2. lgebra lineal sexta edicin Stanley I. Grossman S. University
of Montana University College London Revisin y adaptacin: Jos Job
Flores Godoy Universidad Iberoamericana Revisin tcnica: Abelardo
Ernesto Damy Sols Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Guadalajara Mara Eugenia Noriega Trevio
Universidad Autnoma de San Luis Potos Mara Asuncin Montes Pacheco
Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla Irma Patricia
Flores Allier Instituto Politcnico Nacional Dax Andr Pinseau
Castillo Universidad Catlica de Honduras Universidad Pedaggica
Nacional de Honduras Kristiano Racanello Fundacin Universidad de
las Amricas, Puebla Erik Leal Enrquez Universidad Iberoamericana,
Ciudad de Mxico Universidad Autnoma Metropolitana Azcapotzalco
Eduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Martha Patricia Melndez
Aguilar Instituto Tecnolgico de Celaya Israel Portillo Arroyo
Instituto Tecnolgico del Parral, Chihuahua Ivn Castaeda Leyva
Universidad de Occidente, unidad Culiacn
3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor:
Pablo E. Roig Vzquez Editor de desarrollo: Carlos Ziga Gutirrez
Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca LGEBRA LINEAL Sexta
edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por
cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS
RESERVADOS 2008, respecto a la sexta edicin en espaol por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of
The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma
1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro
Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-10: 970-10-6517-4
ISBN-13: 978-970-10-6517-4 ISBN-10: 970-10-6773-8 (Quinta edicin
cambio de portada) ISBN-13: 978-970-10-6773-4 Traducido y adaptado
de la quinta edicin en ingls de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH
APPLICATIONS. Copyright 2007, by Stanley I. Grossman S. ISBN
0-03-097354-6 2345678901 09765432108 Impreso en Mxico Printed in
Mexico
4. Para Kerstin, Aaron y Erick
5. CONTENIDO PREFACIO XIII 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
MATRICES 1 1.1 Introduccin 1 1.2 Dos ecuaciones lineales con dos
incgnitas 2 1.3 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 7 Semblanza de. . . Carl Friedrich Gauss
21 Introduccin a MATLAB 28 1.4 Sistemas homogneos de ecuaciones 36
1.5 Vectores y matrices 42 Semblanza de. . . Sir William Rowan
Hamilton 52 1.6 Productos vectorial y matricial 57 Semblanza de. .
. Arthur Cayley y el lgebra de matrices 71 1.7 Matrices y sistemas
de ecuaciones lineales 87 1.8 Inversa de una matriz cuadrada 94 1.9
Transpuesta de una matriz 118 1.10 Matrices elementales y matrices
inversas 124 1.11 Factorizaciones LU de una matriz 136 1.12 Teora
de grficas: una aplicacin de matrices 152 Resumen 159 Ejercicios de
repaso 164 2 DETERMINANTES 168 2.1 Definiciones 168 2.2 Propiedades
de los determinantes 182 2.3 Demostracin de tres teoremas
importantes y algo de historia 198 Semblanza de. . . Breve historia
de los determinantes 203 2.4 Determinantes e inversas 204 2.5 Regla
de Cramer (opcional) 212 Resumen 217 Ejercicios de repaso 218 3
VECTORES EN 2 Y 3 220 3.1 Vectores en el plano 220 3.2 El producto
escalar y las proyecciones en 2 234 3.3 Vectores en el espacio 244
3.4 El producto cruz de dos vectores 254 Semblanza de. . . Josiah
Willard Gibbs y los orgenes del anlisis vectorial 259
6. 3.5 Rectas y planos en el espacio 263 Resumen 275 Ejercicios
de repaso 277 4 ESPACIOS VECTORIALES 281 4.1 Introduccin 281 4.2
Definicin y propiedades bsicas 281 4.3 Subespacios 293 4.4
Combinacin lineal y espacio generado 299 4.5 Independencia lineal
314 4.6 Bases y dimensin 332 4.7 Rango, nulidad, espacio de los
renglones y espacio de las columnas de una matriz 343 4.8 Cambio de
base 366 4.9 Bases ortonormales y proyecciones en n 387 4.10
Aproximacin por mnimos cuadrados 411 4.11 Espacios con producto
interno y proyecciones 432 4.12 Fundamentos de la teora de espacios
vectoriales: existencia de una base (opcional) 444 Resumen 449
Ejercicios de repaso 455 5 TRANSFORMACIONES LINEALES 458 5.1
Definicin y ejemplos 458 5.2 Propiedades de las transformaciones
lineales: imagen y ncleo 472 5.3 Representacin matricial de una
transformacin lineal 479 5.4 Isomorfismos 503 5.5 Isometras 510
Resumen 518 Ejercicios de repaso 521 6 VALORES CARACTERSTICOS,
VECTORES CARACTERSTICOS Y FORMAS CANNICAS 524 6.1 Valores
caractersticos y vectores caractersticos 524 6.2 Un modelo de
crecimiento de poblacin (opcional) 546 6.3 Matrices semejantes y
diagonalizacin 555 6.4 Matrices simtricas y diagonalizacin
ortogonal 567 6.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas 575 6.6
Forma cannica de Jordan 586 6.7 Una aplicacin importante: forma
matricial de ecuaciones diferenciales 595 6.8 Una perspectiva
diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin 607 Resumen
615 Ejercicios de repaso 620 VIII Contenido
7. Apndice 1 Induccin matemtica 622 Apndice 2 Nmeros complejos
630 Apndice 3 El error numrico en los clculos y la complejidad
computacional 640 Apndice 4 Eliminacin gaussiana con pivoteo 649
Apndice 5 Uso de MATLAB 656 Respuestas a los problemas impares 658
Captulo 1 658 Captulo 2 683 Captulo 3 687 Captulo 4 701 Captulo 5
725 Captulo 6 734 Apndices 752 ndice 757 Contenido IX
8. CONTENIDO DE LOS PROBLEMAS CON MATLAB Se enumeran los
conjuntos de problemas de MATLAB y los temas de inters especial. 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Introduccin a MATLAB 28
Tutora de MATLAB 30 1.3 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 31 Distribucin de calor 33 Modelo de
insumo-producto de Leontief 34 Flujo de trfico 34 Ajuste de
polinomios a puntos 35 1.4 Sistemas homogneos de ecuaciones 41
Balanceo de reacciones qumicas 41 1.5 Vectores y matrices 55
Caractersticas de MATLAB. Introduccin eficiente de matrices
dispersas 56 1.6 Productos vectorial y matricial 81 Matriz
triangular superior 83 Matrices nilpotentes 83 Matrices por bloques
84 Producto exterior 84 Matrices de contacto 84 Cadena de Markov 84
PROBLEMA PROYECTO: matriz de poblacin 86 1.7 Matrices y sistemas de
ecuaciones lineales 92 1.8 Inversa de una matriz cuadrada 113 Tipos
especiales de matrices l l 5 Perturbaciones: matrices cercanas a
una matriz no invertible 116 Criptografa 117 1.9 Transpuesta de una
matriz 122 PROBLEMA PROYECTO: matrices ortogonales 123 1.10
Matrices elementales y matrices inversas 134 1.11 Factorizaciones
LU de una matriz 150 2 DETERMINANTES 2.1 Definiciones 179 archivo
tipo M, ornt.m ilustracin de la orientacin de vectores antes y
despus de la manipulacin de matrices 181 2.2 Propiedades de los
determinantes 198 2.4 Determinantes e inversas 210 PROBLEMA
PROYECTO: encriptado y desencriptado de mensajes 211 2.5 Regla de
Cramer 216
9. 3 VECTORES EN 2 Y 3 3.1 Vectores en el plano 231 archivo
tipo M, lincomb.m ilustracin de un vector como una combinacin
lineal de dos vectores no paralelos 233 3.2 El producto escalar y
las proyecciones en 2 243 archivo tipo M, prjtn.m ilustracin de la
proyeccin de un vector sobre otro 243 3.4 El producto cruz de dos
vectores 263 4 ESPACIOS VECTORIALES 4.2 Definicin y propiedades
bsicas 288 archivo tipo M, vctrsp.m ilustracin de algunos axiomas
en espacios vectoriales 288 4.3 Subespacios 299 4.4 Combinacin
lineal y espacio generado 305 Visualizacin de las combinaciones
lineales 305 archivo tipo M, combo.m ilustracin de las
combinaciones lineales de dos vectores 305 archivo tipo M,
lincomb.m ilustracin de un vector como combinacin lineal por partes
de tres vectores 307 Aplicacin 312 4.5 Independencia lineal 328
Ciclos en digrficas e independencia lineal 331 4.6 Bases y dimensin
341 4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las
columnas de una matriz 358 Aplicacin geomtrica del espacio nulo 359
Aplicacin del espacio nulo a sistemas de ecuaciones 360 Exploracin
del rango de matrices especiales 363 Rango y productos de matrices
363 PROBLEMA PROYECTO: ciclos en digrficas 364 PROBLEMA PROYECTO:
subespacio suma y subespacio interseccin 365 4.8 Cambio de base 378
Cambio de base por rotacin en 2 382 archivo tipo M, rotcoor.m
ilustracin de combinaciones lineales respecto a bases diferentes
383 PROBLEMA PROYECTO: cambio de base por rotacin en 3 ; rotaciones
inclinar, desviar y rodar 385, 387 4.9 Bases ortonormales y
proyecciones en n 403 Proyeccin sobre un plano en 3 405 Matrices
ortogonales: longitud y ngulo 408 Matrices de rotacin 409
Reflectores elementales 410 PROBLEMA PROYECTO: matrices de rotacin;
cambio de base en 3 411 Contenido de los problemas de MATLAB
XI
10. 4.10 Aproximacin por mnimos cuadrados 424 Eficiencia de
combustible 426 Manufactura: temperatura y fuerza 427 archivo tipo
M, mile.m datos en forma vectorial sobre el ao y los tiempos rcord
de carreras de una milla 427 Crecimiento de poblacin 427 Geologa
minera 429 PROBLEMA PROYECTO: geologa petrolera 429 4.11 Espacios
con producto interno y proyecciones 443 5 TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 Definicin y ejemplos 467 Grficas en computadora: creacin de una
figura 467 archivo tipo M, grafics.m grficas por computadora usando
matrices 468 5.3 Representacin matricial de una transformacin
lineal 500 Proyecciones 500 Reflexiones 501 PROBLEMA PROYECTO:
creacin de grficas y aplicacin de transformaciones 502 5.4
Isomorfismos 509 5.5 Isometras 517 6 VALORES CARACTERSTICOS,
VECTORES CARACTERSTICOS Y FORMAS CANNICAS 6.1 Valores
caractersticos y vectores caractersticos 540 Teora de grficas 543
Geologa 545 6.2 Un modelo de crecimiento de poblacin 551
Poblaciones de pjaros 551 Teora de grficas 554 PROBLEMA PROYECTO:
grficas de mapas 555 6.3 Matrices semejantes y diagonalizacin 565
Geometra 566 6.4 Matrices simtricas y diagonalizacin 574 Geometra
574 6.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas 585 6.6 Forma cannica
de Jordan 594 6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de
Cayley-Hamilton y Gershgorin 607 XII Contenido de los problemas de
MATLAB
11. PREFACIO Anteriormente el estudio del lgebra lineal era
parte de los planes de estudios de los alumnos de matemticas y
fsica principalmente, y tambin recurran a ella aquellos que
necesitaban conocimientos de la teora de matrices para trabajar en
reas tcnicas como la estadstica mul- tivariable. Hoy en da, el
lgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de
las computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las
matemticas en reas que, por tradicin, no son tcnicas.
