UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA
ENGENHARIA ELÉTRICA
WESLEI ARAÚJO RUFINO
ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE ESTABILIDADE
TRANSITÓRIA EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
CONSIDERANDO FALTAS ASSIMÉTRICAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
CURITIBA
2017
WESLEI ARAÚJO RUFINO
ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE ESTABILIDADE
TRANSITÓRIA EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
CONSIDERANDO FALTAS ASSIMÉTRICAS
Trabalho de Conclusão de Curso de
Graduação, apresentado à disciplina de
Trabalho de Conclusão de Curso 2, do
curso de Engenharia Elétrica do
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
(DAELT) da Universidade Tecnológica
Federal do Paraná (UTFPR), como
requisito parcial para obtenção do título de
Engenheiro Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. Raphael Augusto de
Souza Benedito
CURITIBA
2017
Dedico este trabalho aos meus pais e
irmãos, por todo o apoio e incentivo que
me deram durante todos esses anos que
estive longe de casa em busca deste título
de Engenheiro Eletricista.
AGRADECIMENTOS
A Deus pоr tеr mе dado saúde, força e sabedoria pаrа superar аs dificuldades.
À minha família, pois sem o apoio dela seria muito difícil vencer este desafio.
Ao ao meu orientador Prof. Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito, por ter
aceitado o convite para me orientar e por sua paciência e sempre pronta disposição
para ajudar-me durante todo esse trabalho.
Gostaria de agradecer também à Profa. Dra. Andrea Lucia costa, ao Prof. Dr.
Diego Issicaba e ao Prof. Dr. Roman Kuiva por terem aceito o convite para fazerem
parte das bancas avaliadoras no decorrer deste trabalho e por seus comentários sobre
o mesmo.
A todos os professores que tive durante este curso, qυе foram tãо importantes
nа minha vida acadêmica е nо desenvolvimento dеste trabalho.
A todos os meus colegas e amigos que de alguma forma contribuíram para
que eu chegasse até aqui.
À UTFPR por ter me dado a oportunidade de obter o título de Engenheiro
Eletricista.
“É melhor conseguir sabedoria do que
ouro; é melhor ter conhecimento do que a
prata”.
(Provérbios 16:16)
RESUMO
RUFINO, Weslei Araújo. Algoritmo computacional para análise de estabilidade
transitória em sistemas elétricos de potência considerando faltas assimétricas.
2017. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Elétrica -
Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2017.
De modo geral, o estudo de estabilidade transitória preocupa-se com a habilidade do sistema de potência permanecer em sincronismo quando submetido à grandes perturbações, ou distúrbios, tais como um curto-circuito em uma linha de transmissão. O foco deste trabalho foi a análise de estabilidade transitória considerando faltas assimétricas, mais precisamente os seguintes tipos de curtos-circuitos: fase-terra, fase-fase e fase-fase-terra. O objetivo foi apresentar um algoritmo computacional para análise de estabilidade transitória considerando faltas assimétricas e que também pode ser utilizado para análise de faltas simétricas. Tal algoritmo foi de simples implementação e aproveitou muitas das rotinas tradicionais utilizadas em programas de estabilidade que consideram apenas curtos-circuitos trifásicos. Para implementação computacional, utilizou-se o software MATLAB®, onde o comportamento dinâmico dos geradores síncronos foi modelado através de equações diferenciais, e a rede elétrica (sistema de transmissão) foi modelada através de equações algébricas. A representação da rede durante a falta foi feita por meio de componentes simétricas, para contemplar tanto as faltas assimétricas quanto as simétricas. A partir do algoritmo desenvolvido, que foi apresentado por meio de fluxogramas, foram apresentados resultados de simulações de faltas assimétricas para verificar o efeito das mesmas sobre o sincronismo das máquinas síncronas. Além disso, o algoritmo calculou o tempo máximo para a atuação da proteção do sistema para evitar-se que a falta cause a perda de sincronismo das máquinas síncronas. Este tempo de eliminação foi utilizado para medir o grau de severidade das perturbações e, com isso, classificar e compará-las. Os resultados mostraram que os diferentes tipos de faltas estudados seguem a seguinte ordem de severidade para os sistemas elétricos estudados neste trabalho: curto-circuito trifásico; curto-circuito fase-fase-terra; curto-circuito fase-fase; e curto-circuito fase-terra. Além disso, também mostraram que o ponto de ocorrência da falta e, consequentemente, a configuração do sistema após a eliminação da mesma (sistema pós-falta) foi determinante para haver ou não um ponto de equilíbrio estável para o sistema pós-falta e assim ter-se tempo crítico de abertura.
Palavras-chave: Sistemas elétricos de potência. Estabilidade transitória.
Sincronismo. Tempo crítico de abertura. Faltas assimétricas.
ABSTRACT
RUFINO, Weslei Araújo. Computational algorithm for transient stability analysis
of electric power systems considering unsymmetrical faults. 2017. 81 s.
Completion of course work (Bachelor of Electrical Engineering) - Federal University of
Technology - Paraná. Curitiba, 2017.
In general, the transient stability problem is concerned with the ability of the power system to remain in synchronism when subjected to a severe disturbance, such as a short circuit on a transmission line. The focus of this work was the transient stability analysis considering unbalanced faults, more precisely the following types of short-circuits: single line-to-ground, line-to-line and double line-to-ground. The goal is to present a computational algorithm for analysis of transient stability considering unbalanced faults and that can also be used to analyze balanced faults. Such algorithm is simple to implement and take advantage of many of the traditional routines used in stability programs that consider only three-phase short-circuits. For the computational implementation, the MATLAB® software was used, where the dynamic behavior of the synchronous generators was modeled by differential equations, and the electric network (transmission system) was modeled by algebraic equations. The network representation during the fault was made through symmetrical components, to contemplate both unsymmetrical and symmetric faults. From the algorithm developed, which was presented through flowcharts, results of unsymmetrical fault simulations were presented to verify the effect of the same on the synchronism of the synchronous machines. Besides that, the algorithm calculated the maximum time for the protection of the system to avoid that the fault causes the loss of synchronism between synchronous machines. This time of elimination was used to measure the severity degree of the disturbances and, with that, classify and compare them. The results showed that the different types of faults studied follow the severity order for the electrical systems studied in this work: three-phase short circuit; double line-to-ground short circuit; line-to-line short circuit; And single line-to-ground short circuit. Furthermore, they also showed that the point of occurrence of the fault and, consequently, the configuration of the system after its elimination (post-fault system) was determinant to have or not a stable equilibrium point for the post-fault system and thus have critical opening time.
Keywords: Electrical power systems. Transient stability. Synchronism. Critical
opening time. Unsymmetrical faults.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Tipos de faltas. ........................................................................................ 24
Figura 2.2: Composição de fasores assimétricos a partir de componentes simétricas.
(a) Fasores de sequência positiva. (b) Fasores de sequência negativa. (c) Adição de
fasores de sequência negativa aos fasores de sequência positiva. (d) Fasores de
sequência zero. (e) Adição da soma dos fasores de sequência positiva e negativa aos
fasores de sequência zero. ....................................................................................... 27
Figura 2.3: Circuitos equivalentes de sequência zero de bancos de transformadores
de dois enrolamentos. ............................................................................................... 30
Figura 2.4: Tipos de curtos-circuitos em uma rede trifásica. ..................................... 31
Figura 2.5: (a) Representação esquemática de uma rede trifásica com terminais no
ponto de falta. (b) Representação esquemática das redes de sequência
correspondentes. ....................................................................................................... 32
Figura 2.6: Conexões entre as redes de sequência correspondentes para o tipo de
curto-circuito fase-terra em uma rede trifásica. ......................................................... 34
Figura 2.7: Conexões entre as redes de sequência correspondentes para o tipo de
curto-circuito fase-fase em uma rede trifásica. .......................................................... 35
Figura 2.8: Conexões entre as redes de sequência correspondentes para o tipo de
curto-circuito fase-fase-terra em uma rede trifásica. ................................................. 36
Figura 2.9: Conexões entre as redes de sequência correspondentes para o tipo de
curto-circuito trifásico não envolvendo terra. ............................................................. 37
Figura 2.10: Conexões entre as redes de sequência correspondentes para o tipo de
curto-circuito trifásico envolvendo terra. .................................................................... 38
Figura 2.11: Representação de faltas em estudos de estabilidade de sistemas. ...... 40
Figura 3.1: Representação da máquina síncrona dada pelo modelo clássico. ......... 41
Figura 3.2: Sistema de uma máquina contra um barramento infinito. ....................... 42
Figura 3.3: Representação do sistema com o gerador representado por um modelo
clássico...................................................................................................................... 43
Figura 3.4: Relação entre potência e ângulo. ............................................................ 44
Figura 3.5: Sistema de potência de uma máquina contra um barramento infinito, ou
equivalente a um sistema de duas máquinas. (Exemplo 3.1.) Reatâncias são dadas
em pu sobre uma base comum. ................................................................................ 46
Figura 3.6: Circuito equivalente da rede em regime permanente (sequência positiva).
(Exemplo 3.1.) ........................................................................................................... 47
Figura 3.7: Redução da rede de sequência positiva da para a condição de pré-falta.
(Exemplo 3.1.) ........................................................................................................... 48
Figura 3.8: Rede de sequência positiva com uma falta no meio da linha de transmissão
“2”. (Exemplo 3.1.) ..................................................................................................... 49
Figura 3.9: Redução da rede de sequência positiva da para a condição em falta com
um curto-circuito trifásico (𝐗𝒆𝒇 = 𝟎) no meio da linha de transmissão “2”. (Exemplo
3.1.) ........................................................................................................................... 50
Figura 3.10: Redução da rede de sequência negativa. (Exemplo 3.1.) ..................... 50
Figura 3.11: Redução da rede de sequência zero. (Exemplo 3.1.) ........................... 51
Figura 3.12: Redução da rede de sequência positiva com uma reatância efetiva de
falta (𝐗𝒆𝒇 ) inserida entre o ponto F e o terra, e equação da potência transmitida.
(Exemplo 3.1.) ........................................................................................................... 52
Figura 3.13: Redução da rede de sequência positiva para condição de pós-falta (sem
a linha de transmissão 2). (Exemplo 3.1.) ................................................................. 54
Figura 3.14: Comportamento dinâmico do gerador síncrono considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-fase-terra no meio da linha de transmissão “2” e um 𝒕𝒂𝒃 =
𝟎, 𝟐𝟐𝟔 𝒔. (Exemplo 3.1.)............................................................................................. 56
Figura 3.15: Comportamento dinâmico do gerador síncrono considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-fase-terra no meio da linha de transmissão “2” e um 𝒕𝒂𝒃 =
𝟎, 𝟐𝟐𝟕 𝒔. (Exemplo 3.1.)............................................................................................. 57
Figura 3.16: Curvas de relação ângulo-potência para as diversas situações
apresentadas no Exemplo 3.1. .................................................................................. 58
Figura 4.1: Fluxograma do algoritmo final para análise de estabilidade transitória ... 61
Figura 4.2: Representação da rede de sequência positiva do sistema de potência
composto por três máquinas e três barramentos. ..................................................... 65
Figura 4.3: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-2” próximo à barra “2” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟕 𝒔. (Exemplo 4.1.) ............................................................................ 68
Figura 4.4: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-2” próximo à barra “2” e um
𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟖 𝒔. (Exemplo 4.1.) .................................................................................. 69
Figura 4.5: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-3” próximo à barra “3” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟐, 𝟗𝟗𝟎 𝒔. (Exemplo 4.1.) ............................................................................ 70
Figura 4.6: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta
do tipo curto-circuito fase-terra ocorrido na linha “2-3” próximo à barra “2” e um 𝒕𝒂𝒃 =
𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒔. (Exemplo 4.1.)............................................................................................. 71
Figura A.1: Representação do método de Euler ....................................................... 80
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1: Dados de barra para o sistema do Exemplo 3.1 .................................... 46
Tabela 3.2: Tempo crítico de abertura da proteção para diferentes tipos de faltas. .. 56
Tabela 4.1: Dados de linha de sequência negativa para o Exemplo 4.1. .................. 65
Tabela 4.2: Dados de linha de sequência nula para o Exemplo 4.1. ......................... 66
Tabela 4.3: Dados de sequências positiva, negativa e nula das máquinas e dos
transformadores para o Exemplo 4.1. ....................................................................... 66
Tabela 4.4: Tempo crítico de abertura da proteção para diferentes tipos de faltas. .. 67
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MATLAB® Matrix Laboratory
SEP Sistema Elétrico de Potência
SIN Sistema Interligado Nacional
pu por unidade
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 15
1.1 TEMA ........................................................................................................... 17
1.1.1 Delimitação do Tema ........................................................................... 17
1.2 PROBLEMA E PREMISSAS ........................................................................ 18
1.3 OBJETIVOS ................................................................................................. 19
1.3.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 19
1.3.2 Objetivos Específicos ........................................................................... 20
1.4 JUSTIFICATIVA ........................................................................................... 20
1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ..................................................... 21
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................... 21
2 REVISÃO SOBRE COMPONENTES SIMÉTRICAS E ANÁLISE DE FALTAS
ASSIMÉTRICAS ................................................................................................. 23
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 23
2.2 COMPONENTES SIMÉTRICAS EM SISTEMAS TRIFÁSICOS................... 25
2.3 IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIAS .............................................................. 27
2.4 AS REDES DE SEQUÊNCIA ....................................................................... 28
2.5 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM REDES DE
SEQUÊNCIA ................................................................................................ 29
2.6 REPRESENTAÇÃO DE CURTOS-CIRCUITOS CONSIDERANDO REDES
DE SEQUÊNCIA .......................................................................................... 30
2.6.1 Curto-Circuito Fase-Terra Na Fase “a”. ............................................... 33
2.6.2 Curto-Circuito Fase-Fase Nas Fases “b” e “c”. .................................... 34
2.6.3 Curto-Circuito Fase-Fase-Terra Nas Fases “b” e “c”. .......................... 35
2.6.4 Curto-Circuito Trifásico Não Envolvendo Terra. ................................... 37
2.6.5 Curto-Circuito Trifásico Simétrico Envolvendo Terra. .......................... 38
2.7 REPRESENTAÇÃO DAS IMPEDÂNCIAS EQUIVALENTES DE
COMPONENTES SIMÉTRICAS NO PONTO DE FALTA ............................ 39
3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO FALTAS SIMÉTRICAS E
ASSIMÉTRICAS ................................................................................................. 41
3.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA ELÉTRICO PARA ESTUDOS DE
ESTABILIDADE TRANSITÓRIA................................................................... 41
3.2 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA ........................................................ 45
4 DESENVOLVIMENTO DO ALGORITMO FINAL PARA ANÁLISE DE
ESTABILIDADE TRANSITÓRIA CONSIDERANDO FALTAS SIMÉTRICAS E
ASSIMÉTRICAS ................................................................................................. 60
4.1 FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ............................................................... 61
4.2 APLICAÇÃO DO ALGORITMO FINAL PARA UM SISTEMA DE TRÊS
BARRAS ...................................................................................................... 64
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 73
5.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................... 74
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 75
APÊNDICE A – CÓDIGO DO ALGORITMO PARCIAL IMPLEMENTADO NO MATLAB
PARA RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3.1 ......................................... 77
ANEXO A – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ............................................ 80
15
1 INTRODUÇÃO
Dentre os vários objetivos da gestão de energia e operação de sistemas
elétricos, pode-se dizer que o principal é o suprimento do seu mercado de energia
elétrica, levando-se em consideração três aspectos: continuidade, qualidade e
economia. Considerando que o principal desses três aspectos é o da continuidade, o
estudo de estabilidade em sistemas de potência é de fundamental importância para
prevenção e análise de distúrbios que possam afetar os mesmos (KUNDUR et al.,
2004).
