ระบบจำ�นวน

โครงสร�งของระบบจำ�นวน

ระบบจำ�นวน

จำ�นวนจรง (Real Number) จำ�นวนไมจรง(จำ�นวนจนตภ�พ)

จำ�นวนตรรกยะ (Rational Number) จำ�นวนอตรรกยะ (Irrational Number)

จำ�นวนเตม (Integer) จำ�นวนตรรกยะทไมใชจำ�นวนเตม

จำ�นวนเตมลบ จำ�นวนเตมศนย จำ�นวนเตมบวก(Negative Integer) (Zero) หรอจำ�นวนนบ

(Positive Integer)

ในวช�คณตศ�สตร จำ�นวนและตวเลขเปนองคประกอบหนงในก�รศกษ�วช�คณตศ�สตร ดงนนเร�จง ตองศกษ�และทำ�คว�มเข�ใจเกยวกบจำ�นวนชนดต�ง ๆ รวมทงคว�มสมพนธเกยวของกนของจำ�นวนชนดต�ง ๆ

ดงน

1. จำ�นวนนบหรอจำ�นวนเตมบวก (Positive Integer) จำ�นวนนบหรอจำ�นวนธรรมช�ตหรอจำ�นวนเตมบวก หม�ยถง จำ�นวนทใชในชวตประจำ�วน ไดแก

จำ�นวน 1, 2, 3, 4, 5, … เรอย ๆ ไปไมมทสนสด

1.1 ตวประกอบของจำ�นวนนบ (Factor) ตวประกอบของจำ�นวนนบใด ๆ คอ จำ�นวนนบทงหล�ยทห�รจำ�นวนนนไดลงตว

ถ� a, b, c เปนจำ�นวนนบ และ a = b x c แลวเร�จะเรยก b และ c ว�เปนตวประกอบของ a

ตวอย�งเชน ตวประกอบของ 12 คอ จำ�นวนทกจำ�นวนทห�ร 12 ไดลงตว ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 12

1.2 จำ�นวนเฉพ�ะบวก (Prime Number) จำ�นวนเฉพ�ะบวก คอ จำ�นวนนบทไมใช1 และ ไมมจำ�นวนนบอนใดห�รลงตวอก นอกจ�ก

1 และตวมนเอง จำ�นวนเฉพ�ะบวก ไดแก 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17 เปนตน

ตวอย�ง1 จงห�จำ�นวนนบทม�กทสดทมตวประกอบเฉพ�ะทมค�ไมเกน 10 และแตกต�งกน 3 ตววธทำ� จำ�นวนเฉพ�ะทแตกต�งกน 3 จำ�นวน ทมค�ม�กทสดแตไมเกน 10 ไดแก 3, 5, 7

ดงนน จำ�นวนนบทม�กทสดทมตวประกอบเฉพ�ะทมค�ไมเกน 10 และแตกต�งกน 3 ตว คอ3 x 5 x 7 = 105

ตวอย�ง2 ถ� A เปนตวประกอบตวหนงของ B แลวจอคว�มใดตอไปนถกตอง1. นำ�จำ�นวน B ไปห�รจำ�นวน A จะห�รไดลงตว2. นำ�จำ�นวน A ไปห�รจำ�นวน B จะห�รไดลงตว3. ทงจำ�นวน A และ B ต�งเปนจำ�นวนเฉพ�ะ 4. จำ�นวน A คณ B จะไดจำ�นวนเฉพ�ะ

วธทำ� ขอ 1 ไมถกตอง A เปนตวประกอบของ B หม�ยถง A ห�ร B ไดลงตว ขอ 2 ถกตอง ขอ 3 ไมถกตอง เชน 8 เปนตวประกอบหนงของ 24

จะเหนว� 8 และ 24 ต�งกไมใชจำ�นวนเฉพ�ะ ขอ 4 ไมถกตอง เชน 8 เปนตวประกอบหนงของ 24

จะเหนว� 8 x 24 = 192 ไมเปนจำ�นวนเฉพ�ะ

1.3 ก�รแยกตวประกอบของจำ�นวนนบ ก�รแยกตวประกอบของจำ�นวนนบใด ๆ คอ ก�รเขยนประโยคทแสดงจำ�นวนนน ๆ ในรปก�รคณ

ขอตวประกอบเฉพ�ะ

ตวอย�ง 3 จงแยกตวประกอบของ 720วธทำ� 720 = 72 x 10

= 8 x 9 x 2 x 5= 2x 4 x 3 x 3 x 2 x 5= 2 x 2 x 2 x 3 x 3 2 x 5= 24 x 32 x 5

ดงนน ตวประกอบของ 720 คอ 24 x 32 x 5

1.4 ตวห�รรวมม�กทสด (ห.ร.ม.)

