2. Mtodos numricos para ingenieros Quinta edicin Steven C.
Chapra Raymond P. Canale Decano de Computacin e Ingeniera Profesor
emrito de Ingeniera Civil Tufts University University of Michigan
REVISIN TCNICA: M.C. Juan Carlos del Valle Sotelo Catedrtico del
Departamento de Fsica y Matemticas ITESM, campus Estado de Mxico
MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK
SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN
FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor:
Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas
Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin: Javier
Enrquez Brito Ma. del Carmen Roa Hano MTODOS NUMRICOS PARA
INGENIEROS Quinta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial
de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del
editor. DERECHOS RESERVADOS 2007 respecto a la quinta edicin en
espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe
Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia
Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.
F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana,
Reg. Nm. 736 Crditos de las fotografas de portada: Jack Novack /
SuperStock. MATLABTM es una marca registrada de The MathWorks, Inc.
ISBN-13: 978-970-10-6114-5 ISBN-10: 970-10-6114-4 (ISBN:
970-10-3965-3 edicin anterior) Traducido de la quinta edicin en
ingls de la obra NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS, FIFTH EDITION.
Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights
reserved. ISBN: 0-07-291873-X 1234567890 09865432107 Impreso en
Mxico Printed in Mexico
4. A Margaret y Gabriel Chapra Helen y Chester Canale
5. CONTENIDO PREFACIO xvii ACERCA DE LOS AUTORES xxiii PARTE
UNO PT1.1 Motivacin 3 PT1.2 Antecedentes matemticos 5 PT1.3
Orientacin 8 CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en
ingeniera 11 1.1 Un modelo matemtico simple 11 1.2 Leyes de
conservacin e ingeniera 19 Problemas 22 CAPTULO 2 Programacin y
software 26 2.1 Paquetes y programacin 26 2.2 Programacin
estructurada 28 2.3 Programacin modular 37 2.4 Excel 38 2.5 MATLAB
42 2.6 Otros lenguajes y bibliotecas 47 Problemas 48 CAPTULO 3
Aproximaciones y errores de redondeo 53 3.1 Cifras signicativas 54
3.2 Exactitud y precisin 56 3.3 Deniciones de error 57 3.4 Errores
de redondeo 60 Problemas 76 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL
ERROR 3
6. viii CONTENIDO CAPTULO 4 Errores de truncamiento y la serie
de Taylor 78 4.1 La serie de Taylor 78 4.2 Propagacin del error 95
4.3 Error numrico total 99 4.4 Equivocaciones, errores de
formulacin e incertidumbre en los datos 101 Problemas 103 EPLOGO:
PARTE UNO 105 PT1.4 Alternativas 105 PT1.5 Relaciones y frmulas
importantes 108 PT1.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales
108 PARTE DOS PT2.1 Motivacin 113 PT2.2 Antecedentes matemticos 115
PT2.3 Orientacin 116 CAPTULO 5 Mtodos cerrados 120 5.1 Mtodos grcos
120 5.2 El mtodo de biseccin 124 5.3 Mtodo de la falsa posicin 131
5.4 Bsquedas por incrementos y determinacin de valores iniciales
138 Problemas 139 CAPTULO 6 Mtodos abiertos 142 6.1 Iteracin simple
de punto jo 143 6.2 Mtodo de Newton-Raphson 148 6.3 El mtodo de la
secante 154 6.4 Races mltiples 159 6.5 Sistemas de ecuaciones no
lineales 162 Problemas 167 CAPTULO 7 Races de polinomios 170 7.1
Polinomios en la ciencia y en la ingeniera 170 7.2 Clculos con
polinomios 173 7.3 Mtodos convencionales 177 7.4 Mtodo de Mller 177
7.5 Mtodo de Bairstow 181 7.6 Otros mtodos 187 RACES DE ECUACIONES
113
7. CONTENIDO ix 7.7 Localizacin de races con bibliotecas y
paquetes de software 187 Problemas 197 CAPTULO 8 Estudio de casos:
races de ecuaciones 199 8.1 Leyes de los gases ideales y no ideales
(ingeniera qumica y bioqumica) 199 8.2 Flujo en un canal abierto
(ingeniera civil e ingeniera ambiental) 202 8.3 Diseo de un
circuito elctrico (ingeniera elctrica) 206 8.4 Anlisis de
vibraciones (ingeniera mecnica e ingeniera aeronutica) 209
Problemas 216 EPLOGO: PARTE DOS 227 PT2.4 Alternativas 227 PT2.5
Relaciones y frmulas importantes 228 PT2.6 Mtodos avanzados y
referencias adicionales 228 PARTE TRES PT3.1 Motivacin 233 PT3.2
Antecedentes matemticos 236 PT3.3 Orientacin 244 CAPTULO 9
Eliminacin de Gauss 247 9.1 Solucin de sistemas pequeos de
ecuaciones 247 9.2 Eliminacin de Gauss simple 254 9.3 Dicultades en
los mtodos de eliminacin 261 9.4 Tcnicas para mejorar las
soluciones 267 9.5 Sistemas complejos 275 9.6 Sistemas de
ecuaciones no lineales 275 9.7 Gauss-Jordan 277 9.8 Resumen 279
Problemas 279 CAPTULO 10 Descomposicin LU e inversin de matrices
282 10.1 Descomposicin LU 282 10.2 La matriz inversa 292 10.3
Anlisis del error y condicin del sistema 297 Problemas 303 CAPTULO
11 Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel 305 11.1 Matrices
especiales 305 11.2 Gauss-Seidel 310 ECUACIONES ALGEBRAICAS
LINEALES 233
8. x CONTENIDO 11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con
bibliotecas y paquetes de software 317 Problemas 324 CAPTULO 12
Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales 327 12.1 Anlisis
en estado estacionario de un sistema de reactores (ingeniera
qumica/bioingeniera) 327 12.2 Anlisis de una armadura estticamente
determinada (ingeniera civil/ambiental) 330 12.3 Corrientes y
voltajes en circuitos con resistores (ingeniera elctrica) 334 12.4
Sistemas masa-resorte (ingeniera mecnica/aeronutica) 336 Problemas
339 EPLOGO: PARTE TRES 349 PT3.4 Alternativas 349 PT3.5 Relaciones
y frmulas importantes 350 PT3.6 Mtodos avanzados y referencias
adicionales 350 PARTE CUATRO PT4.1 Motivacin 353 PT4.2 Antecedentes
matemticos 358 PT4.3 Orientacin 360 CAPTULO 13 Optimizacin
unidimensional no restringida 363 13.1 Bsqueda de la seccin dorada
364 13.2 Interpolacin cuadrtica 371 13.3 Mtodo de Newton 373
Problemas 375 CAPTULO 14 Optimizacin multidimensional no
restringida 377 14.1 Mtodos directos 378 14.2 Mtodos con gradiente
382 Problemas 396 CAPTULO 15 Optimizacin restringida 398 15.1
Programacin lineal 398 15.2 Optimizacin restringida no lineal 409
15.3 Optimizacin con bibliotecas y paquetes de software 410
Problemas 422 OPTIMIZACIN 353
9. CONTENIDO xi CAPTULO 16 Aplicaciones en ingeniera:
optimizacin 424 16.1 Diseo de un tanque con el menor costo
(ingeniera qumica/bioingeniera) 424 16.2 Mnimo costo para el
tratamiento de aguas residuales (ingeniera civil/ambiental) 429
16.3 Mxima transferencia de potencia en un circuito (ingeniera
elctrica) 433 16.4 Diseo de una bicicleta de montaa (ingeniera
mecnica/aeronutica) 436 Problemas 440 EPLOGO: PARTE CUATRO 447
PT4.4 Alternativas 447 PT4.5 Referencias adicionales 448 PARTE
CINCO PT5.1 Motivacin 451 PT5.2 Antecedentes matemticos 453 PT5.3
Orientacin 462 CAPTULO 17 Regresin por mnimos cuadrados 466 17.1
Regresin lineal 466 17.2 Regresin polinomial 482 17.3 Regresin
lineal mltiple 486 17.4 Mnimos cuadrados lineales en general 489
17.5 Regresin no lineal 495 Problemas 499 CAPTULO 18 Interpolacin
503 18.1 Interpolacin polinomial de Newton en diferencias divididas
503 18.2 Polinomios de interpolacin de Lagrange 516 18.3 Coecientes
de un polinomio de interpolacin 520 18.4 Interpolacin inversa 521
18.5 Comentarios adicionales 522 18.6 Interpolacin mediante
trazadores (splines) 525 Problemas 537 CAPTULO 19 Aproximacin de
Fourier 539 19.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 540
19.2 Serie de Fourier continua 546 19.3 Dominios de frecuencia y de
tiempo 551 AJUSTE DE CURVAS 451
10. xii CONTENIDO 19.4 Integral y transformada de Fourier 554
19.5 Transformada discreta de Fourier (TDF) 556 19.6 Transformada
rpida de Fourier 558 19.7 El espectro de potencia 565 19.8 Ajuste
de curvas con bibliotecas y paquetes de software 566 Problemas 575
CAPTULO 20 Estudio de casos: ajuste de curvas 578 20.1 Regresin
lineal y modelos de poblacin (ingeniera qumica/ bioingeniera) 578
20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor
(ingeniera civil/ambiental) 582 20.3 Anlisis de Fourier (ingeniera
elctrica) 584 20.4 Anlisis de datos experimentales (ingeniera
mecnica/aeronutica) 585 Problemas 587 EPLOGO: PARTE CINCO PT5.4
Alternativas 597 PT5.5 Relaciones y frmulas importantes 598 PT5.6
Mtodos avanzados y referencias adicionales 599 PARTE SEIS PT6.1
Motivacin 603 PT6.2 Antecedentes matemticos 612 PT6.3 Orientacin
615 CAPTULO 21 Frmulas de integracin de Newton-Cotes 619 21.1 La
regla del trapecio 621 21.2 Reglas de Simpson 631 21.3 Integracin
con segmentos desiguales 640 21.4 Frmulas de integracin abierta 643
21.5 Integrales mltiples 643 Problemas 645 CAPTULO 22 Integracin de
ecuaciones 648 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 648
22.2 Integracin de Romberg 649 22.3 Cuadratura de Gauss 655 22.4
Integrales impropias 663 Problemas 666 DIFERENCIACIN E INTEGRACIN
NUMRICAS 603
11. CONTENIDO xiii CAPTULO 23 Diferenciacin numrica 668 23.1
Frmulas de diferenciacin con alta exactitud 668 23.2 Extrapolacin
de Richardson 672 23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados
673 23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 674 23.5
Integracin/diferenciacin numricas con bibliotecas y paquetes de
software 676 Problemas 679 CAPTULO 24 Estudio de casos: integracin
y diferenciacin numricas 682 24.1 Integracin para determinar la
cantidad total de calor (ingeniera qumica/bioingeniera) 682 24.2
Fuerza efectiva sobre el mstil de un bote de vela de carreras
(ingeniera civil/ambiental) 684 24.3 Raz media cuadrtica de la
corriente mediante integracin numrica (ingeniera elctrica) 687 24.4
Integracin numrica para calcular el trabajo (ingeniera
mecnica/aeronutica) 689 Problemas 693 EPLOGO: PARTE SEIS 704 PT6.4
Alternativas 704 PT6.5 Relaciones y frmulas importantes 705 PT6.6
Mtodos avanzados y referencias adicionales 705 PARTE SIETE PT7.1
Motivacin 709 PT7.2 Antecedentes matemticos 713 PT7.3 Orientacin
715 CAPTULO 25 Mtodos de Runge-Kutta 719 25.1 Mtodo de Euler 720
25.2 Mejoras del mtodo de Euler 732 25.3 Mtodos de Runge-Kutta 740
25.4 Sistemas de ecuaciones 751 25.5 Mtodos adaptativos de
Runge-Kutta 756 Problemas 764 CAPTULO 26 Mtodos rgidos y de pasos
mltiples 767 26.1 Rigidez 767 26.2 Mtodos de pasos mltiples 771
Problemas 792 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 709
12. xiv CONTENIDO CAPTULO 27 Problemas de valores en la