Nesse contexto, o estudo de estabilidade contempla o ajuste dos
equipamentos de proteção, para que os mesmos atuem de forma satisfatória, na
ocorrência de distúrbios (por exemplo: faltas), evitando que o problema afete todo o
sistema elétrico interligado. Além disso, os sistemas elétricos exigem um alto grau de
confiabilidade, robustez e segurança, para que o fornecimento de energia elétrica seja
o mais contínuo possível, ou seja, com o mínimo de interrupções.
Dentre os desafios apresentados pelos sistemas elétricos de potência, o
problema de estabilidade é um dos mais complexos da engenharia elétrica. O mesmo
exige métodos automáticos e ferramentas sofisticadas de análise, além da
qualificação dos engenheiros de sistemas de potência (KUNDUR, 1994).
O termo "estabilidade" já constava nos trabalhos de Euler em 1749. No final
do século XIX, surgem definições matemáticas exatas de estabilidade para sistemas
dinâmicos e teoremas de estabilidade para sistemas não lineares. Em 1920, surgem
os primeiros problemas relacionados à estabilidade em sistemas elétricos de potência
(STEINMETZ, 1920). Em 1924, os resultados dos primeiros testes de laboratórios
sobre sistemas em miniaturas são reportados (EVANS, BERGVALL, 1924). Em 1925,
são realizados os primeiros testes de campo com relação ao tema de estabilidade em
sistemas elétricos de potência (WILKINS, 1926) (EVANS, WAGNER, 1926).
Segundo Kundur (1994), tradicionalmente, pode-se dividir o problema de
estabilidade de acordo com os seguintes fatores:
❖ Dependendo do tempo de análise:
➢ Curto prazo ou transiente: 0 até 10 segundos;
➢ Médio prazo: 10 segundos até poucos minutos;
➢ Longo prazo: poucos minutos até dezenas de minutos.
16
❖ Dependendo do tipo de perturbação:
➢ Perturbações imprevisíveis:
• Grandes perturbações (curtos-circuitos) ou pequenas perturbações
(variações de carga).
➢ Perturbações previsíveis:
• Variações lentas e previsíveis de carga.
❖ Dependendo da variável de interesse:
➢ Ângulo do rotor;
➢ Tensão;
➢ Frequência.
Pode-se definir estabilidade do sistema elétrico de potência como a sua
capacidade de voltar ao seu estado inicial de equilíbrio após ser submetido a um
distúrbio físico; ou seja, de voltar às suas condições normais de operação pré-falta
(KUNDUR, 1994). Estes distúrbios podem ser manifestados de diferentes formas e
localidades em um sistema de potência, dependendo de como é a sua configuração
física e o seu ponto de operação.
Uma condição necessária para que um sistema de potência opere
adequadamente é que todas as suas máquinas síncronas operem em sincronismo,
ou seja, que suas velocidades mecânicas estejam em sincronismo com a frequência
elétrica do sistema onde elas estão conectadas. Entretanto, dependendo da
magnitude e tipo de perturbação a que o sistema seja submetido, os geradores
síncronos podem perder o sincronismo. Por exemplo, quando um curto-circuito
trifásico (falta simétrica) ocorre próximo a uma unidade geradora, a mesma poderá
acelerar a tal ponto que leve à perda do sincronismo com o resto do sistema.
Na literatura da área há uma vasta quantidade de trabalhos que versam sobre
o problema de estabilidade transitória considerando faltas simétricas, como, por
exemplo, curtos-circuitos trifásicos e aberturas tripolares de circuitos. Entretanto, o
foco deste trabalho será a análise de estabilidade considerando faltas assimétricas,
mais precisamente os seguintes tipos de curtos-circuitos: fase-terra, fase-fase e fase-
fase-terra.
17
1.1 TEMA
Analisar a estabilidade de ângulo do rotor do gerador síncrono. Este tipo de
estabilidade se refere à habilidade das máquinas síncronas permanecerem em
sincronismo após a ocorrência de uma perturbação. Depende, fundamentalmente, da
capacidade de manter ou restaurar o equilíbrio entre o torque eletromagnético e o
torque mecânico do gerador síncrono do sistema.
O fenômeno de instabilidade ocorre na forma de oscilações ou “balanços”
crescentes de ângulo de potência do rotor de alguns geradores, de modo a causar a
perda de sincronismo entre as máquinas, ou em apenas uma delas. Isto porque, os
desvios de posição angular dos rotores alteram o torque eletromagnético, aumentando
o desequilíbrio entre torque mecânico e torque eletromagnético (KUNDUR et al.,
2004).
A mudança no torque eletromagnético de uma máquina síncrona devido a
uma perturbação pode ser decomposta em duas componentes: torque sincronizante
- está em fase com o desvio do ângulo do rotor; e torque de amortecimento - está em
fase com o desvio de velocidade do ângulo do rotor. Ambos componentes do torque
(de cada máquina) influenciam na estabilidade: carência de torque sincronizante
(suficiente) resulta em instabilidade não-periódica ou não-oscilatória; carência em
torque de amortecimento resulta em instabilidade oscilatória.
A estabilidade de ângulo ainda pode ser subdividida em duas categorias:
estabilidade transitória (ou à grandes perturbações), que será o objeto de estudo deste
trabalho, e estabilidade à pequenas perturbações.
1.1.1 Delimitação do Tema
Especificamente, neste trabalho foi abordada a análise do comportamento
transitório de um sistema de potência quando este é submetido à faltas assimétricas,
como curtos-circuitos fase-terra, fase-fase e fase-fase-terra. Esta categoria se
preocupa com a habilidade do sistema de potência permanecer em sincronismo
quando submetido à grandes perturbações, ou distúrbios, tais como um curto-circuito
em uma linha de transmissão (KUNDUR et al., 2004).
18
Com a aplicação do software MATLAB®1, foi modelado o comportamento
dinâmico dos geradores síncronos, através de equações diferenciais, e a rede elétrica
(sistema de transmissão) foi modelada através de equações algébricas. A partir desta
modelagem, foram feitas simulações de faltas assimétricas para verificar o efeito das
mesmas sobre o sincronismo dos geradores síncronos.
Na sequência, foi estudado o tempo máximo de atuação da proteção do
sistema para evitar-se que a falta cause a perda de sincronismo das máquinas
síncronas. Normalmente, este tempo de eliminação da falta precisa ser menor que 1
segundo para garantir a estabilidade do sistema. Por isto, é importante calcular o
tempo crítico de atuação dos disjuntores, ou seja, para que o mesmo abra seus
contatos e elimine a passagem da corrente de falta pelos enrolamentos do gerador.
1.2 PROBLEMA E PREMISSAS
O problema da estabilidade transitória dos sistemas elétricos de potência vem
sendo bastante estudado, pois é muito importante garantir a integridade dos
equipamentos que compõe um sistema elétrico de potência e, consequentemente, o
seu bom funcionamento. Contudo, com sistemas cada vez maiores e complexos, cada
um com suas características particulares, é difícil encontrar uma solução definitiva
para este problema. Fica evidente que os estudos nesta área não podem parar e que
há muito que se estudar. Ainda, pode-se concluir que o gerador é o elemento principal
de uma usina e, também, seu componente mais caro; com isto, fica evidente a
importância do estudo dos impactos que estas instabilidades eletromecânicas podem
trazer para o mesmo.
Quando uma grande perturbação ocorre em um sistema elétrico, como um
curto-circuito assimétrico, o seu ponto de equilíbrio é alterado significativamente à
medida que o tempo passa. Assim, os equipamentos de proteção devem atuar o mais
rápido possível para evitar que a falta persista e os geradores síncronos percam o
1 MATLAB® é uma marca registrada da MathWorks, Inc. Mais informações em: www.mathworks.com.
Neste trabalho foi utilizada a versão 2016a do MATLAB, através de uma licença individual paga pelo
estudante sob o número: 40462972.
19
sincronismo entre eles. Deste modo, define-se que o sincronismo entre as máquinas
durante um período transitório (por exemplo, até 3 segundos) após uma pertubação é
sinônimo de sistema transitoriamente estável; por sua vez, sistema transitoriamente
instável implica em perda de sincronismo entre as máquinas síncronas durante um
período transitório.
Inicialmente supõe-se que o sistema esteja operando em sua condição normal
quando ocorre uma falta trifásica, por exemplo, no tempo t=0. Como a configuração
da rede muda pela ação do curto, a potência fornecida, que está relacionada à sua
configuração, também muda. Durante este período, o comportamento do sistema é
descrito por suas equações diferenciais; isto ocorre até o momento de abertura do
dispositivo de proteção, que isolará a falta. Após a eliminação da falta, novamente a
sua configuração é alterada, e o sistema operará em nova condição desde o tempo
de abertura até o tempo máximo de análise (ou infinito).
Um dos maiores interesses nos estudos de estabilidade transitória está no
cálculo do tempo crítico de abertura, ou tempo máximo em que o defeito pode ser
eliminado de forma a garantir o sincronismo. Assim, para calcular o tempo crítico faz-
se necessário a solução das equações diferenciais que traduzem a dinâmica dos
geradores e da rede elétrica. Tal tarefa é realizada através de métodos numéricos,
podendo ser: explícitos (por exemplo, Euler, Runge-Kutta); e implícitos (por exemplo,
Trapezoidal).
Este trabalho partiu da modelagem clássica do gerador por equações
diferenciais e usou o método numérico desenvolvido por Euler para a resolução das
mesmas através do software MATLAB.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo Geral
O objetivo deste trabalho é apresentar um algoritmo computacional para
análise de estabilidade transitória considerando faltas assimétricas, e que também
pode ser utilizado para análise de faltas simétricas.
20
1.3.2 Objetivos Específicos
❖ Analisar as perturbações do tipo curto-circuito assimétrico.
❖ Aplicar o método passo-a-passo de análise de estabilidade transitória e o
método de integração numérica de Euler.
❖ Ajustar o valor de tempo crítico de abertura dos disjuntores após a ocorrência
da falta, visando a permanência do sincronismo dos geradores síncronos.
❖ Desenvolver e implementar um algoritmo de estabilidade transitória utilizando
o software MATLAB.
1.4 JUSTIFICATIVA
A estabilidade de um sistema elétrico de potência está diretamente ligada à
continuidade do fornecimento de energia elétrica para grande parte ou, talvez, para
todos os consumidores daquele sistema. Isto tudo depende da importância do sistema
em questão. Com isto, o estudo desta estabilidade é de muita importância, pois o
mesmo pode levar a solução do problema de se encontrar o tempo crítico para que a
proteção deste sistema deva atuar para que um mínimo de danos e descontinuidade
de fornecimento aconteça.
Grainger e Stevenson (1994) destacam que a experiência tem mostrado que
entre 70 e 80% de faltas nas linhas de transmissão são do tipo fase-terra, que surge
da descarga elétrica de apenas uma linha para à torre de transmissão e à terra.
