Ângulos, Triângulos
e Quadriláteros.
Prof° Carlos
RECORDANDO...
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas
por uma transversal
2 1
3 4
6 5
7 8
Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6,
3 e 7, 4 e 8.
Alternos internos: 3 e 5, 4 e 6.
Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8.
Colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5.
Colaterais externos:1 e 8, 2 e 7.
A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquertriângulo é igual a 180º.
180ºa b c
A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquertriângulo é igual a 360º.
360ºa b c
a
b
c
Recorda…
Triângulo : 3 lados
Quadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono : 9 lados
Decágono: 10 lados
Undecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados
Pentadecágono:15 lados
Icoságono: 20 lados
05- Polígono regular - É equilátero e
por sua vez equiângulo.
06- Polígono irregular - Seus lados
têm comprimentos diferentes.
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Polígonos
Soma das medidas dos ângulos internos:
180º 2iS n
Soma das medidas dos ângulos externos:
360ºeS
Ângulos internos de um polígono regular:
180º 2 ou i
i i
nSa a
n n
Ângulos externos de um polígono regular:
360º ou e
e e
Sa a
n n
Número de diagonais de um polígono:
3
2
n nd
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Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o caso: LALDois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente
3o caso: ALADois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente
4o caso: LAAoUm lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente
2o caso: LLLTrês lados congruentes
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Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes.
1o caso: AASe dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.
3o caso: LALDois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados
proporcionais.
2o caso: LLLDois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
Casos de semelhança:
Assim teremos:
AB BC AC
constanteDE EF DF
Num triângulo: A lados iguais opõem-se ângulos
iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
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MEDIANA, BISSETRIZ E ALTURA DE
UM TRIÂNGULO
Ceviana Definição Ponto notável Figura
Mediana
É o segmento que tem como
extremidade um vértice do
triângulo e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice.
Baricentro (G): é o ponto de
encontro das medianas do
triângulo; é o centro de
gravidade do triângulo.
Bissetriz
É o segmento que tem uma
extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo ao meio
e tem a outra extremidade no
lado oposto a esse vértice.
Incentro (I): é o encontro das
bissetrizes internas do
triângulo; é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo, pois equidista dos
três lados.
Altura
É o segmento com uma
extremidade em um vértice e a
outra extremidade no lado oposto
ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (H): é o ponto de
encontro das retas que contêm
as alturas, podendo pertencer
ao exterior do triângulo.
Mediatriz
Reta que passa pelo ponto médio
de um lado do triângulo e é
perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto
de encontro das mediatrizes
dos lados do triângulo; é o
centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, pois
equidista dos três vértices.
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Quadriláteros
Quanto aos
ângulos
Quanto às
diagonais
Quanto aos
lados
Paralelogramo
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
Encontram-se no
seu ponto médio.
Lados opostos
congruentes.
Retângulo
Quatro ângulos
retos.
São congruentes. Lados opostos
congruentes.
Losango
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
São perpendiculares
entre si e estão
contidas nas
bissetrizes dos
ângulos internos do
losango.
Quatro lados
congruentes.
Quadrado
Quatro ângulos
retos.
Encontram-se no
seu ponto médio e
são congruentes.
Quatro lados
congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes (iguais).
Num paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio.
Num paralelogramo, os ângulos opostos são iguais.
Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos são suplementares.
180ºa b
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Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retânguloÉ todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.
Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.