frontera y de valores propios 794 27.1 Mtodos generales para
problemas de valores en la frontera 795 27.2 Problemas de valores
propios 801 27.3 EDO y valores propios con bibliotecas y paquetes
de software 814 Problemas 822 CAPTULO 28 Estudio de casos:
ecuaciones diferenciales ordinarias 825 28.1 Uso de las EDO para
analizar la respuesta transitoria de un reactor (ingeniera
qumica/bioingeniera) 825 28.2 Modelos depredador-presa y caos
(ingeniera civil/ambiental) 831 28.3 Simulacin de la corriente
transitoria en un circuito elctrico (ingeniera elctrica) 837 28.4
El pndulo oscilante (ingeniera mecnica/aeronutica) 842 Problemas
846 EPLOGO: PARTE SIETE 854 PT7.4 Alternativas 854 PT7.5 Relaciones
y frmulas importantes 855 PT7.6 Mtodos avanzados y referencias
adicionales 855 PARTE OCHO PT8.1 Motivacin 859 PT8.2 Orientacin 862
CAPTULO 29 Diferencias nitas: ecuaciones elpticas 866 29.1 La
ecuacin de Laplace 866 29.2 Tcnica de solucin 868 29.3 Condiciones
en la frontera 875 29.4 El mtodo del volumen de control 881 29.5
Software para resolver ecuaciones elpticas 884 Problemas 885
CAPTULO 30 Diferencias nitas: ecuaciones parablicas 887 30.1 La
ecuacin de conduccin de calor 887 30.2 Mtodos explcitos 888 30.3 Un
mtodo implcito simple 893 30.4 El mtodo de Crank-Nicolson 896 30.5
Ecuaciones parablicas en dos dimensiones espaciales 899 Problemas
903 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 859
13. CONTENIDO xv CAPTULO 31 Mtodo del elemento nito 905 31.1 El
enfoque general 906 31.2 Aplicacin del elemento nito en una
dimensin 910 31.3 Problemas bidimensionales 919 31.4 Resolucin de
EDP con bibliotecas y paquetes de software 923 Problemas 930
CAPTULO 32 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 933
32.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniera
qumica/ bioingeniera) 933 32.2 Deexiones de una placa (ingeniera
civil/ambiental) 938 32.3 Problemas de campo electrosttico
bidimensional (ingeniera elctrica) 940 32.4 Solucin por elemento
nito de una serie de resortes (ingeniera mecnica/ aeronutica) 943
Problemas 947 EPLOGO: PARTE OCHO 949 PT8.3 Alternativas 949 PT8.4
Relaciones y frmulas importantes 949 PT8.5 Mtodos avanzados y
referencias adicionales 950 APNDICE A: LA SERIE DE FOURIER 951
APNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB 953 BIBLIOGRAFA 961 NDICE 965
14. PREFACIO Han pasado veinte aos desde que se public la
primera edicin de este libro. Durante ese periodo, nuestro
escepticismo acerca de que los mtodos numricos y las computadoras
tendran un papel prominente en el currculo de la ingeniera
particularmente en sus etapas tempranas ha sido rebasado por mucho.
Hoy da, muchas universidades ofre- cen cursos para estudiantes de
nuevo ingreso, de segundo ao e intermedios, tanto de introduccin a
la computacin como de mtodos numricos. Adems, muchos de nues- tros
colegas integran problemas orientados a la computacin con otros
cursos en todos los niveles del currculo. As, esta nueva edicin an
se basa en la premisa fundamental de que debe darse a los
estudiantes de ingeniera una introduccin profunda y temprana a los
mtodos numricos. En consecuencia, aunque la nueva edicin expande
sus alcan- ces, tratamos de mantener muchas de las caractersticas
que hicieron accesible la prime- ra edicin tanto para estudiantes
principiantes como avanzados. stas incluyen las siguientes:
Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniera aprenden mejor
cuando estn motivados por la solucin de problemas, lo cual es
especialmente cierto en el caso de las matemticas y de la
computacin. Por tal razn, presentamos los mto- dos numricos desde
la perspectiva de la solucin de problemas. Pedagoga orientada al
estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograr que el
libro sea tan accesible para el estudiante como sea posible. stos
comprenden la organizacin general, el uso de introducciones y
eplogos para consolidar los temas principales, as como un amplio
uso de ejemplos desarrollados y estudios de casos de las reas
principales de la ingeniera. Hemos puesto especial cuidado en que
nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientacin
prctica. Mtodo de la caja clara. Aunque hacemos especial nfasis en
la solucin de problemas, creemos que sera autolimitante para el
ingeniero abordar los algoritmos numricos como una caja negra. Por
lo tanto, hemos presentado suficiente teora para permitir al
usuario comprender los conceptos bsicos que estn detrs de los
mtodos. En especial hacemos hincapi en la teora relacionada con el
anlisis del error, las limitaciones de los mtodos y las
alternativas entre mtodos. Orientado al uso de computadoras
personales. La primera vez que escribimos este libro haba un gran
abismo entre el mundo de las grandes computadoras de antao y el
mundo interactivo de las PC. Hoy, conforme el desarrollo de las
compu- tadoras personales ha aumentado, las diferencias han
desaparecido. Es decir, este libro enfatiza la visualizacin y los
clculos interactivos, que son el rasgo distintivo de las
computadoras personales.
15. PREFACIO xvii Capacitacin al estudiante. Por supuesto que
presentamos al estudiante las capa- cidades para resolver problemas
con paquetes como Excel y MATLAB. Sin embar- go, tambin se les
ensea a los estudiantes cmo desarrollar programas sencillos y bien
estructurados para aumentar sus capacidades bsicas en dichos
ambientes. Este conocimiento le permite programar en lenguajes como
Fortran 90, C y C++. Creemos que el avance de la programacin en
computadora representa el currculum oculto de la ingeniera. Debido
a las restricciones, muchos ingenieros no se conforman con las
herramientas limitadas y tienen que escribir sus propios cdigos.
Actualmente se utilizan macros o archivos M. Este libro est diseado
para implementar lo anterior. Adems de estos cinco principios, la
mejora ms significativa en la quinta edicin es una revisin profunda
y una expansin de las series de problemas al final de cada captulo.
La mayor parte de ellos han sido modificados de manera que permitan
distin- tas soluciones numricas a los de ediciones anteriores.
Adems, se ha incluido una va- riedad de problemas nuevos. Al igual
que en las ediciones previas, se incluyen problemas tanto
matemticos como aplicados a todas las ramas de la ingeniera. En
todos los casos, nuestro intento es brindarles a los estudiantes
ejercicios que les permitan revisar su comprensin e ilustrar de qu
manera los mtodos numricos pueden ayudarlos para una mejor
resolucin de los problemas. Como siempre, nuestro objetivo
principal es proporcionarle al estudiante una intro- duccin slida a
los mtodos numricos. Consideramos que aquellos que estn motivados y
que puedan disfrutar los mtodos numricos, la computacin y las
matemticas, al final se convertirn en mejores ingenieros. Si
nuestro libro fomenta un entusiasmo ge- nuino por estas materias,
entonces consideraremos que nuestro esfuerzo habr tenido xito.
Agradecimientos. Queremos agradecer a nuestros amigos de
McGraw-Hill. En particu- lar a Amanda Green, Suzanne Jeans y Peggy
Selle, quienes brindaron una atmsfera positiva y de apoyo para la
creacin de esta edicin. Como siempre, Beatrice Sussman realiz un
trabajo magistral en la edicin y copiado del manuscrito, y Michael
Ryder hizo contribuciones superiores durante la produccin del
libro. Agradecemos en especial a los profesores Wally Grant, Olga
Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee y Kevin Mace (Virginia
Tech), y a la profesora Theresa Good (Texas A&M), quien a lo
largo de los aos ha aportado problemas para nuestro libro. Al igual
que en ediciones anteriores, David Clough (University of Colorado)
y Jerry Stedinger (Cornell University) compar- tieron con
generosidad sus puntos de vista y sugerencias. Otras sugerencias
tiles tambin provinieron de Bill Philpot (Cornell University), Jim
Guilkey (University of Utah), Dong-Il Seo (Chungnam National
University, Corea), y Raymundo Cordero y Karim Muci (ITESM, Mxico).
La edicin actual tambin se benefici de las revisiones y su-
gerencias que hicieron los colegas siguientes: Ella M. Atkins,
University of Maryland Betty Barr, University of Houston Florin
Bobaru, University of Nebraska-Lincoln Ken W. Bosworth, Idaho State
University Anthony Cahill, Texas A&M University Raymond C. Y.
Chin, Indiana University-Purdue, Indianapolis
16. xviii PREFACIO Jason Clark, University of California,
Berkeley John Collings, University of North Dakota Ayodeji Demuren,
Old Dominion University Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia
Institute of Technology Subhadeep Gan, University of Cincinnati
Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State
University Gregory L. Griffin, Louisiana State University Walter
Haisler, Texas A&M University Don Hardcastle, Baylor University
Scott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State
University David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology
Tribikram Kundu, University of Arizona Hysuk Lee, Clemson
University Jichun Li, University of Nevada, Las Vegas Jeffrey S.
Marshall, University of Iowa George Novacky, University of
Pittsburgh Dmitry Pelinovsky, McMaster University Siva
Parameswaran, Texas Technical University Greg P. Semeraro,
Rochester Institute of Technology Jerry Sergent, Faifield
University Dipendra K. Sinha, San Francisco State University Scott
A. Socolofsky, Texas A&M University Robert E. Spall, Utah State
University John C. Strikwerda, University of Wisconsin-Madison
Karsten E. Thompson, Louisiana State University Kumar Vemaganti,
University of Cincinnati Peter Wolfe, University of Maryland Yale
Yurttas, Texas A&M University Nader Zamani, University of
Windsor Viktoria Zoltay, Tufts University Debemos hacer nfasis en
que si bien recibimos consejos tiles de las personas mencionadas,
somos responsables de cualesquiera inexactitudes o errores que se
encuen- tren en esta edicin. Por favor, haga contacto con Steven
Chapra por correo electrnico en caso de que detecte algn error en
esta edicin. Por ltimo, queremos agradecer a nuestras familias,
amigos y estudiantes por su paciencia y apoyo constantes. En
particular, a Cynthia Chapra y Claire Canale, quienes siempre estn
presentes brindando comprensin, puntos de vista y amor. STEVEN C.
