Calculo I-Derivada y Aplicaciones(Parte 5)

Universidad Diego Portales CALCULO 1

1

Definición: Sea y = f(x) , donde f es función diferenciable. La diferencial (dx) es una variable independiente; esto es , se le puede asignar el valor de cualquier número real. La diferencial (dy) se define , entonces, en términos de dx mediante la ecuación: dy = f ’(x)dx

¿ Cómo se puede interpretar el significado geométrico de las diferenciales ?

Diferenciales


2

)(,(y ))(,( xxfxxQxfxP ∆+∆+Sean puntos de la gráficade f y sea dx = . El cambio correspondiente en y esx∆

)()( xfxxfy −∆+=∆


3

Nota 1: Las diferenciales dx y dy son variables; pero dx es una variable independiente, mientras que dy es una variable dependiente, porque depende de los valores de x y de dx. Si se asigna un valor específico a dx y x representa cierto número específico en el dominio de f, el valor numérico de dy queda determinado.

Nota 2: si dx ≠ 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación dy = f ’(x)dx , entre dx para obtener

)(xfdxdy ' =


4

La pendiente de la tangente PR es la derivada f ‘(x). Así la distancia dirigida de S a R es f ‘(x)dx=dy; por lo tanto dy representa lo que sube o baja la recta tangente y , cuanto sube o baja la curva y = f(x) cuando x varía en la cantidad dx.

xy

xdxdy

∆∆

→∆= lim

0

Se tienedxdy

xy ≈

∆∆ cuando x es

pequeño∆

Si se escoge dx = x, entonces la expresión anterior se transforma en y dy. Esto significa que si es pequeño, entonces la variación real en y es aproximadamente igual al diferencial dy.

∆∆ ≈ x∆

Como

y∆


5

La aproximación (dy) puede emplearse en el cálculo aproximado de valores de funciones. Suponga que f(a) es un número conocido y un valor aproximado a encontrar para f(a + a) donde x es pequeño. Entonces

y∆ ≈

∆ ∆

yafxaf ∆+=∆+ )()(

Y así se obtiene

dyafxaf +≈∆+ )()(


6

Ejercicios

1) Hallar dy si

2) Aplicar diferenciales para hallar el valor aproximado de (1.97)6 y

3) El radio de un disco circular es de 24 cm con un error máximo de medición de 0.2 cm.

a) Estimar el error máximo en el cálculo de su área. b) Hallar el error relativo.

322

+−=

xxy

43 02.102.1 +


7

Aproximaciones Lineales

La ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (a,f(a)) es y = f(a) + f ‘(a)(x - a)

El lado derecho de esta ecuación equivale a f(a) + f ‘(a)dx o también f(a) + dy. Al usar la aproximación

dyafxaf +≈∆+ )()(se está empleando la recta tangente en P(a,f(a)) como aproximación a la curva y=f(x) cuando x está cercano a la abscisa a. Es por esto que la aproximación ))((')()( axafafxf −+≈

se denomina aproximación lineal o aproximación tangente

a f en a , y la función L(x)=f(a)+f ‘(a)(x - a) se llama linealización de f en a.


8

Ejercicios:

1) Hallar la linealización de L(x) para la función dada en a.

a) , a=0 b) , a=4

2) Hallar la aproximación lineal de la función en a=0 y utilizarla para aproximar las expresiones y

3) Determinar los valores de x para que la aproximación lineal sea exacta hasta 0.1 decimal.

x+21 3)( xxf =3 1)( xxg +=3 95.0

3 1.1


9

La aproximación tangente, L(x) es la mejor aproximación de primer grado (lineal) a f(x) cerca de x=a , ya que f(x) y L(x) tienen la misma razón de cambio (derivada) en a.

