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Arte e Ma temtic a
Episdio: A Matemtica na Msica
ResumoA srieArte e Matemticaest dividida em dois episdios: A Forma que se Transforma e
A Matemtica na Msica. Nesta ficha, utilizaremos apenas o segundo, cujo objetivo
apresentar as relaes existentes entre a msica e a matemtica, focando as regularidades,
os aspectos histricos e as razes que levaram vrios compositores a escolherem os padres
matemticos em suas obras. Este vdeo tem durao de 26 minutos e est dividido em dois
blocos. O professor Luiz Barco apresenta situaes de reflexo sobre o desenvolvimento da
arte e da cincia, como por exemplo, os estudos de Pitgoras e as relaes matemticas
encontradas na msica, trazendo uma forma diferente de olhar tanto a arte como a cincia.
Os diversos grficos enriquecem as explicaes sobre conceitos musicais e matemticos,
possibilitando ao espectador compreender suas principais caractersticas, tais como a
durao das notas numa composio e suas frequncias sonoras. Alguns depoimentos de
msicos e maestros reforam aspectos histricos sobre o desenvolvimento do estudo da
msica associado aos nmeros e padres matemticos. A srie Arte e Matemtica um
excelente material pedaggico para se entender conceitos de fsica ondulatria, as escalas
musicais e a matemtica que rege os sons tonais que conhecemos. Por isso, convido-o a
explorar este vdeo e a utilizar as atividades descritas nesta ficha pedaggica em sua prtica
docente. Mas sempre importante que voc analise suas condies e escolha a melhor
forma de aplic-las.
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Palavras-chaveArte e matemtica, expresses, criao artstica, matemtica na msica.
Nvel de ensino
Ensino Mdio (1 srie).
Componente curricular
Matemtica.
Disciplinas relacionadas
Fsica, Artes (Msica), Informtica.
Aspectos relevantes do vdeo
A linguagem do vdeo apropriada a alunos de ensino mdio, apresentando
dinamismo com extensa movimentao de imagens, grficos e diversidade de telas.
narrado, em parte, pelo professor Luiz Barco e, em outros momentos, por uma jovem que
geralmente encaminha o espectador a exemplos e simulaes; alm disso, convidados
profissionais permitem a compreenso do tema com seus depoimentos e explicaes
complementares. Os conceitos referentes Msica e Matemtica esto associados a
aspectos histricos e a conceitos de fsica encontrados no currculo escolar, possibilitando a
utilizao deste vdeo por vrios professores, de reas diferentes.
Esto presentes vrios msicos e compositores que explicam aspectos relacionados harmonia, ritmo, sensaes e diferentes maneiras de se entender a msica. O professor
Luiz Barco e a narradora fornecem os elementos matemticos envolvidos no tema e,
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juntamente com as simulaes grficas, auxiliam o ouvinte a visualizar os padres
matemticos encontrados nas teorias musicais.
Durao da atividade
5 aulas, sendo as 4 primeiras seqenciais e a ltima, de preferncia, com espaamento de
uma semana para auxiliar no desenvolvimento do projeto proposto.
O que o aluno poder aprender com estas aulas
Identificar ritmo e melodia a partir da audio de sons apresentados em gravaes ou por
meio de instrumentos musicais.
Compreender o conceito de som como onda mecnica e outros conceitos associados a ele,
tais como frequncia e durao.
Aplicar relaes matemticas na construo dos conceitos de frequncia e durao de sons.
Elaborar esteticamente uma representao musical a partir do uso adequado dos conceitos
estudados, demonstrando ampliao de seu campo mental.Formular sugestes aos demais colegas, numa perspectiva positiva e fazendo uso de
vocabulrio adequado, como forma de aperfeioamento dos trabalhos das outras equipes.
Conhecimentos prvios que devem ser trabalhados pelo professor com o
aluno
Fraes.
Ondas mecnicas (estudo bsico do 9 ano).
