UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA – CENTRO DE TECNOLOGIA
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA
ÁREA EFETIVA NO CISALHAMENTO EM
MODELOS UNIDIMENSIONAIS PARA PREDIÇÃO
DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE
NAVIOS
Livia Laranjeira da Rocha Moura
Projeto de Graduação apresentado ao
corpo docente do Curso de Engenharia
Naval e Oceânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do título de Engenheira.
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Rio de Janeiro
Agosto de 2014
ii
ÁREA EFETIVA NO CISALHAMENTO EM
MODELOS UNIDIMENSIONAIS PARA PREDIÇÃO
DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE
NAVIOS
Livia Laranjeira da Rocha Moura
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA, UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE ENGENHEIRA.
Examinado por:
____________________________________
Prof. Ilson Paranhos Pasqualino, D. Sc.
____________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
____________________________________
Prof. Luiz Antonio Vaz Pinto, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO de 2014
iii
Moura, Livia Laranjeira da Rocha
Área Efetiva no Cisalhamento em Modelos
Unidimensionais para Predição de Frequências Naturais de
Vibração de Navios/ Livia Laranjeira da Rocha Moura. – Rio
de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2014.
XVI, 71 p.: il.; 29,7cm.
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Engenharia Naval e Oceânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 70-71.
1.Introdução 2.Objetivo 3.Revisão Bibliográfica
4.Fundamentos Teóricos 5.Análise Experimental 6.Análise
Numérica 7.Resultados e Conclusões 8.Referências
Bibliográficas
I.Pasqualino, Ilson Paranhos II.Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia
Naval e Oceânica III.Título
iv
“O mar é Deus e o barco sou eu
E o vento forte,
Que me leva para frente,
É o amor de Deus”
v
AGRADECIMENTOS
Eu agradeço a Deus por iluminar meu caminho e por ter guiado meus passos até aqui.
Tenho certeza de que os planos dEle para mim são grandiosos; maiores e melhores
do que os meus próprios planos.
Agradeço aos professores que motivaram minha busca por aprendizado e que, junto
com os amigos que tive a oportunidade de conhecer ao longo desses cinco anos de
jornada, fizeram com que eu amadurecesse pessoal e profissionalmente.
Pelo apoio financeiro em forma de bolsa de Iniciação Científica, agradeço à Petrobras.
Também agradeço ao meu orientador, professor Ilson Paranhos Pasqualino, que meu
auxiliou neste projeto e me aceitou como aluna de Iniciação Científica.
Em especial, gostaria de agradecer ao querido amigo e professor Severino Fonseca
da Silva Neto pela ajuda incansável, por ser uma pessoa tão bondosa e generosa,
pelo incentivo e pela amizade. O respeito, o carinho e a admiração de todos os alunos
e colegas que tiveram a oportunidade de conhecê-lo não são à toa. Muito obrigada e
“A Naval não tem limites”!
Eu agradeço aos meus pais, Ubirajara Jorge Moura e Astrid Maria Laranjeira da Rocha
Moura, e aos meus irmãos, Phellipe Laranjeira da Rocha Moura e Yasmin Laranjeira
da Rocha Moura, por estarem ao meu lado, incentivando, apoiando, torcendo, lutando
junto, cobrando e, principalmente, amando. O amor que eu sinto por vocês é
imensurável e imutável. Eu não poderia escolher família melhor e eu devo a vocês
tudo o que eu sou, então, obrigada!
Por fim, eu agradeço ao meu noivo e melhor amigo, Luiz Felipe de Azevedo Farias,
por cuidar de mim e acreditar quando eu não tinha mais forças para acreditar; pela
paciência, por seu meu maior incentivador e por me amar incondicionalmente. Você
faz todos os dias valerem a pena e quase oito anos ao seu lado não bastam. Sou sua
maior fã e amo você incondicionalmente. “Mesmo que tivesse o dom da profecia e
conhecesse todos os mistérios e toda a ciência; mesmo que tivesse toda a fé a ponto
de transportar montanhas, se não tivesse amor, nada seria”.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheira.
ÁREA EFETIVA NO CISALHAMENTO EM
MODELOS UNIDIMENSIONAIS PARA PREDIÇÃO
DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE
NAVIOS
Livia Laranjeira da Rocha Moura
Agosto/2014
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de investigar a influência do cálculo da
área efetiva no cisalhamento, pela teoria de fluxo de tensões cisalhantes em seções
de paredes finas, nas frequências naturais de vibração livre de cascos de tipos
distintos de navios. Esta influência é verificada por modelos em elementos finitos e por
medições em escala real.
Os modelos em elementos finitos utilizados são compostos por vigas (chamadas vigas
navio), baseadas na teoria das Vigas de Timoshenko. As propriedades das seções são
obtidas com o auxílio do programa PROSEC, em que é possível encontrar os valores
de área de aço total, momento de inércia e área efetiva ao cisalhamento vertical.
Espectros de amplitude de velocidade de vibração em função da frequência foram
obtidos das medições e permitiram identificar as primeiras frequências naturais da
vibração global do casco, que foram comparadas às frequências naturais obtidas no
modelo numérico. Os valores de massa adicional serão calculados pelos métodos
simplificados consagrados de Burril, Todd, Kumai e Landweber.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
EFFECTIVE SHEAR AREA IN ONE DIMENSIONAL
MODELS TO PREDICT NATURAL FREQUENCIES
OF VIBRATION OF SHIPS
Livia Laranjeira da Rocha Moura
August/2014
Advisor: Ilson Paranhos Pasqualino
Course: Naval and Ocean Engineering
This study was developed to investigate the influence of the calculation of the shear
effective area, by the theory of the flow shear stresses in thin-walled sections, on the
natural frequencies of free vibration of hulls of different types of ships. This influence is
verified by finite elements models and by experimental full-scale measurements.
The finite elements models used are constructed by beam-vessels, based on the
theory of Timosenko’s beams. The sections properties are obtained with the aid of
PROSEC program, from which is possible to find the total steel area, the moment of
inertia and the vertical effective shear area.
Spectra of velocity amplitude of vibration versus the frequency were obtained from the
measurements and allowed to identify the first natural frequencies of hull global
vibration, which were compared with the ones obtained by the numerical model. The
additional masses were calculated by method of Burril, Todd, Kumai and Landweber.
viii
Sumário
1. Introdução ............................................................................................................. 1
2. Objetivo ................................................................................................................. 2
3. Revisão Bibliográfica ............................................................................................. 3
4. Fundamentos Teóricos .......................................................................................... 4
5. Análise Experimental ........................................................................................... 12
6. Análise Numérica................................................................................................. 32
7. Resultados e Conclusões .................................................................................... 68
8. Referências Bibliográficas ................................................................................... 70
ix
Índice de Figuras
Figura 1 – Teoria de Viga de Timoshenko – Rotação da seção normal à linha média [9]
..................................................................................................................................... 7
Figura 2 – Coeficiente de massa adicional bidimensional para movimento vertical [18]
................................................................................................................................... 11
Figura 3 – Coeficiente de massa adicional bidimensional par movimento horizontal [18]
................................................................................................................................... 11
Figura 4 – Pontos de medição da vibração global durante prova de mar .................... 13
Figura 5 – Espectro de vibração para a condição de lastro ......................................... 14
Figura 6 – Espectro de vibração para a condição carregada ...................................... 15
Figura 7 – Pontos de medição da vibração global realizados a bordo ......................... 16
Figura 8 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 1V .............................. 17
Figura 9 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 2L............................... 18
Figura 10 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 3T ............................ 18
Figura 11 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 4V ............................ 19
Figura 12 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 6L............................. 19
Figura 13 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 7T ............................ 20
Figura 14 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 8V ............................ 20
Figura 15 – Seção mestra do modelo em acrílico SHE ............................................... 21
Figura 16 – Imagem do modelo em acrílico SHE ........................................................ 22
Figura 17 – Modelo em acrílico SHE com acelerômetros instalados ........................... 22
Figura 18 – Teste de impacto no modelo em acrílico SHE .......................................... 23
Figura 19 – Resultado experimental – Condição descarregada .................................. 24
Figura 20 – Resultado experimental – Condição carregada ........................................ 24
Figura 21 – Expectro de Vibrações do navio AvIn ....................................................... 26
Figura 22 – Navio tanker Itaituba ................................................................................ 27
x
Figura 23 – Arranjo geral do tanker Itaituba ................................................................ 27
Figura 24 – Navio AHTS ............................................................................................. 28
Figura 25 – Espectros de vibrações verticais do casco do AHTS................................ 29
Figura 26 – Barcaça CD Leblon .................................................................................. 30
Figura 27 – Perfil e vista superior da barcaça CD Leblon ........................................... 30
Figura 28 – Seção transversal dos tanques 1 e 3 ....................................................... 31
Figura 29 – Seção transversal do tanque 2 ................................................................. 31
Figura 30 – Seção mestra do navio petroleiro N/T Cantagalo ..................................... 33
Figura 31 – Modelo tridimensional do navio petroleiro N/T Cantagalo ........................ 34
Figura 32 – 1º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo
paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo ........................................................... 35
Figura 33 – 2º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo
paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo ........................................................... 35
Figura 34 – 3º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo
paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo ........................................................... 35
Figura 35 – Entrada de dados no programa PROSEC para obtenção das propriedades
do corpo paralelo do navio petroleiro N/T Cantagalo .................................................. 36