PRERREQUISITOS Al escribir este libro tuve en mente dos metas.
Intent volver accesibles un gran nmero de temas de lgebra lineal
para una gran variedad de estudiantes que necesitan nicamente cono-
cimientos firmes del lgebra correspondientes a la enseanza media
superior. Como muchos estudiantes habrn llevado un curso de clculo
de al menos un ao, inclu tambin varios ejem- plos y ejercicios que
involucran algunos temas de esta materia. stos se indican con el
smbolo CLCULO . La seccin 6.7 es opcional y s requiere el uso de
herramientas de clculo, pero salvo este caso, el clculo no es un
prerrequisito para este texto. APLICACIONES Mi segunda meta fue
convencer a los estudiantes de la importancia del lgebra lineal en
sus campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y
ejercicios hace referencia a dife- rentes disciplinas. Algunos de
los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multiplica-
cin de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (pgina
62). Otros son un poco ms grandes; entre stos se pueden contar el
modelo de insumo-producto de Leontief (pginas 18 a 19 y 103 a 106),
la teora de grficas (seccin 1.12), la aproximacin por mnimos
cuadrados (seccin 4.10) y un modelo de crecimiento poblacional
(seccin 6.2). Adems, se puede encontrar un nmero significativo de
aplicaciones sugestivas en las sec- ciones de MATLAB . TEORA Para
muchos estudiantes el curso de lgebra lineal constituye el primer
curso real de matemticas. Aqu se solicita a los estudiantes no slo
que lleven a cabo clculos matemticos sino tambin que desarrollen
demostraciones. Intent, en este libro, alcanzar un equilibrio entre
la tcnica y la teo- ra. Todas las tcnicas importantes se describen
con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su
utilizacin. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que
se pueden probar utilizando resultados dados aqu. Las
demostraciones ms difciles se dan al final de las secciones o en
apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro
que proporcionar a los estudiantes tanto las habilidades
algebraicas para resolver problemas que surjan en sus reas de
estudio como una mayor apreciacin de la belleza de las matemticas.
CARACTERSTICAS La sexta edicin ofrece nuevas caractersticas, y
conserva la estructura ya probada y clsica que tena la quinta
edicin. Las nuevas caractersticas se enumeran en la pgina xv.
12. XIV Prefacio EJEMPLOS Los estudiantes aprenden matemticas
mediante ejemplos completos y claros. La sexta edicin contiene
cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los
pasos algebraicos ne- cesarios para completar la solucin. En muchos
casos se proporcionaron secciones de ayuda didctica para facilitar
el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorg un nombre a
los ejemplos con el objeto de que resulte ms sencillo entender el
concepto esencial que ilustra cada uno. EJERCICIOS El texto
contiene cerca de 2750 ejercicios. Al igual que en todos los libros
de matemticas, stos constituyen la herramienta ms importante del
aprendizaje. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su
grado de dificultad y existe un equilibrio entre la tcnica y las
de- mostraciones. Los problemas ms complicados se encuentran
marcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalmente
difciles con dos (**). stos se complementan con ejercicios de
problemas impares, incluyendo aquellos que requieren
demostraciones. De los 2750 ejercicios, alrededor de 300 son
nuevos. Muchos de ellos han sido aportados por profesores
destacados en su imparticin de la materia. Tambin hay varios
problemas en las secciones de Manejo de calculadora y MATLAB. En
dicha seccin se hablar ms sobre estas caractersticas. TEOREMA DE
RESUMEN Una caracterstica importante es la aparicin frecuente del
teorema de resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada
en comn dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales.
En la seccin 1.2 (pgina 4) se presenta el teorema por vez primera.
En las secciones 1.8 (p. 106), 1.10 (p. 128), 2.4 (p. 208), 4.5 (p.
320), 4.7 (p. 353), 5.4 (p. 506) y 6.1 (p. 535) se encuentran
versiones cada vez ms completas de dicho teorema. AUTOEVALUACIN Los
problemas de autoevaluacin estn diseados para valorar si el
estudiante comprende las ideas bsicas de la seccin, y es
conveniente que se resuelvan antes de intentar los problemas ms
generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas
de opcin mltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningn
clculo. Las respuestas a estas preguntas apare- cen al final de la
seccin de problemas a la que pertenecen. MANEJO DE CALCULADORA En
la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras
disponibles, con las que es posible realizar operaciones con
matrices y vectores. Desde la edicin anterior, el texto incluye
secciones de manejo de calculadora que tienen por objeto ayudar a
los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Para esta
edicin se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de
vanguardia. Cada seccin comienza con una descripcin detallada del
uso de la Hewlett-Packard HP 50g para la resolucin de problemas.
Por lo general a estas descripciones les sigue una serie de
problemas adicionales con nmeros ms complicados que se pueden
resolver fcilmente con calculadora.
13. Prefacio XV Sin embargo, debe hacerse hincapi en que no se
requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graficadora
para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo
de calculadora son una caracterstica opcional que debe usarse a
discrecin del profesor. RESMENES DE CAPTULO Al final de cada
captulo aparece un repaso detallado de los resultados importantes
hallados en el mismo. Incluye referencias a las pginas del captulo
en las que se encuentra la informacin completa. GEOMETRA Algunas
ideas importantes en lgebra lineal se entienden mejor observando su
interpretacin geomtrica. Por esa razn se han resaltado las
interpretaciones geomtricas de conceptos im- portantes en varios
lugares de esta edicin. stas incluyen: La geometra de un sistema de
tres ecuaciones con tres incgnitas (p. 19) La interpretacin
geomtrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 175, 257) La
interpretacin geomtrica del triple producto escalar (p. 258) Cmo
dibujar un plano (p. 267) La interpretacin geomtrica de la
dependencia lineal en 3 (p. 317) La geometra de una transformacin
lineal de 2 en 2 (pp. 488-495) Las isometras de 2 (p. 512)
SEMBLANZAS HISTRICAS Las matemticas son ms interesantes si se
conoce algo sobre el desarrollo histrico del tema. Para estimular
este inters se incluyen varias notas histricas breves, dispersas en
el libro. Ade- ms, hay siete semblanzas no tan breves y con ms
detalles, entre las que se cuentan las de: Carl Friedrich Gauss (p.
21) Sir William Rowan Hamilton (p. 52) Arthur Cayley y el lgebra de
matrices (p. 71) Breve historia de los determinantes (p. 203)
Josiah Willard Gibbs y los orgenes del anlisis vectorial (p. 259)
Historia de la induccin matemtica (p. 627) CARACTERSTICAS NUEVAS DE
LA SEXTA EDICIN Gracias a la participacin de profesores y
revisores, la nueva edicin se ha enriquecido con diversos cambios,
como son: Secciones de manejo de la calculadora actualizadas. Las
tutoras y problemas de MATLAB tambin se han actualizado, incluyendo
ahora mayores referencias e incluso muchos de los cdigos
necesarios. Gran cantidad de problemas nuevos, adems de otros
actualizados, que permitirn ejercitar y aplicar las habilidades
adquiridas. Por ende, la seccin de respuestas al final del libro ha
cambiado por completo.
14. XVI Prefacio MATLAB El texto cuenta con ms de 230 problemas
opcionales para MATLAB , muchos de los cuales tienen varios
incisos, que aparecen despus de la mayora de las secciones de
problemas (MAT- LAB es una marca registrada de The Math Works,
Inc.). MATLAB es un paquete poderoso pero amigable, diseado para
manejar problemas de una amplia variedad que requieren clculos con
matrices y conceptos de lgebra lineal. Se puede ver mayor
informacin sobre este progra- ma en la seccin de apndices. Los
problemas relacionados directamente con los ejemplos y los
problemas normales, exhortan al estudiante a explotar el poder de
clculo de MATLAB y explorar los principios del lgebra lineal
mediante el anlisis y la obtencin de conclusiones. Adems, se cuenta
con varios incisos de papel y lpiz que permiten que el alumno
ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos. La
seccin 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB ; antes
de estos proble- mas se presenta una introduccin y una tutora
breve. Los problemas de MATLAB en cada seccin estn diseados para
que el usuario conozca los comandos de MATLAB a medida que se van
requiriendo para la resolucin de problemas. Se cuenta con numerosas
aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del
lgebra lineal en el mundo real; stos pueden servir como trabajos de
grupo o proyectos cortos. Muchos de los problemas de MATLAB estn
diseados para animar a los estudiantes a describir teoremas de
lgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias
matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendr la
conclusin natural de que la inversa de una matriz triangular
superior es otra triangular superior. La demostracin de este resul-
tado no es trivial, pero tendr sentido si el estudiante ve que el
resultado es aceptable. Prc- ticamente todos los conjuntos de
problemas de MATLAB contienen algunos que llevan a resultados
matemticos. Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se
resalta aqu el hecho de que el material de MATLAB es opcional. Se
puede asignar o no segn el profesor lo considere con- veniente. En
lugar de colocar la seccin de MATLAB a manera de suplemento, se
decidi conser- varlo dentro de los captulos para que la integracin
fuera mayor y ms efectiva. Adems, se ha cuidado que primero se
ensee a los estudiantes la manera de resolver los problemas a mano,
comprendiendo los conceptos, para despus poder incorporar el uso de
otras herramientas. lgebra lineal conserva el diseo de un libro
para cubrirse en un semestre. Es de esperarse que, al utilizarlo,
el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que
comple- mente el trabajo del saln de clase. NUMERACIN La numeracin
de este libro es estndar. Dentro de cada seccin, los ejemplos,
problemas, teo- remas y ecuaciones se encuentran numerados
consecutivamente a partir del nmero 1. Las refe- rencias a los
mismos fuera de la seccin se llevan a cabo por captulo, seccin y
nmero. De esta forma, el ejemplo 4 en la seccin 2.5 se denomina
ejemplo 4 en esa seccin, pero fuera de ella se habla del ejemplo
2.5.4. Adems, con frecuencia se proporciona el nmero de la pgina
para que resulte sencillo encontrar referencias. ORGANIZACIN El
enfoque que se ha utilizado en este libro es gradual. Los captulos
1 y 2 contienen el material computacional bsico comn para la mayor
parte de los libros de lgebra lineal. El captulo 1 presenta los
sistemas de ecuaciones lineales, vectores y matrices. Cubre todo el
material de sis-
15. Prefacio XVII temas de ecuaciones antes de introducir los
conceptos relacionados con matrices. Esta presen- tacin proporciona
una mayor motivacin para el estudiante y sigue el orden de la
mayora de los temarios del curso. Tambin se incluy una seccin
(1.12) en la que se aplican matrices a la teora de grficas. El
captulo 2 proporciona una introduccin a los determinantes e incluye
un ensayo histrico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al
lgebra lineal (seccin 2.3) Dentro de este material bsico, incluso
hay secciones opcionales que representan un reto un poco mayor para
el estudiante. Por ejemplo, la seccin 2.3 proporciona una
demostracin completa de que det AB 5 detAdetB. La demostracin de
este resultado, mediante el uso de matrices elementales, casi nunca
se incluye en libros introductorios. El captulo 3 analiza los
vectores en el plano y el espacio. Muchos de los temas de este cap-
tulo se cubren segn el orden con el que se presentan en los libros
de clculo, de manera que es posible que el estudiante ya se
encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo, como una gran parte
del lgebra lineal est relacionada con el estudio de espacios
vectoriales abstractos, los alumnos necesitan un acervo de ejemplos
concretos que el estudio de los vectores en el plano y el espacio
proporciona de manera natural. El material ms difcil de los
captulos 4 y 5 se ilustra con ejemplos que surgen del captulo 3. La
seccin 3.4 incluye un ensayo histrico sobre Gibbs y el origen del
anlisis vectorial. El captulo 4 contiene una introduccin a los
espacios vectoriales generales y es necesa- riamente ms abstracto
que los captulos anteriores. No obstante, intent presentar el
material como una extensin natural de las propiedades de los
vectores en el plano, que es en realidad la forma en que surgi el
tema. La sexta edicin estudia las combinaciones lineales y el
conjunto generado por ellas (seccin 4.4) antes de la independencia
lineal (seccin 4.5) para explicar estos temas de manera ms clara.