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Estratgias e recursos da aula/descrio das atividades
Aula 1
(Para desenvolver esta aula, voc precisar usar o laboratrio de Informtica).
Inicie sensibilizando os alunos ao tema. Pea para que eles escrevam numa folha de papel
uma definio de som. Em seguida, apresente o vdeo Sound e Salt(disponvel em
http://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=38),o
qual trata de uma experincia que utiliza uma chapa de ferro com sal, associada a diferentes
freqncias sonoras.
Em seguida, questione-os novamente sobre o conceito de som. Cada aluno dever
ler sua definio, escrita anteriormente no papel e acrescida de mais informaes aps a
visualizao do vdeo. Por meio de sua mediao, faa-os compreender o som como onda
mecnica. Instigue-os mencionando o movimento realizado pelo sal na chapa e o prprio
som que foi se alterando, ficando cada vez mais agudo. Converse com eles sobre quais
relaes podem existir entre ondas mecnicas, sons (graves e agudos), msica ematemtica. Mesmo que a discusso esteja interessante, interrompa-a e exiba o vdeoArte e
Matemtica, usando o trecho em que Wyntor Marsalis explica o que msica (trecho entre
200 e 337). Retorne s discusses, questionando sobre a definio apresentada pelo
msico.
Para finalizar esta aula, apresente o Otomata(Online Generative Music Instrument)
que se encontra no seguinte endereo: http://www.earslap.com/projectslab/otomata. Trata-
se de um gerador sequencial de sons por meio de cellular automaton, isto , um modelomatemtico feito por computador. Deixe os alunos explorarem o aplicativo, clicando no
linkClick here to play with it in your browser.
http://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=38http://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=385/28/2018 Arte e Matematica a Matematica Na Musica
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Aula 2
(Para desenvolver esta aula voc pode convidar o professor de Artes/Msica)
Nesta aula, os alunos iro estudar a durao dos sons e suas representaes.
As msicas, em geral, so escritas ou registradas em um formato especfico,
chamado partitura, muito diferente dos textos em linguagem corrente. Para escrever uma
partitura, necessrio usar smbolos que representam as notas, tanto os sons como suas
duraes. As representaes das notas so dispostas em linhas diferentes daquelas
encontradas nos cadernos pautados convencionais. Trata-se do pentagrama: um conjunto
de cinco linhas em que as notas so escritas, constituindo a escrita da msica, propriamente.
Observe o desenho:
e assista ao vivo, 24 horas.
Este um exemplo de uma partitura, da cano Samba Lel. Observe o pentagrama,
no qual esto dispostas as representaes das notas que, por sua vez, ocupam lugares
diferentes. Cada linha ou espao representa um som distinto: sol, f, l, d e assim por
diante. Agora, cante a msica e observe que cada som tem uma durao diferente. Isto o
que d o ritmo da msica. A durao dos sons definida pelas figuras: semnima, colcheia,semicolcheia. Existem outras ainda: mnima, fusa e semifusa.
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No incio da partitura, aparece o tempo do compasso dado por dois nmeros
dispostos um sobre o outro. Neste caso, 2 e 4, que se l dois por quatro. A cano Samba
Lel dois por quatro, diria um msico. O que isto significa? simples. O tempo do
compasso indica de quantos tempos ser cada compasso (agrupamento das notas separadas
por um pequeno trao vertical) e qual ser a nota que valer um tempo. Cada figura que
representa as duraes dos sons representada por um nmero (por conveno). De forma
que a semibreve o dobro da mnima, que por sua vez o dobro da semnima, e assim por
diante. Encontramos essa nomenclatura relacionando nmeros e figuras de durao de sons:
semibreve mnima semnima colcheia semicolcheia
16 8 4 2 1
Vejamos: se o tempo da msica Samba Lel dois por quatro, isto significa que
cada compasso desta msica ser formado por dois tempos e a unidade de tempo ser a
semnima (seguindo o quadro acima). Se uma partitura for dois por oito, sabemos que cada
compasso, neste caso, formado por dois tempos e a unidade de tempo uma mnima.