Para tener una aproximación mejor que la lineal se puede probar con una de segundo grado (cuadrática) P(x); en otras palabras, aproximaremos una curva usando una parábola, en lugar de una recta. Para asegurar que la aproximación es buena , estipularemos:

(1) P(a) = f(a) ( P y f deben tener el mismo valor en a)

(2) P’(a) = f’(a) ( P y f deben tener la misma razón de cambio en a)

(3) P’’(a) = f’’(a) ( Las pendientes de P y f deben cambiar con la misma velocidad )

Aproximaciones cuadráticas


10

Ejemplo:

Hallar la aproximación cuadrática de f(x)=sec(x) en 0.

Sol: Sean A , B y C coeficientes de la función cuadrática ,

entonces

P(x) = A + Bx + Cx2 , f(x)=sec(x)

P’(x) = B + 2Cx , f’(x)=sec(x)tan(x)

P’’(x) = 2C , f’’(x)=sec(x)tan2(x) + sec3(x)

Para x=0 tenemos A=1 , B=0 y C=1/2. Así la aproximación cuadrática deseada es P(x)=1 + 0.5x2.

La figura siguiente muestra la representación gráfica de P(x) y f(x). Se puede apreciar que la aproximación cuadrática es bastante mejor que la lineal.


11

f(x)=sec(x)

P(x)=1+0,5x2


12

En general, la aproximación cuadrática a f(x) cercano a un valor a es:

2)(2

)(''))((')()( axafaxafafxf −+−+≈

Ejercicio: Realice el problema anterior con la última aproximación definida.

Ejercicio: hallar la aproximación cuadrática para las funciónes:

a) b)-8aen )( 3 == xxf /6aen )()( π== xsenxg


13

Ejercicio:

a) Hallar las aproximaciones lineal y cuadrática para )1/(1)( 2xxf += cercano a 1.

b) Determinar los valores de x para los cuales la aproximación lineal es exacta entre 0,1.

c) Determinar los valores de x para los cuales la aproximación cuadrática es exacta entre 0,1.

d) Comparar los valores exactos de f(x) para

x = 0,9 ; 1,1 ; 1,2 y 1,3 con las aproximaciones lineal y cuadrática para estos valores de x.


14

El método siguiente calcula en forma aproximada un cero real de una función derivable f , es decir , un número real r tal que f(r) = 0. Para usar el método se comienza tomando una primera aproximación x1 al cero r. Como r es la abscisa de la intersección de la gráfica de f con el eje x , la aproximación x1se puede escoger observando un croquis de la gráfica de f con el eje x.

Sea l la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x1 , f(x1)) .

Si x1 está suficientemente cercano a r entonces, como se ilustra en la figura , la abscisa x2 de la interseción de l con el eje x debe ser una mejor aproximación a r.

Método de Newton


15

Como la pendiente de l es f ’(x1) ,

y – f(x1) = f ’(x1)(x – x1)

es una ecuación para la recta tangente

y l (x1,f(x1)) y = f(x) r x2 x1 X


16

Como x2 es la abscisa de la intersección con el eje x, corresponde al punto (x2,0) de l , se obtiene así

0 – f(x1) = f ‘(x1)(x – x1) .

Si f ‘(x1) 0 , esta ecuación es equivalente a ≠

)()(

1'

112 xf

xfxx −=

Tomando x2 como segunda aproximación a r se puede repetir el proceso usando la recta tangente en (x2,f(x2)). Si f ‘(x2) 0 , puede obtenerse una tercera aproximación x3 dada por

≠

)()(

2'

223 xf

xfxx −=


17

El proceso se puede continuar hasta alcanzar el grado de precisión que se desee. Este método de aproximaciones sucesivas se llama método de Newton.

Método de Newton:sea f una función derivable y sea r un cero real de f. Si xn es una aproximación a r , entonces la siguiente aproximación xn+1está dada por

)(')(

1

n

nnn xf

xfxx −=+

Siempre y cuando f ‘(xn) 0.≠Ejemplo: calcular la mayor raíz positiva real de x3 - 3x + 1 = 0 con una precisión de 4 cifras decimales .


