APLICACIONES DEL ENSAYO TRIAXIAL
1. TRAYECTORIA DE TENSIONES 2. MODELO HIPERBÓLICO
Artemio Cuenca Payá Departamento de Ingeniería de la Construcción Grupo de Ingeniería del Terreno UNIVERSIDAD DE ALICANTE
__________________________________________________________
La experiencia cotidiana ha demostrado que muchos
profesionales de la Geotecnia suelen huir de los ensayos
triaxiales, ya que lo consideran como un gasto superfluo si
con un corte, más barato, van a obtener el mismo resultado.
Este es porque, en el triaxial, se limitan a tirar unas
tangentes a los círculos de Mohr, y llegar simplemente a
una cohesión y un ángulo de rozamiento interno. Eso es un
desperdicio de información, por lo que en las siguientes
líneas intentaré exponer algunas de las posibilidades de
ese ensayo, haciendo hincapié en sus aplicaciones
prácticas, con la intención de que los alumnos adquieran
una base complementaria a la que reciben en clase.
___________________________________________________________
TEMA 1º
TRAYECTORIA DE TENSIONES
En un ensayo de compresión triaxial, las fuerzas externas
que actúan sobre la probeta pueden definirse según dos
componentes:
a.- La presión isotrópica, definida como la media de las
tres tensiones principales en efectivas, es decir
1 2
33´ ´ ´
pσ +σ +σ
=
Dado que σ´2 = σ´3 tendremos
1 323
´ ´p
σ + σ=
b.- El desviador, que es simplemente
q = σ 1 σ 3
A partir de los datos de laboratorio es sencillo llegar a
estos parámetros planteando una tabla como la siguiente:
Def σ1 u Δu σ'1 σ'3 p' q A 0 900 600 0 300 300 300 0 1 989 740 140 249 160 190 89 1.57 2 1008 760 160 248 140 176 108 1.48 3 1021 772 172 249 128 168 121 1.42 4 1034 777 177 257 123 168 134 1.32 5 1043 780 180 263 120 168 143 1.26 6 1051 780 180 271 120 170 151 1.19 7 1058 780 180 278 120 173 158 1.14 8 1063 778 178 285 122 176 163 1.09 9 1068 778 178 290 122 178 168 1.06
10 1072 778 178 294 122 179 172 1.03
La primera columna es la deformación. En la siguiente están
los valores de la suma de presión en cola (600 kPa),
presión de consolidación (300 kPa), y desviador, con el
formato en que suelen presentarla muchos laboratorios.
A continuación, en la tercera, están las de lecturas de
presión intersticial, partiendo de la presión en cola.
Restándole el valor constante de esta última, se llega a la
de Δu.
La quinta columna se obtiene restando, fila a fila, la
tercera de la segunda, y la sexta restándole al valor
constante de 900 kPa los diferentes valores de u, ya que
estos 900 kPa se mantienen invariables durante todo el
ensayo.
Las dos siguientes se calculan mediante las fórmulas para
p’ y q indicadas al principio, mientras que la última, el
parámetro A de Skempton, no es más que el cociente entre
sobrepresión intersticial (Δu) y desviador (q).
Como todo esto queda algo esotérico, vamos a representarlo
gráficamente en la figura 1.
0 50 100 150 200 250 300 350 400p' (kPa)
0
50
100
150
200
q (k
Pa)
1
M = 0.85
Δu
EfectivasTotales
1
3LEC
Figura 1
Este ya es el plano de tensiones, en el que nos aparecen
los puntos (p’,q) que hemos obtenido para cada deformación
de la probeta de 300 kPa, unidos mediante una curva que va
hacia arriba y a la izquierda, hasta que a partir de un
valor de p’ próximo a 165 kPa, cambia a una trayectoria
vertical, y comienza a desplazarse hacia la derecha. Es el
momento en que entra en fluencia, al alcanzar la Línea de
Estado Crítico (LEC), a la que podemos considerar como la
envolvente por encima de la cual no hay estados posibles.
Puesto que estamos en efectivas, es obvio que esta línea
pasa por el origen.