Outro exemplo: numa partitura em que o tempo de compasso for trs por quatro, temos uma
msica com compassos de trs tempos e a semnima como unidade de tempo. Este exemplo
tpico das valsas. O maestro rege marcando os tempos com a batuta e, em geral, faz
movimentos que os representam, contando baixinho: e um, e dois, e trs, e um, e dois, e
trs, e um, e dois, e trs...
e assista ao vivo, 24 horas.
A participao do professor de artes/msica pode ajud-lo a compreender melhor
estes padres musicais, mas o importante voc observar com os alunos as questes
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matemticas que esto por trs das partituras e de suas representaes. No se trata de uma
aula de msica, embora o professor de artes possa aproveitar a anlise matemtica das
partituras para aprimorar um trabalho musical com a turma.
Inicie a aula distribuindo cpias de algumas partituras, que voc pode conseguir nos
sites a seguir, ou solicite aos alunos que tragam exemplares, caso estudem msica.
Os sites sugeridos so:
http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdf
http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdf
http://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdf
Faa uma roda de conversa e explore o material, perguntando o que eles sabem
sobre aqueles desenhos (notas), sobre a forma de se escrever msicas, isto , o que so
partituras. Aborde as representaes dos sons e das duraes e como esto agrupados em
compassos, definidos no incio da partitura pela representao numrica (dois por quatro,
por exemplo). Os nomes das figuras so semibreve, mnima, semnima, colcheia,semicolcheia, lembrando que cada uma representa a metade da anterior, nessa ordem.
Apresente o quadro que mostra os nmeros (16, 8, 4, 2 e 1) associados, por
conveno, s figuras musicais. Observe com os alunos como elas aparecem em cada
compasso, isto , se a partitura for dois por quatro (2/4), sabemos que a unidade a
semnima e que cabem duas delas num mesmo compasso. Muitas perguntas podem ser
feitas a partir desses conceitos. Veja algumas sugestes:
1) Quantas colcheias cabem num compasso desse tipo (2/4, por exemplo)?2) Identifique o tempo de compasso nas partituras distribudas na sala.
http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdfhttp://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdfhttp://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdf5/28/2018 Arte e Matematica a Matematica Na Musica
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3) Por que, no compasso da msica Samba Lel, o 1 compasso tem 6 notas e o 2compasso apenas duas? Reforce que cada smbolo traz a nota e sua durao.
4) Em seguida, pea aos alunos que indiquem, em cada partitura, a unidade de tempo eas relaes (matemticas) existentes na distribuio dos valores das notas. Por
exemplo, se um aluno estiver com uma partitura trs por quatro, quer dizer que cada
compasso tem trs tempos, cada tempo ocupado por uma semnima ou duas
colcheias. E, neste caso, um nico compasso pode ser composto por uma mnima (2
tempos, porque o dobro da semnima) + uma semnima (1 tempo, ou unidade de
tempo nesta partitura).
Como o importante aqui explorar as relaes matemticas de uma partitura,
procure escolher partituras nas quais seja fcil identificar esses elementos.
Observe mais informaes sobre o assunto nos sites a seguir:
http://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/
http://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_prelimi
nares.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.php
Aula 3
Nessa aula, inicie fazendo uma pequena recordao das ideias discutidas na aula
anterior: partitura, diviso de compasso, tempo de compasso, figuras musicais, sons e
apresente um trecho de uma partitura de forma que no haja divises grficas dos
compassos, isto , no existam os pequenos traos que definem os compassos. Os alunos
devem coloc-los, respeitando a indicao do tempo (2/4, 4/4, 2/8...). Se quiser, use a
partitura de Balaio, msica folclrica do Rio Grande do Sul (disponvel em
http://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdf).
http://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/http://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.phphttp://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdfhttp://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.phphttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/5/28/2018 Arte e Matematica a Matematica Na Musica
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A seguir, a imagem da partitura sem a diviso dos compassos:
e assista ao vivo, 24 horas.