ตวห�รรวมม�กทสดของจำ�นวนนบใด ๆ คอ จำ�นวนนบทม�กทสดทนำ�ไปห�รจำ�นวนนน ๆ ไดลงตว

1.5 ตวคณรวมนอยทสด (ค.ร.น)

ตวคณรวมนอยทสดของจำ�นวนนบใด ๆ คอ จำ�นวนนบทนอยทสดทจำ�นวนนน ๆ ห�รไดลงตว

1.6 คว�มสมพนธของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำ�นวนนบ 2 จำ�นวน

ห.ร.ม. x ค.ร.น. = ผลคณของเลข 2 จำ�นวน

ตวอย�ง 4 มธนบตรใบละ 20 บ�ท 72 ใบ ใบละ 50 บ�ท 288 ใบ และใบละ 100 บ�ท324 ใบ ตองก�รแบงธนบตรชนดเดยวกนอย�งละเท� ๆ กน ใสลงในกระเป�ใบหนงใหไดจำ�นวนธนบตรม�ก

ทสด จะมธนบตรใบละ 50 บ�ท ในกระเป�ใบนนเปนจำ�นวนเงนกบ�ทวธทำ� ตองก�รแบงธนบตรใหไดจำ�นวนธนบตรม�กทสด ตองห� ห.ร.ม. ของจำ�นวนธนบตรทงหมด

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3288 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3324 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 ห.ร.ม. = 2 x 2 x 3 x 3 = 36

นนคอ ตองแบงธนบตรม�กทสดชนดละจำ�นวน 36 ใบ ดงนน จะมธนบตรใบละ 50 บ�ท ในกระเป�เปนจำ�นวนเงน 36 x 50 = 1,800

บ�ท ตอบ

ตวอย�ง 5 ถ� n เปนจำ�นวนนบ จงห�จำ�นวนนบทนอยทสดทห�รดวย 18 n + 18, 3 n + 3 และ6 n + 6 แลวเหลอเศษ 2 n เท�กน วธทำ� ตองห� ค.ร.น. ซงเปนจำ�นวนนบทนอยทสดทห�รดวย 18 n + 18, 3 n + 3 และ 6 n + 6 ไดลงตวกอน

18 n + 18 = 18 x (n + 1) = 2 x 3 x 3 x (n + 1)

3 n + 3 = 3 x (n + 1) 6 n + 6 = 6 x (n + 1) = 2 x 3 x (n +

1)ค.ร.น. = 2 x 3 x 3 x (n + 1) = 18 (n +

1) = 18 n + 18 ดงนน จำ�นวนนบทนอยทสดทห�รดวย 18 n + 18, 3 n + 3 และ 6 n + 6 แลว

เหลอเศษ 2 n คอ จำ�นวน18 n + 18 + 2 n = 20 n + 18

ตอบ

2. จำ�นวนเตมศนย (Zero)

จำ�นวนเตมศนยไมใชจำ�นวนนบ จำ�นวนนบจำ�นวนแรกเรมตนท 1 ไมใช0 เร�จะไมพดว�เร�มเงน 0 บ�ท แตเร�จะพดเร�ไมมเงน อย�งไรกต�ม 0 “ ” ไมไดแทนคว�ม ไมม เสมอไป

ตวอย�งเชน อณหภม 0 องศ�เซลเซยส ไมไดหม�ยคว�มว�ไมมอณหภม แตหม�ยถงก�รม อณหภมทระดบหนง

2.1 คณสมบตพเศษของ 01. 0 บวกกบจำ�นวนใด ๆ จะไดค�เท�กบจำ�นวนนน เชน 0 + a = a ( เรยก 0 ว�เปน

เอกลกษณของก�รบวก)2. 0 คณกบจำ�นวนใด ๆ จะไดค�เท�กบ 0 เชน 0 x a = 03. นำ�จำ�นวนใด ๆ ไปห�ร 0 จะไดผลลพธเท�กบ 0 เชน 0 = 04. ถ� a เปนจำ�นวนใด ๆ ทไมใชศนย

0 ห�ค�ไมได (ไมมนย�ม)

5. 0 ไมมคว�มหม�ยท�งคณตศ�สตร

ตวอย�ง 6 กำ�หนดให a = b a2 = baa2 – b2 = ba – b2

(a – b)(a + b) = b (a – b)………….(1)

a + b = b………….(2)

แต a = b ดงนนb + b = b 2b = b 2 = 1

ก�รพสจนข�งตนนผด เพร�ะเหตใดวธทำ� เนองจ�ก a = b ดงนน a – b = 0 จ�กขนท (1) เปนขนท (2) เปนก�รห�รดวย a – b = 0

ดงนน ก�รพสจนนจงผด เพร�ะก�รห�รดวยศนยไมมนย�ม ตอบ

3. จำ�นวนเตมลบ (Negative Integer)

