Populationsdynamik: . . .
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Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3) Kontinuierliche Modellbildung undSimulation
Populationsdynamik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3.1. Populationsdynamik: Modelle und ihrenumerische Behandlung
3.1.1. Modelle der Populationsdynamik
• die numerische Simulation stützt sich typischerweise auf kontinuierliche Mo-delle (reellwertige Größen, Apparat der Analysis)
• zwei große Klassen:
– Problememit Berücksichtigung des Ortes bzw. Raumes führen auf par-tielle Differentialgleichungen oder kurz PDE
– Probleme ohne Berücksichtigung des Ortes bzw. Raumes führen aufgewöhnliche Differentialgleichungen oder kurz ODE
• Standardbeispiel für letztere: Populationsdynamik
– Entwicklung bzw. Wachstum von Populationen,
* entweder als isolierte Spezies (ohne externe Einflüsse)
* oder in (friedlicher / feindlicher) Koexistenz verschiedener Spezies
– Modellierung hat hier große Tradition (Biologie und Mathematik)
– ein Beispiel mit zwei „Spezies“ schon in Kapitel 1: Wettrüsten!
– klassischer, einfacher Vertreter eines 1-Spezies-Modells: Modell nachMaltus (1798)
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Modell nach Maltus
• betrachtet wird nur eine einzige Spezies P :
– konstante Geburtenrate γ pro Zeiteinheit und Individuum
– konstante Sterberate δ pro Zeiteinheit und Individuum
– dadurch auch konstanteWachstumsrate λ = γ − δ (positiv/negativ)
• Studium der Entwicklung von p(t), der Anzahl von Individuen von P :
p(t + ∆t) = p(t) + λ · p(t) · ∆t
(Wachstum ist proportional zu Populationsgröße und Zeit)
• führt auf die gewöhnliche Differentialgleichung
p(t) = λ p(t)
mit der Lösungp(t) = p0e
λt,
wobeip(0) = p0
• Anmerkung:
– exponentielles Verhalten (Wachstum oder Abnahme extrem schnell)
– zunächst diskrete Realität (Anzahl von Individuen ist ganzzahlig!), aberdennoch kontinuierliches Modell!
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Diskrete Herleitung?
• obige Herleitung war kontinuierlich (Analysis, Grenzwert ∆t → 0 )
• es geht aber auch rein diskret :
– Modellhypothese einer konstanten Wachstumsrate entspricht Annah-me der Verdopplung des Bestands alle τ Jahre
– Start zur Zeit t = 0 mit der Anfangsstärke p0
– nach k · τ Jahren folgende Populationsstärke:
p(k · τ) = 2k · p0 = p0 · eln 2·k· ττ = p0 · e ln 2
τ ·k·τ
– mit λ = ln 2/τ alsop(k · τ) = p0 · eλ·(k·τ)
– „wagt“ man jetzt noch den Schritt vom ganzzahligen k · τ zum reellwer-tigen t von vorhin, so ist unser bisheriges kontinuierliches Modell (dieODE) auch mittels diskreter Argumente hergeleitet
• beruhigend – wir bleiben deshalb bei kontinuierlichen Ansätzen
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Einschub: Bezüge zur Verzinsung
• Startkapital K, Jahresnominalzins R%
– nach n Jahren (jährliche Verzinsung): K · (1 + r)n, r = R/100
– nach n Jahren (monatliche Verzinsung): K ·(1 + r
12
)12·n
– nach n Jahren (tägliche Verzinsung): K ·(1 + r
365
)365·n
– im Grenzwert (unendlich fein):
limN→∞ K ·(1 + r
N
)N ·n= limN→∞ K ·
(1 + r·n
N ·n)N ·n
= K · er·n
– exponentielles Wachstum ( r = λ, n = t , Lob den Banken!)
• Verdopplung des Kapitals nach τ Jahren (vgl. Folie 4):
2K = K · (1 + r)τ , also τ =ln 2
ln(1 + r)≈ 0.7
r=
70R
bzw.
2K = K · er·τ , also τ =ln 2r
≈ 0.7r
=70R
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Erste Verfeinerung: Sättigung
• Ist exponentielles Wachstum realistisch?
– Bevölkerung der Erde zwischen 1700 und 1961: ja!
* Wachstumsrate von ungefähr 0.02
* das heißt: Verdopplung etwa alle 34.67 Jahre
– im Allgemeinen jedoch: nein!
* begrenzte Aufnahmekapazität der Erde, begrenzte Ressourcen
* zunehmender Wettbewerb/Kampf um Nahrung, Wasser oder Luftwirkt bremsend auf das Bevölkerungswachstum
• Verfeinerung gemäß Verhulst und anderen (19. Jahrhundert):
– Bevölkerungszahl strebt gegen Sättigungsgrenzwert
– lineare Geburten- und Sterberaten (jetzt nur pro Zeiteinheit):
γ(t) = γ0 − γ1p(t), δ(t) = δ0 + δ1p(t), γ0 > δ0 > 0, γ1, δ1 > 0
(ein hoher Bestand dämpft Geburten- und erhöht Sterberate)
– Für t → ∞ existiert ein Grenzwert 0 < p∞ < ∞ – also wederAussterben noch Bevölkerungsexplosion!
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Sättigung nach Verhulst (2)
• zugrunde gelegte Differentialgleichung:
p(t) = γ(t) − δ(t) = γ0 − δ0 − (γ1 + δ1) · p(t) = −m · (p(t) − p∞)
mit
m = γ1 + δ1 > 0, p∞ =γ0 − δ0
γ1 + δ1> 0
• Startwert zur Zeit Null:p(0) = p0
• als Lösung errechnet man:
p(t) = p∞ + (p0 − p∞) · e−m·t
• Eigenschaften der Lösung:
– Grenzwert gegen unendlich:
limt→∞ p(t) = p∞
– beschränktes Wachstum, in vielen Szenarien realistischer
– allerdings: gebremste Zunahme / Abnahme von Anfang an
– oft tritt Sättigungseffekt jedoch erst nach einiger Zeit ein
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Zweite Verfeinerung: Logistisches Wachstum
• Ist Verhulsts erster (Sättigungs-) Ansatz realistisch?
– zweite Ableitung (Krümmung) von p(t) ändert ihr Vorzeichen nicht!
– S-Form (logistisches Wachstum) kommt jedoch oft vor
• neues Modell Verhulsts, um Wendepunkt zu erlauben:
p(t) =(a − b · p(t)
)· p(t) = a · p(t) − b · p2(t), a >> b > 0, p(0) = p0
mit der Lösung
p(t) =a · p0
b · p0 + (a − b · p0) · e−at
• Diskussion:
– Grenzwert für t gegen unendlich existiert:
limt→∞ p(t) =
a
b
– p0 < a/b : es gibt einen Wendepunkt, p(t) < a/b∀t
– p0 > a/b : kein Wendepunkt, p(t) monoton fallend, p(t) > a/b∀t
– Beispiel USA 1790-1950: a = 0.03134, b = 1.5587 · 10−10
– Modell mächtiger als zuvor, aber immer noch ohne äußere (und insb.agierende bzw. wechselwirkende) Einflüsse
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Logistisches Wachstum (2)
• Typischerweise ist a wesentlich größer als b :
– quadratischer Term schlägt dadurch erst bei großem p(t) zu
– Warum überhaupt quadratisch und nicht kubisch? Dies ist eben eineModellthese!
– Rechtfertigung des quadratischen Modellansatzes:
* Störung eines Individuums ist proportional zu p(t)
* somit Störung der Allgemeinheit proportional zum Quadrat von p(t)
• logistisches Wachstum auch anderweitig zu erzielen; beim Tumorwachstumetwa folgende Ansätze:
– p(t) = λ(t) · p(t)
* dabei λ(t) positiv, monoton fallend und stetig
* Ausgangspunkt: empirisch begründete Annahme zeitlich abklingen-der Wachstumsraten
– p(t) = f(p(t)) · p(t)
* dabei f(p) positiv, monoton fallend und für t → ∞ gegen 0 strebend
* dies ist Oberklasse zu beiden bisher genannten logistischen Mo-dellen
* Empirie: reicht aus für geschlossene Populationen
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Weitere Möglichkeit: Oszillationen
• Idee dieses qualitativ anderen Modellansatzes:
– Grenzwert limt→∞ p(t) = p∞ soll wieder existieren
– Überschwingen und allmähliches Einpendeln auf Grenzwert
– Modell: Schwingungen (konkret: linearer gedämpfter Oszillator)
• Differentialgleichung:
p(t) + µ · p(t) + ω2 · (p(t) − p∞)
= 0
µ > 0, 4 · ω2 − µ2 ≥ 0
• neu:
– zweite Ableitung von p(t) tritt auf: somit alsoWechselspiel aus Populations-stärke, Wachstum und Wachstumsänderung
• Lösung bei Anfangsbedingung: p(0) = p0
p(t) = (p0 − p∞) · e−µt2 · cos
(√ω2 − µ2
4· t)
+ p∞
• Interpretation (insbesondere der zweiten Ableitung)?
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Mehr als eine Spezies
• nächster Schritt in Richtung mehr Realismus: betrachte zwei Spezies P undQ, z.B.
p(t) = f(p(t), q(t)) · p(t),
q(t) = g(p(t), q(t)) · q(t),
• f und g:Wachstumsraten, sinnvoll für positive Werte von p und q
• es gebe p, q mit f(p, q) = g(p, q) = 0 (nicht immer der Fall):
–(
p(t)q(t)
)=(
pq
)wird Gleichgewichtslösung genannt, falls p, q > 0
f(p, q) = g(p, q) = 0 ⇒ p(t) = q(t) = 0
– Gleichgewicht beschreibt stabilen bzw. stationären Zustand des Sy-stems (kein Wachstum); die Lösung (p)t = p, q(t) = q heißt stationäreLösung
• entscheidende Fragen:
– Gibt es eine Gleichgewichtslösung?
– Falls ja, ist sie attraktiv (d.h. wird sie irgendwann oder im Limes ange-nommen, und verharren p und q dann auch in ihr)?
– vgl. Situation beim Beispiel des Wettrüstens in Kapitel 1
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Einfaches Beispiel: Wettrüsten
• schon in Kapitel 1: Wettrüst-Modell
x(t) = f(x, y) = −mx(t) + ay(t) + c
y(t) = g(x, y) = bx(t) − ny(t) + d,
a, b, c, d, m, n > 0
(x(t)y(t)
)=(−m a
b −n
)·(
x(t)y(t)
)+(
cd
)
• beachte: einfacheres Modell (linear!) als auf Folie 11!
• Interpretation:
– Rüstungsausgaben x(t), y(t) von zwei Großmächten X und Y
– Abrüstraten m und n , Aufrüstraten a und b
– konstante Aufrüstbeiträge c und d (Abrüstbeiträge, falls negativ)
• man kann hier zeigen:
– wenn m · n = a · b , dann existiert (x, y) mit f(x, y) = g(x, y) = 0
– somit hat man die stationäre Lösung(x(t)y(t)
)=(
xy
)∀t
(Gleichgewicht, wenn beide Komponenten positiv)
– wenn m · n > a · b , dann liegt zudem Attraktivität vor (Deutung?)
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Beispiel Wettrüsten: Gleichgewicht
• Modell: (x(t)y(t)
)=(−1 1/2
1/2 −1
)·(
x(t)y(t)
)+(
3/20
)• Eigenwerte der Matrix: −1/2,−3/2
• es gilt m · n > a · b
• Start bei(
x0
y0
)=(
1/23/2
), Gleichgewicht (attraktiv) bei
(xy
)=(
21
)
Populationsdynamik: . . .
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Beispiel Wettrüsten: Explosion
• Modell: (x(t)y(t)
)=(−3/4 1
1 −3/4
)·(
x(t)y(t)
)+(
1/2−5/4
)• Eigenwerte der Matrix: 1/4,−7/4
• es gilt m · n < a · b
• Start bei(
x0
y0
)=(
5/49/4
), Gleichgewicht (nicht attraktiv) bei
(xy
)=(
21
)
Populationsdynamik: . . .
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Beispiel Wettrüsten: noch ’was Nettes
• Modell: (x(t)y(t)
)=(−3/4 1
−1 −3/4
)·(
x(t)y(t)
)+(
05/2
)• Eigenwerte der Matrix: −3/4 ± i
• Start bei(
x0
y0
)=(
1/211/4
), Gleichgewicht (attraktiv) bei
(xy
)=(
8/56/5
)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
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Beispiel Wettrüsten (die letzte)
• d.h.: Y rüstet auch bei großem X(t) ab und fährt mit dieser „pazifistischen“Marschroute sicherheitspolitisch nicht schlechter als mit „konventioneller“Strategie!
• entscheidende Frage:
– Ist das Gleichgewicht wirklich stabil? Bedeutet nicht z.B.(x(t)y(t)
)=(
xy
)=(
1001
)in der Logik des Kalten Krieges, dass X irgendwann doch angreift –und sich einen Dreck um die theoretische Stabilität schert?
– Modell also noch unvollständig:
* große positive Differenz x(t) − y(t) führt wohl zu Aufrüsten bei Y ,große negative Differenz zu Abrüsten (analog für X)
* vgl. „Two-Power-Standard“ (Royal Navy stärker als zwei beliebi-ge andere europäische Marinen zusammen, British Naval DefenceAct 1889)
• damit sind Wege zur weiteren Modellverfeinerung aufgezeichnet
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Existenz eines Gleichgewichts
• Folie 11 sowie Theorie der ODE: hinreichend für Attraktivität eines Gleich-gewichts (p, q) sind negative Realteile der Eigenwerte der Jacobimatrix zu
F (p, q) =(
f(p, q) · pg(p, q) · q
)
in (p, q) , also der Eigenwerte von
JF (p, q) =(
fp(p, q) · p + f(p, q) fq(p, q) · pgp(p, q) · q gq(p, q) · q + g(p, q)
)=(
fp(p, q) · p fq(p, q) · pgp(p, q) · q gq(p, q) · q
)• Vielzahl denkbarer Konstellationen (verschiedene Eigenschaften von f und
g , wichtig für Gleichgewicht):
– Wettbewerb / Konkurrenz : beide Spezies von derselben Charakteristik,konkurrieren um denselben Lebensraum
– Räuber-Beute : eine Spezies ist natürliche Beute der anderen
– Symbiose : beide profitieren voneinander in einer Gemeinschaft
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Konkurrenz-Szenario
• Die Spezies P und Q sind keine Feinde im Sinne von Nahrung, aber siekonkurrieren um dieselben Ressourcen (etwa Löwen und Leoparden):
fp(p, q), fq(p, q), gp(p, q), gq(p, q) < 0 für p, q > 0
• Als hinreichende Eigenwertbedingung ergibt sich
fp(p, q) · gq(p, q) − fq(p, q) · gp(p, q) > 0
(Deutung: Eigenbehinderung größer als Fremdbehinderung)
• einfachstes (konkretes) Modell: lineares f und g
f(p, q) = a1 + a2 · p + a3 · q, g(p, q) = a4 + a5 · p + a6 · q
mit (aufgrund der obigen Modellannahmen an f und g )
a1, a4 > 0, a2, a3, a5, a6 < 0, a2 · a6 > a3 · a5
• System f(p, q) = g(p, q) = 0 ist eindeutig lösbar (lineare Algebra), die zuge-hörige stationäre Lösung ist attraktiv (Eigenwerte!)
• einzig p > 0, q > 0 ist noch zu klären
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Konkurrenz-Szenario (2)
• Ermittlung des Gleichgewichtszustands:
– zu lösen sind zwei lineare Gleichungen in zwei Unbekannten:
f(p, q) = a1 + a2 · p + a3 · q = 0
g(p, q) = a4 + a5 · p + a6 · q = 0
– eindeutige Lösung:
p =a3a4 − a1a6
a2a6 − a3a5, q =
a1a5 − a4a2
a2a6 − a3a5
(Nenner größer Null!)
– Lösung definiert Gleichgewicht, falls p und q größer Null; dies sicherge-stellt, falls
a2
a5>
a1
a4>
a3
a6
– Attraktivität steckt schon in Modellannahme drin!