La pendiente de la LEC (CSL en la literatura internacional)
se representa convencionalmente como Μ, letra griega Mu
mayúscula, aunque ya nadie se preocupa de ese detalle, y se
escribe como latina normal.
M está relacionada con el ángulo de rozamiento interno en
efectivas por la siguiente expresión:
36
´ Msin
Mϕ =
+
Dado que, en este caso, M vale 0,85, encontramos un ángulo
de 21.9º.
La LEC se dibuja a ojo, desde el origen hasta seguir el
trazado de los puntos de fluencia, o uniendo los puntos de
máxima presión intersticial. En este caso no aparece muy
bien definida esa fluencia, por lo que se ha seguido el
segundo criterio. Para ello se ha incluido en el gráfico,
en línea discontinua, la trayectoria que seguiría un ensayo
drenado o en totales, y que siempre llevará una pendiente
de valor 3. Esta constancia se deduce a partir de las
fórmulas definitorias de p’ y q, y teniendo en cuenta que
σ3 permanece constante.
Es evidente que la separación entre la recta de totales y
la curva de efectivas, medida en la escala de p’,
proporciona la variación de presión intersticial. Y si
dividimos estos intervalos por sus correspondientes
ordenadas en q, obtenemos los valores del parámetro A de
Skempton.
Como ejemplo de un caso en el que se sigue el criterio de
fluencia, tenemos el siguiente (figura 2):
0 100 200 300 400p´ (kPa)
0
50
100
150
200
q (k
Pa)
Figura 2
Todo esto puede parecer complicado a primera vista, pero
una vez automatizado en una hoja de cálculo, y vinculado a
un procesador de gráficos, permite una visión detallada de
la información proporcionada por el ensayo triaxial.
Para comprobarlo vamos a introducirnos, aunque sea muy
superficialmente, en lo que se denomina trayectoria de
tensiones.
Utilizando el ejemplo anterior de la probeta de 300 kPa,
podemos dibujar el siguiente gráfico:
0 50 100 150 200 250 300 350
p' (kPa)
0
50
100
150
200
250
q (k
Pa)
M = 0,85
φ' = 21,9º
A
B
C
D
Figura 3
Con el punto A representamos el estado del suelo a 22
metros de profundidad, con el nivel freático a 1.5 metros
de la superficie, y un peso específico aparente de 15.2
kN/m3.
En esas condiciones tenemos que σ’1 valdrá 134 kPa,
mientras que σ’3 lo podemos calcular aplicando la fórmula
de Jaky, en el supuesto de que el suelo se encuentre
normalmente consolidado.
( ) ( )3 1 1 134 1 21 9 84´ ´ sin ´ sin . kPaσ = σ − ϕ = − =
Podemos ahora calcular los valores de p’ y q para el estado
inicial, resultando:
p’ = 101 kPa
q = 50 kPa
Al sacarla del tomamuestras podemos estimar, aunque solo
sea como aproximación, que las presiones se anulan, pasando
la muestra al punto B.
Durante el ensayo se la somete a una compresión isótropa de
300 kPa para consolidarla, con desviador nulo, por lo que,
al final del proceso, se encontrará en el punto C.
Por último, al aplicar el desviador hasta rotura, se la
lleva al punto D.
Hemos definido así la trayectoria que ha seguido la muestra
desde su posición in situ hasta el final del ensayo, y
aunque el método de trayectorias de tensiones se utiliza
para problemas más complejos, este esbozo nos ha permitido
una toma de contacto con su fundamento.
Vamos a dar una vuelta de rosca y pasar a algo menos
evidente que lo tratado hasta ahora.
Trabajos experimentales llevados a cabo en las décadas de
los 50 y 60 del pasado siglo, demostraron que muestras de
suelo llevadas a la misma consolidación, por ejemplo al
punto A de la figura 4, descargadas hasta B, y cargadas de
nuevo bajo diferentes configuraciones de p’ y q, alcanzaban
la fluencia en unos puntos del plano de tensiones que
dibujaban una curva parecida a una elipse de ecuación
2
2 20
p Mp M
=+ η
Aquí p’0 es la presión de consolidación y η el cociente
entre q y p’.
