"Żadna nauka nie wzmacnia tak wiary w potęgę umysłu ludzkiego, jak matematyka." Hugo Dyonizy Steinhaus VI. Funkcje trygonometryczne
Wykresy: y=tgx y=ctgx
Własności Funkcja
sinus cosinus tangens cotangens
Dziedzina \{𝜋
2+ 𝑘𝜋} \{𝑘𝜋}
Zbiór wartości [-1,1] [-1,1]
Monotonicznośd Rosnąca w
[-π/2+2kπ,π/2+2kπ+
Malejąca w
[ π/2+2kπ, 3π/2+2kπ+
Rosnąca w
<π+2kπ,2π+2kπ>
Malejąca w
<2kπ,π+2kπ>
Rosnąca w
(-π/2+kπ,π/2+kπ)
Malejąca w
(kπ,π+kπ)
Różnowartościo
wośd
Różnowartościowa w
[-π/2+2kπ,π/2+2kπ+ i
* π/2+2kπ, 3π/2+2kπ+
Różnowartościowa w
*2kπ,π+2kπ+ i
[π+2kπ,2π+2kπ+
Różnowartościowa w
(-π/2+kπ,π/2+kπ)
Różnowartościowa w
(kπ,π+kπ)
Parzystośd nieparzysta
sin(-x)=-sin(x)
parzysta
cos(-x)=cos(x)
nieparzysta
tg(-x)=-tg(x)
nieparzysta
ctg(-x)=-ctg(x)
Okresowośd okresowa T=2π okresowa T=2π okresowa T=π okresowa T=π
α 𝜋
2−α
𝜋
2+α π-α π+α 3𝜋
2−α
3𝜋
2+α 2π-α 2π+α -α
𝑠𝑖𝑛 sin𝛼 cos𝛼 cos𝛼 sin𝛼 −sin𝛼 −cos 𝛼 −cos 𝛼 −sin𝛼 sin𝛼 −sin𝛼
𝑐𝑜𝑠 cos𝛼 sin𝛼 −sin𝛼 −cos 𝛼 −cos 𝛼 −sin𝛼 sin𝛼 cos𝛼 cos𝛼 cos𝛼
𝑡𝑔 tg 𝛼 ctg𝛼 −ctg𝛼 −tg𝛼 tg 𝛼 ctg𝛼 −ctg𝛼 −tg𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼
𝑐𝑡𝑔 ctg 𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼 −ctg𝛼 ctg 𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼 −ctg𝛼 ctg 𝛼 − ctg 𝛼
Wzory redukcyjne
Wzory trygonometryczne: 1. sin2 𝛼 +cos2 𝛼 = 1 2. sin 𝛼 ± 𝛽 = sin 𝛼 cos𝛽 ± cos𝛼 sin 𝛽 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos𝛼 3. cos 𝛼 ± 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼𝛼 sin 𝛽 cos 2𝛼 = cos2 𝛼−sin2 𝛼
4. cos𝛼
2=
1+cos 𝛼
2
5. sin𝛼
2=
1−cos 𝛼
2
6. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 7. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼 8. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 9. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽
10. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽
2𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
11. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼−𝛽
2𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
12. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝛽
2𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
13. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2 𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽
2𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽
2
14. 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑔𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1
15. 𝑡𝑔 𝛼 ± 𝛽 =𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽
1∓𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔2𝛼 =
2𝑡𝑔𝛼
1−𝑡𝑔2𝛼
16. 𝑡𝑔𝛼
2=
(1−𝑐𝑜𝑠𝛼)
(1+𝑐𝑜𝑠𝛼)
Dowód 2: sin 𝛼 + 𝛽 =𝐴𝐶 = 𝐸𝐷 + 𝐹𝐴 = sin 𝛼 ⋅ 𝑂𝐷 + cos𝛼 ⋅ 𝐴𝐷 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 cos −𝛽 + sin −𝛽 cos𝛼 = = sin 𝛼 cos𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼
Dowód 4:
cos 𝛼 = 2 cos2𝛼
2− 1
cos2𝛼
2=cos𝛼 + 1
2
cos𝛼
2=
1+cos 𝛼
2
Dowód 6: 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = = sin 𝛼 cos𝛽 + sin 𝛽 cos 𝛼 + sinα cos𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼=2 sin 𝛼 cos𝛽
Dowód10 :
Niech 𝑥 =𝛼+𝛽
2, 𝑦 =
𝛼−𝛽
2
sin 𝛼 + sin 𝛽 = sin(𝑥 + 𝑦) + sin 𝑥 − 𝑦 = 2 sin𝛼+𝛽
2cos
𝛼−𝛽
2
Dowód 14:
𝑡𝑔 𝛼 ± 𝛽 =sin 𝛼+𝛽
cos 𝛼+𝛽=
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽
=𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽
1±𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽
1
𝜋
2
Zadanie: 1. Sprawdź tożsamości:
a) 1−2𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥,
b) 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛5𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠5𝑥= 𝑡𝑔3𝑥,
c) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑦 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑦 2. Wyznacz:
a) sinx z równania 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0 jeżeli 𝑥 ∈ (3𝜋
2, 2𝜋) ,
b) tgx z równania 8𝑡𝑔2𝑥
2= 1 +
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 jeżeli 𝑥 ∈ (
𝜋
2, 𝜋),
c) cosx z równania sinx + ctgx =𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑥, a>0. Dla jakich a istnieje rozwiązanie?
