O que é preciso para ter um q p pespaço vectorial?p ç→ Um conjunto não vazio V→ Uma operação de adição definida
nesse conjuntonesse conjunto→ Um produto de um número real por p p
um elemento desse conjunto→ A “b ” i d d d t→ As “boas” propriedades destas
operaçõesoperações
O ã “b ” i d d ?O que são as “boas” propriedades?
→ Fechado para a soma∀u, v∈V, u + v ∈ V
→ Fechado para o produto por um p p pescalar
∀ ℝ ∀ V V∀α∈ ℝ, ∀u∈V, αu ∈ V
O que são as “boas” propriedades?q p pPropriedades da soma→ Comutativa:
∀ V∀u, v∈V, u + v = v + u→ Associativa:
∀u, v, w∈V, (u + v) + w = u + (v + w)→ Elemento Neutro:→ Elemento Neutro:
∀u∈V, u + 0 = u→ Simétricos:
∀u∈V u + (‐u) = 0∀u∈V, u + (‐u) = 0
O que são as “boas” propriedades?P i d d d d d tPropriedades da soma e do produto por um escalar:por um escalar:
→ Distributiva:→ Distributiva:∀u, v∈V, ∀α∈ℜ,α(u + v )= αu + αv
→ Di ib i→ Distributiva:∀u∈V, ∀α, β∈ℜ,(α + β) u = αu + βu, , β ,( β) β
→ “Associativa”∀ V ∀ β ℜ ( β) (β )∀u∈V, ∀α, β∈ℜ,(α β) u = α (βu)
→ Elemento neutro∀u∈V, 1u = u
ExemplosExemplos→ Conjunto das matrizes m×n com as operações soma e produto por um número realreal.→ Conjunto das matrizes linha com as
úoperações soma e produto por um número realreal→ Conjunto das matrizes coluna com as
õ d t úoperações soma e produto por um número real
ExemplosExemplos
( ){ }njxxxxn 1: LL =ℜ∈=ℜ ( ){ }njxxxx jn ,,1,:,,, 21 =ℜ∈=ℜ
( ) ( )( ) ( )nn yyyxxx =+ ,,,,,, 2121 LL
( )nn yxyxyx +++ ,,, 2211 L
( ) ( )nn xxxxxx αααα ,,,,,, 2121 LL =
Casos particulares importantes:Casos particulares importantes:
( ){ }ℜ∈=ℜ yxyx :2 ( ){ }ℜ∈=ℜ yxyx ,:,
( ) ( ) ( )wytxwtyx ++=+( ) ( ) ( )wytxwtyx ++=+ ,,,
( ) ( )yxyx ααα ,, =
Casos particulares importantes:Casos particulares importantes:
( ){ }ℜ∈=ℜ zyxzyx :3 ( ){ }ℜ∈=ℜ zyxzyx ,,:,,
( ) ( ) ( )vzwytxvwtzyx +++=+( ) ( ) ( )vzwytxvwtzyx +++=+ ,,,,,,
( ) ( )zyxzyx αααα ,,,, =
Propriedades dos espaços vectoriaisPropriedades dos espaços vectoriais→ O vector nulo é único → O simétrico de cada vector de V é único → Qualquer número real multiplicado→ Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo→ l l l→ Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulodá o vector nulo→ Se o produto de um número real por
t dá t l tãum vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.
