Corso di Preparazione all’o0enimento della cer4ficazione €fa
8° Giornata Elemen4 base di teoria del portafoglio (2)
1
Argomen4
§ Il Capital Asset Pricing Model
§ Il vincolo di shor7all
§ Il Value at risk: modalità di calcolo
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Il Capital Asset
Pricing Model
3
Il CAPM Si traAa di un modello che intende dirci quanto dovrebbe essere, in equilibrio, il rendimento aAeso di una aEvità rischiosa
Il Capm introduce però alcune ipotesi restriEve:
§ gli invesGtori sono avversi al rischio § essi massimizzano la propria uGlità aAesa
§ scelgono portafogli in base al rendimento medio e alla varianza del rendimento
§ l’orizzonte di invesGmento è uniperiodale
4
Inoltre…
§ esiste un tasso risk-‐free a cui è possibile inves4re o
indebitarsi;
§ ci sono aspeAaGve omogenee riguardo a valori aAesi,
varianza e covarianza dei rendimenG dei Gtoli
§ Non ci sono imposte e imperfezioni di mercato (es. cosG di
transazione, asimmetrie informaGve ecc..)
5
Il CAPM
Capital Market Line (CML)
§ Data una fronGera efficiente e un tasso risk
free è possibile tracciare la CML, che individua
le combinazioni di aEvità priva di rischio e
aEvità rischiosa (portafoglio di mercato).
§ È una relazione che vale solo per portafogli efficienG.
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Capital Market Line (CML)
7
Rp
σp
Frontiera Efficiente
CML
M
PMV
Rf
Capital Market Line (CML)
• La CML può essere espressa come…
• L’inclinazione della reAa è deAa “premio al rischio”
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×+=
m
fmpfp
RRERRE
σσ
)()(
Security Market Line (SML)
§ Abbiamo osservato come il portafoglio di mercato sia preferito dagli invesGtori; occorre dunque chiedersi quale contributo possa dare un singolo Gtolo al portafoglio di mercato in termini di rischiosità
§ In questo ambito assume rilevanza la covarianza tra Gtolo e mercato...
9
Security Market Line (SML)
• Al posto dello scarto quadraGco medio uGlizziamo una covarianza standardizzata:
• Introduciamo la formula del beta...
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m
pm
σσ
2m
pmp σ
σβ =
Security Market Line (SML)
• …è possibile ricavare la seguente formula:
• o anche...
• che rappresenta la SML!
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×+=
m
fm
m
pmfp
RRERRE
σσ
σ )()(
( )fmpfp RRERRE −×+= )()( β
Security Market Line (SML)
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Rm
βp
SMLR
1.00
Titolisottovalutati
Titolisopravvalutati
Significato del coefficiente β
§ Esprime la reaEvità aAesa del prezzo di un Gtolo a fronte di variazioni del mercato azionario
§ Rappresenta il coefficiente angolare dell’interpolante la nube di punG cosGtuita dalle coppie [Rp;Rm]
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Il Titolo Fiat e l’indice FTSEMIB
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y = 0,9049x - 0,002
-8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%
10% 12%
-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%
Ren
dim
enti
Fiat
Rendimenti FTSEMIB
Significato del coefficiente β
• Con riferimento al valore assunto dal β di un Gtolo è bene ricordare che:
Ø se β>1 il Gtolo è deAo “aggressivo”; Ø se β=1 il Gtolo è neutrale nei confronG del suo mercato;
Ø se β<1 il Gtolo è “conservaGvo”
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CML e SML
• La Capital Market Line rappresenta la fronGera dei
portafogli efficienG formaG sia da aEvità rischiose, sia da
aEvità prive di rischio: ogni punto sulla reAa
rappresenta un portafoglio intero.
• La Security Market Line meAe invece in relazione il
coefficiente β con il rendimento aAeso.