3. Narysuj wykresy funkcji:
a) f(x)=sin(2x- 𝜋
4) + 1,
b) f(x)=(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 ,
c) f(x)=|𝑠𝑖𝑛
𝑥
2|
2𝑐𝑜𝑠𝑥
2
Równanie elementarne – metoda rozwiązywania: sin 𝑥 = sin 𝑦
𝑥 = 𝑦 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥 = 𝜋 − 𝑦 + 2𝑘𝜋
cos 𝑥 = cos 𝑦 𝑥 = 𝑦 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥 = −𝑦 + 2𝑘𝜋
𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷tgx
𝑥 = 𝑦 + 𝑘𝜋 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑡𝑔𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷ctgx
𝑥 = 𝑦 + 𝑘𝜋
Np. 1. Rozwiąż 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ponieważ sinx+10 cosx 0 oraz 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1)2 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑙𝑢𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1
𝑥 = 0 + 2𝑘𝜋 𝑙𝑢𝑏 𝑥 =3𝜋
2+ 2𝑘𝜋 𝑙𝑢𝑏 𝑥 =
−𝜋
2+ 2𝑘𝜋 =
3𝜋
2+ 2𝑘𝜋
Dla wszystkich rozwiązao cosx 0.
2. Rozwiąż cos 5𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0 2𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 1 ≤ 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0
𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≥ −1
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0
𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≤ −1
2
𝑐𝑜𝑠4𝑥 = −1
2
𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝜋
3
4𝑥 =2𝜋
3+ 2𝑘𝜋 ∨ 4𝑥 = −
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋
𝑥 =𝜋
6+𝑘𝜋
2 𝑥 = −
𝜋
6+𝑘𝜋
2
𝑥 ∈ [
𝜋
2+ 2𝑘𝜋;
3𝜋
2+ 2𝑘𝜋]
𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≥ −1
2
𝑥 ∈ [−
𝜋
2+ 2𝑘𝜋;
𝜋
2+ 2𝑘𝜋]
𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≤ −1
2
𝑥𝜖 − 𝜋
3+ 2𝑘𝜋;−
𝜋
6+ 2𝑘𝜋
𝜋
6+ 2𝑘𝜋;
𝜋
3+ 2𝑘𝜋
𝜋
2+ 2𝑘𝜋;
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋
5𝜋
6+ 2𝑘𝜋;
7𝜋
6+ 2𝑘𝜋 [
4𝜋
3+ 2𝑘𝜋;
3𝜋
2+ 2𝑘𝜋]
3. Rozwiąż 𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥− 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, D:𝑥 ≠
𝜋
2+ 𝑘𝜋 y=𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥1
cos2 𝑥− 2 = 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 =2
2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
2
2
𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 =𝜋
4+ 𝑘𝜋 𝑥 =
3𝜋
4+ 𝑘𝜋
4. Rozwiąż 𝑡𝑔𝑥 − 2𝑐𝑡𝑔𝑥 ≤ 1 D: 𝑥 ≠ 𝑘𝜋
2
𝑡𝑔𝑥 − 21
𝑡𝑔𝑥− 1 ≤ 0 y=tgx
𝑡𝑔2𝑥−𝑡𝑔𝑥+2
𝑡𝑔𝑥≤ 0
𝑡𝑔𝑥(𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 − 2) ≤ 0 Δ=9 tgx (-,-1][0,2]
𝑥 ∈ (−𝜋
2+ 𝑘𝜋,−
𝜋
4+ 𝑘𝜋][𝑘𝜋,+ 𝑘𝜋],
gdzie tg=2
-1 0 2 t
