65Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Potencia deexponente entero
NOTACIÓN
an
Base
Exponente
= P PotenciaPotenciación
DEFINICIÓN DE EXPONENTE ENTERO POSITIVO
ZZn;a.a..........a.a.aaveces"n"
n
n 2
Ejm:
4
6
• 3 3.3.3.3 81
2 2.2.2.2.2.2 64
DEFINICIÓN DE EXPONENTE CERO
)0a(;1a0 Ejemplo:
• 50 = 1• (3)0 = 1• 30 = 1
TEOREMAS
1. Bases Iguales.
)0a(;nmana
ma*nmanama* .
Ejm:
* 23 . 24 = 23+4 = 27
* 53+n = 53 . 5n = 125 . 5n
* 7
7 4 34
22 2
2
*
n nn 2
2
3 33
93
2. Exponentes Iguales.
* ambm = (a.b)m *
mm
m
a a; b 0
bb
Ejemplo:
22
2
2
7777
2222
)5,2(25
2
5*
35)3.5(15*
366)2.3(23*
3. Potencia de Potencia.
(am)n = am.n = (an)m
Ejemplo:
* (32)4 = 32.4 = 38
* 232523.2.5 230
Nota:
i) Todo número elevado a un exponente ‘‘par’’resultará siempre positivo.
Obs.: 24 = 16
ii) Todo número elevado a un exponente ‘‘impar’’,saldrá positivo si su base es (+) y saldrá negativa,si su base es ().
Obs.: (2)3 (8) = 8
* (+) = (+)impar
* (-) = (-)
(2) = 83
3 3
* (+) = (+)par
* (-) = (+)par
(2) = 164
(-2) = 164
9
66
Potencia de exponente entero
Primer Año de Secundaria
1. Calcular: A = 23
2. Calcular: M = 22 . 23
3. Calcular:6
43
N3
4. Calcular: B = 20 + 50
5. Calcular: P = 31 + 51
6. Calcular: R = 320
7. Calcular: D = (23)2
8. Calcular: H = 231
9. Calcular:3 5
8x . x
Ix
10.Calcular:4 5
92 . 2
F2
Test de Aprendizaje
67Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Resolver:
* 34 = ________________________
* 22 . 25 = ________________________
*7
4
5
5= ________________________
* 30 + 2
0 + 2
20 = ________________________
* (23)2 + (32)2 = ________________________
* 3 4 5
3 4
2 2 2
(2 )
. .________________________
2. Calcular:
2 3 4 3
3 2 2
(x x x )R
(x x )
. .
.
3. Reducir:
0 00 0 0 02 5
C 8 (320)(3)(2 )19 4
4. Hallar:
00 0 31
H (2)(5)25
5. Hallar:044
207043
125V
6. Efectuar:
)12325(26
253914 22A
7. Reducir:
-22 3
+ -23 2
8. Reducir:
L = 32 + (32)3 - 272 + 5
9. Calcular:
602 50
7
7D 7 7 49 42
7
10.Calcular:
veces)n20(
xx.........xxx
2nx
veces"10"
2x.......2x2x2xI
......
Nivel II
11.Calcular:
8
2
2A
8
12.Calcular:
27
3
3R
27
13.Calcular:
16 2
8
2 16D
8
14.Reducir:
3 4
3 2
15 .6L
9 4 125
15.Simplificar:
veces"n2"
x.........xxx
2n210x
veces)3n(
xx.......xxx
veces)2n7(
xx.........xxxA
...
......
Practiquemos
68
Potencia de exponente entero
Primer Año de Secundaria
16.Calcular:
6 5 3
4 10 2
(21)(35)(80)A
(15)(14)(30)
17.Reducir:
19 16 13
30 5 18
35 40 27E
30 45 14
18.Reducir:
n n n
n n n
6 35 341R
62 15 77
1. Si: A = 164 B = 416
Hallar:2
2222
A B
2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 210
2. Simplificar:
factores"99"
53
factores"99"
642
...x.x.x
...x.x.xA
a) x b) 1 c) x99
d) x100 e)99(100)
2x
3. Simplificar:
veces"n"
n
212n1nn
)2...2.2.2(
)2...2.2.2(E
19.Efectuar:
veces)4ba(
veces)5ba(veces)3ba(
veces)2ba(
xx.........xxxxx.........xxx
xx....xxxxx.....xxx
S......
......
20.Si: nn = 2
n 1n 1nCalcular: M n
a) 1 b) 2 c) 2nd) 2
n e) 22n
4. Reducir:x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x
x x x x2 2 3 3 4 4 9 9
A ...2 3 4 9
donde "x" es un número natural
a) 36 b) 45 c) 55d) 9 e) 66
5. Simplificar:
veces2a
4a4a4a4a
veces3a
3a3a3a3a
veces"a"
5a5a5a5a
veces5a
aaaa
)3...3.3.3()8...8.8.8(
)4...4.4.4()6...6.6.6(M
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
Autoevaluaciòn
69Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Efectuar en cada caso:
a) x5 . x7 . x9 . x11
b)12 10
8 6
a . b
a . b
c) x . x2 . x3 . x4 . .. x9
d) x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5
2. Reducir: x3y4x5y6x7y8
3. Efectuar: (x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)
4. Reducir:
6 5 4 3 2
5 4 3 2
x . x . x . x . x
x . x . x . x . x
5. Calcular:
0 00 0 0 03 1
C 7 (240)(5)(3 )14 2
6. Hallar:
1 0 2 02 4 0 2V 3 5 9 2
7. Calcular:
3 2 2A (2)(7)(3)
8. Calcular:
34 3 5 15 9 4 9M 3 5 3 5
9. Siendo: A = 162 ; B = 216
Obtener:2
B
A
10.Si: 7 18
4 4
4 3I ; A
8 81Hallar: I + A
Nivel II
11.Calcular:
16 2
8
3 81N
9
12.Si: aa = 3
Calcular: 3 a
2 a
(a )T
(a )
13.Reducir:
2
4
36 10 27E
6 5
14.Reducir:
2 2
2 2
15 25 63E
35 45
15.Si:
2 144
36 10 27I ; A 2 2
6 5
Hallar : I + A
16.Reducir:
4 5 3
8 10 6
4 4 4L
2 2 2
17.Calcular:
3 3 2 4 3 6
4 5 2
2 4 16 (3 )(2 )A
8 8 81
18.Calcular:
364 30 5
R 5 5 29 425
19.Si:
a 2 a 2b
a 2 b 2
2 4T
8 16
Hallar: T2
20. Hallar:1xxxM:Hallar.3xxM
Si: xx = 3
21.Si: nn = 2
Hallar:1nn3nV
Tarea domiciliaria
71Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Multiplicaciónalgebraica
I. MULTIPLICACIÓN DE DOS O MASMONOMIOS.Se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, lossignos y las propiedades: asociativa y conmutativa delproducto.
Propiedad: Bases Iguales: am . an = am+n
1. Ejm: Efectuar:
a. x2 . x3 = x2+3 = x5
b. x4x5y2y3 = x9y5
2. Ejm:
Multiplicar los monomios
(- 4 x
4y3) (+5x7y2)
Sol:
(-4x4y3) . (+5x7y2) = (-4) (+5) (x4) (x7) (y3) (y2) = -20x11y5
II. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIOPORUN POLINOMIO.Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cadauno de los términos del polinomio; sumando luego losproductos obtenidos.
3. Ejm. (Método de multiplicación lineal)Multiplicar: (2x+3x2+4x3) por 2x
Solución:
4. Ejm. Multiplicar: 2x3 – 3x4 por (-3x)
Multiplicación de dos polinomios.
Se efectúa multiplicando cada uno de los términos deun polinomio con todos los términos del otro polinomio;sumando después los productos obtenidos.
Es conveniente ordenar los polinomios según laspotencias crecientes (o decrecientes) de una de lasvariables.
5. Ejm:
Multiplicar (x3+2x) por (x 3)
Resolución:
Ordenando según las potencias decrecientes de "x"
x + 2x ...............()3 x - 3
x + + 2x4 2
- 3x - 6x3
x - 3x + 2x - 6x4 3 2
Multiplicando () por "x"
Multiplicando () por (-3)
6. Ejm:
Multiplicar: (x3 + 2x) por (x - 3)(Método de multiplicación lineal)
(x - 3) . (x + 2x) = x + 2x - 3x - 6x3 4 2 3
Ordenando según las potencias:
x4 – 3x3 + 2x2 – 6x432
32
32
x8x6x4
)x4)(x2()x3)(x2()x2)(x2(
)x4x3x2(.)x2(
54
43
43
x9x6
)x3)(x3()x2)(x3(
)x3x2()x3(
10
72
Multiplicación algebraica
Primer Año de Secundaria
1. Efectuar: A = x2 . x5 . x3
2. Efectuar: B = 2x3 . x4
3. Efectuar: M = (3x)(2x)
4. Efectuar: N = (5x)(-3y)
5. Efectuar: D = (-x2)(-x5)
6. Efectuar: E = (x2y5)(x3)
7. Efectuar: F = (-5x2)(-3x4)
8. Efectuar: H = x(x + 3)
9. Efectuar: I = (3x)(x) + (5x)(x)
10.Efectuar: K = (x + 1)(x + 2)
Test de Aprendizaje
73Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Efectuar:
a) x5 . x12 . x3 = .................................................
b) 3x9 . 2x4 = ....................................................
c) (-4x7) (-7x5y2) = ............................................
2. Efectuar:
a) (2x3) (-7x5y2) = ............................................
b) (-5x3y4) (-4x4y5) = ........................................
c) (-2x4y) (+5x3z4) (-6y7z2) = ............................
