SAYILAR - Matematik, Matematik, Matematik… · Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru kullanıldıklarında matematik seyretmesi doyumsuz bir sanat eserine dönüĢür. ÖSS

1

SAYI KÜMELERĠ:

GĠRĠġ:

Nasıl atom maddenin, hücre canlının

temel taĢı ise sayılar da matematiğin

temel taĢlarıdır. Bu bölümde yalnızca

atom veya hücreyi bir bütün olarak değil,

atomun elektronlarını ve çekirdeğini,

hücrenin çekirdeğini ve DNA larını da

inceleyeceğiz.

Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru

kullanıldıklarında matematik seyretmesi

doyumsuz bir sanat eserine dönüĢür.

ÖSS Matematikte baĢarılı olmak isteyen

öğrencinin sayılar ile arasının çok iyi

olması gerekir.

Bu yüzden öncelikle sayı kümelerine kuĢ

bakıĢı bir göz atalım. Önemli

özelliklerinden birkaçını da vurgulayalım.

DOĞAL SAYILAR KÜMESĠ

N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }

Kümesine Doğal sayılar kümesi denir.

En küçük doğal sayı 0 dır.

TAMSAYILAR KÜMESĠ

Z={…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…, n, n+1, n+2,…}

Kümesine Tamsayılar kümesi denir.

Her doğal sayı, aynı zamanda bir

Tamsayıdır.

N ⊂ Z

Z- = { …, -3, -2, -1 } Negatif tamsayılar.

En büyük Negatif tamsayı -1 dir.

Z+ = { 1, 2, 3, … } Pozitif tamsayılar.

Sayma sayıları.

En küçük Pozitif tamsayı 1 dir.

Z = Z- {0} Z+

UYARI

0 sayısı Negatif bir tamsayı olmadığı gibi

Pozitif bir tamsayı da değildir.

RASYONEL SAYILAR KÜMESĠ

Q = { | a, b tamsayı, b 0 }

Kümesine Rasyonel sayılar kümesi denir.

UYARI

Ondalık sayılar,

0,23 ; 45,67 ; 123,4567 ; …

Devirli ondalık sayılar,

2,333… ; 36,232323… ; 0,125125…

birer Rasyonel sayıdır.

Her Tamsayı, paydası 1 olan bir

Rasyonel sayıdır.

a Tamsayı olmak üzere; 𝑎

1= 𝑎 dır.

N ⊂ Z ⊂ Q

b

a

SAYILAR

2

ĠRRASYONEL SAYILAR KÜMESĠ

( a, b tamsayı, b 0 )

Ģeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel

sayılar denir. Ġrrasyonel sayılar kümesi

Q’ ile gösterilir.

32, 5, 3,14, ... , 2,71 ...e

sayıları birer Ġrrasyonel sayıdır.

Rasyonel ve İrrasyonel sayı

kümelerinin ortak elemanları yoktur.

Q Q’ = Ø

GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESĠ

Rasyonel sayılarlar kümesi ile Ġrrasyonel

sayılar kümesinin birleĢimine Gerçek

sayılar kümesi denir.

R = Q Q’

Doğal sayılar, Tamsayılar, Rasyonel

ve İrrasyonel sayılar birer Gerçek

sayıdır.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

DÖRT ĠġLEM:

Matematikte baĢarılı olmanın temel

koĢullarından biri de dört iĢlemi hatasız

ve çabuk yapmaktır.

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme

iĢlemlerini tüm sayı kümelerinde

sıkılmadan, çok sayıda alıĢtırma yaparak

pekiĢtirmek gerekir.

Biz öncelikle bu iĢlemlerin temel

özelliklerini belirtelim.

Toplama ve çarpma iĢlemlerinin

değiĢme özelliği vardır.

a+b = b+a

a.b = b.a

4+7=7+4=11

4.7=7.4=28

Toplama ve çarpma iĢlemlerinin

birleĢme özelliği vardır.

(a+b)+c = a+(b+c)

(a.b)c = a(b.c)

(2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4=9

(2.3)4=2(3.4)=2.3.4=24

Çarpma iĢleminin,toplama iĢlemi üzerine

dağılma özelliği vardır.

(a+b)c = a.c+b.c

a(b+c) = a.b+a.c

(3+4)5=3.5+4.5=15+20=35

3(4+5)=3.4+3.5=12+15=27

Toplama iĢlemine göre;

Etkisiz (Birim) eleman 0 dır.

a+0 = 0+a = a

6+0=0+6=6

4+0=0+4=4

b

a

3

Çarpma iĢlemine göre;

Etkisiz (Birim) eleman 1 dir.

1.a = a.1 = a

1.7=7.1=7

1.12=12.1=12

Toplama iĢlemine göre; a gerçel sayısının

tersi (toplamsal tersi) -a sayısıdır.

a+(-a) = 0

12+(-12)=12-12=0

5+(-5)=5-5=0

Çarpma iĢlemine göre; sıfırdan farklı bir

a sayısının tersi (çarpımsal tersi)

a-1= 1

𝑎 sayısıdır.

a( ) = 1 (a 0)

8. 1

8=1

7. 1

7=1

Ġki sayının farkı; birinci sayı ile ikinci

sayının toplamsal tersinin toplamıdır.

a-b = a+(-b)

14-5=14+(-5)=9

12-8=12+(-8)=4

Ġki sayının bölümü; bölünen sayı ile bölen

sayının çarpımsal tersinin çarpımıdır.

(Bir sayının 0 ile bölümü tanımsızdır)

= a:b=a.( ) (b 0)

12

5= 12: 5 = 12.

1

5

2

3= 2: 3 = 2.