Zadanie: 1. Rozwiąż: a) sinx+cos3x=0, b) sinx-cosx=1, c) tg2x+tg3x=0 2. Rozwiąż: a) ctg8xctg10x=-1 ,
b) sinx+cosx= 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 ,
c) 2cos2x-8cosx+7=1
𝑐𝑜𝑠𝑥
3. Rozwiąż:
a) sinxsin3x≤1
2 ,
b) 1−4𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥< 2 ,
c) tgx+tg2xtg3x
V. Funkcja cyklometryczna
Def. Funkcją f(x)=arcsinx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinx w przedziale −𝜋
2,𝜋
2
Funkcją f(x)=arccosx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cosx w przedziale 0, 𝜋
Funkcją f(x)=arctgx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tgx w przedziale −𝜋
2,𝜋
2
Funkcją f(x)=arcctgx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ctgx w przedziale (0,). y=arcsinx y=arccosx y=sinx y=cosx
y=tgx y=arcctgx y=ctgx
y=arctgx
Własności Funkcja
arcsin arccos arctg arcctg
Dziedzina [-1,1] [-1,1]
Zbiór wartości [-π/2, π/2+ *0, π+ (-π/2, π/2) (0, π)
Monotonicznośd Rosnąca Malejąca Rosnąca Malejąca
Różnowartościowośd Różnowartościowa Różnowartościowa Różnowartościowa Różnowartościowa
Parzystośd nieparzysta
arcsin(-x)=-arcsin(x)
- nieparzysta
arctg(-x)=-arctg(x)
-
Okresowośd - - - -
Np.
1. Oblicz arctg(tg(7𝜋
8))
arctg(tg(7𝜋
8))(-π/2, π/2) arctg(tg(
7𝜋
8))= arctg(tg(
7𝜋
8 - ))= arctg(tg(−
𝜋
8))= -
𝜋
8
cos(2arcsin4
5) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
4
5= 1 − 2 ∙
4
5
2= −
7
25
2. Wykaż, że arctgx+arcctgx=𝜋
2
arctgx=𝜋
2 - arcctgx
𝜋
2 - arcctgx (-
𝜋
2, 𝜋
2)
x=tg(𝜋
2 - arcctgx) arcctgx(0,)
x=ctg(arcctgx) x x=x x
3. Narysuj wykres funkcji f(x)=arcsin(sinx)
arcsinx jest funkcją odwrotną do sinx tylko w przedziale [-/2,/2]
𝑓 𝑥 =
…
arcsin −sin 𝑥 + 𝜋 = −𝑥 − 𝜋, 𝑑𝑙𝑎 𝑥[−3𝜋
2,−𝜋
2)
arcsin sin 𝑥 = 𝑥, 𝑑𝑙𝑎 𝑥[−𝜋
2,𝜋
2]
arcsin −sin 𝑥 − 𝜋 = −𝑥 + 𝜋, 𝑑𝑙𝑎 𝑥(𝜋
2,3𝜋
2]
…
4. Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑓 𝑥 = arc𝑠𝑖𝑛 (log 1 − 𝑥 )
𝐷𝑓: arc𝑠𝑖𝑛 (log 1 − 𝑥 )0 -1log(1-x)1 1-x>0
log 1 − 𝑥 0 1
10≤ 1 − 𝑥 ≤ 10 1>x
1-x1 -9x 11
10 x<1
x [-9,0]
Zadanie: 1. Oblicz:
a) arcctg(tg15𝜋
7) ,
b) tg𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2
3
2 ,
c) sin(arcctg5-arccos1
5)
2. Wykaż, że:
a) arctgx-arcctg1
𝑥= 0, x(0,) ,
b) arcsinx-arccos1
1−𝑥2= 0, x(-1,1),
c) arctg1
4 +2arctg
1
5= arctg
32
43
3. Narysuj wykresy funkcji: a) f(x)=sin(arcsinx) ,
b) f(x)=𝜋
3-arccos(2x-1) ,
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 −1
𝜋𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑡𝑔
2𝑥−1 𝜋
2)
4. Rozwiąż:
a) arcsin(1-x)-2arcsinx=𝜋
2 ,
b) arcctgxarctgx ,
c) arccos(4𝑥+1 − 2𝑥) ≥𝜋
3