AJUSTE DE FUNÇÕES PARA O CRESCIMENTO POPULACIONAL DA CIDADE DE BENTO GONÇALVES- A MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA NO
ENSINO
Luiz Ambrozi [email protected]
Paulo Pires Rusezyt [email protected]
Pitias Beckestein Paz [email protected]
Julhane Schulz [email protected]
RESUMO: É visível que cada dia mais as cidades de interior encontram-se em um processo de crescimento absurdo. Eventualmente, este processo pode ser aplicado em sala de aula, nos mais diversos níveis de ensino, através da Modelagem Matemática. Este trabalho, apresenta o ajuste de diversos tipos de funções para descrever o crescimento populacional da cidade de Bento Gonçalves. A comparação e avaliação desses ajustes são feita através de funções ajustadas em relação aos dados estatísticos.Como último ajuste foi feito através do modelo proposto por Velhust que resulta a curva logística, com expectativa de estimar em quanto tempo a cidade de Bento Gonçalves estará com sua capacidade populacional máxima atingida. PALAVRAS –CHAVE: Modelagem Matemática, Ensino , Funções.
Introdução
Bento Gonçalves está localizada na região dos vinhedos, no estado do Rio Grande Sul,
mais precisamente na região da serra. Foi habitada inicialmente por indígenas e até 1870
chamava-se Cruzinha, por ser o local onde morreu e foi enterrado um traçador de estradas ou
tropeiro. Por ato do Presidente da Província de São Pedro, com objetivo de ampliar a área de
colonização, foram criadas as Colônias Dona Isabel e Conde D'Eu. Hoje, são as cidades de
Bento Gonçalves e de Garibaldi respectivamente.
A Colônia Dona Isabel, criada em 1870, já era conhecida por Região da Cruzinha,
devido a uma cruz rústica, cravada sobre a sepultura de um possível tropeiro ou traçador de
lotes coloniais. Era época do escambo, ou seja, da troca de mercadoria por mercadoria. A
Colônia Dona Isabel sediava um pequeno comércio no qual os tropeiros faziam paradas para
descanso.
Em 24 de dezembro de 1875, os núcleos do Planalto começaram a receber novos
imigrantes, e em março de 1876, o Presidente do Estado, José Antonio de Azevedo Castro,
anunciava a existência de 348 lotes medidos e demarcados, e uma população de 790 pessoas,
sendo 729 italianos. Ainda em 24 de dezembro de 1875, outros pioneiros oriundos do Tirol
Austríaco e Vêneto chegaram à esplanada, onde hoje está situada a Igreja Matriz Cristo Rei.
O desmembramento da Colônia Dona Isabel do município de Montenegro, foi pelo
Ato 474, de 11 de outubro de 1890, assinado por Cândido Costa, para constituir o município
de Bento Gonçalves. O nome foi dado em homenagem ao general Bento Gonçalves da Silva,
chefe da Revolução Farroupilha ocorrida no Rio Grande do Sul em 1835. Bento Gonçalves
teve seu primeiro impulso de progresso com a vinda da agência do Banco Nacional do
Comércio. Embora tenham encontrado um Rio Grande mais organizado economicamente, os
italianos tiveram de enfrentar dificuldades semelhantes às vividas pelos alemães. Mas, embora
ambas as colonizações tenham sido feitas em zonas de mata, as áreas de ocupação italiana
eram mais altas e mais acidentadas. Enquanto a colonização alemã atingiu seu ponto máximo
em Nova Petrópolis (597 metros de altitude), a italiana se faria em altitudes que variavam
entre 600 e 900 metros.
Em 1940, a população da cidade era de 18.771 habitantes. As principais atividades
econômicas giravam em torno do setor agrícola. Contudo, começaram a surgir várias
indústrias, como acordeões, laticínios, móveis, curtume, fábrica de sulfato e vinícolas.
Através da modelagem matemática e dos dados a partir de 1940, os quais apresentam
mais precisão, tentaremos com este trabalho criar um modelo matemático que estime o
crescimento da população de Bento Gonçalves, com finalidade de auxiliar educadores no
ensino da matemática com turmas de ensino médio, podendo estender-se ao ensino superior.