1

3

Sayının -1 ile çarpımı; o sayının toplamsal

tersine eĢittir.

(-1)a = -a

(-1)14=-14

(-1)(-12)=12

Çarpanlardan birinin toplamsal tersi

alındığında; çarpımın toplamsal tersi

bulunur.

(-a)b = a(-b) = -(a.b)

(-3).4=3(-4)=-(3.4)=-12

[-(-2)].3=(-2)(-3)=6

Çarpanların ikisinin de toplamsal tersi

alındığında; çarpım değiĢmez.

(-a)(-b) = a.b

(-4)(-5)=4.5=20

6.(-7)=(-6).7=-42

Sayının 0 ile çarpımı; her zaman 0 dır.

(0 sayısı, çarpma iĢleminde

Yutan elemandır.)

0.a = a.0 = 0

0.2=2.0=0

0.15=15.0=0

Kendinizi sınamak için aĢağıdaki dört

iĢlem sorularını yapıp yanıtlarınızı

kontrol ediniz.

48+12 =? 48-12 =?

48.12 =? 48:12 =?

8+0 =? 8-0 =?

8.0 =? 8:0 =?

0+12 =? 0-12 =?

0.12 =? 0:12 =?

10+20 =? 10-20 =?

10.20 =? 10:20 =?

0+0 =? 0-0 =?

0.0 =? 0:0 =?

a

1

b

a

b

1

4

ÇÖZÜM

48+12 =60 48-12 =36 ,

48.12 =576 48:12 =4

8+0 =8 8-0 =8 ,

8.0 =0 8:0 =TANIMSIZ

0+12 =12 0-12 =-12

0.12 =0 0:12 =0

10+20 =30 10-20 =-10

10.20 =200 10:20 =0,5

0+0 =0 0-0 =0

0.0 =0 0:0 =TANIMSIZ

UYARI

0 sayısı ile iĢlem yaparken çok dikkatli

olunmalıdır. Matematik öğrenmenin en

tatsız taraflarından biri sıfır sayısı ile

geçinmeyi öğrenmektir. Her öğrenilen

iĢlemi bir de 0 sayısı ile denemek insanın

hep aklını kurcalar. Bunların en kötüsü de

sıfırı, sıfıra bölmektir. Bu durumda

‘’Matematik bilen aslana, sıfır bölü sıfır

nedir? diye soran kiĢinin yaptığı ölümcül

hatayı yapmıĢ oluruz’’.

a 0 için :

00

a dır.

0

aTANIMSIZDIR.

0

0 TANIMSIZDIR.

DNA-1 −6 + 14

3 − (−5)

ĠĢleminin sonucu kaçtır?

A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

ÇÖZÜM

-6+14=8

3-(-5)=3+5=8

değerleri yerlerine yazıldığında;

−6+14

3−(−5)=

8

8= 1 bulunur.

Doğru Seçenek D dir.

GENETĠK KOPYA-1 5− 11

1 − (−5)


A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

DNA-2 −2 + 2(−2)

1 + (−3)


A)-3 B)-2 C)0 D)2 E)3

ÇÖZÜM

-2+2(-2)=-2-4=-6

1+(-3)=1-3=-2

değerleri yerlerine yazıldığında;

−2+2(−2)

1+(−3)=

−6

−2= 3 bulunur.

Doğru Seçenek E dir.

5

GENETĠK KOPYA-2 3− 3(−3)

−4 + (−2)


A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

DNA-3

Buna göre, A+B toplamı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)12 B)13 C)14 D)15 E)16

ÇÖZÜM

EĢitliğin bir tarafında toplam veya fark

durumundaki bir terim, eĢitliğin diğer

tarafına iĢaret değiĢtirerek geçer.

74+AB=132 ⇒ AB=132-74

⇒ AB=58 olacağından,

A=5 ve B=8 dir.

A+B=5+8=13 olmalıdır.

Doğru Seçenek B dir.

GENETĠK KOPYA-3

Buna göre, A.B çarpımı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)6 B)8 C)12 D)15 D)18

DNA-4

Buna göre A+B toplamı kaçtır?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

ÇÖZÜM

73-AB=48 ⇒ 73-48=AB

⇒ AB=25 bulunur.

A=2 ve B=5 dir.

A+B=2+5=7 olmalıdır.

Doğru Seçenek C dir.

GENETĠK KOPYA-4

Buna göre A+B toplamı kaçtır?

A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

DNA-5

Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan

kaçtır?

A)1234 B)1324 C)1243

D)1342 E)1432

6

ÇÖZÜM

Çarpma iĢleminde;

1.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın birler

basamağı)

2.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın onlar

basamağı)

3.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın yüzler

basamağı)

olarak yazıldığından;

(1. Çarpan)x3=3702 verilmiĢ.

EĢitliğin her iki tarafı 3 ile bölündüğünde 1.ç𝑎𝑟𝑝𝑎𝑛 .3

3=

3702

3

(1.Çarpan) = 1234 bulunur.

Doğru Seçenek A dır.

GENETĠK KOPYA-5

Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan

kaçtır?

A)876 B)867 C)786

D)687 E)678

DNA-6

Buna göre, A+B toplamı kaçtır?

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

ÇÖZÜM

Toplamdaki sayıların birler

basamağındaki rakamların toplamı:

A+B=6 veya A+B=16 olmalıdır.

Onlar basamağındaki rakamların toplamı:

B+A=16 olursa, birler basamağındaki

rakamlar toplamından gelen ‘’elde var 1’’

ile birlikte toplamın sonucu 176 olur.

Öyleyse; A+B=16 dır.


