Annibal ad PortasResistiendo la ofensiva mecanicista
Enrique Alonso U.A.M.
Mentalismo
y
Mecanicismo
Presentación
Una pregunta muy simple
Una pregunta muy simple
¿Hay actos objetivos de la mente que no puedan ser reproducidos por
ingenio mecánico alguno?
Mentalismo
La respuesta es afirmativa
Mecanicismo
La respuesta es negativa
Tensiones en el equilibrio
Episodios recientes
Desde el frente mecanicista:
- Formulación de los principios fundamentales de la
Teoría de la Computación
* Máquina Universal de Turing
Desde el frente mentalista:
- Aparición de los principales resultados de limitación
* Teoremas de Incompletitud de Gödel
* Problema de Parada
Teoremas de Incompletitud de Gödel:
Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente,
entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega-
ción, son demostrables en PA.
Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado
formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.
Problema de Parada:
Turing-Church (1936-7): No hay una función computable H(x,y)
capaz de determinar si la x-ésima función computable fx finaliza o
no su rutina cuando computa el input y.
Dos interpretaciones
Interpretación neutral: Nos vemos enfrentados a la existencia de
problemas legítimos que no podemos resolver con los medios adecuados
Interpretación mentalista: Las capacidades de la mente superan las de
cualquier formalismo al establecer la existencia de limitaciones en
aquello que tales formalismos son capaces de hacer
Primer Frente
El argumento de Lucas-Penrose
Obras de Referencia
- Lucas, J.R.: “Minds, Machines and Gödel”, Philosophy,
xxxvi, 1961, pp.112.127
The Freedom of the Will, Oxford University
Press, 1970
- Penrose, R.: The Empiror’s New Mind, Oxford University
Press, 1989
El argumento original de Lucas
¿De qué manera se pueden determinar
las fórmulas
que componen una teoría T?
A es una verdad de T A es teorema de T
1. No se dispone de una prueba que garantice que toda verdad
de T es un teorema de T
2. Se dispone de una demostración que establece que la supo-
ción de que toda verdad de T es un teorema de T conduce
a contradicción.
3. Disponemos de una demostración que establece la existencia
de una fórmula A que es una verdad de T pero que no es un
teorema de T
Reinterpretación del Punto Fijo G de Gödel
1. La verdad de G se establece mediante un argumento racional
en el que se determina igualmente que G no es un teorema de
T (PA, en este caso)
2. G puede añadirse a T (PA), pero el argumento se reproduce para
un enunciado G’.
3. No hay una teoría T’ con mayor potencia que T (PA) en la que
la situación se resuelva
Análisis del enunciado G
Premisa principal: PA G¬Bew(G)
Hipótesis: ¿ PA G? o ¿PA ¬G?
G no es demostrable en PA
1. PA G ¬Bew(G)
2. PA G Hyp
3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2
4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)
5. , por 3 y 4
6. No ocurre que PA G, reductio 2-5
¬G no es demostrable en PA
1. PA G ¬Bew(G)
2. PA ¬G Hyp
3. PA Bew(G), por 1 y 2
4. PA y Prov(y,G), por 3
5. PA G, por -consistencia
-Consistencia:
Una teoría T es -consistente syss no se da el caso de
que todas las fórmulas en
{x , (x/a1), (x/a2),... (x/ai),...}
sean teoremas de T.
¬G no es demostrable en PA
1. PA G ¬Bew(G)
2. PA ¬G Hyp
3. PA Bew(G), por 1 y 2
4. PA y Prov(y,G), por 3
5. PA G, por -consistencia
6. , por 2 y 5
7. No ocurre que PA ¬G, reductio 2-6
Argumento de Lucas (argumento mirabilis):
1. La demostración anterior establece que ni G, ni su negación ¬G
son demostrables en PA
2. No hemos cambiado de teoría de modelos, por tanto, una de las
dos ha de ser verdadera
3. Advertimos, por simple inspección, que G es la verdadera
4. Sin embargo, 3 no se puede representar en PA
Por tanto,
5. Diponemos de medios objetivos que permiten aceptar
enunciados que no pueden ser generados en el interior
de ningún sistema de reglas
Rectificación del argumento de Lucas
Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente,
entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega-
ción, son demostrables en PA.