Combinações Lineares:Combinações Lineares:
k ℜ∈ααα L21 ,,,Vuuu k ∈L21 ,,,
uuuu kk
k
=+++ ααα L2211 kk2211
u diz se combinação linear deu diz‐se combinação linear deu1, u2, …, uk1, 2, , k
Exemplo:Exemplo:
( ) ( ) ( )( ) ( )532100501030012 ++( ) ( ) ( )( ) ( )5,3,21,0,050,1,030,0,12 −=−++
(2 3 ‐5) é combinação linear de(2,3, 5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}com coeficientes 2, 3 e ‐5 respectivamente
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)
⎪⎧ =++ 2γβα
⎪⎩
⎪⎨
+=+
53βα
⎪⎩ −=+ 5γα
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)
⎪⎧ =++ 2γβα
⎥⎤
⎢⎡ 2111
⎪⎩
⎪⎨
+=+
53βα
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ 53
101011
⎪⎩ −=+ 5γα ⎥⎦⎢⎣ −5101
⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 2111
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
32
011111
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
− 12
100111
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −5101 ⎥
⎥⎦⎢
⎢⎣ −− 7010
⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 2111
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
−− 72
010111
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
72
010111
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ − 1100 ⎥
⎥⎦⎢
⎢⎣ − 1100
⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 3011
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
72
010111
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
73
010011
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ − 1100 ⎥
⎥⎦⎢
⎢⎣ − 1100
⎤⎡ − 4001 ⎧ −= 4α
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
74
010001
⎪
⎪⎨
⎧= 7
4βα
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ − 1100 ⎪
⎩ −= 1γ
⎧ −= 4α
⎪
⎪⎨
⎧= 7
4βα
⎪⎩ −= 1γ
(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)
(2 3 ‐5) = ‐4(1 1 1) + 7(1 1 0) ‐ (1 0 1)(2,3, 5) = 4(1,1,1) + 7(1,1,0) (1,0,1)
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)
⎪⎧ =+ 2βα
⎪⎩
⎪⎨
+=+
533
ββα
⎪⎩ −=−+ 53γβα
Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)
⎪⎧ =+ 2βα
⎪⎩
⎪⎨
++=+
5323
ββα Sistema impossível
⎪⎩ −=++ 532 γβα
Exemplo:Exemplo:Então (2,3,‐5) não pode ser tão ( ,3, 5) ão pode secombinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}
Exemplo:Exemplo:Quais serão os vectores (x, y, z) Qua s se ão os ecto es ( , y, )que podem ser combinação linear de{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo:Exemplo:(x, y, z) = ( , y, )α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)
⎧ β⎪⎧ =+ xβα
⎪
⎪⎨ =+ yβα⎪⎩ =++ zγβα 32⎩
⎪⎧ =+ xβα
⎪⎩
⎪⎨
++=+
zyγβα
βα32
⎤⎡ ⎤⎡ 011
⎪⎩ =++ zγβα 32
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
yx
011011
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
− xyx
000011
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ z
y321011
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ − xz
xy310000
⎦⎣ ⎦⎣
⎥⎤
⎢⎡ x011
⎥⎤
⎢⎡ −− zx2301
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ − xz310
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ − xz310
⎥⎦⎢⎣ − xy000 ⎥⎦⎢⎣ − xy000
Quais serão os vectores (x, y, z) Qua s se ão os ecto es ( , y, )que podem ser combinação linear de{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?{(1,1,1), (1,1,2), (0,0,3)}?
Resposta: vectores da formap(x, x, z)
Questão:Questão:(0, 0, 0) pode ser combinação (0, 0, 0) pode se co b açãolinear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
SIMSIM(0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)
Propriedade:Propriedade:O vector nulo de qualquer O ecto u o de qua queespaço vectorial pode ser escrito como combinação linear d l j t dde qualquer conjunto de vectoresvectores.(O sistema homogéneo tem ( gsempre solução)
Questão:Questão:(0, 0, 0) pode ser combinação linear (0, 0, 0) pode se co b ação eade {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)} sem que os coeficientes sejam todos nulos?
SIM(0, 0, 0) = 3(1,1,1) ‐ 3(1,1,2) + 1(0,0,3)
Vectores linearmente independentesVectores linearmente independentes
Definição:
U j t d t d VUm conjunto de vectores de V
{v v v }{v1, v2, … , vk}
diz‐se linearmente independente sediz se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.
Vectores linearmente independentesVectores linearmente independentes
Um conjunto de vectores de V
{ }{v1, v2, … , vk}
é linearmente independente seé linearmente independente se
02211 ⇒=+++ kkvvv ααα L
021 ==== kααα L
Vectores linearmente dependentesVectores linearmente dependentes
Definição: Um conjunto de vectores de V
{v v v }{v1, v2, … , vk}
diz‐se linearmente dependente se não é pindependente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinaçãoo vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.
