1
ล ำดบประเภททสอง
ก ำจร มณแกว*
* สำขำวชำคณตศำสตร คณะวทยำศำสตรและเทคโนโลย มหำวทยำลยรำชภฏบำนสมเดจเจำพระยำ กรงเทพฯ Corresponding author e – mail : munee.j @ hotmail.com
บทคดยอ
ล ำดบประเภททสองไดถกน ำเสนอโดย Abdul – Majid Wazwaz จดเปนล ำดบประเภทใหมทมพจนทงหลำยอยในรปอนกรมอนนตทเกยวของกบแฟกทอเรยล เพอน ำไปใชเปนพนฐำนกำรค ำนวณผลในแคลคลส ซงแบงออกเปน 2 แบบดงนคอ C = { cn } โดยทพจนของ cn เปนอนกรมของจ ำนวนจรง และ D = { dn } โดยทพจนของ dn เปนอนกรมสลบของจ ำนวนจรง
ก ำหนดโดย
และ
บทควำมนมวตถประสงคเพอสรำงอนกรมอนนต cn และ dn ดวยกระบวนกำรใหมทสำมำรถ
อนมำนใหอยในรปวำงนยทวไปพรอมทงวเครำะหหำลมตและผลบวกของอนกรมซงไดผลเปนดงน
1. อนกรมอนนต cn และ dn ในรปวำงนยทวไป เปนดงน
2. ลมตและผลบวกของอนกรมอนนต cn และ dn ไดผลเปนดงน
1) และ
2) และ
ค ำส ำคญ : ล ำดบประเภททสอง / อนกรมอนนต
limn→∞
cn = 0
limn→∞
dn = 0
cn = ∑ 1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
dn = ∑(−1)k1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
cn = e [ ∑(−1)r n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
dn = −e−1 [ ∑ n!
(n − r)!
n
r=0
] + n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
∑ cn
∞
n=1
→ ∞
∑ dn
∞
n=1
→ ∞
2
A Second Type of Sequences
Kumjorn Muneekaew *
*Mathematics Program , Faculty of Science and Technology , Bansomdejchaopraya Rajabhat University , Bangkok Corresponding author e – mail : munee.j @ hotmail.com
Abstract
A second type of sequence was present by Abdul – Majid Wazwaz , the new types of sequences whose terms are infinite series involving factorials , to apply fundamental computes of calculus which has been separated into two models ; C = { cn } , whose terms cn are series of real numbers and D = { dn }, whose terms dn are an alternating series of real numbers ; are given by :
and
The objective of this article is to construct series cn and dn by the new process into the generalization form with the analytic for the limit and the sum of all both which the results below : 1. The model of series cn and dn are given by the generalization form which the results below :
2. The limit and the sum of infinite series cn and dn which the results below :
1) and 2) and Keywords : a second type of sequences / infinite series
limn→∞
cn = 0
limn→∞
dn = 0
cn = ∑ 1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
dn = ∑(−1)k1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
cn = e [ ∑(−1)r n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
dn = −e−1 [ ∑ n!
(n − r)!
n
r=0
] + n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
∑ cn
∞
n=1
→ ∞
∑ dn
∞
n=1
→ ∞
3
บทน ำ
ก ำหนดให f เปนฟงกชนซงหำอนพนธไดทกอนดบท x = 0 เพรำะฉะนนจงสำมำรถเขยน f ในรปอนกรมแมคลอรน ( Maclaurin series ) ไดเปนดงนคอ เมอ ให จะได นนคอ เมอ ดงนนจงก ำหนด ex ในรปอนกรมแมคลอรนไดเปนดงน จำก นนคอ ถำให เปนอนกรมทลเขำบนชวง (0,1)
เรำจงตองหำปรพนธของ xnex ระหวำง x = 0 และ x = 1 ดงน
ดงนน
f(x) = ∑ f (k)(0)
k!
∞
k=0
xk f(0) = f (0)(0)
0!
f(x) = ex ; x ∈ R
f (k)(x) = ex
f (k)(0) = 1
k ≥ 0
f(x) = ∑ f (k)(0)
k!
∞
k=0
xk
ex = ∑ 1
k!
∞
k=0
xk
∑ 1
k!
∞
k=0
xn+k
∫ xnex dx1
0
= ( (−1)0 xnex + (−1)1 nxn−1ex + (−1)2 n(n − 1)xn−2ex
+ (−1)3 n(n − 1)(n − 2)xn−3ex + ⋯ + (−1)n n! ex ) |1
0
= [ (−1)0 e + (−1)1 ne + (−1)2 n(n − 1)e
+ (−1)3 n(n − 1)(n − 2)e + ⋯ + (−1)n n! e ] − (−1)n n!
= e [(−1)0n!
(n − 0)!+ (−1)1
n!
