Appunti sulla modellazione in scala nella ingegneria strutturale
Facoltà di Ingegneria
ENZO D’AMORE – Dipartimento di Meccanica e Materiali
Corso di costruzioni in zona sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
modelli in scala nella ingegneria strutturale
….”Un modello strutturale è una qualsiasi rappresentazione fisica di una struttura o di una parte di essa realizzato in scala ridotta” ... (American Concrete Institute, ACI)
…“Un modello strutturale è un qualsiasi elemento o complesso di elementi realizzato in scala ridotta (rispetto alle dimensioni della struttura reale) sul quale vengono effettuate delle prove in modo da ottenere dei risultati interpretati attraverso opportune leggi di similitudine”... (Janney 1970)
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
modelli in scala di strutture miste
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
modelli in scala di strutture miste
Enzo D’Amore
Prove Sperimentali su tavola vibrante di modelli in scala di Telai in c.a.
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modelli nell’ingegneria strutturale - classificazione
Modelli elastici
Modelli indiretti
Modelli diretti
Modelli di resistenza o Modelli realistici
Modelli dinamici
Esistono diversi modi per classificare i modelli strutturali. Uno di questi è basato sulle finalità e le funzioni di tali modelli.
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la teoria generale dei modelli si basa su tre gruppi di leggi:
• similitudine • analogia • analisi dimensionale La teoria della similitudine consente di studiare un certo fenomeno riproducendolo con modelli (sia fisici che matematici) simili. La teoria dell’analogia si basa sul principio che il modello non è più la copia in scala del fatto fisico considerato, bensì un fenomeno fisico diverso che viene, però, rappresentato da equazioni formalmente uguali La teoria dimensionale consente di raggruppare le variabili di un certo problema fisico, sistemandole in forma più utile per l’interpretazione del fenomeno. In definitiva la teoria dimensionale riduce il numero delle variabili raggruppandole in una serie di numeri adimensionali.
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ANALISI DIMENSIONALE
Occorre ricordare il significato di grandezza fisica - La grandezza di un’entità si
può esprimere come prodotto tra la sua misura, che è un numero puro, e la sua
unità di misura. Al variare dell’unità di misura varia la misura della grandezza.
Ora, essendo l’entità fisica, e quindi la sua grandezza, un invariante, all’aumentare
dell’unità di misura diminuisce la sua misura. In linea di principio si potrebbe
definire un’unità di misura, ma questo modo di procedere non sarebbe certamente
comodo. Per cui si genera un insieme di entità fisiche fondamentali e si ricavano le
altre in funzione di queste. In termini matematici si può scrivere che una
qualunque entità A si ricava in funzione di altre tramite una relazione generica del
tipo:
A = ϕ (A1, A2,……..An) (1)
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La scelta delle unità fondamentali è arbitraria e in base alla loro scelta
cambiano le entità derivate. Considerando l’equazione (1) si vede che è
importante che l’equazione sia omogenea, in modo che una variazione di unità
di misura comporti solo la moltiplicazione di tutti i termini per una costante
numerica. Si può, quindi, affermare che:
UN’EQUAZIONE È DIMENSIONALMENTE OMOGENEA
SE LA SUA STRUTTURA NON DIPENDE DAL SISTEMA DI MISURA ADOTTATO.
Definite, quindi, le unità fondamentali, quelle derivate si ricavano con l’ausilio
di relazioni di definizione. Queste relazioni non devono richiedere dei
coefficienti arbitrari, detti coefficienti parassiti, per rispettare l’omogeneità
delle relazioni.
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Teorema di Buckingham
Se un’equazione è dimensionalmente omogenea, può venir ridotta nella forma di una relazione fra una serie completa di parametri adimensionali. Il numero di questi parametri è pari alla differenza tra il numero delle entità fisiche che caratterizzano il fenomeno e il numero delle grandezze fondamentali.