• im linearen Fall ist auch der (Entartungs-) Fall a2a6 = a3a5 behandelbar:
– Eigenbehinderung = Fremdbehinderung
– die Folge kann beispielsweise das Aussterben einer Spezies sein
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Beispiel Konkurrenz: Gleichgewicht
• Modell:
f(p, q) =52
+√
324
− 58· p −
√3
24· q
g(p, q) =78
+3√
32
− 3√
38
· p − 78· q
• Eigenwerte der Matrix: −1/2,−1
• es gilt a2a6 − a3a5 = 0.5 > 0
• Start bei(
p0
q0
)=(
1/43
), Gleichgewicht (attraktiv) bei
(pq
)=(
41
)
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Beispiel Konkurrenz: Aussterben von P
• Modell:f(p, q) =
718
− 2312
· p − 2512
· q
g(p, q) =738
− 2512
· p − 2312
· q
• Eigenwerte der Matrix: −4, 1/6
• es gilt a2a6 − a3a5 = − 23 < 0
• Anfangswerte(
p0
q0
)=(
1/41/2
)• Gleichgewicht (nicht attraktiv, sondern Sattelpunkt) bei
(pq
)=(
33/2
)
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Was macht Q so ganz allein?
• P stirbt (und scheidet somit) aus!
• Q gehorcht somit nun der ODE
q = g(0, q) · q =(
738
− 2312
· q)· q =
738
· q − 2312
· q2
• dies ist ODE für logistisches Wachstum (vgl. Folie 8)!
• mit a = 738 , b = 23
12 ergibt sich daher folgende Lösung:
q(t) =a · q0
b · q0 + (a − b · q0) · e−at
(dabei gibt q0 den Bestand von Q zum Zeitpunkt des Aussterbens von P an– jetzt wieder auf t = 0 gesetzt)
• Ablesen zeigt q0 ≈ 4.8 , und damit erhält man
q(t) ≈ 43.89.2 − 0.075 · e−9.125·t , lim
t→∞ q(t) =a
b≈ 4.761
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Beispiel Konkurrenz: Aussterben (2)
• Modell:
f(p, q) = 7 − 3√
332
− 74· p − 3
√3
16· q
g(p, q) = −138
+ 12√
3 − 3√
3 · p − 134
· q• es gilt a2a6 − a3a5 = 4 > 0
• Start bei(
p0
q0
)=(
1/41/2
)• stabiler Zustand (attraktiv), aber kein Gleichgewicht
(pq
)=(
4−1/2
)
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Beispiel 1 zur Entartung
• jetzt gelte a2a6 = a3a5 (Attraktivitätsbedingung verletzt!)
• konkret:f(p, q) = 4 − p − 2q
g(p, q) = 6 − 2p − 4q
• es gilt (−1) · (−4) − (−2) · (−2) = 0
• keine Lösung für f = g = 0 ; zwei parallele Geraden; Gleichgewicht: einerstirbt aus
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Beispiel 2 zur Entartung
• wieder sei a2a6 = a3a5 (Attraktivitätsbedingung verletzt!)
• konkret:f(p, q) = 8 − p − 2q
g(p, q) = 16 − 2p − 4q
• es gilt (−1) · (−4) − (−2) · (−2) = 0
• unendliche viele Lösungen für f = g = 0 ; alle sind Gleichgewichtszustände!
• Zielpunkt hängt von Startpunkt ab
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Räuber-Beute-Szenario
• Q ist „Nahrung“ für P , was zu einem unterschiedlichen Wachstumsverhaltenführt (Unsymmetrie):
fp(p, q), gp(p, q), gq(p, q) < 0, fq(p, q) > 0 für p, q > 0
• in unserem linearen Modell heißt das
a2, a5, a6 < 0, a3 > 0
(Räuber P profitiert natürlich jetzt von starker Population der Beute Q)
• Man kann für dieses Szenario zeigen:
– Jede Gleichgewichtslösung (sofern existent) erfüllt die Eigenwertbedin-gung, ist also attraktiv!
• Konstruktion von Gleichgewichtslösungen:
– löse das 2 × 2-Gleichungssystem (wie zuvor; Nenner aufgrund obigerBedingung nie Null)
– prüfe, ob die berechneten Werte p, q positiv sind
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Räuber-Beute-Szenario (2)
• klassischer Vertreter: Modell nach Volterra und Lotka:
– keinerlei Eigeneinfluss (P auf P bzw. Q auf Q):
a2 = a6 = 0
– unsymmetrischer Fremdeinfluss wie zuvor:
a3 > 0, a5 < 0
– konstante Terme in f und g (auch hier Unsymmetrie):
a1 < 0, a4 > 0
– Gleichgewichtslösung kann berechnet werden:
0 < p = −a4
a5, 0 < q = −a1
a3
– Beide Eigenwerte der Jacobimatrix sind rein imaginär (die Realteile derEigenwerte sind somit Null und nicht negativ)!!
– Statt der Attraktivität kann Stabilität gezeigt werden: Entwicklung bleibtgefangen in Umgebung der Gleichgewichtslösung!
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Beispiel zu Volterra-Lotka
• Volterra-Lotka-Szenario:
p = f(p, q) · p, f(p, q) = −12
+1
200· q
q = g(p, q) · q, g(p, q) =15− 1
50· p
• Gleichgewichtslösung:p = 10, q = 100
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Verkehrsfluss: . . .
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3.1.2. Numerische Behandlung von ODE
• Modelle der Populationsdynamik: eine/mehrere ODE, zusammen mit zu-sätzlichen Bedingungen zur eindeutigen Lösbarkeit
– dort als Anfangswertproblem: Lösung vorgegeben am Start des be-trachteten Zeitintervalls (Ausgangsstärke p0)
– manchmal auch als Randwertproblem: Werte der Lösung an beidenIntervallendpunkten vorgegeben (z.B. optimale Flugbahn eines SpaceShuttle)
• Prototypen eines Anfangswertproblems (AWP):
y(t) = f(t, y(t)), y(a) = ya, t ≥ a
oder – im Falle eines Systemes –
yi(t) = fi(t, y1(t), . . . , yn(t)), yi(a) = yi,a, t ≥ a, i = 1, . . . , n
• Falls f nur vom ersten Argument t abhängt: einfaches Integrationsproblem(Trivialsituation)!
• i.A.: analytisch nicht lösbar, näherungsweise (also numerische) Berechnungerforderlich!
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Kurzer Exkurs zur Diskretisierung
• Start jedes numerischen Ansatzes: Diskretisierung
• Übergang vom Kontinuum zu Diskretem/Endlichem:
– statt (überabzählbar vieler) reeller Zahlen nun alternativ
* ganzzahlige Arithmetik: feste Auflösung, fester Bereich, Integer
* Fixpunkt-Arithmetik: feste Auflösung, fester Bereich, Dezimalpunkt
* Gleitpunkt-Arithmetik: variable Auflösung, variabler BereichGleitpunktzahlen:
IFB,t = M · BE : M = 0 ∨ Bt−1 ≤| M |< Bt; M,E ∈ ZZ(Basis B, Mantisse M, Exponent E, Stellenzahl t)
Maschinenzahlen:
IF = IFB,t,a,b = f ∈ IFB,t : a ≤ E ≤ bAuflösung (maximaler Relativabstand): ρ = B1−t
kleinste positive / größte Maschinenzahl: B1−t · Bα, (Bt − 1) · Bβ
– statt unendlicher Reihen (Sinus) endliche Polynome
– diskrete Punktmenge (Gitter ) statt eines Intervalls etc.
– statt Ableitungen nun Differenzenquotienten:
y(t) ≈ y(t + h) − y(t)h
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Rundung, Rundungsfehler
verschiedene Fehlerquellen in numerischen Algorithmen
• Rundungsfehler: durch Verwendung von Gleitpunktzahlen
– Nachbarn zu x ∈ IR :
fl(x) = maxf ∈ IF : f ≤ x, fr(x) = minf ∈ IF : f ≥ x– Rundung: rd : IR → IF, surjektiv – idempotent – monoton
* Aufrunden: rd(x) = fr(x)
* Abrunden: rd(x) = fl(x)
* korrektes Runden: zum Näheren der beiden (Sonderbehandlungdes Mittelpunkts!)
* Abhacken: zum näher an Null Gelegenen
* Schranke für relativen Rundungsfehler: ρ bzw. ρ/2– ideale Arithmetik:
a∗b = rd(a ∗ b) ∀a, b ∈ IF ∀∗ ∈ +,−, ·, /(technisch möglich (IEEE!), aber nicht in allen Rechnern realisiert)
– Abschwächung:
a∗b = (a ∗ b) · (1 + ε(a, b)), | ε(a, b) |< ε = O(ρ)
– Rundungsfehleranalyse: akkumulierten Einfluss bei längeren Berech-nungen abschätzen (Beispiel: Horner-Schema zur Polynomauswertung)
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Weitere Fehlerquellen
• Diskretisierungsfehler: durch Verwendung diskreter Punkte anstelle des Kon-tinuums
• Abbruchfehler: durch Abbruch einer Iteration nachN Iterationsschritten, z.B.
– Abbruch einer Reihenberechnung nach N Gliedern
– Abbruch einer Nullstellensuche nach Newton nach N Schritten
– Abbruch einer Nullstellensuche nach Newton, wenn keine signifikanteÄnderung mehr eintritt
• Datenfehler: Eingabedaten sind oft (ungenaue) Messwerte o. Ä.
• Alle diese Fehlerquellen sind im Auge zu behalten!
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Das Euler-Verfahren
• Standard-Diskretisierungsansatz für AWP:
– Finite-Differenzen-Approximation: nähere die Ableitung durch geeigne-te Differenzenquotienten an, z.B. im einfachsten Fall
y(a + δ t) = y(a) + δ t · f(t, y(a))d.h. dann als Rechenvorschrift:
yk+1 = yk + δ t · f(tk, yk), tk = a + kδ t, k = 0, 1, . . .
– Aus einer kontinuierlichen Gleichung (gültig in allen Punkten) wird so-mit eine Folge diskret(isiert)er Gleichungen (gültig in jeweils einem Punkt);Abstand zweier Punkte: Schrittweite
– Bereich kann auch endlich sein: t ∈ [a, b]
– Vorgehensweise wird Euler-Verfahren genannt
– Gretchenfragen:
* Was passiert für δt → 0 ? Konvergenz gegen Lösung der ODE?
* Wie schnell ist Konvergenz (Fehler bei Halbierung der Schrittwei-te)?
* Gibt es scharfe Maximalgröße für die Schrittweite?
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Euler-Verfahren, Diskretisierungsfehler
• alternative Herleitung des Euler-Verfahrens: abgehackte Taylor-Entwicklungder exakten Lösung y(t) :
y(tk+1) = y(tk) + (tk+1 − tk)y(tk) + R = y(tk) + (tk+1 − tk)f(tk, yk)
• lokaler Diskretisierungsfehler: maximaler lokaler Einfluss durch Verwendungvon Differenzen statt Ableitungen; hier (Achtung: y(t) bezeichnet die exakteLösung des Problems, keine Näherung):
l(δ t) = max[a,b]
(y(t + δ t) − y(t))δ t
− f(t, y(t))
• globaler Diskretisierungsfehler: maximaler Fehler aller berechneten diskre-tenNäherungswerte:
e(δ t) = max[a,b]
| yk − y(tk) |
• Konsistenz: l(δ t) → 0 für δ t → 0
• Konvergenz (stärker): e(δ t) → 0 für δ t → 0
• Konsistenz- / Konvergenzordnung k: l(δ t), e(δ t) = O(δ tk)
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Lokaler und globaler Diskretisierungsfehler im Vergleich
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Konsistenz- und Konvergenzordnung
• Euler (bei Beschränktheit von y und fy) :
– konsistent von erster Ordnung : l(δ t) = O(δ t)
– konvergent von erster Ordnung : e(δ t) = O(δ t)
– Es gibt aber durchaus konsistente Verfahren, die nicht konvergieren!
• schnellere Konvergenz bei höherer Ordnung (k größer)
– möglicher Ausgangspunkt Taylor-Entwicklung: führt zu kompliziertenFormeln (höhere Ableitungen von f erforderlich)
– alternativ: benutze zusätzliche Auswertungen von f (neben den Gitter-punkten): Verfahren vom Runge-Kutta-Typ
• einfachster Vertreter: Methode von Heun
yk+1 = yk +δ t
2
(f(tk, yk)) + f(tk+1, yk + δ t · f(tk, yk))
)• sowohl konsistent als auch konvergent (2. Ordnung)
l(δ t) = O(δ t2), e(δ t) = O(δ t2)
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Verfahren nach Runge und Kutta
• berühmtester Vertreter: Runge-Kutta-Verfahren
yk+1 = yk +δ t
6(T1 + 2T2 + 2T3 + T4) ,
T1 = f(tk, yk),
T2 = f(tk +
δ t
2, yk +
δ t
2T1
),
T3 = f(tk +
δ t
2, yk +
δ t
2T2
),
T4 = f(tk+1, yk + δ t T3)
• konsistent und konvergent von vierter Ordnung
• Die Verfahren nach Euler bzw. Heun bzw. Runge-Kutta entsprechen üb-rigens alle einer Quadratur-Regel (Rechtecksregel bzw. Trapezregel bzw.Simpson-Regel ):
– Integriere die ODE formal und interpretiere die einzelnen Verfahren alsNäherungen für das dann zu bestimmende Integral über f :
y = f(t, y(t)) ⇒ y(tk+1) = y(tk) +∫ tk+1
tk
f(t, y(t)) dt
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Alternative: Mehrschrittverfahren
• Runge-Kutta-Verfahren sind teuer, da sie viele Auswertungen von f erfor-dern (f oft nicht in geschlossener Form verfügbar)
• Alternative zur Erzielung höherer Ordnung: nutze Historie, also bereits er-folgte Auswertungen (Adams-Bashforth- oderMehrschrittverfahren)
– prominenter Vertreter: Methode 2. Ordnung
yk+1 = yk +δ t
2(3f(tk, yk) − f(tk−1, yk−1)
)= yk +
δ t
2(3fk − fk−1)
– allg.: betrachte Polynom P (t) vom Grad p − 1 , welches f in den p dis-kreten Stützstellen (ti, fi = f(ti, yi)), i = k − p + 1, . . . , k, interpoliert
yk+1 = yk +∫ tk+1
tk
y(t) dt = yk +∫ tk+1
tk
f(t, y(t)) dt = yk +∫ tk+1
tk
P (t) dt
– p = 1: Euler
– p = 2: obiges Verfahren
– allgemeiner Ansatz: Ordnung p
– keine zusätzlichen Auswertungen von f (eine pro diskretem Zeitpunkt)
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Mehrschrittverfahren (2)
• am Anfang: keine oder zu wenige Vorgänger verfügbar
• Abhilfe: modifizierte Vorgehensweise
– Setze ein Einschrittverfahren oder ein Mehrschrittverfahren mit hinrei-chend kleiner Schrittzahl ein, um einen Wert für yk+1 und somit für fk+1
zu erhalten.
– Ordnung bleibt erhalten!
• Nachteil aller bisher vorgestellten Verfahren:
– Die Schrittweite δt muss oft sehr klein sein, wenn Instabilitäten (Os-zillationen in der berechneten Lösung, die dadurch von grundlegendanderem Charakter als die „echte“ Lösung ist) vermieden werden sol-len!
– Eine kleine Schrittweite bedeutet natürlich einen entsprechend hohenBerechnungsaufwand!
• Auch hierfür gibt’s eine Abhilfe: implizite Verfahren!
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Implizite Verfahren
• Alle bisher vorgestellten Verfahren sind explizit: Die jeweilige Vorschrift er-möglicht die direkte Berechnung eines weiteren Zeitschritts.
• jetzt: benutze das zu bestimmende yk+1 auch rechts
• führt zu Adams-Moulton Mehrschrittverfahren:
– benutze Interpolation und Vorgänger wie bei Adams-Bashforth, abermit dem neuen Zeitpunkt als Stützstelle
– impliziter Euler (1. Ordnung):
yk+1 = yk + δ t · fk+1
– Variante 2. Ordnung:
yk+1 = yk + δ t · (fk + fk+1)2
– Variante 4. Ordnung:
yk+1 = yk +δ t
24(fk−2 − 5fk−1 + 19fk + 9fk+1)
• Problem: Wie ermittelt man yk+1 im impliziten Fall?
– Holzhammer: i.A. nichtlineare Gleichung auflösen (Newton o. Ä.)
– einfacher und verbreitet: Prädiktor-Korrektor Ansatz
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Prädiktor-Korrektor-Ansatz
• zweistufiges Verfahren:
– Zunächst wird mit einem geeigneten expliziten Verfahren ein vorläufigerWert für yk+1 ermittelt (Prädiktor).