3. Multiplicar: D = (-4x3y5) (+3x4z6) (-7y2z3)
4. Multiplicar: A = (-4a5bc) (-3a3b3c3) (8a2bc) (-5ab4)
5. Multiplicar: N = (23x4y3) (32x5z7) (52y4w6) (z3y4)
6. Multiplicar: I = (-5xm-3yn+7zp+2) (-27x5-my3-nz3-p)
7. Multiplicar: T = (+243x6ym+1zn-5) (-432x2y9-mz13-n)
8. Multiplicar: O = (+5x4) (-3x3) + (-6x2) (-4x5) – (x6) (+5x)
9. Multiplicar: E = (+7x2y3) (x3 – 5x2y + 3xy4 – y3)
10.Multiplicar: N = (-3x5y4) (4 - 4x6y3 + 53x4)
Nivel II
11. Multiplicar: x7y5 (57x5y7 + 75x12 – 4y25)
12.Si: I = (-4x2) (x5 – 6x3 + 5x2 + x – 3)C = (+3x) (2x6 +3x4 – 7x3 – 5x2 + 8x)
Calcular: I + C
13.Multiplicar:
R = x4y7 (x5y2 – 6x3y3 + 3x2) – 5x2y5 (x7y4 + x5y5 – 2x4y2)
14.Multiplicar: (x + 3)(x – 1)
a) x2 + 3x –1 b) x2 + 2x – 3c) x2 – 2x + 3 d) x2 – 3x – 3e) N.A.
15.Multiplicar: (7x – 3)(4 + 2x)
a) 14x2 + 22x – 12 b) 14x2 + x + 12c) 14x2 – 22x + 12 d) 14x2 – 22x – 12e) 14x2 – x + 12
16.Multiplicar: (3x + 2)(x – 1)
a) 3x2 – x – 2 b) 3x2 + x + 2c) x2 – 3x + 2 d) 3x2 + x – 2e) 3x2 – x + 2
17.Multiplicar: (5x – 3)(2x + 3)
a) 10x2 + 9x – 9 b) 10x2 + 11x – 6c) 10x2 + 9x + 6 d) 10x2 – 9x + 2e) 10x2 – 3x + 9
18.Multiplicar: (x – 1)(x2 + x + 1)
a) x3 +3x2 + x + 1 b) x3 – 3x2 + 3x – 1c) x3 – 1 d) 3x3 + 1e) 3x3 + x2 + x –1
19.Multiplicar: (x + 2)(x2 – 2x + 4)
a) x3 + 8 b) x3 + 8x + 8c) x3 – 8x2 + 16x – 8 d) x3 – 8e) x3 – 8x2 + 8
20.Multiplicar: (x + 2)(x2 – x + 1)
a) x3 + x2 – x + 2 b) x3 + 3x2 – x – 2c) x3 – x2 + 2x – 2 d) x3 – x2 + x – 2e) x3 + x2 – x –2
Nivel III
21.Multiplicar: (x + 2)(x2 + x – 1)
a) x3 + 2x2 – x – 2 b) x3 + 3x2 + x – 2c) x3 – 3x2 + x – 2 d) x3 – 2x3 + 3x – 2e) x3 + 2x2 – x + 2
22.Multiplicar: A = (24xm+7yn+2) (33x3-my8-n + 43x2-my7-n)
23.Dado el siguiente polinomio:
D(x,y,z) = (77x6y5z4) (73x7y4 – 75x4y9z3 + 74y13y2z13)
Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D)
Practiquemos
74
Multiplicación algebraica
Primer Año de Secundaria
24.Multiplicar: (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
a) x4 + x2 + 1b) x4 – x3 + x2 + 1c) x4 + x3 + 2x2 + 1d) x4 – x2 + 1e) x4 – x3 + x2 – 1
25.Multiplicar: (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)
a) x4 + x3y3 + xy2 + y2
b) x4 – x2y2 + y4
c) x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4
d) x4 + x2y2 + y4
e) x4 + x3y – x2y3 + xy2 – y4
26. Multiplicar: (x2 – x + 2)( x2 – x – 2)
a) x4 – 2x3 + x2 – 4b) x4 + 2x3 + x2 + 4c) x4 – x2 + 4d) x4 + x2 + 4e) x4 – x3 + x2 – 4
1. Efectuar:
(x2n + xnyn + y2n)(x2n - xnyn + y2n) ; n ZZ+
a) x6n + y6n b) x4n + x2ny2n + y4n
c) x4n - x2ny2n + y4n d) x4n + y4n
e) x2m + 2n + y2m + 2n
2. Si: M = (a + b)(c - a) + (b + c)(a - b) + (c + a)(b - c)Hallar: M + a2 + b2 + c2
a) 0 b) a + b + cc) a2 + b2 + c2 d) ab + ac+ bce) abc
3. Reducir:
A = (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)(by + ax) - (ay - bx)(ay - bx)
a) 0 b) 1c) a + x + b + y d) (a + b)(x + y)e) ax + by + ay + bx
27. Multiplicar: (x3 – y + x2)(x3 + x2 + y)
a) x9 – x3y + xy4 + x4 – y2
b) x6 + 2x5 + x4 – y2
c) x6 + x4 + y2
d) x6 – x5 + x4 – y2
e) x9 + x5 +x4y + x3y2 + x2 – y2
28. Multiplicar: (x3 + xy2 + yx2 + y3)(x2 – xy + y2)
a) x5 + x3y2 + x2y3 + y5
b) x5 – x3y2 + x2y3
c) x5 – x4y + xy4 – y5
d) x5 + x4y3 + x3y2 + x2y3 + xy4 + y5
e) x5 + x4 + xy4 + y5
29.Multiplicar: (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)(x3 – x2 + x – 1)
30.Multiplicar: (x7 – x5 + x3 – x + 1)(x4 – x2 + 1)
4. Efectuar:
n n n nn n(a 1)(b 1)(a 1)(b 1)
E (a b )2
a) (bn - an)2 b) an - anbn + bn
c) b2n - a2n d) a2n + b2n
e) (an + bn)2
5. Sean:M = (ax + a + 1) (a + 1) + (bx + b + 1) (b + 1)N = (a2 + b2) (x + 1) + (a + b) (x + 2)
Hallar: M - N
a) 1 b) 2 c) 3d) a + b e) ab
Autoevaluaciòn
75Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Efectuar:
a) x5 . x13 . x26 = .....................................................
b) 4x5 . 8x6 = .........................................................
c) (2x4) (4x5) (7x3) = ........................................
2. Efectuar:
a) (5x7) (8x4y5) = .................................................
b) (6x4y3) (8x3y4) = ...........................................
c) (2x3y2) (+3x4y3) (+4x5z4) = ..................................
3. Multiplicar: (9x5y7) (7x6x8) (12y7z4)
4. Multiplicar: (7a5b2c) (-4a8b5c3) (3ab4c) (8a2b6c5)
5. Multiplicar: (x5z4) (25x3y8) (5y7w11) (102z12w9)
6. Multiplicar: (8xm-4yn+3zp-3) (32x9-my4-nz7-p)
7. Multiplicar: (343x12y5-mzn+2) (121x8ym+15z18-n)
8. Multiplicar: (6x7) (2x3) (+5x6) (3x4) + (4x8) (8x2)
9. Multiplicar: (13x6y4) (2x7 9x3y5 + 4x2y3 y8)
10.Multiplicar: (4x7y6) (9 + 5x9y5 + 34x8)
Nivel II
11.Si: R(x) = (5x3) (x9 – 4x5 + 7x3 + x2)J(x) = (4x2) (2x10 + 5x6 – 9x4 – x3)
Calcular: C = R(x) + J(x)
12.Multiplicar: (x + 5)(x – 4)
13.Multiplicar: (2x + 1)(3x – 2)
14.Multiplicar: (3x + 5)(7x – 3)
15.Multiplicar: (x – 3)(x2 + 3x + 9)
16.Multiplicar: (x – 7)(x2 + 7x + 49)
17.Multiplicar: (x + 3)(x2 – 3x + 9)
18.Multiplicar: (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)
19.Multiplicar: (x2 – 2x + 3)(x2 – 2x – 3)
20.Multiplicar: (42x9-my7+n)(25x2+my4-n + 83xm+1y3-n)
Nivel III
21.Si se tiene el polinomio:
H(x,y) = (–3x6y7) (4x9y5 + 5x13 – 9y15)
Calcular: A = G.A.(H) + G.R.(y) + G.R.(x)
22.Multiplicar:
R (x,y)= 4x7y5 (x3y7–5x4y6 + x2) - 6x5y3(x5y9–3x6y8 + x4y2)
23. Dado el polinomio:
D(x,y,z) = (34x5z3) (33x9y7 + 32x8y12z6 + 35y17z18)
Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D)
24.Multiplicar: (x3 + 2y + x)(x3 + x – 2y)
25.Multiplicar: (x4 + x2 + 1)(x4 – x2 + 1)
26.Multiplicar: (x2 + xy2 + y4)(x2 – xy2 + y4)
27.Multiplicar: (x8 + x4y4 + y8)(x8 – x4y4 + y8)
28.Multiplicar: (x3 + x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
29.Multiplicar: (x3y + x4 + xy3 + x2y2 + y4)(x – y)
30.Multiplicar: (x3 + x2y + xy2 + y3)(x3 – x2y + xy2 – y3)
Tarea domiciliaria
77Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Valor numérico11Es el resultado obtenido luego de reemplazar a las variables de una expresión algebraica por cantidades o constantes
definidas.
Ejemplo 1: Si: E(x; y) = 2x2 + 5xy - y3
Hallar el valor numérico (V.N.) de E(x,y) si se sabe que x = 3, y = 2.