Este es el modelo planteado por la escuela de Cambridge
(Modelo Cam Modificado). Hay otros más sofisticados, pero
la simplicidad de la ecuación de la elipse hace que sea
este el utilizado mayoritariamente.
Cualquier incremento positivo de p’ hará que la elipse
crezca, y p’0 se desplace a una nueva posición, más hacia
la derecha, que será la actual carga de preconsolidación,
olvidándose la anterior. Las trayectorias dentro de la
elipse son reversibles, e implican deformaciones que se
aproximan a condiciones elásticas, mientras que aquellas
que salen de ella, agrandándola, son plásticas.
0 50 100 150 200 250 300 350p' (kPa)
0
50
100
150
200
250
300
350
q (k
Pa)
M
1
η
1
A
B
P
R
p'0
Q
Figura 4
Volvamos a la figura 4, y supongamos que un elemento de
suelo, en una masa normalmente consolidada, se encuentra a
una profundidad tal que su posición en el plano de
tensiones es A. Si se produce una excavación en superficie,
disminuirán tanto σ´1 como σ´3, pasando al punto B. Podemos
decir que en este momento se crea el espacio interior a la
elipse, en el que el suelo tendrá un comportamiento que
conocemos como sobreconsolidado.
Si sobre esta muestra en B realizamos un triaxial, el suelo
responderá como un material casi elástico, y seguirá una
trayectoria vertical con p’ constante. Esto es poco
intuitivo, pero podemos recordar que la trayectoria drenada
o en totales seguía una recta de pendiente 3, y el
parámetro A de Skempton vale 1/3 para condiciones
elásticas, lo que, en presiones efectivas, nos lleva a esa
trayectoria.
Si el desviador es suficientemente elevado, se alcanzará el
punto P, que es límite de la respuesta elástica, y se
producirá la rotura. Como ya muchos habrán interpretado, el
punto P define lo que se conoce como resistencia pico.
En la figura 5 tenemos el ejemplo de una probeta de un
suelo con una preconsolidación próxima a los 250 kPa. Se
puede ver la trayectoria vertical hasta alcanzar la elipse,
momento en que rompe de forma frágil, sin las grandes
deformaciones plásticas de los casos representados en las
figura 1 y 2.
0 50 100 150p' (kPa)
0
50
100
150
q (k
Pa)
Figura 5 Si realizáramos un ensayo de corte directo sobre el suelo
sobreconsolidado, por ejemplo en el estado B (figura 4),
aplicando unos valores de carga vertical de 50, 100 y 200
kPa, y suponiendo un estado isótropo dentro de la caja de
corte, así como teniendo en cuenta que q es el doble del
máximo cortante, la rotura del suelo se produciría en los
puntos P, Q y R de la figura 6, lo que nos llevaría al
siguiente resultado en el plano de Mohr.
0 40 80 120 160 200
σ1 (kPa)
0
50
100
τ (k
Pa)
c' = 35 kPa
φ' = 14º
P
Q
R
Figura 6
Esto sería lo que obtendríamos en el ensayo de corte
directo. Un gráfico que todos estamos acostumbrados a ver.
Los puntos P y Q se han alcanzado por rotura en el campo
elástico, dentro de la elipse, mientras que al R se ha
llegado mediante fluencia plástica. Es evidente que los
procesos físicos no son comparables, pero sin embargo, los
integramos dentro de un modelo de respuesta unitario que
llamamos de Mohr-Coulomb. Y conviene recordar que la
cohesión es un concepto derivado del estudio de materiales
duros, con resistencia a tracción.
A la vista de lo expuesto, podemos llegar a la conclusión
de que tanto la cohesión como el ángulo de rozamiento
interno obtenidos en el ensayo de corte, dependerán de la
posición de los puntos P, Q y R sobre la elipse y la línea
de estado crítico, ubicación que estará ligada a los
valores que adoptemos para σ´1 en ese ensayo.