2. Materiais e Métodos
Para a realização deste trabalho, dispões-se de oito dados estatísticos da população
de Bento Gonçalves, referentes a cada década de 1940 a 2010, conforme senso populacional
realizado pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.
A metodologia a ser utilizada é a regressão pelo método dos mínimos quadrados. Com
este método é possível ajustar uma função a uma série de pontos. Estes pontos a que nos
referimos, são de origem experimental, podendo haver alguma carga de incertezas voltadas
aos erros experimentais que os associam, sendo que podemos ajustar uma função que se
adapte a uma forma ou tendência de curva através da minimização dos seus erros e a função
ajustada. A técnica a que nos referimos é conhecida como o método dos mínimos quadrados,
que vai se basear na minimização do erro entre a função de ajuste e os dados a ajustar.
O objetivo deste estudo, com base em uma situação problema referente ao crescimento
populacional da cidade de Bento Gonçalves, é poder trabalhar alguns conteúdos com alunos
de ensino médio, tais como função linear, função exponencial e logarítmica, podendo se
prolongar ao ensino superior com estudos de equações diferencias através do Modelo de
Velhust. Enfocando a relação entre ensino – aprendizagem através da modelagem matemática,
que, por sua vez, tem como enfoque tomar situações-problema em modelos matemáticos para
sua solução, como sita Bassanezi (2004): “A modelagem matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real.”
3. Tabulação de Dados e Modelos
A tabela (1) mostra a população de Bento Gonçalves correspondendo a sua respectiva
década, entre a década de 1940 à 2010, com o a quantidade de dados levantados.
Década 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 População 18.771 24.933 33.956 41.979 58.941 78.6943 91.486 107.278
N° de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 Tabela 1. População de Bento Gonçalves em Relação à década correspondente.
3.1 Ajuste Linear Este ajuste consiste em encontrar os parâmetros a e b da função linear.
y b ax (1)
Onde y se refere à população decorrente e x se refere aos anos de sua respectiva
população. Foi determinado a reta através do método dos mínimos quadrados, adaptando a
reta de maneira mais eficiência para o crescimento populacional. Os parâmetros a e b são
dados através do sistema,
1 1
2
1 1 1
n n
i i i ii i
n n n
i i i i i ii i i
nb a x y
b x a x x y
(2)
Onde n é o números de dados. Considerando os dados da tabela (1) e resolvendo o
sistema (2), encontramos a = 1313.14 e b = -2.53644, assim para a equação (1) temos:
2,53644 1313,14.y x (3)
A figura (1) mostra o diagrama de dispersão dos dados populacionais e a reta ajustada.
A análise do ajuste é feita através do desvio padrão do ajuste, que é dado por:
n2
i ii 1
( xa x )S
n
(4)
Onde ixa é valor calculado pela curva ajustada no tempo i. Através da equação (4) e
considerando a equação (3) juntamente com os dados da tabela (1), temos para o ajuste linear
um erro padrão de 0.987167.
Figura (1). Diagrama de dispersão reta do ajuste linear.
Com este primeiro modelo já criado, podemos trabalhar conceitos da função linear,
com alunos das turmas do ensino médio, mostrando que este ajuste linear toma forma
parecida com a da reta linear.
3.2 Ajuste exponencial
Nesta secção iremos trabalhar com o ajuste exponencial, dada pela equação de
potência: axy be (5)
Através do método da regressão exponencial, que segue abaixo encontramos os
parâmetros a e lnb.
2 2
( ln ) ( ) (ln )( ) ( )
i i i i
i i
n x y x ya
n x x
(6)
2
2 2
( ) (ln ) ( ln ) ( )ln
( ) ( )i i i i
i i
x y x y xb
n x x
(7)
Substituindo os valores da tabela (1) nas equações (6) e (7) conseguimos encontrar os
valores de a e lnb com seus respectivos valores equivalendo a a = 0.0256532 , lnb = -39.8765.
Após substituímos o valor encontrado em (7), na fórmula (8) que segue abaixo:
lnbb e (8)
Onde conseguimos encontrar o valor de b, que equivale a b = 0184.806800441 10 .