Figura 36 – Saída gráfica da seção mestra do corpo paralelo do navio petroleiro N/T
Cantagalo e suas propriedades .................................................................................. 37
Figura 37 – 1º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do
casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC ........................................................... 38
Figura 38 – 2º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do
casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC ........................................................... 38
Figura 39 – 3º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do
casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC ........................................................... 38
Figura 40 – Seção mestra do navio porta-contentor – Caverna 72 ............................. 40
Figura 41 – Seções a ré do porta-contentor – Caverna 27 à direita e caverna 36 à
esquerda ..................................................................................................................... 40
xi
Figura 42 – Seções a vante do porta-contentor – Caverna 136 à esquerda e caverna
141 à direita ................................................................................................................ 41
Figura 43 – Saída gráfica da seção mestra do corpo paralelo do navio porta-contentor
e suas propriedades ................................................................................................... 42
Figura 44 – 1ª modo de vibração lateral acoplada com torção – Translações do navio
porta-contentor ........................................................................................................... 43
Figura 45 – 1ª modo de vibração lateral acoplada com torção – Rotações do navio
porta-contentor ........................................................................................................... 43
Figura 46 – Vistas do modelo tridimensional ............................................................... 44
Figura 47 – Primeiro modo de flexão no plano vertical (plano XZ) – Modelo completo e
Modelo composto por superelementos ....................................................................... 45
Figura 48 – Primeiro modo de flexão no plano horizontal (plano XY) – Modelo completo
e Modelo composto por superelementos .................................................................... 45
Figura 49 – Primeiro modo de torção no plano transversal (plano YZ) – Modelo
completo e Modelo composto por superelementos ..................................................... 45
Figura 50 – Segundo modo de flexão no plano vertical (XZ) – Modelo completo e
Modelo composto por superelementos ....................................................................... 45
Figura 51 – Saída gráfica da seção o modelo em acrílico SHE ................................... 47
Figura 52 – Primeiro modo de vibração do modelo unidimensional - Condição
descarregada .............................................................................................................. 47
Figura 53 – Vista isomérica do modelo do navio AvIn ................................................. 48
Figura 54 – Primeiro modo de vibração vertical – AvIn ............................................... 49
Figura 55 – Caverna 17 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação
no PROSEC com suas propriedades .......................................................................... 50
Figura 56 – Caverna 34 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação
no PROSEC com suas propriedades .......................................................................... 51
Figura 57 – Caverna 39 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação
no PROSEC com suas propriedades .......................................................................... 52
Figura 58 – Caverna 44 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação
no PROSEC com suas propriedades .......................................................................... 53
Figura 59 – Modelo tridimensional do tanker Itaituba .................................................. 54
xii
Figura 60 – Primeiro modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba .. 55
Figura 61 – Segundo modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba . 56
Figura 62 – Terceiro modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba .. 56
Figura 63 – Quarto modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba .... 57
Figura 64 – Primeiro modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba 58
Figura 65 – Segundo modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba 59
Figura 66 – Terceiro modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba 59
Figura 67 – Quarto modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba .. 60
Figura 68 – Seção mestra do navio AHTS .................................................................. 60
Figura 69 – Seção mestra modelada no programa PROSEC ..................................... 61
Figura 70 – Primeiro modo de vibração do navio AHTS .............................................. 62
Figura 71 – Segundo modo de vibração do navio AHTS ............................................. 62
Figura 72 – Terceiro modo de vibração do navio AHTS .............................................. 63
Figura 73 – Quarto modo de vibração do navio AHTS ................................................ 63
Figura 74 – Quinto modo de vibração do navio AHTS ................................................ 64
Figura 75 – Cavernas da barcaça CD Leblon – Modelo tridimensional ....................... 64
Figura 76 – Seções dos tanques e anteparas longitudinais da barcaça CD Leblon .... 65
Figura 77 – Modelo tridimensional da barcaça CD Leblon .......................................... 65
Figura 78 – Seção transversal dos tanques 1 e 3 modelada no programa PROSEC .. 66
Figura 79 – Seção transversal do tanque 2 modelada no programa PROSEC ........... 67
xiii
Índice de Tabelas
Tabela 1 – Pontos de medição da vibração global durante prova de mar ................... 13
Tabela 2 – Frequências naturais de vibração para a condição de lastro ..................... 14
Tabela 3 – Frequências naturais de vibração para a condição carregada................... 15
Tabela 4 – Pontos de medição da vibração global realizados a bordo ........................ 16
Tabela 5 – Frequências naturais do modelo em acrílico SHE ..................................... 25
Tabela 6 – Pontos de medição – AvIn ........................................................................ 25
Tabela 7 – Frequências naturais dos dois primeiros modos de vibração .................... 26
Tabela 8 – Frequências naturais para os quatro primeiros modos de vibração do tanker
Itaituba ........................................................................................................................ 28
Tabela 9 – Frequências naturais de vibração para os quatro primeiros modos de
vibração do navio AHTS ............................................................................................. 29
Tabela 10 – Frequências naturais de vibração do modelo tridimensional prismático do
corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo ................................................. 34
Tabela 11 – Frequências naturais de vibração do modelo unidimensional do corpo
paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC ........................................ 37
Tabela 12 – Verificação da porcentagem de área efetiva no cisalhamento ................. 39
Tabela 13 – Frequências naturais do modelo completo e do modelo composto por
superelementos .......................................................................................................... 46
Tabela 14 – Frequência natural do modelo unidimensional descarregado .................. 48
Tabela 15 – Comparação entre as frequências naturais do modelo unidimensional e do
modelo tridimensional ................................................................................................. 54
Tabela 16 – Frequências naturais dos quatro primeiros modos de vibração do tanker
Itaituba ........................................................................................................................ 55
Tabela 17 – Frequências naturais dos quatro primeiros modos de vibração e massas
adicionais consideradas .............................................................................................. 58
Tabela 18 – Frequência natural de vibração do modelo unidimensional do navio AHTS
................................................................................................................................... 61
xiv
Tabela 19 – Frequências naturais dos modelos unidimensional e tridimensional ........ 67
xv
Lista de símbolos e definições
M, m Massa
M′ Massa adicional
B Boca do navio
b Meia boca do navio
d Calado do navio
c Amortecimento
k Rigidez
fs Força elástica
fd Força de amortecimento
f Força externa de excitação
x Aceleração nodal
x Velocidade nodal
x Deslocamento nodal
A0 Amplitude de movimento
Φ Amplitude de vibração
ω Frequência natural
ωa Frequência natural amortecida
φ Fase entre a força e o deslocamento
qs Fluxo de tensões cisalhantes no ponto s
Iyy Momento de inércia de área centroidal no plano y
Iyz Momento de inércia de área centroidal no plano yz
Izz Momento de inércia de área centroidal no plano z
Sy Força cortante aplicada na direção y
Sz Força cortante aplicada na direção z
y Coordenada y do centróide da área da seção
z Coordenada z do centróide da área da seção
xvi
V Força cortante
k′α Área efetiva ao cisalhamento
G Módulo de elasticidade do material
MCP Motor de Combustão Principal
[ ] Matriz
{ } Vetor
S(x) Área imersa da seção na posição x
b(x) Meia boa da seção na posição x
d(x) Calado da seção na posição x
M(x, t) Momento fletor
φ(x, t) Rotação do elemento de viga
β(x, t) Distorção do elemento de viga
1
1. Introdução
A vibração é o movimento oscilatório de um corpo em torno de um ponto de referência
e pode ser medida em aceleração ou em velocidade ou em deslocamento. Cada corpo
possui frequências naturais de vibração próprias, determinadas por sua massa e por
sua rigidez.
Quando a frequência de operação de um sistema coincide com sua frequência natural,
ocorrem vibrações excessivas que podem ser catastróficas, chamadas de
ressonância. A ressonância atua como um amplificador mecânico fazendo com que o
sistema passe a vibrar com amplitudes de deslocamento cada vez maiores. A predição
das frequências naturais de vibração de navios permite evitar condições de
ressonância durante sua operação.
Utilizando Modelos de Elementos Finitos (MEF), é possível construir modelos
tridimensionais de navios, por meio de sistemas computacionais, que apresentam
resultados confiáveis para análises estáticas. No entanto, este tipo de modelo requer
muito tempo para sua construção e para seu processamento. É conveniente, então, a
utilização de modelos unidimensionais, que são mais simples e práticos e consistem
em uma representação confiável do casco, quando consideradas a massa adicional e
a área efetiva no cisalhamento – esta última é bastante importante, uma vez que se
considera neste trabalho a viga navio de Timoshenko.
O cálculo da área efetiva de cisalhamento é complicado e muitas vezes estima-se esta
área como sendo metade ou um quarto da área estrutural local da seção. Em muitos
casos, esta não é uma boa aproximação – principalmente nas seções de popa, de
proa e nas seções-mestras não-convencionais.
É possível utilizar então a Teoria de Fluxo de Tensões Cisalhantes em seções de
paredes finas [MEGSON] para calcular a área efetiva no cisalhamento de seções
transversais de navios.