จำ�นวนเตมลบ –ไดแก จำ�นวนเตมทนอยกว�ศนยลงไป เชน 1, -2, -3, … เรอยไปไมมทสนสด นกคณตศ�สตรสร�งจำ�นวนเตมลบขนเพอตอบปญห�บ�งอบ�งไดครบถวน เชน จำ�นวนอะไรนำ�ม�บวกกบ 8

แลวไดผลลพธ2 –คำ�ตอบกคอ 6 เปนตน

4. จำ�นวนเตม (Integer)จำ�นวนเตม คอ จำ�นวนทงหมดทเกดจ�กก�รรวมกนของจำ�นวนเตมบวก ศนย และจำ�นวนเตมลบ

ตวอย�ง 7 ขอคว�มใดตอไปนถกตอง1. จำ�นวนเตมบวกทนอยทสดไมม2. จำ�นวนเตมบวกทม�กทสด คอ Infinity ( ใชสญลกษณแทนดวย )3. จำ�นวนเตมลบทนอยทสดไมม4. จำ�นวนเตมลบทม�กทสดไมม

วธทำ� ขอ 1 ไมถกตอง จำ�นวนเตมบวกทนอยทสด คอ 1 ขอ 2 ไมถกตอง Infinity ไมใชชอของจำ�นวนใด ๆ และไมใชจำ�นวน สดท�ย infinity ม

คว�มหม�ยถงก�รไมมทสนสด

ขอ 3 ถกตอง จำ�นวนเตมลบทนอยทสดไมม ขอ 4 ไมถกตอง จำ�นวนเตมลบทม�กทสดคอ -1

ตวอย�ง 8 กำ�หนดใหx, y, z เปนจำ�นวนเตม และ x > 0, y > 0, z > 0 และ y > x ขอใดถกตอง

1. x + y – z เปนจำ�นวนเตมลบ2. x – y + z เปนจำ�นวนเตมลบ3. y – x – z เปนจำ�นวนเตมลบ4. ถกตองทกขอ

วธทำ� ขอ 1 ไมถกตอง x + y – z จะเปนจำ�นวนเตมบวก เชน x = 2, Y = 3, z = -1

นนคอ x + y – z = 2 + 3 – (-1) = 2 + 3 + 1 = 6 ขอ 2 ถกตอง เชน x = 2, Y = 3, ( โจทยกำ�หนด y > x), z = -1

นนคอ x + y – z = 2 - 3 – (-1) = 2 - 3 + 1 = 2 ขอ 3 ไมถกตอง y – x – z จะเปนจำ�นวนเตมบวก เชน x = 2, Y = 3, z = -1

นนคอ y – x – z = 3 – 2 – (-1) = 3 – 2 + 1 = 2ตอบ

5. จำ�นวนคและจำ�นวนค

5.1 จำ�นวนคจำ�นวนค คอ จำ�นวนเตมทม 2 เปนตวประกอบ หรอจำ�นวนเตมท 2 ห�รลงตว

จะส�ม�รถเขยนจำ�นวนเตมคไดในรป 2n เมอ n เปนจำ�นวนเตม

5.2 จำ�นวนคจำ�นวนค คอ จำ�นวนเตมทไมใชจำ�นวนเตมค หรอจำ�นวนค คอ จำ�นวนเตมทห�รดวย 2 แลวเหลอ

เศษ 1 จะส�ม�รถเขยนจำ�นวนคไดในรป 2 n – 1 หรอ 2 n + 1 เมอ n เปนจำ�นวนเตม

ขอสงเกต1. จำ�นวนเฉพ�ะทกจำ�นวนเปนจำ�นวนค ยกเวน 22. จำ�นวนคบ�งจำ�นวนไมเปนจำ�นวนเฉพ�ะ เชน 9, 15, 21 เพร�ะมตวประกอบม�กกว� 2 ตว3. ผลบวกของจำ�นวนค 2 จำ�นวนใด ๆ เปนจำ�นวนค4. ผลบวกของจำ�นวนค 2 จำ�นวนใด ๆ เปนจำ�นวนค5. ผลบวกของจำ�นวนคและจำ�นวนค เปนจำ�นวนค6. 0 เปนจำ�นวนค

ตวอย�ง 9 ถ� n + 8, n + 10 และ n + 12 เปนจำ�นวนค 3 จำ�นวนเรยงกน n จะเปนจำ�นวนชนดใดวธทำ� n จะตองเปนจำ�นวนค เพร�ะ 8, 10, 12 เปนจำ�นวนค และจำ�นวนคบวกจำ�นวนค จงจะไดจำ�นวนค

ดงนน n จงเปนจำ�นวนค ตอบ

6. เศษสวน (Fraction)เศษสวน เปนจำ�นวนทอยในรปของก�รห�รจำ�นวนเตม โดยทตวห�รตองไมเท�กบศนย