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I modelli nell’ingegneria strutturale - Criteri di similitudine
“Una qualunque equazione dimensionalmente omogenea F che presenta k variabili fisiche indipendenti Xi può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali πi dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti
k e il numero di dimensioni indipendenti r” (m=k-r); i termini π1, π2 ,.., πm sono prodotti
adimensionali delle variabili fisiche indipendenti “k”. (“r” è il numero delle dimensioni fondamentali ad es. (F,L,T) coinvolte nel problema fisico)
0),...,,( 21 nXXXF 0),...,,( 21 mG
Il Teorema di Buckingham (o teorema π). Il teorema di Buckingham afferma che
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TEORIA DELLA SIMILITUDINE
• I risultati di una serie di prove sperimentali su un modello fisico (o
matematico) sono riportabili sul prototipo se sono rispettate un certo numero di relazioni che costituiscono la legge della similitudine. Esistono diversi tipi di similitudine:
• Similitudine geometrica. Due corpi sono geometricamente simili se esiste una corrispondenza
fra punti omologhi del prototipo e del modello (in termini più semplici, se esiste un rapporto di scala costante tra i due). Tuttavia, se esiste una diversa scala di riduzione tra le componenti cartesiane. Si crea così quello che comunemente viene definito un modello distorto.
• Similitudine cinematica. • Similitudine dei materiali • Similitudine dinamica
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Similitudine cinematica e materiale • Similitudine cinematica
Due sistemi si definiscono cinematicamente simili quando particelle omologhe occupano posizioni omologhe in tempi omologhi. Definita: Sl la scala delle lunghezze e St quella dei tempi, la scala delle velocità Sv è uguale a:
Sv = Sl / St mentre la scala delle accelerazioni Sa è uguale a:
Sa = Sl/ St2
Similitudine materiale Avremo similitudine materiale quando le masse di elementi omologhi stanno in
rapporto costante Sm.
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Similitudine dinamica
• Similitudine dinamica • Due sistemi sono dinamicamente simili se parti omologhe sono soggette a sistemi
di forze omologhe. Rispettata la similitudine cinematica e materiale si può affermare che in un sistema cartesiano le scale delle forze SFx, SFy , SFz, valgono:
• SFx = Sm Sx/ St2
• SFy = Sm Sy/ St2
• SFz = Sm Sz/ St2
• Se poi il modello è anche geometricamente simile si avrà:
• SF = Sm kSl/ St2
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I modelli nell’ingegneria strutturale - Criteri di similitudine
“Una qualunque equazione dimensionalmente omogenea F che presenta n variabili fisiche indipendenti può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r);
iX
i
0),...,,( 21 nXXXF 0),...,,( 21 mG
Il Teorema di Buckingham (o teorema π). Il teorema di Buckingham afferma che
Tale teorema consente di descrivere un qualsiasi problema di tipo strutturale mediante la seguente relazione di termini adimensionali i
),...,,( 321 m ),...,,(
),...,,(
32
32
1
1
mMMM
mPPP
M
P
Che in base ai criteri di similitudine dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro
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Modelli a similitudine completa
11
1
M
P1),...,,(
),...,,(
32
32
mMMM
mPPP
mMmP
MP
MP
...
33
Modelli a similitudine incompleta
1),...,,(
),...,,(
32
32
mMMM
mPPP
• Mancata considerazione di una variabile fisica pertinente;
• Mancata considerazione di una richiesta di similitudine reputata di carattere secondario; • Necessaria deviazione da una modellazione reale.
I modelli nell’ingegneria strutturale - Criteri di similitudine
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Buckingham Pi theorem in practice Dimensional analysis provides substantial benefit in the
investigation of physical behavior of any system because it
permits the experimenter to combine the variables into
convenient groups (Pi terms).
The procedure to find the dimensionless groups through
this theorem is as follows:
• List all the k variables involved in the problem
• Decompose the variables in terms of the basic dimensions(F, L, T)
• Determine the number of π terms
• Determine the repeating and non repeating variables
• Form a π term for each non-repeating variable forming
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Esempio Per chiarire il teorema supponiamo di affrontare il problema della determinazione dei gruppi adimensionali che reggono il problema del calcolo degli spostamenti di una trave a mensola con modulo di Young
‘E’, densità ‘ρ’, lunghezza ‘l’, altezza ‘h’, larghezza ‘w’ caricata da
una forza trasverale concentrata ‘P’ alla estremità libera.
Lo spostamento ‘u’ è una funzione di P, E, l, w ed h.