Para comprobarlo, realicemos el corte aplicando presiones
verticales de 50, 150 y 250 kPa. El nuevo resultado será:
0 100 200 300
σ1 (kPa)
0
50
100
150
τ (k
Pa)
c' = 29 kPa
φ' = 16.3º
Figura 7
En definitiva, que los valores de c’ y φ’ que nos
proporciona un ensayo de corte directo sobre un suelo
sobreconsolidado, no son parámetros intrínsecos de ese
suelo, sino que dependen de la trayectoria de tensiones que
haya seguido, y de las condiciones que adoptemos para
realizar el ensayo. De todas formas, esto no es nuevo, pues
ya lo propuso Skempton en 1964, por las fechas en que en
Cambridge se ocupaban en desarrollar sus modelos de estados
críticos.
En cualquier caso, para la mayoría de los problemas
cotidianos, es suficiente con la aproximación dada por el
corte. Pero hay ocasiones en las que puede ser más rentable
invertir un poco más de dinero en un triaxial, ya que la
información que proporciona creo que ha quedado claramente
de manifiesto.
Y puesto que hemos hablado de trayectoria de tensiones,
vamos a terminar con un ejemplo sencillo, para buscar una
aplicación práctica a todo lo anterior. Se trata de una
simplificación de un problema de ejecución de un terraplén
de ocho metros de altura sobre una capa de suelo blando.
Consideremos un punto del suelo a doce metros de
profundidad, con un φ’ de 30º, equivalente a M = 1.2, y un
valor para el parámetro A de Skempton de 0,6. Por encima
tiene una capa con peso específico aparente de 16.5 kN/m3,
con el nivel freático a 1,5 metros de profundidad, y a la
que le suponemos suficiente resistencia como para soportar
las cargas; puede suponerse que se trata de una zona
mejorada con columnas de grava. La intensidad de la carga
vertical a esa profundidad de diez metros será de 150 kPa.
Asumiendo una distribución de tensiones isótropa, los
valores de σ´1 y σ´3 en el comienzo de la capa blanda por
efecto del peso propio del terreno son
σ´1 = σ´3 = 95 kPa
que proporcionan
p’ = 95 kPa
q = 0 kPa
Esto corresponde al punto A de la figura 8.
0 50 100 150 200p' (kPa)
0
50
100
150
200
q (k
Pa)
A
BC
DE
FG
H
Figura 8
Al aplicar la carga de 150 kPa, y suponiendo condiciones
drenadas, llegaríamos al punto B según
p’B = p’ + 150/3
q B = q + 150
Pero la sobrepresión intersticial generada para ese
incremento del desviador será
Δu = 150 * 0.6 = 90 kPa
que habrá que restarle a p’B, con lo que la trayectoria
real será la de A hasta C. Vemos que es imposible, ya que
alcanza la línea de estado crítico, y entrará en fluencia
plástica.
En estas circunstancias podemos plantear la construcción
del terraplén por etapas, con una inicial hasta alcanzar la
altura de cuatro metros, seguida por otras dos hasta seis y
ocho metros. El primer escalón de carga hace que σ´1 se
incremente en 81 kPa, por lo que, siguiendo el mismo
procedimiento, el nuevo estado en una trayectoria drenada
llevará hasta E, con los siguientes valores:
p´E = 122 kPa
q E = 81 kPa
Para este desviador, Δu vale 49 kPa, que al restarlos a p´E
lleva hasta el punto D, próximo a la línea de estado
crítico, pero sin alcanzarla. Si dejamos esta carga parcial
durante tiempo suficiente, la sobrepresión intersticial irá
disipando, hasta que llegamos al punto E, en el que esa
sobrepresión ha desaparecido, y el suelo trabaja en
efectivas.
Al aumentar la altura hasta seis metros, el incremento en
la tensión vertical es de 37 kPa, y Δu vale 22 kPa, por lo
que repitiendo el mismo proceso de cálculo, ahora desde E,
llegamos a F, y al disipar Δu se alcanza G. Por último, y
siguiendo idéntico procedimiento, se alcanza el estado
final en B sin que el suelo haya entrado en fluencia
plástica.
Como puede apreciarse, es un método sencillo y muy gráfico.