Solución:
E(3; 2) = 2(3)2 + 5(3)(2) - (2)3 = 2(9) + 5(6) - 8
E(3; 2) = 18 + 30 8 = 40
Ejemplo 2:
Si: P(x;y) = 2x2 + 5xy - y
2
Calcular: P (5; 0)
Solución:
x = 5; y = 0
P(5; 0) = 2(5)2 + 5(5)(0) - (0)
2
P(5; 0) = 2(25) + 0 - 0
P(5; 0) = 50
78
Valor numérico
Primer Año de Secundaria
6. Si: F(x) = x2 + x + 1; calcular el V.N. de F(2)
7. Si: Q(x; y) = x2y ; calcular el V.N. de Q(2; 1)
8. Hallar el V.N. del polinomio:Q(x) = x3 + 1, para: x = 0
9. Hallar el V.N. del término 2ab, para: a = 3; b = 5
10.Si: M(x) = (x + 1)2
Calcular el V.N. de M(2)
1. Si: A(x) = x + 3; calcular el valor numérico de A(5)
2. Si: B(x) = 2x + 1; calcular el valor numérico de B(3)
3. Si: P(x) = 8 - x; calcular el valor numérico de P(2)
4. Si: R(x) = x2 + 1 ; calcular el valor numérico de R(3)
5. Si: E(x) = 3x2; calcular el V.N. de E(1).
Test de Aprendizaje
79Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Si: A(x) = 2x + 5; calcular el valor numérico en cadacaso.
* A(1) * A(-2)* A(-4) * A(+5)
2. Si: B(x) = -3x - 7; calcular el valor de numérico en cadacaso.
* B(0) * B(1)* B(-3) * B(-4)
3. Si: C(x) = x2 + 2; calcular el V.N. en cada caso:
* C(1) * C(-1)* C(-2) * C(3)
4. Si: E(x) = 2x3 + 1; calcular el valor numérico en cadacaso:
* E(0) * E(2)* E(5) * E(1)
5. Si: L(x;y) = 3x2y3 + 2; calcular el valor numérico encada caso.
* L(0;0) * L(2;1)* L(5;3) * L(1;4)
6. Si: E(x;y;z) = -2x3y2z + 3; calcular el V.N. en cada caso:
* E(0; 0; 1) * E(2; 3; 1)* E(1; 3; 1) * E(1; 3; 4)
7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valorde la variable indicada:
a) N(x) = 2x2 + 4x + 5; Para: x = 2
b) I(y) = 3y3 + 2y2 + y 13; Para: y = 3
c) T(m) = m4 + m3 2m2 + 8m + 3; Para m = 2
8. Hallar el valor numérico de los siguientes términos para:a = 1; b = 5; c = 4; m = -1; n = -2
a) 8bcm b) -bm2n c) 4a2b3c
d) 40ab2c2 e) cm3n f) -b2n2
9. Si: A(z) = 3z3 + 2z2 + 3z - 15Calcular: M = 2A(3) - 3A(2)
10.Si: f(x) = 3x - 5 f(1) = ______________
Nivel II
11.Si: g(x) = x2 - 3x + 2 g(0) = ______________
12.Si: h(x) = x2 - 4x + 5 h(1) = ______________
13.Si: p(x) = (x - 4)2 + 2 p(0) = ______________
14.Si: q(x) = (x+5)2 - 7 q(1) = ______________
15.Si: r(x) = (x2 - 4x + 6)2 - 3 r(0) = __________
16. Si: s(x) = (x + 2) (x - 3) + 5 s(1) = __________
17.Si: t(x) = (x2 + 2)2 - (x - 3) + 2 t(0) = __________
18.Si: w(x) = (x3+ 2x + 5) (x5- x2+ 2) w(1)= __________
19.Si: z(x) = (x5 - 2x + 1)20 z(0) = __________
20.Si: m(y) = (y7 - 2)2 (y4 + 3)3 m(1) = __________
Nivel III
21.Si: P(x) = 5x + 7 Q(x) = 2x 5
Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)]
22.Sea: E(3x 1) = 6x + 2; calcular:
a) E(2); d) E(11)b) E(5); e) E(1)c) E(8); f) E(4)
23.Si: L(x 2) = x2 x + 3
Calcular: L(7) + L(5) L(6)
24.Sea: T(2x 7) = 8x 17
Hallar: A = T(9) + T(9)
25.Sea: M(3x 1) = 4x 13
Hallar: I = M(8) + M(5) + M(2)
26.Sea: N(2x 5) = 3(2x 5)7 + 2(2x 4)3 + 5
Hallar: I = N(1) N(1) + N(0)
27.Sea: A(x) = x + 3; además: A[P(x)]= 2x + 7
Hallar: P(5)
Practiquemos
80
Valor numérico
Primer Año de Secundaria
28.Sea: P(x) = 4x 5; además: P[Q(x)] = 5x 8
Hallar: Q(5)
29.Dado el polinomio:
P(x) = 4x2 + bx + c; Si: P(0) = 3 y P(1) = -2
Calcular el valor de: E = 3b 5c + 8
30.Dado el polinomio:
I(x) = 3mx 9; Si: I(2) = 9
Hallar el valor de ‘‘m’’.
Nivel IV
31.Si: P(x;y) = x2 + y2 xy + x y + 3
Calcular: L = [P(0;0) 2P(1;1)] - [P(1;2) P(3;2)]
1. Si: P(x) = 2x2 - 1
Calcular:
(2)P(4)PP(1)P(2)
(2)(0)
(2)(1)
P PE
P P
a) 1 b) 2 c) 31024
d) 28 e) 2731
2. Sean los polinomios:A(x) = a - x ; B(x) = b - x ; E(x) = e - x
Hallar: (b e)(a e)(a b)
(b e)(a)(b)(e)
A B EA A B E
a) -1 b) 1 c) 0d) a + b + e e) -a - b - e
3. Sean los polinomios:P(x) = x + a ; Q(x) = x + b ; R(x) = x + c
Hallar:))]x(Q(P[))x(R())x(P())x(Q(
))]x(R(Q[))x(R())x(P())x(Q(
RRPQPQRP
M
32.Si: P(x;y) = 2xy2 x2y + x y
Q(x) = 2x3 2x2 + 3x + 2
Calcular el valor de: E = Q[P(2;2)] + P[Q(1);Q(0)].
33.Sea: P(x + 3) = 2x - 5; además: P[Q(x) + 2] = 3x 7
Hallar: Q(7)
34.Sea: F(2x 3) = 4x + 5; además: F[G(x) 1] = 6x 7
Hallar: G(5)
35.Sea: P(x) = 2x 6; además: P[2Q(x) + 1] = 4x 10
Hallar: Q(3)
a) 1 b) 2 c) a + b + c
d) -a - b - c e) 1a+b+c
4. Sea: (x)1 x
Px
Además: P(1) . P(2) . P(3) . .. P(65) = n3 + 1
Hallar: n
a) 1 b) 2 c) 65
d) (65)(32) e) 4
5. Sean los polinomiosP(x) = 2x + 1 ; F(x) = x + 1 ; G(x) = x - 2
Reducir:
E = P[G(F(x))] + G[F(P(x))] + F[P(G(x))] + 3
a) 2x b) 3x c) 4xd) 5x e) 6x
Autoevaluaciòn
81Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Si: A(x) = 3x - 7; calcular el valor numérico en cada caso.
* A(2) * A(-3)* A(-5) * A(6)
2. Si: B(x) = -2x + 5; calcular el valor numérico en cada caso.
* B(0) * B(1)* B(3) * B(-4)
3. Si: C(x) = x2 + 3; calcular el valor numérico en cadacaso.
* C(1) * C(-1)* C(-2) * C(3)
4. Si: M(x) = 5x3; calcular el valor numérico en cada caso.
M(0) M(2)M(5) M(1)
5. Si: N(x;y) = 2x2y; calcular el valor numérico en cadacaso.
N(0,0) N(2,1)N(5,3) N(1;4)