– Dieser wird dann in der impliziten Vorschrift auf der rechten Seite ver-wendet, um den endgültigen Wert von yk+1 zu bestimmen (Korrektor).
• wesentliche Eigenschaft (wenn man alles richtig macht):
– vollständig explizites Verfahren (Prädiktor & Korrektor explizit!)
– dennoch Charakteristik eines impliziten Verfahrens
• Bewertung impliziter Verfahren:
– einzelner Zeitschritt ist teurer (Auflösung einer Gleichung anstelle deseinfachen „Fortschaltens“ der Zeit)
– Zahl der Zeitschritte i.A. kleiner (größere Schrittweite möglich), dadurchwieder weniger Rechenaufwand
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Höhere Ableitungen, Systeme
• Modelle der Populationsdynamik: nur erste Ableitung tritt auf
• in der Mechanik etwa: zweite Ableitung (Beschleunigung, Kraft)
• Vorgehensweise bei höheren Ableitungen:
– Reduktion auf System von ODE mit nur erster Ableitung
– dazu: Hilfsvariable
y1 = y, y2 = y, y3 = y, . . . , yn = y(n−1);
aus einer Gleichung n-ter Ordnung
y(n) = f(t; y, y, y, . . . , y(n−1))
wird somity1 = y2
y2 = y3
. . .
yn−1 = yn
yn = f(t; y1, y2, . . . , yn)
• Systeme: analoge Verfahren wie für eine ODE
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Schlecht konditionierte Probleme
• Kondition eines Problems: Einfluss von Schwankungen in der Eingabe aufdas Resultat
– Eigenschaft des Problems, nicht eines numerischen Verfahrens!
• schlechte Kondition:
– Kleinste Trübungen in den Eingabedaten können zu völlig verschiede-nen Ergebnissen führen!
– Numerische Behandlung wird dann sehr schwer (weil exakte Eingabe-daten fast nie verfügbar sind).
• ein Beispiel:
– betrachte folgende ODE:
y(t) − N · y(t) − (N + 1) · y(t) = 0
– Anfangsbedingungen (zwei, da ODE zweiter Ordnung):
y(0) = 1, y(0) = −1
– exakte Lösung:y(t) = e−t
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Schlecht konditionierte Probleme (2)
• jetzt: beliebig kleine Änderung in einer der beiden Anfangsbedingungen:
– neuer Wert von y in t = 0 : yε(0) = 1 + ε
– resultierende neue Lösung:
yε(t) =(1 +
N + 1N + 2
ε)· e−t +
ε
N + 2· e(N+1)t
– völlig verschiedenes Verhalten für t → ∞ :
limt→∞ y(t) = 0, lim
t→∞ yε(t) = ∞
• Risiko bei numerischen Verfahren:
– Eingabedaten liegen nicht exakt vor (z.B. aus Messungen)
– Zwischenresultate (Eingabe für nächsten Schritt) nicht exakt wegenRundungsfehlern
• schlechte Kondition: prima Ausrede („da geht eh nix“) oder GAU für die Nu-merik?
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Stabilität
• Jetzt gehen wir von gut konditionierten Problemen aus (also keine Ausredenmehr!).
• Ziel: Lücke zwischen Konsistenz und Konvergenz schließen
• betrachte neues AWP: y(t) = −2y(t) + 1, y(0) = 1
• exakte Lösung: y(t) =(e−2t+1
)2
• gut konditioniert: yε(0) = 1 + ε ⇒ | yε(t) − y(t) |= εe−2t
• verwendeMittelpunktsregel: yk+1 = yk−1 + 2δ t · fk
also
yk+1 = yk−1 + 2δ t(−2yk + 1) = yk−1 − 4δt · yk + 2δt, y0 = 1
• 2-Schritt-Verfahren, starte mit y0 und dem exakten y(δt)
– Zeitschrittweite δ t = 1.0 ⇒ y9 = −4945.5, y10 = 20953.9
– Zeitschrittweite δ t = 0.1 ⇒ y79 = −1725.3, y80 = 2105.7
– Zeitschrittweite δ t = 0.01 ⇒ y999 = −154.6, y1000 = 158.7
• Fazit: irgendwann geht’s immer schief!
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Beispiel zu Stabilität und Mittelpunktsregel
• jetzt das Ganze im Schaubild:AWP war y(t) = −2y(t) + 1, y(0) = 1, Lösung y(t) = e−2t+1
2
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Stabilität (2)
• Phänomen Instabilität:
– starke Oszillationen
– Gestalt von berechneter und exakter Lösung völlig verschieden
– berechnete Lösung nicht akzeptabel (nicht interpretierbar als exaktesErgebnis zu leicht modifizierten Eingabedaten)
• Mittelpunktsregel ist
– konsistent (Differenzenquotient approximiert erste Ableitung)
– offensichtlich aber nicht konvergent (sogar unabhängig von δt , wenndas Intervall nach rechts unbeschränkt ist)
• allgemein gilt (unter Erhalt der Ordnung):
Konsistenz + Stabilitat = Konvergenz
• Es gibt Stabilitätsbedingungen an ein Verfahren (stellen i.d.R. starke Ein-schränkungen an die Zeitschrittweite: sehr klein!)
• stabile Verfahren:
– alle expliziten Einschrittverfahren sind’s, Mittelpunktsregel nicht !
– Adams-Bashforth und Adams-Moulton s-Schritt stabil für s > 1
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Steifheit
• ein weiteres Phänomen: betrachte das AWP
y(t) = −1000y(t) + 1000, y(0) = y0 = 2
• exakte Lösung:y(t) = e−1000t + 1
• Problem ist gut konditioniert
• explizites Euler-Verfahren liefert
yk+1 = yk + δ t(−1000yk + 1000) = (1 − 1000δ t)yk + 1000δ t
= (1 − 1000δ t)k+1 + 1
• offensichtlich: Oszillationen und Divergenz für δ t > 0.002
• dies, obwohl
– expliziter Euler konsistent
– expliziter Euler stabil (wie alle expliziten s-Schritt-Verfahren)
– somit auch konvergent!
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Steifheit (2)
• Phänomen wird Steifheit genannt
– eine unwichtige Komponente der Lösung (im Beispiel der negative Ex-ponentialterm e−1000t) erzwingt Mini-Schrittweite bei der Diskretisie-rung (und zwar auf gesamtem Bereich!)
– dadurch inakzeptabel hoher Berechnungsaufwand
– dies, obwohl Lösung fast überall trivial darstellbar
• Erklärung?
– Konsistenz und Stabilität sind beides asymptotische Begriffe, treffen al-so Aussagen für den Grenzfall hinreichend kleiner Schrittweite δt
– Konsistenz/Stabilität/Konvergenz also nicht verletzt, das Betreten derasymptotischen Phase erfolgt allerdings erst für sehr kleine Schrittweiteund ist dadurch extrem aufwändig!
– gilt für alle expliziten Verfahren – diese taugen nicht für steife Differential-gleichungen
• Abhilfe: implizite Verfahren!
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Steifheit (3)
• jetzt impliziter Euler:
yk+1 = yk + δ t · f(tk+1, yk+1)= yk + δ t · (−1000 · yk+1 + 1000)
=yk + 1000 · δ t
1 + 1000 · δ t
=1
(1 + 1000 · δ t)k+1+ 1
• offensichtlich: keine Oszillationen, stets Konvergenz
• Erklärung:
– Explizite Verfahren approximieren Lösung mit Polynomen- und das funk-tioniert bei negativ exponentiellem Abklingen eben nicht!
– Implizite Verfahren setzen dagegen rationale Funktionen ein!
• Ergo: bei steifen ODE stets implizite Verfahren verwenden!
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Zusammenfassung
• Wir haben drei Phänomene betrachtet, die uns bei der numerischen Lösungvon ODE das Leben schwer machen:
– schlechte Kondition:
* bedrohliche Eigenschaft des zugrunde liegenden Problems (hatnichts mit numerischen Näherungsverfahren zu tun)
* im Extremfall wenig Spielraum für die Numerik
– Instabilität:
* bedrohliche Eigenschaft eines numerischen Verfahrens, die i.d.R.zu sehr kleinen Zeitschritten und im Extremfall zur Untauglichkeitdes Verfahrens führt
* implizite Verfahren sind hier expliziten oft überlegen
– Steifheit:
* bedrohliche Eigenschaft eines Problems, der aber mit implizitennumerischen Verfahren beizukommen ist
* implizite Verfahren hier ein Muss
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Ausblick auf Randwertprobleme
• Beispiel:y = f(t, y, y), ta ≤ t ≤ tb, y(ta) = ya, y(tb) = yb
• Spezialfall:y = a(t)y(t) + b(t)y(t) + c(t)
gleiche Randbedingungen
• a = 0 und, b > 0: RWP hat eindeutige Lösung
• diskretes Gitter:
δ t = (tb − ta)/n, t0 = ta, tn = tb, ti = ta + iδ t
• Finite-Differenzen-Approximation für zweite Ableitung:
y(t) =y(t + δ t) − 2y(t) + y(t − δ t)
δ t2
• diskretes Analogon zur ODE in jedem Gitterpunkt:
δ t−2 · (yi+1 − 2yi + yi−1) − biyi = ci, i = 1, . . . , n − 1
• Tridiagonalsystem linearer Differenzengleichungen
• Matrixeigenschaften entscheidend für Konvergenz!
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Tridiagonalmatrix im Beispiel
• Gestalt des tridiagonalen Gleichungssystems:⎛⎜⎜⎜⎝2 + b1h
2 −1−1 2 + b2h
2 −1
−1. . . −1−1 2 + bn−1h
2
⎞⎟⎟⎟⎠ ·
⎛⎜⎜⎜⎝y1
y2
...yn−1
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝−h2c1 + ya
−h2c2
...−h2cn−1 + yb
⎞⎟⎟⎟⎠– Schreibweise jetzt: h für die Schrittweite
– n − 1 diskrete Gleichungen an den n − 1 Innenpunkten
– vorgegebene Randwerte in ta, tb wandern auf die rechte Seite
– Bedingung b(t) > 0 garantiert strenge Diagonaldominanz der Matrix:
| aii |>∑j =i
| aij | ∀ i
• Eigenschaften der Matrix:
– streng diagonaldominant (folglich nichtsingulär)
– symmetrisch und positiv definit
– Eigenwerte von A entscheidend für Konvergenz (hier: 2. Ordnung)
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Randwertprobleme: Erste Ableitungen
• jetzt a(t) nicht notwendig Null, auch erste Ableitungen kommen vor
• Diskretisierung der ersten Ableitung:
– zentrale Differenz (zweiter Ordnung):
y(t) =y(t + h) − y(t − h)
2h
– Differenzengleichung ergibt sich in inneren Punkten zu(− 1 − aih
2
)yi−1 + (2 + bih
2)yi +(− 1 +
aih
2
)yi+1 = −h2ci
– Nachteil: zur eindeutigen Lösbarkeit sind kleine Zeitschritte nötig! (Be-dingung | aih |≤ 2 etwa garantiert Diagonaldominanz)
– deshalb oft Upwind-Diskretisierung:
y(t)=1h·
yi+1 − yi für ai < 0yi − yi−1 für ai ≥ 0
– jetzt unbedingt diagonaldominant und nichtsingulär
– Nachteil: Approximationsgüte nur noch von erster Ordnung!
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Randwertprobleme: Randbedingungen
• Randbedingungen bisher:
– Festschreibung der Werte von y(t) an den Randpunkten des Intervalls:Dirichlet-Randbedingungen
• weitere mögliche Randbedingungen:
– Neumann-Randbedingungen:
* Festschreibung der (ersten) Ableitung im Randpunkt:
y(ta) = ya
* diskretisierte Gleichung am Rand (virtueller Punkt t−1) :
ya =y1 − y−1
2h⇒ y(ta) =
y−1 − 2y0 + y1
h2=
2y1 − 2y0 − 2yah
h2
* Daraus ergibt sich diskrete Gleichung in t0 .
* Achtung: y0, yn sind jetzt auch Unbekannte!
– periodische Randbedingungen:
* Randwerte stimmen an beiden Enden überein:
y(ta) = y(tb) = y0
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Schießverfahren
• Ein ganz anderer Ansatz sind Schießverfahren:
– Rückführung eines RWP auf eine Folge von AWP!
• Ausgangspunkt wieder:
y = f(t, y, y), ta ≤ t ≤ tb, y(ta) = ya, y(tb) = yb
• gelöst wird nun
y = f(t, y, y), ta ≤ t ≤ tb, y(ta) = ya, y(ta) = s
(mit unbekanntem Parameter s : „Schusswinkel“)
• Aufgabe lautet somit: finde s und AWP-Lösung y(t; s) so, dass gilt
y(tb; s) = yb
• Lösung:
– erinnert an inverses Problem
– Iteration (Newton-ähnlich, z.B. mit einem AWP pro Iterationsschritt)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Zusammenfassung
• ein erstes kontinuierliches Beispiel studiert:
– Populationsdynamik!
• Modellierung:
– Herleitung verschiedener und unterschiedlich genauer Modelle für ganzunterschiedliche Szenarien
– Rüstzeug: Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen
– Diskussion der erhaltenen Modelle (Existenz von Lösungen, stationäreZustände etc.)
• Simulation:
– direkte (analytische) Lösung scheitert i.A.
– deshalb: numerische Lösung der Modellgleichungen
– somit eingehender diskutiert: numerische Lösung von ODE
* Anfangswertprobleme
* Randwertprobleme
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.2. Regelungstechnik: Deterministische undFuzzy Logic Ansätze
3.2.1. Basics zur Regelungstechnik
• Führung technischer Prozesse erfordert und kombiniert
– Planung: Konzeption, Definition des Soll-Zustands
– Steuerung: Anstreben eines Soll-Zustands durch Einstellung von Steu-erparametern (Stellgrößen)
* Beispiel: immer mittags zusätzlichen Kühlkreislauf zuschalten
– Regelung: Überwachung und Minimierung von Soll-Ist-Abweichungen(Echtzeit-Aufgabe)
* Beispiel: Temperatur im Reaktor konstant halten
• äußere und innere Regelschleifen:
– äußere: langsame Reaktion, größere Abweichungen erlaubt
* Realisierung in Software möglich
* Beispiel: Kontostand auf Girokonto
– innere: zeitkritisch, nur kleine Abweichungen erlaubt
* Realisierung in Hardware erforderlich
* Beispiel: Temperatur in chemischem Reaktor konstant halten
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Notation
• Regelung:
• Ziel: Stellgröße u so, dass sich möglichst geringe Ist-Soll-Diskrepanz ergibt
• mögliche Optimierungsstrategien / Optimalitätskriterien:
– Abweichung schnellstmöglich gegen Null
– Abweichung bleibt in vorgegebener Bandbreite
– Abweichung im statistischen Mittel Null
– geringstmögliche Regelkosten (bspw. Energiebedarf für das Einstellender Stellgrößen)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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Wichtige Typen von Reglern
• P-Regler:
– enthält nur sogenannte Proportional-Komponente (Stellgröße propor-tional zur Soll-Ist-Abweichung):
u ∼ ∆y = ySoll − yIst
– bleibende Regelabweichung ∆y = 0 möglich
• PID-Regler:
– mächtiger, besteht aus Proportional-Komponente (wie zuvor), Integral-und Differential-Komponente
– Integral-Komponente garantiert verschwindende Regelabweichung:
∆y → 0
– Differentialglied berücksichtigt Änderung der Regelabweichung
– insgesamt nach Diskretisierung (diskrete Punkte ti, ∆ti = ti − ti−1 ) :
u(ti) = KP · ∆yi + KI · ∆ti ·∑
j
∆yj + KD · ∆yi − ∆yi−1
∆ti,
∆yi = ySoll(ti) − yIst(ti)
– entscheidend:Auslegung der Parameter KP ,KI ,KD (Modell)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
PID-Regler
• Proportional-Komponente:
– Regelmaßnahme orientiert sich an bzw. ist proportional zur aktuellenSoll-Ist-Abweichung
– soll lokaler Abweichung entgegenwirken
• Integral-Komponente:
– Regelmaßnahme orientiert sich an bzw. ist proportional zur Summe derbisher aufakkumulierten Soll-Ist-Abweichungen
– soll Abweichung in der Summe (auf längere Sicht) bekämpfen
• Differential-Komponente:
– Regelmaßnahme orientiert sich an bzw. ist proportional zur Änderungder Soll-Ist-Abweichung von einem Zeitschritt zum nächsten
– soll Aufschaukeln und Oszillationen verhindern
• Frage: Braucht man alle drei Komponenten?Dazu schauen wir ein Beispiel an!