CHAPRA Medford, Massachusetts [email protected] RAYMOND P.
CANALE Lake Leelanau, Michigan
17. PREFACIO xix Agradecemos en especial la valiosa contribucin
de los siguientes asesores tcnicos para la presente edicin en
espaol: Abel Valdez Ramrez, ESIQIE, Instituto Politcnico Nacional,
Zacatenco Alejandra Gonzlez, ITESM, campus Monterrey Fernando Vera
Badillo, Universidad La Salle, campus Ciudad de Mxico Jaime Salazar
Tamez, ITESM, campus Toluca Jess Estrada Madueo, Instituto
Tecnolgico de Culiacn Jess Ramn Villarreal Madrid, Instituto
Tecnolgico de Culiacn Jos Juan Surez Lpez, ESIME, Instituto
Politcnico Nacional, Culhuacn Leonel Magaa Mendoza, Instituto
Tecnolgico de Morelia Mara de los ngeles Contreras Flores,
Universidad Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca Mario Medina
Valdez, Universidad Autnoma Metropolitana - Iztapalapa Olga Lpez,
ITESM, campus Estado de Mxico Reynaldo Gmez, Universidad de
Guadalajara
18. xx CONTENIDO VISITA GUIADA Para ofrecer un panorama de los
mtodos numricos, hemos organizado el texto en partes, y presentamos
informacin unificadora a travs de elementos de Motivacin,
Antecedentes Matemticos, Orienta- cin y Eplogo. Cada captulo
contiene problemas de tarea nuevos y revisados. El ochenta por
ciento de los problemas son nuevos o se han modifi- cado. El texto
incluye problemas de desafo de todas las disciplinas de la
ingeniera. Hay secciones del texto, as como problemas de tarea,
dedicadas a implantar mtodos numricos con el software de Microsoft
Excel y con el de The MathWorks, Inc. MATLAB. xx PT3.1 Motivacin
PT3.2 Antecedentes matemticos PT3.3 Orientacin 9.1 Sistemas pequeos
9.2 Eliminacin de Gauss simplePARTE 3 Ecuaciones algebraicas
lineales PT3.6 Mtodos avanzados EPLOGO CAPTULO 9 Eliminacin de
Gauss PT3.5 Frmulas importantes PT3.4 Alternativas 12.4 Ingeniera
mecnica 12.3 Ingeniera elctrica 12.2 Ingeniera civil 12.1 Ingeniera
qumica 11.3 Bibliotecas y paquetes 11.2 Gauss-Seidel 11.1 Matrices
especiales CAPTULO 10 Descomposicin LU e inversin de matrices
CAPTULO 11 Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel CAPTULO
12 Estudio de casos 10.3 Anlisis del error y condicin del sistema
10.2 La matriz inversa 10.1 Descomposicin LU 9.7 Gauss-Jordan 9.6
Sistemas no lineales 9.5 Sistemas complejos 9.4 Soluciones 9.3
Dificultades PROBLEMAS 339 Ingeniera Qumica/Bioingeniera 12.1 Lleve
a cabo el mismo clculo que en la seccin 12.1, pero cambie c01 a 40
y c03 a 10. Tambin cambie los flujos siguientes: Q01 = 6, Q12 = 4,
Q24 = 2 y Q44 = 12. 12.2 Si la entrada al reactor 3 de la seccin
12.1, disminuye 25 por ciento, utilice la matriz inversa para
calcular el cambio por- centual en la concentracin de los reactores
1 y 4. 12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura
12.3 est en estado estacionario (estable), qu se puede afirmar
respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55? 12.4 Vuelva a
calcular las concentraciones para los cinco reac- tores que se
muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian como sigue: Q01 =
5 Q31 = 3 Q25 = 2 Q23 = 2 Q15 = 4 Q55 = 3 Q54 = 3 Q34 = 7 Q12 = 4
Q03 = 8 Q24 = 0 Q44 = 10 12.5 Resuelva el mismo sistema que se
especifica en el proble- ma 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 =
Q34 = 3. Suponga que las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44,
Q55) son las mismas. Use la conservacin del flujo para volver a
calcular los valores de los dems flujos. 12.6 En la figura P12.6 se
muestran tres reactores conectados por tubos. Como se indica, la
tasa de transferencia de produc- tos qumicos a travs de cada tubo
es igual a la tasa de flujo (Q, en unidades de metros cbicos por
segundo) multiplicada por la concentracin del reactor desde el que
se origina el flujo (c, en unidades de miligramos por metro cbico).
Si el sistema se PROBLEMAS 12.7 Con el empleo del mismo enfoque que
en la seccin 12.1, determine la concentracin de cloruro en cada uno
de los Gran- des Lagos con el uso de la informacin que se muestra
en la fi- gura P12.7. 12.8 La parte baja del ro Colorado consiste
en una serie de cuatro almacenamientos como se ilustra en la figura
P12.8. Puede escribirse los balances de masa para cada uno de
ellos, lo que da por resultado el conjunto siguiente de ecuaciones
alge- braicas lineales simultneas: 13 42 0 0 0 13 422 12 252 0 0 0
12 252 12 377 0 0 0 12 . . . . . .. .377 11 797 1 2 3 4 c c c c =
750 5 300 102 30 . donde el vector del lado derecho consiste en las
cargas de cloru- ro hacia cada uno de los cuatro lagos y c1, c2, c3
y c4 = las con- centraciones de cloruro resultantes en los lagos
Powell, Mead, Mohave y Havasu, respectivamente. a) Use la matriz
inversa para resolver cules son las concen- traciones en cada uno
de los cuatro lagos. b) En cunto debe reducirse la carga del lago
Powell para que la concentracin de cloruro en el lago Havasu sea de
75? c) Con el uso de la norma columna-suma, calcule el nmero de
condicin y diga cuntos dgitos sospechosos se generaran al resolver
este sistema. Se debe observar que Solver puede fallar. Su xito
depende de 1. la condicin del sistema de ecuaciones y/o 2. la
calidad de los valores iniciales. El resultado satisfactorio del
ejemplo anterior no est garantizado. A pesar de esto, se puede
encontrar a Solver bastante til para hacer de l una buena opcin en
la obtencin rpida de races para un amplio rango de aplicaciones a
la ingeniera. 7.7.2 MATLAB MATLAB es capaz de localizar races en
ecuaciones algebraicas y trascendentes, como se muestra en la tabla
7.1. Siendo excelente para la manipulacin y localizacin de races en
los polinomios. La funcin fzero est diseada para localizar la raz
de una funcin. Una represen- tacin simplificada de su sintaxis es
fzero(f,X0,opciones) donde f es la tensin que se va a analizar, x0
es el valor inicial y opciones son los par- metros de optimizacin
(stos pueden cambiarse al usar la funcin optimset). Si no se anotan
las opciones se emplean los valores por omisin. Observe que se
pueden emplear uno o dos valores iniciales, asumiendo que la raz
est dentro del intervalo. El siguiente ejemplo ilustra cmo se usa
la funcin fzero. EJEMPLO 7.6 Uso de MATLAB para localizar races
Planteamiento del problema. Utilice la funcin fzero de MATLAB para
encontrar las races de f (x) = x10 1 7.7 LOCALIZACIN DE RACES CON
BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE 191
19. xxi El texto presenta numerosos ejemplos resueltos que dan
a los estudiantes ilustraciones paso a paso acerca de cmo implantar
los mtodos numricos. Existen 28 estudios de caso de la ingeniera
para ayudar a los estudiantes a relacionar los mtodos numricos con
los campos principa- les de la ingeniera. MATERIALES DE APOYO Esta
obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los
procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los
mismos, los cuales se otor- gan a profesores que adoptan este texto
para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de
entrega de estos materiales, contacte a su representante
McGraw-Hill. EJEMPLO 11.1 Solucin tridiagonal con el algoritmo de
Thomas Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema
tridiagonal con el algo- ritmo de Thomas. 2 04 1 1 2 04 1 1 2 04 1
1 2 04 40 8 0 8 0 8 200 8 1 2 3 4 . . . . . . . . = T T T T
Solucin. Primero, la descomposicin se realiza as: e2 = 1/2.04 =
0.49 f2 = 2.04 (0.49)(1) = 1.550 e3 = 1/1.550 = 0.645 f3 = 2.04
(0.645)(1) = 1.395 e4 = 1/1.395 = 0.717 f4 = 2.04 (0.717)(1) =
1.323 As, la matriz se transforma en 2 04 0 49 1 1 550 0 645 1 1
395 0717 1 1 323 . . . . . . 11.1 MATRICES ESPECIALES 307 CAPTULO
32 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales El propsito
de este captulo es aplicar los mtodos de la parte ocho a problemas
prcticos de ingeniera. En la seccin 32.1 se utiliza una EDP
parablica para calcular la distribu- cin de una sustancia qumica,
dependiente del tiempo a lo largo del eje longitudinal de un
reactor rectangular. Este ejemplo ilustra cmo la inestabilidad de
una solucin puede deberse a la naturaleza de la EDP, ms que a las
propiedades del mtodo numrico. Las secciones 32.2 y 32.3 presentan
aplicaciones de las ecuaciones de Poisson y Laplace a problemas de
ingeniera civil y elctrica. Entre otras cuestiones, esto le per-
mitir distinguir tanto las similitudes como las diferencias entre
los problemas en esas reas de la ingeniera. Adems, se pueden
comparar con el problema de la placa calen- tada que ha servido
como sistema prototipo en esta parte del libro. La seccin 32.2
trata de la deflexin de una placa cuadrada; mientras que la seccin
32.3 se dedica al clculo de la distribucin del voltaje y el flujo
de carga en una superficie bidimensio- nal con un extremo curvado.
La seccin 32.4 presenta un anlisis del elemento finito aplicado a
una serie de resor- tes. Este problema de mecnica y estructuras
ilustra mejor las aplicaciones del elemento finito, que al problema
de temperatura usado para analizar el mtodo en el captulo 31. 32.1
BALANCE DE MASA UNIDIMENSIONAL DE UN REACTOR (INGENIERA
QUMICA/BIOINGENIERA) Antecedentes. Los ingenieros qumicos utilizan
mucho los reactores idealizados en su trabajo de diseo. En las
secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores simples o
acoplados bien mezclados, los cuales constituyen ejemplos de
sistemas de parmetros localizados (recuerde la seccin PT3.1.2).
FIGURA 32.1 Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida
Un balance
20. ACERCA DE LOS AUTORES Steve Chapra es profesor en el
Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental de la Universidad de
Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface
Water-Quality Modeling e Introduction to Computing for Engineers.