Neste trabalho, considera-se a área efetiva no cisalhamento obtida através de um
programa especialmente desenvolvido para esta finalidade, PROSEC. São
comparadas então as frequências naturais encontradas numericamente, utilizando os
modelos tridimensionais e unidimensionais, com as encontradas experimentalmente
em viagens de sete navios diferentes.
2
2. Objetivo
O objetivo deste trabalho é o levantamento de estudos pré-existentes de comparação
entre frequências naturais obtidas experimentalmente e as obtidas numericamente,
através de modelos tridimensionais e unidimensionais, a fim de validar a utilização da
modelação de cascos de navios como vigas unidimensionais.
3
3. Revisão Bibliográfica
BURRIL, KUMAI e TODD desenvolveram formulações matemáticas para encontrar a
massa adicional de navios a partir de sua massa total, boca e calado. Segundo
BURRIL:
M′ = M (1 +b
2d)
Segundo KUMAI:
M′ = M (1 +0,4B
d− 0,035 (
B
d)
2
)
Segundo TODD:
M′ = M (1,2 +b
3d).
LANDWEBER foi quem aperfeiçoou as fórmulas já existentes e criou novas fórmulas
pra o cálculo da massa adicional, através de relações admissionais envolvendo a
geometria do navio. Landweber apresenta os resultados obtidos por [LEWIS] plotados
em forma de curvas de coeficientes de massa adicional vertical e horizontal.
LEWIS desenvolveu o método da transformação conforme, que foi aperfeiçoado por
outros pesquisadores. Lewis considerou os resultados de uma seção circular para,
através do método da transformação, determinar os resultados para seções típicas de
navios.
RAO define que um sistema vibratório é um sistema mecânico em que as variáveis
são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório depende das
condições iniciais e das excitações externas. A maior parte dos sistemas vibratórios
reais é bastante complexa, o que torna impossível considerar todos os aspectos do
sistema para uma análise matemática. Então, apenas as características mais
importantes do sistema são consideradas nas análises feitas para prever o
comportamento do sistema em condições iniciais e excitação externa específicas. A
análise de um sistema vibratório consiste geralmente na modelação matemática,
obtenção das equações governantes, solução das equações e interpretação dos
resultados.
4
4. Fundamentos Teóricos
Os conceitos teóricos utilizados neste trabalho são apresentados ao longo deste
capítulo.
4.1. Lei de Newton
A equação do equilíbrio dinâmico descreve o comportamento do sistema mecânico
discreto do navio modelado pelo Método de Elementos Finitos e, para sua solução,
são aplicadas condições de contorno ao modelo desenvolvido. Aplica-se, então, a Lei
de Newton em cada grau de liberdade:
[M]{x} = −{fs} − {fd} + {f}
Após uma reordenação, temos:
[M]{x} + [c]{x} + [k]{x} = {f}
4.1.1. Obtenção da Vibração pela Aplicação da Lei de Newton
A vibração de um sistema massa, mola e amortecedor pode ser obtida por:
mu + cu + ku = f(t)
Nesta equação, u, u e u correspondem respectivamente à aceleração, à velocidade e
ao deslocamento do grau de liberdade estudado.
Na vibração livre, após uma breve perturbação do sistema, ou seja, f(t) = 0, a solução
da equação leva ao deslocamento:
u(t) = A0e−(
c2m
)tcos(ωat + φ)
E a frequência natural amortecida é dada por:
ωa = √k
m− (
c
2m)
2
= 2πfa
Para o caso crítico de ressonância, a frequência natural do sistema é pouco sensível
ao amortecimento devido a k
m≫ (
c
2m)
2, então as variáveis determinantes são a rigidez
e a massa.
5
4.1.2. Vibração de Sistemas Discretos
Para a obtenção das frequências naturais e os respectivos modos de vibração de
sistemas discretos, a equação para o cálculo de vibrações livres é dada por RAO [10]:
[M]{u} + [k]{u} = 0
Supondo a solução de {u} como sendo:
{u} = {Φ}sen[ω(t − t0)]
Substituindo {u} na equação de equilíbrio, temos que:
[k]{Φ} = ω2[M]{Φ}
Sendo o quadrado das frequências naturais, ω2, os autovalores e os modos de
vibração do sistema, Φ, os autovetores. Existem diferentes métodos – diretos ou
iterativos – eficientes para a solução desta última equação, sendo os métodos
iterativos mais utilizados para solucionar sistemas grandes. Foram utilizados métodos
iterativos para encontrar os primeiros autovalores e autovetores dos sistemas deste
trabalho.
4.2. Vibração da Viga Navio
A viga navio é um sistema contínuo, uma vez que sua rigidez e sua massa são
distribuídas continuamente. Sistemas contínuos sofrem vibrações de três tipos:
torcionais, longitudinais e laterais (horizontais e verticais). Estes tipos de vibração são
gerados pela ação das forças dinâmicas que agem no casco do navio e em elementos
estruturais locais.
Nos navios, a vibração pode ocorrer de duas maneiras: vibração global (vibração da
viga navio) ou vibração local. Esta última ocorre em frequências maiores e representa
a vibração de uma parte da estrutura do navio, como a superestrutura ou o convés,
por exemplo.
De forma geral, a vibração livre de sistemas contínuos dá-se em todos os modos
naturais e, em uma determinada frequência natural, todas as partículas do sistema
movimentam-se harmonicamente de forma simultânea e na configuração do modo
natural correspondente. Entretanto, é possível excitar o sistema num modo natural
específico, por meio da imposição das condições de contorno adequadas, e neste
caso o sistema vibrará apenas na frequência correspondente a este modo.
6
No estudo de vibrações do navio, o casco é considerado como uma viga: a viga navio.
Existem duas principais teorias que estudam este caso: a teoria Euller-Bernoulli e a
teoria de Timoshenko. A diferença entre as duas teorias é que, na teoria de Euller-
Bernoulli, a seção transversal da viga é considerada pequena em relação ao seu
comprimento, não incluindo o efeito de rotação das seções. Já na teoria de
Timoshenko, o efeito de rotação das seções é considerado, além da deformação
causada pela força cisalhante. No caso da viga navio, as dimensões da seção mestra
não podem ser consideradas pequenas em relação ao comprimento do navio.
Neste estudo optou-se por utilizar a teoria de Timoshenko, uma vez que esta teoria
considera aspectos adicionais, como o cisalhamento devido à flexão e à torção.
4.2.1. Viga de Timoshenko
A teoria da viga de Timoshenko considera a análise da inércia de rotações das seções
e também a análise do efeito da força cisalhante. A consideração do casco do navio
como uma viga de Timoshenko requer que sua dimensão transversal, ou seja a boca
do navio, seja maior ou igual a 10% de seu comprimento.
Nesta teoria, considera-se que seções planas mantêm-se planas. Apesar disso, após
a deformação, uma seção normal ao eixo da viga pode não manter esta característica.
Torna-se possível então levar em conta a deformação que se deve ao cisalhamento.
Isto porque, à medida em que a razão entre o comprimento e a altura da seção
aumenta, as tensões cisalhantes na direção da altura passam a ser significativas e
portanto não podem ser desprezadas.
A inércia de rotação das seções é utilizada para que o efeito da rotação de cada seção
seja considerado, e em cada seção a rotação máxima é diferente. Para a seção
central da viga, a rotação é nula.
7
Figura 1 – Teoria de Viga de Timoshenko – Rotação da seção normal à linha média [9]
O elemento de viga, que já havia sofrido uma rotação φ(x, t) devido ao momento fletor
M(x, t), sofre também uma distorção β(x, t) devido às forças cortantes. Assim, a
rotação final da viga é dada por:
dy(x, t)
dx= φ(x, t) − β(x, t)
Essas hipóteses auxiliam em maiores precisão e realidade das frequências naturais
obtidas da vibração de vigas em flexão.
4.3. Método de Elementos Finitos
O Método de Elementos Finitos é um método de resolução numérica de um sistema
de equações diferenciais parciais e sua utilização requer, muitas vezes, a simplificação
da geometria do objeto de estudo e esta simplificação deve ser tal que os resultados
sejam o mais realista possível.
Antes de iniciar a análise da estrutura, deve-se ter em vista algumas questões, como a
consideração de análise dinâmica ou estática. Como as ações que atuam na estrutura
são geralmente dinâmicas, as forças de inércia devem ser consideradas, associadas
às acelerações a que cada um dos componentes está sujeito. Em muitos casos,
porém, considera-se que estas ações são suficientemente lentas, de forma que as
forças de inércias podem ser desprezadas. Nestes casos, faz-se uma análise estática.
Neste trabalho considerou-se a análise estática.
8
Comumente, considera-se que os deslocamentos provocados pelas ações exteriores
são suficientemente pequenos em relação às dimensões dos componentes da
estrutura e, portanto, o estudo é feito com base na geometria inicial sem deformação.
Neste caso, admite-se que não há influência na distribuição dos esforços e das
tensões quando a geometria da estrutura é modificada. Se os deslocamentos não
puderem ser desprezados, então faz-se a análise considerando uma não-linearidade
geométrica. No presente estudo, foi considerada a análise com linearidade
geométrica.
