Math. Nachr. 127 (1986) 181-192

Asymptotische Gleichverteilung und zentraler Grenzwertsatz

Von HOEST HERRMANN in Halle

(Eingegangen am 24.10.1984)

0. Sei ( Yfl)n=,,3,,,. eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren mit E( Y,) = = 0, E( I Y,p) -=a, E( YflJ: - 00 (i= 1, 2, ..., k) und Determinante der Kovarianz- matrix jE( YniYghj)l =-0. Wir setzen voraus, daB die Verteilungsgesetze von

n -- ( E ( y; , 1 ) - l l2

Y.io - . . O ) a n ( E ( Y:k))- i /z

fur n -.a schwach gegen eine nichtausgeartete Noriiialverteilung 7 mit Erwar- tungswertvektor 0 und einer Kovarianzmatrix Q konvergieren.

Es sol1 geyruft werden, ob sich diese Konvergenzaussage verscharfen laBt, wenn zusatzliche Eigenschaften von ( Y,), = i,2,... , nainlich asymptotische Gleich- verteilungseigenschaften der Folge

(P Y J n =1,2, ... ?

wie sie in 151 als schwache asymptotische Gleichverteilung bzw. asymptotische Gleichverteilung definiert sind, vorliegen. Obersichtliche Verhiiltnisse in Spezial- fallen sind Motivation fur diese allgemeine Fragestellung : 1st etwa fur jedea n der zufallige Vektor Yfl Sunime von unabhiingigen identisch verteilten zufalligen Vektoren XI, S,, ..., S,, so ist die schwache asymptotische Gleichverteilung der Folge

( G n ) n = , , 2 ,...

aquivalent niit der Nichtgitterformigkeit von PX1 (9. [ 5 ] ) , einer die -4nnaherung von PYfl an y begunstigenden Eigenschaft.

Als Verscharfungen der schwachen Konvergenz von Ppn fur n-a gegen y wahlen wir der asyniptotischen Gleichverteilung bzw. der schwachen asympto- tischen Gleichverteilung angepaBte Begriffe, die Konvergenz von Ppn fur n + 00

in Variation gegen y bzw. eine zwischen schwacher und Variationskonvergenz liegende Konvergenz von Ppfl fur n --)OD ,,mit Gliittung in Variation" gegen y.

In Abschnitt 1 werden die erforderlichen Begriffe bereitgestellt und disku- tiert. In Abschnitt 2 geben wir eine mit charakteristischen Funktionen formulierte hinreichende Bedingung dafur an, daB mit der schwachen Konvergenz auch die

182 Math. Xachr. 1% (1986)

Konvergenz mit Glattung in Variation der Folge

(PlT,), = l J , ...

gegen y vorliegt. Abschnitt 3 behandelt den Spezialfall, daB die Y , (n=l , 2, ...) Summe von

unabhangigen (nicht notwendig identisch verteilten) zufalligen Vektoren Xi, X 2 , ..., X,, sind. Unter einer gewissen Beschrankungsbedingung fur die Folge (X,)n31,2,... kann gezeigt werden, daB schwache Konvergenz von Ppf l fur n --COO

gegen y und (schwache) asymptotische Gleichverteilung von

(PP,), = I A..

einerseits aquivalent der Konvergenz von Pp, fur n-+- (mit Glattung) in Va- riation gegen y andererseits sind. Der Beweis dieses wichtigsten Resultates der Arbeit stutzt sich wesentlich auf ein Ergebnis aus [6].

AbschlieBend weisen wir in Abschnitt 4 durch ein Beispiel den sich bereits in Abschnitt 1 andeutenden Sachverhalt nach, daB im allgemeinen aus der schwachen Konvergenz von PFn fur n -*m gegen y und der (schwachen) asymptotischen Gleichverteilung von

(PI~,)n=, ,? , . . .

nicht die Konvergenz von PF,, fur n -+OO (mit Gliittung) in Variation gegen y folgt.