Aproximadamente 5% de todas as faltas envolvem todas as três fases, ou seja, faltas
trifásicas simétricas. Então, pode-se verificar que a maior ocorrência de faltas sobre
os sistemas elétricos de potência é do tipo faltas assimétricas, que pode ser
constituída de curtos-circuitos assimétricos, faltas assimétricas através de
impedâncias, ou abertura de condutores.
A partir dessas considerações, pode-se constatar a importância do estudo dos
efeitos negativos que as faltas assimétricas podem trazer para a estabilidade
transitória de um sistema e, consequentemente, também, para o sincronismo de todo
o sistema elétrico.
21
1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Primeiramente, foi realizada a revisão bibliográfica sobre o tema de estudo
deste trabalho, a partir de livros e artigos científicos que trouxeram informação sobre
o mesmo. Após esta etapa, foi iniciada a modelagem matemática do gerador síncrono
através de equações diferenciais e aplicado o Método Numérico de Euler, utilizado
para soluções de equações diferenciais.
Posteriormente, com o equacionamento matemático todo desenvolvido, foi
dado início ao processo de programação no software MATLAB para resolução do
problema de encontrar o tempo crítico de abertura, ou tempo máximo em que o defeito
deve ser eliminado de forma a garantir o sincronismo.
Foi elaborado um algoritmo computacional parcial, a partir do qual foram feitas
simulações de faltas em um sistema elétrico de potência, conforme Exemplo 3.1,
consistindo de uma estação hidroelétrica enviando potência, através da geração de
tensão em duas linhas de transmissão em paralelo, para um sistema metropolitano,
que pode ser considerado um barramento infinito.
Posteriormente, foi elaborado o algoritmo computacional final para simulação
de sistemas maiores e mais complexos que aquele de duas barras do Exemplo 3.1, a
partir do qual foram feitas simulações para solução do problema de encontrar-se o
tempo crítico para eliminação de faltas simétricas e assimétricas para um sistema de
três barras, conforme Exemplo 4.1.
Por fim, foram apresentadas as considerações finais do trabalho e sugestões
para trabalhos futuros.
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO
A estrutura do trabalho é descrita a seguir:
Capítulo 1 – Introdução com apresentação e delimitação do tema, problemas
e premissas, objetivo geral, objetivos específicos, justificativa e procedimentos
metodológicos.
Capítulo 2 – Revisão bibliográfica sobre componentes simétricas e análise de
faltas assimétricas.
22
Capítulo 3 – Análise de estabilidade considerando faltas simétricas e
assimétricas, representação do sistema elétrico para estudo de estabilidade transitória
e equacionamento do problema.
Capítulo 4 – Desenvolvimento e apresentação do fluxograma do algoritmo
final para análise de estabilidade transitória considerando faltas simétricas e
assimétricas, descrição dos testes realizados, das simulações e apresentação dos
resultados obtidos sobre o tempo crítico de eliminação da falta.
Capítulo 5 – Considerações finais e sugestões para trabalhos futuros.
23
2 REVISÃO SOBRE COMPONENTES SIMÉTRICAS E ANÁLISE DE FALTAS
ASSIMÉTRICAS
2.1 INTRODUÇÃO
A grande maioria dos sistemas de potência são trifásicos, mas, desde que
eles sejam simétricos e balanceados, eles podem ser representados em uma única
fase baseado em fase-neutro ou fase-terra para o propósito de cálculos, o que se leva
a uma maior simplicidade para análise dos mesmos. Sistemas trifásicos de geração e
transmissão são normalmente simétricos ou muito perto disso durante condições
normais e também durante faltas trifásicas. Já durante outros tipos de faltas, tais como
curtos-circuitos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra, os sistemas trifásicos são
assimétricos, e a representação em uma única fase não é suficiente para
representação e análise dos mesmos. Em tais casos, uma das ferramentas mais
poderosas para se lidar com circuitos polifásicos desbalanceados é o método de
componentes simétricas introduzido por C. L. Fortescue (GRAINGER; STEVENSON,
1994) (KIMBARK, 1995) (FORTESCUE, 1918).
O trabalho de Fortescue prova que um sistema desbalanceado de “n” fasores
relacionados pode ser representado através de “n” sistemas de fasores balanceados
chamados de componentes simétricas dos fasores originais. Os “n” fasores de cada
conjunto de componentes são iguais em comprimento, e os ângulos entre fasores
adjacentes do conjunto são iguais (GRAINGER; STEVENSON, 1994). Apesar do
método ser aplicado para qualquer sistema polifásico desbalanceado, este trabalho
se limitará à análise dos sistemas trifásicos.
Em um sistema trifásico que é normalmente balanceado, condições de faltas
desbalanceadas geralmente causam a existência de correntes e tensões
desbalanceadas em cada uma das fases. Se as correntes e tensões são relacionadas
através de impedâncias constantes, o sistema é chamado de linear e o princípio da
superposição se aplica. A resposta de tensão do sistema linear para as correntes
desbalanceadas pode ser determinada considerando as respostas separadas dos
elementos individuais para as componentes simétricas das correntes. Os elementos
24
do sistema de interesse são as máquinas, linhas de transmissão, transformadores e
cargas conectadas por configurações Y ou Δ (GRAINGER; STEVENSON, 1994).
Como citado anteriormente no Capítulo 1, a maioria das faltas (ou defeitos)
que ocorrem em sistemas de potência são faltas assimétricas, que podem consistir de
curtos-circuitos assimétricos (através de impedâncias, franco ou através de arco
elétrico) ou abertura de condutores. Já faltas simétricas podem consistir de curtos-
circuitos trifásicos ou de abertura tripolar do circuito devido a atuação inadequada da
proteção. A Figura 2.1 mostra um diagrama que representa os diversos tipos de faltas.
Figura 2.1: Tipos de faltas.
Fonte: Autoria Própria.
As faltas simétricas podem ocorrer por curtos-circuitos trifásicos, que ocorrem
devido ao contato entre as três fases simultaneamente, podendo, ainda, haver ou não
contato com a terra; e, também, por aberturas tripolares de circuitos.
25
Curtos-circuitos assimétricos ocorrem devido ao contato entre uma fase e o
terra (fase-terra), contato entre duas fases (fase-fase), ou contato entre duas fases e
o terra (fase-fase-terra). O caminho da corrente de falta de fase para fase ou de fase
para terra pode ou não conter impedância.
Além dos curtos-circuitos, outros tipos de faltas assimétricas podem ocorrer;
por exemplo, a abertura de uma fase (abertura monopolar) ou a abertura de duas
fases (abertura bipolar), quer seja através da quebra de um ou dois condutores ou da
ação de fusíveis e outros equipamentos que podem não abrir as três fases
simultaneamente.
Tendo em vista que o foco deste trabalho é a análise da estabilidade
considerando curtos-circuitos assimétricos, a próxima subseção apresenta os
fundamentos matemáticos sobre componentes simétricas.
2.2 COMPONENTES SIMÉTRICAS EM SISTEMAS TRIFÁSICOS
No método de componentes simétricas um conjunto assimétrico de fasores2
(sequência) de correntes ou tensões é representado através de conjuntos simétricos
de componentes. A partir disto, dada uma sequência qualquer de fasores trifásicos,
representada por:
�⃗⃗� 𝑎,𝑏,𝑐
= �⃗⃗� 𝑎 = [𝐕𝑎
𝐕𝑏
𝐕𝑐
] (2.1)
existe, e é única, uma sequência direta, uma sequência inversa e uma sequência nula
que somadas reproduzem a sequência dada. De outra forma: uma sequência qualquer
de fasores trifásicos pode ser decomposta em três outras sequências (direta, inversa
e nula) e esta decomposição é única.
Matematicamente, a Equação 2.1 pode ser decomposta em componentes
simétricas da seguinte forma:
2 Neste trabalho, fasores são indicados em negrito e sequência de fasores trifásicos também em
negrito e com uma seta⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em cima para diferenciá-los.
26
�⃗⃗� 𝑎 = [
𝐕𝑎
𝐕𝑏
𝐕𝑐
] = �⃗⃗� 0 + �⃗⃗� 1 + �⃗⃗� 2 = [𝐕𝑎0
𝐕𝑏0
𝐕𝑐0
] + [𝐕𝑎1
𝐕𝑏1
𝐕𝑐1
] + [𝐕𝑎2
𝐕𝑏2
𝐕𝑐2
]=[𝐕𝑎0 + 𝐕𝑎1 + 𝐕𝑎2
𝐕𝑏0 + 𝐕𝑏1 + 𝐕𝑏2
𝐕𝑐0 + 𝐕𝑐1 + 𝐕𝑐2
] (2.2)
sendo, �⃗⃗� 0 a sequência nula, �⃗⃗� 1 a sequência direta, e �⃗⃗� 2 a sequência inversa3.
Utilizando-se o operador 𝐚 = 1∠120° (𝐚2 = 1∠240° = 1∠ − 120°), tem-se:
𝐕0 = 𝐕𝑎0 = 𝐕𝑏0 = 𝐕𝑐0
𝐕1 = 𝐕𝑎1
; 𝐕𝑏1 = 𝐚2𝐕1; 𝐕𝑐1 = 𝐚𝐕1
𝐕2 = 𝐕𝑎2
; 𝐕𝑏2 = 𝐚𝐕2; 𝐕𝑐2 = 𝐚2𝐕2
(2.3)
e substituindo na equação 2.2, resulta:
�⃗⃗� 𝑎 = [𝐕𝑎
𝐕𝑏
𝐕𝑐
] = 𝐕0 ∙ [111] + 𝐕1 ∙ [
1𝐚2
𝐚] + 𝐕2 ∙ [
1𝐚𝐚2
] = [
𝐕0 + 𝐕1 + 𝐕2
𝐕0 + 𝐚2𝐕1 + 𝐚𝐕2
𝐕0 + 𝐚𝐕1 + 𝐚2𝐕2
]. (2.4)
Outra expressão para a equação 2.4 é a seguinte:
�⃗⃗� 𝑎 = [
1 1 111
𝐚2 𝐚𝐚 𝐚2
] ∙ [𝐕0
𝐕1
𝐕2
] = 𝑇 ∙ �⃗⃗� 0,1,2. (2.5)
Sendo:
❖ 𝑇 a matriz de transformação de componentes simétricas;
❖ �⃗⃗� 0,1,2 sequência de fasores de componentes simétricas.
A matriz 𝑇 não é singular, isto é, existe a matriz 𝑇−1. Desta forma, a seguinte
expressão é válida:
�⃗⃗� 0,1,2 = [𝐕0
𝐕1
𝐕2
] = 𝑇−1 ∙ [𝐕𝑎
𝐕𝑏
𝐕𝑐
] =1
3∙ [
1 1 111
𝐚 𝐚2
𝐚2 𝐚] ∙ [
𝐕𝑎
𝐕𝑏
𝐕𝑐
] =1
3∙ [
𝐕𝑎 + 𝐕𝑏 + 𝐕𝑐
𝐕𝑎 + 𝐚𝐕𝑏 + 𝐚2𝐕𝑐
𝐕𝑎 + 𝐚2𝐕𝑏 + 𝐚𝐕𝑐
]. (2.6)
A interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas pode ser feita
a partir da Figura 2.2.
3 Sequência direta pode, também, ser chamada de sequência positiva; sequência inversa pode,
também, ser denominada por sequência negativa; e sequência nula pode, também, ser chamada
por sequência zero.
27
Figura 2.2: Composição de fasores assimétricos a partir de componentes simétricas.
(a) Fasores de sequência positiva. (b) Fasores de sequência negativa. (c)
Adição de fasores de sequência negativa aos fasores de sequência
positiva. (d) Fasores de sequência zero. (e) Adição da soma dos fasores de
sequência positiva e negativa aos fasores de sequência zero.
Fonte: Kimbark, 1995.
Com base na decomposição de uma sequência �⃗⃗� 𝑎 de fasores em suas
componentes simétricas, define-se (ROBBA, 1972):
❖ Sequência trifásica simétrica: → 𝐕1 ≠ 0; 𝐕2 = 𝐕0 = 0;
❖ Sequência trifásica pura: → 𝐕1 ≠ 0; 𝐕2 ≠ 0, 𝐕0 = 0;
❖ Sequência trifásica impura: → 𝐕1 ≠ 0; 𝐕2 ≠ 0, 𝐕0 ≠ 0
Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de
componentes simétrica, entretanto o Teorema de Fortescue (1918) aplica-se
igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito trifásico,
tais como corrente elétrica, como segue:
𝐈 𝑎 = [
𝐈𝑎𝐈𝑏𝐈𝑐
] = [1 1 111
𝐚2 𝐚𝐚 𝐚2
] ∙ [𝐈0𝐈1𝐈2
], (2.7)
e também é valido para:
𝐈 0,1,2 = [
𝐈0𝐈1𝐈2
] =1
3∙ [
1 1 111
𝐚 𝐚2
𝐚2 𝐚] ∙ [
𝐈𝑎𝐈𝑏𝐈𝑐
]. (2.8)
2.3 IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIAS
Segundo Kimbark (1995), um circuito trifásico balanceado é um circuito que
contempla as seguintes características: conexões similares em todas as três fases,
impedâncias próprias iguais nas três fases, e impedâncias mútuas iguais entre cada
28
par de fases. A afirmação que as três sequências são independentes significa que as
correntes de cada sequência de fase vão produzir quedas de tensão apenas da
mesma sequência de fase.