18

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

CALCULO IMáximos y Mínimos. Teorema del Valor Medio y Trazado de curvas


19

Valores Máximos y Mínimos

Algunas de las aplicacionesmás importantes del cálculo

diferencial son los problemas deoptimización, en que se nos pide

determinar el monto óptimo( el mejor) de llevar a cabo algo.

En muchos casos estos problemas se pueden reducir al encontrar el

valor máximo o mínimode una función


20

Definición: Una función f tiene un máximo absolutoen c si para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximodef en D. Igualmente , f tiene un mínimo absoluto en c si

, para todo x en D, y el número f(c) denomina valor mín imo de f en D. Los valores máximoy mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

)()( xfcf ≥

)()( xfcf ≤

a b c d e f

Minimoabsoluto en c

Máximo absoluto en d


21

Definición: Una función f tiene un máximo local (o máximo relativo) en c si hay un intervalo abierto I que contiene a c, tal que para toda x en I. Asimismo, f posee un mínimo local en c( o mínimo relativo) si existe un intervalo abierto, I que contenga a c, tal que para toda x en I.

)()( xfcf ≥

)()( xfcf ≤

Máximo local en -2

Mínimo local en 1


22

Teorema del valor extremo: Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto, f ( c) , y un valor mínimo absoluto , f (d), en ciertos números, c y d en [a,b]

Máximoabsoluto

Mínimoabsoluto


23


24

Extremos absolutos dey = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 en –3 ≤ x ≤ 0.

Máximoabsoluto

Mínimoabsoluto


25

Observemos que la función por partes definida en el intervalo cerrado [0,2] no tiene valor máximo

¿Contradice este ejemplo al teorema anterior?

≤≤<≤

=2x1 01x0

)(2x

xf

El ejemplo no contradice al teorema del valor extremo porque f no es continua en [0,2]. La función tiene una discontinuidad en x=1


26

El teorema de valor extremo señala que una función continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo y un valor mínimo; pero no indica cómo encontrar dichos valores.

Hemos de resaltar que una función continua, podría tener un valor máximo o mínimo aun cuando esté definida en un intervalo abierto. Asimismo, una función discontinua podría poseer un valor máximo o mínimo, pero no en todos los casos.


27

Al observar la gráfica ¿qué puedes decir de la recta tangente a la curva en los puntos máximos y mínimos?

2)(

2

−=

xxxf


28

Teorema de FermatSi f tiene un extremo local (esto es , un máximo o un mínimo ) en c , y existe f`(x) , entonces f`(c) = 0.

Observación:La función f(x)=3x-1; 0≤x ≤1 tiene un valor máximo cuando x=1 pero f´(1)=3≠0. Esto no contradice el teorema de Fermat porque f(1)=2 no es un máximo local

No podemos determinar valoresextremos tan sólo igualando f´(x)=0

y despejando x de lo que resulte


29

La función f(x)=IxI tiene su valor mínimo (local y absoluto) en 0 pero no se puede determinar igualando f´(x)=0, porque f´(0) no existe

Si f(x)=x3, entonces f´(x)=3x2, y así f ´(0)=0.Pero f no posee máximo ni mínimo en 0

Observemos que aun cuando f´( c)=0, no es necesario

que haya un máximo o un mínimo en c


30

Definición: Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f , tal que f`( c) = 0 , o bien f´( c ) no existe.Si f tiene un extremo local en c , c es un número crítico de f.

Ejercicio: Hallar los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones

xxef(x)xxf

xx f(x) xxxf

2

25/4

1)(

ln)4()(

=+=

=−=


31

¿Cómo se observan gráficamente los puntos críticos?

Cimas

Valles


32

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] xxxf

xxf(x)xxf

x f(x) xxxf

3,2- ,24)( 0,1 xef(x)

1,2 1

32,1- )(

1,2- 9 0,3 ,22)(

24x-

5/4

22

+−==+

==

−=+−=

Ejercicio: Hallar los valores máximo y mínimo absoluto de f en el intervalo dado

Para determinar los valores máximo o mínimo absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a,b]:1.- Se determinan los valores de f en los números críticos de f en (a,b)2.- Se encuentran los valores de f(a) y f(b)3.- El valor máximo de los obtenidos en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el valor mínimo de los obtenidos es el valor mínimo absoluto.