1. A sei das LEBESGUE-Md auf [RE, mk]. Fur eine endliche a-additive Mengenfunktion w auf [Rk, Bk] bedeute ljcoll ihre

Totalvariation und ~~o& die folgendermaaen definierte Norm :

I l~ l lh=suP I J f ( 4 &4l J

f

wobei das Supremum uber alle LIPscHITzfunktionen f auf Rk mit

zu erstrecken ist (8. [ 11).

heiBt asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E RE Eine Folge von auf [Rk, 58'1 definierten WahrscheinlichkeitsmaBen (v,Jfl

llvn -6, :% vflll 2 0

gilt. ( v , , ) ~ = ~ , ~ , . . . ist schwach asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E Rk und fur jedes bezuglich I absolut stetige Verteilungsgesetz cr

I l u * v f l - - 8 , * u a v f l , , I I ~ 0

llvn - 8, * %llE n-& 0

gilt oder, was d a m aquivalent ist,

Herrmann, Asyrnptotische Gleiohverteilung 183

fur jedes u E RE erfullt ist. Diese beiden asymptotischen Gleichverteilungs- begriffe sind ausfuhrlich in [53 und [ 3 ] behandelt.

Sei Rt e { a = [ a i . ..., ak]€ RE: ai=-O, ..., a,=-O).

Die Folge ( V J , ~ = ,,?,... nennen wir schwach usymptotisch gleichverteilt mod a fur ulle a € Rk,, wenn fur jedes a = [ a , , ..., uk]€ R: die durch die kanonische Abbildung des Rk auf [0, a, ) x ... x[O, aE) aus den yn entstehenden MaBe fur n -00 schwach gegen die Gleichverteilung auf [ 0 , a,) x ... x [0 , aE) konvergieren. Bezeichnet vn die charakteristische Funktion des W'ahrscheinlichkeitsmaBes Y, ( n = 1 , 2 , ...), so ist ( i~~ )~=~ ,~ , . , . genau dann schwach asymptotisch gleichverteilt mod a fur alle a€ Rk,, wenn fur alle t E RE, t =t= 0 ,

lim pl,(t) = 0

gilt. (Siehe dazu [5], [6] und [4].) ( Yn)n sei eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren. P,,, das Ver-

teilungsgesetz von Y9L, bezeichnen wir niit ,u9z ( n = 1 , 2 , ...). In Komponenten- schreibweise sei Yn der Zeilenvektor [ Ynl, ..., YnE] der reellen ZufallsgroBen ITnz ( i = 1, 2 , ..., Ic). \Yir setzen voraus, daB E( Y,)=O, E(I Y,12) <-,

n --

E ( Y : J F O : ~ , = ~ - ( i = I , 2 , ..., k)

und daB Q,&, die Kovarinnzinatrix von I*,%, positive Determinante besitzt. D, sei die Diagonalmatrix

1st p Verteilungsgesetz eines zufalligen Vektors X, so bezeichne poD;' das Verteilungsgesetz des zufalligen Vektors (XD,) ; das Verteilungsgesetz von Y,,D, 7 Y, ist also ,unoDli .

1.1. Definition. Die Folge ( Y,t)n=1,2,,.. hat die Eigenschuft (S), wenn

Pa 0 D,' n-2 Y (pnoD;I konvergiert fur n +to schwach gegen y ) , eine nichtausgeartete Normal- verteilung mit Erwartungswertvektor 0 und einer Kovarianzmatrix &.

Wir formulieren jetzt die zwei uns interessierenden Verscharfungen von (8). Dabei wird - als Eigenschaft (G) - die bisher als ,,Konvergenz mit Glattung in Variation" umschriebene Konvergenz definiert.

1.2. Definition. Die Folge ( Yn)n=i,2,... hat die Eigenschuft ( V ) , wenn

IIPnoD;'-AI 0

184 Math. Nachr. 1?7 (1986)

gilt. Die Folge ( Yn)n=1,2,.,. hat die Eigenschaft (G), wenn fur jedes Wahrscheinlich- keitsmaB u, a 4 ,

Ilb 1: p,J o w -711 n-- 0 erfullt ist.