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.2.2. Beispiel: Lineare Rückführregelung
• Modell: zu regelnder Prozess als homogenes System linearer ODE
– Vektor der Zustandsvariablen x(t) ∈ IRn
– Koeffizientenmatrix (zeitinvariant) A ∈ IRn,n
– Vektor der Stellgrößen u(t) ∈ IRm
– Matrix der Stellkoeffizienten (zeitinvariant) B ∈ IRn,m
• Variante I (ohne Regelkreis):
x(t) = A · x(t)
(vgl. Wettrüstmodell auf Folien 12 ff.; dort war x(t) = A · x(t) + c)
• Variante II (mit Regelkreis):
x(t) = A · x(t) + B · u(t)
• lineare Rückführregelung: Stellgrößen u linear aus Zustand x
– Rückführmatrix K ebenfalls zeitinvariant: u = −K · x, K ∈ IRm,n
– Bestimmung von K : Erfüllung von Regelziel und Nebenbedingungen
• somit zu lösen:
– wie zuvor System linearer ODE (aber mit anderer Systemmatrix)– Ziel: stationärer Grenzzustand (Ableitung 0, o.B.d.A. auch Soll 0)
x(t) = A · x(t) + B · (−K · x(t)) = (A − BK) · x(t)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Lösung des ODE-Systems
• zu lösen ist das System
x(t) = M · x, M = A − B · K, x(0) = x0
• Standard-Vorgehensweise bei homogenen linearen ODE (einfach!):
– Lösungsansatz x(t) = ν · eλt, ν ∈ IRn konstant– Einsetzen in ODE ergibt
λ · ν · eλt = M · ν · eλt ⇔ Mν = λν
– λ, ν sind also als Eigenwert und Eigenvektor von M zu wählen– n (komplexe) Eigenwerte λi gibt’s immer; falls auch n linear unabhän-gige Eigenvektoren νi vorliegen (M symmetrisch oder paarweise ver-schiedene Eigenwerte, z.B.), ergibt sich als Lösung
x(t) =n∑
i=1
νi · eλit mit x0 =n∑
i=1
νi
– sonst: komplizierter, es geht aber immer: x(t) = et·M · x0
– Charakteristik der Eigenwerte hat ablesbare Konsequenzen:
* Realteile aller Eigenwerte negativ: Lösung stabil/stationär/gegen 0
* mindestens ein positiver Realteil: exponentiell wachsende Kompo-nente
* alle Realteile Null: periodische Schwingungen der Lösung
* alle Realteile negativ, alle Imaginärteile Null: Idealfall ohne Oszilla-tionen
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Auslegung des Reglers (Matrix K )
regeln heißt jetzt: Rückführmatrix K so bestimmen, dass M = A − BK „besser“als A, d.h.:
• möglichst negative Realteile aller Eigenwerte von M
– Wirkung: Abklingen
• möglichst große Absolutbeträge der Realteile aller Eigenwerte von M
– Wirkung: rasches Abklingen
• möglichst kleine Absolutbeträge der Imaginärteile aller Eigenwerte von M
– Wirkung: keine hochfrequenten Oszillationen
• Stabilität sollte auch bei Einführung kleiner Störgrößen (ist dann entspre-chend komplizierteres Modell) noch gegeben sein!
– gibt das Modell der linearen Rückführregelung per se natürlich nicht her(enthält ja keine Störgrößen)
• Beispiel: PID-Regler für lineares ODE-System(verfügbar als Maple-Worksheet)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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3.2.3. Regelung mittels Fuzzy-Logik
• vorneweg ein paar Definitionen:
– scharfe Menge (crisp set) X : Menge von Elementen x ∈ X im üblichenSinn (endlich oder unendlich)
– unscharfe Menge (fuzzy set) A über X : charakterisiert über eine soge-nannte Zugehörigkeitsfunktion
µ(., X, A) : X → [0, 1]
diese gibt für jedes Element x ∈ X die Wahrscheinlichkeit an, mit der esder unscharfen Menge A angehört (Achtung: µ(x,X, A) + µ(x,X, B) >1 ist möglich!)
– man schreibt die unscharfe Menge auch
A =(
x, µ(x,X, A)), x ∈ X
,
also als Menge von Paaren (Element, Wahrscheinlichkeit)
– als Spezialfall gilt dabei:
µ(x, X, X) = 1 ∀x ∈ X, µ(x,X, A) = 1 ∀x ∈ A
– Trägermenge (support) von A : supp(A) =
x ∈ X : µ(x, X, A) > 0
– α -Schnitt (-level-set, -cut):
Aα =(
x, µ(x, X, A))
: x ∈ X und µ(x,X, A) ≥ α
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Fuzzy-Logik
• noch ein Begriff:
– gekappte unscharfe Menge A ↑ α :
µ(x,X, A ↑ α) =
µ(x,X, A), falls µ(x, X, A) ≤ αα sonst
die Wahrscheinlichkeiten werden also nach oben beschränkt
• Modellieraufgabe v.a.: Festlegung der Gestalt (Form und Werte) der Zuge-hörigkeitsfunktion
– 0-1-Sprungfunktion: herkömmliche Mengen
– viele andere Formen sind denkbar (stückweise linear, stückweise Poly-nome höheren Grades, ...)
• verfügbare Fuzzy-Logik-Systeme bieten verschiedene (meist einfache) Va-rianten an
• Wir schauen uns exemplarisch ein paar Möglichkeiten an.
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Formen der Zugehörigkeitsfunktion
• scharfe Menge: Rechteck!
• Dreieck (oft gleichschenklig, aber nicht immer):
• Trapez (meist symmetrisch, aber nicht immer):
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Formen der Zugehörigkeitsfunktion
• S- bzw. Z-Form (typisch z.B. für einseitig abgegrenzte unscharfe Begriffe):
• Glockenkurve (verwendet bei beidseitig abgegrenzten unscharfen Begrif-fen):
• verbreitet sind ferner Polygonzüge, Sinus (halbe Periode), etc.
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Operationen auf unscharfen Mengen
• üblicherweise benötigt und definiert: Pendants zu den Standard-Mengen-bzw. logischen Operationen
– Durchschnitt
– Vereinigung
– Komplement
• großer Spielraum bei der konkreten Realisierung (an Anwendung anpassbar)
• gewisse Einschränkungen:
– z.B.: übliche Regeln bzw. Operationen der Logik sollten in den „schar-fen“ Grenzfällen noch gelten
µ ≡ 1, µ ≡ 0
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Definition der Operationen
• Durchschnitt C = A ∩ B über
µ(x,X, C) = min
µ(x, X, A), µ(x,X, B)
• Vereinigung C = A ∪ B über
µ(x, X, C) = max
µ(x, X, A), µ(x, X, B)
• Komplement C = A über µ(x,X, C) = 1 − µ(x,X, A)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Linguistische Variable
• Eine linguistische Variable ist charakterisiert durch ihren Namen v und durchihre möglichen Werte (Ausprägungen, linguistische Terme).
– Jeder linguistischen Variablen ist eine scharfe Menge X zugeordnet.
– Die Menge aller Werte von v heißt Termmenge T (v) .
– Jeder linguistische Term ist eine unscharfe Menge, definiert über derscharfen Menge X .
• Beispiel 1: linguistische Variable „Temperatur“
– zugeordnete scharfe Menge: reelle Achse (Temperaturwerte)
– linguistische Terme: eiskalt – kalt – normal – lauwarm – warm – heiß
• Beispiel 2: linguistische Variable „Farbe“
– zugeordnete scharfe Menge: Frequenzbereich 400nm ... 800nm
– linguistische Terme: green – yellowish-green – yellow-green – greenish-yellow – yellow (vgl. Farbmodell CNS in der Computergraphik)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Bsp.: Linguistische Variable Temperatur
• Name: Temperatur
• zugehörige scharfe Menge: Temperaturskala (also etwa die reellen Zahlenoder ein Teilintervall)
• zugehörige linguistische Terme: siehe vorige Folie
• jeweilige Zugehörigkeitsfunktionen (jeder Wert/Term hat als unscharfe Men-ge eine):
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Fuzzy-Regelung
• heute weit verbreitet, insbesondere bei Konsumgütern wie Waschmaschi-nen oder Fotoapparaten
• Vorteile einer Fuzzy-Regelung :
– mathematisches Modell ist oftmals für die zu beschreibenden Prozessenicht vorhanden oder zu komplex (wir haben ja zuvor nur den einfachenFall eines Systems homogener linearer ODE betrachtet – die Welt istjedoch wesentlich komplizierter), erfordert also erheblichen mathema-tischen Aufwand zu seiner Beherrschung
– Fuzzy-Regelung ist dagegen mit Schulmathematik möglich
– Fuzzy-Regelung ist intuitiv: linguistische / umgangssprachliche Begriffezur Nachbildung des WENN-DANN- Regelungsvorgangs
• beachte: alles, also insbesondere alle Prämissen und alle Folgerungen, wirdunscharf ausgewertet!
• im Folgenden: weg vom scharfen Messwert über den Umweg des unschar-fen Modellapparats schließlich zur scharfen Stellgröße
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Entwurfsschritte
• 1. Schritt:Fuzzifizierung (!) der gemessenen Größe(n) (also z.B. Temperatur), d.h. De-finition der linguistischen Variablen sowie ihrer jeweiligen Terme samt denentsprechenden Zugehörigkeitsfunktionen
• 2. Schritt:Erstellung der Regelbasis (Beziehungen auf WENN-DANN-Basis etc.) aufder Grundlage von Expertenwissen
• 3. Schritt:Auswahl geeigneter Inferenzoperatoren (Übertragung der Unschärfe von denMessgrößen auf die Stellgrößen)
• 4. Schritt:Defuzzifizierung, d.h. Berechnung der scharfen Stellgrößen
• Beispiel nach Bothe, Fuzzy Logic, Springer 1993
– Aufgabe: Regelung einer Kühlventilstellung
– Messgröße: Temperatur T
– Messwert: gemessene Temperatur t
– Stellgröße bzw. Stellwert: Stellung K bzw. k des Kühlventils
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Schritt 1: Fuzzifizierung
• allgemeines Prinzip:
– gemessene Werte stammen aus scharfen Mengen (linguistische Varia-ble)
– zu jeder linguistischen Variablen gibts mehrere unscharfe Mengen (lin-guistische Terme, gemäß menschlicher Wahrnehmung)
– für jeden Messwert werden zu allen linguistischen Termen dieZugehörigkeitswahrscheinlichkeiten ermittelt
• am konkreten Beispiel:
– Temperaturwert t wurde gemessen
– zwei linguistische Variable, zwei scharfe Mengen:
* Temperatur T
* Stellung K des Kühlventils
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Schritt 1: Fuzzifizierung (2)
• (einige) unscharfe Mengen zu denWerten der linguistischen Variablen „Tem-peratur“:
• (einige) unscharfe Mengen zu denWerten der linguistischen Variablen „Kühl-ventilstellung“:
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Schritt 2: Regelbasis
• allgemeines Prinzip:
– Elementarbedingungen der Art X = A mit linguistischer Variablen Xund Wert (unscharfer Menge) A
– logische Verknüpfung von Elementarbedingungen mittels der üblichenOperatoren AND, OR und NOT
– ausgelöste Aktion der Art Y = B mit linguistischer Variable Y und Wert(unscharfer Menge) B
– somit Regeln der Art
IF X1 = A1,j AND X2 = A2,j THEN Y = Bj (Regel j)
mit entsprechenden linguistischen Variablen und Termen
• am konkreten Beispiel:
– Regel 1: IF T = niedrig THEN K = halb offen
– Regel 2: IF T = mittel THEN K = fast offen
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Schritt 3: Inferenz
• allgemeines Prinzip:
– berechne zum gemessenen Wert x ∈ X und zu jeder Elementarbedin-gung X = A die Wahrscheinlichkeit der Zugehörigkeit µ(x,X, A)
– Verknüpfungen der µ -Werte gemäß:
* AND als Durchschnitt unscharfer Mengen(Minimum der Zugehörigkeitswahrscheinlichkeiten)
* OR als Vereinigung unscharfer Mengen(Maximum der Zugehörigkeitswahrscheinlichkeiten)
* NOT als Komplement einer unscharfen Menge(1 minus Zugehörigkeitswahrscheinlichkeit)
– Damit ist für die linke Seite jeder Regel (der IF-Teil) ein µj berechenbar.
– Somit ist nun der IF-Teil aller Regeln mit einer unscharfen Zugehörigkeit(Zugehörigkeitswahrscheinlichkeit) belegt.
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Schritt 3: Inferenz (2)
• allgemeines Prinzip (Fortsetzung):
– nahe liegende Inferenz-Strategie für jede Regel:der Wert µj des IF-Teils der Regel beschränkt die Zugehörigkeitswahr-scheinlichkeit (den µ -Wert) der unscharfen Menge Bj des THEN-Teilsder Regel
– Begründung: Eine nur unwahrscheinliche Prämisse zieht die nur un-wahrscheinliche Ausführung der Konklusion nach sich.
– Somit wird für jede Regel j die bezüglich µj gekappte unscharfe MengeBj ↑ µj berechnet.
• Daraus ist dann im vierten und letzten Schritt mit Hilfe der Defuzzifizierungwieder ein scharfer Ventilstellungswert zu ermitteln.
Populationsdynamik: . . .
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Schritt 3: Inferenz (3)
• jetzt wieder am konkreten Beispiel:
– Regel 1 liefert µ1 = µ(t, T,niedrig)
– daraus ergibt sich: halb offen ↑ µ1
– Regel 2 liefert µ2 = µ(t, T,mittel)
– daraus ergibt sich: fast offen ↑ µ2
Populationsdynamik: . . .
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Verkehrsfluss: . . .
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Schritt 4: Defuzzifizierung
• allgemeines Prinzip:
– Zu jeder im THEN-Teil einer Regel auftretenden linguistischen Varia-blen werden alle entsprechenden Regeln betrachtet.
– Aus den hierzu in Schritt 3 ermittelten gekappten unscharfen Mengenwird jeweils die (unscharfe) Vereinigung gebildet.
– verschiedene Möglichkeiten zur anschließenden Berechnung scharferStellwerte:
* Mittelwert aus Maximal- und Minimalwert des Trägers der unschar-fen Vereinigung
* Mittelwert aus den Minimal- und Maximalwerten der Träger der ein-zelnen gekappten unscharfen Mengen
* Schwerpunkt der Vereinigungsfläche
* gewichteter Schwerpunkt (bei gewichteten Regeln)
* · · ·
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Schritt 4: Defuzzifizierung (2)
• Formeln zur Schwerpunktbildung:
– Bezeichnungen:
* x : ein Wert des Ausgabebereichs (Stellwert)
* µ(x) : Zugehörigkeitsfunktion zur unscharfen Vereinigung
* gj : Gewicht der Regel j
* µj : Ergebnis der linken Seite der Regel j
* F (A) : Fläche der Zugehörigkeitsfunktion der unscharfen Menge
– x-Koordinate xS des Schwerpunkts:
xS =∫
x · µ(x) dx∫µ(x) dx
– x-Koordinate des gewichteten Schwerpunktmittels:
xS =
∑j xS,j · ωj∑
j ωjmit
ωj = F (Bj ↑ µj) · µj · gj
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Schritt 4: Defuzzifizierung (3)
• und wieder am konkreten Beispiel:
– berechne Schwerpunkt der Vereinigung der beiden gekappten unschar-fen Mengen halb offen ↑ µ1 und fast offen ↑ µ2
– Schwerpunkt sei S = (kS , µS)
– Ergebnis: Ventil ist auf den (scharfen) Wert kS einzustellen!