6. Si: P(x,y,z) = 2x3y2z4; calcular el valor numérico encada caso.
P(0, 0, 1) P(2, 3, 1)P(5, 3, 1) P(-1, 3, 1)
7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valorde la variable indicada:
I. P(x) = -3x3 + 5x2 + 7x 18; para: x = 2II. Q(y) = 5y5 2y3 + 4y2 - 25y + 5; para: y = 1III. R(m) = 6m2 13m + 7; para: m = 3IV. G(x) = 4x2 + 3x 8; para: x = 2
8. Halla el valor numérico de los siguientes términos para:
a = 1; b = 2; c = -3; p = -2; q = 1
a) abc b) b2pq c) 3acqd) b2cp3 e) bp3q2 f) -4abc
9. Si: P(z) = 2z4 3z2 5z + 11
Calcular el valor de: E = 2P(3) 3P(2)
10.Si: f(x) = 4x + 7 f(1) = _________
Nivel II
11.Si: g(x) = x2 + 4x - 5 g(0) = _________
12.Si: h(x) = x2 - 5x + 13 h(1) = _________
13.Si: p(x) = (x - 3)2 + 2 p(0) =_________
14.Si: q(x) = (x+6)2 - 5 q(1) = _________
15.Si: r(x) = (x2 - 3x + 2)2 + 3 r(0) = _________
16.Si: t(x) = (x2+4)2 - (x3-3)+4 t(1) = _________
17.Si: w(x) = (x7-3x2+2)(x8-x4+3) w(0) = _________
18.Si: g(x) = (x19
- 3x24+1)19 g(1) =_________
19.Si: s(x) = (x+1)4 (x-2)3 (x+3)2 s(0) = _________
20.Si: m(y) = (y5 - 3)4 (y4+2)3 m(1) =_________
Nivel III
21.Si: P(x) = -2x2 + 3x + 5
Calcular el valor de: E = 2P(2) + 3P(3)
22.Si: P(x,y) = x3 3x2 + 2xy2 y3
Calcula:
a) P(0,0)b) P(2,3)c) P(3,3)d) P(2,3)
23.Si: P(x) = 3x - 6 Q(x) = 2x + 5
Calcular: N = P(4) + P(3) + P[Q(0)]
24.Sea: E(2x 3) = 4x + 5; calcular:
a) E(5) d) E(1)b) E(3) e) E(3)c) E(7) f) E(7)
25.Si: L(x + 3) = x2 + x 1
Calcular: E = L(5) + L(3) L(4)
26.Sea: N(5x 4) = 2(5x 4)19 + 3(5x 4)2 + 1
Hallar: I = N(1) + N(1) + N(0)
Tarea domiciliaria
82
Valor numérico
Primer Año de Secundaria
27.Sea: T(4x 7) = 5x 9
Calcular: A = T(9) + T(3)
28.Sea: M(3x 2) = 5x 9
Hallar: I = M(7) + M(10) M(13)
29.Sea: A(x) = x + 5 y A(P(x)) = 2x + 3
Hallar: P(2)
30.Sea: P(x) = 3x + 1 P[Q(x)] = 5x + 7
Hallar: Q(3)
Nivel IV
31.Si: P(x; y) = (x2 + xy + y2)(x - y)
Calcular: E = [P(0; 0) - 2P(1; 1)] - [P(-2; -3) - P(4; 5)]
32.Si: P(x,y) = x4 + y4 2x2y2
Q(x) = x3 9x2 + 8x 1
Calcular el valor de:
a) Q[P(2,1)]b) P[Q(1); Q(0)]
33.Sea: F(2x 3) = 4x + 5; además F[G(x)] = 6x 7
Hallar: G(4)
34.Sea: P(x + 2) = 2x + 5; además: P[F(x)-3] = 4x-11
Hallar: F(7)
35.Sea: Q(x + 2) = 3x 5; además: Q[P(x) 4] = 9x + 1
Hallar: P(5)
83Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Gráficas lineales
Plano Cartesiano
Sobre una recta numérica cada punto corresponde a unnúmero. En un plano, cada punto corresponde a un parordenado de números tomado de Z x Z. Para representareste producto cartesiano, trazamos un eje X y un eje Yperpendiculares entre sí. Su intersección se llama origen yse designa con el símbolo O. Las flechas indican lasdirecciones positivas. A este sistema se le llama sistema decoordenadas cartesianas.
Par ordenado
Sea: P = (x,y)
El primer miembro de un par ordenado se llamacoordenada en x, o abscisa. El segundo miembro sellama coordenada en y, u ordenada. A estos dos númerosse les llama coordenadas de un punto.
3
2
1
1 2 3-3 -2 -1-1
-2
-3
0
y
x
Punto A(-3,1)
Plano Cartesiano
La ubicación de un punto cualquiera del plano sedetermina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y.
El primer número del par ordenado (-3;1) determina eldesplazamiento horizontal respecto al cero.
* Positivo para los números ubicados a la derecha.* Negativo para los números ubicados a la izquierda.
El segundo número de par ordenado (-3;1) determinael desplazamiento vertical respecto al cero.
* Positivo para los números ubicados hacia arriba.* Negativo para los números ubicados hacia abajo.
Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadascuadrantes. Indicadas por números romanos y numeradasen contra del sentido de las manecillas del reloj a partir delcuadrante superior derecho.
Ejemplo N° 1
Representa gráficamente los pares ordenados:
(-3; 2), (-1; -4), (4; 3), (5; 5)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
0
y
(-3,2)
(-1,-4)
(4,3)
(5,5)
Gráfica de un polinomio de primer grado o linealEs de primer grado o lineal si el grado absoluto del polinomioes 1
Notación:
Y = P(x) = ax + b; (a 0)
12
84
Gráficas lineales
Primer Año de Secundaria
Si un polinomio tiene dos variables, debes encontrarpares ordenados de números con la propiedad de que alsustituir los números en vez de las variables éstas verificanla igualdad.
Ejemplo
Determina si los pares ordenados siguientes pertenecen ala igualdad "y".
(-1; -4) (7; 5) ; y = 3x - 1
a) Verificamos para el punto (-1; -4), donde x=-1 e y=-4,luego sustituye -1 en vez de "x" y - 4 en vez de "y".
y = 3x - 1-4 3(-1) -1-4 -3 -1-4 -4 se verifica la igualdad
La proposición es cierta, de modo que (-1;-4) pertenecea la gráfica de y = 3x - 1.
b) Verificamos para el punto (7; 5), donde x=7 e y=5, luego:sustituye 7 en vez de "x" y 5 en vez de "y".
y 3x - 15 3(7) -15 21 - 15 20 no se verifica la igualdad
La proposición es falsa, de modo que (7;5) no pertenecea la gráfica de y = 3x - 1.
Observaciones importantes
* La gráfica de un polinomio de primer grado es siempreuna recta.
* Para trazar la gráfica se hace una tabla de valores.
Directrices para la representación gráfica
1. Utiliza papel milimetrado.2. Marca los ejes con símbolos para las variables.3. Utiliza flechas para indicar las direcciones positivas.4. Marca algunos números sobre los ejes para indicar
la escala.5. Representa algunos pares ordenados y completa la
gráfica.
Ejemplo N° 1
Representa gráficamente: y = 3x - 1.
Solución:
Primero encuentra algunos pares ordenados que verifiquenla igualdad. Podemos escoger cualquier número por el quetenga sentido reemplazar "x" y después determinar "y".
Sea x = 0. En tal caso, y = 3(0) -1 = -1. Así (0,-1)Es un par ordenado.
Sea x = -1. En tal caso, y = 3(-1) -1 = -4. Así (-1,-4)Es un par ordenado.
Sea x = 1. En tal caso, y = 3(1) -1 = 2. Así (1,2)Es un par ordenado.
Sea x = -2. En tal caso, y = 3(-2) -1 = -7. Así (-2,-7)Es un par ordenado.
Sea x = 2. En tal caso, y = 3(2) -1 = 5. Así (2,5)Es un par ordenado.
Anotamos los valores que verifican la igualdad.
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5-3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
0
y
y=3x-1
(2; 5)
(1; 2)
(0; -1)
(-1; -4)
x y = 3x - 1
0 -1
1 2
5
-1 -4
2
-2 -7
Pares ordenados
(0; -1)
(1; 2)
(2; 5)
(-1; -4)
(-2; -7)
Después representamos estos puntos. Si pudiésemosmarcar todos los pares ordenados, éstos formarían unalínea recta. Podemos trazar la línea con una regla, y rotularlacomo y = 3x - 1. (observe el gráfico)
85Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRAEjemplo N° 2
Representar gráficamente: y = x+2
Solución: Tomamos valores de "x" al azar y tabulamos:
x y = x + 2
-3 -1
-1 1
3
2 4
1
Pares ordenados
(-3;-1)
(-1;1)
(1;3)
(2;4)
* Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesiano.
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
0
y
(-3; -1)
(-1; 1)
(1; 3)
(2; 4)
y = x + 2
86
Gráficas lineales
Primer Año de Secundaria
1. Representa gráficamente el par ordenado (2; 3)
2. Representa gráficamente el par ordenado (-1; 4)
3. Determinar si el par ordenado (2; 5) verifica la igualdad: y = x + 3
4. Determinar si el par ordenado (1; 4) verifica la igualdad: y = x + 2
5. Determinar si el par ordenado (0; 3) verifica la igualdad: y = x + 3
Test de Aprendizaje
87Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA6. ¿Cuántas de las siguientes igualdades son lineales?
a) y = x + 3
b) y = x - 1
c) y = x2 + 4
7. Graficar: y = 3
8. Graficar: y = -1
9. Graficar: x = 2
10.Graficar: x = -5
88
Gráficas lineales
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Representa gráficamente los pares ordenados:
a) (-2; -2)
b) (1; -4)
c) (5; 6)
d) (-3; 5)
e) (0; 8)
f) (3; 2)
g) (-5; 2)
h) (-4; 3)
i) (-4, 0)
2. Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.
a) (1;7),(2;9) ; y = 2x + 5b) (-1;4),(0;6) ; y = -2x + 3
3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? Siuna igualdad no es lineal, di porqué
a) x + y = 9
b) 2r + 7= 2S
c) 4x3 = 7y
d) 8x-17y = 5
e) 4x - 3 = y
f) x5 - 1 = y
* Representa gráficamente:
4. P(x) = 4 - x
5. P(x) = 5 + x
6. P(x) = x - 6
7. P(x) = -3 + x
8. y = -2x - 10
9. y = -x
10. x = 4
Nivel II
* Representa gráficamente:
11. y = -3
12. y = 2
13. x = -5
14. -2x = 7y
15. 3x = -8y
16. 2y = 5x
17. 2x - 6y = -12
18. 3y = 2x - 6
19. 3y = 4x - 12
20. 5x = 3y + 15
Practiquemos
89Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
1. S e a P (x) = ax + 1 ; si el punto (-1 ; a) pertenece a lagrafica de P(x).Graficar: y = 4a2 + 1
a)x
y
2
b)x
y
1
c)x
y
-2
d)x
y
1
2. Dada la gráfica del polinomio:y = ax + a - 1
(m; 2a - 3)
(b; n)
Hallar: a + 2b + m + n
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Dada la gráfica del polinomio: P(x) = (a2 - a + 1)x + a2
Hallar: 3b + a - n
(0; a + n)
(-b; 0)
(-1; aº)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Al graficar: P(x) = 3 - m ; se obtiene:
2
x
y
(n - n - 5; n)(4 - n ; n + 2
3)
Hallar "m + n"
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Sea P(x) un polinomio lineal de la forma P(x) = ax + bcuya gráfica pasa por los puntos (4; 7) y (5; G(3)) dondeG(x) = 2x + 2. Graficar: F(x) = a + bx
a)x
y
b)x
y
c) x
y
d) x
y
Autoevaluaciòn
90
Gráficas lineales
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Representa gráficamente los pares ordenados:
a) (-3;3)b) (2;-5)c) (1;-6)d) (-4;-2)e) (0;5)f) (2;1)
2. Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.