El Dr. Chapra obtuvo el grado de Ingeniero por las universidades de
Manhattan y de Michigan. Antes de incorporarse a la facultad de
Tufts trabaj para la Agencia de Proteccin Ambiental y la
Administracin Nacional del Ocano y la Atmsfera, fue profesor
asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En
general, sus investigaciones estn relacionadas con la modelacin de
la calidad del agua superficial y la aplicacin de computacin
avanzada en la ingeniera ambiental. Tambin ha recibido gran
cantidad de reconocimientos por sus destacadas contri- buciones
acadmicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y el
premio al autor distinguido Meriam-Wiley (1987), por parte de la
Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera. Se ha reconocido
como profesor emrito en las facul- tades de ingeniera de las
universidades de Texas A&M (premio Tenneco, 1986) y de Colorado
(premio Hitchinson, 1992). Raymond P. Canale es profesor emrito de
la Universidad de Michigan. En sus ms de 20 aos de carrera en la
universidad ha impartido numerosos cursos en la reas de computacin,
mtodos numricos e ingeniera ambiental. Tambin ha dirigido extensos
programas de investigacin en el rea de modelacin matemtica y por
computadora de ecosistemas acuticos. Es autor y coautor de varios
libros, ha publicado ms de 100 artculos e informes cientficos.
Tambin ha diseado y desarrollado software para computadoras
personales, con la finalidad de facilitar la educacin en ingeniera
y la solucin de problemas en ingeniera. Ha recibido el premio al
autor distinguido Meriam- Wiley de la Sociedad Americana para la
Educacin en Ingeniera por sus libros y el software desarrollado, as
como otros reconocimientos por sus publicaciones tcnicas.
Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de
aplicacin, tra- bajando como consultor y perito en empresas de
ingeniera, en la industria e institucio- nes gubernamentales.
21. Mtodos numricos para ingenieros
22. PARTE UNOPARTE UNO
23. MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR PT1.1 MOTIVACIN
Los mtodos numricos constituyen tcnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemticos, de tal forma que puedan
resolverse utilizando operaciones aritmticas. Aunque existen muchos
tipos de mtodos numricos, stos comparten una caracterstica comn:
invariablemente requieren de un buen nmero de tediosos clculos
aritmticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras
digitales eficientes y rpi- das, el papel de los mtodos numricos en
la solucin de problemas en ingeniera haya aumentado de forma
considerable en los ltimos aos. PT1.1.1 Mtodos sin computadora
Adems de proporcionar un aumento en la potencia de clculo, la
disponibilidad cre- ciente de las computadoras (en especial de las
personales) y su asociacin con los m- todos numricos han influido
de manera muy significativa en el proceso de la solucin actual de
los problemas en ingeniera. Antes de la era de la computadora los
ingenieros slo contaban con tres mtodos para la solucin de
problemas: 1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas
usando mtodos exactos o analticos. Dichas soluciones resultaban
tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento
de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analticas slo
pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. stos in-
cluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y
tambin aquellos que tienen una geometra simple y de baja dimensin.
En consecuencia, las soluciones analticas tienen un valor prctico
limitado porque la mayora de los problemas reales son no lineales,
e implican formas y procesos complejos. 2. Para analizar el
comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas, las
cuales tomaban la forma de grficas o nomogramas; aunque las tcnicas
grficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los
resultados no son muy precisos. Adems, las soluciones grficas (sin
la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difciles de
implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a los
problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos.
3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras
y reglas de clculo. Aunque en teora dichas aproximaciones deberan
ser perfectamente ade- cuadas para resolver problemas complicados,
en la prctica se presentan varias di- ficultades debido a que los
clculos manuales son lentos y tediosos. Adems, los resultados no
son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectan
los numerosos clculos de esta manera. Antes del uso de la
computadora se gastaba bastante energa en la tcnica misma de
solucin, en lugar de usarla en la definicin del problema y su
interpretacin (figu- ra PT1.1a). Esta situacin desafortunada se
deba al tiempo y trabajo montono que se requera para obtener
resultados numricos con tcnicas que no utilizaban la compu-
tadora.
24. En la actualidad, las computadoras y los mtodos numricos
ofrecen una alternati- va para los clculos complicados. Al usar la
potencia de la computadora se obtienen soluciones directamente, de
esta manera se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir
a consideraciones de simplificacin o a tcnicas muy lentas. Aunque
las solu- ciones analticas an son muy valiosas, tanto para resolver
problemas como para brindar una mayor comprensin, los mtodos
numricos representan opciones que aumentan, en forma considerable,
la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resulta-
do, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades
creativas personales. En consecuencia, es posible dar ms
importancia a la formulacin de un problema y a la interpretacin de
la solucin, as como a su incorporacin al sistema total, o
conciencia holstica (figura PT1.1b). PT1.1.2 Los mtodos numricos y
la prctica en ingeniera Desde finales de la dcada de los cuarenta,
la amplia disponibilidad de las computado- ras digitales han
llevado a una verdadera explosin en el uso y desarrollo de los
mtodos numricos. Al principio, este crecimiento estaba limitado por
el costo de procesamien- to de las grandes computadoras
(mainframes), por lo que muchos ingenieros seguan usando simples
procedimientos analticos en una buena parte de su trabajo. Vale la
pena INTERPRETACIN La facilidad de calcular permite pensar
holsticamente y desarrollar la intuicin; es factible estudiar la
sensibilidad y el comportamiento del sistema FORMULACIN Exposicin
profunda de la relacin del problema con las leyes fundamentales
SOLUCIN Mtodo de la computadora fcil de usar b) INTERPRETACIN
Anlisis profundo limitado por una solucin que consume tiempo
FORMULACIN Leyes fundamentales explicadas brevemente SOLUCIN Mtodos
muy elaborados y con frecuencia complicados para hacer manejable el
problema a) FIGURA PT1.1 Las tres fases en la solucin deproblemas
en ingeniera en a) la era anterior a las computadoras y b) la era
de las computadoras. Los tamaos de los recuadros indican el nivel
de importancia que se presenta en cada fase. Las computadoras
facilitan la implementacin de tcnicas de solucin y, as, permiten un
mayor inters sobre los aspectos creativos en la formulacin de
problemas y la interpretacin de los resultados. 4 MODELOS,
COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR
25. mencionar que la reciente evolucin de computadoras
personales de bajo costo ha per- mitido el acceso, de mucha gente,
a las poderosas capacidades de cmputo. Adems, existen diversas
razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos: 1.
Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para la solucin
de pro- blemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones
grandes, manejar no li- nealidades y resolver geometras
complicadas, comunes en la prctica de la ingeniera y, a menudo,
imposibles de resolver en forma analtica. Por lo tanto, aumentan la
habilidad de quien los estudia para resolver problemas. 2. En el
transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la
oportunidad de uti- lizar paquetes disponibles comercialmente, o
programas enlatados que contengan mtodos numricos. El uso eficiente
de estos programas depende del buen entendi- miento de la teora
bsica en que se basan tales mtodos. 3. Hay muchos problemas que no
pueden resolverse con programas enlatados. Si usted es conocedor de
los mtodos numricos y es hbil en la programacin de computadoras,
entonces tiene la capacidad de disear sus propios programas para
resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso.
4. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a
servirse de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva
de aprender programacin consiste en escribir programas para
computadora. Debido a que la mayora de los mtodos numricos estn
diseados para usarlos en las computadoras, son ideales para tal
propsito.Adems, son especialmente adecuados para ilustrar el poder
y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en
forma satisfactoria los mtodos numricos en computadora y los
aplique para resolver los problemas que de otra manera resultaran
inaccesibles, usted dispondr de una excelente de- mostracin de cmo
las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo
tiempo, aprender a reconocer y controlar los errores de aproximacin
que son inseparables de los clculos numricos a gran escala. 5. Los
mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las
matem- ticas, ya que una de sus funciones es convertir las
matemticas superiores en ope- raciones aritmticas bsicas, de esta
manera se puede profundizar en los temas que de otro modo
resultaran oscuros. Esta perspectiva dar como resultado un aumento
de su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia. PT1.2
ANTECEDENTES MATEMTICOS Cada parte de este libro requiere de
algunos conocimientos matemticos, por lo que el material
introductorio de cada parte comprende una seccin que incluye los
fundamen- tos matemticos. Como la parte uno, que est dedicada a
aspectos bsicos sobre las matemticas y la computacin, en esta
seccin no se revisar ningn tema matemtico especfico. En vez de ello
se presentan los temas del contenido matemtico que se cubren en
este libro. stos se resumen en la figura PT1.2 y son: 1. Races de
ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el
valor de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin no
lineal. Son espe- cialmente valiosos en proyectos de ingeniera,
donde con frecuencia resulta impo- sible despejar de manera
analtica los parmetros de las ecuaciones de diseo. PT1.2
ANTECEDENTES MATEMTICOS 5
26. 2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura
PT1.2b). En esencia, se trata de problemas similares a los de races
de ecuaciones, en el sentido de que estn rela- cionados con valores
que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una
sola ecuacin, se busca un conjunto de valores que satisfaga
simultneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, las
cuales surgen en el contexto de f(x) x Raz x2 x1 Solucin Mnimo f(x)
x Interpolacin f(x) x f(x) x Regresin f(x) I a) Parte 2: Races de
ecuaciones Resuelva f(x) = 0 para x. c) Parte 4: Optimizacin b)
Parte 3: Sistema de ecuaciones algebraicas lineales Dadas las as y
las cs, resolver a11x1 + a12x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2 para las xs.
Determine la x que da el ptimo de f(x). e) Parte 6: Integracin I =
a b f(x) dx Encuentre el rea bajo la curva. d) Parte 5: Ajuste de
curvas x FIGURA PT1.2 Resumen de los mtodos numricos que se
consideran en este libro. 6 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL
ERROR
27. una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas
de la ingeniera. En par- ticular, se originan a partir de modelos
matemticos de grandes sistemas de elemen- tos interrelacionados,
tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo; aunque
tambin se llegan a encontrar en otras reas de los mtodos numricos
como el ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales. 3.
Optimizacin (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de
determinar el valor o los valores de una variable independiente que
corresponden al mejor o al valor ptimo de una funcin. De manera
que, como se observa en la figura PT1.2c, la optimizacin considera
la identificacin de mximos y mnimos. Tales problemas se presentan
comnmente en el contexto del diseo en ingeniera. Tambin surgen en
otros mtodos numricos. Nosotros nos ocuparemos de la optimizacin
tanto para una sola variable sin restricciones como para varias
variables sin restricciones. Tambin describiremos la optimizacin
restringida dando especial nfasis a la pro- gramacin lineal. 4.