• Anmerkung: Es gibt auch adaptive Fuzzy-Regelungen:
– Anpassung der Gewichte bzw. der Zugehörigkeitsfunktionen
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3.2.4. Beispiel: Balancierter Stab
• klassisches Beispiel zur Demonstration der Regelung: balancierter Stab bzw.inverses Pendel
• klassische Modellierung:
– vier Gleichungen (Horizontal-, Vertikal- und Drehbewegung des Stab-schwerpunkts, Horizontalbewegung des Wagens)
– führt auf System von vier linearen ODE in Unbekannten ϕ, ϕ, s, s
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Balancierter Stab (2)
• auch bei linearer Rückführregelung relativ kompliziert
• Alternative: Fuzzy-Logik-Regelung
• linguistische Variable:
– Winkel ϕ mit linguistischen Termen (z.B) negativ, null, positiv
– Winkelbeschleunigung ϕ mit linguistischen Termen negativ , null, posi-tiv
– Stellkraft u mit linguistischen Termen groß-negativ, negativ, null, positiv,groß-positiv
• neun Regeln, einfache AND-Verknüpfung von Winkel und Winkelbeschleu-nigung; z.B.:
IF ϕ = negativ AND ϕ = positiv THEN u = positiv
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Balancierter Stab (3)
• alle neun Regeln:
ϕϕ negativ null positiv
negativ groß-positiv positiv negativ/null
null positiv null negativ
positiv positiv/null negativ groß-negativ
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Hardware-Realisierungen
• Fuzzy Regler als Chips
– oft nur Regler mit zwei Eingängen (Variable x und ihre Zeitableitung)sowie einem Ausgang (Stellgröße u ) nötig
– hierfür Spezialchips (müssen sehr billig sein für Massenmarkt, z.B. beiKonsumgütern)
– zeitkritische Regelungen auf Fuzzy-Basis erfordern Hochleistungs-Co-Prozessoren
– typische Eigenschaften (bzw. was heute geht):
* interne Parallelauswertung von Regeln
* bis zu 8 (>256) Eingangsgrößen, bis zu 8 (>64) Ausgangsgrößen
* bis zu 7 Terme mit Zugehörigkeitsfunktion pro linguistischer Varia-ble
* bis zu 16 Interpolationspunkte pro Zugehörigkeitsfunktion
* bis zu 256 (>16384) Regeln
* Auswertezeit zwischen 0.1 und maximal 50 Millisekunden (1.25 Mi-krosekunden)
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Zusammenfassung
• Folgende Prozesskette wurde realisiert:
– scharfen Messwert für jede Messgröße ablesen
– Fuzzifizierung: Definition der unscharfen Welt
– Regelsystem: Folgerungen in der unscharfen Welt aufstellen
– Inferenz:
* zu jeder Regel mit Hilfe des Messwerts einen Zugehörigkeitswertzum IF-Teil der Regel ermitteln
* damit unscharfe Menge des THEN-Teils der Regel kappen
– Defuzzifizierung:
* unscharfe Vereinigung jeweils aller gekappten unscharfen Mengenzu einer linguistischen Variablen
* Schwerpunktbildung der unscharfen Vereinigung liefert schließlicheinen scharfen Stellwert für jede linguistische „THEN-Variable“
– scharfen Stellwert für jede Stellgröße einstellen
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3.3. Verkehrsfluss: Modellierung überkontinuierliche Größen
3.3.1. Einführung
• strategisches Verhalten bei hoher Verkehrsdichte:
– einzelner Autofahrer:
* individuelles Optimum aus Reduzierung der eigenen Fahrzeit undVermeidung der eigenen Verwicklung in Unfälle
* intuitiver positiver Beitrag zu störungsfreiem Verkehrsfluss insge-samt (also auch für die anderen Verkehrsteilnehmer) schwierig
– Polizei bzw. Verkehrsleitstelle:
* Vermeidung von Staus und Unfällen (Gesamtsicht)
* Mittel: Straßenbau, Verkehrsleitsysteme, flexible Richtungsnutzungvon Fahrspuren, Ampelanlagen etc.
• erforderlich: Modellierung des Verkehrsflusses
– um auch komplexe Situationen verstehen zu können
– um sinnvoll steuernd sowie regelnd tätig werden zu können
– Wechselwirkungen von Verkehrsdichte und Geschwindigkeit, im Großen(Durchsatz) und im Detail (Fortpflanzung kurzer Stockungen)
– wir werden studieren: einfaches Modell nach Lighthill & Whitham
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Mögliche Beschreibungsarten
• Vielzahl verschiedener möglicher Ansätze:
– Straßennetz als Graph bzw. Netzwerk, Dynamik (Autos im System) mitPetri-Netzen
– Straßennetz als zellulärer Automat, Dynamik (Verkehr) über geeigneteRegelbasis
– Straßennetz als Wartenetz im Sinne von Abschnitt 2.3: Ampeln bzw.allgemeine Kreuzungen als elementare Wartesysteme, Zu- und Abflussvon Autos als stochastische Prozesse
– Autos als Elementarteilchen (Moleküle wie in Molekulardynamik, oderstochastisch mittels Aufenthaltswahrscheinlichkeiten wie bei Boltzmann,Schrödinger & Co.)
– Straßennetz als Kanalsystem, Gesamtverkehr als zähes Fluid, das sichdurch die Kanäle quält
– Staus, Ampeln:Wellenausbreitung, Akustik
– · · ·
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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Modellbildung und Simulation
3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Verkehrsfluss: Analogien
• breite Anwendbarkeit solcher Verkehrsmodelle:
– Gleichungen zur Verkehrsmodellierung können z.B. auch die Ausbrei-tung von Verschmutzungen in Strömungsfeldern (Gewässer, Luft) be-schreiben
– Ausbreitung von Staus analog
* zur Ausbreitung von Schockwellen (Düsenflugzeuge, Schüsse etc.,Druckwelle nach Explosionen)
* zur Fortpflanzung von Feuerfronten bei Waldbränden
* zur Versickerung von Wasser im Boden nach starken Regenfällen
* zur Bewegung von Eisenbahnwaggons beim Rangieren
• wir streifen kurz
– stationäre Verkehrsströme (im Gleichgewichtszustand)
– dynamische Änderungen und singuläre Störungen
• dabei durchwegs kontinuierliche Beschreibung („Strömungsgrößen“)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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Modellbildung und Simulation
3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Rolle des Individuums
• menschliches (Fahr-) Verhalten ist
– variabel und anpassungsfähig
– auch von psychologischen Faktoren bestimmt
– kaum exakt (im Sinne eines mathematisch-physikalischen Modells) be-schreibbar
• Einfluss des Individuums unterschiedlich:
– einspurige Fahrbahn, wenig Verkehr, Überholverbot:
* der Langsamste bestimmt das Tempo
* Durchschnittsgrößen wenig sinnvoll
– Autobahn, starker Verkehr:
* Einfluss einzelner Autos gering
* Verwendung von Durchschnittsgrößen sinnvoll
• Schwerpunkt von Modellierung und Simulation:
– starker Verkehr
– mehrspurige Straßen
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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Modellbildung und Simulation
3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3.3.2. Gleichmäßiger Verkehrsfluss
• Studium der Verkehrsströme, nicht individueller Fahrzeugbewegungen
– außenstehender Beobachter beschreibt (Euler-Beschreibung)
– Alternative wäre Lagrange-Beschreibung (teilchenartig, Bewegungen derAutos werden erfasst)
• Szenario (zunächst ziemlich unrealistisch):
– Autos alle gleich lang ( l ) und gleich schnell, gleicher Abstand
– gleichförmiger, stationärer, einspuriger Verkehrsfluss
• drei Größen:
– Abstand zweier Autos (Straßenlänge normiert auf 1):
1 − N · lN − 1
– Verkehrsgeschwindigkeit V (km/h): Tempo der Autos
– Verkehrsdichte N (Autos/km): Anzahl der Autos pro Strecke
– Verkehrsfluss F (Autos/h): Durchsatz an einem Kontrollpunkt
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Eine erste Beziehung: F, N und V
• fundamentale Beziehung zwischen Fluss, Geschwindigkeit, Dichte (absolutoder gemittelt): F = N · V
– vgl. Formel von Little aus Abschnitt 2.3:Füllung = Verweilzeit mal Durchsatz
* Durchsatz entspricht Fluss F
* Füllung entspricht Dichte N
* Verweilzeit entspricht Geschwindigkeit−1V −1
– neu ist lediglich die Raumdimension („Strecke“)
– Veranschaulichung:
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Eine zweite Beziehung: V und N
• charakterisiere zunächst V als Funktion von N :
– V streng monoton fallend in N
* höhere Geschwindigkeit erfordert höheren Sicherheitsabstand undsomit geringere Dichte
* im Grenzfall (Maximaldichte, Abstand 0):
V → 0 für N → Nmax =1l
– Höchstgeschwindigkeit auf leerer Straße:
V → Vmax für N → 0
– Linearisierung (Vereinfachung):
V = Vmax ·(1 − N
Nmax
)• Verkehrspolitik hätte lieber Abstand und somit N als Funktion von V :
– Bremsweg wird maßgeblich von V bestimmt!
– vgl. die plakatierte Regel „Abstand halber Tacho“
– Ansatz liefert leider keine vernünftigen Modelle für das Fahrverhalten
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Eine dritte Beziehung: F und N
• aus dem Gesagten folgt
F = F (N) = V (N) · N
• im Fall der linearen V -N -Abhängigkeit:
F (N) = Vmax · N ·(1 − N
Nmax
)parabolisches Modell:
F → 0 für N → Nmax , N → 0
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Modellbildung und Simulation
3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Gleichgewichtszustände
• zwei Möglichkeiten, einen Fluss F < Fmax zu erreichen:
– Möglichkeit 1: kleine Dichte, große Geschwindigkeit
– Möglichkeit 2: große Dichte, kleine Geschwindigkeit
• Möglichkeit 1 ist attraktiver:
– für einzelnen Autofahrer, weil schneller am Ziel
– für Verkehrsplaner, weil Autofahrer glücklicher
• tritt Möglichkeit 1 in Praxis ein?
– bei wenig Verkehr ja (alle geben Gas)
– bei viel Verkehr eher nein
• jetzt Steuerung/Regelung gefragt:
– erzwinge die „bessere“ Alternative
– Mittel: Ampeln, Tempohinweise ...
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Alternative: kubisches Modell
• parabolisches Modell war:
F (N) = Vmax · N ·(
1 − N
Nmax
)• unbefriedigend u.a., weil (oft im Gegensatz zur Beobachtung)
– maximaler Fluss starr bei halber Maximaldichte
– maximaler Fluss starr bei halber Maximalgeschwindigkeit
• daher kubisches Modell:
F (N) = Vmax · N ·(1 − αN − βN2
)• Bedingungen:
– per Ansatz wieder erfüllt: F (N) → 0 für N → 0
– ebenfalls per Ansatz wieder erfüllt: F′(N) → Vmax für N → 0
– außerdem soll wieder gelten: F (N) → 0 für N → Nmax
– schließlich: F′(Nopt) = 0, Nopt · Vopt = Fmax
– hierbei Vopt beobachtbar (Geschwindigkeit mit maximalem Fluss)
– somit drei zusätzliche Gleichungen (nicht alle linear) für die drei Unbe-kannten α, β, Nopt
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3.3.3. Instationäre Situationen
• jetzt: Dichte variiert in Ort und Zeit (realistischer)
• Frage: Wie entwickelt sich der Fluss?
– als kontinuierliche Größe: F = F (x, t)
– nicht Bewegung einzelner Autos, sondern Verkehrsstrom als Ganzes
• Annahmen (zur Erleichterung):
– vernünftige Zeit- und Längenskalen seien a priori wählbar
– weiterhin gelte F = F (N) = V (N) · N (quasi-stationär )
* verzögerungsfreie Anpassung der Autos an Verkehrssituation
* damit außen vor: Situation beim Lichtwechsel an Ampeln
– kontinuierliche Beschreibung sei möglich (kein Ärger mit Glattheit (Ste-tigkeit, Differenzierbarkeit) etc.)
• jetzt: kontinuierliche Beziehungen herleiten
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Ein Erhaltungssatz
• geschlossene Teststrecke von x = a nach x = b
– keine Auf- oder Abfahrten auf der Teststrecke (Erhaltung)
– unidirektionaler Verkehr: Zugänge bei a , Abgänge bei b
– kontinuierlich betrachtete kontinuierliche Größen:
* Dichte N(x, t) am Ort x zur Zeit t
* Fluss F (x, t) am Ort x zur Zeit t
* Anzahl der Autos auf der Strecke M(t) zur Zeit t
• dann gilt
– zu jedem Zeitpunkt:
M(t) =∫ x=b
x=a
N(x, t) dx
– mit fortschreitender Zeit:
∂
∂tM(t) = Mt(t) =
∫ x=b
x=a
Nt(x, t) dx
– verantwortlich für Änderungen von M(t): Fluss in a und b
∂
∂tM(t) = Mt(t) = F (a, t) − F (b, t) = −
∫ x=b
x=a
Fx(x, t) dx
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Ein Erhaltungssatz (2)
• Visualisierung der Berechnung von M(t) :
• zwei Wege zur Berechnung der Zeitableitung von M(t) :
– via Integral der Zeitableitung der Dichte über ganze Strecke
– oder via Zu- und Abgangsbilanz an den Endpunkten a und b
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Ein Erhaltungssatz (3)
• insgesamt gilt somit∫ x=b
x=a
Nt(x, t) dx = −∫ x=b
x=a
Fx(x, t) dx
bzw. ∫ x=b
x=a
(Nt(x, t) + Fx(x, t)) dx = 0
und zwar
– für jeden Zeitpunkt t
– für jede Teststrecke [a, b]
• deshalb gilt (bei hinreichender Differenzierbarkeit)
Nt(x, t) + Fx(x, t) = 0 ∀x, t
bzw. mit F = F (N):
Nt(x, t) + FN (N(x, t)) · Nx(x, t) = 0 ∀x, t
• Verkehrsgleichung (nichtlineare partielle DGL!)
– berücksichtigt Erhaltung von Autos: Dichteänderungen schlagen sich inFlussänderungen nieder und umgekehrt
– Unbekannte: Dichte; daraus dann mittels F = F (N) der Fluss
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Verkehrsgleichung
• man beachte:
– Die Abhängigkeit F = F (N) ist eine Modellannahme und somit bereit-zustellen (z.B. parabolisches oder kubisches Modell).
– Die Verkehrsgleichung ist ein einfaches Beispiel einer nichtlinearenhyperbolischen Wellengleichung (beschreiben allgemeine Wellenaus-breitungsphänomene).
– Die Ableitung des Flusses nach der Dichte, also
∂
∂NF = FN ,
wird Signalgeschwindigkeit genannt:
* aus Dimensionsgründen (Einheit!) tatsächlich Geschwindigkeit
* Auswirkung einer Dichteänderung (Störung) auf den Fluss, d.h.Ausbreitung der Information einer Änderung oder einer Störung
* Signalgeschwindigkeit ist ungleich Autogeschwindigkeit V
* Signalgeschwindigkeit kann bei V ≥ 0 positiv, negativ oder Nullsein.
• Verkehrsgleichung kann in einfachen Fällen analytisch gelöst werden(Charakteristiken-Methode)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Zur Signalgeschwindigkeit
• es gilt:
– Signalgeschwindigkeit stets kleiner gleich Autogeschwindigkeit
– Straße leer:N → 0, V → Vmax, F → 0, FN = V,
d.h.
* Verursachte Störungen werden mit den Verursacherautos aus demSystem entfernt, die anderen Teilnehmer merken nichts.
– N und F steigen an:
* Störungen entfernen sich langsamer als die Verursacher.
* Die nachfolgenden Autos werden beeinträchtigt.
– Maximalfluss erreicht:
* Signalgeschwindigkeit wird Null, Störung verharrt an der Quelle
* katastrophal (und das gerade im Idealfall des maximalen Flusses!)
– Dichte steigt weiter, Fluss sinkt wieder:
* negative Signalgeschwindigkeit, Information läuft rückwärts , GAU
* Stau (bei hoher Dichte besonders große negative Signalgeschwin-digkeit)
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Zur Signalgeschwindigkeit (2)
• grafische Veranschaulichung:
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Beispielphänomene
• Losfahren von Autos an der Ampel:
– Signalgeschwindigkeit ist hier praktisch erleb-/erleidbar!
– entspricht abruptem Dichteabfall, der aufgelöst wird (allerdings nichtsofort bzw. „auf einmal“, sondern im Laufe der Zeit)
– immerhin: maximale Dichte an Ampel, also auch maximale negativeSignalgeschwindigkeit!
– Eingriffsmöglichkeiten: Position der Ampel, Synchronisierung aufeinan-der folgender Ampeln, Tempolimits etc.