Cierto que no de uso cotidiano, pero muy útil cuando hay
que actuar en zonas con suelos blandos.
En este ejemplo, y para simplificar el modelo, se ha
supuesto que el suelo se encontraba inicialmente en
condiciones hidrostáticas, con σ´1 = σ´3, pero en un caso
real ambas tensiones estarán relacionadas a través de la
Ley de Jaky, tomando σ´3 el valor:
σ´3 = 47,5 kPa
lo que lleva al punto A de la figura 9.
p’A = 63,3 kPa
q A = 47,5 kPa
Al recibir la carga del terraplén, y en condiciones
drenadas, el suelo pasará al nuevo estado en B.
p’B = 113,3 kPa
q B = 197,5 kPa
0 50 100 150 200p' (kPa)
0
50
100
150
200
q (k
Pa)
A
B
Figura 9
Vemos que es imposible conseguir la estabilidad, por lo
que, en este caso, no sirve de nada la construcción
escalonada, aunque el problema puede resolverse mediante un
tratamiento de mejora del terreno, por ejemplo, con
columnas de grava (figura 10).
-20
-10
0
10
Altu
ra (
m)
Zona plásticaA
C
Figura 10
El punto que estamos estudiando se encuentra en A, justo
bajo la zona de influencia del tratamiento con columnas de
grava, que lo hemos llevado hasta una profundidad de 12
metros. El terreno dentro de la zona mejorada resiste por
las razones que apuntaremos más adelante, y hace que la
zona plastificada bajo el terraplén no pueda fluir, al
estar limitada, hacia arriba, por la propia capa tratada, y
lateralmente y hacia abajo por los empujes pasivos del
terreno circundante que no ha entrado en rotura. De esta
forma es posible mantener la estabilidad de la obra, aun
cuando las columnas no se apoyen en un substrato
resistente. Cierto que se producirán asientos relativamente
importantes en el terraplén, pero se elimina el riesgo de
colapso por punzonamiento o deslizamiento.
Antes hemos indicado que la zona tratada con columnas era
estable. Veamos ahora por qué.
El punto C de la figura 10 está a cinco metros de
profundidad bajo el eje del terraplén. Con los mismos datos
del ejemplo anterior, y suponiendo que se cumple la
condición de Jaky, su estado inicial será:
σ’01 = 48 kPa
σ’03 = 24 kPa
y en el plano de tensiones:
p’1 = 32 kPa
q 1 = 24 kPa
Es el punto 1 de la figura 11.
0 50 100 150 200
p´ (kPa)
-150
-100
-50
0
50
100
150
q (k
Pa)
1
2
3
LEC en
compr
esión
LEC en tracción
Figura 11
Resulta evidente que si se levanta el terraplén sin ningún
tipo de tratamiento, se alcanzará inmediatamente el estado
crítico. Ahora bien, al compactar la grava de las columnas
se produce un empuje lateral sobre el terreno circundante,
de forma que estamos en un proceso de extensión triaxial,
en el que σV se mantiene constante, y σH aumenta. Para
evitar confusiones, utilizamos los subíndices V y H, ya
que, desde un punto de vista formal, σ1 sería ahora la
tensión horizontal y σ3 la vertical.
Medidas realizada en los campos de columnas de la Vega Baja
del Segura, han mostrado que la presión lateral a la
semidistancia entre puntos de inyección, en tratamientos
densos, es del orden de 95-100 kPa, por lo que, tras la
ejecución de la columna, σV seguirá valiendo 48 kPa, pero
σH habrá pasado a 119 kPa, lo que nos lleva al punto 2,
cuyas coordenadas son
p’2 = 95 kPa
q 2 = -71 kPa
En realidad, la trayectoria se aproximará a la línea de
puntos, ya que se generan sobrepresiones intersticiales que
se disipan rápidamente por la proximidad del elemento
drenante que es la columna de grava.
Al levantar el terraplén, la presión inducida a la
profundidad de cinco metros es de 172 kPa, que se suman a
σV, manteniéndose constante σH, por lo que el nuevo estado
es el representado por el punto C, de coordenadas:
p’3 = 153 kPa
q 3 = 101 kPa
Puede verse que, a pesar de la sobrecarga del terraplén,
queda dentro de la zona de estabilidad gracias a la
trayectoria seguida bajo la influencia de la presión
horizontal ejercida por las columnas.
