B2001/UNIT 13/1 PENGGUNAAN KAMIRAN
PENGGUNAAN KAMIRAN
OBJEKTIF
Objektif Am : Mencari isipadu dengan menggunakan Kamiran.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menentukan nilai yang perlu diganti dalam melakukan proseskamiran untuk mencari isipadu.
Menyatakan isipadu yang dibendung antara paksi-x dan lengkung.
Menyatakan isipadu yang dibendung oleh paksi-y dan lengkung.
Menyatakan isipadu dengan proses kamiran bahagian demi bahagian.
UNIT 13
B2001/UNIT 13/2 PENGGUNAAN KAMIRAN
13.0 MENCARI ISIPADU JANAAN
Tudung saji
Rajah 13.1
Bagi setengah daripada objek-objek di atas kita sudah tahu mencari isipadunya
dengan menggunakan rumus tertentu.
Apakah rumus untuk mencari isipadu sebuah silinder ?……
Apakah rumus untuk mencari isipadu sebuah kon ? ………
Berapakah isipadu pasu di atas ?
Apakah isipadu tudung saji yang telangkup?…..
Dalam unit ini, kita akan bincangkan bagaimana mencari isipadu bongkah
putaran dengan menggunakan kamiran.
INPUTINPUT
KonSilinder Pasu
B2001/UNIT 13/3 PENGGUNAAN KAMIRAN
Misalnya, untuk mencari isipadu pasu
Tentukan paksi simetrinya dan katalah ia diwakili oleh paksi-x.
Pilih satu fungsi f(x) yang mendapat mewakili sisi pasu itu.
Cari penghampiran isipadu dengan membahagikan objek itu kepada
banyak cakera bulat
Katalah y = f(x) ialah persamaan yang mewakili sisi pasu itu dan cakera yang
berlorek itu mempunyai jejari yi.
Isipadu cakera berlorek = yi2 x
Jumlah isipadu semua cakera itu adalah satu penghampiran kepada isipadu pasu itu.
Isipadu pasu yi2 x
Jumlah isipadu cakera akan menghampiri isipadu sebenar pasu itu jika lebar x setiap cakera itu menjadi semakin kecil, atau bilangan cakera itu menghampiri .
Isipadu pasu =
yi
INPUTINPUT
x
y y=f(x)
x
a
B2001/UNIT 13/4 PENGGUNAAN KAMIRAN
13.1 ISIPADU YANG DIJANAKAN APABILA SUATU RANTAU DIPUTARKAN 360O SEKITAR PAKSI-X
Paksi simetri sebagai paksi-x
Rajah 13.2
Isipadu pasu itu juga adalah sama dengan isipadu yang dijanakan apabila rantau
berlorek dalam rajah di atas diputarkan melalui 360o sekitar paksi-x.
Isipadu janaan =
Contoh 13.1
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan melalui
3600 sekitar paksi-x.
y
xa
B2001/UNIT 13/5 PENGGUNAAN KAMIRAN
Penyelesaian
a. Isipadu janaan =
=
=
=
= = 4 unit3
b. Isipadu janaan =
=
= = =
b.
y
0 1 2 x
a. y
y2 = 2x
0 2 x
Gantikan y2 dengan 2x
Gantikan y2 dengan
B2001/UNIT 13/6 PENGGUNAAN KAMIRAN
= unit3
B2001/UNIT 13/7 PENGGUNAAN KAMIRAN
Aktiviti 13.1
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut
diputarkan sekitar 360o sekitar paksi-x.
2. Rantau yang dibatasi oleh lengkung y2 = x + 1, paksi-y dan garis x = 4
diputarkan melalui 360o sekitar paksi-x. Cari isipadu yang dijanakan
dalam sebutan .
a. y y = x +1
0 1 2 x
b. y
0 1 4 x
B2001/UNIT 13/8 PENGGUNAAN KAMIRAN
Maklum Balas Aktiviti 13.1
1. a.
=
=
=
=
= unit 3
b. 3 unit 3
2. Isipadu =
=
=
=
= 12 unit 3
INPUTINPUT
B2001/UNIT 13/9 PENGGUNAAN KAMIRAN
13.2 ISIPADU YANG DIJANAKAN APABILA SUATU RANTAU
DIPUTARKAN 360O SEKITAR PAKSI-Y
x= g(y)
Untuk mencari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek di atas diputarkan
360o sekitar paksi-y, kita pilih satu fungsi x = g(y) untuk mewakili lengkung
tersebut.
Isipadu janaan =
Contoh 13.2
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan 3600
sekitar paksi-y.