A relação de tensão fasorial de sequência para corrente fasorial de sequência
pode ser chamada de impedância complexa de sequência; assim 𝐙0 é a impedância
de sequência zero; 𝐙𝟏 , a impedância de sequência positiva; e 𝐙𝟐
, a impedância de
sequência negativa. Para qualquer circuito trifásico estático, ou seja, com frequência
nominal da rede, as impedâncias de sequência positiva e sequência negativa são
iguais. Para máquinas rotativas, porém, a impedância de sequência positiva
normalmente difere da impedância de sequência negativa, por causa das reatâncias
mútuas entre o rotor e os enrolamentos do estator (KIMBARK, 1995).
2.4 AS REDES DE SEQUÊNCIA
Em uma rede trifásica balanceada as componentes simétricas de tensão e
corrente obedecem às leis e teoremas de circuitos elétricos. Há assim boa justificativa
para o conceito de redes de sequência.
A rede trifásica existente, representada pelas fases “a”, “b” e “c”, é substituída,
para o propósito de facilitar a análise, por três redes monofásicas fictícias, em que as
componentes simétricas ou tensões e correntes de sequência existam. Elas são a
rede de sequência positiva, em que a tensão e corrente de sequência positiva existam;
a rede de sequência negativa, em que a tensão e corrente de sequência negativa
existam; e a rede de sequência zero, em que a tensão e corrente de sequência zero
existam. A partir do diagrama de uma linha é preparado um diagrama em que todos
os elementos elétricos significantes do sistema de potência são representados em
uma base de fase única (fase-neutro ou fase-terra) por seus circuitos equivalentes de
sequência positiva com valores adequados de impedância. A rede de sequência
negativa é muito similar à rede de sequência positiva, mas difere pelos seguintes
aspectos: (1) geralmente não há forças eletromotrizes geradas de sequência negativa;
(2) a impedância de sequência negativa de máquinas rotativas é diferente da
impedância de sequência positiva; e (3) o deslocamento de fase de bancos de
transformadores para sequência negativa é de sinal oposto daquela para sequência
positiva. A rede de sequência zero difere muito das outras duas em que (1) a
29
impedância de linhas de transmissão é maior que para sequência positiva; e (2) os
circuitos equivalentes de transformadores são diferentes (KIMBARK, 1995).
Desde que a rede trifásica seja balanceada, as três redes de sequências são
independentes uma da outra; isto é, elas não são conectadas ou acopladas uma à
outra. Mas onde a rede trifásica é desbalanceada, há uma conexão ou acoplamento
entre duas ou três das redes de sequência nos pontos correspondentes de
desbalanceamento (KIMBARK, 1995). A natureza da conexão ou acoplamento entre
as redes de sequência será determinada na seção 2.6 para os tipos de
desbalanceamentos mais importante em estudos de estabilidades, que é para os
curtos-circuitos.
2.5 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM REDES DE SEQUÊNCIA
Em estudos de estabilidade transitória, o circuito equivalente de sequência
positiva de um banco de transformador de dois enrolamentos, com corrente de
excitação desprezada, consiste apenas de uma impedância série4 (KIMBARK, 1995).
Já o circuito equivalente de sequência negativa de um banco de transformador
será igual ao circuito de sequência positiva, considerando a sequência positiva
representada apenas por uma impedância (KIMBARK, 1995).
O circuito equivalente de sequência zero não será igual ao de sequência
positiva e negativa, principalmente devido ao tipo de conexão do lado primário e do
lado secundário, que influencia a circulação da corrente de sequência zero
(KIMBARK, 1995) (KUNDUR, 1994).
Os circuitos equivalentes de sequência zero de bancos de transformadores
de dois enrolamentos são mostrados na Figura 2.3.
4 Em um modelo exato, o circuito equivalente de sequência positiva do transformador é
representado por uma impedância série e um transformador ideal com relação complexa.
30
Figura 2.3: Circuitos equivalentes de sequência zero de
bancos de transformadores de dois
enrolamentos.
Fonte: Kimbark, 1995.
Tanto a Figura 2.3(c), que mostra uma conexão do tipo Y aterrado - Y
aterrado, quanto a Figura 2.3(d), Y aterrado - Δ, apresenta um caminho para a corrente
de sequência zero. As outras conexões são equivalentes a um circuito aberto na rede
de sequência zero (KUNDUR, 1994).
2.6 REPRESENTAÇÃO DE CURTOS-CIRCUITOS CONSIDERANDO REDES DE
SEQUÊNCIA
Curtos-circuitos em um sistema trifásico podem ser classificados através dos
seguintes tipos: fase-terra, fase-fase, fase-fase-terra e trifásico. Curtos-circuitos
trifásicos podem, ainda, ser classificados através daqueles envolvendo a terra e
daqueles não envolvendo a terra. Os outros tipos podem, ainda, ser classificados por
31
suas fases envolvidas. Os diferentes tipos de curto-circuito são mostrados
esquematicamente na Figura 2.4 (KIMBARK, 1995).
Figura 2.4: Tipos de curtos-circuitos
em uma rede trifásica.
Fonte: Kimbark, 1995.
A rede trifásica, qualquer que seja sua forma, pode ser simbolizada por quatro
terminais no ponto de falta, nomeadamente, fases “a”, “b” e “c” e o terminal terra ou
neutro, como mostrado na Figura 2.5(a). Diferentes tipos de curtos-circuitos podem
ser aplicados para à rede fazendo as conexões apropriadas entre dois, três, ou quatro
terminais. Cada uma das três redes de sequências pode ser representada
similarmente por uma caixa contendo dois terminais em seu ponto de falta (terminal
de fase e terminal de neutro ou terra) como mostrado na Figura 2.5(b). As conexões
entre esses terminais, correspondendo às conexões entre os terminais da rede
trifásica, vão ser derivadas (KIMBARK, 1995).
32
Figura 2.5: (a) Representação esquemática de uma rede trifásica com
terminais no ponto de falta. (b) Representação
esquemática das redes de sequência correspondentes.
Fonte: Kimbark, 1995.
As faltas assimétricas podem ser ocasionadas por:
❖ Curto-circuito franco, ou seja, pelo contado direto com a terra;
❖ Através de impedâncias e fases;
❖ E ainda, por fase em aberto.
Geralmente, as faltas podem ter alguma impedância, principalmente a
resistência de arco-elétrico entre condutores. Em circuitos de alta tensão essa
resistência é normalmente desprezível em comparação com as outras impedâncias
da rede, e não é considerada nos cálculos. Em faltas envolvendo a terra pode haver
resistência adicional no caminho para a terra através das torres de transmissão ou
através do objeto causador da falta. Essa resistência também é normalmente
desprezada em estudos de estabilidade, assim simplificando os cálculos e dando
resultados para a condição mais severa para qual o sistema pode submetido
(KIMBARK, 1995). A partir disto, neste trabalho a impedância de falta também foi
desprezada, ou seja, considerar-se-a apenas curtos-circuitos francos. Além disso, as
seguintes considerações foram feitas:
❖ O estudo contempla redes de transmissão;
❖ As redes são todas balanceadas com transposição de linhas (fases) e são
desprezadas as indutâncias e capacitâncias mútuas.
33
2.6.1 Curto-Circuito Fase-Terra Na Fase “a”.
Como dito anteriormente, este é o tipo de falta mais frequente em sistemas
de potência, e ocorre quando há contato entre uma fase e a terra. Este curto-circuito,
conforme mostrado na Figura 2.6(a), gera as seguintes condições de contorno: a
tensão fase-terra da fase em contato direto com a terra é zero, e as correntes que
fluem durante a falta nas duas fases sem defeito são zero, para isso, desprezando-se
a corrente de carga pré-falta; que geram as seguintes equações de contorno:
𝐕𝑎 = 0 (2.9)
𝐈𝑏 = 0 (2.10)
𝐈𝑐 = 0 (2.11)
Das Equações 2.9 e 2.4
𝐕0 + 𝐕1 + 𝐕2 = 0 (2.12)
Das Equações 2.10, 2.11, e 2.8
𝐈0 = 𝐈𝟏 = 𝐈𝟐 =
1
3𝐈𝑎
De onde
𝐈0 = 𝐈𝟏 = 𝐈𝟐 (2.13)
Uma conexão em série das três redes de sequência, conforme mostrado na Figura
2.6(b), satisfaz essas equações.
34
Figura 2.6: Conexões entre as redes de sequência
correspondentes para o tipo de curto-
circuito fase-terra em uma rede trifásica.
Fonte: Kimbark, 1995.
2.6.2 Curto-Circuito Fase-Fase Nas Fases “b” e “c”.
Este tipo de falta ocorre quando existe contato entre duas fases, conforme
ilustrado na Figura 2.7(a). Para esta falta, as equações das condições de contorno
são:
𝐕𝑏 = 𝐕𝑐
(2.14)
𝐈𝑎 = 0 (2.15)
𝐈𝑏 + 𝐈𝑐
= 0 (2.16)
Substituindo as Equações 2.4 na Equação 2.14,
𝐕0 + 𝐚2𝐕1 + 𝐚𝐕2 = 𝐕0 + 𝐚𝐕1 + 𝐚2𝐕2
Subtraindo 𝐕0 de ambos os lados e rearranjando, obtém-se
𝐕1(𝐚2 − 𝐚) = 𝐕2(𝐚
2 − 𝐚)
De onde
𝐕1 = 𝐕2 (2.17)
Substituindo as Equações 2.15 e 2.16 na expressão para 𝐈0 da Equação 8, obtém-se
35
𝐈0 = 0 (2.18)
Substituindo a Equação 2.18 nas expressões para 𝐈𝑏 e 𝐈𝑐
da Equação 2.8 e
substituindo os resultados na Equação 2.16, obtém-se
(𝐚2 + 𝐚)(𝐈1 + 𝐈2) = 0
ou
(𝐈1 + 𝐈2) = 0 (2.19)
Com isto, conclui-se que em faltas fase-fase não existe a componente de sequência
zero, e, além disto, as correntes de sequência direta e inversa são iguais em módulo.
Estas relações são realizadas por uma conexão paralela das redes de sequência
positiva e negativas, deixando a rede de sequência zero em circuito aberto, conforme
pode-se verificar na Figura 2.7(b).
Figura 2.7: Conexões entre as redes de sequência
correspondentes para o tipo de curto-
circuito fase-fase em uma rede trifásica.
Fonte: Kimbark, 1995.
2.6.3 Curto-Circuito Fase-Fase-Terra Nas Fases “b” e “c”.
Neste tipo de curto-circuito, além de haver contato entre duas fases, ocorre
também o contato com a terra, conforme mostrado na Figura 2.8(a). Para esta falta,
as equações das condições de contorno são:
36
𝐈𝑎 = 0 (2.20)
𝐕𝑏 = 0 (2.21)
𝐕𝑐 = 0 (2.22)
Das Equações 2.20 e 2.7
𝐈0 + 𝐈𝟏 + 𝐈𝟐 = 0 (2.23)
Das Equações 2.21, 2.22, e 2.6
𝐕0 = 𝐕1 = 𝐕2 =
1
3𝐕𝑎
De onde
𝐕0 = 𝐕1 = 𝐕2 (2.24)
Estas equações são realizadas por uma conexão paralela das três redes de
sequência, conforme ilustrado na Figura 2.8(b).
Figura 2.8: Conexões entre as redes de sequência
correspondentes para o tipo de curto-
circuito fase-fase-terra em uma rede
trifásica.
Fonte: Kimbark, 1995.
37
2.6.4 Curto-Circuito Trifásico Não Envolvendo Terra.
Para esta falta, conforme mostrado na Figura 2.9(a), as equações das
condições de contorno são:
𝐕𝑎 = 𝐕𝑏
= 𝐕𝑐 (2.25)
𝐈𝑎 + 𝐈𝑏
+ 𝐈𝑐 = 0 (2.26)
Substituindo as Equações 2.25 na equação 2.6, obtém-se
𝐕1 = 𝐕2 =
1
3𝐕𝑎
(𝟏 + 𝐚 + 𝐚2) = 0 (2.27)
Substituindo a Equação 2.26 na equação 2.8 para 𝐈0 :
𝐈0 = 0 (2.28)
Estas relações são satisfeitas curto-circuitando as redes de sequência positiva e
negativa e deixando a rede de sequência zero em circuito aberto, como ilustrado na
Figura 2.9(b).
Figura 2.9: Conexões entre as redes de sequência
correspondentes para o tipo de curto-
circuito trifásico não envolvendo terra.
Fonte: Kimbark, 1995.
38
2.6.5 Curto-Circuito Trifásico Simétrico Envolvendo Terra.
Para esta falta, conforme mostrado na Figura 2.10(a), as equações das
condições de contorno são:
𝐕𝑎 = 0 (2.29a)
𝐕𝑏 = 0 (2.29b)
𝐕𝑐 = 0 (2.29c)
As equações correspondentes para componentes simétricas são:
𝐕0 = 0 (2.30a)
𝐕1 = 0 (2.30b)
𝐕2 = 0 (2.30c)
O circuito equivalente consiste de um curto-circuito em cada uma das três redes de
sequência, como pode-se verificar na Figura 2.10(b).
Figura 2.10: Conexões entre as redes de sequência
correspondentes para o tipo de curto-
circuito trifásico envolvendo terra.
Fonte: Kimbark, 1995.