Ajuste de curvas (figura PT1.2d). A menudo se tendr que ajustar
curvas a un con- junto de datos representados por puntos. Las
tcnicas desarrolladas para tal prop- sito se dividen en dos
categoras generales: regresin e interpolacin. La primera se emplea
cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos;
con fre- cuencia los datos experimentales son de este tipo. Para
estas situaciones, la estrate- gia es encontrar una curva que
represente la tendencia general de los datos, sin necesidad de
tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolacin se
utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre
datos que estn, relati- vamente, libres de error. Tal es el caso de
la informacin tabulada. En dichas situa- ciones, la estrategia
consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos
obtenidos como datos y usar la curva para predecir valores
intermedios. 5. Integracin (figura PT1.2e). Como hemos representado
grficamente, la interpreta- cin de la integracin numrica es la
determinacin del rea bajo la curva. La inte- y x g) Parte 8:
Ecuaciones diferenciales parciales Dada determine u como funcin de
x y y = f(x, y) 2 u x2 2 u y2 + t Pendiente = f(ti, yi) y t ti ti +
1 f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales ordinarias Dada resolver
para y como funcin de t. yi + 1 = yi + f(ti , yi ) t = f(t, y) dy
dt y t FIGURA PT1.2 (Conclusin) PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS
7
28. gracin tiene diversas aplicaciones en la prctica de la
ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de
objetos con formas extraas, hasta el clculo de cantidades totales
basadas en conjuntos de medidas discretas. Adems, las frmulas de
integracin numrica desempean un papel importante en la solucin de
ecua- ciones diferenciales. 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
(figura PT1.2f). stas tienen una enorme im- portancia en la prctica
de la ingeniera, lo cual se debe a que muchas leyes fsicas estn
expresadas en trminos de la razn de cambio de una cantidad, ms que
en trminos de la cantidad misma. Entre los ejemplos tenemos desde
los modelos de prediccin demogrfica (razn de cambio de la
poblacin), hasta la aceleracin de un cuerpo que cae (razn de cambio
de la velocidad). Se tratan dos tipos de pro- blemas: problemas con
valor inicial y problemas con valores en la frontera.Adems veremos
el clculo de valores propios. 7. Ecuaciones diferenciales parciales
(figura PT1.2g). Las ecuaciones diferenciales parciales sirven para
caracterizar sistemas de ingeniera, en los que el comporta- miento
de una cantidad fsica se expresa en trminos de su razn de cambio
con respecto a dos o ms variables independientes. Entre los
ejemplos tenemos la dis- tribucin de temperatura en estado
estacionario sobre una placa caliente (espacio bidimensional) o la
temperatura variable con el tiempo de una barra caliente (tiem- po
y una dimensin espacial). Para resolver numricamente las ecuaciones
diferen- ciales parciales se emplean dos mtodos bastante
diferentes. En el presente texto haremos nfasis en los mtodos de
las diferencias finitas que aproximan la solucin usando puntos
discretos (figura PT1.2g). No obstante, tambin presentaremos una
introduccin a los mtodos de elementos finitos, los cuales usan una
aproximacin con piezas discretas. PT1.3 ORIENTACIN Resulta til esta
orientacin antes de proceder a la introduccin de los mtodos num-
ricos. Lo que sigue est pensado como una vista general del material
contenido en la parte uno. Se incluyen, adems, algunos objetivos
como ayuda para concentrar el esfuer- zo del lector en el estudio
de los temas. PT1.3.1 Alcance y presentacin preliminar La figura
PT1.3 es una representacin esquemtica del material contenido en la
parte uno. Este diagrama se elabor para ofrecer un panorama global
de esta parte del libro. Se considera que un sentido de imagen
global resulta importante para desarrollar una verdadera comprensin
de los mtodos numricos. Al leer un texto es posible que se pierda
uno en los detalles tcnicos. Siempre que el lector perciba que est
perdiendo la imagen global vuelva a la figura PT1.3 para orientarse
nuevamente. Cada parte de este libro contiene una figura similar.
La figura PT1.3 tambin sirve como una breve revisin inicial del
material que se cubre en la parte uno. El captulo 1 est diseado
para orientarle en los mtodos num- ricos y para motivarlo
mostrndole cmo se utilizan dichas tcnicas, en el proceso de
elaborar modelos matemticos aplicados a la ingeniera. El captulo 2
es una introduccin 8 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR
29. y un repaso de los aspectos de computacin que estn
relacionados con los mtodos numricos y presenta las habilidades de
programacin que se deben adquirir para ex- plotar de manera
eficiente la siguiente informacin. Los captulos 3 y 4 se ocupan del
importante tema del anlisis del error, que debe entenderse bien
para el uso efectivo de los mtodos numricos. Adems, se incluye un
eplogo que presenta los elementos de juicio que tienen una gran
importancia para el uso efectivo de los mtodos numricos. CAPTULO 1
Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera PARTE 1
Modelos, computadoras y anlisis del error CAPTULO 2 Programacin y
software CAPTULO 3 Aproximaciones y errores de redondeo CAPTULO 4
Errores de truncamiento y la serie de Taylor EPLOGO 2.6 Otros
lenguajes y bibliotecas 2.5 MATLAB 2.4 Excel 2.3 Programacin
modular 2.2 Programacin estructurada 2.1 Paquetes y programacin
PT1.2 Antecedentes matemticos PT1.6 Mtodos avanzados PT1.5 Frmulas
importantes 4.4 Varios tipos de error 4.3 Error numrico total 4.2
Propagacin del error 4.1 La serie de Taylor 3.4 Errores de redondeo
3.1 Cifras significativas 3.3 Definiciones de error 3.2 Exactitud y
precisin PT1.4 Alternativas PT1.3 Orientacin PT1.1 Motivacin 1.2
Leyes de conservacin 1.1 Un modelo simple FIGURA PT1.3 Esquema de
la organizacin del material en la parte uno: Modelos, computadoras
y anlisis del error. PT1.3 ORIENTACIN 9
30. PT1.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Al terminar
la parte uno el lector deber estar preparado para aventurarse en
los mtodos numricos. En general, habr adquirido una comprensin
fundamental de la importancia de las computadoras y del papel que
desempean las aproximaciones y los errores en el uso y desarrollo
de los mtodos numricos. Adems de estas metas generales, deber
dominar cada uno de los objetivos de estudio especficos que se
muestran en la tabla PT1.1. Objetivos de cmputo. Al terminar de
estudiar la parte uno, usted deber tener su- ficientes habilidades
en computacin para desarrollar su propio software para los mto- dos
numricos de este texto. Tambin ser capaz de desarrollar programas
de computadora bien estructurados y confiables basndose en
seudocdigos, diagramas de flujo u otras formas de algoritmo. Usted
deber desarrollar la capacidad de documen- tar sus programas de
manera que sean utilizados en forma eficiente por otros usuarios.
Por ltimo, adems de sus propios programas, usted deber usar
paquetes de software junto con este libro. Paquetes como MATLAB y
Excel son los ejemplos de dicho soft- ware. Usted deber estar
familiarizado con ellos, ya que ser ms cmodo utilizarlos para
resolver despus los problemas numricos de este texto. TABLA PT1.1
Objetivos especcos de estudio de la parte uno. 1. Reconocer la
diferencia entre soluciones analticas y numricas. 2. Entender cmo
las leyes de la conservacin se emplean para desarrollar modelos
matemticos de sistemas fsicos. 3. Denir diseo modular y top-down.
4. Denir las reglas para la programacin estructurada. 5. Ser capaz
de elaborar programas estructurados y modulares en un lenguaje de
alto nivel. 6. Saber cmo se traducen los diagramas de ujo
estructurado y el seudocdigo al cdigo en un lenguaje de alto nivel.
7. Empezar a familiarizarse con cualquier software que usar junto
con este texto. 8. Reconocer la diferencia entre error de
truncamiento y error de redondeo. 9. Comprender los conceptos de
cifras signicativas, exactitud y precisin. 10. Conocer la
diferencia entre error relativo verdadero ev, error relativo
aproximado ea y error aceptable es y entender cmo ea y es sirven
para terminar un clculo iterativo. 11. Entender cmo se representan
los nmeros en las computadoras y cmo tal representacin induce
errores de redondeo. En particular, conocer la diferencia entre
precisin simple y extendida. 12. Reconocer cmo la aritmtica de la
computadora llega a presentar y amplicar el error de redondeo en
los clculos. En particular, apreciar el problema de la cancelacin
por sustraccin. 13. Saber cmo la serie de Taylor y su residuo se
emplean para representar funciones continuas. 14. Conocer la
relacin entre diferencias nitas divididas y derivadas. 15. Ser
capaz de analizar cmo los errores se propagan a travs de las
relaciones funcionales. 16. Estar familiarizado con los conceptos
de estabilidad y condicin. 17. Familiarizarse con las
consideraciones que se describen en el eplogo de la parte uno. 10
MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR
31. CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en
ingeniera El conocimiento y la comprensin son prerrequisitos para
la aplicacin eficaz de cualquier herramienta. Si no sabemos cmo
funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas
para reparar un automvil, aunque la caja de herramientas sea de lo
ms completa. sta es una realidad, particularmente cuando se
utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniera. Aunque
las computadoras tienen una gran utilidad, son prc- ticamente
intiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de
ingeniera. Esta comprensin inicialmente es emprica es decir, se
adquiere por observacin y experimentacin. Sin embargo, aunque esta
informacin obtenida de manera emp- rica resulta esencial, slo
estamos a la mitad del camino. Durante muchos aos de ob- servacin y
experimentacin, los ingenieros y los cientficos han advertido que
ciertos aspectos de sus estudios empricos ocurren una y otra vez.
Este comportamiento general puede expresarse como las leyes
fundamentales que engloba, en esencia, el conocimien- to acumulado
de la experiencia pasada. As, muchos problemas de ingeniera se
resuel- ven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el
anlisis terico (figura 1.1). Debe destacarse que ambos estn
estrechamente relacionados. Conforme se obtie- nen nuevas
mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a
descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones
tienen una gran influencia en la experimentacin y en las
observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven para
organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados
de observaciones y experimentos en un sistema coherente y
comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la
perspectiva de la solucin de un problema de ingeniera, el sis- tema
es an ms til cuando el problema se expresa por medio de un modelo
matem- tico. El primer objetivo de este captulo consiste en
introducir al lector a la modelacin matemtica y su papel en la
solucin de problemas en ingeniera. Se mostrar tambin la forma en
que los mtodos numricos figuran en el proceso. 1.1 UN MODELO
MATEMTICO SIMPLE Un modelo matemtico se define, de manera general,
como una formulacin o una ecuacin que expresa las caractersticas
esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminos
matemticos. En general, el modelo se representa mediante una
relacin funcional de la forma: Variable variables funciones
dependiente = f independientes , parmetros, de fuerza (1.1)
32. 12 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
donde la variable dependiente es una caracterstica que generalmente
refleja el com- portamiento o estado de un sistema; las variables
independientes son, por lo comn, dimensiones tales como tiempo y
espacio, a travs de las cuales se determina el com- portamiento del
sistema; los parmetros son el reflejo de las propiedades o la
composi- cin del sistema; y las funciones de fuerza son influencias
externas que actan sobre el sistema. La expresin matemtica de la
ecuacin (1.1) va desde una simple relacin algebrai- ca hasta un
enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,
a travs de sus observaciones, Newton formul su segunda ley del
movimiento, la cual establece que la razn de cambio del momentum
con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza
resultante que acta sobre l. La expresin matemtica, o el modelo, de
la segunda ley es la ya conocida ecuacin F = ma (1.2) donde F es la
fuerza neta que acta sobre el objeto (N, o kg m/s2 ), m es la masa
del objeto (kg) y a es su aceleracin (m/s2 ). Instauracin
Resultados numricos o grficos Modelo matemtico Definicin del
problema TEORA DATOS Herramientas para resolver problemas:
computadoras, estadstica, mtodos numricos, grficas, etctera.
Relaciones grupales: programacin, optimizacin, comunicacin,
interaccin pblica, etctera. FIGURA 1.1 Proceso de solucin de
problemas en ingeniera.