Vectores linearmente dependentesVectores linearmente dependentes
Um conjunto de vectores de V
{ }{v1, v2, … , vk}
diz se linearmente dependente sediz‐se linearmente dependente se
0:02211 ≠∃∧=+++ jkk jvvv αααα L 0:02211 ≠∃∧+++ jkk jvvv αααα
Vectores linearmente independentesVectores linearmente independentes
Para que o conjunto de vectores de V
{v v v }{v1, v2, … , vk}
seja linearmente independente é j pnecessário que o sistema
0j d i d i é
02211 =+++ kkvvv ααα L
seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.j
Um conjunto de vectores não pode ser independente se:
• Contiver o vector nulo;
• Tiver dois vectores iguais;g ;
• Tiver um vector múltiplo de outro;Tiver um vector múltiplo de outro;
• Se um dos vectores for combinaçãoSe um dos vectores for combinação
linear de outros.
EXEMPLO:EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)}
linearmente independente?linearmente independente?
⎪⎪⎨
⎧ =+++ 042 dcbaa(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) ⎪⎪⎩
⎨
= (0,0,0,0)
EXEMPLO:EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)}
linearmente independente?linearmente independente?
a(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) (0 0 0 0)= (0,0,0,0)
⎧ +++ 042 db
⎪⎪⎨
⎧=−+−=+++
0872042
dcbadcba
⎪⎪⎩
⎪⎨ =−−+
0275403333
dbdcba
⎪⎩ =−−+ 02754 dcba
⎪⎧ =+++ 042 dcba
⎥⎤
⎢⎡ 1421
⎪⎪⎨
=−+−03333
0872db
dcba⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −−
=33338712
A
⎪⎪⎩
⎨
=−−+=−−+
0275403333
dcbadcba ⎥
⎥
⎦⎢⎢
⎣ −−−−
27543333
⎩
car(A) = 3 sistema indeterminadocar(A) = 3 sistema indeterminado
j t d d tconjunto dependente
Subespaço VectorialSubespaço Vectorial
Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de p çV se e só se
FF∀FF
FvuFvu∀ℜ∀
∈+∈∀ ,,
j F é f h d
FuFu ∈∈∀ℜ∈∀ αα ,,ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.
Exemplo de subespaço vectorialExemplo de subespaço vectorial
( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3( ){ }yy
⎧ 0F é o conjunto das soluções do sistema ⎩
⎨⎧
=−=−
020
zxyx
⎩ 02 zx
Exemplo de subespaço vectorialExemplo de subespaço vectorial
( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3( ){ }yy
⎧ 0F é o conjunto das soluções do sistema ⎩
⎨⎧
=−=−
020
zxyx
⎩ 02 zx
⎤⎡ 011F é o núcleo da matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−102011
⎦⎣
Expansão linear e geradoresExpansão linear e geradores
Considere‐se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1 v2 vk}combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V
1 W é b i l1. W é um subespaço vectorial
2 W é o menor subespaço vectorial de V2. W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v1, v2, … , vk}
Expansão linear e geradoresp g
{ }ℜ∈+++= jkkvvvW αααα ,2211 L
W é a expansão linear de {v1, v2, … , vk}
{ }ℜ∈+++ jkkvvvW αααα ,2211
W é a expansão linear de {v1, v2, … , vk}ou subespaço vectorial gerado pelos vectores
{v v v }{v1, v2, … , vk} W = <v1, v2, … , vk>1, 2, , k
{v1, v2, … , vk} é um conjunto de geradores de W
ExemplosExemplos
( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) ( )1,0,0,0,1,0,0,0,13 =ℜ
( ) ( ) ( ) ( ){ }:1000010010000100 ℜ∈+ αααα( ) ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }0:,,,,:,,0,0
,:1,0,0,00,1,0,01,0,0,0,0,1,0,0
214
43212121
2121
==ℜ∈=ℜ∈
=ℜ∈+=
xxxxxxαααα
αααα
( ){ } ( ){ },,,,,,, 2143212121
Bases e dimensãoBases e dimensão
• A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama‐se q j pbase desse espaço.