El captulo 4 tambin incluye una seccin (4.10) de aplicaciones
interesantes sobre la aproximacin por mnimos cuadrados. Al final
del captulo 4 agregu una seccin (4.12) opcional en la que demuestro
que todo espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan
los conjuntos ordenados y el lema de Zorn. Dicho material es ms
complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir.
Sin embargo, como el lgebra lineal a menudo se considera el primer
curso en el que las demos- traciones son tan importantes como los
clculos, en mi opinin el estudiante interesado debe disponer de una
demostracin de este resultado fundamental. El captulo 5 contina el
anlisis que se inici en el captulo 4 con una introduccin a las
transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza
con dos ejemplos que mues- tran la manera natural en la que pueden
surgir las transformaciones. En la seccin 5.3 inclu una descripcin
detallada de la geometra de las transformaciones de 2 en 2 , inclu
expansiones, compresiones, reflexiones y cortes. Ahora, la seccin
5.5 contiene un estudio ms detallado de las isometras de 2 . El
captulo 6 describe la teora de los valores y vectores
caractersticos o valores y vectores propios. Se introducen en la
seccin 6.1 y en la seccin 6.2 se da una aplicacin biolgica deta-
llada al crecimiento poblacional. Las secciones 6.3, 6.4 y 6.5
presentan la diagonalizacin de una matriz, mientras que la seccin
6.6 ilustra, para unos cuantos casos, cmo se puede reducir una
matriz a su forma cannica de Jordan. La seccin 6.7 estudia las
ecuaciones diferenciales matriciales y es la nica seccin del libro
que requiere conocimiento del primer curso de clculo. Esta seccin
proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su
forma cannica de Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la
seccin 6.8, introduje dos de mis resultados fa- voritos acerca de
la teora de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de
los crculos de Gershgorin. El teorema de los crculos de Gershgorin
es un resultado muy rara vez estudiado en los libros de lgebra
lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar
los va- lores propios de una matriz. En el captulo 6 tuve que tomar
una decisin difcil: si analizar o no valores y vectores pro- pios
complejos. Decid incluirlos porque me pareci lo ms adecuado.
Algunas de las matrices
16. XVIII Prefacio ms agradablestienen valores propios
complejos. Si se define un valor propio como un nme- ro real, slo
en un principio se pueden simplificar las cosas, aunque esto sea un
error. Todava ms, en muchas aplicaciones que involucran valores
propios (incluyendo algunas de la seccin 6.7), los modelos ms
interesantes se relacionan con fenmenos peridicos y stos requieren
valores propios complejos. Los nmeros complejos no se evitan en
este libro. Los estudiantes que no los han estudiado antes pueden
encontrar las pocas propiedades que necesitan en el apndice 2. El
libro tiene cinco apndices, el primero sobre induccin matemtica y
el segundo sobre nmeros complejos. Algunas de las demostraciones en
este libro hacen uso de la induccin matemtica, por lo que el
apndice 1 proporciona una breve introduccin a esta importante
tcnica para los estudiantes que no la han utilizado. El apndice 3
analiza el concepto bsico de la complejidad de los clculos que,
entre otras cosas, ayudar a los estudiantes a entender las razones
por las cuales quienes desarrollan soft- ware eligen algoritmos
especficos. El apndice 4 presenta un mtodo razonablemente eficiente
para obtener la solucin numrica de los sistemas de ecuaciones. Por
ltimo, el apndice 5 incluye algunos detalles tcnicos sobre el uso
de MATLAB en este libro. Una nota sobre la interdependencia de los
captulos: este libro est escrito en forma se- cuencial. Cada
captulo depende de los anteriores, con una excepcin: el captulo 6
se puede cubrir sin necesidad de gran parte del material del
captulo 5. Las secciones marcadas como opcional se pueden omitir
sin prdida de la continuidad. MATERIALES DE APOYO Esta obra cuenta
con interesantes complementos que fortalecen los procesos de
enseanza- aprendizaje, as como la evaluacin de los mismos, los
cuales se otorgan a profesores que adop- tan este texto para sus
cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega
de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.
AGRADECIMIENTOS Estoy agradecido con muchas personas que me
ayudaron cuando escriba este libro. Parte del material apareci
primero en Mathematics for the Biological Sciences (Nueva York,
Macmillan, 1974) escrito por James E. Turner y por m. Quiero
agradecer al profesor Turner por el permiso que me otorg para hacer
uso de este material. Gran parte de este libro fue escrita mientras
trabajaba como investigador asociado en la University College
London. Deseo agradecer al departamento de matemticas de UCL por
proporcionarme servicios de oficina, sugerencias matemticas y, en
especial, su amistad duran- te mis visitas anuales. El material de
MATLAB fue escrito por Cecelia Laurie, de la University of Alabama.
Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que
utiliz la computadora para mejorar el proceso de enseanza. ste es
un mejor libro debido a sus esfuerzos. Tambin me gustara extender
mi agradecimiento a Cristina Palumbo, de The MathWorks, Inc., por
proporcionarnos la informacin ms reciente sobre MATLAB . La
efectividad de un libro de texto de matemticas depende en cierto
grado de la exactitud de las respuestas. Ya en la edicin anterior
del libro se hicieron esfuerzos considerables para tratar de evitar
los errores al mximo. Las respuestas fueron verificadas por varios
profesores, entre los que cabe destacar la importantsima labor de
Sudhir Goel, de Valdosta State College, y David Ragozin, de la
University of Washington, quien elabor el Manual de Soluciones del
libro. Cecelia Laurie prepar las soluciones a los problemas de
MATLAB . En el caso de esta
17. Prefacio XIX nueva edicin, las soluciones a los problemas
nuevos estn elaboradas por los profesores que los aportaron. Dado
que hay gran cantidad de problemas nuevos, la seccin de respuestas
al final del libro se modific casi por completo. Agradezco a
aquellas personas que hicieron comentarios a la quinta edicin.
Todos ellos son muy valiosos. En esta edicin fue posible incorporar
muchos de ellos. Mi agradecimiento a los siguientes usuarios
experimentados de MATLAB por la revisin de los problemas de MATLAB
: Thomas Cairns, University of Tulsa Karen Donelly, Saint Josephs
College Roger Horn, University of Utah Irving Katz, George
Washington University Gary Platt, University of
Wisconsin-Whitewater Stanley I. Grossman Missoula, Montana
Diciembre de 2007 La divisin de Ingenieras, Matemticas y Ciencias
de McGraw-Hill agradece de manera muy especial a todos los
profesores que han contribuido con este importante proyecto: Adn
Medina, Instituto Tecnolgico de Culiacn Alfonso Bernal Amador,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Alfredo Gmez Rodrguez, Universidad
Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de Ingeniera Andrs Basilio
Ramrez y Villa, Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de
Ingeniera Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnolgico de Mazatln
Arturo Fernando Quiroz, Tecnolgico Regional de Quertaro Arturo Muoz
Lozano, Universidad La Salle del Bajo Arturo Valenzuela Valenzuela,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Aureliano Castro, Universidad
Autnoma de Sinaloa, Escuela de Ingeniera Beatriz Velazco, Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn
Benigno Valez, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Culiacn Bertha Alicia Madrid, Universidad
Iberoamericana, campus Cuidad de Mxico Carlos Camacho Snchez,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Carlos Garzn, Universidad
Javeriana, Cali, Colombia Carlos Rodrguez Provenza, Universidad
Politcnica de Quertaro Csar Meza Mendoza, Instituto Tecnolgico de
Culiacn Dinaky Glaros, Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Culiacn Edgar Hernndez Lpez,
Universidad Iberoamericana, campus Len Edith Salazar Vzquez,
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Toluca
18. XX Prefacio Edmundo Barajas Ramrez, Universidad
Iberoamericana, campus Len Eduardo Miranda Montoya, Iteso Erndira
Gabriela Avils Rabanales, Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Toluca Erik Norman Guevara Corona,
Universidad Nacional Autnoma de Mxico Esperanza Mndez Ortiz,
Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de Ingeniera
Fernando Lpez, Universidad Autnoma de Sinaloa, Escuela de
Ingenieras Qumico Biolgicas Gabriel Martnez, Instituto Tecnolgico
de Hermosillo Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnolgico de
Mazatln Gonzalo Veyro Santamara, Universidad Iberoamericana, campus
Len Guillermo Luisillo Ramrez, Instituto Politcnico Nacional, ESIME
Culhuacn Hctor Escobosa, Instituto Tecnolgico de Culiacn Hortensia
Beltrn Ochoa, Instituto Tecnolgico de Los Mochis Irma Yolanda
Paredes, Universidad de Guadalajara, Centro Universitario de
Ciencias Exactas e Ingenieras Javier Nez Verdugo, Universidad de
Occidente, unidad Guamchil Jess Gamboa Hinojosa, Instituto
Tecnolgico de Los Mochis Jess Manuel Canizalez, Universidad de
Occidente, unidad Mazatln Jess Vicente Gonzlez Sosa, Universidad
Nacional Autnoma de Mxico Jorge Alberto Castelln, Universidad
Autnoma de Baja California Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto
Tecnolgico de Tijuana Jos Alberto Gutirrez Palacios, Universidad
Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca, Facultad de Ingeniera
Jos Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad
Culiacn Jos Carlos Ahumada, Instituto Tecnolgico de Hermosillo Jos
Carlos Aragn Hernndez, Instituto Tecnolgico de Culiacn Jos Espndola
Hernndez, Tecnolgico Regional de Quertaro Jos Gonzlez Vzquez,
Universidad Autnoma de Baja California Jos Guadalupe Octavio
Cabrera Lazarini, Universidad Politcnica de Quertaro Jos Guadalupe
Torres Morales, Instituto Politcnico Nacional, ESIME Culhuacn Jos
Guillermo Crdenas Lpez, Instituto Tecnolgico de Tijuana Jos Luis
Gmez Snchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatln Jos Luis
Herrera, Tecnolgico Regional de San Luis Potos Jos No de la Rocha,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Juan Carlos Pedraza, Tecnolgico
Regional de Quertaro Juan Castaeda, Universidad Autnoma de Sinaloa,
Escuela de Ingenieras Qumico Biolgicas Juan Leoncio Nez Armenta,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Juana Murillo Castro, UAS, Escuela
de Ingeniera Leonel Monroy, Universidad del Valle, Cali,
Colombia
19. Prefacio XXI Linda Medina, Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de Mxico Lorenza de
Jess, Instituto Tecnolgico de Culiacn Luca Ramos Montiel,
Universidad Iberoamericana, campus Len Lucio Lpez Cavazos,
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Quertaro Luis Felipe Flores, Instituto Tecnolgico de Los Mochis
Luis Lpez Barrientos, EPCA Marco Antonio Blanco Olivares,
Tecnolgico Regional de San Luis Potos Marco Antonio Rodrguez
Rodrguez, Instituto Tecnolgico de Los Mochis Mara Sara Valentina
Snchez Salinas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Maritza Pea
Becerril, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Toluca Martha Gutirrez Mungua, Universidad
Iberoamericana, campus Len Martn Muoz Chvez, UNIVA Michell Gmez,
Universidad ICESI, Cali, Colombia Miguel ngel Aguirre Pitol,
Universidad Autnoma del Estado de Mxico Nasario Mendoza Patio,
Tecnolgico Regional de Quertaro Norma Olivia Bravo, Universidad
Autnoma de Baja California Oscar Guerrero, Instituto Tecnolgico y
de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn Oscar Ren
Valdez Casillas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Oswaldo
Verdugo Verdugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn Porfirio Lpez,
Universidad de Occidente, unidad Guamchil Ramn Duarte, Universidad
Autnoma de Sinaloa, Escuela de Ingeniera Ral Soto Lpez, Universidad
de Occidente, Unidad Culiacn Ricardo Betancourt Riera, Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hermosillo
Ricardo Martnez Gmez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Roberto
Guzmn Gonzlez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Roberto
Robledo Prez, Instituto Tecnolgico de Len Rosa Mara Rodrguez
Gonzlez, Universidad Iberoamericana, campus Len Rosalba Rodrguez
Chvez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de Ingeniera
Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn Sithanatham
Kanthimathinathan, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Quertaro Susana Pineda Cabello, Instituto
Politcnico Nacional, ESIME Culhuacn Walter Magaa, Universidad de
Sanbuenaventura, Cali, Colombia
20. Captulo SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1 1.1
INTRODUCCIN Este libro trata del lgebra lineal. Al buscar la
palabra lineal en el diccionario se encuentra, entre otras
definiciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj.