39
2.7 REPRESENTAÇÃO DAS IMPEDÂNCIAS EQUIVALENTES DE
COMPONENTES SIMÉTRICAS NO PONTO DE FALTA
Desde de que as forças eletromotrizes de uma máquina síncrona trifásica são
de sequência positiva, e desde que nenhuma potência resulte da combinação de
tensões de sequência positiva com correntes de sequência negativa ou zero, a
potência gerada de uma máquina síncrona e a potência sincronizante entre as várias
máquinas de um sistema de potência são potências de sequência positiva. Portanto,
a rede de sequência positiva é de interesse primário em um estudo de estabilidade, e
as redes de sequência zero e negativa são apenas de interesse secundário
(KIMBARK, 1995).
De fato, as tensões e correntes, de sequência negativa e zero, ao longo do
sistema, normalmente não são de interesse em estudos de estabilidade. Portanto, é
desnecessário simular as redes de sequência negativa e zero completas em
simulações de estabilidade de sistemas. Seus efeitos podem ser representados por
impedâncias equivalentes (𝐙0 e 𝐙2
) como visto no ponto de falta “F”. Essas
impedâncias são combinadas apropriadamente dependendo do tipo de falta e
inseridas como a impedância efetiva de falta 𝐙𝑒𝑓 na rede de sequência positiva como
mostrado na Figura 2.11 (KUNDUR, 1994).
A fórmula para a impedância efetiva de falta 𝐙𝑒𝑓 pode ser determinada a partir
da inspeção das conexões entre as redes de sequência para representar os tipos de
curtos-circuitos (Figura 2.6 a Figura 2.10). O curto-circuito fase-terra é representado
por uma conexão com a rede de sequência positiva no ponto de falta da combinação
série das redes de sequência zero e negativa; o curto-circuito fase-fase é
representado ao ligar assim a rede de sequência negativa apenas; e o curto-circuito
fase-fase-terra é representado pela combinação paralela das redes de sequência zero
e negativa conectadas à rede de sequência positiva no ponto de falta. Com isto, as
impedâncias efetivas de faltas 𝐙𝑒𝑓 são como seguem:
40
Tipo de Curto-
Circuito
Impedância efetiva de
falta, 𝐙𝑒𝑓
Fase-terra 𝐙0 + 𝐙2
(2.31)
Fase-fase 𝐙2 (2.32)
Fase-fase-terra 𝐙0 𝐙2
𝐙0 + 𝐙2
(2.33)
Trifásico 0 (2.34)
Figura 2.11: Representação de faltas em estudos
de estabilidade de sistemas.
Fonte: Kundur, 1994.
Esta representação fornece as correntes e tensões corretas na rede de
sequência positiva.
41
3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO FALTAS SIMÉTRICAS E
ASSIMÉTRICAS
3.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA ELÉTRICO PARA ESTUDOS DE
ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
Em estudos de estabilidade transitória, geralmente, o modelo adotado para o
gerador síncrono é o modelo “clássico”. Neste modelo a representação elétrica do
gerador é representada apenas por uma tensão transitória atrás da reatância
transitória de eixo direto, conforme mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1: Representação da máquina
síncrona dada pelo modelo
clássico.
Fonte: Adaptado de Kundur, 1994.
Sendo,
𝑋𝑑′ = Reatância transitória de eixo direto, dada em pu;
𝐸𝑞′ = Tensão interna transitória do gerador em regime permanente de eixo em
quadratura, tensão essa igual a tensão terminal da máquina síncrona em
aberto, dada em pu;
𝑉 = Tensão terminal do gerador, dada em pu;
𝛿 = Ângulo de carga do gerador, este é igual à defasagem entre a tensão
interna e a tensão terminal do gerador, dado em radianos elétricos.
Além da representação elétrica, o modelo clássico contempla a equação
dinâmica de oscilação eletromecânica do gerador. Tal equação é representada a
seguir.
42
2𝐻
𝜔0
𝑑2δ
𝑑𝑡2= 𝑀δ̈ = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 (3.1)
onde
𝑃𝑚 = Potência mecânica de entrada, em pu;
𝑃𝑒 = Potência elétrica de saída, em pu;
𝐻 = Constante de inércia, em MW. s/MVA;
δ = Ângulo do rotor, dado em radianos elétricos;
𝑡 = Tempo, em s;
𝜔0 = 2𝜋𝑓0, onde 𝑓0 é a frequência síncrona do sistema;
𝑀 = constante de inércia do gerador síncrono.
Agora, considera-se o sistema mostrado na Figura 3.2, consistindo de um
gerador entregando potência para um grande sistema, representado por um
barramento infinito, através de duas linhas de transmissão. Um barramento infinito
representa uma fonte de tensão de magnitude de tensão constante e frequência
constante (Kundur, 1994).
Figura 3.2: Sistema de uma máquina contra um
barramento infinito.
Fonte: Kundur, 1994.
Serão apresentados conceitos fundamentais e princípios de estabilidade
transitória analisando a resposta do sistema à grandes perturbações, usando modelos
simples. Todas as resistências são negligenciadas. O gerador é representado pelo
modelo clássico e os efeitos do regulador de velocidade são negligenciados. A
representação do sistema correspondente é mostrada na Figura 3.3(a). A tensão atrás
da reatância transiente (𝑋𝑑′ ) é denotada por 𝐸′. O ângulo δ do rotor representa a
defasagem angular entre a tensão interna 𝐸′ e a tensão do barramento infinito 𝐸𝐵.
Quando o sistema é perturbado, a magnitude de 𝐸′ permanece constante no seu valor
43
pré-distúrbio, e δ muda conforme a velocidade do rotor do gerador desvia da
velocidade síncrona 𝜔0 (KUNDUR, 1994).
Figura 3.3: Representação do sistema com o gerador representado por um modelo
clássico.
Fonte: Kundur, 1994.
O sistema modelo pode ser reduzido para a forma mostrada na Figura 3.3(b).
Ele pode ser analisado usando métodos analíticos simples e é útil para se adquirir
uma compreensão básica do fenômeno de estabilidade transitória. Com a resistência
do estator negligenciada, a potência de entreferro (𝑃𝑒) é igual à potência terminal (𝑃).
Em valores por unidade (pu), o torque de entreferro é igual à potência de entreferro.
Consequentemente,
𝑇𝑒 = 𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝑇sen δ = 𝑃𝑚á𝑥 sen δ (3.2)
onde
44
𝑃𝑚á𝑥 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝑇 (3.3)
é a máxima potência elétrica de saída, dada em pu.
A relação entre potência e ângulo com ambas as linhas de transmissão em
serviço (E/S) é mostrada graficamente na Figura 3.4 como a curva “1”. Com uma
potência mecânica de entrada de 𝑃𝑚, a saída de potência elétrica em regime
permanente 𝑃𝑒 é igual à 𝑃𝑚, e a condição de operação é representada pelo ponto “a”
sobre a curva. O ângulo correspondente do rotor é δ𝑎.
Figura 3.4: Relação entre potência e ângulo.
Fonte: Kundur, 1994.
Se uma das linhas de transmissão está fora de serviço (F/S), a reatância
efetiva 𝑋𝑇 é maior que da situação anterior, ou seja, com as duas linhas operando em
paralelo. A relação potência-ângulo sem a linha de transmissão “2” é mostrada na
Figura 3.4 como a curva “2”. A potência máxima agora é menor. Com a potência
mecânica de entrada de 𝑃𝑚, o ângulo do rotor agora é δ𝑏 correspondendo ao ponto
de operação “b” sobre a curva “2”, pois no instante que a linha de transmissão “2” é
retirada de serviço, o ângulo δ acelera, buscando assim um novo ponto de equilíbrio.
Também com a reatância maior, o ângulo do rotor deve ser maior para transmitir a
mesma potência elétrica de regime permanente (KUNDUR, 1994).
Durante a perturbação, a oscilação de δ é sobreposta na velocidade síncrona
𝜔0, mas o desvio da velocidade (∆𝜔𝑟 = 𝑑δ/ 𝑑𝑡) é muito menor que 𝜔0; portanto, a
velocidade do gerador é praticamente igual à 𝜔0, e o torque de entreferro em valores
por unidade (pu) pode ser considerado igual à potência de entreferro em pu.
45
Agora, conhecendo-se o valor de 𝑃𝑒, a equação de movimento ou a equação
de oscilação pode ser escrita da seguinte forma
2𝐻
𝜔0
𝑑2δ
𝑑𝑡2= 𝑀δ̈ = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑚á𝑥 sen δ (3.4)
3.2 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA
A partir das ferramentas apresentadas até aqui, para à análise do problema
da estabilidade transitória, a seguir será apresentado o primeiro exemplo onde foi
analisado o tempo máximo da atuação da proteção para a eliminação da falta
permanente aplicada ao sistema, considerando faltas simétricas e faltas assimétricas,
para que os geradores síncronos não percam o sincronismo com o restante do
sistema.
Exemplo 3.1 (adaptado de Kimbark, 1995 e Kundur, 1994)
Determinar o tempo máximo da atuação da proteção para a eliminação da
falta permanente, que ocorre no meio da linha de transmissão 2 como mostrado na
Figura 3.5, para os seguintes tipos de curtos-circuitos: (a) trifásico, (b) fase-terra, (c)
fase-fase e (d) fase-fase-terra. A falta é eliminada por uma abertura simultânea dos
disjuntores conectados em ambos os extremos da linha. O sistema consiste de uma
estação hidroelétrica enviando potência através da geração de tensão em duas linhas
de transmissão em paralelo para um sistema metropolitano que pode ser considerado
um barramento infinito. Os seguintes dados pertencem ao sistema.
Reatância transitória de eixo direto dos geradores hidroelétricos: 0,35 por
unidade (pu)
Energia armazenada dos geradores hidroelétricos, H: 5,00 Mj. por Mva. (5 pu
de potência∗s ou 5s)
Frequência: 60 Hz
Tensão atrás da reatância transitória dos geradores hidroelétricos: 1,00 pu
Tensão do barramento infinito: 1,00 pu
46
Reatância de cada linha de transmissão: 0,40 pu (resistência desprezada)
Reatância dos transformadores de potência: 0,10 pu
As reatâncias de sequência negativa e zero por unidade são dadas como
seguem:
Geradores: 𝐗2 = 0,24; 𝐗0
= 0,06
Cada linha de transmissão: 𝐗2 = 0,40; 𝐗0
= 0,65
Transformadores: 𝐗2 = 𝐗0
= 0,10
Os transformadores são conectados Y-Δ com neutro do enrolamento em Y
solidamente aterrado, assim como o neutro do estator do gerador.
Figura 3.5: Sistema de potência de uma máquina contra um barramento infinito, ou
equivalente a um sistema de duas máquinas. (Exemplo 3.1.) Reatâncias são
dadas em pu sobre uma base comum.
Fonte: Adaptado de Kundur, 1994.
Os dados de barra do sistema seguem na Tabela 3.1.
Tabela 3.1: Dados de barra para o sistema do Exemplo 3.1
Barra Tipo V (pu) θ (rad) Pliq (pu)
1 PV 1,00 ? 1,0
2 PQ ? ? 0
B Referência 1,00 0 -1,0
Fonte: Autoria própria.
Solução parte 1: regime permanente e condição Pré-falta
47
Como o barramento “2” é um barramento de transferência, ou seja, toda
potência de entrada é igual a de saída (potência ativa e reativa), então, utilizou-se o
equivalente entre o barramento “1” e o barramento infinito “B” para o cálculo do ângulo
da tensão da barra “1”, como segue abaixo.
𝑃1𝑙𝑖𝑞 = 𝑃1𝐵 =𝐸1 ∗ 𝐸B
𝑋1𝐵∗ sen(θ1 −δB)
Sendo 𝛿𝐵 = 0, tem-se
1 =1 ∗ 1
0,3∗ sen(θ1 −0) ⟶ θ1 = sen−1(0,3) = 17,46°
Com o gerador representado por um modelo clássico, o circuito do sistema
equivalente é como mostrado na Figura 3.6.
Figura 3.6: Circuito equivalente da rede em regime permanente (sequência positiva).
(Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kundur, 1994.
Para a condição inicial de operação, a tensão atrás da reatância 𝑋𝑑′ é:
𝐸′ = �̃�1 + 𝑗(𝑋𝑑′ + 𝑋𝑡𝑟1) ∗ 𝐼1𝐵
Primeiramente, encontra-se o valor da corrente 𝐼1𝐵 entre a barra 1 e o
barramento infinito B:
𝐼1𝐵 =𝐸1 − 𝐸B
𝑗𝑋1𝐵=
1∠17,46° − 1∠0°
𝑗0,3= 1,01∠8,73°
Então, agora a tensão 𝐸′ pode ser calculada:
𝐸′ = 1∠17,46° + 𝑗(0,35 + 10) ∗ 1,01∠8,73° = 1,1599∠40,28°
Onde verifica-se que o ângulo delta da tensão interna gerada pelo gerador “1”
é 𝛿1 = 40,28°, que é o mesmo valor da diferença angular 𝛿1𝐵 (𝛿1 − 𝛿𝐵), entre a tensão
interna do gerador “1” e a tensão do barramento infinito “B”, já que este último foi
tomado como o barramento de referência, ou seja, 𝛿𝐵 = 0°.
48
A rede de duas máquinas, que é considerada por consistir apenas de
reatâncias, é reduzida como mostrado na Figura 3.7, para a condição de pré-falta.
Esta redução é realizada por combinações em série e paralelo.