a) (1;2); (2; -1) ; y = 3x - 5b) (2;-6); (-1; 6) ; y = -4x + 2
3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? si unaigualdad no es lineal, di por qué.
a) x + y = 7b) x - y = 3c) r + s = 6d) 2r - 5s = 7e) 9c - d3 = 4zf) x + y = 2z
* Representa gráficamente:
4. P(x) = 6 - x
5. P(x) = x - 3
6. P(x) = x - 8
7. P(x) = -5 - x
8. -y = -3x + 9
9. 10 + 2y = 5x
10. -y = x
Nivel II
Representa gráficamente:
11. x = 2
12. y = -4
13. y = x
14. x = -5
15. 5x = 6y
16. 2x = -7y
17. 2y = 3x
18. 2x + 4y = -12
19. 2x = 3y + 6
20. 4x = 3y + 12
Tarea domiciliaria
91Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Gráficas de polinomioscuadráticos13
Un polinomio es cuadrático cuando el grado absoluto del
polinomio es "2"
NOTACIÓN:2
Término CuadráticoTérmino Lineal
Término Independiente
a: coeficiente principal
CLASES DE POLINOMIOS DE SEGUNDOGRADO
Los polinomios de segundo grado se clasifican en
completos e incompletos.
* Completos Cuando todos sus coeficientes son distintos
de cero: Ejm.:
P(x) = 3x2 + 7x - 4
Q(x) = -2x2 - 4x + 3
P(x) = 5x2 - 2x + 4
* Incompletos Cuando carece del coeficiente del
término independiente o término lineal. Ejm.:
P(x) = x2
Q(x) = -2x2 + 5
P(x) = 3x2 + 2x
• GRÁFICA DE UN POLINOMIO DESEGUNDO GRADO
Si: y = P(x) = ax2
Ejemplo:
1. Graficar: P(x) = x2
a) Para trazar la gráfica de un polinomio de segundo gradose hace una tabla de valores:
Por ejemplo:
x P = x(x)
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2
2 4
Pares ordenados
(-2;4)
(-1;1)
(0;0)
(1;1)
(2;4)
b) Se localiza los puntos obtenidos en un plano cartesianoy luego se unen por medio de una línea.
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
0
y
(-2; 4) (2; 4)
(1; 1)(-1; 1)
92
Gráficas de polinomios cuadráticos
Primer Año de Secundaria
Ahora:
2. Grafiquemos el polinomio P(x) = -x2.
a) Tabla de valores:
x P = -x(x)
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2
2 -4
Pares ordenados
(-2;-4)
(-1;-1)
(0;0)
(1;-1)
(2;-4)
b)
2
1
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
y
(0; 0)
(1; -1)(-1; -1)
(-2; -4) (2; -4)
Observaciones
* La gráfica de un polinomio de la forma P(x) = ax2 + bx + c;a 0 es siempre una parábola.
* La parábola tiene un punto especial llamado vértice.
Si: y = P(x) = ax2 + bx + c; (a 0)
a)
h
y
Y=P(x)=ax +bx+cSi: (a>0)
2
k V(h;k)
Si el coeficiente principal del polinomio es positivo (a>0),entonces la parábola se abre hacia arriba y tiene unvalor mínimo en "k".
b)
h
V(h;k)y
Y=P = ax +bx+c(x)Si: (a<0)
2
k
Si el coeficiente principal del polinomio es negativo
(a<0), entonces la parábola se abre hacia abajo y tiene
un valor máximo en "k".
* V(h;k) : Vértice de la parábola.
Donde:
b
h2a
24ac bk
4a
93Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nota: Si P(x) = ax2 + bx + c; (a 0) podemos hallar "k", reemplazando el valor numérico P(h).
P(h) = k
Ejemplo: Graficar F(x) = x2 - 6x + 5
Solución:
a) Hallando el vértice.
h =a2bh = )1(2
)6( h = 3
Para hallar "k", reemplazamos el valor numérico F(h)
k = F(h) k = F(3) = (3)2 - 6(3) + 5 k = -4
b) Tabulando
x
1
2
3
4
5
y = x2 - 6x + 5
0
-3
-4
-3
0
Paresordenados
(1; 0)
(2; -3)
(3; -4)
(4; -3)
(5; 0)
h
Graficando:
h
y
F =x - 6x + 5(x) 2
V(3;-4)
1 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
-6
k
Nota:
a) Para trazar la gráfica de un polinomio de 2do grado se hace una tabla de valores (consultar con tu profesor).b) Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesiano y luego se unen por medio de una línea.
(Utilizar de preferencia un pistolete)Para realizar gráficas de un polinomio de 2do grado se recomienda hacerlo en papel milimetrado con ayuda yasesoramiento de un profesor.
94
Gráficas de polinomios cuadráticos
Primer Año de Secundaria
1. Indicar si el polinomio: y = x2 + 3x + 2; es cuadrático
2. Indicar si el polinomio: y = 2x + 1 ; es cuadrático
3. Indicar si el siguiente polinomio es completo: P(x) = x2 + 4x + 3
4. Indicar si el siguiente polinomio es completo: P(x) = x2 + 1
5. En el siguiente polinomio: P(x) = 6x2 + 5x + 2, indicar:Coeficiente principal + Término independiente
Test de Aprendizaje
95Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA6. En el siguiente polinomio: P(x) = 3x2 + 4x + 1, indicar el coeficiente del término lineal
7. Indicar el vértice de la parábola que aparece en la figura.
0 1 2 3 4 5-2 -1
1
2
3
4
5
8. Indicar el vértice de la parábola que aparece en la figura.
0 1 2 3 4 5-2 -1
1
2
3
4
5
x
y
9. La gráfica del polinomio: P(x) = 3x2 - 2x + 1 es una parábola.Indicar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo
10.La gráfica del polinomio: P(x) = -2x2 + 4x + 3 es una parábola.Indicar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
96
Gráficas de polinomios cuadráticos
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Determina cuáles de los polinomios siguientes soncuadráticos y cuáles no.
a) y = x b) y = x2 + 5c) y = x2 - 3x + x3 d) -y = 2x2 - xe) y = x2 + 5
2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.
a) P(x) = 3x2 b) Q(x) = -x2 +4x+ 3c) R(x) = 2x2 + x d) S(x) = -2x2 - 4
3. En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente, respectivamente:
a) P(x) = x2 - 3x - 2 b) Q(x) = -x2 - 7c) R(x) = 2x2 - x + 8 d) S(x) = -3x2 - 2x + 4
4. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = 2x2 b) Q(x) = -2x2
c) R(x) = 3x2 d) S(x) = -3x2
5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura:
y
x0-2-3 -1-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
-1
-2
-3-4
-5
6. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 +3 b) Q(x) = -x2 + 3
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x)y Q(x)?
7. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 2 b) Q(x) = x2 + 2
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x)y Q(x)?
8. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 +2x b) Q(x) = -x2 + 2x
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x)y Q(x)?
9. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 2x b) Q(x) = -x2 - 2x
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x)y Q(x)?
10.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 2x + 2 b) Q(x) = -x2 - 2x + 2
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x)y Q(x)?
Nivel II
11.Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientespolinomios:
a) P(x) = x2 + 2 b) Q(x) = x2 + 1c) R(x) = x2 + 4x d) S(x) = x2 + 6x
12.Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientespolinomios:
a) P(x) = - x2 + 3 b) Q(x) = - x2 - 2c) R(x) = - x2 + 4x d) S(x) = - x2 - 2x
13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomioP(x) = ax2 +4x - 5 pase por el punto (2; 11)?
14.La suma de dos números es 16, si uno de ellos es igual a "x":
a) ¿A qué es igual el otro número?b) Expresa el producto de dichos números como un
polinomio de variable "x".c) ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener?
15.La empresa Dátil's ha hecho un estudio sobre sus ventas,obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadaspor la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventasfueron máximas (5000 unidades)
2001 20032002
x (año)
y (ventas)
50004000300020001000
a) ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003?b) ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2004?c) ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2000?
Practiquemos
97Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
1. Graficar el polinomio: P(x) = x2 + 2nx + n2 + n
Sabiendo que el valor de "n" es negativo
a)x
y
b)x
y
c) x
y
d) x
y
2. Graficar: P(x) = (x + a)(x + 1) + (x - a)(x - 1) - x2 - 2x;a ZZ+
a)x
y
b)x
y
c) x
y
d) x
y
3. Dada la gráfica del polinomio: P(x) = nx2 - 4nx + a
x
y
15-n
5-n
Hallar "a"
a) 6 b) 3 c) 12d) 24 e) 48
4. Sea la gráfica del polinomio: P(x) = a(x2 + 1) + b(1 - x)
x
y
k
2
(0; 5)
Hallar: b - a+ k
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Dadas las gráficas:
x
y
k
2
(1; b + b)2
f = 2(bx + a)(x)
P = ax + bx + a + 2(x) 2
Hallar "k - a"
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Autoevaluaciòn
98
Gráficas de polinomios cuadráticos
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Determinar cuáles de los siguientes polinomios soncuadráticos y cuáles no. Fundamente su respuesta.
a) y = x2 + 5x b) x = y + 2c) x2 = 5 - y d) x2 + y = x + 3e) x2 + 0,5 = 2y f) - 6x + 7 = x2 + y
2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.
a) P(x) = 4x2 - 3 b) Q(x) = -x2 +6x -5c) R(x) = 2x2 - x d) S(x) = -4x2
3. En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente respectivamente
a) P(x) = 5x2 - x - 8 b) Q(x) = -3x2 - 25c) R(x) = 2x2 - 5x + 1 d) S(x) = -5x2 - 7x + 9
4. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = 4x2 b) Q(x) = -4x2
5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura:
y
x0-2-3 -1-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
-1
-2
-3-4
-5
6. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 +5b) Q(x) = -x2 + 5
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidascomparando P(x) y Q(x)?
7. Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 6 b) Q(x) = x2 + 6
8. Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientespolinomios:
a) P(x) = x2 + 9 b) R(x) = x2 + 8x
9. Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientespolinomios:
a) P(x) = - 2x2 + 9 b) R(x) = - x2 + 8x
10.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 +8x b) Q(x) = -2x2 + 8x
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?
Nivel II
11.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 4x b) Q(x) = -x2 - 6x
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?
12.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 4x + 6 b) Q(x) = -x2 - 4x - 5
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?
13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomioP(x) = 3x2 +ax - 5 pase por el punto (-2; 13)?
14.La suma de dos números es 36. Si uno de ellos es iguala "x":
a) ¿A qué es igual el otro número?b) Expresa el producto de dichos números como un
polinomio de variable "x".c) ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener?
15. La empresa Colpa ha hecho un estudio sobre sus ventas,obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadaspor la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventasfueron máximas (5 000 unidades).
2001 20032002
x (año)
y (ventas)
50004000300020001000
a) ¿Cuántas unidades vendieron en el año 2002?b) ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003?c) ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2001?
Tarea domiciliaria
99Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Productos notables I14Son los resultados de ciertas multiplicaciones cuyo producto es fácil de recordar mediante ciertas reglas que a continuación
daremos.
a. Binomio suma al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b. Binomio diferencia al cuadrado
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Efectuar:
1. (x + 3y)2 = (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2
= x2 + 6xy + 9y2
2. (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4x2 - 12xy + 9y2
3. (m + 8n)2 = (m)2 + 2(m)(8n) + (8n)2
= m2 + 16mn + 64n2
4. (2q + 3p2)2 = (2q)2 + 2(2q)(3p2) + (3p2)2
= 4q2 + 12qp2 + 9p4
5. (2r - 5s)2 = (2r)2 - 2(2r)(5s) + (5s)2
= 4r2 - 20rs + 25s2
100
Productos notables I
Primer Año de Secundaria
1. Desarrollar: (x + 1)2
2. Desarrollar: (x + 3)2
3. Desarrollar: (x - 2)2
4. Desarrollar: (x - 5)2
5. Desarrollar: (x + n)2
6. Desarrollar: (x + 3n)2
7. Desarrollar: (3x + 1)2
8. Reducir: A = (x + 2)2 - 4x
9. Reducir: B = (x + 6)2 - x2
10.Reducir: C = (x + 4)2 - x(x + 8)
Test de Aprendizaje
101Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
Desarrollar cada una de las siguientes expresiones:
1. (x + 2)2 =
2. (x + 5)2 =
3. (x - 7)2 =
4. (x - 4)2 =
5. (2x + 3)2 =
6. (4x + 7)2 =
7. (2x + 3y)2 =
8. (3x - 2)2 =
9. (5x - 1)2 =
10. (4x - 3y)2 =
Nivel II
11.Reducir:
S = (2x + 1)2 + (2x - 3)2 - 8x(x - 1)
a) 1 b) 2 c) 4d) 10 e) 12
12.Calcular:
M = (3x + 2)2 - (3x + 1)2 - 3(2x + 1)
a) 1 b) 0 c) -1d) -4 e) -8
13.Simplificar:
S = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 - 3x(x + 4)
a) -1 b) 0 c) 10d) 12 e) 14
14.Reducir:
W = (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 - 3x(x - 4)
a) 0 b) -1 c) 12d) 13 e) 14
15.Reducir:
S = (x + y)2 - 2(x + y)(x - 2y) + (x - 2y)2
a) 6y2 b) 3y2 c) 9y2
d) 16y2 e) 18y2
16.Simplificar:
R = (x + 1)2 - (x + 2)2 - (x + 3)2 + (x + 4)2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12
17.Efectuar:
R = (x + 8)2 + (x - 8)2 + (x + 6)2 + (x - 6)2 - 4x2
a) 64 b) 128 c) 200d) 400 e) 500
18.Si:x + y = 13x.y = 50
Hallar: L = x2 + y2
a) 100 b) 69 c) -69d) 49 e) 59
19.Si:x - y = 12x.y = -20
Hallar: U = x2 + y2
a) 40 b) -40 c) 104d) -44 e) 180
20.Si:a + b = 12
a2 + b2 = 120Hallar: S = a.b
a) 6 b) 12 c) 14d) 18 e) 16
Nivel III
Efectuar:
21. (4x2 - 5x)2 =
22. (5x2 + 2y3)2 =
23. (3x3 - 7y2)2 =
Practiquemos
102
Productos notables I
Primer Año de Secundaria
24. (m2 + 2n3)2 =
25.2
x2
-2x
=
26.2
2y
-3x
=
27.2
2x3
x32
=
28.2
8-4x
=
29.2
416x
=
30.
2
xn
n
x
=
31.
2
44xy
yx
=
Nivel IV
32.Si:x2 + y2 = 25
x.y = 12Hallar: E = x - y
a) 1 b) -1 c) a y bd) a ó b e) 16
33.Reducir:
S =22
2a
-32a
-32a
222a
2
a) 2 b) 4 c) 9d) 20 e) 25
34.Efectuar:
R =22
7-3a
7-3a
3a
52-3a
5
a) 121 b) 49 c) 25d) 144 e) 169
35.Hallar "A", si:
22
m2n3
-n3m2
Am2n3
n3m2
a) 1 b) - 2 c) - 4d) - 8 e) - 12
1. Si: x = (a + b)2 - (a - 1)2 - (b - 1)2 + 22
y = 2(a + 1)(b + 1)
Hallar "x - y"
a) 1 b) -20 c) 0d) 2 e) a + b
2. Si: x = (a + 1)2 - (a - 1)2
y = (a + 2)2 - (a - 2)2
Hallar: M = (x + y)2 - (x - y)2
a) a2 b) 24 a2 c) 64 a2
d) 128 a2 e) 32 a2
3. Si: A = (x + 6n)2 + (x + 2n)2 + (x - 2n)2 + (x - 6n)2
B = (x + 3n)2 + (x + n)2 + (x - n)2 + (x - 3n)2
Hallar: A - B
a) 10 n2 b) 20 n2 c) 40 n2
d) 60 n2 e) 80 n2
4. Si: a + b + c = 2xCalcular: E = (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2 + x2
a) (a + b + c)2 b) a2 + b2 + c2
c) ab + ac + bc d) a + b + ce) 0
5. Reducir:2 2 2 2(a b c)(a b)(a c)(b c)
M3
a) 1 b) (a + b + c)2
c) a2 + b2 + c2 d) 3(a + b + c)e) ab + ac + bc
Autoevaluaciòn
103Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Efectuar:
a. (x + 7)2 = _______________________
b. (x2 + 3)2 = _______________________
c. (3x+ 2y)2 = _______________________
d. (2x - 9)2 = _______________________
e. (4x3 - 3y4)2 = _______________________
2. Efectuar:
L = (4x + 1)2 + (4x - 3)2 - 16x(2x - 1)
3. Efectuar:
R = (x + 3)2 + (x - 3)2 + 2(4 - x2)
4. Reducir:
M = (2x + 3)2 - (2x - 3)2 + 4(5 - 6x)
5. Efectuar:
R = (2x + 3)2 + (2x - 1)2 - (2x - 6)2 - 4x(x + 8)
6. Reducir:
W = (x + 2)2 + (x + 1)2 + (x + 8)2 - 3x2 - 22x - 60
7. Si:x + y = 13x.y = 20
Hallar: R = x2 + y2
8. Si:x - y = 10x.y = - 40
Hallar: R = (x2 + y2)2
9. Si:
x + y = 14
x2 + y2 = 100
Hallar: L = x.y
10.Si:
x - y = 12
x2 + y2 = 120
Hallar: M = x.y
Nivel II
11.Si:x2 + y2 = 41
x.y = 20
Hallar: S = x + y
12.Reducir:
P =22
7x
-57x
-57x
427x
4
13.Reducir:
2 2x x x xS 5 2 5 7 7
9 9 9 9
14.Efectuar:
W = (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x)(x2 - 7x) + (x2 - 7x)2
15.Reducir:
W = (x + y)2 + (x - y)2 - 2(x2 + y2)
Tarea domiciliaria
105Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Productos notables II15c. Diferencia de cuadrados
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Ejemplo:
1. (x + 2)(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4
2. (x + 5)(x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25
3. (2x - 3y)(2x + 3y) = 4x2 - 9y2
d. Identidad de Steven
(Multiplicación de dos binomios con un término común)
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplos:
1. (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + (3)(5)
= x2 + 8x + 15
2. (x + 7)(x - 3) = x2 + (7 - 3)x + (7)(-3)
= x2 + 4x - 21
3. (x - 5)(x + 2) = x2 + (-5 + 2)x + (-5)(2)
= x2 - 3x - 10