Perteneciente o relativo a la lnea.1 Sin embargo, en matemticas la
palabra lineal tiene un significado mucho ms am- plio. Una gran
parte de la teora de lgebra lineal elemental es, de hecho, una
generalizacin de las propiedades de la lnea recta. A manera de
repaso se darn algunos hechos fundamentales sobre las lneas rectas:
i. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1 , y1 ) y
(x2 , y2 ) est dada por m y y x x 5 2 2 2 1 2 1 55 y x si x x1 2 Z
ii. Si x2 2 x1 5 0 y y2 y1 , entonces la recta es vertical y se
dice que la pendiente es indefinida.2 iii. Cualquier recta (a
excepcin de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede
des- cribir al escribir su ecuacin en la forma pendiente-ordenada y
5 mx 1 b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada
(el valor de y en el punto en el que la recta cruza el eje y). iv.
Dos rectas distintas son paralelas si y slo si tienen la misma
pendiente. v. Si la ecuacin de la recta se escribe en la forma ax 1
by 5 c, (b 0), entonces se puede calcular fcilmente, m 5 2a/b. vi.
Si m1 es la pendiente de la recta L1 , m2 es la pendiente de la
recta L2 , m1 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces m2 5 21/m1
. vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.
viii. Las rectas paralelas al eje y tienen una pendiente
indefinida. En la seccin que sigue se ilustrar la relacin que
existe entre resolver sistemas de ecua- ciones y encontrar los
puntos de interseccin entre pares de rectas. 1 Diccionario de la
Lengua Espaola, vigsima segunda edicin, Real Academia Espaola.
Madrid: Espasa Calpe, 2001. 2 Indenida o innita, como tambin se le
denomina en otros libros.
21. 1.2 DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS Considere el
siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas x y
y: a x a y b a x a y b 1 5 1 5 11 12 1 21 22 2 (1) donde a11 , a12
, a21 , a22 , b1 y b2 son nmeros dados. Cada una de estas
ecuaciones corresponde a una lnea recta. Una solucin al sistema (1)
es un par de nmeros, denotados por (x,y), que sa- tisface (1). Las
preguntas que surgen en forma natural son: tiene este sistema
varias soluciones y, de ser as, cuntas? Se respondern estas
preguntas despus de ver algunos ejemplos, en los cuales se usarn
dos hechos importantes del lgebra elemental: Hecho A Si a 5 b y c 5
d, entonces a 1 c 5 b 1 d. Hecho B Si a 5 b y c es cualquier nmero
real, entonces ca 5 cb. El hecho A establece que si se suman dos
ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin correcta. El hecho B
establece que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una
constante se obtiene una segunda ecuacin vlida. Se debe suponer que
c Z 0 ya que aunque la ecuacin 0 5 0 es correcta, no es muy til.
EJEMPLO 1 Sistema con una solucin nica Considere el sistema x 2 y 5
7 x 1 y 5 5 (2) Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el
hecho A, la siguiente ecuacin: 2x 5 12 (es decir, x 5 6). Entonces,
si se despeja de la segunda ecuacin, y 5 5 2 x 5 5 2 6 5 entonces y
5 21. As, el par (6,21) satisface el sistema (2) y la forma en que
se encontr la solucin muestra que es el nico par de nmeros que lo
hace. Es decir, el sistema (2) tiene una solucin nica. EJEMPLO 2
Sistema con un nmero innito de soluciones Considere el sistema x 2
y 5 7 2x 2 2y 514 (3) Se puede ver que estas dos ecuaciones son
equivalentes. Esto es, cualesquiera dos nmeros, x y y, que
satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen la segunda, y
viceversa. Para compro- bar esto se multiplica la primera ecuacin
por 2. Esto est permitido por el hecho B. Entonces x 2 y 5 7 o y 5
x 2 7. As, el par (x, x 2 7) es una solucin al sistema (3) para
cualquier n- mero real x. Es decir, el sistema (3) tiene un nmero
infinito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son
soluciones: (7, 0), (0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22, 29).
EJEMPLO 3 Sistema sin solucin Considere el sistema x 2 y 5 7 2x 2
2y 513 (4) Si se multiplica la primera ecuacin por 2 (que de nuevo
est permitido por el hecho B) se obtiene 2x 2 2y 5 14. Esto
contradice la segunda ecuacin. Por lo tanto, el sistema (4) no
tiene solucin. 2 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y
matrices
22. 1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 3 1 5 1 5 1 5
1 5 1 5 1 5 Solucin nica Sin solucin Nmero innito de soluciones Un
sistema que no tiene solucin se dice que es inconsistente.
Geomtricamente es fcil explicar lo que sucede en los ejemplos
anteriores. Primero, se repite que ambas ecuaciones del sistema (1)
son de lneas rectas. Una solucin a (1) es un pun- to (x, y) que se
encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas,
entonces se intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces
nunca se intersecan (es decir, no tienen puntos en comn) o son la
misma recta (esto es, tienen un nmero infinito de puntos en co-
mn). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientes de 1 y 21,
respectivamente, por lo que no son paralelas y tienen un solo punto
en comn (6, 21). En el ejemplo 2, las rectas son paralelas (tienen
pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 3, las rectas son
paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en la figura
1.1. Ahora se proceder a resolver el sistema (1) formalmente. Se
tiene a x a y b a x a y b 1 5 1 5 11 12 1 21 22 2 (1) Si a12 5 0,
entonces x 5 b a 1 11 y se puede usar la segunda ecuacin para
despejar y. Si a22 5 0, entonces x 5 b a 2 21 y se puede usar la
primera ecuacin para despejar y. Si a12 5 a22 5 0, entonces el
sistema (1) contiene slo una incgnita, x. As, se puede suponer que
ni a12 ni a22 son cero. Si se multiplica la primera ecuacin por a22
y la segunda por a12 se tiene a11 a22 x 1 a12 a22 y 5 a22 b1 a12
a21 x 1 a12 a22 y 5 a12 b2 (5) Antes de continuar se puede ver que
los sistemas (1) y (5) son equivalentes. Esto quiere decir que
cualquier solucin del sistema (1) es una solucin del sistema (5) y
viceversa. Ello se concluye directamente del hecho B, suponiendo
que c no es cero. Despus, si en (5) se resta la segunda ecuacin de
la primera, se obtiene (a11 a22 2 a12 a21 )x 5 a22 b1 2 a12 b2 (6)
Es necesario hacer una pausa en este punto. Si a11 a22 2 a12 a21 0,
entonces se puede dividir entre este trmino para obtener x a b a b
a a a a 22 1 12 2 11 22 12 21 ( ) 5 2 2 Figura 1.1 Dos rectas se
intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un nmero
innito de puntos. SISTEMAS EQUIVALENTES
23. 4 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
AUTOEVALUACIN I. De las siguientes afirmaciones con respecto a la
solucin de un sistema de dos ecuacio- nes con dos incgnitas, cul de
ellas no es verdadera? a) Es un par ordenado que satisface ambas
ecuaciones. b) Su grfica consiste en el(los) punto(s) de
interseccin de las grficas de las ecua- ciones. c) Su grfica es la
abscisa de las grficas de las ecuaciones. d) Si el sistema es
inconsistente, no existe una solucin. II. Cul de las siguientes
afirmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos
ecuaciones lineales? a) No existe una solucin. Despus se puede
sustituir este valor de x en el sistema (1) para despejar y, y as
se habr en- contrado la solucin nica del sistema. Se ha demostrado
lo siguiente: Si a11 a22 2 a12 a21 Z 0, entonces el sistema (1)
tiene una solucin nica Cmo se relaciona esta afirmacin con lo que
se analiz anteriormente? En el sistema (1) se puede ver que la
pendiente de la primera recta es 2a11 /a12 y que la pendiente de la
segunda es 2a21 /a22 . En los problemas 40, 41 y 42 se pide al
lector que demuestre que a11 a22 2 a12 a21 5 0 si y slo si las
rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta
manera se sabe que si a11 a22 2 a12 a21 Z 0, las rectas no son
paralelas y el sistema tiene una solucin nica. Lo que se acaba de
analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores
de este captulo y los siguientes se harn generalizaciones de este
teorema, y se har referencia a l como el teorema de resumen
conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan de- mostrado
todas sus partes, se podr estudiar una relacin asombrosa entre
varios conceptos importantes de lgebra lineal. TEOREMA 1 Teorema de
resumen. Punto de vista 1 El sistema a11 x 1 a12 y 5 b1 a21 x 1 a22
y 5 b2 de dos ecuaciones con dos incgnitas x y y no tiene solucin,
tiene una solucin nica o tiene un nmero infinito de soluciones.