Figura 3.7: Redução da rede de sequência positiva da
para a condição de pré-falta. (Exemplo
3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
Com isso, pode-se encontrar a equação de oscilação do sistema para a
condição de pré-falta, como segue abaixo:
Sendo
𝑃𝑒 = 𝑃𝑚á𝑥 sen δ =
1,1599 ∗ 1
0,75∗ sen δ = 1,5465 ∗ sen δ (3.5)
𝑀 =
2𝐻
𝜔0=
2 ∗ 𝐻
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓0=
2 ∗ 5
2 ∗ 𝜋 ∗ 60= 0,0265
e
𝑃𝑚 = 1 𝑝𝑢
então
𝑀 ∗ δ̈ = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑚á𝑥 sen δ
δ̈ =
𝑃𝑚 − 𝑃𝑚á𝑥 sen δ
𝑀
δ̈ =
1 − 1,5465 ∗ sen δ
0,0265 (3.6)
49
Solução parte 2: para condição do sistema em falta.
Agora, a Figura 3.8 mostra a representação da rede de sequência positiva
com uma falta no meio da linha de transmissão “2”.
Figura 3.8: Rede de sequência positiva com uma falta no meio da linha de transmissão “2”.
(Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kundur, 1994.
Já a Figura 3.9 mostra a redução da rede da Figura 3.8 para a condição em
falta, considerando um curto-circuito trifásico (𝐗𝒆𝒇 = 𝟎) no ponto de falta “F”. Esta
redução é realizada por duas conversões Y-Δ e combinações em série.
50
Figura 3.9: Redução da rede de sequência positiva da para a condição em falta com um curto-
circuito trifásico (𝐗𝒆𝒇 = 𝟎) no meio da linha de transmissão “2”. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
A redução da rede de sequência negativa é mostrada na Figura 3.10.
Figura 3.10: Redução da rede de sequência negativa. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
Já a redução da rede de sequência zero é mostrada na Figura 3.11.
51
Figura 3.11: Redução da rede de sequência zero. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
Estas duas últimas redes são reduzidas a uma única reatância nas partes b,
c, e d destas figuras. Os valores das reatâncias são 𝐗2 = 0,188 e 𝐗0
= 0,212 por
unidade (pu).
Então, as reatâncias efetivas de falta (𝐗𝑒𝑓 ) são:
Fase-terra: 𝐗0 + 𝐗2
= 0,40 𝑝𝑢
Fase-fase: 𝐗2 = 0,188 𝑝𝑢
Fase-fase-terra: 𝐗0
𝐗2
𝐗0 + 𝐗2
= 0,10 𝑝𝑢
A rede de sequência positiva, mostrada na Figura 3.9(c), já com a
representação da ligação da reatância efetiva de falta (𝐗𝑒𝑓 = 0, para o caso do curto-
circuito trifásico) entre o ponto de falta “F” e o barramento de potencial zero, agora é
representada com uma reatância efetiva de falta (𝐗𝑒𝑓 ) genérica, como mostrado na
Figura 3.12(a), onde seu valor irá depender do tipo de falta que ocorre no ponto “F”
de falta. Após uma conversão Y-Δ, ela é como mostrada na Figura 3.12(b). A reatância
do ramo conectando as duas forças eletromotrizes (f.e.m’s) dos geradores, ou seja,
entre a estação hidroelétrica e o barramento infinito, em função de 𝐗𝑒𝑓 é
𝑿𝑨𝑩 = 0,55 + 0,20 +
0,55 ∗ 0,20
0,05 + 𝐗𝑒𝑓 = 0,75 +
0,11
0,05 + 𝐗𝑒𝑓
52
Figura 3.12: Redução da rede de sequência positiva com uma
reatância efetiva de falta (𝐗𝒆𝒇 ) inserida entre o
ponto F e o terra, e equação da potência
transmitida. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
Substituindo os valores de 𝐗𝑒𝑓 dados acima, obtém-se os seguintes valores
de 𝐗𝐴𝐵 para os diferentes tipos de falta:
Tipo de falta 𝐗𝐴𝐵 (𝑝𝑢)
Fase-terra: 0,99
Fase-fase: 1,21
Fase-fase-terra: 1,48
Trifásico 2,95
Agora, com estes valores de 𝐗𝐴𝐵 , pode-se encontrar a equação de oscilação,
que representa o comportamento do gerador no período em falta, para cada tipo de
falta, como segue:
❖ Para o tipo de falta curto-circuito fase-terra, tem-se:
Sendo
53
𝑿𝐴𝐵 = 0,99
𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝐴𝐵sen δ =
1,1599 ∗ 1
0,99sen δ = 1,1716 sen δ (3.7)
então
δ̈ =
1 − 1,1716 ∗ sen δ
0,0265 (3.8)
❖ Para o tipo de falta curto-circuito fase-fase, tem-se:
Sendo
𝑿𝐴𝐵 = 1,21
𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝐴𝐵sen δ =
1,1599 ∗ 1
1,21sen δ = 0,9586 sen δ (3.9)
então
δ̈ =
1 − 0,9586 ∗ sen δ
0,0265 (3.10)
❖ Para o tipo de falta curto-circuito fase-fase-terra, tem-se:
Sendo
𝑿𝐴𝐵 = 1,48
𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝐴𝐵sen δ =
1,1599 ∗ 1
1,48sen δ = 0,7837 sen δ (3.11)
então
δ̈ =
1 − 0,7837 ∗ sen δ
0,0265 (3.12)
❖ Para o tipo de falta curto-circuito trifásico, tem-se:
Sendo
𝑿𝐴𝐵 = 2,95
𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝐴𝐵sen δ =
1,1599 ∗ 1
2,95sen δ = 0,3932 sen δ (3.13)
então
54
δ̈ =
1 − 0,3938 ∗ sen δ
0,0265 (3.14)
Solução parte 3: Para condição do sistema pós-falta.
A Figura 3.13 mostra a redução da rede para a condição de pós-falta.
Figura 3.13: Redução da rede de sequência
positiva para condição de pós-falta
(sem a linha de transmissão 2).
(Exemplo 3.1.)
Fonte: Adaptado de Kimbark, 1995.
Após a redução da rede, a equação de oscilação, que representa o
comportamento do gerador no período pós-falta, pode ser encontrada como segue:
Sendo
𝑿𝐴𝐵 = 0,95
𝑃𝑒 =
𝐸′𝐸𝐵
𝑋𝐴𝐵sen δ =
1,1599 ∗ 1
0,95sen δ = 1,2209 sen δ (3.15)
então
δ̈ =
1 − 1,2209 ∗ sen δ
0,0265 (3.16)
Para resolver numericamente uma equação diferencial ordinária (EDO) de
segunda ordem, como dado nas Equações (3.6), (3.8), (3.10), (3.12), (3.14) e (3.14),
55
estas podem ser escritas em termos de duas equações de primeira ordem, conforme
segue:
�̇� = ∆𝜔 (3.17)
�̇� =𝑃𝑚 − 𝑃𝑚á𝑥 sen δ
𝑀 (3.18)
Solução parte 4: Implementação do algoritmo para simulações no MATLAB.
Agora, o método de integração numérica de primeira ordem de Euler, que foi
descrito no ANEXO A.1, pode ser utilizado para resolver as Equações (3.17) e (3.18).
Considerando um passo de integração de h = 1𝑥10−4 e um tempo total de
simulação de 3 segundos, construiu-se um algoritmo parcial simples no MATLAB
(descrito no Apêndice A) para encontrar o tempo crítico para a abertura da proteção.
Foram feitos vários testes para encontrar o tempo máximo para a atuação da proteção,
antes de haver a perda da estabilidade por parte do sistema, ou seja, antes que o
gerador síncrono do Exemplo 3.1 perdesse o sincronismo com o restante do sistema.
Os resultados obtidos para o tempo crítico de abertura5 da proteção,
considerando os diferentes tipos de faltas equacionados acima, podem ser
visualizados na Tabela 3.2.
5 Para esta e para as demais simulações presentes neste trabalho, a perturbação é considerada
como ocorrendo no tempo t =0 s.
56
Tabela 3.2: Tempo crítico de abertura da proteção para diferentes tipos de faltas.
Tipo de curto-
circuito Valor aproximado para o tempo crítico de abertura 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡(s):
Trifásico 0,134
Fase-fase-terra 0,226
Fase-fase 0,346
Fase-terra Após simulação com 𝑡𝑎𝑏 de 2,999, verificou-se que o sistema
não perde o sincronismo.
Fonte: Autoria própria.
❖ Considerando o tipo de falta curto-circuito fase-fase-terra, tem-se os seguintes
resultados de trajetórias para δ e ω, através de simulações no MATLAB:
➢ Para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 0,226 s, tem-se o seguinte
comportamento dinâmico da máquina síncrona, como mostrado na Figura
3.14:
Figura 3.14: Comportamento dinâmico do gerador síncrono considerando uma falta do tipo
curto-circuito fase-fase-terra no meio da linha de transmissão “2” e um
𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟔 𝒔. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Autoria própria.
Através da Figura 3.14, verifica-se que o gerador não perde o sincronismo
para um tempo de abertura de 0,226 s.
57
➢ Agora, para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 0,227 s, tem-se o
seguinte comportamento dinâmico da máquina síncrona, como mostrado
na Figura 3.15:
Figura 3.15: Comportamento dinâmico do gerador síncrono considerando uma falta do tipo
curto-circuito fase-fase-terra no meio da linha de transmissão “2” e um
𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟕 𝒔. (Exemplo 3.1.)
Fonte: Autoria própria.
Agora, através da Figura 3.15, verifica-se que o gerador perde o sincronismo
para um tempo de abertura de 0,227 s. Portanto, a partir das Figura 3.14 e Figura 3.15,
verifica-se que o tempo crítico para abertura da proteção encontra-se entre 0,226 e
0,227 s.
A solução foi encontrada através do método de tentativa e erro. Entretanto, o
primeiro valor escolhido como tempo de abertura da proteção (𝑡𝑎𝑏) foi um valor típico
de atuação da proteção para sistemas de potência, neste caso utilizou-se o tempo de
150 ms (9 ciclos).
Como o barramento infinito é equivalente a uma máquina de capacidade
infinita de geração e absorção de potência, e com momento de inércia infinito, todo o
desequilíbrio de potência existente será absorvida pelo mesmo. Neste caso, a
máquina só permanecerá em sincronismo com o barramento infinito se a sua
velocidade de rotação for igual à velocidade deste último que, por sua vez, é igual à
velocidade síncrona; ou, ainda, se pelo menos permanecer oscilando em torno desta.
58
Assim, para este caso, a estabilidade e o sincronismo são a mesma coisa (BRETAS
e ALBERTO, 2000).
Na Figura 3.16 é mostrado as diversas curvas de relação entre o ângulo δ e
a potência elétrica transmitida (𝑃𝑒), para as diversas situações apresentadas no
Exemplo 3.1, variando-se o ângulo delta (δ) de 0 a 𝜋 radianos (ou 180°) nas Equações
(3.5), (3.7), (3.9), (3.11), (3.13) e (3.15), que foram calculadas para cada situação
estudada no Exemplo 3.1.
Figura 3.16: Curvas de relação ângulo-potência para as diversas situações apresentadas no
Exemplo 3.1.
Fonte: Autoria própria.
onde
Ppré-falta = Potência elétrica transmitida na condição pré-falta
Ppós-falta = Potência elétrica transmitida na condição pós-falta
59
Pfalta F-T = Potência elétrica transmitida na condição do
Sistema com uma falta do tipo curto-circuito fase-
terra no meio da linha de transmissão “2”
Pfalta F-F = Com um curto-circuito fase-fase
Pfalta F-F-T = Com um curto-circuito fase-fase-terra
Pfalta 3F = Com um curto-circuito trifásico
Pm = Potência mecânica de entrada
A partir da Tabela 3.2 e da Figura 3.16, verifica-se que:
❖ O pior tipo de falta para o sistema, ou seja, o tipo mais severo de falta, é o
curto-circuito trifásico, pois, para este caso, o tempo máximo para abertura da
proteção, para que a máquina síncrona não perca o sincronismo com o
sistema, (𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡) foi o de menor valor encontrado, conforme a Tabela 3.2;
❖ O tipo de falta menos severo para o sistema é o curto-circuito fase-terra, onde,
para este tipo de curto-circuito, não se encontrou um tempo crítico de abertura
da proteção (𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡), ou seja, o sistema não perde o sincronismo mesmo sob a
condição deste tipo de falta; pode-se verificar que, para este tipo de curto
circuito, o sistema ainda continua com boa capacidade de transmissão de
potência elétrica durante a falta, onde vê-se que sua curva de relação entre
ângulo e potência é similar à curva para a condição de pós-falta; fica visível,
também, que mesmo com este curto-circuito o sistema em falta apresenta
ponto de equilíbrio (um estável e outro instável), fazendo com que a máquina
síncrona não acelere constantemente e, com isso, que a mesma não perca o
sincronismo com o sistema para o qual está fornecendo potência elétrica.
60
4 DESENVOLVIMENTO DO ALGORITMO FINAL PARA ANÁLISE DE
ESTABILIDADE TRANSITÓRIA CONSIDERANDO FALTAS SIMÉTRICAS E
ASSIMÉTRICAS
Diferentemente do problema de estabilidade transitória de uma máquina
síncrona conectada a um barramento infinito, estudado detalhadamente no capítulo
anterior, em geral, nos sistemas reais, existem diversas máquinas de porte
aproximadamente semelhante conectadas atráves do sistema de transmissão. Apesar
do fenômeno físico ser basicamente o mesmo, a complexidade dos cálculos
numéricos e a dimensão do problema aumentam com o número de máquinas
consideradas no estudo (Bretas e Alberto, 2000).