33. La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuacin
(1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener a
F m = (1.3) donde a es la variable dependiente que refleja el
comportamiento del sistema, F es la funcin de fuerza y m es un
parmetro que representa una propiedad del sistema. Ob- serve que en
este caso especfico no existe variable independiente porque an no
se predice cmo vara la aceleracin con respecto al tiempo o al
espacio. La ecuacin (1.3) posee varias de las caractersticas tpicas
de los modelos matem- ticos del mundo fsico: 1. Describe un proceso
o sistema natural en trminos matemticos. 2. Representa una
idealizacin y una simplificacin de la realidad. Es decir, ignora
los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en
sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton
no incluye los efectos de la relati- vidad, que tienen una
importancia mnima cuando se aplican a objetos y fuerzas que
interactan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a
velocidades y en escalas visibles a los seres humanos. 3.
Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia,
llega a emplear- se con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada
la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuacin
(1.3) se emplea para calcular la aceleracin. Debido a su forma
algebraica sencilla, la solucin de la ecuacin (1.2) se obtiene con
facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemticos de
fenmenos fsicos sean mucho ms complejos y no se resuelvan con
exactitud, o que requieran para su solucin de tcnicas matemticas ms
sofisticadas que la simple lgebra. Para ilustrar un modelo ms
complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para
deter- minar la velocidad final de la cada libre de un cuerpo que
se encuentra cerca de la su- perficie de la Tierra. Nuestro cuerpo
en cada libre ser el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo
para este caso se obtiene expresando la aceleracin como la razn de
cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y
sustituyendo en la ecuacin (1.3). Se tiene d dt F m v = (1.4) donde
v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). As, la masa
multiplicada por la razn de cambio de la velocidad es igual a la
fuerza neta que acta sobre el cuerpo. Si la fuer- za neta es
positiva, el cuerpo se acelerar. Si es negativa, el cuerpo se
desacelerar. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del
cuerpo permanecer constante. Ahora expresemos la fuerza neta en
trminos de variables y parmetros mensurables. Para un cuerpo que
cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total
est compuesta por dos fuerzas contrarias: la atraccin hacia abajo
debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la
resistencia del aire FU. F = FD + FU (1.5) FIGURA 1.2 Representacin
esquemtica de las fuerzas que actan sobre un paracaidista en
descenso. FD es la fuerza hacia abajo debida a la atraccin de la
gravedad. FU es la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del
aire. FU FD 1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE 13
34. 14 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa
la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la
gravedad como FD = mg (1.6) donde g es la constante gravitacional,
o la aceleracin debida a la gravedad, que es aproximadamente igual
a 9.8 m/s2 . La resistencia del aire puede expresarse de varias
maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente
proporcional a la velocidad,1 y que acta en di- reccin hacia arriba
tal como FU = cv (1.7) donde c es una constante de proporcionalidad
llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). As, cuanto
mayor sea la velocidad de cada, mayor ser la fuerza hacia arriba
debida a la resistencia del aire. El parmetro c toma en cuenta las
propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza
de su superficie, que afectan la resis- tencia del aire. En este
caso, c podra ser funcin del tipo de traje o de la orientacin usada
por el paracaidista durante la cada libre. La fuerza total es la
diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia
arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se
obtiene d dt mg c m v v = (1.8) o simplificando el lado derecho de
la igualdad, d dt g c m v v= (1.9) La ecuacin (1.9) es un modelo
que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con las fuerzas
que actan sobre l. Se trata de una ecuacin diferencial porque est
escrita en trminos de la razn de cambio diferencial (dv/dt) de la
variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con
la solucin de la segunda ley de Newton en la ecuacin (1.3), la
solucin exacta de la ecuacin (1.9) para la velocidad del
paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples
manipulaciones algebraicas. Siendo ne- cesario emplear tcnicas ms
avanzadas, del clculo, para obtener una solucin exacta o analtica.
Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista est en reposo (v = 0
en t = 0), se utiliza el clculo integral para resolver la ecuacin
(1.9), as v( ) ( )( / ) t gm c e c m t = 1 (1.10) Note que la
ecuacin (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuacin
(1.1), don- de v(t) es la variable dependiente, t es la variable
independiente, c y m son parmetros, y g es la funcin de fuerza. 1
De hecho, la relacin es realmente no lineal y podra ser
representada mejor por una relacin con potencias como FU = cv2 . Al
nal de este captulo, investigaremos, en un ejercicio, de qu manera
inuyen estas no linealidades en el modelo.
35. EJEMPLO 1.1 1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE 15 Solucin
analtica del problema del paracaidista que cae Planteamiento del
problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo
aerosttico fijo. Aplique la ecuacin (1.10) para calcular la
velocidad antes de que se abra el paracadas. Considere que el
coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s. Solucin. Al
sustituir los valores de los parmetros en la ecuacin (1.10) se
obtiene v( ) . ( . ) . ( ) . ( )( . / . ) . t e et t = = 9 8 68 1
12 5 1 53 39 112 5 68 1 0 18355 que sirve para calcular la
velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se tiene
t, s v, m/s 0 0.00 2 16.40 4 27.77 6 35.64 8 41.10 10 44.87 12
47.49 53.39 De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera
rpidamente (figura 1.3). Se alcanza una velocidad de 44.87 m/s
(100.4 mi/h) despus de 10 s. Observe tambin que, despus de un
tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante
llamada velocidad terminal o velocidad lmite de 53.39 m/s (119.4
mi/h). Esta velocidad es constante por- que despus de un tiempo la
fuerza de gravedad estar en equilibrio con la resistencia del aire.
Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleracin. A la
ecuacin (1.10) se le llama solucin analtica o exacta ya que
satisface con exactitud la ecuacin diferencial original. Por
desgracia, hay muchos modelos matem- ticos que no pueden resolverse
con exactitud. En muchos de estos casos, la nica alter- nativa
consiste en desarrollar una solucin numrica que se aproxime a la
solucin exacta. Como ya se mencion, los mtodos numricos son
aquellos en los que se reformula el problema matemtico para lograr
resolverlo mediante operaciones aritmticas. Esto puede ilustrarse
para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razn
de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar
mediante (figu- ra 1.4): d dt t t t t t i i i i v v v v = + + ( ) (
) 1 1 (1.11) donde v y t son diferencias en la velocidad y en el
tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v(ti)
es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la
veloci-
36. 16 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
dad algn tiempo ms tarde ti + l. Observe que dv/dt v/t es
aproximado porque t es finito. Recordando los cursos de clculo
tenemos que d dt tt v v = lm 0 La ecuacin (1.11) representa el
proceso inverso. 0 0 20 40 4 8 12 t, s v,m/s Velocidad terminal
FIGURA 1.3 Solucin analtica al problema del paracaidista que cae
segn se calcula en el ejemplo 1.1. La velocidad aumenta con el
tiempo y tiende asintticamente a una velocidad terminal. FIGURA 1.4
Uso de una diferencia nita para aproximar la primera derivada de v
con respecto a t. v(ti +1) v(ti ) v Pendiente verdadera dv/dt
Pendiente aproximada v t v(ti +1) v(ti ) ti +1 ti = ti +1ti t
t
37. A la ecuacin (1.11) se le denomina una aproximacin en
diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti.
Sustituyendo en la ecuacin (1.9), tenemos v v v ( ) ( ) ( ) t t t t
g c m ti i i i i + + =1 1 Esta ecuacin se reordena para obtener v v
v( ) ( ) ( ) ( )t t g c m t t ti i i i i+ += + 1 1 (1.12) Note que
el trmino entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuacin
diferen- cial [ecuacin (1.9)]. Es decir, este trmino nos da un
medio para calcular la razn de cambio o la pendiente de v. As, la
ecuacin diferencial se ha transformado en una ecua- cin que puede
utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1,
usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un
valor inicial para la velocidad en algn tiempo ti, es posible
calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti+1.
Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la
velocidad en ti+2 y as sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,
valor nuevo = valor anterior + pendiente tamao del paso Observe que
esta aproximacin formalmente se conoce como mtodo de Euler. EJEMPLO
1.2 Solucin numrica al problema de la cada de un paracaidista
Planteamiento del problema. Realice el mismo clculo que en el
ejemplo 1.1, pero usando la ecuacin (1.12) para obtener la
velocidad. Emplee un tamao de paso de 2 s para el clculo. Solucin.
Al empezar con los clculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista
es igual a cero. Con esta informacin y los valores de los parmetros
del ejemplo 1.1, se utiliza la ecuacin (1.12) para calcular la
velocidad en ti+l = 2 s: v = + =0 9 8 12 5 68 1 0 2 19 60. . . ( )
. m/s Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s), se repite el
clculo y se obtiene v = + =19 60 9 8 12 5 68 1 19 60 2 32 00. . . .
( . ) . m/s Se contina con los clculos de manera similar para
obtener los valores siguientes: 1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE
17
38. 18 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
t, s v, m/s 0 0.00 2 19.60 4 32.00 6 39.85 8 44.82 10 47.97 12
49.96 53.39 Los resultados se muestran grficamente en la figura
1.5, junto con la solucin exacta. Como se puede ver, el mtodo
numrico se aproxima bastante a la solucin exac- ta. Sin embargo,
debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una
funcin que es una curva continua, hay algunas diferencias entre los
dos resultados. Una forma de reducir estas diferencias consiste en
usar un tamao de paso menor. Por ejem- plo, si se aplica la ecuacin
(1.12) con intervalos de 1 s, se obtendra un error menor, ya que
los segmentos de recta estaran un poco ms cerca de la verdadera
solucin. Con los clculos manuales, el esfuerzo asociado al usar
incrementos cada vez ms pequeos hara poco prcticas tales soluciones
numricas. No obstante, con la ayuda de una compu- tadora personal
es posible efectuar fcilmente un gran nmero de clculos; por lo
tanto, se puede modelar con ms exactitud la velocidad del
paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuacin diferencial
en forma analtica. Como se vio en el ejemplo anterior, obtener un
resultado numrico ms preciso tiene un costo en trminos del nmero de
clculos. Cada divisin a la mitad del tamao de paso para lograr
mayor precisin nos lleva a duplicar el nmero de clculos. Como 0 0
20 40 4 8 12 t, s v,m/s Velocidad terminal o lmite Solucin
analtica, exacta Solucin numrica aproximada FIGURA 1.5 Comparacin
de las soluciones numricas y analticas para el problema del
paracaidista que cae.
39. vemos, existe un costo inevitable entre la exactitud y la
cantidad de operaciones. Esta relacin es de gran importancia en los
mtodos numricos y constituyen un tema rele- vante de este libro. En
consecuencia, hemos dedicado el eplogo de la parte uno para ofrecer
una introduccin a dicho tipo de relaciones. 1.2 LEYES DE
CONSERVACIN E INGENIERA Aparte de la segunda ley de Newton, existen
otros principios importantes en ingeniera. Entre los ms importantes
estn las leyes de conservacin. stas son fundamentales en una gran
variedad de complicados y poderosos modelos matemticos, las leyes
de la conservacin en la ciencia y en la ingeniera conceptualmente
son fciles de entender. Puesto que se pueden reducir a Cambio =
incremento decremento (1.13) ste es precisamente el formato que
empleamos al usar la segunda ley de Newton para desarrollar un
equilibrio de fuerzas en la cada del paracaidista [ecuacin (1.8)].