Esto es: i. Tiene una solucin nica si y slo si a11 a22 2 a12 a21
Z0. ii. No tiene solucin o tiene un nmero infinito de soluciones,
si y slo si a11 a22 2 a12 a21 5 0. Los sistemas de m ecuaciones con
n incgnitas se estudian en la seccin 1.3 y se ver que siempre
ocurre que no tienen solucin, o que tienen una o un nmero infinito
de soluciones. Problemas 1.2
24. 1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 5 En los
problemas 1 a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los
sistemas dados. En cada caso calcule el valor de a11 a22 2 a12 a21
. 1. x 2 3y 5 4 24x 1 2y 5 6 2. 5x 2 7y 5 4 2x 1 2y 5 23 3. 2x 2 y
5 23 5x 1 7y 5 4 4. 2x 2 8y 5 5 23x 1 12y 5 8 5. 10x 2 40y 5 30 23x
1 12y 5 290 6. 2x 2 8y 5 6 23x 1 12y 5 29 7. 6x 1 y 5 3 24x 2 y 5 8
8. 5x 1 y 5 0 7x 1 3y 5 0 9. 3x 1 y 5 0 2x 2 3y 5 0 10. 4x 2 6y 5 0
22x 1 3y 5 0 11. 5x 1 2y 5 3 2x 1 5y 5 3 12. 4x 1 7y 5 3 7x 2 4y 5
3 13. 2x 1 3y 5 4 3x 1 4y 5 5 14. ax 1 by 5 c ax 2 by 5 c 15. ax 1
by 5 c bx 1 ay 5 c 16. ax 2 by 5 c bx 1 ay 5 d 17. Para el
siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qu valores
de K el sistema tiene solucin nica; justifique su solucin. Kx 1 y 1
z 5 1 x 1 Ky 1 z 5 1 x 1 y 1Kz 5 1 18. En el siguiente sistema de
ecuaciones lineales determine para qu valores de K el sistema: a)
No tiene solucin b) Tiene soluciones infinitas c) Tiene solucin
nica b) La grfica del sistema est sobre el eje y. c) La grfica de
la solucin es una recta. d) La grfica de la solucin es el punto de
interseccin de dos lneas. III. Cul de las aseveraciones que siguen
es cierta para el siguiente sistema de ecua- ciones? 3 2 8 4 7 x y
x y 2 5 1 5 a) El sistema es inconsistente. b) La solucin es (21,
2). c) La solucin se encuentra sobre la recta x 5 2. d) Las
ecuaciones son equivalentes. IV. De las siguientes ecuaciones que
se presentan, cul de ellas es una segunda ecuacin para el sistema
cuya primera ecuacin es x 2 2y 5 25 si debe tener un nmero infi-
nito de soluciones? a) 6y 5 3x 1 15 b) 6x 2 3y 5 215 c) y 5 1 2 5 2
x2 1 d) 3 2 3 15 2 x y5 1 V. Cul de las grficas de los siguientes
sistemas es un par de rectas paralelas? a) 3x 2 2y 5 7 b) x 2 2y 5
7 4y 5 6x 2 14 3x 5 4 1 6y c) 2x 1 3y 5 7 d) 5x 1 y 5 1 3x 2 2y 5 6
7y 5 3x
25. 6 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 2x 2
y 2 Kz 5 0 x 2 y 2 2z 5 1 2x 1 2y 5 K 19. Encuentre las condiciones
sobre a y b tales que el sistema en el problema 14 tenga una
solucin nica. 20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales
que el sistema del problema 15 tenga un n- mero infinito de
soluciones. 21. Encuentre las condiciones sobre a, b, c y d tales
que el problema 16 no tenga solucin. En los problemas 22 al 29
encuentre el punto de interseccin (si hay uno) de las dos rectas.
22. x 2 y 5 7; 2x 1 3y 5 1 23. 2x 2 2y 53; 3x 1 7y 5 21 24. y 2 2x
5 4; 4x 2 2y 5 6 25. 4x 2 6y 57; 6x 2 9y 5 12 26. 4x 2 6y 5 10; 6x
2 9y 5 15 27. 3x 1 y 5 4; y 2 5x 5 2 28. 2y 2 3x 50; 7y 2 5x 5 9
29. 3x 1 4y 5 5; 6x 2 7y 5 8 Sea L una recta y L' la recta
perpendicular a L que pasa a travs de un punto dado P. La dis-
tancia de L a P se define como la distancia3 entre P y el punto de
interseccin de L y L' . En los problemas 30 a 36 encuentre la
distancia entre la recta dada y el punto. 30. x 2 y 5 6; (0, 0) 31.
2x 1 3y 5 21; (0, 0) 32. 3x 1 y 5 7; (1, 2) 33. 5x 2 6y 5 3; (2, 16
5 ) 34. 2y 2 5x 5 22; (5, 23) 35. 3y 2 7x 5 0; (21, 25) 36. 6y 1 3x
5 3; (8, 21) 37. Encuentre la distancia entre la recta 2x 2 y 5 6 y
el punto de interseccin de las rectas 3x 2 2y 5 1 y 6x 1 3y 5 12.
*38. Pruebe que la distancia entre el punto (x1 , y1 ) y la recta
ax 1 by 5 c est dada por 1 1 2 d ax by c a 5 1 2 11 b2 39. En un
zoolgico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el
zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y bestias
viven en l? 40. Suponga que a11 a22 2 a12 a21 5 0. Demuestre que
las rectas dadas en el sistema de ecuacio- nes (1) son paralelas.
Suponga que a11 Z 0oa12 Z 0y a21 Z 0 o a22 Z 0. 41. Si existe una
solucin nica al sistema (1), muestre que a11 a22 2 a12 a21 Z 0. 42.
Si a11 a22 2 a12 a21 Z 0 demuestre que el sistema (1) tiene una
solucin nica. 43. La compaa Sunrise Porcelain fabrica tazas y
platos de cermica. Para cada taza o plato un trabajador mide una
cantidad fija de material y la pone en la mquina que los forma, de
donde pasa al vidriado y secado automtico. En promedio, un
trabajador necesita tres minutos para iniciar el proceso de una
taza y dos minutos para el de un plato. El material 3 Recuerde que
si (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) son dos puntos en el plano xy, entonces
la distancia d entre ellos est dada por d x x y y5 2 1 21 2 2 1 2 2
( ) ( ) .
26. para una taza cuesta 25 y el material para un plato cuesta
20. Si se asignan $44 diarios para la produccin de tazas y platos,
cuntos deben fabricarse de cada uno en un da de trabajo de 8 horas,
si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan
exac- tamente $44 en materiales? 44. Conteste la pregunta del
problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan 15 y
10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo. 45.
Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de
trabajo. 46. Una tienda de helados vende slo helados con soda y
malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un
helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una
malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de
jarabe en un da, cuntos helados con soda y cuntas malteadas vende?
[Sugerencia: 1 cuarto 5 32 onzas, 1 galn 5 4 cuartos.] RESPUESTAS A
LA AUTOEVALUACIN I. c) II. a) III. c) IV. a) V. b) 1.3 m ECUACIONES
CON n INCGNITAS: ELIMINACIN DE GAUSS-JORDAN Y GAUSSIANA En esta
seccin se describe un mtodo para encontrar todas las soluciones (si
es que existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n
incgnitas. Al hacerlo se ver que, igual que en el caso de 2 3 2,
tales sistemas o bien no tienen solucin, tienen una solucin o
tienen un nmero infinito de soluciones. Antes de llegar al mtodo
general se vern algunos ejemplos sencillos. Como variables, se
usarn x1 , x2 , x3 , etc., en lugar de x, y, z, . . . porque la
generalizacin es ms sencilla si se usa la notacin con subndices.
EJEMPLO 1 Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres
incgnitas: solucin nica Resuelva el sistema 2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 3x1 1 x2 2 2x3 5 4 (1) Solucin En este caso se
buscan tres nmeros x1 , x2 , x3 , tales que las tres ecuaciones en
(1) se satisfagan. El mtodo de solucin que se estudiar ser el de
simplificar las ecuaciones como se hizo en la seccin 1.2, de manera
que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Se comienza
por dividir la primera ecuacin entre 2. Esto da x1 1 2x2 1 3x3 5 9
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 3x1 1 x2 2 2x3 5 4 (2) Como se vio en la
seccin 1.2, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin
correc- ta. Esta nueva ecuacin puede sustituir a cualquiera de las
dos ecuaciones del sistema que se usaron para obtenerla. Primero se
simplifica el sistema (2) multiplicando ambos lados de la primera
ecuacin de (2) por 24 y sumando esta nueva ecuacin a la segunda.
Esto da 1.3 m ecuaciones con n incgnitas 7
27. 8 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 24x1
2 8x2 2 12x3 5 236 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 23x2 2 6x3 5 212 La ecuacin
23x2 2 6x3 5 212 es la nueva segunda ecuacin y el sistema ahora es
x1 1 2x2 1 3x3 5 9 23x2 2 6x3 5 212 3x1 1 x2 2 2x3 5 4 Nota. Como
se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la
ecuacin 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 por la ecuacin 23x2 2 6x3 5 212. En
este ejemplo y otros posteriores se sustituirn ecuaciones con otras
ms sencillas hasta obtener un sistema cuya solucin se pueda
identificar de inmediato. Entonces, la primera ecuacin se
multiplica por 23 y se suma a la tercera, lo que da por resultado:
x1 1 2x2 1 3x3 5 9 23x2 2 6x3 5 212 25x2 2 11x3 5 223 (3) Observe
que en el sistema (3) se ha eliminado la variable x1 de la segunda
y tercera ecuaciones. Despus se divide la segunda ecuacin por 23:
x1 1 2x2 1 3x3 5 9 x2 1 2x3 5 4 25x2 2 11x3 5 223 Se multiplica la
segunda ecuacin por 22 y se suma a la primera; despus se multiplica
la se- gunda ecuacin por 5 y se suma a la tercera: x1 2 x3 5 1 x2 1
2x3 5 4 2 x3 5 23 Ahora se multiplica la tercera ecuacin por 21: x1
2 x3 5 1 x2 1 2x3 5 4 x3 5 3 Por ltimo, se suma la tercera ecuacin
a la primera y despus se multiplica la tercera ecuacin por 22 y se
suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es
equivalente al sis- tema (1): x1 5 4 x2 5 22 x3 5 3
28. sta es la solucin nica para el sistema. Se escribe en la
forma (4, 22, 3). El mtodo que se us se conoce como eliminacin de
Gauss-Jordan.4 Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente
resumir lo que se hizo en ste: i. Se dividi la primera ecuacin,
entre una constante, para hacer el coeficiente de x1 igual a 1. ii.
Se eliminaron los trminos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones.
Esto es, los coeficientes de estos trminos se hicieron cero al
multiplicar la primera ecuacin por las constantes adecuadas y
sumndola a la segunda y tercera ecuaciones, respectiva- mente, de
manera que al sumar las ecuaciones una de las incgnitas se
eliminaba. iii. Se dividi la segunda ecuacin entre una constante,
para hacer el coeficiente de x2 igual a 1 y despus se us la segunda
ecuacin para eliminar los trminos en x2 de la primera y tercera
ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el paso anterior.
iv. Se dividi la tercera ecuacin entre una constante, para hacer el
coeficiente de x3 igual a 1 y despus se us esta tercera ecuacin
para eliminar los trminos de x3 de la primera y segunda ecuaciones.
Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas
equivalentes. Es decir, cada sistema tena el mismo conjunto de
soluciones que el precedente. Esto es una consecuen- cia de los
hechos A y B de la pgina 2. Antes de resolver otros sistemas de
ecuaciones es conveniente introducir una notacin que simplifica la
escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de
matriz. Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros y stas se
estudiarn con gran detalle al inicio de la seccin 1.5. Por ejemplo,
los coeficientes de las variables x1 , x2 , x3 en el sistema (1) se
pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz
de coeficientes del sistema: 5 2 A 2 4 6 4 5 6 3 1 2 (4) Una matriz
con m renglones y n columnas se llama una matriz de m 3 n. El
smbolo m 3 n se lee m por n. El estudio de matrices constituye gran
parte de los captulos restantes de este libro. Por la conveniencia
de su notacin para la resolucin de sistemas de ecuaciones, las pre-
sentamos aqu. Al usar la notacin matricial, el sistema (1) se puede
escribir como la matriz aumentada 2 2 4 6 4 5 6 3 1 2 18 24 | | |
44 (5) Ahora es posible introducir cierta terminologa. Se ha visto
que multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuacin por un
nmero diferente de cero da por resultado una nueva 4 Recibe este
nombre en honor del gran matemtico alemn Karl Friedrich Gauss
(1777-1855) y del ingeniero alemn Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea
la semblanza bibliogrca de Gauss en la pgina 21. Jordan fue un
experto en inves- tigacin geodsica tomando en cuenta la curvatura
de la Tierra. Su trabajo sobre la solucin de sistemas de ecuaciones
apareci en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual
de geodesia). ELIMINACIN DE GAUSS-JORDAN MATRIZ MATRIZ DE
COEFICIENTES MATRIZ m 3 n MATRIZ AUMENTADA 1.3 m ecuaciones con n
incgnitas 9
29. 10 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
ecuacin equivalente. Ms an, si se suma un mltiplo de una ecuacin a
otra del sistema se obtiene otra ecuacin equivalente. Por ltimo, si
se intercambian dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones se
obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se
aplican a los renglones de la matriz aumentada que representa un
sistema de ecuaciones, se denominan operaciones elementales con
renglones. Para resumir, las tres operaciones elementales con
renglones aplicadas a la matriz aumen- tada que representa un
sistema de ecuaciones son: Operaciones elementales con renglones i.
Multiplicar (o dividir) un rengln por un nmero diferente de cero.
ii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln. iii. Intercambiar
dos renglones. El proceso de aplicar las operaciones elementales
con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama
reduccin por renglones. NOTACIN 1. Ri cRi quiere decir reemplaza el
i-simo rengln por ese mismo rengln multiplicado por c. [Para
multiplicar el i-simo rengln por c se multiplica cada nmero en el
i-simo rengln por c.] 2. Rj Rj 1 cRi significa sustituye el j-simo
rengln por la suma del rengln j ms el rengln i multiplicado por c.
3. Ri } Rj quiere decir intercambiar los renglones i y j. 4. A B
indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es
decir, que los sistemas que representan tienen la misma solucin. En
el ejemplo 1 se vio que al usar las operaciones elementales con
renglones i) y ii) varias veces, se puede obtener un sistema cuyas
soluciones estn dadas en forma explcita. Ahora se repiten los pasos
del ejemplo 1 usando la notacin que se acaba de introducir: 2 4 6 4
5 6 3 1 2 18 24 4 2 | | | RR111111 22 11 22 22 44 RR RR RR 1 2 3 4
5 6 3 1 2 9 24 42 | | | 22 RRRR RR RR RR 11 33 33 1133 22 1 2 3 0 3
6 0 5 11 9 12 23 2 2 2 2 2 2 | | | RR RR22 11 33 22 1 2 3 0 1 2 0 5
11 9 4 232 2 | | | RR RR RR RR RR RR 11 11 22 33 33 22 22 55 22 11
1 0 1 0 1 2 0 0 2 211 1 4 3 | | | 2 2 1 0 1 0 1 2 0 0 1 | | | 2 RR
RR33 33 22 11 4 3 1 0 0 0 1 0 RR RR RR RR RR RR 11 11 33 22 22 3322
11 22 00 0 1 4 2 3 | | | 2 De nuevo se puede ver de inmediato que
la solucin es x1 5 4, x2 5 22, x3 5 3. REDUCCIN POR RENGLONES
30. EJEMPLO 2 Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres
incgnitas: nmero innito de soluciones Resuelva el sistema 2x1 1 4x2
1 6x3 5 18 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 2x1 1 7x2 1 12x3 5 30 Solucin Para
resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1, esto es,
primero se escribe el sistema como una matriz aumentada: 2 4 6 4 5
6 2 7 12 18 24 30 | | | Despus se obtiene, sucesivamente, RR RR11
11 22 11 1 2 3 4 5 6 2 7 12 9 24 30 | | | RR RR RR RR RR RR 22 22
11 33 33 11 44 22 22 22 1 2 3 0 3 6 0 3 6 2 2 | | | 99 12 12 2 1 2
3 0 1 2 0 3 6 9 4 RR RR22 11 33 22 | | | 112 1 0 1 0 1 RR RR RR RR
RR RR 11 11 22 33 33 22 22 33 22 22 2 22 0 0 0 1 4 0 | | | Esto es
equivalente al sistema de ecuaciones x1 2 x3 5 1 x2 1 2x3 5 4 Hasta
aqu se puede llegar. Se tienen slo dos ecuaciones para las tres
incgnitas x1 , x2 , x3 y existe un nmero infinito de soluciones.
Para comprobar esto se elige un valor de x3 . Entonces x2 5 4 2 2x3
y x1 5 1 1 x3 . sta ser una solucin para cualquier nmero x3 . Se
escribe esta solucin en la forma (1 1 x3 , 4 2 2x3 , x3 ). Por
ejemplo, si x3 5 0, se obtiene la solucin (1, 4, 0). Para x3 5 10
se obtiene la solucin (11, 216, 10), y por ello para cada valor de
x3 habr una solucin distinta. EJEMPLO 3 Sistema inconsistente
Resuelva el sistema 2x2 1 3x3 5 4 2x1 2 6x2 1 7x3 5 15 x1 2 2x2 1
5x3 5 10 (6) Solucin La matriz aumentada para este sistema es 0 2 3
2 6 7 1 2 5 4 15 10 2 2 | | | El elemento 1,1 de la matriz no se
puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cual- quier
nmero real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operacin
elemental con 1.3 m ecuaciones con n incgnitas 11
31. 12 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
renglones iii) para obtener un nmero distinto a cero en la posicin
1,1. Se puede intercambiar el rengln 1 con cualquiera de los otros
dos; sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3 queda un 1 en
esa posicin. Al hacerlo se obtiene lo siguiente: 0 2 3 2 6 7 1 2 5
4 15 10 1 2 5 22 2 2| | | R R1 3 22 2 6 7 0 2 3 10 15 4 1 2| | | R
R R2 2 12 22 55 0 2 3 0 2 3 10 5 4 2 2 2 | | | Es necesario
detenerse aqu porque, como se ve, las ltimas dos ecuaciones son
22x2 2 3x3 5 25 2x2 1 3x3 5 4 lo cual es imposible (si 22x2 2 3x3 5
25, entonces 2x2 1 3x3 5 5, no 4). As no hay una solucin. Se puede
proceder como en los ltimos dos ejemplos para obtener una forma ms
estndar: 1 22 R R2 1 2 2 55 10 0 1 0 2 3 4 3 2 5 2 | | | R R R R R
1 1 2 3 3 2 2 11 22 RR2 1 0 8 15 0 1 0 0 0 1 3 2 5 2 | | | 2 Ahora
la ltima ecuacin es 0x1 1 0x2 1 0x3 5 21, lo cual tambin es
imposible ya que 0 Z 21. As, el sistema (6) no tiene solucin. En
este caso se dice que el sistema es inconsistente. DEFINICIN 1
Sistemas inconsistentes y consistentes Se dice que un sistema de
ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solucin. Se dice
que un sistema que tiene al menos una solucin es consistente. Se
analizarn de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1 se comenz
con la matriz de coefi- cientes A1 2 4 6 4 5 6 3 1 2 5 2 En el
proceso de reduccin por renglones, A1 se redujo a la matriz R1 1 0
0 0 1 0 0 0 1 5 En el ejemplo 2 se comenz con A2 2 4 6 4 5 6 2 7 12
5
32. y se termin con R2 1 0 1 0 1 2 0 0 0 5 2 En el ejemplo 3 se
comenz con A3 0 2 3 2 6 7 1 2 5 5 2 2 y se termin con R3 3 2 1 0 8
0 1 0 0 5 00 Las matrices R1 , R2 , R3 se llaman formas escalonadas
reducidas por renglones de las matrices A1 , A2 y A3
respectivamente. En general, se tiene la siguiente definicin:
DEFINICIN 2 Forma escalonada reducida por renglones y pivote Una
matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones
si se cumplen las siguientes condiciones: i. Todos los renglones
(si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la par- te
inferior de la matriz. ii. El primer nmero diferente de cero
(comenzando por la izquierda) en cualquier rengln cuyos elementos
no todos son cero es 1. iii. Si dos renglones sucesivos tienen
elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el rengln de
abajo est ms hacia la derecha que el primer 1 en el rengln de
arriba. iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln
tiene ceros en el resto de sus elementos. El primer nmero diferente
de cero en un rengln (si lo hay) se llama pivote para ese rengln.
Nota. La condicin iii) se puede reescribir como el pivote en
cualquier rengln est a la dere- cha del pivote del rengln anterior.
EJEMPLO 4 Cinco matrices en la forma escalonada reducida por
renglones Las siguientes matrices estn en la forma escalonada
reducida por renglones: i. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ii. 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 iii. 1 0 00 5 0 0 1 2 iv. 1 0 0 1 v. 1 0 2 5 0 1 3 6 0 0 0 0
Las matrices i y ii tienen tres pivotes; las otras tres matrices
tienen dos pivotes. 1.3 m ecuaciones con n incgnitas 13
33. 14 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
DEFINICIN 3 Forma escalonada por renglones Una matriz est en la
forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i),
ii) y iii) de la definicin 2. EJEMPLO 5 Cinco matrices en la forma
escalonada por renglones Las siguientes matrices se encuentran en
la forma escalonada por renglones: i. 1 2 3 0 1 5 0 0 1 ii. 1 1 6 4
0 1 2 8 0 0 0 1 2 2 iii. 1 0 2 5 0 0 1 2 iv. 1 2 0 1 v. 1 3 2 5 0 1
3 6 0 0 0 0 Nota. Por lo general, la forma escalonada por renglones
de una matriz no es nica. Es decir, una matriz puede ser
equivalente, en sus renglones, a ms de una matriz en forma
escalonada por renglones. Por ejemplo A5 2 21 3 2 5 0 1 3 6 0 0 0 0
1 2 1 1 0 1 3 R R R1 1 2 22 66 0 0 0 0 5 B muestra que las dos
matrices anteriores, ambas en forma escalonada por renglones, son
equiva- lentes por renglones. As, cualquier matriz para la que A es
una forma escalonada por renglo- nes, tambin tiene a B como forma
escalonada por renglones. Observacin 1. La diferencia entre estas
dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la forma
escalonada por renglones, todos los nmeros abajo del primer 1 en un
rengln son cero. En la forma escalonada reducida por renglones,
todos los nmeros abajo y arriba del primer 1 de un rengln son cero.
As, la forma escalonada reducida por renglones es ms exclu- siva.
Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones
se encuentra tambin la forma escalonada por renglones, pero el
inverso no es cierto. Observacin 2. Siempre se puede reducir una
matriz a la forma escalonada reducida por renglo- nes o a la forma
escalonada por renglones realizando operaciones elementales con
renglones. Esta reduccin se vio al obtener la forma escalonada
reducida por renglones en los ejemplos 1, 2 y 3. Como se vio en los
ejemplos 1, 2 y 3, existe una fuerte relacin entre la forma
escalonada reducida por renglones y la existencia de la solucin
nica para el sistema. En el ejemplo 1 dicha forma para la matriz de
coeficientes (es decir, en la primeras tres columnas de la matriz
aumentada) tenan un 1 en cada rengln y exista una solucin nica. En
los ejemplos 2 y 3 la forma escalonada reducida por renglones de la
matriz de coeficientes tena un rengln de ceros y el sistema no tena
solucin o tena un nmero infinito de soluciones. Esto siempre es
cierto en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo nmero de
ecuaciones e incgnitas. Pero antes de estudiar el caso general se
analizar la utilidad de la forma escalonada por renglones de una
matriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo 1 reduciendo
la matriz de coeficientes a esta forma.
34. EJEMPLO 6 Solucin de un sistema mediante eliminacin
gaussiana Resuelva el sistema del ejemplo 1 reduciendo la matriz de
coeficientes a la forma escalonada por renglones. Solucin Se
comienza como antes: 2 4 6 4 5 6 3 1 2 18 24 4 2 | | | R11 1 2 1 R
1 2 3 4 5 6 3 1 2 9 24 42 | | | 2 2 4R R R22 11 3 3 13R R R 22 1 2
3 0 3 6 0 5 11 9 12 23 2 2 2 2 2 2 | | | R R2 1 3 2 1 2 3 0 1 2 0 5
11 9 4 232 2 | | | Hasta aqu, este proceso es idntico al anterior;
pero ahora slo se hace cero el nmero (25) que est abajo del primer
1 en el segundo rengln: R33 3 2 35 R R R R1 2 2 1 2 3 0 1 2 0 0 1 9
4 3 | | | 22 33 1 2 3 0 1 2 0 0 1 9 4 3 | | | La matriz aumentada
del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora
en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato
que x3 5 3. Despus se usa la sustitucin hacia atrs para despejar
primero x2 y despus x1 . La segunda ecuacin queda x2 1 2x3 5 4.
Entonces x2 1 2(3) 5 4 y x2 5 22. De igual manera, de la primera
ecuacin se obtiene x1 1 2(22) 1 3(3) 5 9 o x1 5 4. As, de nuevo se
obtiene la solucin (4, 22, 3). El mtodo de solucin que se acaba de
emplear se llama eliminacin gaussiana. Se cuenta con dos mtodos
para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones: i. Eliminacin
de Gauss-Jordan Se reduce por rengln la matriz de coecientes a la
forma escalonada reducida por renglones usando el procedimiento
descrito en la pgina 9. ii. Eliminacin gaussiana Se reduce por
rengln la matriz de coecientes a la forma escalonada por renglones,
se despeja el valor de la ltima incgnita y despus se usa la
sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas. Cul mtodo es ms til?
Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora se
prefiere el mtodo de eliminacin gaussiana porque significa menos
operaciones elementales con renglones. De hecho, como se ver en el
apndice 3, para resolver un sistema de n ecuacio- nes con n
incgnitas usando la eliminacin de Gauss-Jordan se requieren
aproximadamente n3 /2 sumas y multiplicaciones, mientras que la
eliminacin gaussiana requiere slo n3 /3 sumas y multiplicaciones.
La solucin numrica de los sistemas de ecuaciones se estudiar en el
apndi- ce 4. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma
escalonada reducida por renglones de una matriz (una de stas se
estudia en la seccin 1.8). En estos casos la eliminacin de Gauss-
Jordan es el mtodo preferido. SUSTITUCIN HACIA ATRS ELIMINACIN
GAUSSIANA 1.3 m ecuaciones con n incgnitas 15
35. 16 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Ahora se observa la solucin de un sistema general de m ecuaciones
con n incgnitas. La mayor parte de las soluciones de los sistemas
se har mediante la eliminacin de Gauss-Jordan debido a que en la
seccin 1.8 esto se necesitar. Debe tenerse en mente, sin embargo,
que la eliminacin gaussiana suele ser un enfoque ms conveniente. El
sistema general m 3 n de m ecuaciones con n incgnitas est dado por
a x a x a x a x b a x a x a n n11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 1 1
1 1 5 1 1 xx a x b a x a x a x a x b n n n n 3 2 2 31 1 32 2 33 3 3
3 1 1 5 1 1 1 1 5 a x a x a x a x bm m m mn n m1 1 2 2 3 3 1 1 1 1
5 (7) En el sistema (7) todos los coeficientes a y b son nmeros
reales dados. El problema es encontrar todos los conjuntos de n
nmeros, denotados por (x1 , x2 , x3 , . . . xn ), que satisfacen
cada una de las m ecuaciones en (7). El nmero aij es el coeficiente
de la variable xj en la i-sima ecuacin. Es posible resolver un
sistema de m ecuaciones con n incgnitas haciendo uso de la elimi-
nacin de Gauss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un
ejemplo en el que el nmero de ecuaciones e incgnitas es diferente.
EJEMPLO 7 Solucin de un sistema de dos ecuaciones con cuatro
incgnitas Resuelva el sistema x1 1 3x2 2 5x3 1 x4 5 4 2x1 1 5x2 2
2x3 1 4x4 5 6 Solucin Este sistema se escribe como una matriz
aumentada y se reduce por renglones: 1 3 5 1 2 5 2 4 4 6 1 3 5 1 0
1 8 2 2 2 2 2 | | | | R R R2 2 12 22 44 22 1 3 5 1 0 1 8 2 4 2 2 2
2 R R R R2 2 1 1 22 | | 22223 2R 1 0 19 7 0 1 8 2 2 22 2 2| | Hasta
aqu se puede llegar. La matriz de coeficiente se encuentra en forma
escalonada y redu- cida por renglones. Es evidente que existe un
nmero infinito de soluciones. Los valores de las variables x3 y x4
se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x2 5 2 1 8x3 1 2x4
y x1 5 22 219x3 27x4 . Por lo tanto, todas las soluciones se
representan por (22 219x3 2 7x4 , 2 1 8x3 1 2x4 , x3 , x4 ). Por
ejemplo, si x3 5 1 y x4 5 2 se obtiene la solucin (235, 14, 1, 2).
Al resolver muchos sistemas, es evidente que los clculos se vuelven
fastidiosos. Un buen m- todo prctico es usar una calculadora o
computadora siempre que las fracciones se compliquen. Debe hacerse
notar, sin embargo, que si los clculos se llevan a cabo en una
computadora o cal- culadora pueden introducirse errores de
redondeo. Este problema se analiza en el apndice 3. EJEMPLO 8 Un
problema de administracin de recursos Un departamento de pesca y
caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume
cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del
alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2
consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del
2 y 5 del 3.
36. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo
es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5
unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades
del alimento 1, 20 000 unidades del alimento 2 y 55 000 del 3. Si
suponemos que los peces se comen todo el alimento cuntos peces de
cada especie pueden coexistir en el lago? Solucin Sean x1 , x2 y x3
el nmero de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago.
Si utilizamos la informacin del problema, se observa que x1 peces
de la especie 1 consumen x1 unidades del alimento 1, x2 peces de la
especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento 1 y x3 peces de la
espe- cie 3 consumen 2x3 unidades del alimento 1. Entonces, x1 1
3x2 1 2x3 5 25 000 5 suministro total por semana de alimento 1. Si
se obtiene una ecuacin similar para los otros dos alimentos se
llega al siguiente sistema de ecuaciones: x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000
x1 1 4x2 1 x3 5 20 000 2x1 1 5x2 1 5x3 5 55 000 Despus de resolver
se obtiene 1 3 2 1 4 1 2 5 5 | | | 225 000 20 000 55 000 R R R R R
R 2 2 1 3 3 12 22 22 1 3 2 0 1 1 0 1 1 25 000 5 000 5 000 2 2 2 | |
| R R1 1 22 33 2 3 3 2 R R R R 11 1 0 5 0 1 1 0 0 0 40 000 5 000 0
2 2 | | | Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se
tiene un nmero infinito de soluciones dada por (40 000 2 5x3 , x3 2
5 000, x3 ). Por supuesto, se debe tener x1 $ 0, x2 $ 0 y x3 $0.
Como x2 5x3 2 5 000 $ 0, se tiene x3 $ 5 000. Esto significa que 0
# x1 # 40 000 2 5(5 000) 5 15 000. Por ltimo, como 40 000 2 5x3 $
0, se tiene que x3 # 8 000. Esto significa que las poblaciones que
pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son x1 5
40 000 2 5x3 x2 5 x3 2 5 000 5 000 # x3 # 8 000 Por ejemplo, si x3
5 6 000, entonces x1 5 10 000 y x2 5 1 000. Nota. El sistema de
ecuaciones tiene un nmero infinito de soluciones. Sin embargo, el
proble- ma de administracin de recursos tiene slo un nmero finito
de soluciones porque x1, x2 y x3 deben ser enteros positivos y
existen nada ms 3 001 enteros en el intervalo [5 000, 8 000]. (Por
ejemplo, no puede haber 5 237.578 peces.) ANLISIS DE INSUMO Y
PRODUCTO (OPCIONAL) Los siguientes dos ejemplos muestran la forma
en la cual pueden surgir los sistemas de ecua- ciones en el
modelado econmico. 1.3 m ecuaciones con n incgnitas 17
37. 18 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
EJEMPLO 9 El modelo de insumo-producto de Leontief Un modelo que se
usa con frecuencia en economa es el modelo de insumo-producto de
Leontief.5 Suponga un sistema econmico que tiene n industrias.
Existen dos tipos de demandas en cada industria: la primera, una
demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si el
sistema es un pas, la demanda externa puede provenir de otro pas.
Segunda, la demanda que hace una industria a otra industria en el
mismo sistema. Por ejemplo, en Estados Unidos la industria
automotriz demanda parte de la produccin de la industria del acero.
Suponga que ei representa la demanda externa ejercida sobre la
i-sima industria. Suponga que aij representa la demanda interna que
la j-sima industria ejerce sobre la i-sima industria. De forma ms
concreta, aij representa el nmero de unidades de produccin de la
industria i que se necesitan para producir una unidad de la
industria j. Sea x1 la produccin de la indus- tria i. Ahora suponga
que la produccin de cada industria es igual a su demanda (es decir,
no hay sobreproduccin). La demanda total es igual a la suma de
demandas internas y externas. Por ejemplo, para calcular la demanda
interna de la industria 2 se observa que la industria 1 necesita
a21 unidades de produccin de la industria 2 para producir una
unidad de su propia produccin. Si la produccin de la industria 1 es
x1 , entonces a21 x1 se trata de la cantidad total que necesita la
industria 1 de la industria 2. De esta forma, la demanda interna
total sobre la industria 2 es a21 x1 1 a22 x2 1 1 a2n xn . Al
igualar la demanda total a la produccin de cada industria se llega
al siguiente sistema de ecuaciones: a x a x a x e x a x a x a x n n
n 11 1 12 2 1 1 1 21 1 22 2 2 1 1 1 1 5 1 1 1 nn n n nn n n n e x a
x a x a x e x 1 5 1 1 1 1 5 2 2 1 1 2 2 (8) O bien, reescribiendo
el sistema (8) en la forma del sistema (7) se obtiene (9) El
sistema (9) de n ecuaciones con n incgnitas es de fundamental
importancia en el anlisis econmico. EJEMPLO 10 El modelo de
Leontief aplicado a un sistema econmico con tres industrias Suponga
que las demandas externas en un sistema econmico con tres
industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Suponga que a11 5 0.2,
a12 5 0.5, a13 5 0.15, a21 5 0.4, a22 5 0.1, a23 5 0.3, a31 5 0.25,
a32 5 0.5 y a33 5 0.15. Encuentre la produccin de cada industria de
manera que la oferta sea exactamente igual a la demanda. 5 As
llamado en honor al economista norteamericano Wassily W. Leontief,
quien utiliz este modelo en su trabajo pio- nero Quantitative Input
and Output Relations in the Economic System of the United States en
Review of Economic Statistics 18(1936). Leontief gan el Premio
Nobel en Economa en 1973 por su desarrollo del anlisis de insumo-
producto.