L’equazione generale da suddividere in gruppi adimensionali è:
F(u,P,E,l,w,h)=0 n =6 è il numero variabili fisiche indipendenti l’equazione f( può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali Pim dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n=6 e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r); In questo caso r=2 (F,L) ed m=6-2=4
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L’equazione generale da da suddividere in gruppi
adimensionali è:
F(u, E, l, w, h,P)=0
n =n. variabili fisiche indipendenti =6
l’equazione f(X1,…Xn)=0, può essere ricondotta ad una equazione equivalente G(π1, π2, ..,π m)=0 che presenta m variabili adimensionali πm dove m è il numero dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n=6 e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r); In questo caso Le grandezze fondamentali sono la forza F e la lunghezza L : r=2 (F,L). Quindi il numero di gruppi ( variabili) adimensionali πi è pari a 4
m=6-2=4 Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
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Le variabili ripetute vengono selezionate in modo da rappresentare la geometria e le proprietà meccaniche del modello. Tali variabili, inoltre, non devono poter formare tra loro un gruppo adimensionale. Variabili ripetute: ‘E’, ‘l’ Variabili non ripetute: u, w, h, P
I gruppi adimensionali (m-r) π1, π2, π3, π4 Si ottengono a partire da ciascuna variabile non ripetuta (u, w, h, P) che formi una relazione con le variabili ripetute(E, l):
π1 = u(Ea lb); π 2 = w(Ea lb) π 3 = h(Ea lb) π 4 = P(Ea lb)
Rappresentando le variabili in termini delle loro dimensioni fondamentali (L ed F), si ottiene: π1= π2 =π3=[L][FL-2]a [L]b
π4=[F][FL-2]a [L]b Enzo D’Amore
Modelli in scala nella ingegneria sismica
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Pertanto, affinché il generico πi sia adimensionale, la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla.
[F]0[L]0=[L] [FL-2]a [L]b
Per [L] 1 - 2a + b = 0
Per [F] 0 + a + 0 = 0 Per cui si ottiene:
a=0 b=-1
quindi: π1 = u(Ea lb) = u(E0 l-1) = u l-1
Analogamente:
π 2 = w l-1 π 3 = h l-1
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Procedendo in modo analogo per la relazione: π 4 = P(Ea lb)
la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla:
[L] 0 [F]0 = [F] [FL-2]a [L]b
Per [L] 0 - 2a + b = 0
Per [F] 1 + a + 0 = 0 si ottiene:
a= -1 b= -2
quindi: π4 = P(Ea lb) = P(E-1 l-2) = P/E l2
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),...,,( 321 m ),...,,(
),...,,(
32
32
1
1
mMMM
mPPP
M
P
Criteri di similitudine
I termini adimensionalizzati appena ricavati dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro:
Il primo termine adimensionale π1m = π1P
Implica:
um l-1m = up l-1p
um = up lm /lp; um = up /S
con: S = lp /lm fattore di scala per le dimensione L.
Gli spostamenti del modello saranno S volte
minori degli spostamenti del prototipo
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Analogamente per le w ed h si ricava wm l-1m = wp l-1p
hm l-1m = hp l-1p
Per il secondo termine dimensionale :
π4 = P(Ea lb) = P(E-1 l-2) = P/E l2
(P/E l2)modello= (P/E l2)prototipo
(Pm/Em lm2) = (Pp/Ep lp
2)
E quindi
Pm = (PpEm lm2/Ep lp
2)= Pp/SE S2
Dove SE= Ep /Em
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Continuando con lo stesso esempio esempio
Ma con volendo ccercare il fattore di scala per le tensioni σ indotte
nella trave
L’equazione generale da suddividere in gruppi adimensionali è:
F(σ, P, E, l , w, h) = 0
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Le variabili ripetute vengono selezionate in modo da rappresentare la geometria e le proprietà meccaniche del modello. Tali variabili, inoltre, non devono poter formare tra loro un gruppo adimensionale. Variabili ripetute: ‘E’, ‘l’ Variabili non ripetute: σ, w, h, P
I gruppi adimensionali (m-r) π1, π2, π3, π4 Si ottengono a partire da ciascuna variabile non ripetuta (u, w, h, P) che formi una relazione con le variabili ripetute(E, l):
π1 = σ (Ea lb); π 2 = w(Ea lb) π 3 = h(Ea lb) π 4 = P(Ea lb)
Rappresentando le variabili in termini delle loro dimensioni fondamentali (L ed F), si ottiene:
π1= [FL-2][FL-2]a [L]b
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Pertanto, affinché il generico π1 sia adimensionale, la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla.