Es ist klar, daB ( V ) eine stiirkere Eigenschaft als (8) und daB (G) nicht stiirker als ( V ) und nicht schwiicher als (S) ist; tatsikhlich liegt (G) zwischen (8) und ( V ) , ohne mit einer dieser beiden Eigenschaften identjsch zu sein (wie etwa Folgerung 3.3 zeigen wird).

Eine Folge von WahrscheinlichkeitsmaSen (YJ, =i,2,... heil3t asymptotisch gleichgradig stetig, falls zu jedem E > O ein 6 > 0 und eine naturliche Zahl no derart existieren, dal3

llYn -6, :3 Ynll S &

fur alle z~ Rk mit 1x1 513 und alle n zn0 gilt. Wir setzen (8) voraus. Dann gilt genau dann ( V ) , menn die Folge

(pn OD;'), =I,*, ...

((6 * p n ) O ~ ; ' ) n = , , 2 , . . .

asymptotisch gleichgradig stetig ist, und genau dann (G), wenn fur jedes Ver- teilungsgesetz u, octl, die Folge

asyinptotisch gleichgradig stetig ist (a. etwa [ 3 ] , 1.13.). Dieser Sachverhalt kann auch so formuliert werden.

1.3. Es gelte (8). Dann ist ( V ) (bzw. (G)) iiquivalent der folgenden Eigenschaft. Fur jedes E=-O existieren ein 6>0 und eine naturliche Zahl no, so daI3 fur alle X E Rk mit 1x1 5 6 und alle n zno

l/pn-6 - 1 :b pnl15=E (ZDn 1

(bzw. llu 2% pn-6 (zD, ,) ::: o ::: p,lJ s E )

gilt. Nach 1.3 fuhren (8) und die asymptotische Gleichverteilung bzw. die schwache

asymptotjsche Gleichverteilung nicht ohne weiteres zu ( V ) bzw. (G). Die geforder- ten Bedingungen sind erfiillt, wenn gewisse von den 2. Momenten der Yni (j =

= 1 , 2 , ..., k ) abhangende Konvergenzgeschwindigkeiten fur die asymptotische bzw. die schwache asymptotische Gleichverteilung vorliegen.

2. (Yn)n=,,2,., , sei eine Folge zufiilliger Vektoren mit den im Abschnitt 1. angegebenen Momentvoraussetzungen. qn(t), t C Rk, sei die charakteristische Funktion von Y, (n= 1, 2 , ...).

2.1. Far jeden Vektor [-If, ..., J1]€ Rk rnit 41 w 0 sollen eine A-integrierbare Funktion q(')(t) und eine natarliche Zahl n, existieren, so dap

Iqn(tQl)I W f ) ( t )

Herrmann, Asymptotische Gleichverteilung 185

f f i r alle t € [ - Manl, J&J,,] x ... X[ -.Maflk, Mank] und alle n znAv erftillt ist. Dann sind die Eigenschaften ( S ) und (G) Wuivalent.

(Man beachte, daB nicht die Integrierbarkeit der charakteristischen Funktion von r,, sondern in einem mit n unbeschriinkt wachsendem Gebiet ihre betrags- maI3ige Abschatzung durch eine integrierbare Funktion gefordert wird.)

Beweis. Es ist zu zeigen, dal3 aus (S) die Eigenschaft (G) folgt. Sei ohne Beschriinkung der Allgemeinheit ~ ' ~ ' ( t ) s 1.