As máquinas do sistema são interligadas pela rede de transmissão,
implicando que a potência elétrica Pe fornecida por uma máquina é uma função que
envolve as equações diferencias da máquina síncrona e as equações algébricas da
rede e das máquinas. Para facilitar a modelagem do sistema, e assim diminuir a
exigência de cálculos computacionais, as seguintes suposições simplificadoras
adicionais são frequentementes adotadas:
❖ Admite-se que a rede esteja em regime permanente senoidal, ou seja, as
constantes de tempo da rede de transmissão são desprezíveis quando
comparadas à frequência eletromecânica de oscilação;
❖ O modelo adotado para o gerador síncrono é o modelo “clássico”, conforme
mostrado na Figura 3.1;
❖ Todas as cargas são representadas por impedâncias constantes, calculadas
das condições de tensão pré-falta obtidas de um fluxo de carga. O modelo de
impedância constante permite a redução da rede aos barramentos (nós
internos) das unidades geradoras;
❖ A potência mecânica de entrada para cada máquina permanece constante e
igual ao seu valor pré-falta durante todo intervalo de tempo de interesse para
o estudo (1 a 2 segundos);
❖ Considerou-se a utilização de apenas dois tipos de ligações dos enrolamentos
dos transformadores: Delta – delta e Y aterrado – delta, conforme ilustrado na
Figura 2.3;
61
❖ Considerou-se a ocorrência da falta sempre no sistema de transmissão e em
linhas na proximidade de umas das barras do sistema.
4.1 FLUXOGRAMA DO ALGORITMO
Na Figura 4.1 abaixo é apresentado o fluxograma do algoritmo final para
análise de estabilidade do ângulo do rotor para um sistema multimáquinas.
Figura 4.1: Fluxograma do algoritmo final para análise de estabilidade transitória
Fonte: Autoria própria.
62
Figura 4.1: Fluxograma do algoritmo final para análise de estabilidade transitória (continuação)
Fonte: Autoria própria.
63
Figura 4.1: Fluxograma do algoritmo final para análise de estabilidade transitória (continuação)
Fonte: Autoria própria.
onde
tab = tempo para eliminação da falta;
tt = tempo total de simulação;
Δt = incremento do passo de simulação
Os detalhes da formação da matriz de admitâcia nodal da rede de transmissão
de sequência positiva e a redução da rede aos nós internos dos geradores podem ser
encontrados nos trabalhos de Bretas e Alberto (2000) e Garcia et al. (2013).
Para a formação das redes de sequência negativa e nula, e para a redução
das mesmas no ponto de falta (barra em falta) foi utilizado o procedimento
apresentado no Capítulo 2, entretanto utilizou-se de um modelo matricial das redes
em admitância (Y) ao invés de impedância como apresentado anteriormente. No
cálculo da admitância efetiva de falta (𝐘𝑒𝑓 ) utilizou-se como referência as Equações
2.31 a 2.34, porém adaptando-as para admitância; posteriormente, adicionou-se este
efeito à matriz completa de sequência postiva em derivação no ponto de falta. Após
64
isso, calculou-se a matriz de admitância reduzida aos nós internos dos geradores para
o sistema em falta.
No sistema pós-falta, o sistema é representado apenas pela rede de
sequência positiva, com a eliminação da linha em falta.
Na sequência, inicia-se a obtenção das trajetórias (soluções) de δ e ω para o
sistema em falta até o tempo de abertura dos disjuntores (tab) e, após isso, para o
sistema pós-falta até atingir-se o tempo total de simulação (tt). Com a obtenção das
trajetórias em falta e pós-falta, o programa expressa vizualmente os gráficos das
mesmas, para posterior análise do sincronismo. Para obtenção do tempo crítico de
abertura, utiliza-se uma estratégia de tentativa e erro aumentando-se ou diminuindo-
se o valor de tab, para chegar-se mais próximo ao tempo crítico, utilizando-se o valor
de um milisegundo como diferença para a perda ou não do sincronismo.
4.2 APLICAÇÃO DO ALGORITMO FINAL PARA UM SISTEMA DE TRÊS BARRAS
Após o desenvolvimento do algoritmo, conforme descrito no fluxograma da
Figura 4.1, agora o mesmo será aplicado para solução do problema de encontrar-se
o tempo crítico para eliminação de faltas simétricas e assimétricas, para um sistema
maior e mais complexo que aquele apresentado no Exemplo 3.1 do capítulo anterior.
Exemplo 4.1 (Adaptado de Bretas e Alberto, 2000)
O sistema escolhido para analisar a funcionalidade do algoritmo desenvolvido
é um sistema de três barras conectado em anel composto por três máquinas e três
transformadores adaptado de Bretas e Alberto (2000), apresentado na Figura 4.2
abaixo. Os dados apresentados são por unidade (pu) e estão referenciados para uma
potência base de 100MVA.
65
Figura 4.2: Representação da rede de sequência positiva do sistema de potência composto por
três máquinas e três barramentos.
Fonte: Adaptado de Bretas e Alberto, 2000.
Os dados de sequência positiva de linha, dos transformadores, os dados de
barra e os dados do fluxo de carga pré-falta estão apresentados na Figura 4.2. Nas
tabelas a seguir serão apresentados também os dados de sequência negativa e nula,
dados quais foram criados com base na literatura e no exemplo anterior estudado
(Exemplo 3.1), para adaptar o problema para fins de análise de faltas assimétricas.
A Tabela 4.1 mostra os dados de linha de sequência negativa.
Tabela 4.1: Dados de linha de sequência negativa para o Exemplo 4.1.
Origem Destino Resist. (pu) Reat. (pu) B_sh_tot (pu)
1 2 0,0 0,46 0,0
1 3 0,0 0,26 0,0
2 3 0,0 0,0806 0,0
Fonte: Autoria própria.
onde
Resist. = resistência série da linha em pu;
Reat. = reatância indutiva série da linha em pu;
B_sh_tot = susceptância capacitiva (shunt) total da linha em pu;
A Tabela 4.2 a seguir mostra os dados de linha de sequência nula.
66
Tabela 4.2: Dados de linha de sequência nula para o Exemplo 4.1.
Origem Destino Resist. (pu) Reat. (pu) B_sh_tot (pu)
1 2 0,0 0,74 0,0
1 3 0,0 0,42 0,0
2 3 0,0 0,13 0,0
Fonte: Autoria própria.
A Tabela 4.3 a seguir mostra os dados de sequência negativa e nula das
máquinas e dos transformadores, identificados pela barra onde estão conectados.
Tabela 4.3: Dados de sequências positiva, negativa e nula das máquinas e dos
transformadores para o Exemplo 4.1.
Barra X1d′ (pu) X2 (pu) X0 (pu) Xt (pu)
1 0,088 0,088 0,015 0,03
2 0,050 0,050 0,0085 0,03
3 0,015 0,015 0,0026 0,03
Fonte: Autoria própria.
onde
X1d′ = reatância transitória de eixo direto de sequência positiva
da máquina síncrona em pu;
X2 = reatância de sequência negativa da máquina síncrona
em pu;
X0 = reatância de sequência nula da máquina síncrona em pu;
Xt = reatância do transformador em pu (Xt2 = Xt).
Considerando um passo de integração de h = 1𝑥10−4 e um tempo total de
simulação de 3 segundos, foram simuladas faltas nas linhas de transmissão ligando
dois barramentos, admitindo-se que a falta ocorra na próximidade de uma das barras,
que, com isso, prioriza-se o pior caso, tal que se possa considerar que a falta tenha
ocorrido na própria barra. A obtenção dos tempos críticos deu-se através do método
de tentativa e erro; entretanto, o primeiro valor escolhido como tempo de abertura da
proteção (𝑡𝑎𝑏) foi um valor típico de atuação da proteção para sistemas de potência,
neste caso utilizou-se o tempo de 150 ms. Os resultados obtidos para o tempo crítico
67
de abertura da proteção, considerando diferentes tipos de faltas, podem ser
visualizados na Tabela 4.4 a seguir.
Tabela 4.4: Tempo crítico de abertura da proteção para diferentes tipos de faltas.
Fonte: Autoria própria.
❖ Considerando o tipo de falta curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-
2” próximo à barra “2”, tem-se os seguintes resultados de trajetórias para δ e
ω, através de simulações no MATLAB:
➢ Para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 0,267 s, tem-se o seguinte
comportamento dinâmico da máquina síncrona, como mostrado na Figura
3.14:
Trifásico Fase-fase-terra Fase-fase Fase-terra
1 0,174 0,306 0,359 *
2 0,199 0,267 0,49 *
1 0,082 0,16 0,196 *
3 0,202 * * *
2 ** ** ** **
3 ** ** ** **
* Não perde o sincronismo, mesmo para tab sendo igual ao tempo máximo de simulação
** Perde o sincronismo para qualquer tempo de abertura
2-3
Proximidade
da falta
(barramento)
Linha
em
falta
Valor aproximado para o tempo crítico de abertura tcrit(s), para os
diferentes tipos de falta abaixo:
1-2
1-3
68
Figura 4.3: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta do
tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-2” próximo à barra “2” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟕 𝒔. (Exemplo 4.1.)
Fonte: Autoria própria.
Através da Figura 4.3, verifica-se que os geradores não perdem o sincronismo
para um tempo de abertura de 0,267 s e, portanto, considera-se que este sistema é
transitóriamente estável.
➢ Agora, para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 0,268 s, tem-se o
seguinte comportamento dinâmico das máquinas síncronas, como
mostrado na Figura 4.4:
69
Figura 4.4: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta do
tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-2” próximo à barra “2” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟖 𝒔. (Exemplo 4.1.)
Fonte: Autoria própria.
Com isso, através da Figura 4.4, verifica-se que as máquinas perdem o
sincronismo, onde o gerador “2” acelera mais que as outras máquinas do sistema,
para um tempo de abertura de 0, 268 s, ou seja, o sistema é transitoriamente instável.
Portanto, a partir das Figura 4.3 e Figura 4.4, verifica-se que o tempo crítico para
abertura da proteção encontra-se entre 0,267 e 0,268 s.
A seguir apresentar-se-á um dos casos onde o sistema não perde o
sincronismo mesmo para um tempo de abertura da proteção (tab) igual ao tempo
máximo de simulação.
❖ Considerando o tipo de falta curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-
3” próximo à barra “3”, tem-se os seguintes resultados de trajetórias para δ e
ω, através de simulações no MATLAB:
70
➢ Para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 2,990 s, tem-se o seguinte
comportamento dinâmico da máquina síncrona, como mostrado na Figura
4.5:
Figura 4.5: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta do
tipo curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “1-3” próximo à barra “3” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟐, 𝟗𝟗𝟎 𝒔. (Exemplo 4.1.)
Fonte: Autoria própria.
Através da Figura 4.5, verifica-se que os geradores não perdem o sincronismo
mesmo para um tempo de abertura alto, para fins de análises transitórias, de 2,990 s
e, portanto, considera-se que este sistema é transitóriamente estável mesmo para tab
igual ao tempo máximo de simulação. Porém, deve-se ressaltar que a proteção deve
atuar no menor tempo possível, para evitar-se danos aos equipamentos que compõe
o sistema elétrico de potência em função das altas correntes de curto-circuito que
circularão pelo mesmo.
Agora estudar-se-á um dos casos onde o sistema perde o sincronismo para
qualquer tempo de abertura.
71
❖ Considerando o tipo de falta curto-circuito fase-fase-terra ocorrido na linha “2-
3” próximo à barra “2”, tem-se os seguintes resultados de trajetórias para δ e
ω, através de simulações no MATLAB:
➢ Para um tempo de abertura simulado de 𝑡𝑎𝑏 = 0,001 s, tem-se o seguinte
comportamento dinâmico da máquina síncrona, como mostrado na Figura
4.6:
Figura 4.6: Comportamento dinâmico das máquinas síncronas considerando uma falta do
tipo curto-circuito fase-terra ocorrido na linha “2-3” próximo à barra “2” e
um 𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒔. (Exemplo 4.1.)
Fonte: Autoria própria.
Através da Figura 4.6, verifica-se que os geradores perdem o sincronismo
mesmo para um tempo de abertura muito pequeno de 0,001 s e, portanto, considera-
se que este sistema é transitóriamente instável para qualquer tempo de abertura. Além
disso, a mesma situação é verificada para os outros tipos de faltas, conforme os
72
resultados apresentados na Tabela 4.4. Isso se deve pelo fato do sistema pós-falta
ser o mesmo para todas as faltas analisadas ocorrendo na linha de transmissão “2-3”.
Ao eliminar a linha de transmissão “2-3”, o defeito é isolado, entretanto o
sistema perde grande capacidade de transmissão de potência, já que a linha em
questão é a mais importante do sistema e o sistema pós-falta não possui ponto de
equilíbrio estável. Como consequência, haverá um desbalanço permanente de
potência no sistema pós-falta, ocasionando oscilação permanente entre os ângulos
dos rotores e a perda de sincronismo.