GENETĠK KOPYA-6

Buna göre, A+B toplamı kaçtır?

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

DNA-7

Buna göre, A-B farkı kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

Birler basamağındaki rakamlar farkı;

B-A=8 olduğu düĢünüldüğünde,

Onlar basamağındaki rakamlar farkı;

A-B bulunamaz.

Öyleyse; birler basamağı için, B’den

A çıkmaz, AB’nin onlar basamağı olan

A’dan bir onluk alıp;

10+B-A=8 ve 10-8=A-B

A-B=2 olmalıdır.

Onlar basamağında iĢlem yapıldığında;

A’dan bir alınmıĢtı,

A-1-B=1 ve A-B=2 olduğu görülür.


7

GENETĠK KOPYA-7

Buna göre, A-B farkı kaçtır?

A)1 B)2 C)7 D)8 E)9

DNA-8

Buna göre, D+N+A toplamı kaçtır?

A)11 B)12 C)13 D)14 E)15

ÇÖZÜM

NA iki basamaklı sayısının kendisi ile

çarpımı (karesi), yine NA ile sonlanan

DNA üç basamaklı sayısına eĢit verilmiĢ.

25x25=625 eĢitliği dıĢında bu özelliği

sağlayan sayı yoktur.

25x25=625

NAxNA=DNA

Bu durumda;

N=2, A=5 ve D=6 olup,

D+N+A=6+2+5=13 bulunur.


GENETĠK KOPYA-8

Buna göre, A kaçtır?

A)3 B)4 C)6 D)7 E)9

Dört iĢlem yaparken iĢlem önceliğine

dikkat edilmelidir.

Parantezli iĢlemlerde önce parantez

içindeki iĢlem yapılır.

Parantez yoksa; önce çarpma ve bölme,

sonra toplama ve çıkarma iĢlemleri

yapılır.

DNA-9

4+4.4-4:4-4


A) 3 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20

ÇÖZÜM

Önce çarpma ve bölme iĢlemlerini

yapalım; sonra toplama ve çıkarma

iĢlemlerini yapacağız

4+4.4-4:4-4 = 4+16-1-4 = 20-5 = 15


GENETĠK KOPYA-9

3+3.3+3:3-3


A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

DNA-10

5-2(5-2)


A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13

ÇÖZÜM

Önce parantez içindeki iĢlemin sonucunu

bulalım, sonra çarpma ve çıkarma

iĢlemlerini yapacağız.

5-2(5-2) = 5-2(3) = 5-6 = -1


8

GENETĠK KOPYA-10

(5-2)5-2


A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13

DNA-11

128:(2.4)


A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256

ÇÖZÜM

Önce parantez içindeki iĢlemi yaparız.

128:(2.4)=128:8=16


GENETĠK KOPYA-11

(128:2).4


A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256

DNA-12

128:2.4


A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256

ÇÖZÜM

Çarpma ve bölme iĢlemlerinin ardı ardına

kullanıldığı parantezsiz iĢlemlerde; önce

soldaki iĢlem yapılır.

128:2.4=64.4=256


GENETĠK KOPYA-12

128.2:4


A)2 B) 8 C)32 D)64 E)256

DNA-13

1-2[3-4:(5-6)]

iĢleminin sonucu kaçtır?

A) -13 B) -3 C) 0 D) 3 E) 13

ÇÖZÜM

Ġçteki küçük parantezden baĢlanarak,

adım adım dıĢa doğru iĢlem yapılır.

1-2[3-4:(5-6)] =1-2[3-4:(-1)]

=1-2[3+4]=1-2[7]=1-14

=-13


GENETĠK KOPYA-13

6-5:[4-3(2-1)]


A) -13 B) -3 C) 0 D) 1 E) 13

Sayı kümelerini biraz daha çeĢitlendirip,

dört iĢlem yapmayı sürdürelim.

ÇĠFT SAYILAR

Ç={...-6,-4,-2,0,2,4,6,...,2n-2,2n,2n+2,...}

2’nin katı olan tamsayılardır.

Birler basamağı 0,2,4,6 veya 8 dir.

TEK SAYILAR

T={ ...-5.-3,-1,1,3,5,...,2n-1,2n+1,2n+3,...}

Birler basamağı 1,3,5,7 veya 9 dur.

IġIK-1

T±T=Ç Ç±Ç=Ç

T.T=T Ç.Ç=Ç

T±Ç=T T.Ç=Ç

n pozitif tamsayısı için;

Tn = T ve Çn = Ç dır.

( Ç0 = 1 )

9

DNA-14

a bir tamsayı olduğuna göre,

aĢağıdakilerden hangisinin sonucu

kesinlikle tek sayıdır?

A)a+1 B)a2-1 C)a2+2a

D)2a-3 E)a2+2a+1

ÇÖZÜM

a bir tek sayı ise;

a+1, a2-1 ve a2+2a+1 ifadeleri birer

çift sayı,

a bir çift sayı ise;

a2+2a çift sayı gösterir.

a ister tek, ister çift sayı olsun;

2a çift sayı,

2a-3 kesinlikle bir tek sayıdır.


GENETĠK KOPYA-14

n bir tamsayı olduğuna göre,


kesinlikle çift sayıdır?

A)2n+6 B)n2+4 C)n3

D)3n+4 E)n2-2n+1

DNA-15

x bir çift sayı olduğuna göre,


tek sayıdır?

A)3x+2 B)x3+2 C)5x3

D)x2+3x E)4x+3

ÇÖZÜM

x bir çift sayı iken;

3x+2, x3+2, 5x3 ve x2+3x sayıları çift,

4x+3 sayısı tek sayıdır.