[F]0[L]0=[FL-2] [FL-2]a [L]b
Per [L] -2 - 2a + b = 0
Per [F] 1 +a + 0 = 0 Per cui si ottiene:
a=-1 b=0
quindi: π1 = σ(Ea lb) = σ(E-1 l0) = σ E-1
Analogamente al caso precedente:
π 2 = w l-1 π 3 = h l-1
π2 =π3 = [L] [FL-2]a [L]b
π4 = [F] [FL-2]a [L]b
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Criteri di similitudine I termini adimensionalizzati appena ricavati dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro:
Il primo termine adimensionale π1m = π1P
Implica:
σmE-1 m = σp Ep
-1
σm= σp EmEp-1
σm= σp /SE
um = up lm /lp; um = up /SE
con: SE = Ep /Em
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f= (g/δ)1/2 (Hz) Con δ= spostamento statico δ=K-1W
δ = δ( E, ρ, l, w, h) Stabilendo le relazioni di proporzionalità tra le frequenze del prototipo e quelle del modello si ricava immediatamente che le freq. del modello sono pari alla radice quadrata delle freq. del prototipo.
fm=S1/2fp
Poichè f è misurata in Hz questa relazione fornisce anche il fattore di scala per Il tempo T
T m=S1/2 T p
Continuando con lo stesso esempio esempio, ma volendo cercare il fattore di scala per le frequenze di vibrazione, ‘ f ’ (Hz) della trave
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Nel caso di modelli dinamici a similitudine completa i fattori di scala da considerare nella modellazione sono riportati in tabella:
Variabile fisica Dimensione Fattori di scala
Forza, Q [F] SE Sl2
Massa, M [F] [L] -1[T]2 SE Sl2
Pressione, q [F][L]-2 SE
Accelerazione, a [L][T]-2 1
Accelerazione di gravità, g [L][T]-2 1
Velocità, v [L][T]-1 Sl1/2
Tempo, t [T] Sl1/2
Lunghezza, l [L] Sl
Spostamento, δ [L] Sl
Frequenza, ω [T]-1 Sl-1/2
Modulo di elasticità, E [F][L]-2 SE
Tensione, σ [F][L]-2 SE
Deformazione, ε - 1
Coefficiente di Poisson, γ - 1
Densità di massa, ρ [F][L]-4 [T]2 SE /SL
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Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale
Applicando il teorema di Buckingham a problemi di tipo dinamico si ha:
02
LF
TMG
Variabili fisiche indipendenti (n = 4) Forze, Lunghezze, Masse e Tempi
Dimensioni fisiche indipendenti (r = 3) [F], [L] e [T]
Termini adimensionali (m = n – r =1) LF
TM
2
0,,, TLMFH
MP
MM
MM
PP
PP
LF
TM
LF
TM
22
M
PI
I
IS
2
T
LMF
S
SSS
Espressione analitica della similitudine dinamica
Fattore di scala dell’I-esima variabile fisica dove:
I modelli nell’ingegneria strutturale - I modelli dinamici
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Esercitazione: Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata
Si vuole realizzare un modello dinamico indiretto di un edificio avente una struttura intelaiata che sia in grado di riprodurre, in una scala prefissata, la risposta dinamica in campo elastico del prototipo; il tutto finalizzato ad un’analisi dinamica sperimentale.
Prototipo Modello
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Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale
Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata
Il passaggio tra il prototipo ed il modello avverrà attraverso:
Riduzione del numero di gradi di libertà (condensazione statica)
Applicazione delle relazioni di similitudine (fattori di scala)
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Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata
-Condensazione statica
u1
u2
u3
u4
u5
u6
ttttt KKKKK
1
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Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata
Determinazione dei parametri dinamici
K11
K21
K31
K41
K51
K61
M1
M2
M3
M4
M5
M6
La condensazione statica di piano può essere effettuata mediante l’ausilio di metodi FEM imponendo di volta in volta uno spostamento unitario all’i-esimo impalcato valutando così la rigidezze ai vari piani.
La matrice di massa sarà una matrice diagonale il cui generico termine non è altro che la massa dell’i-esimo impalcato.
ppp KbMaC
Una volta note le matrici di massa e di rigidezza del prototipo riferite ad un limitato numero di gradi di libertà sarà possibile ottenere la matrice di smorzamento mediante l’ipotesi di smorzamento classico (alla Rayleigh)
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Leggi di similitudine
ppppppp fuKuCuM
mmmmmmm fuKuCuM Equazione del moto del modello
aMF SSS Teorema Pi Variabili fisiche indipendenti
[M], [L], [a]
Al fine di ottenere le leggi di similitudine da utilizzare nella modellazione si scelgono come variabili fisiche indipendenti [M],[L]ed [a] con i rispettivi fattori di scala Sm, Sl and Sa. I fattori di scala rimanenti possono essere ottenuti a partire dall’equazione del moto di un sistema dinamico scritta una volta per il modello e una volta per il prototipo.