(n − 1)!+ (−1)2
n!
(n − 2)!
+ (−1)3n!
(n − 3)!+ ⋯ + (−1)n
n!
(n − n)! ] − (−1)n n!
= e [ ∑(−1)r
n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n!
∫ xnex dx1
0
= e [ ∑(−1)rn!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
4
อกประกำรหนงเรำกสำมำรถก ำหนด e−x ใหอยในรปอนกรมอนนตไดเชนเดยวกนดงน
จำก จงได นนคอ ในท ำนองเดยวกน ถำให เปนอนกรมทลเขำบนชวง (0,1)
เรำจงตองหำปรพนธของ xne−x ระหวำง x = 0 และ x = 1 ดงน
ดงนน เนอหำ
ล ำดบประเภททสองของอนกรมอนนตไดแบงออกเปน 2 รปแบบ ดงน
1. ล ำดบ เมอ cn เปนอนกรมอนนตของจ ำนวนจรง
นยำมโดย
𝐂 = { 𝐜𝐧 }
cn = ∑ 1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
e−x = ∑ 1
k!
∞
k=0
(−x)k
∑(−1)k1
k!
∞
k=0
xn+k
ex = ∑ 1
k!
∞
k=0
xk
e−x = ∑(−1)k1
k!
∞
k=0
xk
∫ xne−x dx1
0
= (−xne−x − nxn−1e−x − n(n − 1)xn−2e−x − n(n − 1)(n − 2)xn−3e−x
− ⋯ − n! e−x ) |1
0
= −e−1 − ne−1 − n(n − 1)e−1 − n(n − 1)(n − 2)e−1 − ⋯ − n! e−1 + n!
= −e−1 [n!
(n − 0)!+
n!
(n − 1)!+
n!
(n − 2)!+
n!
(n − 3)!+ ⋯ +
n!
(n − n)!] + n!
= −e−1 [ ∑n!
(n − r)!
n
r=0
] + n!
∫ xne−x dx1
0
= −e−1 [ ∑n!
(n − r)!
n
r=0
] + n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
= −e−1( 1 + n + n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) + ⋯ + n! ) + n!
5
= n! ( ∑ 1
r!
∞
r=0
) [ 1
(n + 1)! −
1
(n + 2)! +
1
(n + 3)! −
1
(n + 4)!+ ⋯ ]
= n! e (−1)−n−1 (e−1 − ∑(−1)k 1
k!
n
k=0
)
= (−1)−n−1 n! + e [ ∑(−1)k − n n!
k!
n
k=0
]
ดงนน
cn = 1
(n + 1)(0!)+
1
(n + 2)(1!)+
1
(n + 3)(2!)+
1
(n + 4)(3!)+
1
(n + 5)(4!)+ ⋯
= n!
(n + 1)! 0!+
(n + 1)!
(n + 2)! 1!+
(n + 2)!
(n + 3)! 2!+
(n + 3)!
(n + 4)! 3!+
(n + 4)!
(n + 5)! 4!+ ⋯
= n!
(n + 1)! 0!+
n! (n + 1)
(n + 2)! 1!+
n! (n + 1)(n + 2)
(n + 3)! 2! +
n! (n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 4)! 3!
+n! (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
(n + 5)! 4!+ ⋯
= n!
(n + 1)! 0!+ n! [
1
(n + 1)! 1!−
1
(n + 2)! 0! ]
+ n! [ 1
(n + 1)! 2!−
1
(n + 2)! 1!+
1
(n + 3)! 0! ]
+ n! [ 1
(n + 1)! 3!−
1
(n + 2)! 2!+
1
(n + 3)! 1!−
1
(n + 4)! 0! ]
+ n! [1
(n + 1)! 4!−
1
(n + 2)! 3!+
1
(n + 3)! 2!−
1
(n + 4)! 1!+
1
(n + 5)! 0!] + ⋯
= n! [ 1
(n + 1)! 0! +
1
(n + 1)! 1! +
1
(n + 1)! 2! + ⋯ ]
− n! [ 1
(n + 2)! 0! +
1
(n + 2)! 1! +
1
(n + 2)! 2! + ⋯ ]
+ n! [ 1
(n + 3)! 0! +
1
(n + 3)! 1! +
1
(n + 3)! 2! + ⋯ ]
− n! [ 1
(n + 4)! 0! +
1
(n + 4)! 1! +
1
(n + 4)! 2! + ⋯ ] + ⋯
6
cn = e [ ∑(−1)n − k n!
k!
n
k=0
] + (−1)n+1 n!
= e [(−1)n n!
0!+ (−1)n−1
n!
1!+ ⋯ + (−1)1
n!
(n − 1)!+ (−1)0
n!
n! ] + (−1)n+1 n!
= e [ ∑(−1)r n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n!