• Um espaço tem várias bases• Um espaço tem várias bases
• Todas as bases têm o mesmo número de elementos
• A esse número de elementos chama‐se• A esse número de elementos chama‐se dimensão do espaço
Bases e dimensãoBases e dimensão
l d• Se um espaço vectorial tem dimensão nnão pode haver conjuntos de vectores p jindependentes com mais do que nelementoselementos
• Se um espaço vectorial tem dimensão nnão pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que g p ç qn elementos
Exemplo:Exemplo:
( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3{ }( ){ }ℜ∈= xxxxF :2( ){ }ℜ∈= xxxxF :2,,
( )2,1,1=F ( )
Exemplo:Exemplo:
( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3{ }( ){ }ℜ∈= xxxxF :2( ){ }ℜ∈= xxxxF :2,,
( )2,1,1=F ( ) LouFou 10,5,5=
dimF = 1
Como saber se um vector pertence a um subespaço?
1. Encontra‐se uma base para o subespaço
2. Verifica‐se se o vector pode ser combinação
linear dos elementos da base.
Exemplo:Exemplo:
( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F
Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?
Será que (3 2 7 12) é uma combinaçãoSerá que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
(3 ‐2 ‐7 ‐12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, 2, 7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
⎪⎧ =+ 35ba
⎪⎪⎨
−=+ 262 ba
⎪⎨ −=+ 773 ba⎪⎪⎩ −=+ 1284 ba
(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
⎪⎧ =+ 35ba
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎪⎪⎨
−=+ 262 ba⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −
72
7362
⎪⎨ −=+ 773 ba ⎥
⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −−127
8473
⎪⎪⎩ −=+ 1284 ba
⎦⎣
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −
72
7362
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −−
168
8040
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
02
0010
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −−127
8473
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −−
−−
2416
12080
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ 00
0000
⎥⎤
⎢⎡ − 701
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
02
0010
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ 00
0000
⎥⎦⎢⎣
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎤
⎢⎡ 351
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −
72
7362
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −−
168
8040
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
02
0010
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −−127
8473
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −−
−−
2416
12080
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ 00
0000
⎥⎤
⎢⎡ − 701
⎧ 7⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
02
0010
⎩⎨⎧ −=
27
ba
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ 00
0000 ⎩
⎨ = 2b⎥⎦⎢⎣
O mesmo exemplo outra abordagem:O mesmo exemplo, outra abordagem:
( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F
Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)?combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
O mesmo exemplo outra abordagem:O mesmo exemplo, outra abordagem:
( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F
Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)?combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?Se tal se verificar a característica da matriz 3×4 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2terá que ser 2.
O mesmo exemplo outra abordagem:O mesmo exemplo, outra abordagem:
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
87654321
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
−−− 128404321
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −−− 12723
8765⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −−− 241680
12840
O mesmo exemplo outra abordagem:O mesmo exemplo, outra abordagem:
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
87654321
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
−−− 128404321
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −−− 12723
8765⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −−− 241680
12840
4321 ⎤⎡2)(12840
4321=⎥
⎥⎤
⎢⎢⎡
−−− Acar0000 ⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
( ) ( )87654321=F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
87654321
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ wzyx
8765
Agora determinar condições sobre x, y, z e w últi li h d t i dpara que a última linha da matriz em escada
seja nulaj
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
⎤⎡ 4321
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
87654321
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ wzyx
8765⎥⎦⎢⎣ wzyx
⎤⎡ 4321⎥⎤
⎢⎡
128404321
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ ++−−−
wyxzyx 3220012840⎥⎦⎢⎣ +−+− wyxzyx 32200
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
87654321
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
−−− 128404321
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ wzyx
8765⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ +−+−
−−−wyxzyx 32200
12840
⎦⎣
⎧⎨⎧ =+− 02 zyx
⎨⎧ +−= yxz 2
⎩⎨ =+− 032 wyx ⎩
⎨ +−= yxw 32
Como a última linha ficou nula pode seComo a última linha ficou nula pode‐se concluir que é combinação linear das q çanteriores.((Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear paracoeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)
Os coeficientes da combinação linear de t l ã bum vector em relação a uma base
chamam‐se coordenadas do vectorchamam se coordenadas do vector
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F ( ) ( ),,,,,,,
(x y z w) = a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(x, y, z, w) = a(1, 2, 3, 4) + b(5, 6, 7, 8)
⎧ += bax 5
⎪⎪⎨
⎧+=+=
baybax62
5
⎪⎪⎩
⎨
++=
bbaz
8473
⎪⎩ += baw 84