)
y
y = f(x)
y
y = f(x)x x
Una recta tangente a una curva en un punto, es aquella que al pasar por dicho punto tiene la misma pendiente de la curva
PP P
El problema es hallar la pendiente de la curva en un punto dado
Entonces…
c
[c, f(c)]
2 4 6 8
2
4
6
x
y
c
[c, f(c)]
2 4 6 8
2
4
6
x
y
c
[c, f(c)]
2 4 6 8
2
4
6
x
y
c + ∆x
[c+ ∆x, f(c+ ∆x)]
∆x
f(c+ ∆x) - f(c)
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a xc c + ∆x
[c, f(c)]
[c+ ∆x, f(c+ ∆x)]
∆x
f(c+ ∆x) - f(c)
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a xc c + ∆x
[c, f(c)]
[c+ ∆x, f(c+ ∆x)]
∆x
f(c+ ∆x) - f(c)
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
∆y
∆x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a x
2 4 6 8
2
4
6
x
y
ax
2 4 6 8
2
4
6
x
y
ax