Die Menge der Verteilungsgesetze 0, oeA, deren charakteristische Funktionen kompakte Triiger besitzen, liegt bezuglich des Variationsabsta.ndes dicht in der Menge aller absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmafle.

k (Beweis. p l ( t ) = ng(ti) mit

i =I

ist charakteristische Funktion mit den1 Trager [ - 1 , 13 X ... X [ - 1, 13. Der zu- fallige Vektor 11 habe die charakteristische Funktion pl. Dann hat der zufallige

Vektor - 7 ( n = l , 3 , ...) eine charakteristische Funktion mit dem Trager

[ - n , n ) x ... x [ - n , n ] und

1

n

P, -)&. ;"--

Demzufolge gilt fur jedes 0, a&,

Es ist deshalb ausreichend,

ll(a * p,)oD,I-yIl z o fur alle WahrscheinlichkeitsmaBe a, u<<d, deren charakteristische Funktionen kompakte Trager haben, zu beweisen. plo - die charakteristische Funktion von a - habe also einen Trager, der fur ein JI ==- 0 in

[-X, ~~f]x...x[-Lll, .I13

[ -Man, , Ma,,] x .. . x [ - Ma,, , Xank] 7 -M,

(a * p,JoD;' ,

enthalten ist. Der Triiger der charakteristischen Funktion von aoB,' ist dann in

enthalten. Die D ichte von

die wir mit f , (x) bezeichnen wollen, ist deshalb mit der Uinkehrformel fur cha- rakteristische Funktionen darstellbar.

186 Math. Karhr. 127 (19%)

Sei E > O . Dann existiert ein T>O, so daB fur alle x, ye R’ und alle naturlichen Zahlen n znAI

ist. Das letzte Integral ist beliebig klein, wenn nur (x-yI hinreichend klein ist. Die Funktionenfolge (f,), ist also gleichgradig stetig. (8) und die gleich- gradige Stetigkeit von (f,),=,,%,... haben aber zur Folge, daB

((d Q /In) oD11)n=i,2 ,... asymptotisch gleichgradig stetig ist. Damit ist mit [3], 1.13. der Beweis beendet.

sei eine Folge reeller ZufallsgroBen, das Verteilungs-

Wir geben noch ein einfaches Beispiel fur die Anwendung von 2.1 an.

2.2. Beispiel. ( Y,), gesetz von Y, sei

- init xj=-O, x. I -0 j-- und

mit 2.1., daB diese Polge auch die Eigenschaft (G) besitzt.

\Veiter gibt es eine naturliche Zahl nJI>jH, so daB

x: =-. Bekanntlichgilt fur diese Folge (8). Wir zeigen j=l

Sei M>O. Es gibt eine natiirliche Zahl j,, so daB M * xj 5 1 fur alle j zjaI ist.

4 ist. Fur nsn,, und t € [ --Mfk&;, M l / i x : ] gilt dann mit c = ~ . ) die fol-

i =I i = I

gende Ungleichungskette :

3. ( Yn)n=1,2,,,. sei wieder eine Folge zufalliger Vektoren mit den in Abschnitt 1. angegebenen Momentvoraussetzungen. Wir setzen zusiitzlich voraus, daB Y, (n = = 1, 2, ...) Summe der unabhsngigen zufalligen Vektoren XI, X2, ..., X, ist. Mit

Pxn 5 Yn

ist also p,=yI * y 2 ... Q v,. Seien Y:’’ die Symmetrisierung des Verteilungs- gesetzes yi und &,(M) fur M=-0 die Matrix mit den Elementen

Herrmann, Asyniptotische Gleichverteilung 187

(i , j = 1,2, ..., k). Wir erlegen der Folge ( X J n eine gewisse Beschrankungsbedingung auf.

,... (und damit der Folge ( Yn)n=l,2 ,...)

Es existiere ein M>O, so daa

Sind die S,,, n = l , 2, ..., identisch verteilt, ist die Forderung (B) erfiillt. (B) gestattet aber wesentliche Abweichungen von diesem Fall.

schliealich absolut stetig, wenn das Gewicht pi (Rk) des beziiglich 1 absolut stetigen Anteils ,L,; von p n pit wachsendem n gegen 1 strebt. 1st fur ein \iVahrscheinlichkeitsmalJ v die Folge der Faltungspotenzen ( v ~ * ) ~ = ~ , ? , schlieBlich absolut stetig, sagen wir, v ist schlieBlich absolut stetig.