เศษสวนแบงเปน 3 ประเภท คอ1. เศษสวนแท หม�ยถง เศษสวนทมตวเศษนอยกว�สวนเสมอ เชน2. เศษสวนเกน หม�ยถง เศษสวนทมเศษม�กกว�สวน เชน3. จำ�นวนคละ หม�ยถง จำ�นวนทอยในรปจำ�นวนเตมรวมกบเศษสวนแท เชน

7. ทศนยม (Decimal)ทศนยม เปนจำ�นวนทไดจ�กเศษสวน โดยนำ�เศษม�ตงเปนตวตงและสวนเปนตวห�รทศนยมแบงเปน- ทศนยมรจบ คอ ทศนยมทมจำ�นวนตวเลขหลงจดทศนยมเปนจำ�นวนรจบหรอมศนยซำ� เชน 0.03, 0.78- ทศนยมไมรจบแบบซำ� คอ ทศนยมทมตวเลขตวหนงหรอม�กกว�ซำ�กนอย�งเปนระบบ เชน 0.555… = 0.5, 0.585858.. = 0.58- ทศนยมไมรจบแบบไมซำ� ไดแก ทศนยมทมตวเลขหลงจดทศนยมม�กม�ยทไมซำ�กนเปนระบบเลย เชน1.12347563…ขอสงเกต จำ�นวนเตม ทศนยมรจบ และทศนยมไมรจบแบบซำ� ส�ม�รถเขยนในรปเศษสวนไดเสมอ

จำ�นวนเตมเขยนในรปเศษสวนได เชน5

8

ทศนยมรจบเขยนในรปเศษสวนได เชน 0.8

0.78 ทศนยมไมรจบแบบซำ� เขยนในรปเศษสวนได เชน

ตวอย�ง 10 จงเปลยน 0.58 ใหเปนเศษสวนวธทำ� กำ�หนดให x = 0.58

x = 0.588888 ………….(1)(1) x 10; 10x = 5.88888…

………….(2)(1) x 100 ; 100x= 58.88888…

………….(3)(3) – (2) ; 90x= 53

x = 5390

ดงนน 0.58 = 5390 ตอบ

ตวอย�ง11 จงเปลยน 2.459 ใหเปนเศษสวนวธทำ� 2.459 = 2 + 0.459595959…

กำ�หนดให x= 0.4595959…………….(1)

(1) x 10 ; 10x = 4.595959…………….(2)

(1) x 1,000 ; 1,000x = 459.595959…………….(3)

(3) – (2) 990x = 454 x = 454

990นนคอ 0.459 = 454

9902.459 = 2 +

ดงนน 2.459 = 2ตอบ

จะเหนว� ก�รทำ�ทศนยมไมรจบแบบซำ�ใหเปนเศษสวนนน เศษสวนทไดจะมลกษณะ คอ

เศษ = ตวทศนยมทงหมด - ตวเลขทรจบสวน ( 9 มจำ�นวนตวเท�กบทศนยมไมรจบ) x 10n

เมอ n จำ�นวนตวเลขทรจบ

ตวอย�ง 12 จงเปลยนจำ�นวนทศนยมไมรจบแบบซำ�ตอไปนเปนเศษสวน1. 0.58 2. 2.459

วธทำ� 1. 0.58 = 58-5 = 5390 90

ดงนน 0.58 = 5390

2. 2.459 =

ดงนน

8. จำ�นวนตรรกยะ (Rational Number)จำ�นวนตรรกยะ หม�ยถง จำ�นวนทส�ม�รถเขยนแทนไดในรปเศษสวน

เมอ a และ b เปนจำ�นวนเตม โดยท b = 0 ดงนน จำ�นวนเตม เศษสวน ทศนยมรจบ และทศนยมไมรจบแบบซำ� จงเปนจำ�นวนตรรกยะ

9. จำ�นวนอตรรกยะ (Irrational Number)จำ�นวนอตรรกยะ หม�ยถง จำ�นวนทไมส�ม�รถเขยนแทนไดในรปเศษสวน

เมอ a และ b เปนจำ�นวนเตม โดยท b = 0

จำ�นวนอตรรกยะ ไดแก ทศนยมไมรจบแบบไมซำ� เชน 1.34592678 …, 2 ช1.414…, 5 = 2.236 = 3.14159…

ตวอย�ง13 จำ�นวนตอไปนจำ�นวนใดเปนจำ�นวนตรรกยะทกจำ�นวน1. 1.953, 0, 2, 1.5932. , - 9, , 0.153. 1.123112311123…, 49, 3.234234234…4. ,, 1.732,