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Alcune osservazioni sul beta
§ Il beta indica il rischio sistematico di uno strumento finanziario
§ Ciò significa che se devo inserire tale strumento in un
portafoglio ben diversificato devo considerare il suo beta e non
la sua volatilità!!!
§ Il beta di un portafoglio è la media ponderata dei beta dei titoli
che lo compongono
§ Il beta viene calcolato rispetto al mercato di riferimento … ma
potrebbe essere calcolato anche rispetto a settori o altri mercati
§ E poi quale mercato prendere in considerazione?!!
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Alcune osservazioni sul beta § Il beta di uno strumento non è un indicatore univoco e stabile:
poiché viene calcolato attraverso variabili statistiche, occorre
sempre chiedersi quali siano le serie storiche di riferimento
§ Il beta può dunque variare nel corso del tempo!!
§ Come noto il beta di uno strumento finanziario può assumere
valori > = < di 1 (essendo 1 il beta del mercato stesso!)
§ Si sa anche che quando uno strumento finanziario è
caratterizzato da beta > 1, lo strumento in questione sarà
considerato aggressivo (e viceversa se il beta è < di 1) perché
tenderà ad amplificare gli andamenti del mercato (e viceversa a
smorzare) 18
Alcune osservazioni sul beta
§ L’idea base dunque dovrebbe essere la seguente: se ci si aAende un mercato al rialzo si costruisce un portafoglio con beta maggiore di 1; se si prevede un mercato al ribasso si dovrebbe invece costruire un portafoglio con beta inferiore a 1.
§ Ma il successo della strategia di invesGmento basata sul beta dipende dalla capacità del beta storico di essere una buona approssimazione del beta che effeEvamente si realizzerà in futuro
§ Poiché infaE il beta non è immutabile occorre fare aAenzione: non è deAo che uno strumento che oggi si presenta come aggressivo lo sia anche in futuro!!!
19
Alcune osservazioni sul beta In termini generali è possibile affermare che ….
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Il beta storico del singolo Gtolo è una previsione debole del beta che si realizzerà
in futuro
La capacità prediEva cresce in termini di
portafoglio, se il portafoglio è composto da molG Gtoli
Il beta tende verso 1 nel corso
del tempo
Beta e alfa
§ Il CAPM è un modello!! § Nella realtà è stato verificato che il rendimento di uno
strumento finanziario (ad esempio un fondo) non è dovuto semplicemente al suo rischio sistemaGco, ossia al suo beta
§ Esiste anche una componente di rendimento che è collegata a faAori legaG al singolo strumento
§ In parGcolare, se parliamo di fondi, la capacità del gestore di scegliere i Gtoli migliori, a parità di beta, può influenzare il rendimento del fondo
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Alpha di Jensen
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( )fmpfpp rrErrE −−−= )()( βα§ Come è evidente dalla formula, il coefficiente in esame deriva dalla differenza
tra rendimento realizzato dal portafoglio e rendimento atteso in base ai
principi del CAPM
§ Alfa rappresenta dunque la misura della variazione (maggiore o minore) della
performance di un fondo rispetto al suo valore atteso, calcolato in funzione
del rischio sistematico assunto dal fondo
§ Morningstar considera la serie di dati cumulati su 36 mesi consecutivi per
calcolare un alfa mensile: poi l’alfa viene annualizzato
Introduciamo allora il conceAo di alfa
Alpha di Jensen
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§ Alpha misura la bravura del gestore nell’ottenere rendimenti sopra la media
senza dover incrementare la componente di rischio sistematico: egli ha
semplicemente scelto bene i titoli che compongono il portafoglio
§ In virtù di questa considerazione, Alpha viene utilizzato per fornire un giudizio
sull’attività di Stock Picking attuata dal gestore
§ Esiste un indicatore in grado di valutare la capacità del gestore di fare market
timing? La risposta è si e tale indicatore è il Gamma, anche se è per lo più
sconosciuto nel settore
Performance A0ribu4on
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Esposizione alrischio sistematico
Abilità di StockPicking
Abilità di MarketTiming
β>1 Aggressiva α>0 Positiva γ>0 Positiva
β=1 Mercato α=0 Assente γ=0 Assente
β<1 Difensiva α<0 Negativa γ<0 Negativa
L’indicatore R2
§ Collegato al conceAo di Beta e di Alfa, vi è l’indicatore R2, che viene uGlizzato da Morningstar nelle proprie schede.