A geometria pode ainda ser considerada como sólida, laminar ou reticulada para
efeitos de análise. As geometrias sólidas são as mais genéricas e são aquelas que
não se enquadram nas outras duas classificações. Já as estruturas laminares são as
que se desenvolvem para ambos os lados de uma superfície média, mantendo-se em
sua vizinhança. Por fim, as estruturas reticuladas são aquelas constituídas por barras
prismáticas, cujas dimensões transversais são muito pequenas quando comparadas
ao comprimento do respectivo eixo. Considerou-se neste estudo uma geometria
laminar, em que a espessura é muito inferior às demais dimensões. A geometria
laminar pode ainda ser dividida em parede, laje ou casca plana. Uma parede é sujeita
apenas a ações paralelas ao seu plano médio; uma laje é sujeita a forças
perpendiculares ao plano médio e momentos nos quais o vetor correspondente está
contido no plano médio; e, por fim, uma casca plana é a estrutura laminar sujeita a
outros tipos de ações. Se a superfície média não é plana, tem-se uma casca
tridimensional. Neste trabalho, considera-se a estrutura laminar de parede.
Nos casos em que não se pode considerar que a relação entre tensões e deformações
é linear para o material que constitui a estrutura, é necessária a utilização de
algoritmos de análise não linear do material. Considera-se neste trabalho a análise
linear do material.
4.4. Rigidez
As propriedades das seções do navio podem ser obtidas através da Teoria do Fluxo
de Tensões Cisalhantes em seções de paredes finas, cujos fundamentos, descritos
em Megson [8], são baseados nas seguintes hipóteses:
A espessura do material é considerada pequena em relação às demais
dimensões da seção;
9
As tensões cisalhantes são distribuídas uniformemente na espessura da
parede;
O material é linear e isotrópico.
Para uma seção plana qualquer, tem-se que o fluxo de tensões cisalhantes em um
ponto s da seção é dado por:
qs = − (Sz
Iyy) (∫ tzds
s
0
+ ∑ bz) − (Sy
Izz) (∫ tyds
s
0
+ ∑ by) + q0
Neste caso, b é a área do reforço que absorve tensões normais, porém não absorve
tensões cisalhantes. Sendo que:
Sy =
Sy − Sz (Iyz
Iyy)
1 −Iyz
2
IyyIzz
e:
Sz =Sz − Sy (
Iyz
Izz)
1 −Iyz
2
IyyIzz
De acordo com a Teoria Elementar de Flexão de Vigas, assume-se que a inclinação
da elástica devido a uma força cortante, V, é:
dw
dx=
V
k′αG
E, a partir do Princípio do Valor Estacionário da Energia Complementar Total do
Sistema Elástico, tem-se:
dw
dx= ∫τ∗λtds
s
Onde q∗2 = τ∗t e λ = q/(Gt) e, se o sistema elastíco é linear, então, q = V. Logo:
dw
dx=
V
G∫
q∗2
tds
s
Igualando as equações, temos que área efetiva ao cisalhamento, k′α, em função do
fluxo de tensões cisalhantes é dada então por:
k′α = (∫ (q∗2
t) ds
s
)
−1
10
No método proposto, q∗ deve ser determinada considerando a força cortante unitária
na direção relevante em questão, e considera-se que as paredes da seção são
compostas por elementos retilíneos, o que subestima a área efetiva ao cisalhamento
em cerca de 1%. A consideração de elementos retilíneos é justificada pela menor
dificuldade na solução das integrais.
4.5. Massa adicional
O fato de a viga navio encontrar-se parcialmente submersa implica na consideração
do conceito da massa adicional.
Devido à sua elevada massa específica, a água tem influência significativa na vibração
da estrutura do navio, havendo a necessidade de considerar a interação entre a
estrutura e o fluido para uma modelagem mais precisa da vibração global do navio.
A massa adicional está relacionada à reação que as partículas do meio fluido geram
no casco, conforme este se movimenta, e depende da profundidade submersa do
casco e da geometria do casco. O valor calculado para a massa adicional deve ser
somado ao valor da massa do navio para encontrar a massa total.
Em 1776, Dubua identificou o que chamamos de massa adicional por meio de
experimentos com objeto em movimento em fluido incompressível e não viscoso.
Dubua percebeu que os resultados dos cálculos das forças hidrodinâmicas atuantes
nos objetos eram distintos dos resultados experimentais.
Green [3], em 1833, e Stokes [15], em 1843, foram os primeiros a desenvolver
expressões matemáticas para a massa adicional de esferas. A partir disso, diversos
pesquisadores desenvolveram expressões diferentes para o cálculo da massa
adicional de corpos arbitrários.
Alguns dos métodos hidrodinâmicos mais comumente usados para o cálculo da massa
adicional são os de Burrill [1], Kumai [4] [5], Todd [17] e Landweber [6].
De acordo com Gamarra, Landweber e Macagno [6] construíram, após a
transformação conforme, curvas práticas para representar os coeficientes de massa
adicional bidimensionais vertical, Cv, e horizontal, Ch, em função de λ e σ, onde:
λ =b(x)
d(x)
σ =s(x)
2b(x)d(x)
11
A Figura 2 e a Figura 3 ilustram as curvas para obtenção de Cv e Ch, respectivamente,
em função de λ e σ.
Figura 2 – Coeficiente de massa adicional bidimensional para movimento vertical [18]
Figura 3 – Coeficiente de massa adicional bidimensional par movimento horizontal [18]
12
5. Análise Experimental
Foram levantados os estudos numéricos e experimentais realizados para sete navios
diferentes de forma a validar o cálculo das áreas efetivas no cisalhamento por modelos
em elementos finitos unidimensionais, utilizando a teoria do fluxo de tensões
cisalhantes em seções de paredes finas.
A obtenção das frequências naturais experimentalmente ocorreu durante provas de
mar ou viagens de navio e, no caso do navio SHE, em medições no Laboratório de
Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV). Estas frequências naturais foram
comparadas àquelas obtidas por análises numéricas, com a utilização de modelos em
elementos finitos unidimensionais. Os modelos eram formados por vigas, cujas
propriedades foram obtidas a partir do programa PROSEC, que é baseado na teoria
do fluxo de tensões cisalhantes em seções de paredes finas.
5.1. Medições Experimentais
O método de medição utilizado consiste na instalação de acelerômetros, ou
transdutores de aceleração, em pontos estratégicos do casco, da superestrutura e da
praça de máquinas do navio. Dessa forma, pode ser feita a aquisição simultânea das
vibrações correspondentes aos graus de liberdade selecionados, permitindo a
identificação do modo de vibração.
5.2. Casos Estudados
Como explicado anteriormente, foram levantados estudos de sete navios diferentes.
Estes navios são: petroleiro N/T Cantagalo e porta-contentor [11], modelo de acrílico
SHE, AvIn, tanker Itaituba, AHTS e barcaça CD Leblon [13].
5.2.1. Navio Petroleiro N/T Cantagalo
As medições no navio petroleiro N/T Cantagalo foram feitas nos dias 21 e 23 de
novembro de 1990 durante uma viagem entre Rio de Janeiro e Lagoa Parda.
Os dados apresentados para esta embarcação foram retirados da referência [11] deste
trabalho. As medições de vibração global foram feitas simultaneamente em três pontos
do casco: popa, passadiço e motor. A faixa de rotação variou de 130 a 151 rpm e os
pontos de medição podem ser vistos na Figura 4 e na Tabela 1, onde V, L e T indicam
as direções vertical, longitudinal e transversal do navio, respectivamente.
13
Figura 4 – Pontos de medição da vibração global durante prova de mar
Tabela 1 – Pontos de medição da vibração global durante prova de mar
Identificação Local Direção da Vibração
1V Convés do Tombadilho, Ré Vertical
2L Convés do Tijupá, Vante da Superestrutura Longitudinal
3T Topo do MCP, Vante do MCP Transversal
Os valores dos espectros de vibração medidos na prova de mar para as condições de
carga e de lastro indicam que, independente da posição ou frequência de rotação
escolhida do motor, há picos máximos de amplitude em frequências não coincidentes
com as múltiplas do motor. Estas são indicadas como as frequências naturais de
vibração do casco, excitadas por impulsos provocados pelo movimento do casco na
14
água. Os espectros selecionados para as condições de lastro e de carga são
mostrados respectivamente na Figura 5 e na Figura 6, e seis dos picos máximos de
cada espectro são mostrados na Tabela 2 e na Tabela 3:
Figura 5 – Espectro de vibração para a condição de lastro
Tabela 2 – Frequências naturais de vibração para a condição de lastro
Resultados Experimentais (Condição de Lastro)
Modos de Vibração Frequências Naturais de Vibração
1º 0,9081 Hz
2º 2,2840 Hz
3º 3,9770 Hz
4º 5,3530 Hz
5º 6,3240 Hz
6º 7,1390 Hz
15
Figura 6 – Espectro de vibração para a condição carregada
Tabela 3 – Frequências naturais de vibração para a condição carregada
Resultados Experimentais (Condição Carregada)
Modos de Vibração Frequências Naturais de Vibração (Hz)
1º 0,9620
2º 2,0040
3º 3,1260
4º 4,7700
5º 5,9320
6º 7,1740
5.2.2. Navio Porta-Contentor
São ao todo 180 cavernas não-equidistantes entre si ao longo dos 126,08 metros de
comprimento deste navio. Os dados apresentados para esta embarcação foram
retirados da referência [11] deste trabalho.