Ao trmino da atividade, o trecho desta partitura deve ficar assim:
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Para finalizar, exiba o vdeoArte e Matemtica, usando o trecho em que o baterista
Mestre Divino explica as diferentes duraes das notas para gerar ritmos diversos (trechoentre 337 e 444).
Antes de iniciar uma discusso sobre o trecho do vdeo, cante com os alunos o
trecho da partitura da cano Balaio, usado para o exerccio anterior, supondo que todas as
notas sejam iguais a semnimas, isto , todas as notas com a mesma durao e valendo um
tempo. Os alunos devem perceber que as figuras musicais definem a durao dos sons e,
assim, caracterizam o ritmo da msica. Se, numa partitura, forem alteradas as duraes das
notas, ainda que os sons sejam os mesmos, teremos uma msica diferente.
e assista ao vivo, 24 horas.
Discuta com os alunos sobre estas questes que envolvem as duraes das notas e
os ritmos das msicas. E reforce as relaes matemticas existentes nas partituras entre as
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duraes dos sons, representadas pelas figurais musicais (mnima, semnima, colcheia...), e
os tempos de compasso que definem quantas notas cabem num mesmo compasso.
Para finalizar, pergunte aos alunos o que significam os sons que o Mestre Divino
reproduz pela boca (tagadagad, tagad, tagadagad...), os quais eles ouviram no trecho do
vdeo. O que o Mestre Divino est representando com esse som oral?
Faa a mediao dessa conversa, auxiliando os alunos a compreenderem que esse
som produzido por Mestre Divino corresponde s diferentes duraes dos sons e, portanto,
s figuras musicais. Questione ainda como seria uma partitura de uma bateria. e pea para
que eles registrem num papel. Lembre-se de que este papel deve ter pentagramas e que eles
devem fazer somente indicaes de figuras musicais para representar diferentes duraes
das batidas da baqueta na bateria.
Aula 4
Nesta aula, trabalharemos com o conceito de frequncia. Inicie exibindo o vdeo
Arte e Matemtica, usando o trecho em que este conceito construdo por meio desimulaes e exemplos (trecho de 835 a 1220).
Explore deste trecho do vdeo a questo de que os sons so frequncias, isto ,
ondas mecnicas que podem ser expressas por fraes se relacionarmos umas com outras,
ou somente com a nota d, considerada padro.
Faa uma pequena recordao sobre o que viram na primeira aula, com o vdeo
Sound and Salt, e como os sons tornaram-se cada vez mais agudos, isto , com frequncias
maiores.
Apresente aos alunos a tabela 1, com as frequncias relativas a cada nota musical, e
faa-os perceber que existem vrios ds, outros tantos rs e assim por diante, com
frequncias diferentes. Observe com os alunos que elas duplicam a cada oitava. Sabemos
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que os sons, na msica ocidental, so dispostos na sequncia d-re-mi-f-sol-l-si, que se
chama escala musical. Ela pode se repetir iniciando novamente na nota d e seguindo as
mesmas notas. No entanto, nessa repetio, os sons tero frequncias diferentes, tornando-
se mais agudos ou mais graves. importante ressaltar que as frequncias, neste quadro,
expressas em hertz (Hz)1, apresentam valores com ligeiras aproximaes para facilitar a
atividade que consiste em observ-las primeiramente e, em seguida, buscar um padro
matemtico entre elas. Voc deve explicar aos alunos sobre a escolha dessa tabela, que
contm as aproximaes numricas. Assim eles compreendero que se trata de encontrar
regras matemticas. A tabela 1 a que segue:
Tabela 1 freqncias em Hz
e assista ao vivo, 24 horas.
1Unidade de medida de comprimentos de onda (unidade de freqncia; a unidade de 1 Hz 1 s-1. 200 Hz, porexemplo, significa que a onda faz 200 ciclos em 1 segundo). O comprimento de onda medido em m. Avelocidade de propagao V = .F, da, temos a unidade de velocidade m.s-1).