§ Vediamo cosa rappresenta e come viene calcolato
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§ R2 rappresenta la percentuale delle variazioni dei rendimenG della variabile dipendente (il fondo) che è spiegata dalla variabile indipendente (l'indice).
§ Un fondo completamente indicizzato dovrebbe oAenere un R2 = 1 (o almeno molto prossimo ad 1). Questo significa che quasi tuAe le variazioni di rendimento registrate da tale fondo sono riconducibili ad analoghe variazioni dell'indice di riferimento.
§ Pertanto l'R2 è cruciale per la significaGvità dell’indice beta (un R2 elevato indicherà un beta più affidabile)
§ Più basso è questo numero, più bassa è la significaGvità di beta.
Secondo Morningstar
L’indicatore R2
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§ R2 varia da 0 (totale non correlazione) a 1 (correlazione perfeAa), ed è calcolato dividendo la covarianza del fondo rispeAo all'indice per la varianza dell'indice molGplicata per la varianza del fondo.
§ In formule:
Dove, Covij= covarianza tra il fondo i e l'indice j i= deviazione standard del fondo i j= deviazione standard dell'indice j
Il vincolo di shorRall
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
§ La noz ione d i r isch io u t i l i zzata s ia ne l l ’ambi to
dell’ottimizzazione di portafogli sia nella caratterizzazione
dell’asset allocation adeguata al profilo di investitore
considerato è quella tradotta dal parametro statistico della
deviazione standard.
§ Essa interpreta il rischio in modo simmetrico vale a dire
come semplice allontanamento, nel bene o nel male, del
risultato effettivo dal rendimento atteso.
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
§ Si può però ritenere ragionevole, nella prospettiva dell’investitore,
anche un’altra nozione di rischio.
§ Precisamente, l’investitore pur avendo l’obiettivo di un certo livello di
rendimento e avendo un certo grado di variabilità tollerabile, può
anche desiderare di evitare che il risultato dell’investimento del proprio
risparmio in un portafoglio di strumenti finanziari vada sotto una certa
soglia minima.
§ Si parla in tal caso di downside risk.
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
§ Si può affinare l’ottimizzazione aggiungendo, nel modello media-
varianza, il cosiddetto vincolo di shortfall il quale consente di
verificare se l’asset allocation individuata permette, con un certo
grado di sicurezza, di rispettare il rendimento minimo (cosiddetto
minimum acceptable return) espresso dall’investitore.
§ Per la costruzione del vincolo di shortfall è indispensabile
l’esplicitazione della shortfall probability (probabilità di shortfall)
ossia della probabilità massima per la quale si ammette di ottenere
un risultato inferiore al rendimento minimo.
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
Esempio
Se la probabilità di shor%all è fissata all’1%, si vuole che il vincolo di shor%all sia costruito in modo tale da ammeAere solo l’1% di probabilità che il risultato si riveli inferiore al rendimento minimo acceAabile e, di conseguenza, si esige un livello di confidenza (o, più banalmente, di tranquillità o protezione) sul faAo che il risultato sarà superiore al rendimento minimo del 99% (il complemento a 1 della shor%all probability).
A livello grafico, il vincolo di shor%all è rappresentabile, nello stesso spazio (rischio –
rendimento) in cui è disegnata la fronGera efficiente oAenuta dall’oEmizzazione a là Markowitz, da una reAa, moGvo per cui si usa, molto spesso, come sinonimo l’espressione shor%all line.