2/12/1
aLv SSS
Equazione del moto del prototipo
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Leggi di similitudine
mMamLpmaLpmap fSSuSKuSSCuSM 2/12/1
Sostituendo le equazioni ottenute mediante l’applicazione del teorema di Buckingham all’interno dell’equazione del moto del prototipo si ottiene:
Dal confronto di tale equazione con l’equazione del moto del modello è possibile ottenere rispettivamente le matrici di massa, smorzamento e rigidezza ed il vettore delle forze del modello:
pMm MSM 1 pMaLm CSSSC 12/12/1
pMaLm KSSSK 11 pMam fSSf 11
pu pu pu pf
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Fattori di scala da utilizzare I fattori di scala delle variabili fisiche indipendenti risulteranno:
Leggi di similitudine
12 TLa SSS LT SS
20LS
arbitrarioSM
Fattore di scala delle lunghezze
Fattore di scala delle accelerazioni
Fattore di scala delle masse Similitudine incompleta
2
LM SS Similitudine completa
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.
Progetto del modello in scala
MASSA
Lamine in
alluminio
Tavola vibrante
Tavola vibrante
Lamine in
alluminio
Accelerometro
m=50 grMassa
Collegamento
di base
Rosetta in acciaio
Vite autofilettante
Massa in legno
s=variabile
Piatto in alluminio
sezione rettangolare
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Progetto del modello in scala - Dimensionamento
Masse degli impalcacati
kgMM ellotot 15mod,
M
MM
S i
piprototipotot
M
,,
M
pi
miS
MM
,
,
mN
mi
m
m
m
M
M
M
M
M
,
,
,2
,1
0000
0000
00.00
0000
0000
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Progetto del modello in scala - Dimensionamento
Sezioni delle colonne
11
3
2
6
3
6
6
3
6
6
3
2
6
3
1
5
3
5
5
3
5
5
3
2
5
3
1
4
3
4
4
3
4
4
3
2
4
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
1
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
1
1
48480000
48484848000
048484848
00
0048484848
0
00048484848
0000484848
MaL
p
mSSS
K
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
K
Ni IIIII ,..,...,, 321
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Analisi Dinamica Sperimentale
La conoscenza del comportamento dinamico di una struttura può avvenire secondo due possibili approcci: • L’approccio analitico: partendo dalla conoscenza della geometria della struttura, delle condizioni al contorno e delle caratteristiche dei materiali, la distribuzione di massa, rigidezza e smorzamento della struttura è espressa tramite matrici di massa, rigidezza e smorzamento; da qui è possibile, risolvendo un problema agli autovalori, pervenire alla determinazione dei parametri modali del sistema (frequenze naturali, fattori di smorzamento e forme modali); • L’approccio sperimentale: partendo dalla misura dell’input dinamico sulla struttura e della risposta strutturale, si calcolano le funzioni di risposta in frequenza e si stimano, a partire da esse, i parametri dinamici della struttura.
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Analisi Dinamica Sperimentale
Le prove sperimentali di analisi dinamica si pongono come obiettivo fondamentale la possibilità di giungere alla valutazione della risposta della struttura alle sollecitazioni di lavoro e la possibilità di verificare un modello numerico di previsione del comportamento dinamico. ANALISI MODALE processo sperimentale che consente di ricavare i parametri modali propri della struttura (pulsazioni, coefficienti di smorzamento e deformate).