Para contorno deste problema sistêmico, pode-se sugerir as seguintes
medidas sobre o sistema em estudo:
❖ Duplicação da linha de transmissão “2-3”, para aumentar-se a confiabilidade
caso uma das duas sofra uma falta e, assim, o sistema encontrar um ponto
de equilíbrio também no pós-falta;
❖ Duplicação ou aumento de capacidade de transferência de potência das
linhas de transmissão “1-2” e “1-3”, para aumentar a estabilidade transitória e
capacidade de transmissão de potência caso a linha “2-3” sofra uma falta;
Nas figuras das análises anteriores, verifica-se que as máquinas aceleram
mesmo em condições de sincronismo entre as mesmas. Assim, diferentemente do
constatado na solução do Exemplo 3.1, aqui estabilidade e sincronismo não são a
mesma coisa. Pois, conforme citam Bretas e Alberto 2000, a análise de estabilidade
transitória em sistemas de potência é uma análise de sincronismo entre as máquinas
e não de estabilidade do sistema.
73
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como proposto para este trabalho, alcançou-se o objetivo geral de
desenvolver-se um algotitmo computacional para a análise de estabilidade transitória
em sistemas elétricos de potência considerando faltas assimétricas e simétricas. Além
disso, verificou-se através de simulações que o algoritmo desenvolvido atendeu de
forma satisfatória aos objetivos específicos propostos no Capítulo 1. Tudo isso a partir
de conhecimentos adquiridos durante o curso, pesquisa sobre o assunto e ao
aproveitamento de muitas das rotinas tradicionais utilizadas em programas de
estabilidade que consideram apenas faltas trifásicas, adaptando-as para
contemplarem as faltas assimétricas.
O ponto chave deste trabalho foi o uso de componentes simétricas para
representação da rede durante a falta, isto para que o algoritmo contemplasse a
análise tanto de faltas simétricas quanto assimétricas. Uma das dificuldades
encontradas foi justamente com a revisão bibliográfica sobre componentes simétricas
e de como aplicá-la ao estudo proposto, isso devido aos poucos trabalhos
encontrados sobre o tema. Com isso, procurou-se utilizar uma linguagem de fácil
compreensão durante a revisão sobre o assunto no Capítulo 2 deste trabalho,
podendo o mesmo servir de material de apoio para outros estudantes.
Por fim, após o desenvolvimento do algoritmo e simulações, os resultados
demonstraram que:
❖ Os diferentes tipos de faltas estudados seguem a seguinte ordem de
severidade para os sistemas elétricos estudados neste trabalho: curto-circuito
trifásico; curto-circuito fase-fase-terra; curto-circuito fase-fase; e curto-circuito
fase-terra;
❖ O ponto de ocorrência da falta e, consequentemente, a configuração do
sistema após a eliminação da mesma (sistema pós-falta) foi determinante
para haver ou não um ponto de equilíbrio estável para o sistema pós-falta e
assim ter-se tempo crítico de abertura.
74
5.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Após demonstrar-se como a ferramenta das componentes simétricas pode ser
utilizada para estudos de faltas assimétricas, pode-se sugerir que:
❖ Sejam analisados sistemas maiores e mais complexos, como os de 14 e 30
barras do IEEE e outros sistemas utilizados na literatura;
❖ Diminua-se as hipóteses simplificadoras utilizadas no decorrer deste trabalho,
com isso, aproximar-se-ia a análise aos sistemas reais encontrados na
prática;
❖ Sejam considerados os efeitos de amortecimento do sistema e dos
equipamentos de atuação rápida, como, por exemplo, os sistemas de
excitação (regulação de tensão) microprocessados existentes nos dias atuais,
dentre outros;
❖ Faça-se o estudo tomando uma máquina como referência ou um centro de
ângulo como referência, para com isso evitar-se o problema encontrado no
Exemplo 4.1 deste trabalho, onde as máquinas continuavam acelerando
juntas em sincronismo, mesmo para sistemas considerados transitoriamente
estáveis.
75
REFERÊNCIAS
BRETAS, N. G.; ALBERTO, L. F. C. “Estabilidade transitória em sistemas
eletroenergéticos” São Carlos - SP: EESC/USP, 2000.
EVANS, R.D.; BERGVALL, R. C., “Experimental Analysis of Stability and Power
Limitations” AIEE Trans., pp. 1924.
EVANS, R.D.; WAGNER, C.F., “Further Studies of Transmission System Stability”
AIEE Trans., pp. 51-80, 1926.
FORTESCUE, C. L., “Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution
of Polyphase Networks” AIEE Trans., vol. 37, pp. 1027-1140, 1918.
GARCIA, L. M.; LOPES, L. G.; DA SILVA, P. M. “Estudo de estabilidade transitória
em sistemas multimáquinas” 2013. 85 f. Trabalho de Conclusão de Curso
(Graduação) – Curso Superior de Engenharia Elétrica. Universidade Tecnológica
Federal do Paraná, Curitiba, 2013. Disponível em:
<http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/1922/1/CT_COELE_2013_1_05.
pdf>. Acesso em: Abril, 2016
GRAINGER, John J.; STEVENSON, William D., “Power System Analysis.”
Singapore: McGraw-Hill Book Co, 1994.
KIMBARK, Edward W., “POWER SYSTEM STABILITY: Volume 1: Elements of
Stability Calculations” New York: Wiley-IEEE Press, 1995.
KINDERMANN, Geraldo., “Curto-Circuito” Florianópolis: 5ª Edição do autor, 2010.
76
KUNDUR, P.; PASERBA, J.; AJJARAPU, V.; ANDERSON, G.; BOSE, A.;
CANIZARES, C.; HATZIARGYRIOU, N.; HILL, D.; STANKOVIC, A.; TAYLOR, C.; VAN
CUTSEM, T.; VITTAL, V. “Definition and Classification of Power System Stability”
IEEE Transactions on Power Systems, vol. 19, 2004.
KUNDUR, P. “Power System Stability and Control”. UNITED STATES OF
AMERICA: ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, 1994.
ROBBA, Ernesto João. “Introdução a sistemas elétricos de potência” São Paulo:
Editora Blücher, 1977.
STEINMENTZ, C. P., “Power Control and Stability of Electric Generating
Stations” AIEE Trans., Vol. XXXIX, Part II, pp. 1215, July-December, 1920.
WILKINS, R., “Practical Aspects of System Stability” AIEE Trans., pp. 41-50, 1926.
77
APÊNDICE A – Código do algoritmo parcial implementado no MATLAB para
resolução do exemplo 3.1
clc, clear all, close all
% Tipos de barra: % 0 --> PQ % 1 --> PV % 2 --> TetaV
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% Dados do barramento #1 e #B(infinito) %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Num Tipo V(pu) Ang(rad) Pliq(pu) DBAR = [ 1 1 1.0 0 1.0 ; %Barra #1 2 2 1.0 0 -1.0 ]; %Barramento infinito
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Dados dos geradores e sistema de transmissão %%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% X1g1 = 0.35; X1t1 = 0.10; X1t2 = 0.10; X1l1 = 0.40; X1l2 = 0.40; X2g1 = 0.24; X2t1 = 0.10; X2t2 = 0.10; X2l1 = 0.40; X2l2 = 0.40; X0g1 = 0.06; X0t1 = 0.10; X0t2 = 0.10; X0l1 = 0.65; X0l2 = 0.65;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Valores equivalentes de reatâncias %%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% X1eq_B1_B2 = 0.2; % Xeq entre a barra #1 e #2 X1eq_pre_falta = X1g1 + X1t1 + X1eq_B1_B2 + X1t2; X2eq_falta = 0.187; X0eq_falta = 0.212; X1eq_pos_falta = X1g1 + X1t1 + X1l1 + X1t2;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Escolha do tipo de curto-circuito e cálculo de Xab (reatância %%%%%%% %%% do ramo de conexão entre os dois geradores) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n = input('Qual tipo de falta (0 - 3F, 1 - F-F-T, 2 - F-F ou 3 - F-T)? ')
switch n case 0 Xf = 0; case 1 Xf = (X0eq_falta * X2eq_falta)/(X0eq_falta + X2eq_falta); case 2 Xf = X2eq_falta; case 3 Xf = X0eq_falta + X2eq_falta otherwise disp('Valor inválido') end
Xab = 0.75 + 0.11/(0.05+Xf)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo do ângulo da barra de transmissão #1 %%%%%%%%%
78
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DBAR(1,4) = asin((DBAR(1,5)*(X1eq_B1_B2+X1t2))/DBAR(1,3)*DBAR(2,3));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Criação dos fasores de tensão dos barramentos %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E1 = DBAR(1,3).*exp(i*DBAR(1,4)); EB = DBAR(2,3).*exp(i*DBAR(2,4));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo da corrente entre o barramento #1 e #2 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I1B = (E1-EB)/(i*(X1eq_B1_B2+X1t2));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo da tensão interna dos geradores #1 e #2 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Eg1 = (i*(X1g1+X1t1))*I1B + E1;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo da tensão interna eficaz do gerador #1 %%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Eg1_ef = abs(Eg1) EB_ef = abs(EB);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo do ângulo da tensão interna do gerador #1 em graus % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% deltaG1 = angle(Eg1); deltaG1_graus = rad2deg(angle(Eg1))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Cálculo da potência elétrica durante a falta e pós-falta %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Pe_falta = (Eg1_ef * EB_ef)/Xab Pe_pos_falta = (Eg1_ef * EB_ef)/X1eq_pos_falta
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Critérios de simulação % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% h = 10^(-4); %passo tab = input('Qual o tempo de abertura tab(s)? '); %tempo de abertura tt = 3; %tempo total de simulação t(1) = 0; %tempo inicial da simulação c = 1; %contador da simulação Omega_inicial = 0;
while t<=tt if t==0 d(c) = deltaG1; %situação inicial o(c) = Omega_inicial; %situação inicial elseif t < tab d(c) = d(c-1)+o(c-1)*h; %iteração durante a falta o(c) = o(c-1)+((1-Pe_falta*sin(d(c-1)))/0.0265)*h; else d(c) = d(c-1)+o(c-1)*h; %iteração no pós-falta o(c) = o(c-1)+((1-Pe_pos_falta*sin(d(c-1)))/0.0265)*h; end t(c) = c*h; %matriz tempo c = c+1; %incrementa o contador da simulação
79
end
plot(t,d) xlim([0 tt]) xlabel('tempo (s)') ylabel('Desvio do ângulo delta (rad)') figure plot(t,o) xlim([0 tt]) xlabel('tempo (s)') ylabel('Desvio da velocidade (rad/s)') figure plot(d,o) xlabel('Desvio do ângulo delta (rad)') ylabel('Desvio da velocidade (rad/s)')
%% clc, clear all, close all
t = 0:0.0001:pi; Ppre = 1.5465*sin(t); plot(t,Ppre,'b') hold on Ppos = 1.2209*sin(t); plot(t,Ppos,'g') Pft = 1.1716*sin(t); plot(t,Pft,'c') Pff = 0.9586*sin(t); plot(t,Pff,'y') Pfft = 0.7837*sin(t); plot(t,Pfft,'m') P3f = 0.3932*sin(t); plot(t,P3f,'r') pm = ones(1,length(t)); plot(t,pm,'k--') xlim([0 pi]) xlabel('Ângulo \delta (rad)') ylabel('Potência (pu)') title('Relação de Ângulo-Potência para as Diversas Situações do Exemplo
3.1') legend('Ppré-falta','Ppós-falta','Pfalta F-T','Pfalta F-F','Pfalta F-F-
T','Pfalta 3F','Pm')
80
ANEXO A – Método de integração numérica
Conforme Kundur (1994), as equações diferenciais para serem resolvidas em
análises de estabilidade em sistemas de potência são equações com valores iniciais
conhecidos:
𝑑𝐱
𝑑𝑡= 𝑓(𝐱, 𝑡) (A.1a)
onde x é o vetor de estado de n variáveis dependentes e t é a variável independente
(tempo). Onde o objetivo é resolver x como uma função de t, com valores iniciais de
x e t iguais à 𝐱𝟎e 𝑡0, respectivamente.
A.1 MÉTODO DE EULER
Considere-se a equação diferencial de primeira ordem
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡) (A.1b)
com 𝑥 = 𝑥0 em 𝑡 = 𝑡0. A Figura A.1 ilustra o princípio de aplicação do método de Euler.
Figura A.1: Representação do método de Euler
Fonte: Kundur, 1994.
Em 𝑥 = 𝑥0, 𝑡 = 𝑡0 pode-se aproximar a curva representando a solução real
por sua tangente tendo uma inclinação
Portanto,
81
O valor de 𝑥 em 𝑡 = 𝑡1 = 𝑡0 + ∆𝑡 é dado por
(A.2)
O método de Euler é equivalente ao uso dos dois primeiros termos da expansão em
séries de Taylor por 𝑥 em volta do ponto (𝑥0, 𝑡0):
(A.3)
Após usar a técnica de Euler para determinação de 𝑥 = 𝑥1 correspondendo à 𝑡 = 𝑡1,
pode-se pegar outra pequena variação de tempo ∆𝑡 e determinar 𝑥2 correspondendo
à 𝑡2 = 𝑡1 + ∆𝑡 como segue:
(A.4)
Pela aplicação sucessiva da técnica, valores de 𝑥 podem ser determinados
correspondendo à diferentes valores de 𝑡.
O método considera apenas a primeira derivada de 𝑥 e é, portanto, referido a
um método de primeira ordem. Para dar-se precisão suficiente para cada passo, ∆𝑡
deve ser pequeno. Isso vai aumentar erros de arredondamento, e o esforço
computacional necessário vai ser muito alto.
REFERÊNCIAS
KUNDUR, P. “Power System Stability and Control”. UNITED STATES OF
AMERICA: ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, 1994.