วธทำ� ขอ 1 2 เปนจำ�นวนอตรรกยะ เพร�ะ 2 = 1.414… เปนจำ�นวนทศนยมไมรจบแบบไมซำ� ขอ 2 เปนจำ�นวนอตรรกยะ เพร�ะ = 3.14159… เปนจำ�นวนทศนยมไมรจบแบบไมซำ� ขอ 3 1.123112311123… เปนจำ�นวนอตรรกยะ เพร�ะเปนจำ�นวนทศนยมไมรจบแบบไมซำ� ขอ 4

และ 22 ต�งเปนจำ�นวนททำ�เปนเศษสวนได จงเปนจำ�นวนตรรกยะทกจำ�นวน ดงนน จำ�นวนในขอ 4 เปนจำ�วนตรรกยะทกจำ�นวน ตอบ

10. จำ�นวนจรง (Real Number)จำ�นวนจรง คอ จำ�นวนทประกอบดวยจำ�นวนตรรกยะและอตรรกยะ เปนจำ�นวนทงหมดทอยบนเสน

จำ�นวน

11. จำ�นวนไมจรง (จำ�นวนจนตภ�พ)

จำ�นวนไมจรง หรอจำ�นวนจนตภ�พ เปนจำ�นวนทสมมตขน ไมมจรง ไมส�ม�รถบนทกลงบนเสนจำ�นวน ได เชน จำ�นวน เปนตน

12. สมบตทสำ�คญของจำ�นวนจรง

กำ�หนดให a, b, c เปนจำ�นวนจรง จะมสมบตดงน1. สมบตปดสำ�หรบก�รบวก

ถ� a เปนจำ�นวนจรง b เปนจำ�นวนจรง แลว a + b เปนจำ�นวนจรงดวย2. สมบตปดสำ�หรบก�รคณ

ถ� a เปนจำ�นวนจรง b เปนจำ�นวนจรง แลว a – b เปนจำ�นวนจรงดวย3. สมบตก�รสลบทสำ�หรบก�รบวก

a + b = b + aตวอย�งเชน 5 + 9 = 9 + 5

4. สมบตก�รสลบทสำ�หรบก�รคณa x b= b x a

ตวอย�งเชน 5 x 9= 9 x 55. สมบตก�รเปลยนกลมไดสำ�หรบก�รบวก

(a + b) + c = a + (b + c)ตวอย�งเชน (2 + 3) + 4 = 2 + Z3 + 4) =

96. สมบตก�รเปลยนกลมไดสำ�หรบก�รคณ

(ab)c = a(bc)ตวอย�งเชน (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

7. สมบตก�รมเอกลกษณสำ�หรบก�รบวก0 เปนจำ�นวนจรงทให0+a = a+0 = a สำ�หรบจำ�นวนจรง a ทกตว จะเรยก 0 ว�

เอกลกษณ สำ�หรบก�รบวก8. สมบตก�รมเอกลกษณสำ�หรบก�รคณ

1 เปนจำ�นวนจรงททำ�ให1 x a = a x 1 = a สำ�หรบจำ�นวนจรง a จะเรยก 1 ว� เปนเอกลกษณ

สำ�หรบก�รคณ9. สมบตก�รมอนเวอรสสำ�หรบก�รบวก

ถ� a – เปนจำ�นวนจรง แลวจะมจำ�นวนจรง a ททำ�ใหa+(-a) = (-a) + a = 0 –จะเรยก a ว�

อนเวอรสสำ�หรบก�รบวกของ aตวอย�งเชน อนเวอรสก�รบวกของ 8 คอ -8

อนเวอรสก�รบวกของ -5 คอ 5

10. สมบตก�รมอนเวอรสสำ�หรบก�รคณ

ถ� a เปนจำ�นวนจรง แลวจะมจำ�นวนจรง a-1 ททำ�ใหa a-1 = a-1 a = 1 จะเรยกa-1 ว�

อนเวอรสสำ�หรบก�รคณของ aตวอย�งเชน จะเรยกว� อนเวอรสก�รคณของ 8

จะเรยกว� อนเวอรสก�รคณของ

11. สมบตก�รกระจ�ยa(b + c) = ab + ac

ตวอย�งเชน 2 x (3-5) = (2x3) + (2x5)