∑ cn = ∑ ∑1
(n + k + 1)(k!)
∞
k=0
∞
n=1
∞
n=1
ดงนนจงได cn ในรปแบบวำงนยทวไปเปนดงน
เมอพจำรณำลมตทอนนตของ cn ใน (1.1) จงไดวำ
และวเครำะหหำผลบวกของอนกรมอนนต cn ไดเปนดงน จำก
+ (−1)n n!
(n − n)! ] + (−1)n+1 n!
= e [ (−1)0 n!
(n − 0)!+ (−1)1
n!
(n − 1)!+ ⋯ + (−1)n−1
n!
(n − (n − 1))!
cn = e [ ∑(−1)r n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n! ; n = 1 , 2 , 3 , … … . (1.1)
limn→∞
cn = 0
cn = ∑ 1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
= ∑ [ 1
(n + 1)(0!)+
1
(n + 2)(1!)+
1
(n + 3)(2!)+
1
(n + 4)(3!)+ ⋯ ]
∞
n=1
= 1
0!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) +
1
1!(
1
3+
1
4+
1
5+ ⋯ )
+1
2!(
1
4+
1
5+
1
6+ ⋯ ) +
1
3!(
1
5+
1
6+
1
7+ ⋯ ) + ⋯
7
∑ cn = [ 1
0!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) +
1
1!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ )
∞
n=1
= e [ ∑1
r
∞
r=2
] − convergent series
∑ cn
∞
n=1
divergent series
∑1
r
∞
r=1
( harmonic series )
( divergent series )
∑1
r
∞
r=2
= ∑1
r
∞
r=1
− 1
นนคอ จงเปน หมำยเหต
เปนอนกรมลเขำหำ 1.1653822 และเนองจำก คออนกรมฮำรมอนก ซงเปนอนกรมลออก เพรำะฉะนน จงเปนอนกรมลออก 2. ล ำดบ เมอ dn เปนอนกรมอนนตสลบของจ ำนวนจรง
นยำมโดย
𝐃 = { 𝐝𝐧 }
dn = ∑(−1)k1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
+1
2!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) +
1
3!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) + ⋯ ]
− [ 1
1!(
1
2 ) +
1
2!(
1
2+
1
3 ) +
1
3!(
1
2+
1
3+
1
4 ) + ⋯ ]
= ( 1
0!+
1
1!+
1
2!+
1
3!+ ⋯ ) (
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) − ∑
1
k!
∞
k=1
[ ∑ 1
j + 1
k
j=1
]
∑ 1
k!
∞
k=1
[ ∑ 1
j + 1
k
j=1
]
8
= n! ( ∑(−1)r 1
r!
∞
r=0
) [ 1
(n + 1)!+
1
(n + 2)! +
1
(n + 3)!+
1
(n + 4)!+ ⋯ ]
= n! e−1 (e − ∑ 1
k!
n
k=0
)
= n! − e−1 [ ∑ n!
k!
n
k=0
]
ดงนน
dn = 1
(n + 1)(0!)−
1
(n + 2)(1!)+
1
(n + 3)(2!)−
1
(n + 4)(3!)+
1
(n + 5)(4!)− ⋯
= n!
(n + 1)! 0!−
(n + 1)!
(n + 2)! 1!+
(n + 2)!
(n + 3)! 2!−
(n + 3)!
(n + 4)! 3!+
(n + 4)!
(n + 5)! 4!− ⋯
= n!
(n + 1)! 0!−
n! (n + 1)
(n + 2)! 1!+
n! (n + 1)(n + 2)
(n + 3)! 2!−
n! (n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 4)! 3!
+n! (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
(n + 5)! 4!− ⋯
= n!
(n + 1)! 0!− n! [
1
(n + 1)! 1!−
1
(n + 2)! 0! ]
+ n! [ 1
(n + 1)! 2!−
1
(n + 2)! 1!+
1
(n + 3)! 0! ]
− n! [ 1
(n + 1)! 3!−
1
(n + 2)! 2!+
1
(n + 3)! 1!−
1
(n + 4)! 0! ]
+ n! [ 1
(n + 1)! 4!−
1
(n + 2)! 3!+
1
(n + 3)! 2!−
1
(n + 4)! 1!+
1
(n + 5)! 0! ] − ⋯
= n! [ 1
(n + 1)! 0!−
1
(n + 1)! 1! +
1
(n + 1)! 2!− ⋯ ]
+ n! [ 1
(n + 2)! 0!−
1
(n + 2)! 1! +
1
(n + 2)! 2!− ⋯ ]
+ n! [ 1
(n + 3)! 0!−
1
(n + 3)! 1! +
1
(n + 3)! 2!− ⋯ ]
+ n! [ 1
(n + 4)! 0!−
1
(n + 4)! 1! +
1
(n + 4)! 2!− ⋯ ] + ⋯
9
dn = −e−1 [ n!