(a) ( Yn)n=l ,2 , . . besitzt die Eigenschnft ( G ) . (b) ( YJn=],?, . besitzt die Eigenschaft (8) und (pJn (c) ( 17n)n=l,2,, . besitzt die Eeigenschaft (8) und (pn)?& =

(a) ( Y,Jn=1,2.... besitzt die Eigenschaft ( V ) . (b) ( Yn)lp=1,2, , , . besitzt die Eigenschaft (8) und (pJn =

schliealich absolut stetig. (c) ( YJrL und (p& ist asymptotisch gleichverteilt.

Wir nennen die Folge ( / I &

3.1. Satz. E s gelte ( B ) . Dunn sind die folgenden Aussagen aquivalent.

ist schzuach asymptotisch gleichverteilt mod n fur alle a€ Rk,.

ist schumch asymptotisch gleichverteilt.

3.2. Satz. E s gelte ( B ) . Dunn sincl die folgenden Aussngen aquivalent.

ist schuiach asymptotisch gleichverteilt mod a fur alle a C R: und

besitzt die Eigenschaft (AS)

(Vergleiche d a m [2] und [4).)

Beweis ron 3.1. 1.) Nach [el, Theorem 1 folgt aus (b): Fur jedes h=[hi , ..., hk]ER!+ gilt mit

und P

J-,, n hi gleichmaljig in xE Rk i = l

2.) Sei yn die Norinalverteilung mit dem Erwartungsvektor 0 und der Ko- varianzmatris

185 Math. Sachr. 1’37 (1986)

Aus (+) folgt

(:by llP?a-Ynll~L n-.. 0 *

Beweis. Sei E>O. Wir zerlegen den RE so in achsenparallele kongruente Wurfel Wi, W,, ... einer Kantenlange 1, daB fur jede LIPscmTzfunktion f mit / I f llBL=

I&) -fb*)l s-5 gilt, wenn nur x und x* in dem gleichen Wurfel Wi liegen. Sei

[ -fJnl&-i’kj a,l&-”k]X x [ -a,k&-l/k, df ik&-*lk] d f n . Die Anzahl der Wurfel Wi, die mit Hn gemeinsame Punkte haben, ist kleiner oder gleich

r k n (2bnjE-’lk+21) . l k j = l

Wir schiitzen nun IIp, -y,& mit TSCHEBYSCHEWSCher Ungleichung und Mittel- wertsatz der Integralrechnung nach oben ab.

llrn-yAlk

({x: lxjl zc,j&-l’k})

... I

l k i= 21C~”l“ + E + 3 n ( 2 c ~ , ~ ~ - ~ / ~ $21) sup lpn (x + I ) - yn (x + I ) 1 ,

wobei I= y=[yl, ..., ya] : 1 y . l ~ bedeutet. Fur jedes xCRk ist m i t einem

geeigneten 2 . ~ x + I

1 j = l x c R k

{ I - 2 7 1 lk 1

yn @ + I ) exp { - ( 2 ~ ~ ) Q - ’ ( ~ D , ) ’ . (27p1Q11/2 n onj

j = l

Wir vergleichen diesen Ausdruck mit pn (z+I) in der durch (*) gegebenen Form und stellen lediglich zwei Unterschiede fest. (a) Im Zahler steht bei p, (z-t-I) ein zusatzlicher Summand, der gleichmaI3ig in zE Rk von der Ordnung o(1) ist.