GENETĠK KOPYA-15

n bir tek sayı olduğuna göre,


çift sayıdır?

A)n2+3n B)3n+2 C)n2+5n+3

D)3n-4 E)2n-3

DNA-16

ArdıĢık üç çift sayıdan küçüğünün iki

katı, ikinciden 20 fazladır.

Üçüncü sayı kaçtır?

A)22 B)24 C)26 D)28 E)30

ÇÖZÜM

Sayılardan küçüğüne x dersek,

Ġkinci sayı x+2,

üçüncü sayı x+4 olacaktır.

2x = x+2 + 20 verilmiĢ.

x=22 bulunur.

Üçüncü sayı x+4 = 22+4 =26 olur.


GENETĠK KOPYA-16

ArdıĢık dört tek sayıdan en küçüğünün

üç katı, en büyüğüne eĢittir.

Bu sayıların toplamı kaçtır?

A)22 B)24 C)26 D)28 E)30

DNA-17

ArdıĢık üç tek sayının toplamı 249 ise bu

sayılardan en küçüğü kaçtır?

A)79 B)81 C)83 D)85 E)87

10

ÇÖZÜM

Sayılardan küçüğüne x dersek,

Ġkinci sayı x+2, üçüncü sayı x+4

olacaktır.

x + x+2 + x+4 = 249 verilmiĢ.

3x+6=249

3x=243

x=81 bulunur.


GENETĠK KOPYA-17

ArdıĢık üç tek sayının toplamı 105 ise en

büyüğü kaçtır?

A) 31 B) 33 C) 35

D) 37 E) 39

DNA-18

a ve b ardıĢık doğal sayılar,

x=ab+1 olduğuna göre, aĢağıdakilerden

hangisi kesinlikle tek sayıdır ?

A) x(a+1) B) a(x+b) C) b(a-1)

D) x(a+b) E) b(x+a)

ÇÖZÜM

ArdıĢık iki doğal sayıdan biri tek,

diğeri çift olduğundan;

a+b Toplamları tek sayı,

ab Çarpımları çift sayıdır.

ab çift sayı, x=ab+1 tek sayıdır.

a tek ise, a+1 çift, x(a+1) çift sayıdır.

a çift ise, a(x+b) çift sayıdır.

b çift ise, b(a-1) çift sayıdır.

b çift ise, b(x+a) çift sayıdır.

x tek sayı, a+b tek sayı olduğundan,

x(a+b) tek sayıdır.


GENETĠK KOPYA-18

x ve y ardıĢık tamsayılar olmak üzere,

aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift

sayıdır?

A)x+y B)2x+y C)x+2y

D)x+xy+y E)3xy

DNA-19

a,b,c doğal sayılar olmak üzere ;

cba

2

3.

ise aĢağıdakilerden hangisi

her zaman doğrudur?

A) a+b tek sayıdır.

B) a ve b çift sayıdır.

C) a ve b tek sayıdır.

D) c çift sayıdır.

E) a ve b den biri tek sayıdır.

ÇÖZÜM a.b+3

2= c ⇒ a. b + 3 = 2c

EĢitliğinde, c ne olursa olsun 2c bir çift

sayıdır.

a.b+3 sayısının çift sayı olması için,

a.b nin tek sayı olması gerekir.

a.b nin tek sayı olması, a ve b nin tek sayı

olması ile mümkündür.


GENETĠK KOPYA-19

x, y ve z birer tamsayı ve

2x+1=y.z olduğuna göre,

aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)y ve z tek sayılardır.

B)y ve z çift sayılardır.

C)y+z tek sayıdır.

D)y ve z den biri tek, diğeri çifttir.

E)x tek sayıdır.

11

KONU TESTĠ

1. 3.4+10:5-3=?


A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13

2. 72:24+64:16=?


A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

3. 3+4.5-6:3=?


A)13 B) 15 C) 28 D)21 E) 24

4. 150:(6+3.8)-5=?


A) 0 B) 3 C) 5 D) 8 E) 18

5. 9-5:(8-3).2+6=?


A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

6. 3-[5-(5-3)]=?


A)-10 B)-4 C)0 D)4 E)10

7. A-B=C

Çıkarma iĢleminde;

A+B+C toplamının eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)2A B)2B C)2C D)AB E)AC

8. a, b, c doğal sayıları için;

a+b tek sayı, c2 çift sayıdır.

AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle

doğrudur?

A)c tek sayıdır. B)a+c tek sayıdır.

C)b+c çift sayıdır. D)a.b.c tek sayıdır.

E)a.b.c çift sayıdır.

9. AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?

A) 20072+3 B) 20083+4

C) 20072+5 D) 20083+7

E) 20072+9

10. x ve y pozitif tamsayılarından,

x çift , y tek sayıdır.

AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?

A)x.y B)x+2y C)xy D)yx E)x3.y2

11. ArdıĢık iki tek sayıdan büyüğü

küçüğünün üç katıdır. Bu iki tek

sayının toplamı kaçtır?

A)4 B)8 C)12 D)16 E)20

12

12. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile

gösterildiğinde; aĢağıdakilerden

hangisi yanlıĢtır?

A)Ç±Ç=Ç B)Ç±T=T C)T±T=Ç

D)ÇxÇ=Ç E)ÇxT=T

13. x, y, z çift sayılar olduğuna göre,

aĢağıdakilerden hangisi her zaman

çift sayıdır?

A) 𝑥 +𝑦−𝑧

2 B) 𝑥 −

𝑦+𝑧

2 C)

𝑥+𝑦+𝑧

2

D) 𝑥 .𝑦 .𝑧

2 E)

𝑥+𝑦

2− 𝑧

14. ArdıĢık dört tek sayının toplamı

K dır. Buna göre, bu sayılardan en

büyüğünün K türünden eĢiti

aĢağıdakilerden hangisidir?