0!+
n!
1!+ ⋯ +
n!
(n − 1)!+
n!
n! ] + n!
= −e−1 [ ∑ n!
(n − r)!
n
r=0
] + n!
= −e−1 [ n!
(n − 0)!+
n!
(n − 1)!+ ⋯ +
n!
(n − (n − 1))! +
n!
(n − n)! ] + n!
∑ dn = ∑ ∑(−1)k1
(n + k + 1)(k!)
∞
k=0
∞
n=1
∞
n=1
ดงนนจงได dn ในรปแบบวำงนยทวไปเปนดงน
เมอพจำรณำลมตทอนนตของ dn ใน (2.1) จงไดวำ
และวเครำะหหำผลบวกของอนกรมอนนต dn ไดเปนดงน
จำก
dn = −e−1 [ ∑ n!
(n − r)!
n
r=0
] + n! ; n = 1 , 2 , 3 , … … . (2.1)
limn→∞
dn = 0
dn = ∑(−1)k1
(n + k + 1)(k!) ; n = 1 , 2 , 3 , …
∞
k=0
= ∑ [ 1
(n + 1)(0!)−
1
(n + 2)(1!)+
1
(n + 3)(2!)−
1
(n + 4)(3!)+ ⋯ ]
∞
n=1
= 1
0!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) −
1
1!(
1
3+
1
4+
1
5+ ⋯ )
+1
2!(
1
4+
1
5+
1
6+ ⋯ ) −
1
3!(
1
5+
1
6+
1
7+ ⋯ ) + ⋯
10
∑ dn = [ 1
0!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) −
1
1!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ )
∞
n=1
= e−1 [ ∑1
r
∞
r=2
] + convergent series
divergent series ∑ dn
∞
n=1
∑1
r
∞
r=2
นนคอ จงเปน หมำยเหต
เปนอนกรมลเขำหำ 0.220588
แต เปนอนกรมลออก
+1
2!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) −
1
3!(
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) + ⋯ ]
+ [ 1
1!(
1
2 ) −
1
2!(
1
2+
1
3 ) +
1
3!(
1
2+
1
3+
1
4 ) − ⋯ ]
= ( 1
0!−
1
1!+
1
2!−
1
3!+ ⋯ ) (
1
2+
1
3+
1
4+ ⋯ ) + ∑(−1)k+1
1
k!
∞
k=1
[ ∑ 1
j + 1
k
j=1
]
∑(−1)k+11
k!
∞
k=1
[ ∑ 1
j + 1
k
j=1
]
11
∑ cn → ∞
∞
n=1
∑ dn → ∞
∞
n=1
ตอไปจะแสดงผลกำรวเครำะหเชงตวเลขของล ำดบประเภททสองไว ดงน
ตำรำงท 1 แสดงผลกำรวเครำะหเชงตวเลขของล ำดบ cn และ dn
n cn dn
1 1 0.2642411 2 0.7182819 0.1606028 3 0.5634363 0.1139289 4 0.4645365 8.783632E-02 5 0.3955996 7.130217E-02 . … … . … … . … …
16 0.1514609 2.290879E-02 17 0.1434468 2.156988E-02 18 0.1362399 2.037847E-02 19 0.1297239 1.931150E-02 20 0.1238038 1.835047E-02 21 0.1184014 1.748039E-02 22 0.1134514 1.668893E-02 23 0.1088993 1.596593E-02 24 0.1046989 1.530288E-02 25 0.1008108 1.469264E-02 26 9.720148E-02 1.412913E-02 27 9.384196E-02 1.360721E-02 28 9.070714E-02 1.312243E-02
29 8.777516E-02 1.267097E-02 30 8.502696E-02 1.224950E-02 0 0
n → ∞
12
สรป
จำกกำรศกษำและวเครำะหเชงตวเลขล ำดบประเภททสองของอนกรมอนนตไดผลเปนดงน
1. อนกรมอนนต cn ในรปวำงนยทวไปไดเปน
ซงไดผลสรปคอ และ 2. อนกรมอนนต dn ในรปวำงนยทวไปไดเปน
ซงไดผลสรปคอ และ
เอกสำรอำงอง Abdul , M.W.(1992). Sequences of Series. Appl.math.Letters , 5(3) , 39 - 43.
Hardy , G.H.(1963). Divergent Series. London : Oxford University Press.
limn→∞
dn = 0
limn→∞
cn = 0
∑ dn
∞
n=1
→ ∞
cn = e [ ∑(−1)r n!
(n − r)!
n
r=0
] − (−1)n n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
∑ cn
∞
n=1
→ ∞
dn = −e−1 [ ∑ n!
(n − r)!
n
r=0
] + n! ; n = 1 , 2 , 3 , …
Recommended