Como puede suponerse, el efecto de las columnas de grava es
bastante más complejo, pero aquí sólo se ha pretendido
exponer la capacidad del método de la trayectoria de
tensiones para abordar problemas geotécnicos aparentemente
complicados.
TEMA 2º
MODELO HIPERBÓLICO
Nota inicial.- Aunque el método basado en el Modelo Hiperbólico es de aplicación general, se suele reservar su uso para el caso de suelos duros, tales como arcillas sobreconsolidadas y arenas de semidensas a densas. En toda la exposición que sigue, las tensiones son en efectivas.
____________________________________
La experiencia demuestra que, en un ensayo de compresión
triaxial, los gráficos desviador-deformación dibujan unas
líneas cuya pendiente va disminuyendo progresivamente a
medida que aumentan la carga y la deformación, hasta
alcanzar un máximo en el que se produce la rotura (figura
1).
0 0.05 0.1
Deformación vertical unitaria (ε)
0
50
100
150
200
250
300
σ 1 -
σ3
(kP
a)
Figura 1
Esto llevó a Kondner (1963) primero, y posteriormente a
Duncan y Chang (1970), a plantear que tales curvas podrían
ser asimiladas a hipérbolas de ecuación:
1 3ε
σ − σ =+ εa b
(1)
Los parámetros a y b se tienen que determinar para cada
muestra de suelo, cosa que se consigue poniendo la (1) en
la forma:
1 3
ε= + ε
σ − σa b (2)
Dado que tanto los valores del desviador como los de la
deformación unitaria son conocidos, a y b se obtienen como
la ordenada en el origen y la pendiente, respectivamente,
de la recta definida por (2), mediante la representación:
0 0.05 0.1
ε
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
ε/(σ
1 − σ
3)
a = 5.155 E-0.05
b = 0.003015
a
1
b
Figura 2
El desarrollo operativo puede seguirse en el siguiente
cuadro, tomado de una hoja de Excel en la que se ha
implementado el proceso, y que no requiere explicación,
salvo las filas inferiores que se comentan a continuación.
Probeta 1. σ3 = 300 kPa. Deformación ε σ1 σ3 σ1 - σ3 ε/(σ1-σ3)
% kPa kPa kPa 0 0.00 300 300 0 1 0.01 367 235 132 7.58E-05 2 0.02 380 200 180 1.11E-04 3 0.03 386 182 204 1.47E-04 4 0.04 400 172 228 1.75E-04 5 0.05 416 168 248 2.02E-04 6 0.06 424 168 256 2.34E-04 7 0.07 435 171 264 2.65E-04 8 0.08 451 175 276 2.90E-04 9 0.09 460 180 280 3.21E-04
10 0.10 469 185 284 3.52E-04 b a R2 E0 σa σr
kPa-1 kPa-1 kPa kPa kPa
3.015E-03 5.155E-05 0.999 19400 332 288
Cuadro 1
Volviendo a la (2), el parámetro a es el límite para la
condición ε = 0, es decir, la pendiente de la tangente en
el origen, por lo que su inversa proporcionará el valor del
módulo inicial:
01
=Ea (3)
Por su parte, b es el límite cuando ε = ∞, o sea, la
ordenada de la asíntota a la hipérbola, y que físicamente
se interpreta como la resistencia máxima teórica a rotura
(σa) de la probeta ensayada.
1σ =a b
(4)
Todo esto queda gráficamente expuesto en la figura
siguiente:
0 0.05 0.1
Deformación vertical unitaria (ε)
0
50
100
150
200
250
300
350
σ 1 -
σ3
(kP
a)
1
E0
σa
σr
Figura 3
La rama de hipérbola se ha obtenido introduciendo en (1)
los valores de a y de b del Cuadro 1. Puede apreciarse el
aceptable ajuste a los datos experimentales, cosa que era
de esperar viendo que el coeficiente de correlación R2
alcanzaba prácticamente la unidad, lo que puede llevar a
pensar que se ha elegido un ensayo modélico, algo que hasta
cierto punto es verdad, pero esas altas correlaciones no
son raras, de forma que valores de R2 inferiores a 0,97 ya
pueden hacer pensar en que los datos experimentales no son
buenos.