𝐴) 𝐾

4+ 3 B)

𝐾

4− 3 C)

𝐾

4+ 2

D) 𝐾

4− 2 E)

𝐾

8+ 1

15. a,b ve c sayma sayıları ve a+b=c

olduğuna göre;

a+b+c toplamı aĢağıdakilerden hangisi

olabilir?

A)25 B)37 C)43 D)52 E)69

16. A,B ve C farklı rakamlar olmak

üzere; A2C8 ve C66B dört basamaklı,

A79 üç basamaklı sayılardır.

Çıkarma iĢlemindeki A+B+C toplamı

kaçtır?

A)12 B)14 C)15 D)16 E)18

YANITLAR

1.C 2.B 3.D 4.A 5.D

6.C 7.A 8.E 9.D 10.D

11.A 12.E 13.D 14.A

15.D 16.E

TENEFFÜS !!!

1:2:3:4:5:6:7:8:9:10

Yukarıdaki iĢlemde uygun yerlere,

istenildiği kadar parantez kullanarak

sonucun 7 olmasını sağlayabilirmisiniz?

13

Sayı kümelerini tanıyıp, dört iĢlemi

pekiĢtirdikten sonra artık bu

bilgilerimizi problem çözümlerinde

kullanmaya baĢlayalım.

Sayı kümelerinin varsa en küçük veya en

büyük elemanlarını bilmek, bizi sayı

problemlerinde doğru sonuca götürür.

Soru çözmeye geçmeden, sayılar

arasında biraz daha dolaĢalım.

Ġki basamaklı, en küçük doğal sayı: 10

en büyük doğal sayı: 99

Ġki basamaklı, rakamları farklı en büyük

doğal sayı: 98

Üç basamaklı, en küçük doğal sayı: 100

Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük

doğal sayı: 102

Üç basamaklı, en büyük doğal sayı: 999

Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük

doğal sayı: 987

En büyük negatif tamsayı: -1

Ġki basamaklı, en büyük

negatif tamsayı: -10

Ġki basamaklı, en küçük


Ġki basamaklı, rakamları farklı en küçük


Üç basamaklı, en büyük


Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük


Üç basamaklı, en küçük


Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük


DNA-1

Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek

tamsayı ile iki basamaklı, en küçük

negatif çift tamsayının toplamı kaçtır?

A)-1 B)0 C)1 D)89 E)90

ÇÖZÜM

Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek

tamsayı 99,

Ġki basamaklı, en küçük negatif çift

tamsayı -98 olduğuna göre,

99+(-98)=99-98=1


GENETĠK KOPYA-1

Ġki basamaklı en küçük pozitif çift

tamsayı ile iki basamaklı en büyük

negatif tek tamsayının toplamı kaçtır?

A)-1 B)0 C)1 D)9 E)10

IġIK-1

Sonucu bilinen bir toplamda, toplanan

terimlerden birinin en büyük olması

isteniyorsa; diğerlerinin olabildiğince

küçük olması gerekir.

Karşıtı da doğrudur.

DNA-2

a,b Doğal sayıları için;

a+b = 14 ise

b’ nin en büyük değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14

14

ÇÖZÜM

Ġki doğal sayının toplamında;

b’nin en büyük değeri istendiğinden,

a en küçük değerini almalıdır.

Doğal sayılar içinde en küçük değer 0

olduğundan a=0 olmalıdır.

Bu durumda;

a+b=14 eĢitliğinde; a=0 alındığında;

0+b=14 ve b=14 olacaktır.


GENETĠK KOPYA-2

a,b Pozitif tamsayıları için;

a+b = 14 ise

b’ nin en büyük değeri kaçtır?

A)0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14

DNA-3

a,b,c doğal sayıları için;

a+b+c=36 ise

c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)11 B)12 C)13 D)35 E)36

ÇÖZÜM

c’nin en büyük değeri alabilmesi için,

a ve b’nin en küçük değerlerini alması

gerekir.

En küçük doğal sayı 0 olduğundan,

a=b=0 alındığında;

0+0+c=36

c=36 bulunur.


GENETĠK KOPYA-3

a,b,c farklı doğal sayılar olmak üzere;

a+b+c=36 ise

c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)11 B)12 C)13 D)35 E)36

UYARI

Sayılar ile ilgili sorularda, kullanılan

sayıların hangi sayı kümesinin elemanı

olduğuna dikkat edilmelidir.

IġIK-2

Bir çıkarma iĢleminde;

Farkın küçük olması isteniyorsa, eksilen

sayı küçük, çıkan sayı büyük olmalıdır.

Farkın büyük olması isteniyorsa, eksilen

sayı büyük, çıkan sayı küçük olmalıdır.

DNA-4

a,b sayma sayıları olmak üzere;

a-b=14 ise

a’nın en küçük değeri kaçtır?

A)0 B)7 C)13 D)14 E)15

ÇÖZÜM

Farkları sabit olduğundan, a’nın en küçük

olması için, b’nin de en küçük olması

gerekir.

En küçük sayma sayısı 1 olduğundan;

b=1 için; a-1=14 ve a=15 bulunur.


GENETĠK KOPYA-4

a,b doğal sayılar olmak üzere;

a-b = 14 ise

a’ nin en küçük değeri kaçtır?

A)0 B) 7 C)7 D) 14 E) 15

Yukarıda verilen sorulara dikkat

edildiğinde, soruda kullanılan sayı

kümeleri farklı ise, soruların yanıtları da

farklı olmaktadır.