As medições de vibração global foram feitas em diferentes rotações do motor e em
oito pontos da estrutura: dois deles no convés principal, três deles no topo da
16
superestrutura, dois deles no topo do MCP e, por fim, o último deles no mancal de
escora. A faixa de rotação variou de 70 a 195 rpm e os pontos de medição podem ser
vistos na Figura 7 e na Tabela 4, onde V, L e T indicam as direções vertical,
longitudinal e transversal do navio, respectivamente.
Figura 7 – Pontos de medição da vibração global realizados a bordo
Tabela 4 – Pontos de medição da vibração global realizados a bordo
Identificação Local Direção da Vibração
1V Convés Principal, Popa Vertical
2L Topo da Superestrutura, Vante Longitudinal
3T Topo da Superestrutura, Vante Transversal
4V Topo da Superestrutura, Vante Vertical
5V Convés Principal, Vante da Superestrutura Vertical
6L Mancal de Escora, Ré do MCP Longitudinal
7T Topo do MCP, Vante Transversal
8V Topo do MCP, Vante Vertical
17
Neste caso, são observados os pontos 3T e 7T, uma vez que estão diretamente
relacionados à vibração transversal.
A partir dos espectros obtidos nas medições, foram plotados gráficos das evoluções
dos principais harmônicos (1º, 5º e 8º) em função da rotação do MCP para as
condições de lastro, que são mostrados na Figura 8, Figura 9, Figura 10, Figura 11,
Figura 12, Figura 13 e Figura 14. A medição no ponto 5V apresentou defeitos de
aquisição.
Figura 8 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 1V
18
Figura 9 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 2L
Figura 10 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 3T
19
Figura 11 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 4V
Figura 12 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 6L
20
Figura 13 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 7T
Figura 14 – Gráfico de evolução na condição de lastro – Ponto 8V
É possível notar que, nos pontos 3T e 7T (Figura 10 e Figura 13), que são os pontos
de interesse, para as componentes harmônicas de primeira ordem, a frequência
natural da vibração acoplada horizontal-torcional é próxima a 2,2 Hz, com a frequência
21
do motor um pouco acima de a 130 rpm e amplitudes de velocidade iguais a 1,75
mm/s e 2,6 mm/s, respectivamente.
5.2.3. Modelo em acrílico SHE
A embarcação SHE é um modelo em escala, construído em acrílico, com uma
estrutura similar a de um navio cargueiro. Possui 2,9 metros de comprimento, boca de
0,4 metros e pontal de 0,25 metros.
Este modelo foi construído no Japão e trazido ao Brasil para ser estudado no
Laboratório de Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV). A Figura 15 ilustra
a seção mestra do modelo e a Figura 16 mostra o modelo sobre um colchão de ar.
Figura 15 – Seção mestra do modelo em acrílico SHE
22
Figura 16 – Imagem do modelo em acrílico SHE
A aquisição dos dados experimentais foi feita a partir de acelerômetros instalados no
modelo, durante o teste de impacto. Os resultados experimentais foram obtidos a
referência [2]. A Figura 17 mostra o modelo em acrílico com os acelerômetros
instalados e a Figura 18 ilustra o teste de impacto realizado. Esta aquisição foi feita
com a utilização de uma nova técnica, chamada SIMO (Single Input Mutiple Output),
explicada na referência [2].
Figura 17 – Modelo em acrílico SHE com acelerômetros instalados
23
Figura 18 – Teste de impacto no modelo em acrílico SHE
Os resultados do primeiro modo de vibração na condição descarregada e na condição
carregada são ilustrados na Figura 19 e na Figura 20, respectivamente, e mostrados
na Tabela 5.
24
Figura 19 – Resultado experimental – Condição descarregada
Figura 20 – Resultado experimental – Condição carregada
25
Tabela 5 – Frequências naturais do modelo em acrílico SHE
Condição Frequências Naturais
Carregada 74,33 Hz
Descarregada 88,81 Hz
5.2.4. Navio AvIn
A embarcação Aviso de Instrução (AvIn) possui 51 cavernas. Os dados experimentais
para esta embarcação foram retirados da referência [7]. As medições foram feitas em
oito pontos distintos, mostrados na Tabela 6.
Tabela 6 – Pontos de medição – AvIn
Identificação Local
1 Fixação do Pé de Galinha no Casco, Popa
2 Tubo Telescópico, Popa
3 Mancal de Apoio do Eixo, Popa
4 Motor
5 Popa na Linha de Centro
6 Bombordo da Popa
7 Boreste da Popa
8 Convés da Antepara, Linha de Centro
A Figura 21 ilustra o espectro de vibração da embarcação e a Tabela 7 mostra as
frequências naturais dos dois primeiros modos de vibração.
26
Figura 21 – Expectro de Vibrações do navio AvIn
Tabela 7 – Frequências naturais dos dois primeiros modos de vibração
Modos de Vibração Frequência Natural
1º modo 11,00 Hz
2º modo 22,10 Hz
5.2.5. Navio tanker Itaituba
A Figura 22 ilustra o navio tanker Itaituba, que faz parte da frota da Transpetro e
começou a operar em 1992. Todos os modelos e informações desta embarcação
foram retirados de [13].
27
Figura 22 – Navio tanker Itaituba
A Figura 23 mostra o arranjo geral do navio Itaituba.
Figura 23 – Arranjo geral do tanker Itaituba
Para a condição de lastro, as frequências naturais encontradas para os quatro
primeiros modos de vibração são mostrados na Tabela 8.
28
Tabela 8 – Frequências naturais para os quatro primeiros modos de vibração do tanker Itaituba
Modos de Vibração Frequências Naturais
1º modo 1,04 Hz
2º modo 2,08 Hz
3º modo 2,98 Hz
4º modo 3,90 Hz
5.2.6. Navio AHTS
Em embarcações do tipo AHTS - Anchor Handling Tug Supply - é comum que a
superestrutura e a praça de máquinas estejam posicionadas a vante da embarcação.
Desta forma, o eixo propulsivo extende-se por mais da metade do comprimento da
embarcação, podendo sofrer forte influência do casco em relação às frequências de
vibração. Todos os resultados e modelos apresentados para esta embarcação foram
retirados da [13].
Figura 24 – Navio AHTS
29
A Figura 25 mostra os resultados das vibrações verticais do casco do navio, em forma
de gráfico de amplitude de velocidade de vibração em função da frequência, por
medições experimentais.
Figura 25 – Espectros de vibrações verticais do casco do AHTS
A frequência em cada pico do gráfico representa uma frequência natural para um dado
modo de vibração. A Tabela 9 mostra as frequências naturais para os quatro primeiros
modos de vibração.
Tabela 9 – Frequências naturais de vibração para os quatro primeiros modos de vibração do navio AHTS
Modo de Vibração Frequência Natural
1º modo 2,5 Hz
2º modo 5,0 Hz
3º modo 8,3 Hz
4º modo 9,9 Hz
5.2.7. Barcaça CD Leblon
Todos os modelos e resultados dessa embarcação foram retirados da referência [13].
A Figura 26 ilustra a barcaça CD Leblon.
30
Figura 26 – Barcaça CD Leblon
A embarcação CD Leblon é uma barcaça fechada de casco duplo e sem propulsão,
destinada ao transporte de óleo pesado e de óleo diesel. A barcaça foi construída em
2000 e sua estrutura segue o sistema longitudinal de reforço, com um comprimento
total de 54 metros, boca de 13 metros e pontal de 4,34 metros.
A Figura 27 mostra o perfil e a vista superior da barcaça, em que os tanques 1 e 3 são
utilizados para o transporte de óleo pesado, nos dois bordos, e o tanque 2 é dividido
em um tanque central e dois tanques laterais, sendo o central destinado ao transporte
de óleo diesel e os laterais ao transporte de óleo pesado.
Figura 27 – Perfil e vista superior da barcaça CD Leblon
31
A Figura 28 apresenta a seção transversal dos tanques 1 e 3, enquanto a Figura 29
apresenta a seção transversal do tanque 2.
Figura 28 – Seção transversal dos tanques 1 e 3
Figura 29 – Seção transversal do tanque 2
A barcaça CD Leblon foi instrumentada com o objetivo de checar tensões e
deformações para torção, uma vez que, apesar de operar há cerca da metade de sua
via útil, a embarcação já apresenta problemas estruturais evidenciados por
deformações plásticas, perceptíveis a olho nu [11]. A embarcação não foi
instrumentada para medição das frequências naturais.
32
6. Análise Numérica
Neste trabalho, são analisados os modelos em elementos finitos unidimensionais, que
foram construídos a partir de elementos de viga. Com as dimensões principais e os
espaçamentos de cavernas foram definidas as extremidades de cada elemento.
As propriedades de cada elemento são obtidas de dados do material e de dados
geométricos da seção transversal, sendo estes últimos encontrados com o auxílio do
programa PROSEC.
Após calculadas as matrizes de rigidez e massa por um programa baseado no Método
de Elementos Finitos, as frequências naturais são obtidas e os modos de vibração são
visualizados pela solução do problema de autovalor-autovetor.