• Entstehung und Auflösung von Staus:
– eine Spur blockiert: plötzlicher Dichtesprung nach oben bzw. bei opti-malem Einfädeln – Halbierung des Flusses
– zweite Spur wird wieder frei: Dichtesprung nach unten
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Graphische Veranschaulichung
• Dichte und Geschwindigkeit am Anfang
• Verkehrsverhältnisse bewegen sich fort mit FN
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3.4. Wärmeleitung: Modell und numerische Lösung
Auflösung des Raums
• Differentialgleichungen bei Populationsmodellen:
– nur eine unabhängige Variable, nämlich die Zeit
– gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE)
• Verkehrsgleichung:
– zwei unabhängige Variablen: Zeit und eine Raumrichtung
– partielle Ableitungen nach beiden Variablen, deshalb partielle Differen-tialgleichung (partial differential equation, PDE)
– wieder (wie bei Populationen) kontinuierliches Modell, obwohl diskreteWelt (Autos)
• Einsatz der Modellwerkzeuge ODE und PDE durchaus auch alternativ:
– höhere Genauigkeit bei PDE (räumliche Heterogenitäten)
– höherer Aufwand bei PDE (Diskretisierung von Zeit und Raum)
– Beispiel: Populationsdynamik
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Raumauflösende Populationsmodelle
• einerseits: rein zeitabhängige Modelle manchmal zu grob
– Bevölkerungsentwicklung in den USA in den 1850ern (California goldrush): stark ausgeprägte räumliche Ost-West-Komponente
– Migration der Weltbevölkerung im 21. Jahrhundert: auch hier räumli-cher Aspekt, prognostizierte Süd-Nord-Wanderung
– Vorhersage von Heuschreckenplagen in Afrika: flächige Ausbreitung,diffusive und andere Effekte
• deshalb Zielgröße eher p(x, t) oder p(x, y, t) anstelle von p(t)
• Erhöhung der Komplexität:
– Modelle: Wie hängen räumliche und zeitliche Ableitungen zusammen(Wellengleichung wäre eine Möglichkeit)?
– Numerik: Erhöhung von Speicher- und Rechenaufwand u.v.m.
• andererseits: höhere Genauigkeit überhaupt erforderlich?
– Europa: viele Auswanderer (egal, wo das Gold gefunden wird)
– USA: wichtig zu wissen, wo Infrastruktur bereitzustellen
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Systemschicht vs. Prozessebene
• Systemschicht:
– Interesse nur an makroskopischen Phänomenen wie Wirkungsgrad,Kosteneffizienz etc.
• Prozessschicht:
– Verständnis der die Makroebene bestimmenden mikroskopischen Pro-zesse
• Gretchenfragen:
– Was aus der Mikrowelt brauche ich nur zum Zwecke der Erkenntnis?
– Was aus der Mikrowelt darf ich nicht ohne signifikante Konsequenzenfür die Makrowelt vernachlässigen?
– Beispiel: Bauelemente und Schaltkreise
* für Standard-Schaltplan reicht Kirchhoff; keine „Elektronen“
* für EMV (elektromagnetische Verträglichkeiten, z.B. Wechselwir-kungen zwischen zwei benachbarten Leiterbahnen) reicht Kirch-hoff nicht
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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3.4.1. Modellierung mit PDE
• Raumauflösung ist essentiell für viele Probleme bzw. Phänomene aus Phy-sik oder Kontinuumsmechanik:
– Strömungsmechanik/Thermodynamik:
* Wo entsteht ein Tornado?
* Ist die gegebene Karosserie aerodynamisch günstig?
– Strukturmechanik?
* Hält das Gebäude einer Belastung stand?
* Wo sind Sollbruchstellen?
– Verfahrenstechnik:
* Wo wird es wie heiß in einem (nuklearen / chemischen / biologi-schen) Reaktor?
– Elektromagnetismus:
* Wo im Transistor ist die Elektronendichte wie hoch?
– Geologie:
* Wann, wo und wie heftig wird es Erdbeben geben?
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Mit oder ohne Zeit?
• stationäre Phänomene:
– keine Zeit-, sondern nur Ortsabhängigkeit
– bei eindimensionalem Raum: wieder ODE!
– Beispiele: Gleichgewichtssituationen
* Auflösung einer löslichen Substanz in Wasser ohne äußere Einflüs-se (die Dinge ändern sich zwar, streben aber zu einer stationärenLösung)
* Temperaturverteilung in konstant beheiztem Raum
• instationäre Phänomene:
– Zeit- und Ortsabhängigkeit
– auf jeden Fall PDE!
– Beispiele:
* Oszillationen: mechanische Belastung einer Schiffschaukel
* Turbulenz (vgl. Strömung über Wehr, Wirbel im Nachlauf startenderFlugzeuge)
* Regelkreis (ständig angepasste Randbedingungen)
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Beispiel: Wärmeleitung
• Kernproblem der Thermodynamik
– Wärme beeinflusse die Oberfläche eines Objekts
– Ziel: Ausbreitung bzw. Verteilung vorhersagen
• Beispiele:
– ein Hitzdraht
– ein Kochtopf auf einer Herdplatte
– Kühlwasser im Reaktor eines Kernkraftwerks
– ein Zimmer im Winter: wo die Heizung platzieren?
– ein Zimmer im Sommer: Aufheizung an Fensterflächen
• Objekt der Begierde i.W.: Temperatur T
T (x; t) oder T (x, y; t) oder T (x, y, z; t)
• entscheidend:
– Rand- und Anfangsbedingungen
– Materialeigenschaften (Wärmeleitfähigkeit etc.)
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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Szenario
• Gebiet Ω ⊂ IR3 , Gebietsrand ∂Ω , Zeitintervall [0, τ ]
• Start: Wasser kalt, Platte kalt
• dann: Einschalten der Platte
– Platte schnell auf Zieltemperatur, Wasser erhitzt sich allmählich
– beachte Kühlwirkung des Außenraums des Topfes
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Verkehrsfluss: . . .
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Ein Modell für die Wärmeleitung
• Standardbeispiel für eine physikalische Herleitung
• mehrteiliges Modell:
– die PDE:
* beschreibt die Wechselwirkungen von Temperaturänderungen inBezug auf Raum (hier jetzt 3D) und Zeit
* eine Gleichung für eine gesuchte Funktion ausreichend
* Gleichung bestimmt Schar von Lösungen
– Anfangs- und Randbedingungen:
* zur eindeutigen Festlegung der gesuchten Lösung
* Anfangsbedingungen: Temperaturfeld im gesamten Gebiet zum Start-zeitpunkt (wie bei ODE)
* Randbedingungen: Temperaturdaten (Werte oder Änderungen) amRand des betrachteten Gebiets zu allen Zeiten
• beide Teile sind herzuleiten
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Verkehrsfluss: . . .
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Herleitung der Wärmeleitungsgleichung
• die Lösung vorneweg, dieWärmeleitungsgleichung:
κ · (Txx + Tyy + Tzz) = κ ·(∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2+
∂2T
∂z2
)=
∂T
∂t= Tt
oder kurzκ · ∆T = Tt
mit dem Laplace-Operator
∆ = Txx + Tyy + Tzz
• kurze (!) Herleitung als kleiner Ausflug in die Physik:
– Start ist das grundlegende Prinzip der Energieerhaltung
– zeitliche Temperaturänderungen in einem TeilgebietD des Gebiets sindbedingt entweder durch Wärmefluss durch die Oberfläche von D oderdurch Wärmequellen und -senken im Innern von D :
∂
∂t
∫D
ρcT dV =∫
D
q dV +∫
∂D
k∇T · n dS
– Dichte ρ , spezifische Wärme c , Quellterm q , Wärmeleitfähigkeit k,äußere Normale n, Volumenelement dV bzw. Oberflächenelement dS,Gradient ∇
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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Veranschaulichung der Energieerhaltung
• idealisiertes Volumenelement D :
– Wärmeänderung in D durch
* A:Wärmefluss ins Element hinein bzw. aus dem Element heraus
* B: Wärmequellen oder -senken im Innern
• Erhaltung der Wärme oder Umwandlung der Wärmeenergie (z.B. in kineti-sche Energie)
Populationsdynamik: . . .
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Herleitung (2)
• Transformation mit dem Gaußschen Integralsatz in ein reines Volumeninte-gral: ∫
D
(ρcTt − q − k ∆T ) dV = 0
• Integral verschwindet für beliebiges Teilgebiet D , daher muss Integrand Nullsein:
Tt = κ ∆T +q
ρc, κ =
k
ρc
• κ > 0 wird thermischer Diffusionskoeffizient genannt (Laplace-Operator be-schreibt Diffusions- oder Ausgleichsprozesse)
• ohne äußeren Einfluss q = 0 ergibt sich eben die Wärmeleitungsgleichung:
Tt = κ∆T
• stationärer Fall: Laplace-Gleichung
∆T = 0
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Herleitung (3)
• dies ist Beispiel für Standard-Vorgehensweise bei der Modellierung in derPhysik (leicht verkürzt)
– Start bei einem grundlegenden physikalischen Gesetz:
* der berühmte Apfel
* die Erhaltung von Masse
* die Erhaltung von Energie oder ...
– daraus Gewinnung einer Bilanzgleichung (typischerweise ein summa-torischer Zusammenhang mit Integralen)
– Zuhilfenahme der Analysis: Vereinfachung
* Gaußscher Integralsatz (ein üblicher Verdächtiger)
* „Integral verschwindet stets“ zieht „Integrand Null“ nach sich
– Vereinfachung durch physikalische Einschränkungen
* keine Quellterme etc.
– am Ende dann die gewünschte (Differential-) Gleichung
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Typen von Randbedingungen
• nun zu (einigen) möglichen Randbedingungen:
– Dirichlet Randbedingungen: T auf Rand vorgegeben
T (t; x, y, z) = ψ(t; x, y, z) auf ∂Ω
* Temperatur T selbst wird auf dem Rand festgeschrieben
* d.h.: definiertes Heizen oder Kühlen
– Neumann Randbedingungen: Normalableitung (Ableitung in Richtungder äußeren Normalen) von T auf Rand vorgegeben
∂T
∂n(t; x, y, z) = ∇T (t; x, y, z) · n = ϕ(t; x, y, z) auf ∂Ω
* Wärmefluss durch Rand bzw. Teile des Rands festgeschrieben
* Wert Null: keine Temperaturunterschiede, folglich kein Wärmetrans-port in das Gebiet hinein oder aus dem Gebiet hinaus, d.h. vollstän-dige Isolation
ϕ(t; x, y, z) = 0 auf ∂Ω
• Frage: Was ist physikalisch sinnvoll (oft nicht trivial)?
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Rand- und Anfangsbedingungen
• möglich sind:
– reine Dirichlet-Randbedingungen
* Temperaturvorgabe auf dem gesamten Rand
– Mix aus Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen
* teils Vorgabe der Temperatur, teils Vorgabe des Flusses
– reine Neumann-Randbedingungen dagegen nicht:
* reichen nicht zur Gewährleistung einer eindeutigen Lösung
* mit T ist auch jedes T + const. Lösung (Funktionen sind durch ihreAbleitungen alleine noch nicht eindeutig charakterisiert)
* dies physikalisch auch vernünftig: Fluss legt Absolutbetrag nichtfest!
• Anfangsbedingungen:
– Wert der Temperatur zur Startzeit im gesamten Gebiet, z.B.
T (0;x, y, z) = φ(x, y, z) in Ω
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Zurück zum Szenario
• Gebiet Ω ⊂ IR3 , Zeitintervall [0, τ ]
• Anfangsbedingung: T = const. im ganzen Topf
• Randbedingungen:
– Platte: evtl. Hochfahren, dann konstant heiß (also Dirichlet)
– Seitenwand und oben: konstanter Wärmeabtransport (Neumann)
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Tut’s nicht auch eine Raumdimension?
• Gebiet Ω ⊂ IR3 , Zeitintervall [0, τ ]
• perfekte Platte:
– bei z = 0 gleichmäßig (flächig) beheizt
– größere Unterschiede wohl nur in der Höhe
– Eine Raumdimension (z-Koordinate) scheint auszureichen.
• z > 0 : Störung der Homogenität der Temperatur in einer Ebene durch Kühl-wirkung am Rand?
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Reichen zwei Raumdimensionen?
• Gebiet Ω ⊂ IR3 , Zeitintervall [0, τ ]
• reale Platte:
– Beheizung von der Plattenmitte aus
– Unterschiede in der Höhe, im Abstand von Mitte
– Zwei Raumdimensionen (z- und r- Koordinate)!
• aber: Konkrete Position (Winkel) wirklich egal?
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Also doch drei Raumdimensionen?
• Gebiet Ω ⊂ IR3 , Zeitintervall [0, τ ]
• kaputte Platte:
– Beheizung von Plattenmitte aus, nicht rotationssymmetrisch
– Unterschiede in der Höhe, im Abstand von Mitte, im Winkel
– Drei Raumdimensionen (z-, r- und ϕ -Koordinate)!
– gleich gute, aber adäquatere Beschreibung als (x, y, z)-System
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Zur Lösung des Modells
• Wärmeleitung ist beliebtes Anschauungsbeispiel:
– allgemeine Aussagen zu Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen mög-lich
– In einfachen eindimensionalen Konfigurationen kann die Lösung expli-zit bestimmt werden (Separation der Variablen, Fourier-Methode).
– insofern Beispiel eines sehr einfachen Rand- bzw.Rand-Anfangswertproblems
• allgemein
– Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen oft offen
– nur numerische Lösung möglich
– insbesondere im höherdimensionalen Fall (drei Raumdimensionen plusZeit) oft extrem aufwändig
• Numerik von PDE eines der wichtigsten Themen der numerischen Simulati-on!
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
Wärmeleitung: Modell . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Klassifizierung: Typen von PDE
• Wärmeleitungsgleichung ist einfaches Beispiel einer linearen PDE 2. Ord-nung in d Dimensionen:
d∑i,j=1
ai,j(x) · Txi,xj (x) +d∑
i=1
ai(x) · Txi(x) + a(x) · T (x) = f(x)
– linear: nur Linearkombination verschiedener Ableitungen, keine Pro-dukte etc.
– 2. Ordnung: nur Funktion selbst, erste und zweite Ableitungen
– d = 4 : drei Raumdimensionen und die Zeit, also x = (x, y, z; t)
– Wärmeleitungsgleichung: alle Koeffizientenfunktionen konstant!
κ · ∆T − Tt = κ · Txx + κ · Tyy + κ · Tzz − Tt = 0
A = (aij)i,j =
⎛⎜⎜⎝κ 0 0 00 κ 0 00 0 κ 00 0 0 0
⎞⎟⎟⎠ , b = (ai)i =
⎛⎜⎜⎝000−1
⎞⎟⎟⎠ , a = f = 0
Populationsdynamik: . . .
Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
Klassifizierung (2)
• Man unterscheidet drei Typen:
– elliptische PDE:
* Matrix A der Koeffizienten ai,j ist positiv oder negativ definit– hyperbolische PDE:
* Matrix A hat einen positiven und d − 1 negative Eigenwerte oderumgekehrt
– parabolische PDE:
* ein Eigenwert von A ist Null, die anderen haben gleiches Vorzei-chen
* Rang vonA zusammenmit dem Vektor ai ist maximal bzw. voll, d.h.Wert d (wenn nach einer Variablen keine zweite Ableitung auftritt,dann wenigstens eine erste!)
• einfache Beispiele:
– elliptisch: Laplace- oder Potenzialgleichung
∆u = 0
– parabolisch:Wärmeleitungsgleichung
∆u = ut
– hyperbolisch:Wellengleichung
∆u = utt
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Regelungstechnik: . . .