4. (x - 4)(x - 6) = x2 + (- 4 - 6)x + (- 4)(- 6)
= x2 - 10x + 24
106
Productos notables I I
Primer Año de Secundaria
1. Efectuar: (x + 3)(x - 3)
2. Efectuar: (x + 2)(x - 2)
3. Efectuar: (5 + x)(5 - x)
4. Efectuar: (x + 3)(x + 5)
5. Efectuar: (x + 6)(x + 1)
6. Efectuar: (x + 4)(x + 4)
7. Reducir: E = (x + 3)(x - 3) + (4 + x)(4 - x)
8. Reducir: A = (x + 1)(x - 1) + (2 + x)(2 - x)
9. Reducir: M = (x + 2)(x + 3) - x2
10.Reducir: N = (x + 1)(x + 2) - 3x
Test de Aprendizaje
107Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel I
1. Efectuar:
a. (x + 6)(x - 6) = ___________________
b. (x - 11)(x + 11) = ___________________
c. (2x + 1)(2x - 1) = ___________________
d. (9 - x2)(x2 + 9) = ___________________
e. (5 - 3x)(3x + 5) = ___________________
f. (4 + 5x3)(5x3 - 4) = ___________________
g. (34 + 1)(34 - 1) = ___________________
h. (28 - 1)(28 + 1) = ___________________
2. Efectuar:
a. (x + 8)(x + 2) = ___________________
b. (x + 12)(x - 13) = ___________________
c. (2x + 3)(2x + 5) = ___________________
d. (3x + 8)(3x - 11) = ___________________
e. (7x - 5)(7x - 1) = ___________________
f. (x2 + 8)(x2 - 3) = ___________________
g. (a + c + 7)(a + c - 3) = ___________________
h. (5x2 + 12)(5x2 - 8) = ___________________
Nivel II
1. Efectuar: H = (x + 5)(x - 3) - (x + 7)(x - 5) + 4
2. Reducir:
M = (x+2)(x-2) + (3 - x)(x + 3) + (4+x)(x-4) + (x+5)(5-x)
3. Efectuar:
)5x)(5x()3x)(3x(E
4. Efectuar:
S = (x + y)(x - y)(x2+ y2)(x4+ y4)(x8+ y8)(x16+ y16) + y32
5. Reducir: E = (x3 - 3)2 - (x3 - 1)(x3 - 5)
6. Reducir:
M = (m + 2n)2 - (m + 2n)(m - 2n) - 2n(m + 4n)
7. Efectuar:
W = 32 16842 1)12)(12)(12)(12(3
8. Efectuar:
R = 16 842 1)13)(13)(13(8
9. Reducir:
S = (3x - 1)2 - 5(x - 2) - (2x + 3)2 - (5x + 2)(x - 1)
10.Efectuar:
P = 2(x - 3)2 - 3(x + 1)2 + (x - 5)(x - 3) + 4(x2 - 5x + 1)
11.Efectuar:
E = 5(x - 2)2 - 5(x + 3)2 + (2x - 1)(5x + 2) - 10x2
12.Efectuar:
E = (1 - 2xy)(1 + 2xy) - (x2y2 - 2)2 + (xy)4
13.¿Cuánto se le debe sumar a (p + 2q)2 para obtener(p - 2q)2?
Practiquemos
108
Productos notables I I
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Efectuar:
a. (14 + x)(14 - x) = __________________
b. (8 + x)(8 - x) = __________________
c. (6 + 2x)(6 - 2x) = __________________
d. (3n + 2y)(3n - 2y) = __________________
e. (4x + y)(4x - y) = __________________
2. Efectuar:
a. (x + 10)(x + 2) = __________________
b. (x + 12)(x - 6) = __________________
c. (x + 14)(x + 7) = __________________
d. (x - 8)(x + 2) = __________________
e. (x + 12)(x - 6) = __________________
3. Efectuar:
E = (x+6)(x-6) + (x+7)(7-x) + (x+8)(8-x) + (x+9)(x-9)
4. Efectuar:
S = (2x + 3)(2x - 7) - (2x - 5)(2x + 1) + 7
5. Calcular el valor de "w", de la manera más rápida posiblesin calculadora.
W = (1999)(2001) - (1998)(2002)
6. Si: m + n = 12m2 - n2 = 120
Hallar: S = m.n
7. Si: x2 + 3x = 5
Calcular: R = (x + 2)(x + 1)
Nivel II
8. Efectuar:
M = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256
1. Efectuar:
M = (x + a)(x + 1) + (x + 3a)(x + 3) - 2(x + 2a)(x + 2)
a) a b) 2a c) 3ad) 4a e) 5a
2. Si: an = bn + 1Hallar: (an + bn)(a2n + b2n)(a4n + b4n) + b8n
a) 1 b) (an + bn)8 c) a8n
d) (a2n + 1)4 e) a8n - b8n
3. Sean:A = (x + 3n)(x - 3n) + (x + n)(x - n) - 2(x + 2n)(x - 2n)B = (x + n)(x + 2n) + (x + 2n)(x + 3n) - 2(x + n)(x + 3n)
Hallar: A + B
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) n
4. Sean A = (x + a)2 + (x + b)2 + (x + c)2
B = (x + a)(x + b) + (x + a)(x + c) + (x + b)(x + c)P = a(b + c) + bc
Hallar: A - B + P
a) a + b + c b) ab + ac + bcc) a2 + b2 + c2 d) abce) (a + b)(b + c)
5. SeaM = (x + a + 1)(x + b - 1) + (x + a - 1)(x + c + 1) + (x + b + 1)(x + c - 1)
Hallar: M - x[3x + 2(a + b + c)]
a) 0 b) a + b + cc) a2 + b2 + c2 d) ab + ac + bc - 3e) a2 + b2 + c2 - 3
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
109Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
9. Efectuar:
S = (y2 - 2)(y2 + 2)(y4 + 4)(y8 + 16)
10.Reducir:
P = (m - 2n)(m2 + 4n2)(m + 2n)(m4 + 16n4)
11.Si: a +a1
=25
Hallar:
S = a2 +2a
1
P = a4 +4a
1
Luego, indicar: 4S + 16P
12.Si: x +x1
= 3
Hallar:
S =
44
22
x
1x
x
1x
13.Si: x -x1
= 3
Hallar:
S =
44
22
x
1x
x
1x
111Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
16 Repaso
1. Calcular:3 7
6x . x
Px
2. Reducir: M = 50 + 23
3. Si: P(x) = x2 + 1; hallar: P(3)
4. Si: Q(x; y) = x3y ; hallar: Q(1; 5)
5. Efectuar: x(x + 5)
6. Efectuar: (x + 2)(x + 1)
7. Indicar si el par ordenado (1; 6) verifica la igualdad: y = x + 5
8. En el siguiente polinomio: P(x) = 3x2 + 5x + 1; indicar sucoeficiente principal.
9. En el siguiente polinomio: P(x) = x2 + 2x + 3Indicar: Coeficiente del término lineal + Términoindependiente.
10.Efectuar: A = (x + 2)(x - 2)
Test de Aprendizaje
112
R e p a s o
Primer Año de Secundaria
Nivel I
1. Calcular:
. .
.
2 3 4 3
3 2 2
(x x x )R
(x x )
2. Calcular:
veces)n20(
2n
veces"10"
2222
x..............x.x.x.xx.x........x.x.x
I
3. Reducir:
0 00 0 0 02 5
C 8 (320)(3)(2 )19 4
4. Hallar:
00 0 31
H (2)(5)25
5. Multiplicar:
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)
a) x4 + x3y3 + xy2 + y2
b) x4 – x2y2 + y4
c) x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4
d) x4 + x2y2 + y4
e) x4 + x3y – x2y3 + xy2 – y4
6. Multiplicar:
(x2 – x + 2)( x2 – x – 2)
a) x4 – 2x3 + x2 – 4
b) x4 + 2x3 + x2 + 4
c) x4 – x2 + 4
d) x4 + x2 + 4
e) x4 – x3 + x2 – 4
7. Multiplicar:
(x3 – y + x2)(x3 + x2 + y)
a) x9 – x3y + xy4 + x4 – y2
b) x6 + 2x5 + x4 – y2
c) x6 + x4 + y2
d) x6 – x5 + x4 – y2
e) x9 + x5 +x4y + x3y2 + x2 – y2
8. Multiplicar:
(x
5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)(x3 – x2 + x – 1)
9. Dado el polinomio:
I(x) = 3mx 9; Si: I(2) = 9
Hallar el valor de ‘‘m’’.
10.Si: P(x;y) = x2 + y2 xy + x y + 3
Calcular: L = [P(0;0) 2P(1;1)] - [P(1;2) P(3;2)]
Nivel II
11.Si: P(x;y) = 2xy2 x2y + x y
Q(x) = 2x3 2x2 + 3x + 2
Calcular el valor de: E = Q[P(0; 1)] + P[Q(1);Q(0)]
12.Si: P(x) = 5x + 7 Q(x) = 2x 5
Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)]
13.Representa gráficamente los pares ordenados:
a) (-2;-2) b) (1;-4) c) (5;6)d) (-3;5) e) (0;8) f) (3;2)
14.Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.
a) (1;7),(2;9) ; y = 2x + 5b) (-1;4),(0;6) ; y = -2x + 3
Practiquemos
113Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
15.¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? Siuna igualdad no es lineal, di porqué.
a) x + y = 9b) 2r + 7 = 2Sc) 4x3 = 7yd) 8x - 17y = 5e) 4x - 3 = yf) x5 - 1 = y
* Representa gráficamente:
16. P(x) = 4 - x
17. P(x) = x - 6
18. 2x - 6y = -12
19. 3y = 2x - 6
20. y = -2x - 10
Nivel III
21.Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura: (cada cuadrado tiene una unidad de lado)
22.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 +3b) Q(x) = -x2 + 3
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?