ตวอย�ง 14 ประโยชนของก�รใชสมบตก�รกระจ�ย จงห�ค�ของ 58 x 102

วธทำ� 58 x 102 = 58 x (100 + 2)= ( 58 x 100) + ( 58 x 2)= 5,800 + 116

ดงนน 58 x 102 = 5,916 ตอบ

13. สมบตเกยวกบก�รเท�กนของจำ�นวนจรง

1. สมบตสะทอน ถ� a เปนจำ�นวนจรงใด ๆ แลว a = a

ตวอย�งเชน 3 = 32. สมบตสมม�ตร

ถ� a และ b เปนจำ�นวนจรง และ a = b แลว b = aตวอย�งเชน x + 5 = 8 แลว 8 = x + 5

3. สมบตก�รถ�ยทอด ถ� a, b และ c เปนจำ�นวนจรงใด ๆ โดยท a = b และ b = c แลว a = c

ตวอย�งเชน a = 3 และ 3 = b แลว a = b

14. ทฤษฎสำ�คญของจำ�นวนจรง

1. ใหa, b และ c เปนจำ�นวนจรง ถ� a = b แลว a + c = b + c

ตวอย�งเชน 3 = 9 แลว 3 + 2 = 9 + 2

2. ใหa, b และ c เปนจำ�นวนจรง ถ� a = b แลว a x c = b x c

ตวอย�งเชน 3 = 9 แลว 3 x 2 = 9 x 23. ใหa, b และ c เปนจำ�นวนจรง

ถ� a + c = b + c แลว a = b ตวอย�งเชน 3 +2 ช 9 + 2 แลว 3 = 9

4. ใหa, b และ c เปนจำ�นวนจรง ซง c = 0 ถ� ac = bc แลว a = bตวอย�งเชน แลว

5. ถ� a เปนจำ�นวนจรงใด ๆ a 0 = 0 a =06. กำ�หนด a และ b เปนจำ�นวนจรงใด ๆ ถ� ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

15. สมบตเกยวกบก�รไมเท�กนของจำ�นวนจรง

ถ� a และ b เปนจำ�นวนจรง a < b หม�ยถง b – a เปนจำ�นวนจรงบวก ถ� a และ b เปนจำ�นวนจรง a < b หม�ยถง a < b หรอ a = b กรณใดกรณหนง

1. ให a, b และ c เปนจำ�นวนจรงถ� a < b และ b < c แลว a < cตวอย�งเชน 2 < 3 และ 3 < 5 แลว 2 < 5

2. ให a, b และ c เปนจำ�นวนจรงถ� a < b แลว a + c < b + cตวอย�งเชน -2 < 3 แลว -2 + 5 < 3 +5

3. ให a, b และ c เปนจำ�นวนจรงถ� a + c < b + c แลว a < bตวอย�งเชน -2 + 5 < 3 + 5 แลว -2 < 3

4. ให a เปนจำ�นวนจรง- ถ� a > 0 แลว - a < 0ตวอย�งเชน 3 > 0 แลว -3 < 0- ถ� a < 0 แลว - a > 0ตวอย�งเชน -3 < 0 แลว 3 > 0

5. ให a, b, c เปนจำ�นวนจรง - ถ� a < b และ c > 0 แลว ac < bcตวอย�งเชน -2 < 3 และ 5 > 0 แลว (-2)(-3) < 3(5)

คอ -10 < 15 - ถ� a < b และ c > 0 แลว ac > bc ตวอย�งเชน -2 < -1 และ -3 < 0 แลว (-2)(-3) > (-1)(-3) คอ 6 > 3

6. ให a, b, c, d เปนจำ�นวนจรง- ถ� a < b และ c < d แลว a + c < b + dตวอย�งเชน 2 < 3 และ 5 < 6 แลว 2 + 5 < 3 + 6

คอ 7 < 9- ถ� a < b และ c < d แลว a - d < b - c

ตวอย�งเชน 2 < 3 และ 5 < 6 แลว 2 - 6 < 3 - 5 คอ -4 < -2

7. ให a, b, c, d เปนจำ�นวนจรง- ถ� 0 < a < b และ 0 < c < d แลว ac < bdตวอย�งเชน 0 < 3 < 4 และ 0 < 5 < 6 แลว 3x5 < 4x6

คอ 15 < 24- ถ� a < b < 0 และ c < d < 0 แลว ac > bdตวอย�งเชน -4 < -3 < 0 และ -6< -5 < 0 แลว -4(-6) > -3(-5) คอ 24 > 15

8. ให a, b, c, d เปนจำ�นวนจรง- ถ� 0 < a < b และ 0 < c < d แลว a < b

d cตวอย�งเชน 0 < 3 < 4 และ 0 < 5 < 6 แลว 3 < 4

6 5- ถ� a < b < 0 และ c < d < 0 แลว a > b

d cตวอย�งเชน -4 < -3 < 0 และ -6< -5 < 0 แลว -4 > -3

-5 -6

ตวอย�ง15 ให a, b, c และ d เปนจำ�นวนจรง ขอใดตอไปนขอใดจรง ขอใดเทจ1. ถ� a2 > b2 แลว a > b2. ถ� a2 < b2 แลว a < b3. ab < cd เมอ a < c และ b < d4. ถ� (a-c)(b-d) > 0 แลว a < c และ b < d5. ถ� a + b < c + d แลว a < c และ b < d

วธทำ� ขอ 1 เทจ เชน a = -3, b = -2 จะเหนว� (-3)2 > (-2)2 แต -3 < -2 ขอ 2 เทจ เชน a = -2, b = -3 จะเหนว� (-2)2 < (-3)2 แต -2 > -3 ขอ 3 เทจ เชน a = -1, b = 10, c = -2, d = 3