1. PA G ¬Bew(G)
2. PA G Hyp
3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2
4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)
5. , por 3 y 4
6. No ocurre que PA G, reductio 2-5
1. PA G ¬Bew(G)
2. PA G Hyp
3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2
4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)
5. , por 3 y 4
6. No ocurre que PA G, reductio 2-5
1’. PA es Consistente, Hyp
7. PA es Consistente No ocurre que PA G, introd. del
condicional
El enunciado cuya verdad advertimos no es
G
Sino,
PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable
Pero,
PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable
Es demostrable en PA:
PA Con(PA)¬Bew(G)
De hecho, constituye la prueba de...
Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado
formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.
El gambito de Penrose
1. Con(PA) (G es verdadera & G no es demostrable), 1er Teorema
de Gödel
Sin embargo,
2. Con(PA) es autoevidente
Por tanto,
3. G es verdadera & G no es demostrable
Y en particular,
4. G es verdadera
- “Con(PA) es evidente” no se establece de manera constructiva,
es una mera conjetura.
Sin embargo,
- no se afirma que “`G es verdadero’ es evidente”
Sino
- G es verdadero
Segundo Frente
El Nuevo Argumento de Penrose
Dramatis personae
1. A:
- Es la clase formada por todas las funciones numéricas
computables
- Es la clase formada por todas las tareas que pueden ser
ejecutadas de manera efectiva
2. H(x,y): Se define del siguiente modo:
H(x,y) =1 si fx(y) está definida
=0 en otro caso
3. g(x)=H(x,x)
4. g*(x): Se define del siguiente modo:
g*(x) =1 si g(x)=0
indefinida en otro caso
Problema de Parada (Pp):
Exposición informal:
¿Existe un método efectivo capaz de determinar para cual-
quier tarea efectiva y cualquier input que ésta pueda procesar
en qué casos finaliza arrojando un output?
Traducción formal:
¿H(x,y)A?
H(x,y)A (demostración):
1. H(x,y)A
2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A
5. g*(x)=fi(x)
4. g*(x) A
6. g*(i)=1
7. fi(i)=1
8. fi(i) está definida
9. g(i)=1
10. g*(i) no está definida
11. ¬(g*(i)=1)
1. H(x,y)A
2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A
5. g*(x)=fi(x)
4. g*(x) A
6. g*(i)=1
7. fi(i)=1
8. fi(i) está definida9.
g(i)=110. g*(i) no está definida11. ¬(g*(i)=1)12. g*(i) no está definida
13. fi(i) no está definida14. g(i)=0
15. g*(i)=1
16. No ocurre que H(x,y)A
Un fragmento notable1. H(x,y)A
2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A
5. g*(x)=fi(x)
4. g*(x) A
6. g*(i)=1
7. fi(i)=1
8. fi(i) está definida9.
g(i)=110. g*(i) no está definida
11. ¬(g*(i)=1)
......................
1. H(x,y)A
2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A
5. g*(x)=fi(x)
4. g*(x) A
8. fi(i) está definida9.
g(i)=1
......................
6. fi(i)=1
7. g*(i)=1
10. g*(i) no está definida
11. ¬(fi(i)=1)
1. H(x,y)A
2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A
5. g*(x)=fi(x)4. g*(x) A
8. fi(i) está definida9.
g(i)=1
6. fi(i)=17. g*(i)=1
10. g*(i) no está definida
11. ¬(fi(i)=1)12. fi(i) no está definido
13. g(i)=0
14. g*(i)=115. fi(i)=1
Hipótesis¿Puede emplearse el esquema formal desarrollado en el Pp
como base para una demostración consistente que establezca
(i)fi(i)?
Condiciones abstractas del problema1. (x) corresponde a un cierto algoritmo cuyo contenido
no tenemos por qué establecer aún.
2. fi(x) representa a (x) en A.