As frequências naturais encontradas na análise experimental são comparadas às
frequências naturais obtidas para os modelos unidimensionais, o que permite validar a
possibilidade de utilizar a Teoria do Fluxo de Tensões Cisalhantes em seções de
paredes finas para representar navios por modelos de vigas.
6.1. Modelos unidimensionais
Nos modelos unidimensionais, os nós são representados pelos espaçamentos entre
cavernas e os elementos de viga apresentam as propriedades de rigidez e de massa
da seção mestra, que são extrapoladas para todas as demais seções, de acordo com
a razão entre a boca e o pontal de cada seção.
A condição de carregamento e a massa adicional são acrescidas ao modelo na forma
de elementos de massa.
Para o cálculo da área de material efetiva no cisalhamento, foi utilizado o programa
PROSEC, baseado na Teoria do Fluxo de Tensões Cisalhantes em seções de paredes
finas, em que se pode obter a área total de aço e os momentos de inércia. No
PROSEC, a estrutura é composta por strings, células e ramais.
Os strings definem a geometria da seção e são elementos retilíneos cuja posição no
plano YZ é dada por nós. O nó inclui a informação da espessura da chapa, t, e, no
caso de representar um reforço, inclui a área transversal, b, deste. Sempre que houver
um elemento estrutural longitudinal, mudança de espessura ou junção de chapas,
deve existir um nó.
As células são os espaços fechados da seção e são definidas por strings.
33
Os ramais definem a sequência de determinação dos fluxos de tensões cisalhantes
para a seção aberta e também são compostos por strings.
6.2. Casos Estudados
Como explicado anteriormente, foram levantados estudos de sete navios diferentes.
Estes navios são: petroleiro N/T Cantagalo e porta-contentor [11], modelo de acrílico
SHE, AvIn, tanker Itaituba, AHTS e barcaça CD Leblon [13].
6.2.1. Navio Petroleiro N/T Cantagalo
Todas as informações e modelos apresentados para este navio foram encontrados na
referência [11] deste trabalho. O método utilizado para o cálculo da massa adicional é
o de Landweber [6], devido a sua generalidade. A seção mestra do petroleiro
encontra-se ilustrada na Figura 30.
Figura 30 – Seção mestra do navio petroleiro N/T Cantagalo
A Figura 31 apresenta o modelo tridimensional do navio petroleiro utilizado para fins
de comparação com o modelo unidimensional.
34
Figura 31 – Modelo tridimensional do navio petroleiro N/T Cantagalo
Os elementos de casca não possuem rigidez relativa aos graus de liberdade de
rotação de seus planos, então foi utilizada como condição de contorno a fixação de
algumas rotações para avaliar as frequências. Notou-se que a fixação da rotação no
plano x ou simultaneamente nos planos y e z resulta em frequências equivocadas,
com acréscimo de rigidez inexistente. Então, foram utilizados os valores das
frequências naturais dos três primeiros modos de vibração, considerando as condições
de contorno Rx, Rz ou Rx + Rz, mostrados na
Tabela 10, para serem posteriormente comparados aos valores do modelo
unidimensional.
Tabela 10 – Frequências naturais de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo
Modos de vibração Frequências Naturais (Hz)
1º modo 13,642
2º modo 22,774
3º modo 32,550
As figuras abaixo – Figura 32, Figura 33 e Figura 34 – correspondem ao primeiro,
segundo e terceiro modo de vibração do modelo tridimensional, respectivamente.
35
Figura 32 – 1º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo
Figura 33 – 2º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo
Figura 34 – 3º modo de vibração do modelo tridimensional prismático do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo
O modelo unidimensional é bem mais simples do que o modelo tridimensional, quanto
ao tempo de construção e quanto ao tempo de processamento. Para a elaboração do
modelo unidimensional, alguns parâmetros são necessários e entre eles estão as
36
propriedades mecânicas e estruturais da seção mestra da embarcação em questão.
Essas propriedades foram obtidas através do programa PROSEC, desenvolvido por
Troyman [19].
A Figura 35 ilustra a utilização do programa para caracterizar a seção mestra que se
tem em vista. Para esta caracterização são utilizados strings, células e ramais,
explicados no 6.1.
Figura 35 – Entrada de dados no programa PROSEC para obtenção das propriedades do corpo paralelo do navio petroleiro N/T Cantagalo
A Figura 36 ilustra a saída gráfica da seção do corpo paralelo e suas propriedades.
37
Figura 36 – Saída gráfica da seção mestra do corpo paralelo do navio petroleiro N/T Cantagalo e suas propriedades
O modelo unidimensional, construído com os valores de área total (2,281 m2), área
efetiva no cisalhamento vertical (0,4891 m2, ou seja, 21% do total) e área efetiva no
cisalhamento horizontal (0,7811 m2, ou seja, 34% do total) retirados do PROSEC
apresentou os três primeiros modos de vibração mostrados na Tabela 11 e na Figura
37, Figura 38 e Figura 39.
Tabela 11 – Frequências naturais de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC
Modos de vibração Frequências Naturais
1º modo 14,07 Hz
2º modo 23,09 Hz
3º modo 33,07 Hz
As figuras a seguir (Figura 37, Figura 38 e Figura 39) ilustram os três primeiros modos
de vibração do modelo unidimensional.
38
Figura 37 – 1º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC
Figura 38 – 2º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC
Figura 39 – 3º modo de vibração do modelo unidimensional do corpo paralelo do casco do Petroleiro N/T Cantagalo – PROSEC
39
Após a análise das frequências naturais obtidas considerando os resultados das
propriedades mecânicas calculadas pelo programa PROSEC, variou-se a área efetiva
no cisalhamento para verificar qual percentual faria com que os resultados fossem o
mais próximo possível dos resultados do modelo tridimensional. Os percentuais
considerados foram de 10%, 15%, 17% e 20%.
Tabela 12 – Verificação da porcentagem de área efetiva no cisalhamento
Modelo
unidimensional –
10%
Modelo
unidimensional –
15%
Modelo
unidimensional –
17%
Modelo
unidimensional –
20%
10,8 Hz 12,6 Hz 13,2 Hz 14,0 Hz
16,7 Hz 20,2 Hz 21,3 Hz 22,9 Hz
23,4 Hz 28,4 Hz 30,0 Hz 32,4 Hz
É possível perceber que o resultado que mais se aproxima daqueles do modelo
tridimensional são os do modelo com 20% de área efetiva no cisalhamento, validando
o resultado obtido pelo programa PROSEC, de 21%.
6.2.2. Navio Porta-Contentor
Todas as informações e modelos apresentados para este navio foram encontrados na
referência [11] deste trabalho. A seção mestra do porta-contentor encontra-se ilustrada
na Figura 40.
40
Figura 40 – Seção mestra do navio porta-contentor – Caverna 72
Foram consideradas ainda mais quatro seções, duas a ré (Figura 41) e duas a vante
(Figura 42), para os cálculos de área de seção.
Figura 41 – Seções a ré do porta-contentor – Caverna 27 à direita e caverna 36 à esquerda
41
Figura 42 – Seções a vante do porta-contentor – Caverna 136 à esquerda e caverna 141 à direita
Conforme explicado para o navio petroleiro, no item 6.2.1, a caracterização das
seções no PROSEC é feita por strings, células e ramais. A partir do PROSEC, é
possível obter as propriedades necessárias para a elaboração do modelo
unidimensional. A Figura 43 ilustra a saída gráfica da seção do corpo paralelo e suas
propriedades.
42
Figura 43 – Saída gráfica da seção mestra do corpo paralelo do navio porta-contentor e suas propriedades
O modelo unidimensional foi construído com os valores de área total (1,5375 m2), área
efetiva no cisalhamento vertical (0,2920 m2, ou seja, 19% do total) e área efetiva no
cisalhamento horizontal (0,31926 m2, ou seja, 21% do total) retirados do PROSEC.
A Figura 44 mostra as translações do primeiro modo de vibração lateral e a Figura 45
ilustra suas respectivas rotações.
43
Figura 44 – 1ª modo de vibração lateral acoplada com torção – Translações do navio porta-contentor
Figura 45 – 1ª modo de vibração lateral acoplada com torção – Rotações do navio porta-contentor
Na mesma frequência calculada numericamente, 2,16 Hz, acontecem as vibrações no
modo lateral de rotação do corpo rígido (Figura 44) e no modo de torção do casco
(Figura 45). Este resultado está bem próximo ao valor de frequência resultante de
medições na prova de mar, igual a 2,2 Hz.
44
6.2.3. Modelo em acrílico SHE
A primeira representação da estrutura do modelo foi feita por um modelo de elementos
finitos com elementos de casca, considerando todos os nós livres, ou seja, sem
condições de contorno, de forma a evitar erros causados por possíveis movimentos de
corpo rígido.
O modelo estrutural numérico utilizado na análise é mostrado na Figura 46.
Figura 46 – Vistas do modelo tridimensional
Como o modelo não possui restrições, as seis primeiras frequências naturais são
relacionadas a movimentos de corpo rígido e não foram consideradas. Os modos sete
a dez de vibração são as frequências naturais do modelo e são caracterizados por:
7º modo de vibração: primeiro modo de flexão no plano vertical (plano XZ);
8º modo de vibração: primeiro modo de flexão no plano horizontal (plano XY);
9º modo de vibração: primeiro modo de torção no plano transversal (plano YZ);
10º modo de vibração: segundo modo de flexão no plano vertical (XZ).