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
§ I portafogli (e, cioè, i punG della fronGera efficiente) che giacciono al di
soAo del vincolo di shor%all sono portafogli per i quali la probabilità di
oAenere un risultato inferiore a quello minimo richiesto (nella figura
Rmin) non è limitata alla shor%all probability bensì è superiore. Tali
portafogli non rispeAano il vincolo.
§ Diversamente, i portafogli che giacciono al di sopra del vincolo di
shor%all soddisfano il vincolo nel senso che forniscono il livello di
protezione desiderato dall’eventualità spiacevole di conseguire un
risultato inferiore alla soglia minima di rendimento dichiarata.
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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall
§ La shor%all line, in sostanza, individua, in corrispondenza di ogni livello di volaGlità, qual è il rendimento aAeso che si deve richiedere ad un portafoglio affinché lo stesso sia in grado di confinare la possibilità di non conseguire rendimento minimo acceAabile ad un livello pari alla shor%all probability.
Con riferimento alla shor%all line, è opportuno segnalare che:
§ la sua interce0a, disegnata sull’asse verGcale nel precedente disegno, corrisponde al livello di rendimento minimo acceAabile;
§ la sua pendenza dipende dalla shor%all probability e, dunque, anche dal grado di protezione desiderato dall’invesGtore.
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• Il Roy’s safety first è un criterio di scelta dei portafogli basato su un concetto di risk management. In termini semplici consiste nello scegliere un livello di rendimento
minimo richiesto dall’investitore per un dato livello di rischio
• Tale criterio permette di confrontare diversi portafogli sulla base della loro
probabilità di generare un rendimento minore del minimo desiderato. La scelta
dovrebbe cadere sul portafoglio che minimizza tale probabilità
• Il SFRatio è calcolato sottraendo dal rendimento atteso del portafoglio il livello di
rendimento minimo richiesto e dividendo poi il risultato per la standard deviation del
portafoglio (simile all’indice di Sharpe)
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Una variante: il 'Roy's Safety-First Criterion - SFRatio
SDturnTresholdESF r
ratioRe−
=
Si dovrebbe scegliere il portafoglio con il SFRa4o maggiore
Il Value at Risk: modalità di calcolo
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Definizione e prime osservazioni • Il VAR rappresenta un numero di sintesi che esprime il
rischio cui è esposto una ovvero un portafoglio di aEvità
finanziarie.
• Con il calcolo del VAR, infaE, l'invesGtore confida di non
perdere più di X, con una probabilità pari a K%, entro un
periodo temporale pari a Y giorni (Hull, 1998).
• La variabile X è il VAR di portafoglio, K% è l'intervallo di confidenza, mentre Y è l'orizzonte temporale di riferimento
(holding period). 39
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Definizione e prime osservazioni
Il VAR può essere definito come quell’importo tale che:
[ ] [ ] α≤−<=>− Δ+Δ+ VarVar tttttt VMVM ProbVMVM Prob
Dove: VM = valore di mercato della posizione Δt = intervallo temporale 1-α = intervallo di probabilità che si vuole prendere in considerazione (1-α = 99%)
Al crescere dell’orizzonte temporale e all’ampliarsi dell’intervallo di probabilità considerato il Var risulta più elevato
Definizione e prime osservazioni
• Partendo dalla conoscenza della distribuzione di probabilità dei rendimenG di un portafoglio su un determinato orizzonte temporale, il Value at Risk (VAR) indica quindi il valore della massima perdita in cui si può incorrere con un dato livello di confidenza per un certo orizzonte temporale futuro
• Nel caso in cui questo intervallo sia pari ad un giorno si parla di Daily
Earnings at Risk o DEaR. • Solitamente il VAR è calcolato molGplicando il DEaR per la radice quadrata
dell’orizzonte temporale desiderato, soAo l’ipotesi che i rendimenG futuri siano indipendenG dai passaG e la costanza della varianza.