38. z y x Solucin En este caso n 53, 1 2 a11 5 0.8, 1 2 a22 5
0.9 y 1 2 a33 5 0.85 y el sistema (9) es 0.8x1 2 0.5x2 2 0.15x3 5
10 20.4x1 1 0.9x2 2 0.3x3 5 25 20.25x1 2 0.5x2 1 0.85x3 5 20 Si se
resuelve el sistema por mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan en una
calculadora o computadora, trabajando con cinco decimales en todos
los pasos se obtiene 11 0 0 0 1 0 0 0 1 110 30442 118 74070 125
81787 | | | . . . Se concluye que la produccin necesaria para que
la oferta sea (aproximadamente) igual a la demanda es x1 5 110, x2
5 119 y x3 5 126. LA GEOMETRA DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON
TRES INCGNITAS (OPCIONAL) En la figura 1.1, en la pgina 3, se
observ que se puede repesentar un sistema de dos ecuacio- nes con
dos incgnitas mediante dos lneas rectas. Si las rectas tienen un
solo punto de intersec- cin el sistema tiene una solucin nica; si
coinciden, existe un nmero infinito de soluciones; si son
paralelas, no existe una solucin y el sistema es inconsistente.
Algo similar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres
incgnitas. Como se ver en la seccin 3.5, la grfica de la ecuacin ax
1 by 1 cz 5 d en el espacio de tres dimensiones es un plano.
Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: ax 2 by
2 cz 5 d ex 2 fy 2 gz 5 h jx 2 ky 2 lz 5 m (10) en donde a, b, c,
d, e, f, g, h, j, k, l y m son constantes y al menos una de ellas
en cada ecuacin es diferente de cero. Cada ecuacin en (10) es la
ecuacin de un plano. Cada solucin (x, y, z) al sistema de
ecuaciones debe ser un punto en cada uno de los tres planos.
Existen seis posibilidades: 1. Los tres planos se intersecan en un
solo punto. Por lo que existe una solucin nica para el sistema (vea
la figura 1.2). 2. Los tres planos se intersecan en la misma recta,
por lo que cada punto sobre la recta es una solucin y el sistema
tiene un nmero infinito de soluciones (vea la figura 1.3). 1.3 m
ecuaciones con n incgnitas 19 Figura 1.2 Los tres planos se
interse- can en un solo punto. Punto de interseccin
39. 3. Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el
plano es una solucin y se tiene un nmero infinito de soluciones. 4.
Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la
recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solucin y existe
un nmero infinito de soluciones (vea la figura 1.4). 5. Al menos
dos de los planos son paralelos y distintos. Por lo que ningn punto
puede estar en ambos y no hay solucin. El sistema es inconsistente
(vea la figura 1.5). z y x z y x z y x 6. Dos de los planos
coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no
contiene a L), de manera que ningn punto del tercer plano se
encuentra en los dos primeros. No existe una solucin y el sistema
es inconsistente (vea la figura 1.6). En todos los casos el sistema
tiene una solucin nica, un nmero infinito de soluciones o es
inconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar planos
con exactitud, no ahonda- remos ms en el tema. No obstante, es til
analizar cmo las ideas en el plano xy se pueden extender a espacios
ms complejos. z y x Figura 1.3 Los tres planos se interse- can en
la misma recta. Figura 1.4 Dos planos se intersecan en una recta.
Figura 1.5 Los planos paralelos no tienen puntos en comn. Figura
1.6 El plano 3 es paralelo a L, la recta de interseccin de los
planos 1 y 2. 20 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y
matrices
40. SEMBLANZA DE... Carl Friedrich Gauss, 1777-1855 Carl
Friedrich Gauss (Library of Congress)Carl Friedrich Gauss es
considerado el matemtico ms grande del siglo XIX, adems de uno de
los tres matemticos ms importantes de todos los tiempos (Arqumedes
y Newton son los otros dos). Gauss naci en Brunswick, Alemania, en
1777. Su padre, un obrero amante del trabajo, era excepcionalmente
obstinado y no crea en la educacin formal, e hizo todo lo que pudo
para evitar que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para
Carl (y para las matemticas), su madre, a pesar de que tampoco
contaba con educacin, apoy a su hijo en sus estudios y se mostr
orgullosa de sus logros hasta el da de su muerte a la edad de 97
aos. Gauss era un nio prodigio. A los tres aos encontr un error en
la libreta de cuentas de su padre. Hay una ancdota famosa de Carl,
cuando tena apenas 10 aos de edad y asista a la escuela local de
Brunswick. El profesor sola asignar tareas para mante- ner ocupados
a los alumnos y un da les pidi que sumaran los nmeros del 1 al 100.
Casi al instante, Carl coloc su pizarra boca abajo con la palabra
listo. Despus, el profesor descubri que Gauss era el nico con la
respuesta correcta, 5050. Gauss haba observado que los nmeros se
podan arreglar en 50 pares que sumaban cada uno 101 (1 1 100, 2 1
99, etc.), y 50 3 101 5 5050. Aos ms tarde, Gauss bromeaba diciendo
que poda sumar ms rpido de lo que poda hablar. A la edad de 15 aos,
el Duque de Brunswick se j en l y lo convirti en su protegido. El
Duque lo ayud a ingresar en el Brunswick College en 1795 y, tres
aos despus, a entrar a la Universidad de Gttingen. Indeciso entre
las carreras de mate- mticas y losofa, Gauss eligi las matemticas
despus de dos descubrimientos asombrosos. Primero invent el mtodo
de m- nimos cuadrados una dcada antes de que Legendre publicara sus
resultados. Segundo, un mes antes de cumplir 19 aos, resol- vi un
problema cuya solucin se haba buscado durante ms de dos mil aos:
Gauss demostr cmo construir, con tan slo una regla y un comps, un
polgono regular cuyo nmero de lados no es mltiplo de 2, 3 o 5.* El
30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, co- menz un
diario que contena como primera nota las reglas de construccin de
un polgono regular de 17 lados. El diario, que contiene los
enunciados de 146 resultados en slo 19 pginas, * De manera ms
general, Gauss prob que un polgono regular de n lados se puede
construir con regla y comps si y slo si n es de la forma n 5 2k p2
? p3 . . . pm donde k $ 0 y las pi son nmeros primos de Fermat
distintos. Los nmeros primos de Fermat son aquellos que toman la
forma 22 n 11. Los primeros cinco nmeros primos de Fermat son 3, 5,
17, 257 y 65 537. SEMBLANZA DE... Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
Carl Friedrich Gauss (Library of Congress) es unos de los
documentos ms importantes en la historia de las matemticas. Tras un
corto periodo en Gttingen, Gauss fue a la Univer- sidad de Helmstdt
y, en 1798, a los 20 aos, escribi su famosa disertacin doctoral. En
ella dio la primera demostracin mate- mtica rigurosa del teorema
fundamental del lgebra que indica que todo polinomio de grado n
tiene, contando multiplicidades, exactamente n races. Muchos
matemticos, incluyendo a Euler, Newton y Lagrange, haban intentado
probar este resultado. Gauss hizo un gran nmero de descubrimientos
en fsica al igual que en matemticas. Por ejemplo, en 1801 utiliz un
nue- vo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos
datos, la rbita del asteroide Ceres. En 1833 invent el telgrafo
elec- tromagntico junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1891).
Aunque realiz trabajos brillantes en astronoma y electricidad, la
que result asombrosa fue la produccin matemtica de Gauss. Hizo
contribuciones fundamentales al lgebra y la geometra y en 1811
descubri un resultado que llev a Cauchy a desarrollar la teora de
la variable compleja. En este libro se le encuentra en el mtodo de
eliminacin de Gauss-Jordan. Los estudiantes de anlisis numrico
aprenden la cuadratura gaussiana: una tcnica de integracin numrica.
Gauss fue nombrado catedrtico de matemticas de Gt- tingen en 1807 e
imparti clase hasta su muerte en 1855. An despus de su muerte, su
espritu matemtico sigui acosando a los matemticos del siglo XIX.
Con frecuencia, un importante resultado nuevo ya haba sido
descubierto por Gauss y se poda encontrar en sus notas inditas. En
sus escritos matemticos Gauss era un perfeccionista y tal vez sea
el ltimo gran matemtico que conoca prctica- mente todo acerca de su
rea. Al armar que una catedral no era una catedral hasta que se
quitara el ltimo de los andamios, pona todo su empeo para que cada
uno de sus trabajos publi- cados fuera completo, conciso y
elegante. Usaba un sello en el que se vea un rbol con unas cuantas
frutas y la leyenda pauca sed matura (pocas pero maduras). Gauss
crea tambin que las matemticas deban reejar el mundo real. A su
muerte, Gauss fue honrado con una medalla conmemorativa que llevaba
la inscripcin George V, Rey de Hanover, al prncipe de los ma-
temticos.
41. 22 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
AUTOEVALUACIN I. Cul de los siguientes sistemas tiene la matriz de
coeficientes dada a la derecha? 3 2 1 0 1 5 2 0 1 2 a) 3x 1 2y 5 21
y 5 5 2x 5 1 b) 3x 1 2z 5 10 2x 1 y 5 0 2x 1 5y 1 z 5 5 c) 3x 5 2
2x 1 y 5 0 2x 1 5y 5 1 d) 3x 1 2y 2 z 5 23 y 1 5z 5 15 2x 1 z 5 3
II. Cul de las siguientes es una operacin elemental con renglones?
a) Reemplazar un rengln con un mltiplo diferente de cero de ese
rengln. b) Sumar una constante diferente de cero a cada elemento en
un rengln. c) Intercambiar dos columnas. d) Reemplazar un rengln
con una suma de renglones y una constante dife- rente de cero. III.
Cul de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada?
1 0 0 3 0 1 1 2 0 0 0 3 0 0 0 0 a) Est en la forma escalonada por
rengln. b) No est en la forma escalonada por rengln porque el
cuarto nmero en el rengln 1 no es 1. c) No est en la forma
escalonada por rengln porque el primer elemento diferente de cero
en el rengln 1 es 3. d) No est en la forma escalonada por rengln
porque la ltima columna con- tiene un cero. IV. Cul de las
siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado? x 1 y 1 z
5 3 2x 1 2y 1 2z 5 6 3x 1 3y 1 3z 5 10 a) Tiene una solucin nica x
5 1, y 5 1, z 5 1. b) Es inconsistente. c) Tiene un nmero infinito
de soluciones. Problemas 1.3