Chegando assim na equação de potência abaixo: 018 0.02565324.806800441 10y e (9)
A figura (2) mostra o diagrama de dispersão dos dados estatísticos e a curva do ajuste
através da função de potência.
Figura 3. Diagrama de dispersão e a curva do ajuste através da função de potência
A partir desse método podemos trabalhar conceitos estatísticos, propriedades da
potenciação, função exponencial e logarítmica.
3.3 Ajustes da função cúbica
Na teoria da regressão por mínimos quadrados, vemos que se obtém os parâmetros a,
b, c na equação y=a+bx+cx²+dx³ (10) ou y= a 2 31 2 3 4y a a a x a x (11). Onde y se refere à
população decorrente e x se refere aos anos de sua respectiva população. Resolvendo o
seguinte sistema com respeito às incógnitas a1,a2,a3, encontradas a partir do sistema abaixo:
2 31 2 3 4
2 31 2 3
41 2² ³ ²
a n a x a x a x ya x a x a x xya x a x x x y
(12)
A partir deste dado encontramos a equação A equação da regressão linear é y =
1.52349e +009 + -2.29868e +006x + 1155.33.x² - 0.193421.x³, que conforme gráfico abaixo é
o que mais se ajusta aos dados inseridos:
Figura 4. Diagrama de dispersão e a curva do ajuste através da função cúbica
Como este modelo é o que mais se ajustou, podemos trabalhar em sala de aula as
funções quadráticas e cúbicas. Observando quais terão melhores respostas.
3.4 Modelo de Velhust
O modelo de crescimento populacional, proposto em 1838, é baseado na avaliação de
estatísticas disponíveis e complementa a teoria do crescimento exponencial com termos
representando os fatores de inibição do crescimento. Uma posterior elaboração foi publicada
num trabalho de 1845. Desde os anos 1970 do século XX a equação logística tem recebido
grande atenção como exemplo importante da teoria do caos. Verlhust publicou em 1838 a
equação logística:
xx ax(1 )k
(13)
Onde k é a capacidade de suporte e a é parâmetro a determinar.
Resolvendo a equação diferencial, temos:
0at
o 0
k.xxx ( k x )e
(14)
sendo 0x a população inicial. Determinando o valor do parâmetro
0.055tk. 18.771x
18.771 ( k 18.771)e
(15)
Foi considerado um ajuste para curva logística, no qual por tentativa e erro
consideramos o valor de k = 130000, chegando a apresentar a uma curva muito satisfatória,
como mostra a figura (4).
Figura 3: Curva Logística com k = 130000
Este modelo utilizado, de certo modo antes da substituição, é uma equação diferencial
que pode ser trabalhado no Ensino Superior, sendo que após a substituição se torna em uma
função exponencial e também poderia ser trabalhada no Ensino Médio. Para todas os ajustes
os autores fizeram a utilização do software free Scilab, que pode juntamente com as funções
encontradas no decorrer do trabalho auxiliar os alunos nas construções de gráficos e de ajustes
das equações, por envolver também as novas tecnologias em ambiente escolar. Todos os
processos de construção dentro do ambiente do software encontram-se em anexo no final
deste trabalho.
Considerações finais
A partir da análise dos dados podemos estimar que a população de Bento Gonçalves
chegará ao seu auge aproximadamente no ano de 2030. Estimando uma população de 130000
habitantes para o ano acima. Percebemos também que podemos fazer várias abordagens para
estudos de funções para as turmas de Ensino Médio e Superior, fazendo despertar o interesse
da pesquisa nos alunos, mostrando que a Matemática se apresenta em diversos meios e
representações, podendo nos dar modelos de fatos ocorridos em nosso cotidiano ou também
pode nos dar estimativas do que poderá acontecer no futuro. Também observamos que a
utilização de ferramentas computacionais como o Scilab são essenciais para fazer a validação
dos dados, pois, como demonstrado no artigo, de todas as equações trabalhadas a que mais se
ajusta é a função cúbica. Além de que ao inserirmos as novas tecnologias em sala de aula
estaremos estimulando o processo de ensino-aprendizagem do aluno.
Referências
BASSANEZI,R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto,
2009.