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Definizione e prime osservazioni
• Può essere calcolato per qualsiasi posizione/aEvità finanziarie
• E’ una misura omogenea che permeAe effeAuare raffronG
• E’ un indicatore di rischio in linea con la «testa del cliente»
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Vantaggi Svantaggi
� Non fornisce, ovviamente, livello
massimo di perdita al 100% ma al
95%-‐99% ... Ma il cliente percepisce
100%
� I l suo va lore è fortemente
dipendente dalle modalità di calcolo
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Esempio
100
100 Densità di frequenza
Volume di mercato della posizione 160 50
71,48
1%
28,52
Se esiste solo l’1% di
probabilità che il valore di
mercato della posizione
scenda soAo 71,48, allora
esiste anche solo l’1%
della probabilità di
perdere più di 28,52
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Elemen4 da considerare
1) Variabili aleatorie responsabili della variazione del valore di mercato
del portafoglio
2) Ipotesi sulla distribuzione delle variabili aleatorie
3) Modalità con le quali si modella la reazione del valore di mercato del
portafoglio alle variabili aleatorie
4) Modalità con le quali si individua il valore del portafoglio nel worst
case scenario in corrispondenza dell’intervallo di probabilità
I possibili approcci per la misurazione del Var
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Si possono u4lizzare:
• le variazioni percentuali (rendimenG) dei singoli faAori di
rischio (tassi di interesse, tassi di cambio, andamento
mercato ecc …) che incidono sul valore di portafoglio
• i rendimenG delle aEvità presenG in portafoglio
• il rendimento dell’intero portafoglio considerato
Set di variabili aleatorie
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• Si può ipoGzzare che la distribuzione futura coincida perfeAamente con quella
empiricamente riscontrata in passato in un certo arco temporale
• Si può ipoGzzare che la distribuzione ricercata assuma una ben precisa configurazione (ad
esempio distribuzione normale) della quale occorre sGmare i parametri
Distribuzione delle variabili aleatorie
Sensibilità del valore di mercato del portafoglio al variare delle variabili aleatorie
• Si può sGmare la variazione del valore di mercato sulla base di uno o più parametri di
sensibilità del portafoglio rispeAo alle variazioni delle condizioni di mercato (es: duraGon,
beta, correlazioni ecc..)
• Si può aAuare una effeEva rivalutazione del valore di mercato del portafoglio a seguito
delle variazioni aAese del set di variabili aleatorie considerato
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• Se è nota la forma di distribuzione del valore di mercato del
portafoglio è possibile calcolare il Var sulla base dei parametri della
distribuzione
• In altri casi il Var può essere sGmato tramite approssimazione
campionaria della distribuzione, ossia rivalutando il portafoglio in
un numero elevato di scenari
Valore del portafoglio nel worst case scenario
48
• Ipotesi di fondo è che posso
sGmare perd i ta mass ima
potenziale sulla base di un set
di parametri rappresentaGvi
delle variabili aleatorie di
partenza
• I n p a r G c o l a r e o c c o r r e
conoscere matr i ce de l le
var ianze-‐covar ianze del le
variabili aleatorie
I modelli varianze-‐covarianze
S4ma del Var per una singola posizione
I passi da compiere
• Determinare il valore di mercato (VM) della posizione
• IdenGficare la/le variabili determinanG del VM
• Determinare eventualmente la sensi5vity del VM della
posizione alle variazioni del faAore di rischio
• SGmare la massima variazione potenziale delle variabili
aleatorie rilevanG
• Ricavare il VAR
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Esempio = posizione in $ 100.000
1) Posizione in euro con tasso cambio 1/1 è 100.000 € (WMeuro)
2) Variabile determinante è il tasso di cambio (svalutazione dollaro)
3) Sensibilità è pari a 1
4) Indicata la variazione del tasso di cambio nel worst case scenario
come r wcs
5) Var = WMeuro x r wcs= 100.000 euro x r wcs
50
• IpoGzziamo distribuzione normale del tasso di cambio, orizzonte temporale
giornaliero e probabilità 95%
• Se distribuzione è normale posso ricavare la massima variazione sfavorevole
semplicemente sulla base della media e della deviazione standard della
distribuzione
• Ciò perché nella distribuzione normale la probabilità di estrarre un valore
compreso in un intervallo centrato sulla media e di ampiezza pari a un dato
mulGplo della deviazione standard è un valore che dipende solo dal mulGplo
considerato e non dalla media e dalla deviazione standard della variabile
soAostante
I modelli varianze-‐covarianze
51
• Dato μ = media e σ = deviazione standard
• La possibilità di estrarre valori nell’intervallo [μ-‐kσ,μ+kσ] dipende
solo da k e non dai parametri della distribuzione
• Ad esempio, per un valore di k=1 la probabilità di oAenere valori
nell’intervallo [μ-‐σ,μ+σ] sarà approssimaGvamente del 68%, per un
valore di k=1,65% la probabilità di oAenere valori in [μ-‐1,65σ,μ
+1,65σ] sarà del 90% ec….