จะเหนว� ab < cd คอ (-1)(10) < (-2)(3) แต a > c และ b > d

ขอ 4 เทจ (a-c)(b-d) > 0 เปนไปได 2 กรณ คอa – c < และ b – d < 0 คอ a < c และ b

< d และ a – c > 0 และ b – d คอ a > c และ b > d

ขอ 5 เทจ เชน a = 3, b = -5, c = -1, d = 0 จะเหนว� a + b < c + d คอ 3 + (-5) < (-1) + 0 แต a > c

ตอบ

16. ค�สมบรณของจำ�นวนจรง (Absolute Values)

นย�ม a = a ถ� a > 0-a ถ� a < 0

สมบตของค�สมบรณ

1. a = -a2. a2 = a2

3. a - b = b - a4. a b = b a5. a = เมอ b = 06. a + b < a + b7. a - b > a - b

ตวอย�ง16 ให a, b เปนจำ�นวนนบใด ๆ จงพจ�รณ�ขอคว�มตอไปนว�ขอคว�มเปนจรงหรอเทจ1. a + b = a + b2. a - b = a - b3. a b > a b

วธทำ� ขอ 1 เทจ เชน a = 5, b = 3 จะได 5+3 = 5 + 3

คอ 8 = 8 แตถ� a = 5 b = -3 จะได 5 + (-3) < 5 + -3 คอ 2

< 8นนคอ a + b < a + b

ขอ 2 เทจ เชน a = 3, b = 2 จะได 3-2 = 3 - 2 คอ 1 = 1

แตถ� a = 3 b = -2 จะได 2 - (-2) > 3 - -2 คอ 5 > 1นนคอ a - b > a - b

ขอ 3 เทจ เชน a = 3, b = 2 จะได 3 2 = 3 2 คอ 6 = 6

แตถ� a = 3 b = -2 จะได 3 (-2) > 3(-2) คอ 6 > -6นนคอ a b > a b

17. ร�กทสองของจำ�นวนจรง (Square Roots)

นย�ม ถ� a เปนจำ�นวนจรงบวกใด ๆ หรอศนยแลว ร�กทสองของ a คอ จำ�นวนจรงทยกกำ�ลงสองแลวได 2 จะมสองร�ก คอ ร�กทเปนบวกของ a ใชสญลกษณ a และร�กทเปนลบของ a ใชสญลกษณ - a

ร�กทสองของจำ�นวนจรงบวกจะเปนจำ�นวนตรรกยะหรอจำ�นวนอตรรกยะอย�งใดอย�งหนง

นย�ม ถ� a เปนจำ�นวนจรงใด ๆ แลว a = a เมอ a แทนค�สมบรณของ a

ตวอย�ง 17 จงห�ค�ของจำ�นวนตอไปน1. 49 2. – (–5) 3. 4x4y10

วธทำ� 1. 49 = 72 = 7 = 72. –(-5) = --5 = 53. 4x4y10 = (2x2y5) = 2x2y5 = 2x2 y5

ตอบ

17.1ก�รห�ร�กทสองโดยวธแยกตวประกอบ

แยกตวประกอบของจำ�นวนทตองก�รห�ร�กทสอง จำ�นวนสองจำ�นวนทซำ�กนภ�ยในร�กทสองเอ�ออก ม�นอกร�กได1 ตว

ตวอย�ง 18 จงห�ร�กทสองของ 11,025วธทำ� 11,025 = 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7

= 32 x 52 x 72

= 32 x 52 x 72

= 3 x 5 x 7 ดงนน ร�กทสองของ 11,025 = 105 ตอบ

ตวอย�ง 19 จงห�จำ�นวนเตมบวกทนอยทสดทนำ�ม�คณกบ 1,008 แลวถอดร�กทสองไดลงตววธทำ� 1,008 = 3 x 3 x 4 x 4 x 7

= 32 x 42 x 7 ดงนน จำ�นวนเตมบวกทนอยทสดทนำ�ม�คณกบ 1,008 แลวถอดร�กทสองไดลงตว คอ 7

ตอบ

17.2ก�รห�ร�กทสองโดยวธตงห�ร

1. แบงจำ�นวนเลขทจะห�ร�กทสองออกเปนกลม ๆ ละ 2 ตว1.1 ถ�เปนเลขจำ�นวนเตมใหแบงจ�กตวเลขตวท�ยสดโดยแบงจ�กขว�มอ

ไปท�งซ�ยมอ1.2 ถ�เปนตวเลขหลงจดทศนยมใหแบงจ�กตวเลขตวแรกทอยหลงจดทศนยม

โดยแบงจ�กซ�ยมอไปท�งขว�มอ2. ตงห�ร2.1 ห�ตวเลข 2 จำ�นวนทเท� ๆ กน ทคณกนแลวไดใกลเคยงกบจำ�นวน