Bavaresco, Delair; Rafikov Marat. Ajuste de funções para o crescimento populacional de
Porto Alegre. Disponível em:
<http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?metodo=apresentar&id=K4792584Z
6&tipo=completo&idiomaExibicao=1>. Acesso em: 10 dez.2011.
Anexos programa Scilab para ajuste das funções
clc
TipoReg = input("Entre com a Equação (Regressão) desejada: 0 = Exponencial; 1 = Linear; 2
= Quadrática; 3 = Cúbica; 4 = 4o Grau; 5 = 5o Grau; 6 = Modelo de Velhust:");
select TipoReg
case 0 then
clc
x = [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8
sx = 0
sy = 0
sxx = 0
sxy = 0
sxlogy = 0
slogy = 0
slnym = 0
for i = 1:n
sx = sx + x(i)
sy = sy + y(i)
sxx = sxx + x(i)*x(i)
sxy = sxy + x(i)*y(i)
sxlogy = sxlogy + x(i)*log(y(i))
slogy = slogy + log(y(i))
slnym = slnym + (log(y(i))/n)
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sxx)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
printf("O somatório de x*lny é = %g\n",sxlogy)
printf("O somatório de lny é = %g\n",slogy)
printf("O somatório de lnym é = %g\n",slnym)
a = (n*sxlogy - sx*slogy)/(n*sxx - sx^2)
printf("O valor de a é = %g\n",a)
lnb = (sxx*slogy - sxlogy*sx)/(n*sxx-sx^2)
printf("O valor de lnb é = %g\n",lnb)
b = %e^lnb
printf("O valor de b é = %g\n",b)
printf("A equação da regressão exponencial é y = %g*e^%gx\n",b,a)
plot(x,y,'r*');
Y = b * %e^(a*x)
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO GONÇALVES','Anos
de 1940 à 2010','Número de habitantes')
slnyy2 = 0;
slnym2 = 0;
for i = i:n
yy(i) = b*(%e^(a*x(i)))
slnyy2 = slnyy2 + ((log(yy(i))-slnym)^2)
slnym2 = slnym2 + ((log(y(i))-slnym)^2)
end
R2 = slnyy2/slnym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 1 then
clc
x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8;
sx = 0;
sy = 0;
sxx = 0;
sxy = 0;
sym = 0;
for i = 1:n
sx = sx + x(i);
sy = sy + y(i);
sxx = sxx + x(i)*x(i);
sxy = sxy + x(i)*y(i);
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sxx)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
A = [n sx;sx sxx];
B = [sy; sxy];
S = inv(A)*B;
printf("A solução do sistema é %g e %g\n",S(1),S(2))
a0 = S(1)
a1 = S(2)
printf("A equação da regressão linear é y = %g + %gx\n",a0,a1)
plot(x,y,'r*');
Y = a0 + a1*x
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO
GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')
syym2 = 0;
sym2 = 0;
for i = 1:n
yy(i) = a0 + a1*x(i)
syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)
sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)
end
R2 = syym2/sym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 2 then
clc
x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8;
sx = 0
sy = 0
sx2 = 0
sx3 = 0
sx4 = 0
sxy = 0
sx2y = 0
sym = 0
for i = 1:n
sx = sx + x(i)
sy = sy + y(i)
sx2 = sx2 + (x(i)^2)
sx3 = sx3 + (x(i)^3)
sx4 = sx4 + (x(i)^4)
sxy = sxy + x(i)*y(i)
sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))
sym = sym + (y(i)/n)
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sx2)
printf("O somatório de x^3 é = %g\n",sx3)
printf("O somatório de x^4 é = %g\n",sx4)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
printf("O somatório de x^2*y é = %g\n",sx2y)
A = [n sx sx2; sx sx2 sx3; sx2 sx3 sx4];
B = [sy; sxy; sx2y];
S = inv(A)*B;
printf("A solução do sistema é %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3))
a0 = S(1)
a1 = S(2)
a2 = S(3)
printf("A equação da regressão linear é y = %g + %g.x + %g.x^2\n",a0,a1,a2)
plot(x,y,'r*');
Y = a0 + a1*x + a2*(x^2)
