Aula 29
Vetores Normal e Binormal, velocidade e aceleração
Vetor Normal e Binormal
Vetor Normal e Binormal
( )( )
( )
T tN t
T t
Vetor Normal
( ) ( ) ( )B t T t N t Vetor Binormal
Exemplo 6
Determine os vetores normal e binormal da hélice circular
( ) cos senr t t i t j t k
( )( ) cos i sen j
( )
T tN t t t
T t
1( ) ( ) ( ) (sen , cos ,1)
2B t T t N t t t
Plano Normal e Osculador
O Plano determinado pelos vetores normal e binormal N e B em um ponto P sobre a curva C é chamado plano normal de C em P.
O Plano determinado pelos vetores tangente e normal T e N em um ponto P sobre a curva C é chamado plano osculador de C em P.
Exemplo 7
Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice circular
no ponto P(0, 1, /2)
( ) cos senr t t i t j t k
02
x z
Plano Normal
02
x z
Plano Osculador
Exemplo 7
Plano Osculador
Círculo Osculador
O círculo do plano osculador C em P que tem a mesma tangente que C em P, e fica do lado côncavo de C e cujo raio = 1/ é chamado círculo osculador ou círculo da curvatura de C em P.
É o círculo que melhor descreve o comportamento da curva C perto de P.
Têm mesma tangente, normal e curvatura
Exemplo 8
Determine e desenhe o círculo osculador da parábola y = x2 na origem.
Círculo
Osculador
3/ 22
( )( )
1 ( )
f xx
f x
22 1 1
2 4x y
Velocidade
0
( ) ( )( ) lim
h
r t h r tv t
h
( )r t
Rapidez
A Rapidez da partícula no instante t é o módulo do vetor velocidade, ou seja,
é a taxa de variação da distância em relação ao tempo.
( ) ( )v t r t ds
dt
Aceleração
 aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
( ) ( )a t v t ( )r t
Exemplo 1
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração do objeto no instante t=1 e ilustre geometricamente.
3 2( ) .r t t i t j
Solução
2( ) ( ) 3 2 .v t r t t i t j
( ) ( ) 6 2 .a t r t t i j
Exemplo 2
Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração de uma partícula com vetor
posição2( ) , , .t tr t t e te
( ) ( ) 2 , , (1 ) .t tv t r t t e t e
( ) ( ) 2, , (2 ) .t ta t r t e t e
Exemplo 3
Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por
. Determine a velocidade e posição no instante t.
(0) 1,0,0r (0) i j kv
( ) 4 i 6 j ka t t t
2 2( ) (2 1) i (3 1) j ( 1) kv t t t t
3 3 22 1( ) 1 i ( ) j k
3 2r t t t t t t t