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MATEMÁTICA
APLICADA A LOSNEGOCIOS
Derivada de una función y aplicaciones
!" Sesión Presencial
#nidad $% La derivada
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Lo&ro de la sesión
Al finalizar la sesión, el alumno calculaderivadas de funciones polinómicas, resuelve
problemas de razón de cambio instantánea y
marginalidad interpretando los resultados
obtenidos con actitud crítica; además, halla losmáximos y mínimos de una función en un
intervalo dado.
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Dada la función utilidad , con U endólares y x en miles de artículos, determina la razón de cambio
promedio con extremos x!" y x. #l valor de x irá variando
seg$n los valores mostrados en la tabla siguiente%
&''',() & −+−= x x xU
x "* "& "" "' "*
'CPmillar
dólares*+
millar
dólares',*+
millar
dólares',*+
millar
dólares-',*+
millar
dólares',*-
/u0 está pasando con la 123 a medida 4ue x se aproxima a x5
Mo(ivación
2onsidera dos valores x a$n más cercanos a x!" y halla el
valor de la 123. A cuánto se va aproximando dicho valor5
http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=utilidad%20en%20los%20negocios&source=images&cd=&cad=rja&docid=8GOzNXcLl_uipM&tbnid=mIDc0zbNKptZBM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.recursosynegocios.com/que-es-la-rentabilidad-y-utilidad-de-un-negocio/&ei=3TAOUoGrIcXYyAGxiIE4&bvm=bv.50768961,d.b2I&psig=AFQjCNEzifjYys1pIbszlJ0vAej9SnLNKQ&ust=1376748084830055
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La Derivada6a derivada de una función f en x
se define como
la razón de cambio promedio desde x hasta x
sabiendo 4ue estos valores son muy cercanos.
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'e&las de Derivación
7i f y g son funciones diferenciables y c es una constante,entonces%
".
&. [ ] ()()()() x g x f x g x f
dx
d ′±′=±
[ ] ().(). x f c x f cdxd
′=
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8alla las derivadas de las siguientes funciones%
a.
b.
c.
d.
e.
f.
'() = x f
**() x x g =
*&
*
'*() x x xh −=
E+e*plos
9&*'() &9 +−+= x x x x f
9*
*"
9*() x x x g −=
&
' ** &()
x
x x xh ++=
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3ara calcular la derivada de una función en un valor
x dado, bastará seguir los siguientes pasos%
• Deriva la función siguiendo las fórmulas y reglas
de derivación.
• 1eemplaza el valor de x en la derivada.
E+e*plo
2alcula la derivada de la función
para x ! 9.
x x x f '&() * −=
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8ace un instante hemos calculado el valor de la
derivada de la función en x !9.
Ahora, utiliza tu calculadora para comprobar el
resultado anterior.
x x x f '&() * −=
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E+e*plos
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Durante la motivación recuerda 4ue calculamos
varias razones de cambio promedio intentando, en
cada caso, 4ue x y x fueran lo más cercanos posibles.
Ahora halla la derivada de la función :tilidad
en x !" utilizando las
reglas vistas anteriormente.
&''',() & −+−= x x xU
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2onsideremos 4ue el ingreso mensual por las ventas de una
empresa está dado por , con I en soles y x
en unidades.
maginemos 4ue la empresa, durante este mes, lleva vendidas
& unidades y deseamos conocer la razón de cambio
instantánea en x ! &
2ómo se calcula5
2uál es la interpretación del resultado5
x x x I &&,() & +−=
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E+e*plo
:n comerciante determinó 4ue el ingreso, en miles de soles, por
la venta de un producto es donde q es la
cantidad producida y vendida en miles de unidades.
a. 2uál es la razón de cambio promedio del ingreso si la cantidad
cambia de ' a " unidades5
b. Determina la razón de cambio instantánea del ingreso respecto
a la cantidad vendida para " unidades.
c. nterpreta los resultados obtenidos en a y b.
&&'() qqq I −=
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An.lisis Mar&inal2onsideremos la función utilidad con U
en soles y x en unidades. 7i actualmente se vienen produciendo *unidades y deseáramos conocer la utilidad 4ue tendría para el
negocio producir la unidad *", cómo la podríamos calcular5
'&',() & −+−= x x xU
Pri*er procedi*ien(o /c.lculo e0ac(o1
7e calcula la
utilidad para *"
unidades y seresta la utilidad
para *
unidades.