15

DNA-5

ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı

en çok kaç olabilir?

A)89 B)90 C)180 D)198 E)200

ÇÖZÜM

a-b farkının en büyük değeri alabilmesi

için, a’nın en büyük, b’nin en küçük olması

gerekir.

Ġki basamaklı en büyük tamsayı: 99

En küçük tamsayı: -99 olduğundan

a-b=99-(-99)=99+99=198 bulunur.


GENETĠK KOPYA-5

ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı

en az kaç olabilir?

A)0 B)-89 C)-180 D)-198 E)-200

DNA-6

Sekiz Ģeker kutusunun her birinde farklı

sayıda Ģeker bulunmaktadır.

Bu kutulardan rastgele biri boĢaltılıp

diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca

diğer yedi kutunun her birinde Ģeker

sayısı aynı oluyor.

BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda

en az kaç Ģeker vardır?

A)14 B)15 C)16 D)21 E)28

ÇÖZÜM

Kutulardaki Ģeker sayılarını; x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7

olarak alalım.

Son kutudaki x+7 Ģeker diğer kutulara;

kutularda x+6’Ģar Ģeker bulunacak

Ģekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 tane dağıtılırsa;

x+6, x+1+5, x+2+4, x+3+3, x+4+2, x+5+1

her birinde Ģeker sayısı x+6 olacaktır.

Dağıtılan Ģeker sayısı;

1+2+3+4+5+6 =21=x+7

BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda;

x+7=21 tane Ģeker vardır.


GENETĠK KOPYA-6

Her çocuğun en az bir kalem aldığı ve

alınan kalem sayılarının farklı olduğu bir

dağıtımda; 15 kalem üç çocuğa

dağıtılıyor. En çok kalem alan çocuk kaç

kalem alabilir?

A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

HAZĠNE-1

Toplamları sabit iki Gerçek sayının

çarpımlarının en büyük olması için

sayıların eĢit olması gerekir.

Doğal sayılarda ve Tam sayılarda;

sayılar eşit olamıyorlarsa en yakın

değerleri almalıdır.

DNA-7

a,b Gerçek sayılar olmak üzere;

a+b = 5 ise a.b çarpımının

en büyük değeri kaçtır?

A)2 B)2,5 C)3 D)6 E)6,25

16

ÇÖZÜM

Toplamları 5 olan eĢit iki Gerçel sayı için

a=b=2,5 alınırsa;

a.b=(2,5)(2,5)=6,25 bulunur.


GENETĠK KOPYA-7

a,b Gerçek sayılar olmak üzere;



A)4 B)8 C)12 D)16 E)20

DNA-8 a = 3-x ve b = x+7 ise,

a.b nin en büyük değeri kaçtır?

A)16 B)25 C)36 D)49 E)68

ÇÖZÜM

a+b=(3-x)+(x+7)=10

a ve b nin toplamları x’e bağlı olmayıp

sabit olduğundan, çarpımlarının en büyük

değeri alması için sayıların eĢit olması

gerekir.

a+b=10 ⟹ a=b= 10

2 = 5 olmalıdır.

a.b=5.5=25 çarpımın en büyük değeridir


GENETĠK KOPYA-8

x=a+9 ve y=5-a ise,

x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır?

A)25 B)45 C)49 D)75 E)81

DNA-9 Çevreleri sabit dikdörtgenler içinde alanı

en büyük olan karedir.

Dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçe 60m.

uzunluğundaki tel ile çevrilecektir.

Alanının en büyük değeri kaç olabilir?

A)225 B)250 C)360

D)400 E)640

ÇÖZÜM

Çevre = 2a+2b = 60 ⟹ a+b = 30

Alan = a.b

Toplamı 30 olan iki sayının çarpımlarının

en büyük olması istendiğinden, sayılar

eĢit olmalıdır.

a=b=30

2 =15

a.b =15.15 = 225

alanın en büyük değeridir.


GENETĠK KOPYA-9

Bir tarafı duvarla çevrili dikdörtgen

Ģeklinde bir bahçe 60m uzunluğundaki

tel ile çevrilecektir.

Alanın en büyük değeri kaç olabilir?

A)225 B)250 C)360

D)450 E)640

17

DNA-10 Bir kenarının tümü , diğer kenarının

yarısı duvar örülmüĢ kalan kısmı tel ile

çevrili dikdörtgen bir bahçe yapılacaktır.

60m. uzunluğundaki tel ile çevrilecek

alan en çok kaç m2 olabilir ?

A)225 B)250 C)360

D)450 E)600

ÇÖZÜM

Tel kullanılacak kısmın uzunluğu;

b+a+b

2=

3b

2+ a = 60

toplanan terimlerin eĢit olması

gerektiğinden;

a=30, 3b

2= 30 ⇒ 3b = 60 ⇒ b = 20

olur.

Alan =a.b=30.20=600 m2. dir.


GENETĠK KOPYA-10

a, b doğal sayılar olmak üzere;

a+b = 6 ise

a2.b nin en büyük değeri kaçtır?

A)18 B)27 C)32 D)34 E)36

HAZĠNE-2

Çarpımları sabit iki doğal sayının

toplamlarının en küçük olması için

sayıların eĢit (veya en yakın) olması

gerekir.

DNA-11 x,y N için x.y = 36 ise

x+x.y+y ifadesinin en küçük değeri

kaçtır?

A)36 B)42 C)48 D)54 E)60

ÇÖZÜM

x ve y doğal sayılarının çarpımları sabit

olduğundan,toplamlarının küçük olması

için sayıların eĢit olması gerekir.

x.y =36 olduğundan ;

x=6 ve y=6 alınır. x+x.y+y = 6+6.6+6 = 48 bulunur.