23.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 - 3 b) Q(x) = -x2 - 3
¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?
24.Reducir:
S =22
2a
-32a
-32a
222a
2
a) 2 b) 4 c) 9d) 20 e) 25
25.Efectuar:
R =22
7-3a
7-3a
3a
52-3a
5
a) 121 b) 49 c) 25d) 144 e) 169
26.Reducir:
S = (x + y)2 - 2(x + y)(x - 2y) + (x - 2y)2
a) 6y2 b) 3y2 c) 9y2
d) 16y2 e) 18y2
27.Efectuar:
R = (x + 8)2 + (x - 8)2 + (x + 6)2 + (x - 6)2 - 4x2
a) 64 b) 128 c) 200d) 400 e) 500
28.Efectuar:
W = 32 16842 1)12)(12)(12)(12(3
29.Efectuar:
S = (x+y)(x - y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) + y32
30.Reducir:
M = (m + 2n)2 - (m + 2n)(m - 2n) - 2n(m + 4n)
114
R e p a s o
Primer Año de Secundaria
1. Reducir:
M = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 - 2ab) - (a2 - b2 + 2ab)(a2 -b2 - 2ab) - (2ab + 1)(2ab - 1)
a) 1 b) 2 c) 3d) a - b e) a + b
2. Sea: P(x + 1) = A(x - 1) + B(x - 2)
Además:1x1x2
A )x(
;1x21x
B )x(
Hallar: P(4)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Si: A(x) = x + nAdemás: A[P(x)] = x + n2; hallar: P(n) + P(-n2) - P(0)
a) 0 b) 1 c) 2d) n e) n2
4. Simplificar:
veces)2a(
aaaa
veces)b(
2b2b2b2b
veces)2bab2a(
babababa
x...x.x.x
x...x.x.x.x...x.x.xE
a) 1 b) 2 c) 3d) a + b e) 4
5. Si: A(x) = A1(x) + A2(x) + A3(x) + ... + An(x)Además: A1(x) = n - x
A2(x) = n - 1 - xA3(x) = n - 2 - x
An(x) = 1 - x
Hallar:
21A2
a) 1 b) n + 1 c) n2
d) 2n e)n(n 1)
2
Nivel I
1. Calcular:
3 3 2 4 3 6
4 5 2
2 4 16 (3 )(2 )A
8 8 81
2. Si: aa = 3
Calcular: 3 a
2 a
(a )T
(a )
3. Hallar:1xxxM:Hallar.3xxM
; Si: xx = 3
4. Calcular:
364 30 5
R 5 5 29 425
5. Si: nn = 2; hallar:1nn3nV
6. Efectuar:
a) x5 . x13 . x26 =b) 4x5 . 8x6 =c) (2x4) (4x5) (7x3) =
7. Efectuar:
a) (5x7) (8x4y5) =b) (6x4y3) (8x3y4) =c) (2x3y2) (+3x4y3) (+4x5z4) =
8. Multiplicar:(9x5y7) (7x6x8) (12y7z4)
9. Multiplicar:
(8xm-4yn+3zp-3) (32x9-my4-nz7-p)
10.Si: P(x) = 3x - 6 y Q(x) = 2x + 5
Calcular: N = P(4) + P(3) + P[Q(0)]
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
115Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA
Nivel II
11.Sea: E(2x 3) = 4x + 5; calcular:
a) E(5) d) E(1)b) E(3) e) E(3)c) E(7) f) E(7)
12.Si: L(x + 3) = x2 + x 1
Calcular: E = L(5) + L(3) L(4)
13.Sea: N(5x 4) = 2(5x 4)19 + 3(5x 4)2 + 1
Hallar: I = N(1) + N(1) + N(0)
14.Sea: T(4x 7) = 5x 9
Calcular: A = T(9) + T(3)
15.Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.
a) (1; 2); (2; -1) ; y = 3x - 5b) (2; -6); (0; 2) ; y = -4x + 2
16.¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? si unaigualdad no es lineal, di por qué.
a) x + y = 7b) x - y = 3c) r + s = 6d) 2r - 5s = 7e) 9c - d3 = 4zf) x + y = 2z
* Representa gráficamente:
17. P(x) = 6 - x
18. P(x) = x - 3
19. P(x) = x - 8
20.Determina cuáles de los polinomios siguientes soncuadráticos y cuáles no.
a) y = x b) y = x2 + 5 c) y = x2 - 3x + x3
d) -y = 2x2-x e) y = x2 + 5
Nivel III
21.Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.
a) P(x) = 3x2 b) Q(x) = -x2 +4x+ 3c) R(x) = 2x2 + x d) S(x) = -2x2 - 4
22.En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente respectivamente:
a) P(x) = x2 - 3x - 2b) Q(x) = -x2 - 7c) R(x) = 2x2 - x + 8d) S(x) = -3x2 - 2x + 4
23.Graficar los siguientes polinomios:
a) P(x) = 2x2 b) Q(x) = -2x2
c) R(x) = 3x2 d) S(x) = -3x2
24.Efectuar:
a. (2x + 7)2 =
b. (5x2 + 3x5)2 =
c. (3x2y + 2xy2)2 =
d. (2x - 9)2 =
e. (4x3 - 3y4)2 =
25.Efectuar: L = (4x + 1)2 + (4x - 3)2 - 16x(2x - 1)
26.Efectuar: R = (x + 3)2 + (x - 3)2 + 2(4 - x2)
27.Reducir: M = (2x + 3)2 - (2x - 3)2 + 4(5 - 6x)
28.Efectuar:
a. (14 + x)(14 - x) =
b. (8 + x)(8 - x) =
c. (6 + 2x)(6 - 2x) =
d. (3n + 2y)(3n - 2y) =
e. (4x + y)(4x - y) =
29.Efectuar:
a. (x + 10)(x + 2) =
b. (x + 12)(x - 6) =
c. (x + 14)(x + 7) =
d. (x - 8)(x + 2) =
e. (x + 12)(x - 6) =
30.Efectuar:
E = (x+6)(x - 6) + (x+7)(7 - x) + (x+8)(8 - x) + (x+9)(x - 9)
116
R e p a s o
Primer Año de Secundaria
A. CAPACIDAD: Razonamiento y Demostración (6 puntos)
1. Identificar la relación existente entre los enunciados de la columna de la izquierda con los de la derecha. Piense surespuesta. No se admitirá borrones ni tachas, ubicando los números en los casilleros correspondientes. (3 puntos)
COLUMNA IZQUIERDA COLUMNA DERECHA
1 30 + 20 + 22064
2 S i : P (x) = 2x + 3, luego P(0) es: 20x2
3
4
2
2
2x2 - 9x + 20
4 (-5x) por (-4x) 4
5 (x - 5)(x - 4) 2
6 Si: P(x) = 3 - x2, luego P(-1) es: 3
2. Analice la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados, respondiendo verdadero con una "V" o falso con una "F"(3 puntos)
a. [-(22)3 + (23)2]0 = 1 ................................................................................. ( )
b. (22 . 23) (24 . 2) = 1 ............................................................................. ( )
c. (a + b)2 = a2 + b2 .................................................................................... ( )
d. (6 - x)(x + 6) = 36 - x2 ............................................................................. ( )
e. Si: a = -2; b = 3; c = -1; entonces: a2.b.c = 6 ......................................... ( )
f. Si: P(x) = 3x + 2; luego el valor de: P(1) + 2 = 7 ....................................... ( )
B. CAPACIDAD: Comunicación Matemática (4,5 puntos)
3. Interprete el siguiente plano cartesiano y luego responda las preguntas que se indican(2,5 puntos)
a. ¿Cómo se llaman respectivamente a los ejes “x” e “y”?
Eje “x”: ____________ Eje “y”: ____________
b. ¿Cuál es la coordenada del punto “O” y cómo se llama?
_________________________________________
c. ¿A qué cuadrante pertenecen los puntos “A” y “D”?
Punto "A": ____________ Punto "D": ____________
d. Señale las coordenadas de los puntos:
A = ( ; ) C = ( ; )B = ( ; ) D = ( ; )
y
x
A
B
O
CD
50 minutos
Modelo de examen bimestral
117Organización EducativaTRILCE
ÁLGEBRA4. Identifique los productos notables que se colocan a continuación, utilizando los enunciados del recuadro. (1 punto)
a. (x + y)2 = _______________________
b. __________________ = x2 - y2
5. Complete los recuadros según corresponda, aplicando los productos notables. (1 punto)
a. (2x + )2 = + + 25
b. (x + ) ( - 5) = x2 + x - 40
C. CAPACIDAD: Resolución de problemas (9,5 puntos)
6. Resolver según corresponda de manera clara, ordenada y limpia.
a. Calcular: 3 3
4
2 .4 .16A
8b. Multiplicar (x + 2) por (x2 - 2x + 4)
Solución: Solución:
(2 ptos.) (1,5 ptos.)
c. Simplificar: H = (x + 5)(x - 3) - (x + 7)(x - 5) + 4 d. Reducir: E (x 3)(x 3)(x 5)(x 5)Solución: Solución:
(1,5 ptos.) (2 ptos.)
7. Graficar: P(x) = 3 - 2x (Recordar: P(x) = y)
Solución:
x y punto Cálculos
0 si: x = 0; y = ________________
1 si: x = 1; y = ________________
-1 si: x = -1; y = ________________
2 si: x = 2; y = ________________
-2 si: x = -2; y = ________________
3 si: x = 3; y = ________________
x + 2xy + y2 2
x + y2 2 (x + y)(x - y)(x - y)2
y
xO
(2,5 ptos.)
Recommended