Penyelesaian
a. y y = 4x2
2
x
b. y y = 2x - 2 3
0 x
-1
Gantikan x2 dengan
x
y
a
0
Rajah 13.3
B2001/UNIT 13/10 PENGGUNAAN KAMIRAN
a. Isipadu =
=
=
= = unit3
b. Isipadu janaan =
=
=
=
=
= unit3
Aktiviti 13.2
Pemalar dan 4 boleh dikeluarkan sebelum pengamiran dilakukan
Gantikan x2 dengan
B2001/UNIT 13/11 PENGGUNAAN KAMIRAN
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Cari isipadu yang dijanakan apabila luas rantau berlorek berikut diputarkan
melalui 360o sekitar paksi–y.
2. Sebiji bola berbentuk sfera terbentuk apabila kawasan yang dibatasi oleh lengkungan y = dan paksi-x seperti rajah di bawah diputarkan sekitar paksi –x. Cari isipadu bola yang jejarinya 2.
y
y =
-2 2 x
Maklum Balas Aktiviti 13.2
a. y
y = x2 - 1 2
0
b. y 3 y = 3 – x2
0
B2001/UNIT 13/12 PENGGUNAAN KAMIRAN
1. a. Isipadu =
=
=
=
= 4 unit 3
b. 4.5 unit 3
2. unit 3
INPUTINPUT
B2001/UNIT 13/13 PENGGUNAAN KAMIRAN
13.3 ISIPADU YANG DIJANAKAN APABILA SUATU RANTAU
DIBATASI OLEH LENGKUNG DAN SATU BARIS LAIN
y = f(x)
Rajah 13.4
Untuk mencari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek di atas diputarkan
360o sekitar paksi-x, kita pilih satu fungsi y = g(x) untuk mewakili lengkung
tersebut dan satu fungsi y = f(x) untuk mewakili garis lurus.
Isipadu janaan =
Contoh 13.3
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek yang dibatasi oleh garis lurus
y = x, lengkung y2 = x – 2 , garis lurus x = 4 dan paksi-x diputarkan 360o sekitar
paksi-x.
Penyelesaian
y y = x y2 = x-2
0 2 4 x
x
y y= g(x)
B2001/UNIT 13/14 PENGGUNAAN KAMIRAN
Rantau berlorek tersebut adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 13.3
Rajah 13.4a Rajah13.4 b Rajah13.4 c
Cuba imbas semula bahawa ialah isipadu yang djanakan apabila luas
rantau berlorek dalam Rajah 13.4b diputarkan 360o sekitar paksi-x dan
ialah isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek dalam Rajah
13.4c diputarkan 360o sekitar paksi-x.
Jadi isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek dalam Rajah13a diputarkan
360o sekitar paksi-x adalah sama dengan I1 – I2
Isipadu janaan = I1 – I2
= -
=
=
= unit3
Aktiviti 13.3
y y = x
y2=x-2
0 2 4 x
y y = x
0 4 x
Isipadu janaan I1=
y y2=x-2
0 2 4 x
B2001/UNIT 13/15 PENGGUNAAN KAMIRAN
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan 360o
sekitar paksi-x.
2. Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan 360o
sekitar paksi-y.
y y =2x-2 y2=2x
0 1 2 x
y y=x y2=x-1 1
x -1
B2001/UNIT 13/16 PENGGUNAAN KAMIRAN
Maklum Balas Aktiviti 13.3
1. Isipadu =
=
=
=
= unit 3
2. Isipadu Janaan = +
= +
= +
= unit 3 + unit 3
= 8 unit 3
PENILAIAN KENDIRI 13
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan.
B2001/UNIT 13/17 PENGGUNAAN KAMIRAN
Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…
1. Kirakan isipadu bongkah putaran apabila kawasan berlorek berikut diputarkan
sekitar paksi-x:
a. b.
y = x2
y = 2x - x2
x
1
1. Lakarkan dan tentukan isipadu bongkah putaran yang diperolehi apabila kawasan berikut diputarkan sekitar paksi –x.
a. kawasan di bawah graf y = 3x + 3 dari garis x = -1 dan x = 2.
b. kawasan di bawah graf y = x(3 – x) dari garis x = 0 dan x = 3.
Kirakan isipadu bongkah putaran apabila kawasan berlorek berikut diputarkan
sekitar paksi x:
Maklum Balas Penilaian Kendiri 13
y
0 2
y
x
x
y
y = -2x
22
xy
22
y
11
3
y=1/x
x
B2001/UNIT 13/18 PENGGUNAAN KAMIRAN
Adakah anda telah mencuba dahulu???..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.
1. a. b.
2. a. 72 unit3 b.
3. a. b.
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….