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Se&undo Procedi*ien(o /c.lculo apro0i*ado1%7upongamos 4ue derivamos la función utilidad en x ! * y
obtenemos unidadsoles
*'(*) =′U
• In(erpre(ación co*o ra,ón de ca*-io ins(an(.nea%
3ara el instante en 4ue se han producido y vendido *
unidades, la utilidad aumenta a razón de *' soles por
unidad adicional.
• In(erpre(ación *ar&inal%
7eg$n la interpretación anterior, si se han producido y
vendido * unidades, al producir y vender una unidadadicional )la unidad *"( se logra una utilidad de *' soles,
aproximadamente.
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)unción Mar&inal
() x f dx
df ′=
6a función marginal de f viene dada por%
• In&reso Mar&inal
• Cos(o Mar&inal
• #(ilidad Mar&inal
()q I dq
dI ′
=
()qC dq
dC ′=
()qU dq
dU ′=
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Procedi*ien(o para el an.lisis *ar&inal de una función
•
7e deriva la función y se obtiene la función marginal.
• 7e eval$a la derivada para el nivel de producción dado.
• 7e interpreta el resultado. 1ecuerda 4ue este resultado es
A31AD
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E+e*plo6os costos mensuales, en soles, de una empresa vienen
dados por%.
8alla%
a.#l costo marginal para x ! *. nterpreta el resultado.
b.#l costo aproximado de producir la unidad "".
nterpreta el resultado.
*9',() & ++= x x xC
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:n artículo de una revista de sociología afirma 4ue si ahora se
iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces
al cabo de t a?os, el n$mero de personas, en miles, directamente beneficiadas estarían dadas por% .-& ;9@*"'()
&*≤≤−+−= t t t t t n
Mo(ivación
6uego de cuántos a?os el n$mero de personas beneficiadas
será máximo5 luego de cuántos a?os será mínimo5
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M.0i*os y *2ni*os de una función en unin(ervalo dado
3ara maximizar o minimizar una función, revisaremos dos
procedimientos fundamentales%
a. A partir de la gráfica.
b. A partir de f , [ ]ba x ,∈
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a. A par(ir de la &r.fica
2uál es la utilidad máxima y para 4u0 nivel de producción se
alcanza5 2uál es la utilidad mínima y para 4u0 nivel de
producción se alcanza5
6a función está definida en el intervalo B, "'C
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#l costo de un insumo a lo largo del tiempo )de febrero a unio(
varía como se muestra en la gráfica.
2uáles son los extremos del intervalo5
2uál es el costo máximo5 #n 4u0 punto ocurre5
2uál es el costo mínimo5 #n 4u0 punto ocurre5
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- A par(ir de f / x 1 3
•
Paso "% Deriva la función.
• Paso 4% guala la derivada a cero; y con ello, se determinanlos valores críticos. Aseg$rate 4ue dichos valores pertenezcan
al intervalo dado. De no pertenecer alguno, descártalo.
• Paso $% Eabula la función en los valores críticos y en losextremos del intervalo dado.
• Paso 5% Determina los valores máximos y mínimosescogiendo entre los resultados hallados.
[ ]ba x ,∈
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E+e*plos3ara cada una de las funciones dadas, halla el valor
máximo y mínimo.
a.
b.
'" , 9*',()&
≤≤−+−= x x x x f
9",9-*@*&() &* ≤≤−+−+= x x x x x g
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Pro-le*as de Op(i*i,ación
ntuitivamente op(i*i,ación se refiere a un procedimiento 4ue consisten en escoger la meor opción
entre un grupo de alternativas )3into 2arvallo, &*(.
#stas alternativas se expresan con frecuencia como una
función 4ue debe ser maximizada o minimizada.
>aximizar )minimizar una función( es determinar el
máximo )o el mínimo( de dicha función, para un
intervalo dado.
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E+e*plo
:na empresa estima 4ue su ingreso en dólares,está dado por%
donde x está en miles de unidades.
a. 8alla cuántas unidades se deben vender para
alcanzar el ingreso máximo.
b. 8alla el ingreso máximo.
-'con ≤≤ x*& &9*'&-'() x x x x I +−=
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'efle0ión• 3ara una función utilidad, es siempre positiva la razón de
cambio instantánea5
• 3ara una función costo, puede ser negativa la razón de
cambio instantánea5
•3ara una función ingreso se sabe 4ue
/u0 puede significar dicho resultado5
() x I unidad
dólares
"&(@) =′ I
• 7abiendo 4ue Fla utilidad 4ue se obtiene por la venta del
artículo & es aproximadamente igual a 9 dólaresG ese4uivalente a . 2uál es el valor de a y b5baU =′ ()