As figuras a seguir (Figura 47, Figura 48, Figura 49 e Figura 50) apresentam os modos
de vibração de sete a dez, respectivamente, sendo o modelo completo à esquerda e o
modelo composto por superelementos à direita.
45
Figura 47 – Primeiro modo de flexão no plano vertical (plano XZ) – Modelo completo e Modelo composto por superelementos
Figura 48 – Primeiro modo de flexão no plano horizontal (plano XY) – Modelo completo e Modelo composto por superelementos
Figura 49 – Primeiro modo de torção no plano transversal (plano YZ) – Modelo completo e Modelo composto por superelementos
Figura 50 – Segundo modo de flexão no plano vertical (XZ) – Modelo completo e Modelo composto por superelementos
46
A Tabela 13 mostra as frequências naturais encontradas para os modos de vibração 7
ao 10, tanto para o modelo completo, quanto para o modelo composto por
superelementos.
Tabela 13 – Frequências naturais do modelo completo e do modelo composto por superelementos
Modos de
Vibração
Frequências
Naturais
Modelo Completo
Frequências Naturais
Modelo de
Superelementos
Diferença
7º 68.9 Hz 72.6 Hz 5,37%
8º 88.0 Hz 95,1 Hz 8,07%
9º 117.8 Hz 121.1 Hz 2,80%
10º 133.0 Hz 147.3 Hz 10,75%
Para a construção do modelo unidimensional, foi utilizado o programa PROSEC, que
calcula a área de material, a área efetiva no cisalhamento, a posição do centro de
cisalhamento e os principais momentos de inércia da seção mestra da embarcação. A
saída gráfica da seção do modelo do programa PROSEC está ilustrada na Figura 51.
47
Figura 51 – Saída gráfica da seção o modelo em acrílico SHE
Foi feito um segundo modelo no programa PROSEC com mais detalhes, para a
obtenção de resultados mais precisos. Em ambos os modelos, a área da seção
transversal foi a mesma e os demais valores foram bem próximos. Como os dois
modelos estavam prontos, optou-se por utilizar o modelo mais detalhado.
A Figura 52 ilustra o primeiro modo de flexão e a Tabela 14 mostra a frequência
natural correspondente a este modo, considerando a área efetiva no cisalhamento
como a área transversal total e a obtida do programa PROSEC.
Figura 52 – Primeiro modo de vibração do modelo unidimensional - Condição carregada
48
Tabela 14 – Frequência natural do modelo unidimensional carregado
Condição Frequência Natural
100% área
Frequência Natural
PROSEC
Carregada 67,69 Hz 64,06 Hz
6.2.4. Navio AvIn
O modelo em elementos finitos tridimensional foi construído em 1990 e convertido
para o Nastran 2004 em 2007. Foram encontradas as frequências naturais e do eixo
propulsor, além dos modos de vibração livre, a partir do modelo global e também de
um modelo composto por superelementos.
Como citado anteriormente, os modelos tridimensionais, apesar de apresentarem bons
resultados, requerem muito tempo para sua construção e para o seu processamento e,
portanto, são comparados os resultados obtidos para os modelos unidimensionais com
os obtidos para os modelos tridimensionais.
Todos os modelos e informações apresentados para este navio foram retirados de
[13]. O perfil da embarcação é mostrado na Figura 53.
Figura 53 – Vista isomérica do modelo do navio AvIn
A Figura 54 ilustra o primeiro modo global de vibração vertical, que se deu a uma
frequência de 11,24 Hz, com predominância de vibração do casco. Já o segundo
49
modo de vibração vertical global ocorreu a uma frequência de 21,93 Hz, com
predominância de vibração acoplada do casco e do eixo propulsor.
Figura 54 – Primeiro modo de vibração vertical – AvIn
Para a construção do modelo unidimensional foram modeladas 4 cavernas no
programa PROSEC, que são: 17, 34, 39 e 44.
As figuras a seguir (Figura 55, Figura 56, Figura 57 e Figura 58) ilustram as seções da
embarcação e as saídas gráficas após a modelação destas seções no programa
PROSEC.
50
Figura 55 – Caverna 17 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação no PROSEC com suas propriedades
51
Figura 56 – Caverna 34 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação no PROSEC com suas propriedades
52
Figura 57 – Caverna 39 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação no PROSEC com suas propriedades
53
Figura 58 – Caverna 44 – Seção da embarcação AvIn e saída gráfica após modelação no PROSEC com suas propriedades
Para o modelo unidimensional, o primeiro modo de vibração vertical global ocorreu a
uma frequência de 11,29 Hz, com predominância da vibração do casco, enquanto o
segundo modo deu-se a uma frequência de 22,16 Hz, com predominância de vibração
acoplada do casco com o eixo propulsor.
A Tabela 15 mostra os valores encontrados para os modelos unidimensional e
tridimensional e o erro relativo entre estes.
54
Tabela 15 – Comparação entre as frequências naturais do modelo unidimensional e do modelo tridimensional
Modelo
unidimensional
Modelo
tridimensional
Diferença (%)
1º modo 11,29 Hz 11,24 Hz 0,44
2º modo 22,16 Hz 21,93 Hz 1,05
É possível perceber que as diferenças encontradas nas frequências naturais para os
modelos unidimensional e tridimensional são muito pequenas e que, portanto, a
simplicidade e agilidade na construção e no processamento do modelo unidimensional
o tornam mais viável e com resultados confiáveis.
6.2.5. Navio tanker Itaituba
O modelo tridimensional da embarcação encontra-se ilustrado na Figura 1.
Figura 59 – Modelo tridimensional do tanker Itaituba
O navio foi analisado como um corpo livre, ou seja, sem a utilização de condições de
contorno.
55
Para encontrar a massa adicional a ser incluída no modelo tridimensional, foi utilizado
o modelo unidimensional, construído com o auxílio do programa PROSEC.
A massa de lastro foi inserida no modelo tridimensional como elemento de massa e
sua distribuição foi feita com base no plano de capacidades do navio. Da mesma
forma, a massa adicional também foi inserida ao modelo em forma de elemento de
massa, distribuída uniformemente pelo casco. Com o modelo tridimensional ajustado,
fez-se a análise modal e foram obtidas as frequências naturais dos quatro primeiros
modos de vibração para a condição de lastro, mostradas na Tabela 16.
Tabela 16 – Frequências naturais dos quatro primeiros modos de vibração do tanker Itaituba
Modos de Vibração Frequências Naturais
1º modo 1,16 Hz
2º modo 2,33 Hz
3º modo 3,34 Hz
4º modo 4,54 Hz
As figuras a seguir (Figura 60, Figura 61, Figura 62 e Figura 63) ilustram os quatro
primeiros modos de vibração do navio.
Figura 60 – Primeiro modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba
56
Figura 61 – Segundo modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba
Figura 62 – Terceiro modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba
57
Figura 63 – Quarto modo de vibração do modelo tridimensional do tanker Itaituba
O modelo unidimensional e os resultados deste modelo foram retirados da referência
[16]. O momento de inércia e a área da seção transversal são obtidos a partir da seção
mestra do navio. Para obter a área efetiva no cisalhamento, recorreu-se a um modelo
tridimensional, em que as propriedades da seção transversal são definidas com
precisão.
Na primeira análise do modelo unidimensional, a área efetiva no cisalhamento foi
considerada como a área resistente de aço da seção transversal e, posteriormente,
foi-se reduzindo esta área até que a frequência natural do primeiro modo de vibração
se aproximasse o máximo possível do valor obtido para o modelo tridimensional. A
porcentagem final para a área efetiva no cisalhamento foi de 12% da área de aço da
seção transversal da viga, resultando numa frequência natural no primeiro modo de
vibração de 2,80 Hz.
Inseriu-se então no modelo unidimensional as massas não-estruturais, correspondente
à massa de lastro, idêntica à condição da prova de mar (análise experimental).
Por fim, foi inserida a massa adicional até que a frequência natural do primeiro modo
de vibração se aproximasse o máximo possível do valor obtido na medição
experimental. Essa massa adicional foi considerada como elementos de massa
distribuídos uniformemente ao longo do navio. Notou-se que a massa adicional variava
conforme o modo de vibração. A Tabela 17 indica as frequências naturais para os
quatro primeiros modos de vibração e as massas adicionais consideradas.
58
Tabela 17 – Frequências naturais dos quatro primeiros modos de vibração e massas adicionais consideradas
Modos de Vibração Frequências Naturais Massa adicional
1º modo 1,04 Hz 11200 ton
2º modo 2,08 Hz 14800 ton
3º modo 2,98 Hz 22400 ton
4º modo 3,90 Hz 26500 ton
As figuras a seguir (Figura 64, Figura 65, Figura 66 e Figura 67) representam os
quatro primeiros modos de vibração para o modelo unidimensional.
Figura 64 – Primeiro modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba
59
Figura 65 – Segundo modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba
Figura 66 – Terceiro modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba
60
Figura 67 – Quarto modo de vibração do modelo unidimensional do tanker Itaituba
6.2.6. Navio AHTS
Neste trabalho, é apresentado um modelo em elementos finitos unidimensional de um
navio AHTS com 74,3 metros de comprimento total, 17,0 metros de boca e 7,2 metros
de pontal.