Herrniann, ABymptotische Gleichverteilung 189

(b) Anstelle des Wertes der Exponentialfunktion exp (y&-ly'), die gleichmiiBig stetig ist, an der Stelle 5 0 , steht bei pn @ + I ) der Wert dieser Funktion an der Stelle xDn. Es gilt aber

Aus a) und b) folgt, daB es fur jedes E > O ein no gibt, so daB fur alle n sno

E I <--

k sup lpn ( z + l ) - y n ( X f 4 I =

l7 ani z c R k

i = I

gilt. Wir setzen Z = ~2 (:I - und erhalten

- lim , n--.

womit (*)' nachgewiesen ist. 3.) Wir zeigen jetzt, daB aus (*)' die Aussage (a) folgt. Nach [3], 4.2 und der

Tatsache, da13 die absolut stetigen Verteilungsgesetze mit LIPsCHITZdichte und kompaktem Trager bezuglich des Variationsabstands dicht ,in der Menge aller absolut stetigen Verteilungsgesetze liegen, folgt aus (*)' fur alle occjl

l l ~ ~ ~ n - ~ * Y n l l = l i ( ~ * p L n ) o ~ ~ ' - ( ~ 0 ~ ~ ' ) *yll=O -

Il(ao%-l) "7-YII 2 0 .

Das ist aber gleichbedeutend mit der Eigenschaft (a), denn auf Grund der ab- aoluten Stetigkeit von y gilt

4.) Es gelte (a); wir wollen (c) nachweisen. DaB (8) vorliegt, ist klar. Die schwache asymptotische Gleichverteilung von (pn)n=i,2,... ist zu zeigen. Fur a d und x C Rk gilt

Ib * Pn-& * 0 * ~ n l l 41o *Pn-YnllfllYn-~z *rnll+ll4T * m - s z * 0 "Pnll s i l l ( a * P L n ) O ~ ~ l - Y I I + l l Y n - ~ z * I / n l l -

Der erste Summand des letzten Ausdruckes geht fur n-cm gegen Null, da (G) vorausgesetzt ist ; der letzte Summand geht ebenfalls gegen Null, da (Y~) , ,= , ,~ , . . . asymptotisch gleichverteilt ist.

5 . ) Das aus (c) die Aussage (b) folgt, ist trivial. Damit ist Satz 3.1 vollstlndig b ew i esen .

Beweis von 3 . 2 . Nach dem ausfuhrlichen Beweis von 3.1 genugen zum Be- weis von 3.2 zwei Bemerkungen.

1.) Fur Folgen von Faltungsprodukten ( v i * ... * v ~ ) ~ = ~ , ~ , . . . gilt: Eine solche Folge ist genau dann asymptotischgleichgradig stetig, wenn sie schlieBlich absolut stetig ist (8. [3], 1.15.).

190 Math. Kavhr. 127 (1986)

2.) Eine Folge (pJB =,,?,.., ist genau dann asymptotisch gleichverteilt, wenn sie schwach asymptotisch gleichverteilt und asymptotisch gleichgradig stetig ist.

(Reweis. Zu zeigen ist, daB aus der schwachen asymptotischen Gleich- verteilung und der asyinptotischen gleichgradigen Stetigkeit die asymptotische Gleichverteilung folgt.

Sei E>O. Dann gibt es ein b > O , so daB fur alle y mit jy] z h und alle hin- reichend groBen n

ist. Mit einem WahrscheinlichkeitsmaB 0, m<R, dessen Trager in Ilpn-6u :b pJ S &

{ y m : jyI s h }

liegt, gilt deshalb fur jedes z~ R

s l i m ( 2 IIpn-cr -$ plllj+/la .:: pll -b .L .:: 0 : :pal l ) It --

s 2 lim J lips -hu* p,J a(dy) 5 2 & .) 11 --

Aus 3.1 und 3.2 erhalten wir mit den1 zentralen Grenzwertsatz und den Satzen uber die (schwache) asymptotische Gleichverteilung der Folge der Faltungs- potenzen eines WahrscheinlichkeitsmaBes (s. [ 5 ] , 3.1 und 3.5) die einfache

3.3. Folgerung. Die zufalligen Vektoren Xi, i= 1, 2 , ..., seien unabhungig und identisch nuch einein IVuhrscheinlichkeits?nup v verteilt. X hube den Errcurtungs- wertvektor 0 wad eine Iiovurianznacitrix positiver Deterniinunte. S e i fiir n = 1, 2 , ...