Input STRUTTURA Output Elaborazione numerica dei
segnali
PARAMETRI DINAMICI
Frequenze v
Rapporti di
smorzamento j
Forme modali Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica SISTEMA DI ECCITAZIONE
Strumentazione di laboratorio
SISTEMA DI ACQUISIZIONE
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3
-2
-1
0
1
2
3BURST RANDOM
Tempo [s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70BURST RANDOM
Frequenza [Hz]
Mo
du
lo
-60 -40 -20 0 20 40 60-60
-40
-20
0
20
40
60BURST RANDOM
Parte Reale
Pa
rte
Im
ma
gin
ari
a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4BURST RANDOM
Frequenza [Hz]
Fa
se
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.5
0
0.5
1BURST CHIRP
Tempo [s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1006
8
10
12
14
16
18
20
22BURST CHIRP
Frequenza [Hz]
Mo
du
lo
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-30
-20
-10
0
10
20
30BURST CHIRP
Parte Reale
Pa
rte
Im
ma
gin
ari
a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4BURST CHIRP
Frequenza [Hz]
Fa
se
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2IMPATTO
Tempo [s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2IMPATTO
Frequenza [Hz]
Mo
du
lo
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2IMPATTO
Parte Reale
Pa
rte
Im
ma
gin
ari
a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3
-2
-1
0
1
2
3
4IMPATTO
Frequenza [Hz]
Fa
se
Tipologie di segnali di eccitazione
Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale
Periodic Chirp
Periodic Random
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1
-0.05
0
0.05
0.1PURE RANDOM
Tempo [s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1PURE RANDOM
Frequenza [Hz]
Modulo
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1PURE RANDOM
Parte Reale
Part
e I
mm
agin
aria
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4PURE RANDOM
Frequenza [Hz]
Fase
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1Segnale periodico nel tempo di campionamento
t [s]
x(t
)
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100Spettro reale
f [Hz]
|X(t
)|
0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1Segnale non periodico nel tempo di campionamento
t [s]
x(t
)
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100Dispersione spettrale
f [Hz]
|X(t
)|
Sinusoidale
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Elaborazione numerica dei segnali
Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale
I segnali provenienti dai trasduttori sono CONTINUI NEL TEMPO e possono assumere tutti i valori fra un limite inferiore (VMIN) e uno superiore (VMAX)
Si hanno quindi ∞ valori del segnale fra 0 e T, ciascuno teoricamente caratterizzato da ∞ cifre.
Segnale Analogico: dato noto e/o disponibile all’utente con continuità nel tempo: può assumere un numero infinito di valori in qualunque dt (piccolo a piacere). Segnale Digitale: dato noto e/o disponibile all’utente in forma discreta nel dominio del tempo (può essere rappresentato con una sequenza di numeri).
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale
Si effettua quindi una doppia discretizzazione:
Campionamento consiste nel definire gli istanti di tempo in corrispondenza dei quali i dati devono essere osservati Conversione A/D converte il valore dei dati in una forma numerica.
Elaborazione numerica dei segnali
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Solitamente il campionamento avviene ad intervalli di tempo regolari. L’intervallo di tempo tra due campionamenti successivi è detto intervallo di campionamento; il suo inverso è detto frequenza di campionamento.
ss tf /1
1 iis tttIntervallo di campionamento:
Frequenza di campionamento:
TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO (SHANNON-NYQUIST):
la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare ambiguità nella ricostruzione del segnale è pari ad almeno il doppio della frequenza della componente armonica a frequenza più alta.
max2 ffs
ALIASING: Il segnale campionato non è più riconoscibile e sembra avere una frequenza più bassa del segnale analogico originario
Elaborazione numerica dei segnali
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Spesso la rappresentazione del segnale nel dominio del tempo non è abbastanza esplicativa.
Nel dominio della frequenza si possono studiare caratteristiche del segnale, altrimenti non visibili nel domino del tempo.
x(t) X(f)
F. T.
Elaborazione numerica dei segnali
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Un segnale periodico, ovvero un segnale che si ripete uguale a se stesso dopo un certo periodo di tempo T, può essere espresso come la somma di funzioni armoniche, ovvero è sviluppabile in Serie di Fourier (Bendat and Piersol 1980):
Una funzione non periodica può essere ancora interpretata come periodica, purché si consideri il periodo tendente all’infinito. Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è assolutamente reversibile.
Elaborazione numerica dei segnali
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Elaborazione numerica dei segnali
Time [sec]
14131211109876543210
Response A
ccele
ratio
n [g]
0,012
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
0
-0,002
-0,004
-0,006
-0,008
-0,01
-0,012
Frequency [Hz]
1.000
Fourier
Am
plit
ude
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
DOMINIO DELLA
FREQUENZA
DOMINIO DEL
TEMPO
x(t)
X(f)
F. T.
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Elaborazione numerica dei segnali
Il filtraggio è un processo che permette di limitare gli errori nei segnali. I diversi tipi di filtri esistenti vengono classificati in base alla forma della loro risposta armonica: •Passa basso •Passa alto •Passa banda •Taglia banda (notch)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Filtro Passa Basso
Frequenza [Hz]
Ga
in
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Filtro Passa Alto
Frequenza [Hz]
Ga
in
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Filtro Passa Banda
Frequenza [Hz]
Ga
in
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Filtro Taglia Banda
Frequenza [Hz]
Ga
in
Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica
Confronto
RISPOSTA NUMERICA VS RISPOSTA DEL MODELLO
RISPOSTA NUMERICA DEL MODELLO IN SCALA REALE VS RISPOSTA DEL PROTOTIPO