33

Ejercicio: Con una calculadora gráfica, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la funciónf(x)= x- 2senx, 0≤x ≤2πEmplea el cálculo diferencial para hallar los valores máximo y mínimo exactos

Ejercicio: Determine los valores máximos y mínimos absolutos de cada función

≤≤−<≤

= 21 six 210 si 2x

)(xx

xf

≤≤−<≤

= 10 si x2

01 si )(

2

2

xxx

xg


34

Teorema de Rolle: Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes:1) f es continua en el intervalo cerrado [a,b].2) f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b).3) f(a) = f(b).Entonces hay un número c , en (a,b) , tal que f `(c) = 0.

a b


35

Ejercicio: Demuestre que la ecuación x3+x-1=0 tiene una, y sólo una raíz real

El teorema de Rolle nos permitedemostrar un importante teorema,

enunciado por Joseph-Louis Lagrange

TEOREMA DEL VALOR MEDIO:Sea f una función que satisface las siguientes hipótesis:

1) f es continua en el intervalo cerrado [a,b]2) f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b).Entonces, hay un número c en (a,b) , tal que

es decir, (1)

abafbfcf

−−= )()()('

(2) ))(()()( ' abcfafbf −=−


36

ca b


37

Ejercicio: Compruebe que f(x) = 2x3 + x2 – x – 1 , x en [0,2] satisface las hipótesis del teorema del valor medio.

Ejercicio: Sea f continua y diferenciable en el intervalo [0,2]. Sea f(0) = -3 y f ‘(x)≤ 5 para todos los x en [0,2]. ¿Qué valor probable alcanza f(2) ?

Teorema: Si f ‘(x) = 0 para toda x en un intervalo (a,b) entonces f es constante en (a,b).


38

Corolario: Si f´(x)=g´(x) para toda x en el intervalo (a,b), entonces f-g es constante en (a,b); esto es, f(x)=g(x)+c, donde c es una constante.

Ejercicio: Demuestre el corolario

PRUEBA DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS Si f es continua en [a,b] y es diferenciable en (a,b) ,

a) si f `(x) > 0 para toda x en (a,b) , entonces f es creciente en [a,b].

b) si f ` (x) < 0 para todo x en (a,b) , entonces f es decreciente en [a,b].

Funciones monótonas


39

Ejercicio: Sea f(x) =x2ex . Determine los intervalos en que f es creciente y decreciente

Pendientespositivas

Pendientesnegativas

a) f ‘(x) > 0 para x ∈ (a,b),luego f(x) es creciente

b) f’ (x) < 0 para x ∈ (a,b),luego f(x) es decreciente


40

PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADASi c es un número crítico de una función continua f.a) Si f ` cambia de positiva a negativa en c ,

entonces f tiene un máximo local en c.b) Si f ` pasa de negativa a positiva en c, entonces

f posee un mínimo local en c.c) Si f ` no cambia de signo en c (esto es , f ` es

positiva en ambos lados de c , o negativa en ambos lados) , f carece de extremo local en c

Prueba de la primera derivada


41


42

223 tt −−

Ejercicio: Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de g y los extremos. g(t)=

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento para g(t)

b) Gráfica de g(t)


43

Definición: Si la gráfica de f está arriba de todas sus tangentes en un intervalo I , se dice que es cóncava hacia arriba en I; si queda debajo de todas sus tangentes en I , se llama cóncava hacia abajo en I

Cóncava hacia arriba

Cóncava haciaabajo

Pendientenegativa

Pendiente0

Pendientepositiva

Pendiente0

Pendientenegativa


44

PRUEBA DE CONCAVIDAD: Si f tiene segunda derivada en un intervalo I.

a) Si f ``(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.

b) Si f ``(x) < 0 para todo x en I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

DEFINICIÓN: Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si en él la curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo oviceversa.