ตวเลขกลมแรกม�กทสด ใสตวเลข 2 จำ�นวนทตำ�แหนงของตวตงและตำ�แหนงของ ผลลพธ แลวเอ�ตวตงและผลลพธคณกนใสไดตวตง ลบออกจ�กตวตง ชกตวเลข

คถดไปลงม�เปนตวตงตวใหม

2.2 เอ� 2 คณผลลพธเดมในขอ 2.1 ใสเปนตวตงตนของตวห�รตวตอไป2.3 ผลลพธตวท 2 …ไดจ�กก�รห�ตวเลขทเท�กน ใสทตำ�แหนงของ

ใหผลคณของตวห�รตวใหมและผลลพธตวใหมใกลเคยงกบตวตงตวใหมม�กทสด2.4 ทำ�ต�มขอ 2.1 – 2.3 เรอยไปจนกว�จะไดคำ�ตอบทตองก�ร

18. ร�กทส�มของจำ�นวนจรง (Cube Roots)

นย�ม ให a แทนจำ�นวนจรงใด ๆ ร�กทส�มของa คอ จำ�นวนจรงทยกกำ�ลงส�ม แลวได a เขยนแทนไดดวยสญลกษณ a

ตวอย�ง 20 จงห� x3 – 9x2 + 27x – 27วธทำ� x3 – 9x2 + 27x – 27 = x3 – 3 x2 3 + 3 x 32 –

33

ดงนน x3 – 9x2 + 27x – 27 = (x –3)3 = x – 3ตอบ

19. ร�กท n ของจำ�นวนจรง

นย�ม ให a แทนจำ�นวนจรงใด ๆ ร�กทn ของ a คอ จำ�นวนจรงทยกกำ�ลง a แลวได a เขยนแทนไดดวยสญลกษณ a

1. ถ� n เปนเลขค (2, 4, 6, …) จะไดว�1.1 ร�กท n ของ a เมอ a > 0 คอ - a หรอ a1.2 an = a เมอ a เปนจำ�นวนจรง1.3 ร�กท n ของ a เมอ a < 0 และถอดร�กไมไดในระบบจำ�นวนจรง เชน -8

จะเรยกว� จำ�นวนจนตภ�พ2. ถ� n เปนเลขค (3, 5, 7, …) จะไดว�

2.1 ร�กท n ของ a เมอ a เปนจำ�นวนจรง คอ a ถ� a เปนบวก จะถอดร�ก แลวไดค�บวก และถ� a เปนลบ ถอดร�กแลวจะไดค�เปนลบ

2.2 an = a

20. สมบตของร�กท n

20.1 ก�รบวก ลบ จำ�นวนทอยในรป a

1. a + b ไดเมอ a = b2. ก�รบวกลบกนของ a และ b เมอ a = b แลว ทำ�ไดโดยบวกลบตวเลขทคณอยหน�ร�ก

ตวอย�ง 21 กำ�หนด 2 = 1.414 และ 3 1.732 จงห�ค�ของ 75 – 48 – 98 + 162 +25วธทำ� 75 – 48 – 98 + 162 + 25 = 5 3 – 4 3 – 7 2 + 9 2 + 5

= (5-4) 3 + (9-7) 2+5= 3 + 2 2 + 5= 1.732 + 2(1.414) + 5= 1.732 + 2.828 + 5= 9.56

ดงนน 75 – 48 – 98 + 162 +25 = 9.56ตอบ

ตวอย�ง 22 จงห�ค�ของ วธทำ�

20.2 ก�รคณ ก�รห�ร จำ�นวนในรป

1. เมอ n เปนจำ�นวนคบวก1.1 เมอ a > 0, b > 01.2 เมอ a > 0, b > 02. เมอ n เปนจำ�นวนคบวก2.1 เมอ a, b เปนจำ�นวนจรง

2.2 เมอ a, b เปนจำ�นวนจรง แต b = 0

21. ก�รกระทำ�ระหว�งจำ�นวน 2 จำ�นวนในระบบจำ�นวนจรง (Binary Operation)

ตวอย�ง 23 กำ�หนดให a, b เปนจำ�นวนจรง และกำ�หนดก�รกระทำ� * โดยa * b = a + b + 4 จงห� (2 * 3) * 5

วธทำ� เนองจ�ก a * b = a + b + 42 * 3 = 2 + 3 + 4 = 9

(2 * 3)* 5 = 9 * 5= 9 + 5 + 4 = 18

ดงนน (2 * 3) * 5 = 18ตอบ

ตวอย�ง 24 กำ�หนดให เมอ x และ y เปนจำ�นวนจรงแลว ขอใดตอไปนขอใดผด1. เปนจำ�นวนจรง2. 3.

วธทำ