O procedimento utilizado para o desenvolvimento deste modelo foi descrito na
referência [14] e consiste no cálculo no módulo de seção mínimo através das regras
da sociedade classificadora American Bureau of Shipping (ABS). Posteriormente a
topologia estrutural da embarcação foi sintetizada conforme Figura 68. Encontrou-se
então o módulo de seção, o momento de inércia e a área de aço da seção mestra
através da planilha mostrada na referência [14], que foram utilizados para a
construção do modelo unidimensional.
Figura 68 – Seção mestra do navio AHTS
61
Com a inserção de todos os dados da seção, o programa PROSEC faz os cálculos e
seus resultados são mostrados na saída gráfica da seção, mostrada na Figura 69.
Figura 69 – Seção mestra modelada no programa PROSEC
Após a finalização do modelo unidimensional, foram obtidas as frequências naturais
para os cinco primeiros modos de vibração, apresentadas na Tabela 18.
Tabela 18 – Frequência natural de vibração do modelo unidimensional do navio AHTS
Modo de Vibração Frequência Natural
1º modo 2,52 Hz
2º modo 5,47 Hz
3º modo 8,68 Hz
4º modo 11,70 Hz
5º modo 14,60 Hz
62
As figuras a seguir (Figura 70, Figura 71, Figura 72, Figura 73 e Figura 74) ilustram os
modos de vibração do casco no modelo unidimensional.
Figura 70 – Primeiro modo de vibração do navio AHTS
Figura 71 – Segundo modo de vibração do navio AHTS
63
Figura 72 – Terceiro modo de vibração do navio AHTS
Figura 73 – Quarto modo de vibração do navio AHTS
64
Figura 74 – Quinto modo de vibração do navio AHTS
6.2.7. Barcaça CD Leblon
As figuras a seguir (Figura 75, Figura 76 e Figura 77) ilustram o modelo tridimensional
da barcaça CD Leblon.
Figura 75 – Cavernas da barcaça CD Leblon – Modelo tridimensional
65
Figura 76 – Seções dos tanques e anteparas longitudinais da barcaça CD Leblon
Figura 77 – Modelo tridimensional da barcaça CD Leblon
A área total de aço na seção transversal típica, os momentos de inércia, a área efetiva
no cisalhamento, além da altura da linha neutra foram obtidos por meio do programa
66
PROSEC. Como a embarcação apresenta duas seções típicas diferentes, foram
gerados dois arquivos no PROSEC.
A Figura 78 ilustra a seção transversal dos tanques 1 e 3 modelada no programa
PROSEC, enquanto a Figura 79 ilustra a seção transversal do tanque 2.
Figura 78 – Seção transversal dos tanques 1 e 3 modelada no programa PROSEC
67
Figura 79 – Seção transversal do tanque 2 modelada no programa PROSEC
Para as regiões de popa e de proa foram feitas estimativas a partir das características
dos tanques 3 e 1, respectivamente. A Tabela 19 indica os três primeiros modos de
vibração para os modelos unidimensional e tridimensional.
Tabela 19 – Frequências naturais dos modelos unidimensional e tridimensional
Modo de
Vibração
Frequência Natural
Modelo unidimensional
Frequência Natural
Modelo tridimensional
1º modo vertical 15,7 Hz 17,6 Hz
2º modo horizontal 34,0 Hz 32,3 Hz
3º modo vertical 36,0 Hz 39,0 Hz
68
7. Resultados e Conclusões
Os resultados das análises numéricas foram comparados aos resultados obtidos
experimentalmente, porém é necessário ter em vista que pode haver erros nas
análises experimentais, ou seja, os resultados podem não ser confiáveis.
Atualmente, há uma nova técnica utilizada para verificar resultados experimentais,
chamada Single Input Multiple Output (SIMO), utilizada na referência [2] deste
trabalho. Esta técnica foi utilizada para aferir os resultados experimentais do modelo
em acrílico SHE.
Para o modelo em acrílico percebeu-se que as frequências naturais encontradas nos
modelos numéricos unidimensional são inferiores aos valores encontrados
experimentalmente. É possível justificar esta ocorrência pela inclusão de rigidez do
colchão sobre o qual o modelo está apoiado. Recomenda-se para trabalhos futuros o
estudo detalhado da rigidez do colchão, através da medição da força vertical e
deslocamento em diversos pontos, de forma a obter as condições de contorno
necessárias aos modelos.
Nos resultados obtidos para o porta-contentor, retirados da referência [12], há uma
grande confiança nas informações obtidas a partir do PROSEC, que levaram a um
resultado satisfatório quando comparadas com as informações experimentais. É
possível, porém, que erros no cálculo da rigidez e da massa adicional tenham se
anulado, quando combinados, de forma a resultar em frequências naturais de vibração
próximas àquela obtidas experimentalmente.
Para a embarcação Aviso de Instrução (AvIn) os resultados foram validados devido à
aproximação satisfatória entre os resultados encontrados na medição experimental e
nos modelos unidimensional e tridimensional.
O tanker Itaituba apresentou ótimos resultados comparando as frequências naturais
obtidas experimentalmente e aquelas obtidas por meio de um modelo tridimensional.
Para o modelo unidimensional, porém os resultados foram obtidos com a variação da
massa adicional de forma a igualar as frequências naturais do modelo àquelas obtidas
experimentalmente e, portanto, este modelo não pode ser utilizado para validação dos
demais resultados.
Os modelos em elementos finitos tridimensional e unidimensional apresentaram
resultados próximos, mas não foram validados por dados experimentais, uma vez que
a barcaça CD Leblon não foi instrumentada para medição das frequências naturais.
69
A embarcação AHTS apresentou os resultados do modelo unidimensional muito
próximos daqueles obtidos experimentalmente. Quanto a modelos tridimensionais, foi
feito um modelo no software Nastran, que apresentou diversos modos locais, gerando
dúvidas. Posteriormente, foi desenvolvido um modelo tridimensional no software
Abaqus que indicava que os resultados do modelo anterior eram possivelmente
aceitáveis. Ainda assim, sugere-se, para trabalhos futuros, a elaboração de um
modelo tridimensional mais confiável para a embarcação AHTS.
O petroleiro N/T Cantagalo apresentou resultados muito próximos para os modelos em
elementos finitos unidimensional e tridimensional.
Embora os resultados encontrados neste levantamento sejam animadores, seria
interessante continuar este estudo por meio de um modelo real construído em
alumínio, que é uma sugestão para trabalhos futuros.
70
8. Referências Bibliográficas
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NECI Technical Reports.
[2] Chapouto, R.F., 2014, “Análise Modal na Monitoração e Diagnóstico de Problemas
de Vibração em Navios”, Projeto Final de Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
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Transactions of the Royal Society of Edinburgh.
[4] Kumai, T., 1959, “On the Virtual Inertia Coefficients of the Vertical Vibration of
Ships”, J.S.N.A. of Japan.
[5] Kumai, T., 1975, “On the Three-Dimensional Entrained Water in Vibration of Lewis
Section Cylinder with Finite Length”, Transactions of the West-Japan Society of
Naval Architecture.
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Oscillating in a Free Surface”, Journal of Ship Research.
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Modelos Numéricos para Diagnóstico de Problemas de Vibração do Casco e Praça
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Janeiro, Brasil.
[8] Megson, T.H.G., 1967, “Linear Analysis of Thin Walled Elastic Structures,
Oscillating in a Free Surface”, Journal of Ship Research.
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[11] Silva, C.A.C, 2010, “Análise Computacional e Experimental de Tensões de uma
Barcaça”, Projeto Final de Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
[12] Silva, F., 2014, “Investigação de Propriedades Mecânicas de Modelos
Unidimensionais de Navios para Análise de Vibração”, Dissertação de Mestrado,
UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
[13] Silva, O.P.S., 2013, “Effective Shear Area in One Dimensional Ship Hull Finite
Element Models to Predict Natural Frequencies of Vibration”, 32nd International
Conference on Ocean, Offshore and Arctic Engineering, OMAE.
71
[14] Souza, A., 2009, “Comportamento Dinâmico da Linha de Eixo Propulsor de
AHTS com a Influência da Flexibilidade de seu Casco”, Projeto Final de
Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil..
[15] Stokes, G.G., 1850, “On the Effect of Internal Friction on the Motion of
Pendulums”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society.
[16] Teixeira, G.S., 2012, “Utilização de Modelos Numéricos Calibrados por
Medições em Escala Real para Diagnóstico e Análise de Vibração Transversal de
Motores em Praças de Máquinas de Navios”, 24º Congresso Nacional de
Transporte Aquaviário, Construção Naval e Offshore.
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Frequencies”, North East Coast Institution of Engineers and Shipbuilders
Transactions.
[18] Troyman, A.C.R., 1983, “Cálculo da Resposta e das Frequências Naturais de
Vibração da Viga-Navio pelo Método das Diferenças Finitas”, Dissertação de
Mestrado, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
[19] Troyman, A.C.R., 1987, “Área Efetiva no Cisalhamento e Centro de
Cisalhamento de Seções Transversais de navios”, Revista Brasileira de
Engenharia, Vol.4 N1.