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Ento, com a observao desta tabela 1, os alunos devero compreender que os sons
so mais agudos ou mais graves quando apresentarem freqncias maiores ou menores e
que cada nota tem uma frequncia que, numericamente, o dobro da oitava anterior. A
tabela usada, com as aproximaes, faz com que os alunos percebam mais claramente esse
padro matemtico. Se voc utilizar os valores sem a aproximao, ficar mais difcil eles
entenderem essa relao. Para que os alunos entendam mais sobre a formao da escala,
exiba o trecho do vdeo Arte e Matemtica que explica os estudos de Pitgoras e a
descoberta da escala musical (trecho de 1245 a 1447).
Para exemplificar ainda mais as ideias de escala apresentadas no trecho do vdeo,
utilize o software Teclado Virtual Freeware(http://www.baixaki.com.br/download/teclado-
virtual-freeware.htm) e experimente, na classe, os diversos sons e suas frequncias, fazendo
os alunos perceberem os acordes agradveis e os que causam tenso. Voc pode utilizar o
laboratrio de informtica, mas se no tiver como faz-lo, grave alguns acordes e leve-os
para a sala de aula. importante que os alunos percebam as diferenas entre os sons
agradveis e sons tensos, como apresentado no vdeo.Reserve aproximadamente 10 minutos antes do trmino para explicar aos alunos a
atividade a ser desenvolvida para a ltima aula. Trata-se da criao de uma msica
matemtica. Eles devero ter pelo menos uma semana para desenvolv-la e precisam se
organizar em duplas.
Os grupos utilizaro o aplicativo Otomata (Online Generative Music Instrument,
que se encontra no seguinte endereo: http://www.earslap.com/projectslab/otomata),
utilizado na aula 1. Cada dupla explorar novamente o aplicativo e dever criar e salvar
uma sequncia, no muito longa, que significar um endereo web(um link). Para execut-
la, basta copiar o endereo na linha do browser. Em seguida, a dupla criar um
http://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htm5/28/2018 Arte e Matematica a Matematica Na Musica
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acompanhamento com palmas, batidas no corpo e/ou sons que combinem com a sequncia
meldica criada. No permitida a utilizao de palavras.
Eles apresentaro a msica matemticana outra semana e para isso, ser necessrio
o uso de computador no local da apresentao. Cada dupla copiar o endereo no browser,
clicar no botoplaye exibir a coreografia.
Aula 5
Utilize esta aula para a audio das msicas matemticas criadas pelas duplas.
Convide outros professores e suas classes e aps as apresentaes, os demais alunos podem
sugerir positivamente modificaes em cada performance, contribuindo para a melhoria
dos trabalhos.
Questes para discusso
Pesquisar sobre a expresso estar na mesma frequncia.
Organize uma audio de obras de Bach e de Villa-Lobos (as Bachianas) e pea aos alunospara encontrarem semelhanas entre as obras dos dois compositores, tentando explicar
porque Villa-Lobos usou esse ttulo para as referidas obras.
Pesquisar sobre infra-som e ultra-som e como so utilizados na rea da medicina.
Bibliografia Complementar
ABDOUNUR, Oscar Joo. Matemtica e Msica: O pensamento analgico na construo
de significados. So Paulo: Escrituras Editora, 2006.GRANJA, Carlos Eduardo de Souza Campos. Musicalizando a escola: msica,
conhecimento e educao. So Paulo: Escrituras Editora, 2010.
RATTON, Miguel. Msica e Matemtica: A Relao harmoniosa entre sons e nmeros.
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Texto publicado na revista Msica & Tecnologia. Rio de Janeiro, 1993. Disponvel em:
http://66.228.120.252/artigos/2726641, acesso em: 03/05/2011.
O vdeoArte e Matemticaencontra-se no link:
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4945
Consultora: Maria Isabel Porazza Mendes
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