Objetivo
Se trata de
1. Construir una demostración consistente de
que fi(i) no está definida
Que sirva a un tiempo para establecer
2. Que (i)=1
Consiguiendo llegar de ese modo a concluir que
3. (x)A
Parte I: fi(i) no está definida
1. (x) es representable en A
2. Existe un i tal que (x)=fi(x)
3. fi(i)=1
4. (i)=1 5. fi(i) no está definido
6. ¬(fi(i)=1)
7. fi(i) no está definida
Condiciones críticas sobre la demostración
1. fi(x)=k (x)=k
- alude a la relación de representabilidad
2. (x)=1 fi(x) no está definida
- determina parte del contenido de (x)
Parte II: (i)=1 puede ser establecido
consistentemente1. (x) es representable en
A
2. Existe un i tal que (x)=fi(x)
3. fi(i)=1
4. (i)=1 5. fi(i) no está definido
6. ¬(fi(i)=1)
7. fi(i) no está definida
8. (i)=1
9. Existe un i tal que fi(i)(i)
10. (x) no representable en A
Condiciones críticas sobre la demostración
1. Entre 1 y 7 tiene que haber información que permita introducir
(i)=i en 8
- Determina parte del contenido de (x)
2. No hay nada que permita pasar de (x)=1 a fi(x)=1
- Alude a la relación de representabilidad
Definición del Algoritmo de Penrose
J(x,y) es un algoritmo que encapsula todos los procedimientos
correctos que pueden servir para establecer que la función com-
putable fx(y) no está definida cuando computa el argumento y
(x)=J(x,x)
Conducta de (x)
1. Si (x)=1, entonces se puede afirmar que fx(x) no está definida
2. La demostración establecida entre 1 y 7 constituye
uno de los recursos que (x) -J(x,x)- reconoce
Definiendo la representabilidad
1. fi(x)=k (x)=k
2. En general, no es posible suponer que para cualquier entero k
si (x) está definido, fi(x) también lo esté
Nuevo Argumento de Penrose (NAP)
1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida
2. (x) es representable en A
3. fi(x) representa a (x) en A
4. fi(i)=1
5. (i)=1
6. fi(i) no está definida
7. ¬(fi(i)=1)
1. Si (x)=1, entonces fx(x) está indefinida
2. (x) es representable en A
3. fi(x) representa a (x) en A
4. fi(i)=1
5. (i)=1
6. fi(i) no está definida
7. ¬(fi(i)=1)
8. fi(i) no está definida
9. (i)=1
10. fi(i) (i)
11. (x) no es representable en A
Análisis de la situación
1. J(x,y) posee una definición independiente y es un algoritmo
2. Existe una circunstacia en la que
a) La función fi(x) que representa (x) prosigue sus cál-
culos sin término aparente,
mientras que
b) (x) concluye estableciendo que (i)=1 al tener acce-
so al hecho cierto descrito en a)
Por tanto,
3. J(x,y) no es representable en A (computable)
Núcleo del argumento
1. J(x,y) posee una definición suficientemente precisa como
para hacer de él un algoritmo,
al tiempo que
2. Es sufientemente plástica como para acceder a demostracio-
nes a las que fi(x) no tiene acceso
Restaurando el equilibrio
Rectificación del NAP
¿Cuántos son todos?
Opción I: “Todos” posee una interpretación rígida. Hace
referencia a cualesquiera pruebas existentes.
Opción II: “Todos” posee una interpretación vaga. La entidad
que cae bajo su alcance admite ciertas dosis de cambio e inde-
terminación.
Opción I: (un cierto dilema)
1. El programa al que responde la función fi(x) también
tiene acceso a cualesquiera procedimientos de prueba
con lo que la función adoptará en el caso relevante los
mismos valores que el algoritmo al que representa.
2. El programa al que responde la función sólo accede a
los métodos conocidos en un cierto momento. Pero en-
tonces fi(x) apenas guarda relación con (x).
Opción II:
1. Una interpretación vaga del cuantor que interviene en la
definición del algoritmo J(x,y) no supone que este carezca
por completo de criterios de identidad.
2. Y tampoco implica que J(x,y) y sus derivados -(x)- no puedan
estar dados de una vez por todas.
Pero en tal caso,
3. Debemos aceptar la existencia de demostraciones que no
caen bajo el alcance del cuantor universal, es decir, que
no están disponibles para J(x,y).
Por ejemplo,
Aquellas que dependen para su construcción del supuesto
de que (x) está dado de una vez por todas.
Sucede entonces que
4. La justificación que lleva a introducir (i)=1 en el NAP es,
precisamente, de ese tipo.
Por tanto,
5. Las condiciones (criterios) de identidad de J(x,y) han sido
violadas.
1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida
2. (x) es representable en A
3. fi(x) representa a (x) en A
4. fi(i)=15. (i)=1
6. fi(i) no está definida
7. ¬(fi(i)=1)
8. fi(i) no está definida
9. (i)=1 10. fi(i)
(i)
Reconstrucción de la prueba del NAP
11. (x) no es representable en A
1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida
2. (x) es representable en A
3. fi(x) representa a (x) en A4.
fi(i)=15. (i)=1
6. fi(i) no está definida
7. ¬(fi(i)=1)
8. fi(i) no está definida
9. *(i)=1
.....................................
¿De qué hablamos realmente?
1. De la capacidad que una entidad bien definida tiene
para experimentar cambios sin violar sus criterios de
identidad.
2. De la capacidad que ciertas entidades tienen para re-
ferirse a sí mismas en el curso de sus operaciones.