• Simmetricamente la probabilità di trovare valori esterni
all’intervallo sarà pari al complemento a 1
In altri termini:
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Intervalli di confidenza della distribuzione normale
K Prob (µ-kσ <x<µ+kσ) Prob (|x-µ|>kσ ) Prob (x<µ-k,x>µ+kσ)
1 68,72% 31,73% 15,87%
1,65 90% 10% 5%
2,33 98% 2% 1%
2,58 99% 1% 0,5%
53
Esempio = posizione in $ 100.000
• Il rendimento su base giornaliera più sfavorevole del tasso di
cambio euro-‐dollaro sarà dato da μ -‐1,65 σ, dove μ e σ
rappresentano il rendimento medio su base giornaliera e la sua
deviazione standard
• Se μ=0 e σ =0,26% allora.. Var = WMeuro x r wcs= WMeurox 1,65 σ = 100.000 euro x 1,65x0,26% =
429 euro
Un altro esempio • Supponiamo di avere $10 milioni in azioni Microso�. • Si richiede la sGma del VaR per un holding 5me di 10 giorni, ad un livello di accuratezza del 99%. • Sapendo che la volaGlità annua del Gtolo è del 32% e che il tasso di rendimento annuo è del 20%,
il VAR a 10 giorni è di $1.473.621
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Vediamo perché …
• Calcoliamo i valori in scala giornaliera: volaGlità 2%, rendimento 0.08%. • Ora, sapendo che la deviazione standard giornaliera delle variazioni di valore è del 2%, questo si
traduce in una quota di $200.000. • Assumendo una variazione di prezzo distribuita in modo normale, in base alle tavole su questa
distribuzione, osservo che la probabilità di verificarsi una riduzione di valore inferiore all’1% è associata una riduzione di valore di -‐2,33$ N(-‐2.33$)=0.01.
• Quindi il mio VaR giornaliero si oEene facendo 2.33 * $200000 = $466000 in un giorno, mentre quello per t=10 $466000 * √10 = $1.473.621
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• Approccio risk factor normal = variabili
aleatorie sono i singoli faAori di rischio
alla base della variazione del prezzo delle
aEvità finanziarie (tassi di interesse…)
• Approccio asset normal = evoluzione di
una serie di aEvità benchmark (Gtoli
obbligazionari ….
• Approccio por7olio normal = analizzo
direAamente il valore del portafoglio
complessivamente considerato
La scelta della variabile aleatoria
• Se vi sono più faAori di rischio, nel
primo e nel secondo approccio devo
prima disaggregare l’esposizione
complessiva e poi calcolare il Var per
riaggregazione
• Nel terzo approccio posso invece
calcolare il Var sulla base della
v o l aG l i t à de i r end imenG de l
portafoglio nel suo complesso (in
ipotesi di normalità di distribuzione).
Ma…..