Ejercicio: Determina los intervalos en que la curva es creciente y decreciente ,cóncava hacia arriba y hacia abajo y describir la gráfica.

5223

42

4

++− xxxf(x)= g(x)=32

3

−xx


45

Posibles combinaciones de funciones creciente, decreciente y cóncavas

a) Creciente cóncava hacia arribaf ‘ (x) > 0 , f’’(x) > 0

b) Creciente cóncava hacia abajof ’(x) > 0 , f’’(x) < 0

c) Decreciente cóncava hacia arribaf ‘(x) < 0 , f’’(x) > 0

d) Decreciente cóncava hacia abajof’ ‘ (x) < 0 , f’’(x) < 0


46

Ejercicio: Determine la gráfica de f(x) =xx

x39

2

2

+−

Asíntota Vertical


47

f(x) = 3x4 – 2x3 – 12x2 + 18x + 15.Ejercicio: Determine la gráfica de

a) Gráfico preliminar b) Gráfico completo


48

PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Si f `` es continua en un intervalo abierto que contiene a c.

a) Si f `(c) = 0 y f ``(c) > 0 tiene un mínimo local en c.

b) Si f `(c) = 0 y f ``(c) < 0 posee un máximo local en c.

a) Máximo relativo b) Mínimo relativo c) No hay extremos


49

Ejercicio: Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material?

Ejercicio: Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) esC(x)= 1000+6x-0.003x2+10-6x3

¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades?


50

Ejercicio: El costo de producir x artículos por semana es C(x)= 1000+6x-0.003x2+10-6x3

El precio en que x artículos pueden venderse por semana está dado por la ecuación de demanda p=12 - 0.0015xDetermine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad esmáxima

Ejercicio: Una cisterna subterránea ha de construirse con objeto de albergar 100 pies cúbicos de desechos radiactivos. La cisterna tendrá forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajo tierra, tienen un costo de $100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de $300 por pie cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aún, la profundidad del tanque no puede exceder los 6 pies porque una capa de dura roca está por debajo de la superficie, lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se penetrara. Por último, el radio del tanque no puede exceder 4 pies por limitaciones de espacio. ¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo?


51

Ejercicio: Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse?

Ejercicio: La demanda mensual, x de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación x=1350-45p.El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?


52

Ejercicio:Inscribir un rectángulo de área máxima entre la recta x = 6 , la parábola y = 4x2 y el eje x. Determinar las dimensiones de dicho rectángulo.

3

3

2 2

x

60 cm2

Ejercicio:Un panfleto rectangular debe tener 60 cm2 de área de impresión con márgenes de 3 cmsarriba y abajo y márgenes de 2 cms a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones para el panfleto que utilizaría menos papel ?

Ejercicio:Hallar las coordenadas del punto que pertenece a la recta y + 3x + 10 = 0 que está a menor distancia del origen. Calcule dicha distancia.


53

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

a) Sea la función definida en su dominio máximo tiene sólo un valor extremo

0>α 2

)( xexf α−=

b) Sea es estrictamente decreciente en xexxf 23)( = ] ]2/3,−∞−

c) La función no tiene máximo y no tiene mínimo3)( −= xxf

d) Sea definida en tiene un máximo si xx eexf 2 )( −=α ] ]5,∞−2>α

V o F


54

Dados a, b y c números reales y (a,b) un intervalo abierto que contiene a c .Sean f y g funciones definidas y derivables en (a,b), excepto posiblemente en c.