El parámetro σr es el valor real de rotura medido en el
ensayo, que normalmente siempre es menor que σa,
definiéndose el cociente de aquella respecto a esta
mediante lo que se conoce como relación de rotura, y que
suele citarse en la literatura como Rf. Normalmente, los
valores para esta relación suelen oscilar entre 0,75 y el
entorno de la unidad.
En el ejemplo que aquí se está tratando se han utilizado
tres probetas, ensayadas a presiones de confinamiento (σ3)
de 300, 150 y 50 kPa. Los resultados a que se llega tras
extender el proceso anterior a las probetas de 150 y 50 kPa
queda reflejado en el Cuadro 2.
σ3 b a R2 E0 σa σr Rf kPa kPa-1 kPa-1 kPa kPa kPa
300 3.015E-03 5.155E-05 0.999 19400 332 288 0.868
150 3.971E-03 8.445E-05 0.999 11841 252 216 0.858
50 5.209E-03 1.559E-04 0.993 6414 192 160 0.833
Cuadro 2
Como era de esperar, el valor de E0 depende de σ3,
aumentando cuanto mayor es la presión de confinamiento.
Existe una relación empírica entre ambos parámetros dada
por:
30
⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
aa
E kpp
(5)
k y n son parámetros adimensionales característicos del
suelo que se está estudiando, y pa es la presión
atmosférica en las mismas unidades que E0 y σ3. Ahora bien,
puesto que los vamos a obtener a partir de valores de estos
últimos expresados en unidades SI, se prescinde de la
normalización a pa.
Con esta salvedad, la (5) se puede escribir de la forma:
0 3= +log E log k n log σ (6)
cuya representación gráfica es una recta de pendiente n y
ordenada en el origen log k.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2
Log σ3
.5
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Log
E0
log k
1
n
Figura 4
En este caso, la variación de E0 con σ3, ambos expresados
en kPa, queda de la forma:
( )0 6120 3575= σ .E (7)
Por otra parte, la relación entre σa y σ3 puede obtenerse
también mediante un ajuste lineal:
0 50 100 150 200 250 300
σ3 (kPa)
150
200
250
300
350
σ a (
kPa)
Figura 5
Para este ejemplo, la relación queda:
( ) 3166 0 56σ = +a kPa . σ (8)
En estas condiciones, si se conoce el estado tensional de
la zona de procedencia de la muestra ensayada, es posible
construir la rama de hipérbola que define su respuesta ante
la aplicación de un desviador, por ejemplo, una carga en la
superficie del terreno.
Suponiendo un valor para σ3 de 100 kPa, se tendría:
E0 = 9631 kPa
σa = 222 kPa
Por lo que aplicando (3) y (4)
a = 0.000104
b = 0.00451
resultando la curva de la figura 6
0 0.05 0.1
ε
0
50
100
150
200
σ 1 -
σ 3
(kP
a)
1
E0
1
Es
A
Figura 6
En esta figura se ha representado el módulo inicial E0 y un
módulo secante Es. Un aumento en el desviador dará lugar a
un incremento en deformación, siguiendo la trayectoria de
la rama hiperbólica, por lo que el módulo irá disminuyendo
progresivamente. Así, un desviador de 120 kPa llevará hasta
el punto A, con un módulo secante, que es el que deberá
utilizarse en los cálculos, inferior a E0, y cuyo valor
puede deducirse para llegar a la siguiente expresión:
1 30 1s
a
E E⎛ ⎞σ − σ
= −⎜ σ⎝⎟⎠ (9)
En una primera lectura de todo lo anterior, puede parecer
que el proceso es complicado, pero una vez implementado en
una hoja de cálculo los resultados salen de inmediato, sin
más que introducir los valores de σ1 y σ3 obtenidos en el
ensayo triaxial.
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