GENETĠK KOPYA-11

Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı alanı

25 birim kare olan bir dikdörtgenin

çevresi en az kaç birim olabilir?

A)10 B)12 C)15 D)20 E)25

DNA-12 x,y tamsayıları için:

x.y=36 ise

x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?

A)-37 B)-12 C)0 D)12 E)37

ÇÖZÜM

Çarpımları 36 olan tamsayıların

toplamlarını alalım.

(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37

(-2).(-18)=36 ⇒ -2)+(-18)=-20

(-3).(-12)=36 ⇒ -3)+(-12)=-15 .................... 1.36=36 ⇒ 1+36=37 2.18=36 ⇒ 2+18=20 3.12=36 ⇒ 3+12=15 4.9=36 ⇒ 4+9=13 6.6=36 ⇒ 6+6=12

18

Görüldüğü gibi çarpanlar birbirine

yaklaĢtıkça toplamın mutlak değeri

küçülmektedir.

Çarpanlar negatif olabiliyorsa, toplamın

en küçük değeri bu çarpanların toplamı

ile bulunur.

Soruda çarpanlar -1 ve -36 olarak

alındığında elde edilen toplam en küçük

olur.

(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37


GENETĠK KOPYA-12

x,y∈Z için, x.y=9 ise


A)-10 B)-6 C)0 D)6 E)10

DNA-13 a, b ve c tamsayıları için,

a.b=16

a.c=25 olduğuna göre,

a+b+c toplamının en büyük değeri

kaçtır?

A)13 B)14 C)41 D)42 E)53

ÇÖZÜM

Her iki eĢitliğin ortak çarpanı olan a’yı

en küçük aldığımızda, diğer çarpanlar

büyük olacaktır.

a=1 için; b=16 ve c=25 olur.

a+b+c=1+16+25=42 bulunabilecek en

büyük değerdir.


GENETĠK KOPYA-13

a, b ve c tamsayıları için,

a.b=20


a+b+c toplamının en küçük değeri

kaçtır?

A)15 B)-15 C)-30 D)-45 E)-60

DNA-14

a, b ve c pozitif tamsayıları için;

a.b=18



kaçtır?

A)-43 B)-42 C)0 D)13 E)43

ÇÖZÜM

Toplamın küçük olması için,

a, b ve c’nin küçük olması gerekir.

a sayısı her iki çarpımda ortak

olduğundan, a’nın en büyük değeri olan 6

sayısı alınırsa, b ve c sayıları en küçük

değerleri alırlar.

6.b=18 ⇒ b=3

6.c=24 ⇒ c=4 bulunur.

a+b+c=6+3+4=13 olur.


GENETĠK KOPYA-14

x, y ve z doğal sayıları için,

x.y.z=8 olduğuna göre,

x+y+z toplamı en az kaçtır?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

DNA-15

a, b ve c doğal sayıları için,

a-b=7

a-c=5 olduğuna göre,


kaçtır?

A)8 B)9 C)12 D)13 E)14

19

ÇÖZÜM

a-b=7 ⇒ a=b+7

a-c=5 ⇒ a=c+5 eĢitliklerinde;

a’nın küçük olabilmesi için b ve c’nin de

küçük olması gerekir.

b=0 seçilirse, a=0+7 ve a=7

a=c+5 eĢitliğinden de

7=c+5 ve c=2 bulunur.

a+b+c=7+0+2 olur.


GENETĠK KOPYA-15

a, b ve c pozitif tamsayıları için,

a-b=7

a-c=5 olduğuna göre,


kaçtır?

A)8 B)9 C)12 D)13 E)14

DNA-16

A=8-(x-3)2 ifadesi x’in hangi gerçek

değeri için en büyük olur?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)8

ÇÖZÜM

Farkın büyük olması için;

(x-3)2 ifadesi en küçük değerini

almalıdır.

x’in gerçek değerleri için tam karenin

alabileceği en küçük değer 0 dır.

(x-3)2=0

x-3=0

x=3 bulunur.


GENETĠK KOPYA-16

T=(x+2)2+5

Ġfadesinin alabileceği en küçük değer

kaçtır?

A)-2 B)2 C)3 D)5 E)7

DNA-17

Toplamları 72 olan üç farklı tamsayının

en büyüğü, en az kaçtır?

A)22 B)23 C)24 D)25 E)26

ÇÖZÜM

Sayıları eĢit düĢündüğümüzde;

72:3=24=a olur.

Dağılım; a-1, a ve a+1 olarak

Yapıldığında, a+1 istenen koĢulu sağlar.

a+1=24+1=25 bulunur.


GENETĠK KOPYA-17

Toplamları 47 olan üç tamsayının

en küçüğü , en çok kaçtır?

A)13 B)14 C)15 D)16 E)17

UYARI

En küçük veya en büyük değer bulma

sorularında kullanılan sayıların birbirine

en yakın (eĢit olabiliyorsa eĢit değerleri)

ve birbirinden en farklı değerleri

denenmelidir.

Tamkare ifadelerin her zaman pozitif

değerler aldığı, alabileceği en küçük

değerin sıfır olduğu unutulmamalıdır.

20

KONU TESTĠ

1. a ve b pozitif tamsayıları için;

a+b=11 olduğuna göre 2a+3b

toplamının en büyük değeri kaçtır?

A) 22 B) 23 C) 26 D) 32 E) 33

2. Çarpımları iki basamaklı en büyük çift

sayıya eĢit olan iki doğal sayının

toplamının alabileceği en büyük değer

kaçtır?