11

Y2,= Ex,. r = l

(a) ll'enn v gitterformig ist, hut ( Y,J7&=,,?,,,. die Eigenschuft ( S ) , nichf die Eigen- schuften (a) und ( V ) . (b) Wenn Y nichtgitterformig uncl nicht schliealich ubsolut stetig ist, hut ( Y,Jn die Eigenschuften (S) und (G), nicht die Eigenschaft ( V ) . (c) Wenn v (nichtgitterformig u n d ) schlieglich ubsolut stetig ist, hat ( Yn)n =,,?,, . die Eigenschuften ( S ) , (G) und ( V ) .

4. Wir geben jetzt ein Beispiel dafur an, daB i. a. schwache asymptotische bzw. asymptotische Gleichverteilung nicht zur Verscharfung von ( S ) in dem uns interessierenden Sinne beitragen. In diesem Reispiel wird der Effekt ausgenutzt, daR (S) invariant gegenuber h e a r e r Transformation der Y , (mit einer Diagonal- matrix) ist, die asymptotischen Gleichverteilungseigenschaften jedoch lieinesfalls invariant gegenuber (von n abhangender) h e a r e r Transformation der Yn sind.

4.1. Beispiel. Sei jetzt k = 1 und y die norinierte Normalverteilung. Fur jede naturliche Zahl n sei fur na= ..., - 1 , 0, 1 , ...

m m f l

Herrmann, Asymptotische Gleichverteilimg 191

Durch zwei Forderungen definieren wir WahrscheinlichkeitsmaBe yn (n = 1, 2, ...) :

(1)

(2)

0, wenn in ungerade , Yn( 12)) = { 2 7 4 1 9 , wenn m gerade . ynccA,

konstan t. die Dichte von Y, sei auf den Intervallen 1:) (1 -f. 8.)

( 2 ) Jxyn(dx ) + a n 9 an 2 0;

J (x -afl)Z y,(dx) 3; , cr; 1 . Nun definieren wir ZufallsgroBen Yn (n = 1 , 2, ...) durch

Y,, = (X,t -a,) n2,

wobei die ZufallsgroBen X, gemaB Y+$ verteilt sein sollen. D a m ist

E( Y,J =o, E( Y i ) =u;n4.

Die Folge ( Yn)n=l,2,,.. besitzt die Eigenschaft (8). Die Folge der dazugehorigen Verteilungsgesetze (p,Jx =,,?,.,. ist sowohl schwach asymptotisch als auch asympto- tisch gleichverteilt, denn fur jedes z ~ R l gilt fur alle nzIxI

Die Folge ( Yn),= ,,?,... besitzt aber weder die Eigenschaft ( V ) noch die Eigenschaft ( G ) , mie die folgende Rechnung zeigt.

(a) Sei cr ein beziiglich 1 absolut stetiges Verteilungsgesetz.

wegen der asymptotischen Gleichverteilung von (pn),, = geht der letzte Susdruck fur n -.a gegen Null.

192 Math. Kac-hr. 197 (1986)

wegen der absoluten Stetigkeit von y geht der letzte Ausdruck fur n-- gegen Null.

Aus (a) und (b) erhalten wir

Literatur

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asymptotischen Oleichverteilung, Math. Nachr. 89 (1979) 87 - 126 [4] D. KAISER, Zusammenhiinge zwischen Varianten des zentralen Grenzwertsatzes und ver-

schiedenen asymptotischen Gleichverteilungsbegriffen, Diplomarbeit, Jena 1981 [a] J. KERSTAN, K. MAPFHES, Gleichverteilungseigenschaften von Faltungen von Verteilungs-

gesetzen auf lokalkompakten abelschen Gruppen I, Math. Nachr. 87 (1968) 267 -312 [6] C. C. X o ~ w s a r m , 0 m60i ijjopMe J I O K ~ J I ~ H H X TeopeM E, C6. (( rIpeAemme Teopem AJIII

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