Verkehrsfluss: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
SimulationHans-Joachim Bungartz
3.4.2. Numerik von PDE
• Klassifizierung wichtig:
– verschiedene Klassen erfordern komplett verschiedene Numerik
– hier: Beschränkung auf den elliptischen Fall, genauer auf die einfacheLaplace-Gleichung ∆u = 0
• verschiedene Diskretisierungsverfahren:
– Finite Differenzen (FD):
* direkte Approximation aller auftretenden Ableitungsterme (vgl. ODE)
* nahe liegender, direkter Ansatz
* leicht zu implementieren, allerdings wenig theoretischer Hintergrund
– Finite Volumen (FV):
* direkte Implementierung der kontinuumsmechanischen Erhaltungs-sätze auf kleinen Volumen, insb. bei Strömungen
– Finite Elemente (FEM):
* Variationsansatz, betrachte eine leicht abgeschwächte Variante derPDE anstatt ihrer selbst
* komplizierter in der Implementierung, aber schöne Theorie
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Regelungstechnik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Finite Differenzen Verfahren
• gegeben: GebietΩ ⊆ IRd, d ∈ 1, 2, 3
• darauf wird definiert: (regelmäßiges) Gitter Ωh
• Gitterabstand oderMaschenweite
h = (hx, hy, hz)
• ersetze Ableitungen durch Differenzenquotienten:
– erste Ableitungen: Vorwärts-, Rückwärts- oder zentrale Differenzen
∂u
∂x(ξ) .=
u(ξ + hx) − u(ξ)hx
,u(ξ) − u(ξ − hx)
hx,u(ξ + hx) − u(ξ − hx)
2hx
– zweite Ableitungen: Standard 3-Punkt-Stern (vgl. Abschnitt 3.1.2)
∂2u
∂x2
.=u(ξ + hx) − 2u(ξ) + u(ξ − hx)
h2x
– Laplace-Operator in 2D oder 3D: 5-Punkt- oder 7-Punkt-Stern
– Es gibt auch breitere Sterne (Involvierung von mehr Nachbarn).
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Regelungstechnik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Finite Differenzen Verfahren (2)
• in jedem inneren Gitterpunkt:
– setze eine Differenzengleichung an
– Unbekannte (Freiheitsgrade): diskrete Näherungswerte für die Funkti-onswerte in den Gitterpunkten
– ein Freiheitsgrad pro Gitterpunkt und pro (skalarer) unbekannter Größe
• in Punkten auf dem oder nahe am Rand:
– konkrete Gestalt der Gleichung hängt von Randbedingungen ab:
* Dirichlet: keine Differenzengleichung in Randpunkten (dort ist Funktions-wert ja vorgegeben, somit keine Unbekannte)
* Neumann: spezielle Gestalt der Differenzengleichung amRand (Ein-bau der Randbedingungen, vgl. RWP bei ODE in Abschnitt 3.1)
• Diskretisierung führt auf lineares Gleichungssystem (LGS)
– im Allgemeinen dünn besetzt
– schnelle (iterative) Lösungsverfahren lebenswichtig
Populationsdynamik: . . .
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Finite Differenzen Verfahren (3)
• einfaches Beispiel: Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat
−∆u = f on ]0, 1[2
• äquidistantes quadratisches Gitter: h = hx = hy = 1/N
• Anzahl der Freiheitsgrade (Unbekannten): M = (N − 1)2
• Standard-5-Punkt-Stern ergibt lineares System Ax = b mit
– M × M -Matrix A (die punktweisen Differenzengleichungen)
– M -Vektoren b (rechte Seite) und x (gewünschte Werte von u )
• A ist eine dünn besetzte Matrix (sparse matrix) mit Bandstruktur; nach Multi-plikation mit h2 :
– Dirichlet Randbedingungen:
* alle Diagonalelemente sind 4, pro Zeile 2 bis 4 Nicht-Nullen (−1)
* Randwerte auf die rechte Seite
– Neumann Randbedingungen (z.B., verschiedene Möglichkeiten):
* Diagonalelemente sind 2 oder 3 nahe dem Rand und 4 sonst;dementsprechend viele – 1en (2 bis 4) in jeder Zeile
* Paare (1,−1) entlang dem Rand auf die rechte Seite
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Diskretisierung eines Dirichlet-Rands
• Dirichlet: • Punkt auf dem Rand, Wert gegeben
• Differenzengleichung:
−u(x − h, y) + 2u(x, y) − u(x + h, y)h2
+−u(x, y − h) + 2u(x, y) − u(x, y + h)
h2
= f(x, y)
• Matrixzeile je nach Lage (nach Multiplikation mit h2 ):
(. . . − 1 . . . − 1 . . . 4 . . . − 1 . . . − 1 . . .),
(. . . − 1 . . . − 1 . . . 4 . . . − 1 . . .),
(. . . − 1 . . . 4 . . . − 1 . . .)
• Bekanntes (Randwerte): auf rechte Seite der Gleichung bringen
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Diskretisierung eines Neumann-Rands
• Neumann: z.B. u(x,y+h)−u(x,y)h am oberen Rand bekannt
• Differenzengleichung:
u(x − h, y) − 2u(x, y) + u(x + h, y)h2
+u(x, y − h) − 2u(x, y) + u(x, y + h)
h2= −f(x, y)
• Matrixzeile je nach Lage (nach Multiplikation mit h2 ):
(. . . − 1 . . . − 1 . . . 4 . . . − 1 . . . − 1 . . .),
(. . . − 1 . . . − 1 . . . 3 . . . − 1 . . .),
(. . . − 1 . . . 2 . . . − 1 . . .)
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Finite Differenzen Verfahren (4)
• Genauigkeit typischerweise quadratisch:
‖uberechnet − uexakt‖ = O(h2) = O(N−2)
• Fluch der Dimension:
– es werden O(Nd) Punkte bei d Dimensionen benötigt
• Ansatzpunkte für Verbesserungen:
– Sterne höherer Ordnung (kubisch, quartisch, ...):
* mehr als zwei benachbarte Punkte pro Raumrichtung heranziehen
* Problem: Matrix wird voller (weniger Nicht-Nullen)
– größere Sparsamkeit mit Gitterpunkten:
* lokal verfeinerte Gitter verwenden (adaptive Gitter)
* Problem: Vorgehensweise an den Nahtstellen – welcher Wert?
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Finite Elemente Methoden
• keine direkte Diskretisierung von Ableitungen, sondern Transformation derPDE in eine schwache Form (Integralform, Skalarprodukt)
• fünf wesentliche Schritte:
– Substrukturierung oder Gittererzeugung: zerlege das Gebiet in ein-zelne Parzellen endlicher Ausdehnung (finite Elemente)
– schwache Form: erfülle die PDE nicht punktweise überall, sondern nurnoch abgeschwächt (in Form eines Skalarprodukts) bzw. gemittelt (alsIntegral)
– endlich dimensionaler Ansatzraum: ersetze die kontinuierliche Lö-sung in der schwachen Form durch geeignete diskrete Approximatio-nen
– System linearer Gleichungen: stelle (wieder) das zugehörige Systemlinearer Gleichungen auf (eine Gleichung für jeden Freiheitsgrad)
– Lösung des linearen Systems: Einsatz geeigneter Iterationsverfahrenzur Bestimmung der Approximation der Lösung
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Substrukturierung, Gittererzeugung
• unterteile das Problemgebiet in finite Elemente:
– Vorgehen aus den Ingenieurwissenschaften (Statik):
* zerlege komplexe Objekte in Standardkomponenten, deren Verhal-ten einfach zu beschreiben ist
* leite daraus das Verhalten des Gesamtobjekts ab
– in 3D erhält man ein FE-Netz (geeignete Datenstruktur!) mit
* Elementen: 3D Atome (Würfel, Tetraeder, ...)
* Flächen: 2D Oberflächenstrukturen (Dreiecke, Quadrate, ...)
* Kanten: 1D Randstrukturen der Elemente
* Gitterpunkten oder Knoten: hier leben die Unbekannten
• Zu jedem Knoten gehört eine Ansatzfunktion ϕk :
– endlicher Träger: von Null verschieden nur in Nachbarelementen
– alle Ansatzfunktionen zusammen spannen den linearen und endlich-dimensionalen Ansatzraum auf und bilden eine Basis
– in diesem Ansatzraum Vn wird die Näherung der Lösung gesucht
• einfachste Basis von Ansatzfunktionen ϕk in 1D: stückweise lineare Stütz-punktbasis
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3.KontinuierlicheModellbildung und
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Schwache Form der PDE
• L bezeichne den Differentialoperator (z.B. ∆ )
• anstelle von Lu = f auf Ω betrachte∫Ω
Lu · ψl dΩ =∫
Ω
f · ψl dΩ ∀ψl
für eine Menge von Testfunktionen ψl
– Methode der gewichteten Residuen oder Galerkin-Ansatz
– somit ein weiterer linearer Raum, jetzt von diesen Testfunktionen auf-gespannt der Testraum Wn
– falls Test- und Ansatzraum
* identisch: Ritz-Galerkin-Ansatz
* verschieden: Petrov-Galerkin-Ansatz
– Linearität: nur Basisfunktionen müssen schwache Form erfüllen
– Schreibweise: Bilinearform a(., .) und Linearform b(.):
a(u, ψl) = b(ψl) ∀ψl ∈ Wn
– das sind n lineare Gleichungen (n : Dimension des Testraums)
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Diskrete Approximation und Gleichungen
• ersetze (exakte/kontinuierliche) Lösung u in obigen n Gleichungen durcheine diskrete Approximation in Vn (damit n Unbekannte ak ):
un =∑
k
αkϕk ∈ Vn
• in der schwachen Form:
a(un, ψl) = a(∑
k
αkϕk, ψl
)=∑
k
αk · a(ϕk, ψl) = b(ψl) ∀ψl ∈ Wn
• alle a(ϕk, ψl) und b(ψl) :
– hängen nicht ab von der jeweiligen Approximation für u, sondern nurvom Problem (vgl. ihre Definition!)
– ein für alle Mal zu Beginn zu berechnen
– führt auf System von n linear unabhängigen linearen Gleichungen inn Unbekannten: Ax = b mit der sogenannten Steifheitsmatrix A (alsowieder LGS wie bei Finiten Differenzen)
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Lösung des resultierenden LGS
• Eigenschaften von A (und unseres LGS):
– insb. bei Ritz-Galerkin Vn = Wn ist A oft symmetrisch positiv definit(SPD)
– Traumkonstellation: A diagonal, d.h. alle Ansatz- bzw. Testfunktionensind (bi-) orthogonal (selten, und wenn, dann schwer erreichbar)
ai,j = a(ϕi, ϕj) =∫
Ω
Lϕi · ϕj dΩ = δi,j
– immerhin: Ansatz- und Testfunktionen haben i.A. nur lokalen Träger
– deshalb ist A typischerweise dünn besetzt
– deshalb und aufgrund der oft hohen Zahl von Unbekannten werdeniterative Löser benötigt
• Strategie folglich:
– wähle Ansatz- und Testräume mit guten Approximationseigenschaften
– konstruiere für diese Räume Basen, die in „schönen“ Matrizen und da-mit in schnell zu lösenden LGS resultieren
– Wesentlich besser als Stützpunktbasen (gleiche Basisfunktion in je-dem Gitterpunkt) sind hier hierarchische Basen, wie sie in der Vorlesung„Hierarchie und Rekursion in numerischen Algorithmen“ betrachtet wer-den.
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Standard-Iterationsverfahren für LGS
• iterative Lösung großer (dünn besetzter) LGS:
– eine der zentralen numerischen Aufgabenstellungen in der numerischenSimulation
– treten bei der Diskretisierung von ODE (RWP) und PDE auf
• direkte Löser oft nicht wettbewerbsfähig:
– Zahl der Unbekannten zu groß (vgl. PDE in 3D)
– klassische Elimination zerstört die (dünne) Struktur der Matrix
– wozu exakte Lösung bei Approximationen? (gilt insb. im nichtlinearenFall, wo ein LGS in jedem äußeren Iterationsschritt zur Behandlung derNichtlinearität auftritt)
– Ziel: Performance nach der Art „für 3 Stellen braucht man 10 Schritte“– unabhängig von der Zahl der Unbekannten
• typisch jedoch für die klassischen Iterationsverfahren:
– Konvergenzgeschwindigkeit verschlechtert sich mit wachsender Pro-blemgröße!
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Grundlegendes zu Iterationsverfahren
• betrachte Iterationsverfahren, starte bei x(0) ∈ IRn und ende (hoffentlich)nahe bei Lösung x von Ax = b:
x(0) → x(1) → . . . → x(i+1) → . . . → limi→∞
x(i) = x
• Konvergenzgeschwindigkeit:
‖x − x(i+1)‖ < γ · ‖x − x(i)‖s
für ein 0 < γ < 1 , Konvergenzordnung s
• typisches Verhalten einfacher Iterationsverfahren für LGS:
s = 1, γ = O(1 − n−k), k ∈ 0, 1, 2, ...(n : Anzahl der Gitterpunkte)
• Strategie: suche Verfahren mit
– nur O(n) arithmetischen Operationen pro Iterationsschritt (Kosten; soviel Aufwand wohl mindestens nötig)
– Konvergenzverhalten gemäß γ < 1 − const. (Nutzen)
• zwei große Familien: Relaxations- und Krylov-Raum-Verfahren
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Relaxationsverfahren
• manchmal auch Glätter genannt:
– Richardson-Iteration
– Jacobi-Iteration
– Gauß-Seidel-Iteration
– Überrelaxation (SOR) oder gedämpfte Methoden
• Ansatzpunkte:
– Fehler e der momentanen Näherung (Ursache): unbekannt
– Residuum r der momentanen Näherung (Wirkung): ermittelbar
r(i) = b − Ax(i) = Ax − Ax(i) = A(x − x(i)) = −Ae(i)
(mangels Besserem als Fehlerindikator verwendet)
• wie Residuum für verbesserte Approximation verwerten?
– Richardson: Residuum direkt als Korrektur
– Jacobi/Gauß-Seidel: eine Komponente von r zu Null machen
– SOR/gedämpft: wie zuvor, aber Korrektur etwas zu hoch / niedrig
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Wichtige Relaxationsverfahren
• Richardson-Iteration:
for i = 0,1,...for k = 1,...,n: x
(i+1)k := x
(i)k + r
(i)k
Hier wird einfach das Residuum r(i) komponentenweise als Korrektur für dieaktuelle Näherung x(i) herangezogen.
• Jacobi-Iteration:
for i = 0,1,...for k = 1,...,n: yk := 1
akk· r(i)
k
for k = 1,...,n: x(i+1)k := x
(i)k + yk
– In jedem Teilschritt k eines Schritts i wird eine Korrektur yk berechnetund gespeichert.
– Sofort angewendet, würde diese zum (momentanen) Verschwinden derk-Komponente des Residuums r(i) führen (leicht durch Einsetzen zuverifizieren).
– Gleichung k wäre mit dieser aktuellen Näherung für x somit exakt ge-löst – ein Fortschritt, der im folgenden Teilschritt zu Gleichung k + 1natürlich gleich wieder verloren ginge.
– Allerdings werden diese Komponentenkorrekturen nicht sofort, sondernerst am Ende eines Iterationsschritts durchgeführt (zweite k-Schleife).
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Wichtige Relaxationsverfahren (2)
• Gauß-Seidel-Iteration:
for i = 0,1,...for k = 1,...,n: r
(i)k := bk−
∑k−1j=1 akjx
(i+1)j −∑n
j=k akjx(i)j
yk := 1akk
· r(i)k , x
(i+1)k := x
(i)k + yk
– Hier wird also dieselbe Korrektur wie beim Jacobi-Verfahren berechnet,der Update wird jetzt allerdings immer sofort und nicht erst am Endedes Iterationsschritts vollzogen.
– Damit liegen beim Update von Komponente k für die Komponenten 1bis k − 1 bereits die modifizierten neuen Werte vor.
• Manchmal führt in jeder der drei skizzierten Methoden ein Dämpfen (Multi-plikation der Korrektur mit einem Faktor 0 < α < 1) bzw. eine Überrelaxation(Faktor 1 < α < 2) zu einem besseren Konvergenzverhalten:
x(i+1)k := x
(i)k + αyk .
– Im Gauß-Seidel-Fall ist vor allem die Version mit α > 1 gebräuchlich,man spricht hier von SOR-Verfahren (Successive Over Relaxation).
– Im Jacobi-Fall wird dagegen meistens gedämpft.
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Diskussion: Additive Zerlegung der Systemmatrix
• Für eine kurze Konvergenzanalyse der obigen Verfahren benötigen wir einealgebraische Formulierung (anstelle der algorithmischen).
• Alle gezeigten Ansätze basieren auf der einfachen Idee, die Matrix A alsSumme A = M + (A − M) zu schreiben, wobei Mx = b sehr einfach zulösen und der Unterschied A − M bzgl. einer Matrixnorm nicht zu groß seinsollte.
• Mit Hilfe eines solchen geeigneten M werden sich Richardson-, Jacobi-,Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren schreiben lassen als
Mx(i+1) + (A − M)x(i) = b
bzw., nach x(i+1) aufgelöst,
x(i+1) := M−1b−M−1(A−M)x(i) = M−1b−(M−1A−I)x(i) = x(i)+M−1r(i) .
