1/31/2012
1
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
MATRIKS
(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
Macam Matriks
� Matriks Nol (0)
Matriks yang semua entrinya nol.
Ex:
� Matriks Identitas (I)
Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.
Ex:
1/31/2012
2
Matriks Diagonal
� Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol.
Secara umum:
Ex:
Matriks Segitiga
� Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.
� Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
1/31/2012
3
Matriks Simetris
� Matriks persegi A disebut simetris jika
A = At
� Ex:
Transpose Matriks (1)
� Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.
Ex:
1/31/2012
4
Transpose Matriks (2)
� Sifat:
1. (At)t = A
2. (A±B)t = At ± Bt
3. (AB)t = BtAt
4. (kA)t = kAt
Invers Matriks (1)
� Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.
� Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
1/31/2012
5
Invers Matriks (2)
� Ex:
adalah invers dari
karena
dan
Invers Matriks (3)
� Cara mencari invers khusus matriks 2x2:
Jika diketahui matriks
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc≠0,
dimana inversnya bisa dicari dengan rumus
1/31/2012
6
Invers Matriks (4)
� Ex:
Carilah invers dari
Penyelesaian:
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
Invers Matriks (5)
� Sifat:
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:
1. AB dapat dibalik
2. (AB)-1 = B-1 A-1
1/31/2012
7
Pangkat Matriks (1)
� Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:
A0 = I, An = A A … A (n≥0)
n faktor
� Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai
A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Pangkat Matriks (2)
� Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka:
1. Ar As = Ar+s
2. (Ar)s = Ars
� Sifat:
1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A
2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…
3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan
1/31/2012
8
Invers Matriks Diagonal
� Jika diketahui matriks diagonal
maka inversnya adalah
Pangkat Matriks Diagonal
� Jika diketahui matriks diagonal
maka pangkatnya adalah
1/31/2012
9
Invers Matriks dengan OBE (1)
� Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)
� A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 In
dengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Invers Matriks dengan OBE (2)
� Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.
� Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].
� Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].
1/31/2012
10
Invers Matriks dengan OBE (3)
� Ex:
Cari invers untuk
Penyelesaian:
Invers Matriks dengan OBE (4)
� Penyelesaian Cont.
1/31/2012
11
Invers Matriks dengan OBE (6)
� Penyelesaian Cont. (2)
Jadi
(Adakah cara lain???)
Determinan Matriks 2x2 (1)
� Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
� Jika diketahui matriks berukuran 2x2,
maka determinan matriks A
adalah: det (A) = |A| = ad-bc
1/31/2012
12
Determinan Matriks 2x2 (2)
� Ex:
Jika diketahui matriks
maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2
(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)
Determinan Matriks 3x3 (1)
� Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.
1/31/2012
13
Determinan Matriks 3x3 (2)
� Ex:
Determinan Matriks nxn (1)
� Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.
1/31/2012
14
Determinan Matriks nxn (2)
� Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij = ± Mij.
� Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)
i+j Mij.
Determinan Matriks nxn (3)
� Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
1/31/2012
15
Determinan Matriks nxn (4)
� Ex:
Adjoint Matriks (1)
� Jika diketahui matriks 3x3
� Kofaktor dari matriks tersebut adalah:
c11=9 c12=8 c13=-2
c21=-3 c22=-1 c23=4
c31=-6 c32=-12 c33=3
� Matriks kofaktor yang terbentuk
1/31/2012
16
Adjoint Matriks (2)
� Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:
Invers Matriks nxn (1)
� Rumus:
dengan det(A)≠0
� Ex: Cari invers dari
1/31/2012
17
Invers Matriks nxn (2)
Penyelesaian:
� det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)-1(0)(-1)
=3-7-0-4+24+0 =16
� Adjoint A =
� Maka A-1 =
Metode Cramer (1)
� Digunakan untuk mencari penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.
� Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.
1/31/2012
18
Metode Cramer (2)
� Diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel
a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2 …………………
an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn
dibentuk matriks
Metode Cramer (3)
� Syaratnya |A|≠0
� Penyelesaian untuk variabel-variabelnya adalah:
dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.
1/31/2012
19
Metode Cramer (4)
� Ex:
Carilah penyelesaian dari:
2x+3y-z = 5
x+2z = -4
-x+4y-z = 6
Soal
� Buktikan
� Buktikan
1/31/2012
20
Tugas
� Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ !
� Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen-elemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan.
� Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.
� Dikumpulkan di [email protected] paling lambat saat TTS !
Kuis
� Cari a,b,c agar simetris
� Cari invers dari
� Cari matriks diagonal A supaya
� Cari nilai x supaya