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO
GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')
syym2 = 0;
sym2 = 0;
for i = 1:n
yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2)
syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)
sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)
end
R2 = syym2/sym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 3 then
clc
x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8;
sx = 0
sy = 0
sx2 = 0
sx3 = 0
sx4 = 0
sx5 = 0
sx6 = 0
sxy = 0
sx2y = 0
sx3y = 0
sym = 0
for i = 1:n
sx = sx + x(i)
sy = sy + y(i)
sx2 = sx2 + (x(i)^2)
sx3 = sx3 + (x(i)^3)
sx4 = sx4 + (x(i)^4)
sx5 = sx5 + (x(i)^5)
sx6 = sx6 + (x(i)^6)
sxy = sxy + x(i)*y(i)
sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))
sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))
sym = sym + (y(i)/n)
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sx2)
printf("O somatório de x^3 é = %g\n",sx3)
printf("O somatório de x^4 é = %g\n",sx4)
printf("O somatório de x^5 é = %g\n",sx5)
printf("O somatório de x^6 é = %g\n",sx6)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
printf("O somatório de x^2*y é = %g\n",sx2y)
printf("O somatório de x^3*y é = %g\n",sx3y)
A = [n sx sx2 sx3; sx sx2 sx3 sx4; sx2 sx3 sx4 sx5; sx3 sx4 sx5 sx6];
B = [sy; sxy; sx2y; sx3y];
S = inv(A)*B;
printf("A solução do sistema é %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4))
a0 = S(1)
a1 = S(2)
a2 = S(3)
a3 = S(4)
printf("A equação da regressão linear é y = %g + %g.x + %g.x^2 + %g.x^3\n",a0,a1,a2,a3)
plot(x,y,'r*');
Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3)
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO
GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')
syym2 = 0;
sym2 = 0;
for i = 1:n
yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3)
syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)
sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)
end
R2 = syym2/sym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 4 then
clc
x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8;
sx = 0
sy = 0
sx2 = 0
sx3 = 0
sx4 = 0
sx5 = 0
sx6 = 0
sx7 = 0
sx8 = 0
sxy = 0
sx2y = 0
sx3y = 0
sx4y = 0
sym = 0
for i = 1:n
sx = sx + x(i)
sy = sy + y(i)
sx2 = sx2 + (x(i)^2)
sx3 = sx3 + (x(i)^3)
sx4 = sx4 + (x(i)^4)
sx5 = sx5 + (x(i)^5)
sx6 = sx6 + (x(i)^6)
sx7 = sx7 + (x(i)^7)
sx8 = sx8 + (x(i)^8)
sxy = sxy + x(i)*y(i)
sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))
sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))
sx4y = sx4y + ((x(i)^4)*y(i))
sym = sym + (y(i)/n)
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sx2)
printf("O somatório de x^3 é = %g\n",sx3)
printf("O somatório de x^4 é = %g\n",sx4)
printf("O somatório de x^5 é = %g\n",sx5)
printf("O somatório de x^6 é = %g\n",sx6)
printf("O somatório de x^7 é = %g\n",sx7)
printf("O somatório de x^8 é = %g\n",sx8)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
printf("O somatório de x^2*y é = %g\n",sx2y)
printf("O somatório de x^3*y é = %g\n",sx3y)
printf("O somatório de x^4*y é = %g\n",sx4y)
A = [n sx sx2 sx3 sx4; sx sx2 sx3 sx4 sx5; sx2 sx3 sx4 sx5 sx6; sx3 sx4 sx5 sx6 sx7; sx4 sx5
sx6 sx7 sx8];
B = [sy; sxy; sx2y; sx3y; sx4y];
S = inv(A)*B;
printf("A solução do sistema é %g, %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4),S(5))
a0 = S(1)
a1 = S(2)
a2 = S(3)
a3 = S(4)
a4 = S(5)
printf("A equação da regressão polinomial de 4o graulinear é y = %g + %g.x + %g.x^2 +
%g.x^3 + %g.x^4\n",a0,a1,a2,a3,a4)
plot(x,y,'r*');
Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3) + a4*(x^4)
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO
GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')
syym2 = 0;
sym2 = 0;
for i = 1:n
yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3) + a4*(x(i)^4)
syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)
sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)
end
R2 = syym2/sym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 5 then
clc
x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
n = 8;
sx = 0
sy = 0
sx2 = 0
sx3 = 0
sx4 = 0
sx5 = 0
sx6 = 0
sx7 = 0
sx8 = 0
sx9 = 0
sx10 = 0
sxy = 0
sx2y = 0
sx3y = 0
sx4y = 0
sx5y = 0
sym = 0
for i = 1:n
sx = sx + x(i)
sy = sy + y(i)
sx2 = sx2 + (x(i)^2)
sx3 = sx3 + (x(i)^3)
sx4 = sx4 + (x(i)^4)
sx5 = sx5 + (x(i)^5)
sx6 = sx6 + (x(i)^6)
sx7 = sx7 + (x(i)^7)
sx8 = sx8 + (x(i)^8)
sx9 = sx9 + (x(i)^9)
sx10 = sx10 + (x(i)^10)
sxy = sxy + x(i)*y(i)
sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))
sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))
sx4y = sx4y + ((x(i)^4)*y(i))
sx5y = sx5y + ((x(i)^5)*y(i))
sym = sym + (y(i)/n)
end
printf("O somatório de x é = %g\n",sx)
printf("O somatório de y é = %g\n",sy)
printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sx2)
printf("O somatório de x^3 é = %g\n",sx3)
printf("O somatório de x^4 é = %g\n",sx4)
printf("O somatório de x^5 é = %g\n",sx5)
printf("O somatório de x^6 é = %g\n",sx6)
printf("O somatório de x^7 é = %g\n",sx7)
printf("O somatório de x^8 é = %g\n",sx8)
printf("O somatório de x^9 é = %g\n",sx9)
printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)
printf("O somatório de x^2*y é = %g\n",sx2y)
printf("O somatório de x^3*y é = %g\n",sx3y)
printf("O somatório de x^4*y é = %g\n",sx4y)
printf("O somatório de x^5*y é = %g\n",sx5y)
A = [n sx sx2 sx3 sx4 sx5; sx sx2 sx3 sx4 sx5 sx6; sx2 sx3 sx4 sx5 sx6 sx7; sx3 sx4 sx5 sx6
sx7 sx8; sx4 sx5 sx6 sx7 sx8 sx9; sx5 sx6 sx7 sx8 sx9 sx10];
B = [sy; sxy; sx2y; sx3y; sx4y; sx5y];
S = inv(A)*B;
printf("A solução do sistema é %g, %g, %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6))
a0 = S(1)
a1 = S(2)
a2 = S(3)
a3 = S(4)
a4 = S(5)
a5 = S(6)
printf("A equação da regressão polinomial de 4o grau é y = %g + %g.x + %g.x^2 + %g.x^3 +
%g.x^4 + %g.x^5\n",a0,a1,a2,a3,a4,a5)
plot(x,y,'r*');
Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3) + a4*(x^4) + a5*(x^5)
plot2d(x,Y,2);
xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO
GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')
syym2 = 0;
sym2 = 0;
for i = 1:n
yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3) + a4*(x(i)^4) + a5*(x(i)^5)
syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)
sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)
end
R2 = syym2/sym2
printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)
case 6 then
// Rotinas Ajuste Paulo
clear
clc
// Ano
t = [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];
//População Total de Bento
X = [18771 24933 33956 41979 58941 78643 91486 107278];
plot(t,X,'.r')
// número de dados
n = size(t,2);
//Ajuste Linear Equação 2 do artigo
a11 = n;
a12 = sum(t);
a21 = a12;
a22 = sum(t^2);
b1 = sum(X);
b2 = sum(t.*X);
A = [a11 a12;a21 a22];
B = [b1;b2];
S = inv(A)*B;
a = S(1)
b = S(2)
T = 1940:2010;
AL = a + b*T;
//plot(T,AL)
// Ajuste pela curva logística, modelo de Velhust
K = 130000; // População máxima
X0 = 18771; //População inicial
tc = 0.055; //taxa de crescimento da população