Il mapping delle posizioni a rischio
• Mapping = processo di scomposizione del portafoglio in un veAore di posizioni riferite a ogni faAore di rischio o aEvità benchmark
• Consente di apprezzare l’esposizione del portafoglio a ogni singolo faAore individualmente considerato
• Condiziona in misura significaGva l’efficacia della sGma del Var
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Trade off tra parsimonia e verosimiglianza
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• Esempio = per portafoglio di Gtoli azionari approssimo la variabilità
complessiva del portafoglio (σp) sulla base della volaGlità
dell’indice azionario del mercato di riferimento (σind) e del
coefficiente beta del portafoglio (βp). Allora σp= σind x βp • Si ipoGzza dunque un portafoglio ben diversificato ma…
• Se ho portafoglio di Gtoli esteri dovrei considerare anche
esposizione al tasso di cambio per un importo pari al valore
complessivo del portafoglio
Il mapping delle posizioni a rischio
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• Per portafoglio Gtoli obbligazionari situazione è più complessa
perché devo capire fluAuazioni della curva dei rendimenG e del
loro impaAo sul valore di mercato del portafoglio
• Dura+on mapping = abbino ad ogni Gtolo una scadenza pari alla
sua dura5on. Oppure considero la dura5on media di portafoglio
• Cash flows mapping = scompono ogni singolo Gtolo in una
sequenza di cash flows e poi li riaggrego intorno ad una serie di
nodi prefissaG della term structure
Il mapping delle posizioni a rischio
I modelli basa4 sulla simulazione storica
• Si assume che il rendimento futuro sarà uguale a quello di uno dei giorni del database delle
serie storiche.
• Il primo passo per il suo calcolo prevede l'idenGficazione di quelle variabili di mercato che
riteniamo influenzino il nostro invesGmento.
• In secondo luogo, creiamo un database contenente m variazioni giornaliere dei valori delle
mie n variabili scelte.
• OAeniamo così m possibili scenari per quello che potrebbe succedere domani: il primo è
quello in cui le variabili si comportano come avevano faAo nel primo giorno del mio
database, il secondo come si erano comportate nel secondo, e così via.
• Quindi per ognuno dei miei m scenari calcolo la variazione del valore del mio invesGmento, e
se sistemo i miei risultaG in ordine crescente, il primo percenGle di tale distribuzione
rappresenta la sGma del VaR giornaliero al 99%
59
I modelli basa4 sulla simulazione Montecarlo
• Questo approccio consente di ricavare una sGma della distribuzione di probabilità seguita
dal rendimento del portafoglio.
• In sintesi, per un holding period pari a (t+1), dato un portafoglio cosGtuito da M Gtoli, si
traAa di estrarre per N volte un campione dalla distribuzione normale M-‐variata dei
rendimenG dei singoli Gtoli e di calcolare in base ad esso il valore del portafoglio in t+1.
• Il VAR di ogni singola estrazione è oAenuto dalla differenza tra il valore del portafoglio in t
e quello in t+1.
• Ordinando in senso decrescente i VAR oAenuG dalle N estrazioni, la massima perdita
potenziale del portafoglio è rappresentata dal percenGle corrispondente al livello di
probabilità prescelto.
• Se le estrazioni e le conseguenG rivalutazioni del portafoglio sono pari a N=10.000, il VAR al
95% è rappresentato dal 500° valore più alto delle perdite simulate.
60
Il CondiGonal Var (CVar o Expected Shor7all) è invece il valore aAeso delle perdite che eccedono il VAR o una soglia specificata (in questo caso si parla più propriamente di
Expected Regret). Questa misura è teoricamente preferibile rispeAo al VAR
27
Expected Shor7all is defined as the average of all losses which are greater or equal
than VaR, i.e. the average loss in the worst (1-‐p)% cases, where p is the confidence
level. Said differently, it gives the expected value of an
investment in the worst q% of the cases
Condi4onal VAR
61
62