Prof. Edson A. R. Theodoro UTFPR Cornlio Procpio
Definio:
Um SEP dito estvel pequenas perturbaes se, e somente se, o mesmo capaz de manter o sincronismo entre os geradores sncronos conectados ao SEP aps ser submetido a uma pequena perturbao.
Pequena perturbao: aquela tal que o sistema linearizado em torno do ponto de operao de interesse reproduz de forma satisfatria (qualitativa e quantitativamente) a resposta do sistema original (no linear).
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Causas:
Alterao no despacho de carga/gerao;
Variaes aleatrias de carga;
Alteraes nos taps de transformadores (OLTCs).
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Problemas locais:
Associados a um gerador (ou planta) oscilando contra o resto do sistema;
Problema similar ao sistema OMIB;
Problema mais comum em estabilidade pequenas perturbaes;
Modos de oscilao locais (entre mquinas ou intra-planta) = 0,7 a 2 Hz.
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Problemas globais:
Associados a um grupo de geradores oscilando contra outro grupo de geradores (inter-rea);
Possuem duas formas distintas:
Oscilao de baixa frequncia envolvendo todos os geradores do sistema: 0,1 a 0,3 Hz;
Oscilaes de alta frequncia entre subgrupos de geradores: 0,4 a 0,7 Hz.
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Problemas relacionados aos controles:
Geram oscilaes devido ao ajuste inadequado dos controladores (regulador de tenso e velocidade) de um gerador.
Problemas relacionados ao eixo do conjunto turbina-gerador: Geram oscilaes devido aos modos torsionais
mecnicos do conjunto turbina-gerador.
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Lembrando que a equao do swing, em sua forma exata, dada em funo do torque lquido sobre o gerador.
A variao do torque eltrico (Te) possui duas componentes:
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= +
Torque sincronizante
Torque de amortecimento
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Dd
t
CASO 1
Dd
t
CASO 2
Dd
t
CASO 3
A instabilidade pode resultar de:
1 modo no-oscilatrio ou aperidico, resultante da falta de torque sincronizante (Ts) => geralmente pode ser evitado com o ajuste do regulador de tenso;
2 modo oscilatrio, resultante da falta de torque de amortecimento (TD) => este o modo de instabilidade mais comum em SEPs.
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Seja o sistema no linear: = (), e considere um ponto de equilbrio 0.
Expandindo em srie de Taylor:
= 0 +
|0( 0) +
Desprezando os termos de alta ordem:
0 =
|0 0 = |0 ( 0)
= (sistema linearizado)
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Seja A uma matriz (n x n) e f um vetor (n x 1), ento todo escalar l que satisfaz a relao:
=
chamado autovalor da matriz A.
Da equao anterior: = 0
Para solues no triviais temos: det = 0 Uma vez que se existe ( )1 ento = 0.
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Seja o sistema linearizado: =
A equao caraterstica deste sistema dada por:
= 0
As razes da equao caraterstica so os chamados autovalores da matriz A.
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Exemplo 1 OMIB sem amortecimento
Equao caractersitica e autovalores.
Exemplo 2 OMIB com amortecimento
Equao caractersitica e autovalores.
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1. Mtodo de Lyapunov (Teorema de Hartman-Grobman)
Dada as razes da equao caracterstica (autovalores) do sistema linearizado:
Se todos os autovalores tem parte real negativa -> estabilidade assinttica do equilbrio;
Se pelo menos um autovalor possui parte real positiva -> instabilidade do equilbrio;
Se existe autovalor com parte real nula -> nada se pode afirmar sobre a estabilidade do equilbrio.
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2. Mtodo de Lyapunov (Funo de Lyapunov Funo escalar auxiliar)
Dada uma funo escalar V: Rn->R, localmente definida positiva em uma regio D em torno do ponto de equilbrio sob anlise:
Se semidefinida negativa em D ento o ponto de equilbrio estvel;
Se definida negativa em D ento o ponto de equilbrio assintticamente estvel.
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16 Fonte: Kundur, 1994.
17 Fonte: Kundur, 1994.
18 Fonte: Kundur, 1994.
Seja = o sistema linearizado:
E f um vetor (n x 1) e A uma matriz (n x n). Um autovetor direita satisfaz a equao:
=
E y um vetor (1 x n) e A uma matriz (n x n). Um autovetor esquerda satisfaz a equao:
=
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Sejam f e y autovetores direita e esquerda:
Se ambos os autovetores esto associados autovalores distintos ento:
. = 0 (ortogonais)
Se ambos os autovetores esto associados um mesmo autovalores ento:
. = (em particular = 1)
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Matrizes modais:
= [1 2 3 ]
= [1 2
3
]
Assim,
= 1 (relao entre autovetores)
No sistema linearizado = : A resposta de cada varivel de estado uma
combinao linear de todas as variveis de estado (existe um acoplamento cruzado).
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Para eliminar este acoplamento cruzado faz-se a seguinte mudana de variveis:
=
Assim, = (1) = , com a matriz diagonal composta pelos autovalores da matriz A.
De outra forma: = , = 1, ,
Cuja soluo : = (0)
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Lembrando que: =
() = (0)=1
Sendo: = 1 = ()
= [ 0 ]=1
= =1
A resposta do sistema linear depende dos autovalores e respectivos autovetores.
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= [ 0 ]
=1
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Elemento i do autovetor direita
Autovetor esquerda
O produto escalar = 0 representa a magnitude da excitao devido s condies iniciais.
A multiplicao vetorial =1
d a combinao linear entre os diferentes modos (respectivos aos diferentes autovalores). Se o vetor de condies iniciais estiver na direo
do j-simo autovetor (), ento as multiplicaes 0 = 0 se , e somente o modo j excitado!
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Seja um autovalor l = s+jw
Alguns dos valores caractersticos deste autovalor so:
Frequncia natural de oscilao amortecida:
= 2 + 2
Frequncia de oscilao amortecida: =
2
Fator de amortecimento: = cos =
2+2
Constante de decaimento: =1
|| =
2||
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Objetivo: aumentar o amortecimento dos modos de oscilao relacionados oscilaes de origem eletromecnica (alterao na posio dos autovalores da matriz do sistema linearizado).
Existem vrias possibilidades para a melhora da estabilidade pequenas pertubaes:
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1 Projeto de controladores: PSS: Power System Stabilizer;
FACTS: Flexible AC Transmission Systems;
Controle de amortecimento com elos de transmisso HVDC (High Voltage Direct Current );
2 Alterao do ponto de operao do SEP
(redespacho de gerao ativa e reativa);
3 Outros mtodos. 28
Determine os autovalores, e seus valores caractersticos, e a resposta do sistema linearizado (Dx(t)) para o seguinte sistema OMIB quando sujeito perda da linha 1.
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LINHA 1
~
GERADOR Modelo clssico
P= 0,9 p.u. Q= 0,3 p.u.
(superexcitado)
TRAFO com tap = 1,0
BARRAMENTO INFINITO
LINHA 2
j0,30
j0,15
j0,5 j0,93
0,9950o
H= 3,5 s, considere D igual a: (a) zero, (b) 10 e (c)-10.
1,036
1 Kundur, P., Power System Stability and Control, McGraw-Hill, 1994.
2 Lallement, G., Inman, D.J., A Tutorial on Complex Eigenvalues, XIII IMAC.
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