• Darüber hinaus zerlegen wir A additiv in seinen Diagonalteil DA, seinenstrikten unteren Dreiecksteil LA sowie seinen strikten oberen DreiecksteilUA:
A =: LA + DA + UA .
Damit können wir die folgenden Beziehungen zeigen:
– Richardson: M := I ,
– Jacobi: M := DA ,
– Gauß-Seidel: M := DA + LA ,
– SOR: M := 1αDA + LA .
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Diskussion: Additive Zerlegung der Systemmatrix (2)
• Bei Betrachtung der algorithmischen Formulierungen für das Richardson-sowie das Jacobi-Verfahren erweisen sich die ersten beiden Gleichungenals offensichtlich:
– Bei Richardson wird das Residuum direkt als Korrektur genommen, alsVorfaktor ergibt sich somit die Identität I.
– Bei Jacobi wird das Residuum durch das Diagonalelement dividiert, alsVorfaktor ergibt sich somit die Inverse des Diagonalanteils DA.
• Weil die Gauß-Seidel-Iteration ein Spezialfall des SOR-Verfahrens ist (α =1), reicht es aus, obige Formel für M für den allgemeinen SOR-Fall zu zei-gen. Aus dem Algorithmus folgt unmittelbar
x(i+1)k := x
(i)k + α
⎛⎝bk −k−1∑j=1
akjx(i+1)j −
n∑j=k
akjx(i)j
⎞⎠ /akk
⇔ x(i+1) := x(i) + αD−1A
(b − LAx(i+1) − (DA + UA)x(i)
)⇔ 1
αDAx(i+1) =
1α
DAx(i) + b − LAx(i+1) − (DA + UA)x(i)
⇔(
1α
DA + LA
)x(i+1) +
((1 − 1
α)DA + UA
)x(i) = b
⇔ Mx(i+1) + (A − M)x(i) = b ,
womit die Behauptung für das SOR-Verfahren bewiesen ist.
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Diskussion: Allgemeines Konvergenzverhalten
• Was die Konvergenz angeht, so gibt es zwei unmittelbare Konsequenzenaus dem Ansatz
Mx(i+1) + (A − M)x(i) = b :
– Falls die Folge(x(i))konvergiert, dann ist der Grenzwert die exakte
Lösung x unseres Systems Ax = b.
– Für die Analyse werde angenommen, dass die Iterationsmatrix−M−1(A−M) (d.h. die Matrix, die auf e(i) angewandt wird, um e(i+1) zu erhalten;s.u.) symmetrisch sei. Dann ist der Spektralradius ρ (d.h. der betrags-größte Eigenwert) die für das Konvergenzverhalten entscheidende Grö-ße: (
∀x(0) ∈ IRn : limi→∞
x(i) = x = A−1b)
⇔ ρ < 1 .
Um das zu sehen, subtrahiere man Mx + (A − M)x = b von der Glei-chung ganz oben:
Me(i+1) + (A − M)e(i) = 0 ⇔ e(i+1) = −M−1(A − M)e(i) .
Wenn alle Eigenwerte betragsmäßig kleiner 1 sind und somit ρ < 1 gilt,werden alle Fehlerkomponenten in jedem Iterationsschritt reduziert. ImFalle ρ > 1 wird sich mindestens eine Fehlerkomponente aufschaukeln.
– Ziel bei der Konstruktion iterativer Verfahren muss natürlich ein mög-lichst kleiner Spektralradius der Iterationsmatrix sein (möglichst nahebei Null).
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Diskussion: Konvergenzaussagen
• Es gibt eine Reihe von Resultaten zur Konvergenz der verschiedenen Ver-fahren, von denen einige bedeutende erwähnt werden sollen:
– Notwendig für die Konvergenz des SOR-Verfahrens ist 0 < α < 2.
– Falls A positiv definit ist, dann konvergieren sowohl das SOR-Verfahren(für 0 < α < 2) als auch die Gauß-Seidel-Iteration.
– Falls A und 2DA − A beide positiv definit sind, dann konvergiert dasJacobi-Verfahren.
– Falls A strikt diagonal dominant ist (d. h. aii >∑
j =i | aij | für alle i),dann konvergieren das Jacobi- und das Gauß-Seidel-Verfahren.
– In bestimmten Fällen lässt sich der optimale Parameter α bestimmten(ρ minimal, so dass Fehlerreduktion pro Iterationsschritt maximal).
• Die Gauß-Seidel-Iteration ist nicht generell besser als das Jacobi-Verfahren(wie man aufgrund des sofort vollzogenen Updates vermuten könnte). Esgibt Beispiele, in denen Erstere konvergiert und Letzteres divergiert, undumgekehrt. In vielen Fällen kommt das Gauß-Seidel-Verfahren jedoch mitder Hälfte der Iterationsschritte des Jacobi-Verfahrens aus.
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Zum Spektralradius typischer Iterationsmatrizen
• Offensichtlich ist ρ nicht nur entscheidend für die Frage, ob die Iterations-vorschrift überhaupt konvergiert, sondern auch für deren Qualität, also ih-re Konvergenzgeschwindigkeit: Je kleiner ρ ist, desto schneller werden alleKomponenten des Fehlers e(i) in jedem Iterationsschritt reduziert.
• In der Praxis haben die obigen Resultate zur Konvergenz leider eher theo-retischen Wert, da ρ oft so nahe bei 1 ist, dass – trotz Konvergenz – dieAnzahl der erforderlichen Iterationsschritte, bis eine hinreichende Genauig-keit erreicht ist, viel zu groß ist.
• Ein wichtiges Beispielszenario ist die Diskretisierung partieller Differential-gleichungen:
– Typisch ist, dass ρ von der Problemgröße n und somit von der Auflö-sung h des zugrunde liegenden Gitters abhängt, also beispielsweise
ρ = O(1 − h2l ) = O
(1 − 1
4l
)bei einer Maschenweite hl = 2−l.
– Dies ist ein gewaltiger Nachteil: Je feiner und folglich auch genauer un-ser Gitter ist, umso erbärmlicher wird das Konvergenzverhalten unsereriterativen Verfahren. Bessere iterative Löser (z.B. Mehrgitterverfahren,die aber den Rahmen dieser Vorlesung sprengen würden) sind also einMuss!
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Ganz anders: Steilster Abstieg
• alternative Sehweise für positiv definites A :
x löstAx = b ⇔ x minimiert f(x) = 0.5 · xT Ax − bT x + c
(Eindeutigkeit des Minimums, da A positiv definit)
• somit neue Strategie:
– suche nach Minimum der Funktion f
– möglicher Weg: Methode des steilsten Abstiegs
repeat(i) : αi =r(i)T
r(i)
r(i)T Ar(i);
x(i+1) = x(i) + αir(i);
r(i+1) = r(i) − αiAr(i);
– sucht nach maximaler Verbesserung in Richtung des negativen Gradi-enten)
−f ′(x(i)) = r(i)
– eindimensionale Suche nach Minimum: minαi f(x(i) + αir(i))!
– vernünftige Vorgehensweise, aber trotzdem stark heuristisch
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Steilster Abstieg (2)
• Geht’s noch simpler?
– 1D-Suche längs der Koordinatenachsen (statt Gradienten)
– führt zu Gauß-Seidel-Iteration (man sieht: alles ist verwandt!)
• Konvergenzgeschwindigkeit:
– beliebig langsam
– erzielter Fortschritt kann immer wieder verloren gehen (unabhängigeslokales Herumoptimieren in wechselnde und nicht zusammenhängen-de Richtungen)
• entscheidende Größe hier:
– spektrale Konditionszahl von A (Eigenwerte betragsmäßig)
κ(A) =λmax(A)λmin(A)
– gut: möglichst klein, also begrenzte Breite des Spektrums (auch beizunehmender Auflösung des Gitters)
– ergo: algorithmische Entwicklung muss in Richtung einer Zähmung derEigenwerte gehen (diesmal der Systemmatrix anstelle der Iterations-matrix wie bei den Relaxationsverfahren)
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Verbesserung: Konjugierte Richtungen
• Verbesserung gegenüber steilstem Abstieg:
– orthogonale Suchrichtungen, Fehler nach i Schritten soll orthogonalauf allen vorigen Suchrichtungen stehen
– nichts zerstört, folglich: im Prinzip direktes Verfahren (nach n Schrittenim Optimum)
– allerdings sind n Iterationen in der Praxis zu viel, daher Einsatz alsiterative Methode (semi-iteratives Verfahren)
– neue Suchrichtungen: x(i+1) = x(i) + αid(i)
– optimale Orthogonalität wäre 0 = d(i)T
e(i+1) , aber Fehler ja unbekannt
– daher Konjugation: 0 = d(i)T
Ae(i+1)
(u und v A-orthogonal oder konjugiert , falls uT Av = 0 )
– Algorithmus: starte mit d(0) = r(0) und iteriere:
repeat(i) : αi =d(i)T
r(i)
d(i)T Ad(i);
x(i+1) = x(i) + αid(i);
r(i+1) = r(i) − αiAd(i);
– noch zu tun: Konstruktion der konjugierten Richtungen d(i)
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Schließlich: Konjugierte Gradienten
• obiges Verfahren + Konstruktion der konjugierten Richtungen
• Konstruktionsprinzip: Gram-Schmidt Konjugation der Residuen
• keine Details oder Herleitung, nur der fertige Algorithmus:
repeat(i) : αi =d(i)T
r(i)
d(i)T Ad(i);
x(i+1) = x(i) + αid(i);
r(i+1) = r(i) − αiAd(i);
βi+1 =r(i+1)T
r(i)
r(i)T r(i);
d(i+1) = r(i+1) + βi+1d(i);
• schneller als steilster Abstieg, aber immer noch n-abhängig!
• Suchräume bilden sogenannte Krylov Sequenz:
spand(0), . . . , d(i−1) = spand(0), Ad(0), . . . , Ai−1d(0)= spanr(0), Ar(0), . . . , Ai−1r(0)
• andere bekannte Krylov-Verfahren: GMRES, Bi-CGSTAB
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Schnelle iterative Löser für LGS
• entscheidender Nachteil der bisher diskutierten Lösungsverfahren: Konver-genz verlangsamt sich bei zunehmender Gitterfeinheit!
• deshalb jetzt: Suche nach möglicher Abhilfe
– Relaxation: explizite Anwendung desMehrgitterprinzips
– Krylov/cg: Vorkonditionierung (typischerweise auch mehrgitterartig)
• zunächst Vorkonditionierung:
– entscheidende Größe für die Konvergenz des cg-Verfahrens: Konditionder Matrix
– PDE: diese Kondition wächst dramatisch mit n
– deshalb: modifiziere Matrix, um Kondition zu verbessern
Ax = b ⇔ M−1Ax = M−1b ⇔ W−1AW−T y = W−1b, wobei
M s.p.d., WWT = M, y = WT x, M−1A und W−1AW−T ähnlich
– M bzw. W müssen nicht explizit konstruiert werden, sie müssen nurangewandt werden
– Vorteil der W -Schreibweise: Symmetrie von A vererbt sich!
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Strategien für Vorkonditionierer
• einfachste Wahl: M = I (billig, aber nutzlos)
• beste Wahl: M = A (perfekt, aber so teuer wie Ax = b )
• einige mögliche Kompromisse:
– diagonaler oder Jacobi Vorkonditionierer: M = DA
– GS oder SOR werden nicht benutzt (nicht symmetrisch)
– SSOR Vorkonditionierer:
M (1/2) := α−1DA + LA;
M (1) := α−1DA + UA;
M :=α
α − 2(M (1/2))−1D−1
A M (1)
– unvollständige Faktorisierung, z.B. ILU: berechne näherungsweise Fak-toren L und U anstelle der exakten bei direkten Lösern
– sparse approximate inverse: konstruiere einfaches B mit
minB
‖I − AB‖2, M−1 = B
– Multilevel Vorkonditionierer: folgen dem Mehrgitterprinzip (folgt)
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Das Mehrgitterprinzip
• starting point: Fourier mode analysis of the errors
– decompose the error e(i) = x(i)−x into its Fourier components (Fouriertransform)
– observe how they change/decrease under a standard relaxation likeJacobi or Gauß-Seidel (in a two-band sense):
* The high frequency part (with respect to the underlying grid) isreduced quite quickly.
* The low frequency part (w.r.t. the grid) decreases only very slowly;actually the slower, the finer the grid is.
– This behaviour is annoying
* the low frequencies are not expected to make troubles, but we canhardly get rid of them on a fine grid;
– but also encouraging
* the low frequencies can be represented and, hopefully, tackled ona coarser grid – there is no need for the fine resolution.
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Ein einfaches Beispiel
• 1D Laplace equation, u(0) = u(1) = 0 (exact solution 0)
• equidistant grid, 65 points, 3-point stencil, damped Jacobi method with dam-ping parameter 0.5
• start with random values in [0, 1] for u in the grid points
• After 100 (!) steps, there is still a maximum error bigger than 0.1 due tolow-frequency components!
• therefore the name smoothers for relaxation schemes:
– They reduce the strongly oscillating parts of the error quite efficiently.
– They, thus, produce a smooth error which is very resistent.
• the idea: work on grids of different resolution and combine the effects in anappropriate way
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Ein einfaches Beispiel (2)
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Grobgitterkorrektur
• sequence of equidistant grids on our domain: Ωl, l = 1, 2, . . . , L, with meshwidth hl = 2−l
• let Al, bl denote corresponding matrix, right-hand side, ...
• combine work on two grids with a correction scheme:
smooth the current solution xl ;
form the residual rl = bl − Alxl;
restrict rl to the coarse grid Ωl−1 ;
provide a solution to Al−1 el−1 = rl−1 ;
prolongate el−1 to the fine grid Ωl;
add the resulting correction to xl;
if necessary, smooth again ;
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Grobgitterkorrektur (2)
• the different steps of this 2-grid algorithm :
– the pre-smoothing: reduce high-frequency error components, smootherror, and prepare residual for transfer to coarse grid
– the restriction: transfer from fine grid to coarse grid
* injection : inherit the coarse grid values and forget the others
* (full) weighting : apply some averaging process
– the coarse grid correction: provide an (approximate) solution on thecoarse grid (direct, if coarse enough; some smoothing steps otherwi-se)
– the prolongation: transfer from coarse grid to fine grid
* usually some interpolation method
– the post-smoothing: sometimes reasonable to avoid new high-frequencyerror components
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Der V-Zyklus
• recursive application of 2-grid scheme leads to multigrid methods
• there, the coarse grid equation is solved by coarse grid correction, too; theresulting algorithmic scheme is called V-cycle :
smooth the current solution xl ;
form the residual rl = bl − Alxl;
restrict rl to the coarse grid Ωl−1 ;
solve Al−1 el−1 = rl−1 by coarse grid correction ;
prolongate el−1 to the fine grid Ωl;
add the resulting correction to xl;
if necessary, smooth again ;
• on the coarsest grid: direct solution
• number of smoothing steps: typically small (1 or 2)
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Weitere Mehrgitterzyklen
• the V-cycle is not the only multigrid scheme:
– the W-cycle: after each prolongation, visit the coarse grid once more,before moving on to the next finer grid
– W-cycle is sometimes advantageous with respect to speed of conver-gence
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Nested Iteration und Full Multigrid
• two more famous multigrid schemes:
– the nested iteration: start on coarsest grid Ω1 , smooth, prolongate toΩ2 , smooth, prolongate to Ω3 , and so on, until finest grid is reached;now start V-cycle
– full multigrid: replace ‘smooth´ steps above by ‘apply a V-cycle´; com-bination of improved start solution and multigrid solver
• multigrid idea is not limited to rectangular or structured grids: we just need ahierarchy of nested grids (works for triangles or tetrahedra, too)
• also without underlying geometry: algebraic multigrid methods
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Grundlegende Konvergenzresultate
• Cost (storage and computing time):
– 1D : c · n + c · n/2 + c · n/4 + c · n/8 + . . . ≤ 2c · n = O(n)
– 2D : c · n + c · n/4 + c · n/16 + c · n/64 + . . . ≤ 4/3c · n = O(n)
– 3D : c · n + c · n/8 + c · n/64 + c · n/512 + . . . ≤ 8/7c · n = O(n)
– i.e.: work on coarse grids is negligible compared to finest grid
• Benefit (speed of convergence):
– always significant acceleration compared with pure use of smoother(relaxation method)
– in most cases even ideal behaviour γ = O(1 − const.)
– effect:
* constant number of multigrid steps to obtain a given number ofdigits
* overall computational work increases only linearly with n