Pese a su sencillez, la ecuacin (1.13) representa una de las
maneras fundamentales en que las leyes de conservacin se emplean en
ingeniera esto es, predecir cambios con respecto al tiempo.
Nosotros le daremos a la ecuacin (1.13) el nombre especial de
clculo de variable-tiempo (o transitorio). Adems de la prediccin de
cambios, las leyes de la conservacin se aplican tambin en casos en
los que no existe cambio. Si el cambio es cero, la ecuacin (1.3)
ser Cambio = 0 = incremento decremento o bien, Incremento =
decremento (1.14) As, si no ocurre cambio alguno, el incremento y
el decremento debern estar en equi- librio. Este caso, al que
tambin se le da una denominacin especial clculo en esta- do
estacionario, tiene diversas aplicaciones en ingeniera. Por
ejemplo, para el flujo Tubera 2 Flujo de entrada = 80 Tubera 3
Flujo de salida = 120 Tubera 4 Flujo de salida = ? Tubera 1 Flujo
de entrada = 100 FIGURA 1.6 Equilibrio del ujo de un uido
incompresible en estado estacionario a travs de tuberas. 1.2 LEYES
DE CONSERVACIN E INGENIERA 19
40. 20 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
de un fluido incompresible en estado estacionario a travs de
tuberas, el flujo de entra- da debe estar en equilibrio con el
flujo de salida, esto es Flujo de entrada = flujo de salida Para la
unin de tuberas de la figura 1.6, esta ecuacin de equilibrio se
utiliza para calcular el flujo de salida de la cuarta tubera, que
debe ser de 60. Para la cada del paracaidista, las condiciones del
estado estacionario deberan corres- ponder al caso en que la fuerza
total fuera igual a cero o [ecuacin (1.8) con dv/dt = 0] mg = cv
(1.15) As, en el estado estacionario, las fuerzas hacia abajo y
hacia arriba estn equilibradas, y en la ecuacin (1.15) puede
encontrarse la velocidad terminal. v = mg c Aunque las ecuaciones
(1.13) y (1.14) pueden parecer triviales, stas determinan las dos
maneras fundamentales en que las leyes de la conservacin se emplean
en ingenie- ra. Como tales, en los captulos siguientes sern parte
importante de nuestros esfuerzos por mostrar la relacin entre los
mtodos numricos y la ingeniera. Nuestro primer medio para
establecer tal relacin son las aplicaciones a la ingeniera que
aparecen al final de cada parte del libro. En la tabla 1.1 se
resumen algunos de los modelos sencillos de ingeniera y las leyes
de conservacin correspondientes, que constituirn la base de muchas
de las aplicaciones a la ingeniera. La mayora de aplicaciones de
ingeniera qumica harn nfasis en el balance de masa para el estudio
de los reactores. El balance de masa es una consecuen- cia de la
conservacin de la masa. ste especifica que, el cambio de masa de un
com- puesto qumico en un reactor, depende de la cantidad de masa
que entra menos la cantidad de masa que sale. Las aplicaciones en
ingeniera civil y mecnica se enfocan al desarrollo de modelos a
partir de la conservacin del momentum. En la ingeniera civil se
utilizan fuerzas en equilibrio para el anlisis de estructuras como
las armaduras sencillas de la tabla. El mismo principio se aplica
en ingeniera mecnica, con la finalidad de analizar el movi- miento
transitorio hacia arriba o hacia abajo, o las vibraciones de un
automvil. Por ltimo, las aplicaciones en ingeniera elctrica emplean
tanto balances de co- rriente como de energa para modelar circuitos
elctricos. El balance de corriente, que resulta de la conservacin
de carga, es similar al balance del flujo representado en la figura
1.6. As como el flujo debe equilibrarse en las uniones de tuberas,
la corriente elctrica debe estar balanceada o en equilibrio en las
uniones de alambres elctricos. El balance de energa especifica que
la suma algebraica de los cambios de voltaje alrededor de cualquier
malla de un circuito debe ser igual a cero. Las aplicaciones en
ingeniera se proponen para ilustrar cmo se emplean actualmente los
mtodos numricos en la solu- cin de problemas en ingeniera. Estas
aplicaciones nos permitirn examinar la solucin a los problemas
prcticos (tabla 1.2) que surgen en el mundo real. Establecer la
relacin entre las tcnicas matemticas como los mtodos numricos y la
prctica de la ingeniera es un paso decisivo para mostrar su
verdadero potencial. Examinar de manera cuidado- sa las
aplicaciones a la ingeniera nos ayudar a establecer esta
relacin.
41. Estructura Ingeniera civil Conservacin del momentum
Ingeniera qumica Campo Dispositivo Principio aplicado Expresin
matemtica Conservacin de la masa Equilibrio de fuerzas: Ingeniera
mecnica Conservacin del momentum Mquina Equilibrio de fuerzas:
Ingeniera elctrica Conservacin de la carga Balance de corriente:
Conservacin de la energa Balance de voltaje: Balance de la masa:
Reactores Entrada Salida En un periodo masa = entradas salidas En
cada nodo fuerzas horizontales (FH) = 0 fuerzas verticales (FV) = 0
En cada nodo corriente (i) = 0 Alrededor de cada malla fems cada de
potencial en los resistores = 0 iR = 0 FV +FV +FHFH +i2 i3+i1 +
Circuito i1R1 i3R3 i2R2 Fuerza hacia arriba Fuerza hacia abajo x =
0 m = Fuerza hacia abajo fuerza hacia arribad2 x dt2 TABLA 1.1
Dispositivos y tipos de balances que se usan comnmente en las
cuatro grandes reas de la ingeniera. En cada caso se especica la
ley de conservacin en que se fundamenta el balance. 1.2 LEYES DE
CONSERVACIN E INGENIERA 21
42. 22 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
TABLA 1.2 Algunos aspectos prcticos que se investigarn en las
aplicaciones a la ingeniera al nal de cada parte del libro. 1. No
lineal contra lineal. Mucho de la ingeniera clsica depende de la
linealizacin que permite soluciones analticas. Aunque esto es con
frecuencia apropiado, puede lograrse una mejor comprensin cuando se
revisan los problemas no lineales. 2. Grandes sistemas contra
pequeos. Sin una computadora, no siempre es posible examinar
sistemas en que intervienen ms de tres componentes. Con las
computadoras y los mtodos numricos, se pueden examinar en forma ms
realista sistemas multicomponentes. 3. No ideal contra ideal. En
ingeniera abundan las leyes idealizadas. A menudo, hay alternativas
no idealizadas que son ms realistas pero que demandan muchos
clculos. La aproximacin numrica llega a facilitar la aplicacin de
esas relaciones no ideales. 4. Anlisis de sensibilidad. Debido a
que estn involucrados, muchos clculos manuales requieren una gran
cantidad de tiempo y esfuerzo para su correcta realizacin. Esto
algunas veces desalienta al analista cuando realiza los mltiples
clculos que son necesarios al examinar cmo responde un sistema en
diferentes condiciones. Tal anlisis de sensibilidad se facilita
cuando los mtodos numricos permiten que la computadora asuma la
carga de clculo. 5. Diseo. Determinar el comportamiento de un
sistema en funcin de sus parmetros es a menudo una proposicin
sencilla. Por lo comn, es ms difcil resolver el problema inverso;
es decir, determinar los parmetros cuando se especica el
comportamiento requerido. Entonces, los mtodos numricos y las
computadoras permiten realizar esta tarea de manera eciente.
PROBLEMAS 1.1 Aproximadamente, 60% del peso total del cuerpo
correspon- de al agua. Si se supone que es posible separarla en
seis regiones, los porcentajes seran los que siguen. Al plasma
corresponde 4.5% del peso corporal y 7.5% del total del agua en el
cuerpo. Los tejidos conectivos densos y los cartlagos ocupan 4.5%
del peso total del cuerpo y 7.5% del total de agua. La linfa
intersticial equivale a 12% del peso del cuerpo y 20% del total de
agua en ste. El agua inaccesible en los huesos es aproximadamente
7.5% del total de agua corporal y 4.5% del peso del cuerpo. Si el
agua intracelular equivale a 33% del peso total del cuerpo y el
agua transcelular ocupa 2.5% del total de agua en el cuerpo, qu
porcentaje del peso total corporal debe corresponder al agua
transcelular, y qu porcentaje del total de agua del cuerpo debe ser
el del agua intracelular? 1.2 Un grupo de 30 estudiantes asiste a
clase en un saln que mide 10 m por 8 m por 3 m. Cada estudiante
ocupa alrededor de 0.075 m3 y genera cerca de 80 W de calor (1 W =
1 J/s). Calcule el incremento de la temperatura del aire durante
los primeros 15 minutos de la clase, si el saln est sellado y
aislado por com- pleto. Suponga que la capacidad calorfica del
aire, Cu, es de 0.718 kJ/(kg K). Suponga que el aire es un gas
ideal a 20 C y 101.325 kPa. Obsrvese que el calor absorbido por el
aire Q est relacionado con la masa de aire m, la capacidad
calorfica, y el cambio en la temperatura, por medio de la relacin
siguiente: Q m C dT mC T T T T = = 1 2 2 1v v ( ) La masa del aire
se obtiene de la ley del gas ideal: PV m RT= Mwt donde P es la
presin del gas, V es el volumen de ste, Mwt es el peso molecular
del gas (para el aire, 28.97 kg/kmol), y R es la constante del gas
ideal [8.314 kPa m3 /(kmol K)]. 1.3 Se dispone de la informacin
siguiente de una cuenta ban- caria: Fecha Depsitos Retiros Balance
5/1 1512.33 220.13 327.26 6/1 216.80 378.61 7/1 450.25 106.80 8/1
127.31 350.61 9/1 Utilice la conservacin del efectivo para calcular
el balance al 6/1, 7/1, 8/1 y 9/1. Demuestre cada paso del clculo.
Este clcu- lo es de estado estacionario o transitorio? 1.4 La tasa
de flujo volumtrico a travs de un tubo est dado por la ecuacin Q =
vA, donde v es la velocidad promedio y A
43. es el rea de la seccin transversal. Utilice la continuidad
volu- mtrica para resolver cul es el rea requerida en el tubo 3.
1.5 En la figura P1.5 se ilustran formas distintas en las que un
hombre promedio gana o pierde agua durante el da. Se ingiere un
litro en forma de comida, y el cuerpo produce en forma me- tablica
0.3 L. Al respirar aire, el intercambio es de 0.05 L al inhalar, y
0.4 L al exhalar, durante el periodo de un da. El cuer- po tambin
pierde 0.2, 1.4, 0.2 y 0.35 L a travs del sudor, la orina, las
heces y por la piel, respectivamente. Con objeto de mantener la
condicin de estado estacionario, cunta agua debe tomarse por da?
1.6 Para el paracaidista en cada libre con arrastre lineal, supon-
ga un primer saltador de 70 kg con coeficiente de arrastre de 12
kg/s. Si un segundo saltador tiene un coeficiente de arrastre de 15
kg/s y una masa de 75 kg, cunto tiempo le tomar alcan- zar la misma
velocidad que el primero adquiera en 10 s? 1.7 Utilice el clculo
para resolver la ecuacin (1.9) para el caso en que la velocidad
inicial, v(0) es diferente de cero. 1.8 Repita el ejemplo 1.2.
