Modelagem com E.D.O.s de Ordem Superior
(Aplicaes das E.D.O.s)
http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/pendulum-
lab
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem
1. Sistemas massa-mola: movimento no amortecido livre
Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexvel esteja suspensa
verticalmente de um suporte rgido e que uma massa esta conectada sua extremidade livre.
A quantidade de distenso, ou alongamento da mola, depende
claro, da massa. Massas com diferentes pesos esticam a mola em
diferentes quantidades.
Pela Lei de Hooke, a mola por si s exerce uma fora restauradora
oposta direo de alongamento e proporcional quantidade de alongamento . Esta lei definida como :
=
sendo uma constante de proporcionalidade denominada constante da mola. A mola essencialmente caracterizada pelo nmero .
Exemplo: Se uma massa pesando 10 estica uma mola por 0.5 , temos:
10 = 0.5 = 20 /
Logo, uma massa pesando 8 estica a mesma mola por apenas 0.4
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Segunda Lei de Newton: Aps uma massa ser conectada a uma mola ela estica a mola em uma
quantidade e atinge uma posio de equilbrio na qual seu peso equilibrado pela fora restauradora . Lembrando que o peso = , onde = 9.8 /2.
A condio de equilbrio :
= = 0
Se a massa for deslocada por uma quantidade a partir de sua posio de equilbrio, a fora
restauradora da massa ser ento:
( + )
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Considerando que no haja foras de retardo atuando no sistema e
considerando que a massa oscile livre de foras externas
movimento livre podemos igualar a segunda lei de Newton com a
resultante da fora restauradora e do peso:
2
2= + + = + =
2
2=
2
2+ = 0 ()
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordemc
O sinal negativo indica que a fora restauradora da mola
atua na direo oposta do movimento.
Por conveno, deslocamentos medidos abaixo da
posio de equilbrio so positivos.
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Dividindo a expresso (1) pela massa , obtemos a seguinte E.D.O. de segunda ordem:
+ = ()
sendo =
. Esta equao descreve o chamado Movimento
Harmnico Simples (M.H.S.) ou Movimento no Amortecido Simples.
Neste caso, temos obviamente duas condies iniciais:
0 = 0: quantidade de deslocamento inicial
0 = 1: velocidade inicial da massa
Quando 1 = 0 dizemos que a massa liberada a partir do repouso.
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A soluo geral da equao (2) dada por:
= 1 cos + 2()
O chamado perodo das oscilaes livres descritas pela soluo
geral, :
=2
A frequncia :
=1
=
2
EXEMPLO:
= 2 cos 3 4(3)
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EXERCCIO: Uma massa pesando 0.613 estica uma mola 0.5 . Em
= 0 a massa liberada de um ponto 2
3 abaixo da posio de
equilbrio com uma velocidade para cima de 4
3 /. Sabendo que
= , determine a equao do movimento livre.
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Soluo:
= =
=
0.613
9.81
1
16
A partir da Lei de Hooke: = , temos:
0.613 = 1
2 = 1.226
Logo, temos a E.D.O.:
1
16
2
2= 1.226
2
2+ 19.616 = 0
com as condies iniciais:
0 =2
3
0 =4
3
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Logo, temos a equao caracterstica:
2 + 19.616 = 0
e portanto, as razes complexas:
1 4.429 e 2 4.429
Neste caso, note que 2 = 19.616 temos: 4.429 e portanto, temos a soluo geral:
= 1 cos 4.429 + 2(4.429)
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Determinamos 1 e 2 aplicando as condies iniciais 0 =2
3 e
0 =4
3.
Soluo do P.V.I.:
= 0.6666666667 cos 4.429 0.3010464500(4.429)
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2. Sistemas massa-mola: movimento amortecido livre
O movimento descrito pela E.D.O.:
2
2+ = 0
considera que no h foras de retardo atuando sobre a massa em
movimento.
Apesar da massa estar suspensa em um vcuo perfeito, existir ao
menos uma fora de resistncia decorrente do meio que a envolve.
A massa poderia estar suspensa em um meio viscoso ou conectada
a um dispositivo de amortecimento por mbolo.
No estudo da mecnica, foras de amortecimento atuando sobre o
corpo so consideradas como sendo proporcionais a uma potncia
de velocidade instantnea.
Em geral, considera-se que esta fora dada por um mltiplo
constante de:
Quando nenhuma outra fora externa considerada no sistema,
temos a partir da lei de Newton que:
=
sendo uma constante de amortecimento positiva e o sinal negativo uma consequncia do fato de que a fora de amortecimento atua em
direo oposta do movimento.