Si g’(x) ≠ 0 para x ≠ c y f(x)/g(x) tiene la forma

indeterminada y en x = c , entonces ,00

∞∞

)(')('

lim)()(

lim xgxf

cxxgxf

cx →=

→

siempre que )(')('

lim xgxf

cx →exista o en su caso sea +∞ o -∞

Regla de L´Hopital


55

xxx

x 312)cos(

lim0

−+

→)2cos(12

lim0 x

xexe

x −−−+

→

Ejercicios:

2

)cos()cos(lim

2 xnxmx

x

−

→)sec(1)tan(4 lim

2xx

x+−

→π

2

3xe x

limx∞→ 50

limx

xexex

−+→

Observación: si es de la forma 0/0 y no

existe,no podemos afirmar que no existe .

Analice el problema siguiente:

)()(lim xg

xfpx→ )(

)(lim xgxf

px ' '

→

)()(lim xg

xfpx

→

xxx

x

)/1cos(2

0lim→


56

Si y entonces es de la forma indeterminada . Dicho producto se expresa en forma equivalente al formar el cuociente:

0)(lim =→

xfpx

)-(o ∞∞=→

)(lim xgpx

)()(lim xgxfpx→

∞⋅0

g

fgf 1=⋅f

ggf 1=⋅

Ejercicios:

)ln(lim 2

0xx

x +→)sec(x)-(2x lim

2

ππ

→x

Productos Indeterminados

xxx

seclim0+→

( )23lim x

xex −

∞→


57

Diferencias Indeterminadas

Si y entonces es de la forma indeterminada .Para verificar la existencia de dicho límite trataremos de convertir la diferencia en un cuociente y transformarlo a la forma

∞=→

)(lim xfpx

∞=→

)(lim xgpx

[ ])()(lim xgxfpx

−→

∞∞ -

00 o

∞∞

Ejercicios:

−−→ xexx

11

1lim0

( )22

0)(csclim −

→− xx

x

xxx

csc1lim0

−→

( )xxxxx

−−++∞→

22 )1(lim


58

Potencias Indeterminadas

±∞==

=∞=∞

==

→→

∞

→→

→→

)(limy 1)(lim para 1 3)

0)(limy )(lim para 2)

0)(limy 0)(lim para 0 )1

px

px

0

px

0

xgxf

xgxf

xgxf

px

px

px

A partir de la expresión surgen variadas formas

indeterminadas tales como:

)(

px)( lim xgxf

→

Para estudiar estas formas es conveniente escribir)()( xgxfy =

y tomar el logaritmo natural a ambos lados , obteniéndose:

)(ln)()(lnln )( xfxgxfy xg ==

Lxg

Ly

pxpxpx

exf

eeyLy

=

===

→

→→→

)(

px

ln

)(limdecir es

limlim entonces , ln lim Si


59

Considere , donde dicho

límite es de la forma .

Si se sabe que la potencia 1a equivale al valor 1, para todo a perteneciente a los reales, entonces ,

¿Se puede deducir que el valor de tal límite es 1?

21

)( 0

lim xxxex

−→

∞1

Utilice calculadora o MAPLE para visualizar el problema, y luego resuelva analíticamente para comprobar sus conclusiones


60

Ejemplo: ( ) x

xx 2

1

031lim +

→

Solución: la forma indeterminada es 1∞ , luego escribimos,

( ) xxy 21

31+=

Esta última expresión tiene la forma indeterminada 0/0 en x=0 . Por la regla de L’Hopital ,

23

2)31/(3lim

2)31ln(limlnlim

000=+=+=

→→→

xx

xyxxx

xxx

xy

2)31ln()31ln(

21ln +=+=

Por lo tanto,

( ) 23

0

21

0lim31lim eyxx

xx

==+→→


61

Ejercicios:

)tan()(0

lim xxsenx +→

bx

xa

x

+∞→

1lim

( )3

2

0

21lim

xxxex

x

−−−

→ x

xx

x

26lim

0

−

→

−−

→ 11

)ln(1

lim1 xxx

( ) yy

yye

1lim +

∞→

x

x xx

++∞→

2531lim

12

5232

lim+

∞→

+− x

y xx

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Calculo I-Derivada y Aplicaciones(Parte 5)