Calcule la velocidad en t = 10 s, con un tamao de paso de a) 1 y b)
0.5 s. Puede usted establecer algn enunciado en relacin con los
errores de clculo con base en los resultados? 1.9 En vez de la
relacin lineal de la ecuacin (1.7), elija mode- lar la fuerza hacia
arriba sobre el paracaidista como una relacin de segundo orden, FU
= cv2 donde c = un coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m).
a) Con el empleo del clculo, obtenga la solucin de forma cerrada
para el caso en que al inicio el saltador se encuentra en reposo (v
= 0 en t = 0). b) Repita el clculo numrico en el ejemplo 1.2 con
los mismos valores de condicin inicial y de parmetros. Utilice un
valor de 0.225 kg/m para c. 1.10 Calcule la velocidad de un
paracaidista en cada libre con el empleo del mtodo de Euler para el
caso en que m = 80 kg y c = 10 kg/s. Lleve a cabo el clculo desde t
= 0 hasta t = 20 s con un tamao de paso de 1 s. Use una condicin
inicial en que el paracaidista tiene una velocidad hacia arriba de
20 m/s en t = 0. Suponga que el paracadas se abre instantneamente
en t = 10 s, de modo que el coeficiente de arrastre sube a 50 kg/s.
1.11 En el ejemplo del paracaidista en cada libre, se supuso que la
aceleracin debida a la gravedad era un valor constante de 9.8 m/s2
.Aunque sta es una buena aproximacin cuando se estu- dian objetos
en cada cerca de la superficie de la tierra, la fuerza
gravitacional disminuye conforme se acerca al nivel del mar. Una
representacin ms general basada en la ley de Newton del inver- so
del cuadrado de la atraccin gravitacional, se escribe como g x g R
R x ( ) ( ) ( ) = + 0 2 2 donde g(x) = aceleracin gravitacional a
una altitud x (en m) medida hacia arriba a partir de la superficie
terrestre (m/s2 ), g(0) = aceleracin gravitacional en la superficie
terrestre ( 9.8 m/s2 ), y R = el radio de la tierra ( 6.37 106 m).
a) En forma similar en que se obtuvo la ecuacin (1.9), use un
balance de fuerzas para obtener una ecuacin diferencial para la
velocidad como funcin del tiempo que utilice esta representacin ms
completa de la gravitacin. Sin embargo, para esta obtencin, suponga
como positiva la velocidad hacia arriba. b) Para el caso en que el
arrastre es despreciable, utilice la regla de la cadena para
expresar la ecuacin diferencial como funcin de la altitud en lugar
del tiempo. Recuerde que la regla de la cadena es dv dt dv dx dx dt
= c) Use el clculo para obtener la forma cerrada de la solucin
donde v = v0 en = 0. d) Emplee el mtodo de Euler para obtener la
solucin num- rica desde x = 0 hasta 100000 m, con el uso de un paso
de V3,sal = 6 m/s A3 = ? Q2,sal = 20 m3 /sQ1,ent = 40 m3 /s
PROBLEMAS 23 Piel Orina CUERPO Comida Bebida Heces Sudor Aire
Metabolismo Figura P1.4 Figura P1.5
44. 24 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA
10000 m, donde la velocidad inicial es de 1400 m/s hacia arriba.
Compare su resultado con la solucin analtica. 1.12 La cantidad de
un contaminante radiactivo distribuido uniformemente que se
encuentra contenido en un reactor cerrado, se mide por su
concentracin c (becquerel/litro, o Bq/L). El con- taminante
disminuye con una tasa de decaimiento proporcional a su
concentracin, es decir: tasa de decaimiento = kc donde k es una
constante con unidades de da1 . Entonces, de acuerdo con la ecuacin
(1.13), puede escribirse un balance de masa para el reactor, as: dc
dt kc= ( )= de la masa cambio por deecaimiento disminucin ( ) a)
Use el mtodo de Euler para resolver esta ecuacin desde t = 0 hasta
1 d, con k = 0.2 d1 . Emplee un tamao de paso de t = 0.1. La
concentracin en t = 0 es de 10 Bq/L. b) Grafique la solucin en
papel semilogartmico (p.ej., ln c ver- sus t) y determine la
pendiente. Interprete sus resultados. 1.13 Un tanque de
almacenamiento contiene un lquido con profundidad y, donde y = 0
cuando el tanque est lleno a la mitad. El lquido se extrae con una
tasa de flujo constante Q a fin de satisfacer las demandas. Se
suministra el contenido a una tasa senoidal de 3Q sen2 (t). Para
este sistema, la ecuacin (1.13) puede escribirse como d Ay dx Q t Q
( ) = ( ) 3 sen el volumen cambio en 2 == (flujo de entrada) (flujo
de salida) o bien, como el rea de la superficie A es constante dy
dx Q A t Q A = 3 sen2 Emplee el mtodo de Euler para resolver cul
sera la profundi- dad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de
paso de 0.5 d. Los valores de los parmetros son A = 1200 m2 y Q =
500 m3 /d. Suponga que la condicin inicial es y = 0. 1.14 Para el
mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13,
suponga que el flujo de salida no es cons- tante sino que la tasa
depende de la profundidad. Para este caso, la ecuacin diferencial
para la profundidad puede escribirse como dy dx Q A t y A = + 3 1 1
5 sen2 ( ) . Use el mtodo de Euler para resolver cul sera la
profundidad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0.5
d. Los valores de los parmetros son A = 1200 m2 , Q = 500 m3 /d, y
a = 300. Suponga que la condicin inicial es y = 0. 1.15 Suponga que
una gota esfrica de lquido se evapora a una tasa proporcional al
rea de su superficie. dV dt kA= donde V = volumen (mm3 ), t =
tiempo (h), k = la tasa de evapo- racin (mm/h), y A = rea
superficial (mm2 ). Emplee el mtodo de Euler para calcular el
volumen de la gota desde t = 0 hasta 10 min usando un tamao de paso
de 0.25 min. Suponga que k = 0.1 mm/min, y que al inicio la gota
tiene un radio de 3 mm. Evale la validez de sus resultados por
medio de determinar el radio de su volumen final calculado y la
verificacin de que es consisten- te con la tasa de evaporacin. 1.16
La ley de Newton del enfriamiento establece que la tempe- ratura de
un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a la diferencia
de su temperatura y la del medio que lo rodea (tem- peratura
ambiente). dT dt k T Ta= ( ) donde T = temperatura del cuerpo (C),
t = tiempo (min), k = constante de proporcionalidad (por minuto), y
Ta = temperatu- ra del ambiente (C). Suponga que una tasa de caf
tiene origi- nalmente una temperatura de 68C. Emplee el mtodo de
Euler para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando
un tamao de paso de 1 min, si Ta = 21C y k = 0.017/min. 1.17 Las
clulas cancerosas crecen en forma exponencial con un tiempo de
duplicacin de 20 h cuando tienen una fuente ili- mitada de
nutrientes. Sin embargo, conforme las clulas comien- zan a formar
un tumor de forma esfrica sin abasto de sangre, el y 0 Figura
P1.13
45. crecimiento en el centro del tumor queda limitado, y
eventual- mente las clulas empiezan a morir. a) El crecimiento
exponencial del nmero de clulas N puede expresarse como se indica,
donde es la tasa de crecimiento de las clulas. Encuentre el valor
de para las clulas can- cerosas. dN dt N= b) Construya una ecuacin
que describa la tasa de cambio del volumen del tumor durante el
crecimiento exponencial, dado que el dimetro de una clula
individual es de 20 micras. c) Una vez que un tipo particular de
tumor excede las 500 micras de dimetro, las clulas del centro del
tumor se mueren (pero continan ocupando espacio en el tumor).
Determine cunto tiempo tomar que el tumor exceda ese tamao crtico.
1.18 Se bombea un fluido por la red que se ilustra en la figura
P1.18. Si Q2 = 0.6, Q3 = 0.4, Q7 = 0.2 y Q8 = 0.3 m3 /s, determine
los otros flujos. Figura P1.18 Q1 Q10 Q9 Q8 Q3 Q5 Q7Q6Q4Q2
PROBLEMAS 25
46. CAPTULO 2 Programacin y software En el captulo anterior,
desarrollamos un modelo matemtico a partir de la fuerza total para
predecir la velocidad de cada de un paracaidista. Este modelo tena
la forma de una ecuacin diferencial, d dt g c m v v= Tambin vimos
que se obtena una solucin de esta ecuacin utilizando un mtodo nu-
mrico simple, llamado mtodo de Euler, v v v i i id dt t+ = +1 Dada
una condicin inicial, se emplea esta ecuacin repetidamente para
calcular la velocidad como una funcin del tiempo. Sin embargo, para
obtener una buena precisin sera necesario desarrollar muchos pasos
pequeos. Hacerlo a mano sera muy laborio- so y tomara mucho tiempo;
pero, con la ayuda de las computadoras tales clculos pueden
realizarse fcilmente. Por ende, nuestro siguiente objetivo consiste
en observar cmo se hace esto. En el presente captulo daremos una
introduccin al uso de la computadora como una herra- mienta para
obtener soluciones de este tipo. 2.1 PAQUETES Y PROGRAMACIN En la
actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado
estn aquellos que toman lo que se les da. Es decir, quienes se
limitan a las capacidades que encuentran en el modo estndar de
operacin del software existente. Por ejemplo, resulta muy sen-
cillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar una
grfica con valores x-y con Excel o con MATLAB. Como este modo de
operacin por lo comn requiere un mnimo esfuerzo, muchos de los
usuarios adoptan este modo de operacin. Adems, como los diseadores
de estos paquetes se anticipan a la mayora de las necesidades t-
picas de los usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de
esta manera. Pero, qu pasa cuando se presentan problemas que estn
ms all de las capacida- des estndar de dichas herramientas? Por
desgracia, decir Lo siento jefe, pero no lo s hacer no es algo
aceptado en la mayora de los crculos de la ingeniera. En tales
casos usted tiene dos alternativas. La primera sera buscar otro
paquete y ver si sirve para resolver el problema. sta es una de las
razones por las que quisimos usar tanto Excel como MATLAB en este
libro. Como veremos, ninguno de los dos abarca todo y cada uno
tiene sus ventajas.
47. Sabiendo usar ambos, se ampla de forma notable el rango de
problemas que pueden resolverse. La segunda sera que es posible
volverse un potente usuario si se aprende a escri- bir macros en
Excel VBA1 o archivos M (M-files) en MATLAB. Y qu son tales cues-
tiones? No son ms que programas computacionales que permiten
ampliar la capacidad de estas herramientas. Como los ingenieros
nunca se sentirn satisfechos al verse limi- tados por las
herramientas, harn todo lo que sea necesario para resolver sus
problemas. Una buena manera de lograrlo consiste en aprender a
escribir programas en los ambien- tes de Excel y MATLAB. Adems, las
habilidades necesarias para crear macros o ar- chivos M (M-files)
son las mismas que se necesitan para desarrollar efectivamente
programas en lenguajes como Fortran 90 o C. El objetivo principal
del captulo es ensearle cmo se hace esto. Sin embargo, supondremos
que usted ya ha tenido contacto con los rudimentos de la
programacin