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Logo, dividindo esta ltima E.D.O., por , temos:
2
2+ 2
+ 2 = 0
sendo:
2 =
2 =
Neste caso, temos a equao auxiliar:
2 + 2 + 2 = 0
As razes correspondentes so:
1 = + 2 2 2 =
2 2
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Logo, temos trs casos a considerar:
(1) > : Sistema Sobreamortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:
= 122 + 2
22
(2) = : Criticamente Amortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:
= 1 + 2
(3) < : Sistema Subamortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:
= 1 cos 2 2 + 2
2 2
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EXEMPLO: Movimento Sobreamortecido. Considere o seguinte P.V.I.:
2
2+ 5
+ 4 = 0
0 = 1 0 = 1
Podemos verificar que a soluo deste problema :
=5
3
2
34
Para traar o grfico de (), vamos determinar o valor de para o qual a funo tem um ponto crtico, ou seja, o valor de para o qual a primeira derivada zero.
= 0 5
3 +
8
34 = 0 0.157
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SISTEMA SOBREAMORTECIDO
EXEMPLO DE MOVIMENTO SUBAMORTECIDO: Um peso de
4.905 conectado a uma mola de 7.219 de comprimento. No equilbrio a mola mede 8.2 . Se o peso for empurrado para cima e solto a partir do repouso em um ponto 2 acima da posio de equilbrio, vamos determinar o deslocamento () considerando que se saiba que o meio ao redor oferece uma resistncia numericamente
igual a velocidade instantnea.
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Soluo:
A distenso da mola aps o peso ser conectado : 8.2 7.219 =0.981 . Logo, a partir da lei de Hooke que:
4.905 = 0.981 5 /
Alm disso, = 4.905 = 9.81 0.5
Logo, a E.D.O. do movimento dada por:
0.5 2
2= 5
2
2+ 2
+ 10 = 0
Assim, temos a equao auxiliar:
2 + 2 + 10 = 0 1 = 1 + 3 2 = 1 3
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A soluo geral desta E.D.O. dada por:
= 1 cos 3 + 2 3
Aplicando as condies iniciais: 0 = 2 e 0 = 0, obtemos a soluo do P.V.I., dada por:
= 2 cos 3 2
3(3)
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MOVIMENTO SUBAMORTECIDO
3. Sistemas massa-mola: Movimento Forado
Neste caso, consideramos uma fora externa () atuando sobre uma massa oscilando em uma mola. Por exemplo, () poderia representar uma fora causando um movimento oscilatrio vertical no suporte da
mola. Assim, incluindo (), neste modelo, temos a chamada Equao Diferencial do Movimento Forado:
2
2=
+
2
2+ 2
+ 2 = ()
sendo:
=()
2 =
2 =
Resolvemos esta E.D.O., atravs do mtodo dos coeficientes a
determinar ou variao de parmetros.
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EXEMPLO: No caso do P.V.I.,
1
5
2
2+ 1.2
+ 2 = 5cos (4)
0 = 0.5 0 = 0
temos:
um sistema oscilatrio constitudo por uma massa =1
5,
conectado a uma mola com = 2.
A massa liberada a partir do repouso 0.5, abaixo da posio de equilbrio.
O movimento amortecido = 1.2
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem
Soluo:
Para obter a soluo geral da E.D.O. homognea associada,
multiplicamos a E.D.O. homognea por 5:
2
2+ 6
+ 10 = 0
Neste caso, obtemos a soluo geral dada por:
= 3 1 cos + 2()
Para determinar uma soluo particular , utilizamos o mtodo dos
coeficientes a determinar considerando
= 4 + (4)
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem
Calculando ,
e substituindo na E.D.O., no homognea,
obtemos:
=25
102cos 4 +
50
51(4)
Portanto, a soluo geral da E.D.O., no homognea dada por:
= + ()
= 3 1 cos + 2() 25
102cos 4 +
50
51(4)
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem
Aplicando as condies iniciais 0 = 0.5 e 0 = 0, obtemos a soluo do P.V.I., dada por:
= 338
51cos
86
51()
25
102cos 4 +
50
51(4)
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MOVIMENTO FORADO
PNDULO SIMPLES: O pndulo simples um caso especial do
pndulo fsico e consiste em uma haste de comprimento na qual uma massa est ligada em uma das extremidades.
O movimento de um pndulo simples de massa comprimento descrito pela funo () que satisfaz a equao diferencial:
2
2+
= 0
Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem
Podemos supor que o ngulo seja pequeno o suficiente para que seja
vlida a aproximao . Assim, temos a E.D.O.:
2
2+
= 0