A)20 B)21 C)34 D)51 E)99

3. Ġki basamaklı en büyük pozitif çift

tamsayı ile iki basamaklı en büyük

negatif tek tamsayının toplamı

kaçtır?

A)87 B)88 C)97 D)98 E)99

4. a.b = 1200 ve b tek sayıdır.

b’nin en büyük değeri için,

a+b toplamı kaç olur?

A)91 B)243 C)324 D)432 E)1201

5. a, b, c tamsayılar,

a+b+c=12 olduğuna göre

a2+b2+c2 toplamının en küçük değeri

kaçtır?

A)27 B)48 C)60 D)72 E)144

6. a ve b tam sayılar olmak üzere;

(a-3)2+(b+1)2= 0 ise

a + 2b toplamının değeri kaçtır?

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

7. 12 tane kalem üç çocuğa

dağıtılacaktır. Her çocuğun en az bir

tane kalem aldığı bu dağıtımda en çok

kalem alan çocuk en az kaç kalem

alabilir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

8. a,b doğal sayılar olmak üzere;



A)5 B)10 C)20 D)25 E)50

9. a,b doğal sayılar olmak üzere;



A)2 B)3 C)5 D)6 E)10

10. a ve b doğal sayıları için;

a.b=16 ise, 1

𝑎+

1

𝑏 toplamının

en küçük değeri kaçtır?

A) 1

16 B)

1

8 C)

1

4 D)

1

2 E) 1

21

11. x,y∈Z için, x.y=-16 ise

x+y toplamının en küçük değeri

kaçtır?

A)-17 B)-15 C)0 D)15 E)17

12. x ve y tamsayıları için,

x+y=9 olduğuna göre

x2+y2 toplamının alabileceği

en küçük değer kaçtır?

A)13 B)25 C)41 D)61 E)81

13. a ve b pozitif tamsayıları için;

a+b=11 olduğuna göre 2a+3b

toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

14. ĠkiĢer basamaklı iki doğal sayının

farkı en çok kaçtır?

A)100 B)99 C)90 D)89 E)88

15. A ve B ikiĢer basamaklı iki

tamsayı olmak üzere,

A-B farkı en çok kaçtır?

A)198 B)188 C)108 D)100 E)89

16. A ve B ikiĢer basamaklı iki

tamsayı olmak üzere,

A-B farkının en küçük değeri kaçtır?

A)-198 B)-188 C)-108

D)-100 E)-89

1.D 2.E 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C

8.D 9.D 10.D 11.B 12.C 13.B

14.D 15.A 16.A

22

TANIM

Sonlu kümelerin bire-bir eĢleme

bağıntısına göre ortaya çıkan denklik

sınıflarından her birine bir

doğal sayı denir.

N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }

Kümesinin elemanları birer doğal sayıdır.

Hiç elemanı olmayan kümeler denktir.

Denklik sınıfı 0 doğal sayısı ile gösterilir.

Bir elemanlı kümeler denktir.

Denklik sınıfları 1 doğal sayısı ile

gösterilir.

Ġki elemanlı kümeler denktir.

Denklik sınıfları 2 doğal sayısı ile

gösterilir.

…

n elemanlı kümeler denktir.

Denklik sınıfları n doğal sayısı ile

gösterilir.

Doğal sayılar kümesinin alt kümelerini ve

özelliklerini inceleyelim.

SAYMA SAYILARI :

(Pozitif tamsayılar)

N = { 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }

Kümesinin elemanları birer sayma

sayısıdır.

En küçük sayma sayısı 1 dir.

IġIK-1

Herhangi iki veya daha fazla doğal

sayının toplamı her zaman bir doğal

sayıdır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal

sayının çarpımı her zaman bir doğal

sayıdır.

ÇĠFT SAYILAR:

NÇ = { 0, 2, 4, 6, … , 2n, 2n+2, 2n+4, … }

En küçük çift Doğal sayı 0 dır.

TEK SAYILAR:

NT = { 1,3,5,7, … , 2n-1, 2n+1, 2n+3, … }

En küçük tek doğal sayı 1 dir.

ARDIġIK SAYILAR

n bir doğal sayı göstermek üzere;

n, n+1, n+2, … Ģeklindeki sayılara

ArdıĢık doğal sayılar denir.

Genel olarak;

n bir tamsayı göstermek üzere;

ardıĢık çift sayılar

2n, 2n+2, 2n+4, …. Ģeklinde,

ardıĢık tek sayılar

2n+1, 2n+3, 2n+5, … Ģeklinde gösterilir.

DOĞAL SAYILAR

23

DNA-1

ArdıĢık üç doğal sayıdan en küçüğü ile en

büyüğünün toplamı 36 iken, bu üç sayının

toplamı kaçtır?

A)18 B) 36 C)45 D)54 E) 63

ÇÖZÜM

ArdıĢık doğal sayıları;

n, n+1, n+2 Ģeklinde gösterdiğimizde

en küçüğü n, en büyüğü n+2 olduğundan

n + n+2 =36 verilmiĢ.

2n+2 = 36

2n = 34

n =17 bulunur.

Sayılar : 17, 18 ve 19 dur.

Toplamları: 17+18+19=54 bulunur.


GENETĠK KOPYA-1

ArdıĢık üç çift doğal sayının toplamı 72

ise, en büyüğü kaçtır?

A)22 B)24 C)26 D)28 E)36

ArdıĢık doğal sayıların toplamının

bulunması pek çok soruda karĢımıza

çıkacağından, bunu kısa yoldan bulmanın

yollarını arayalım.

ĠĢe 1 den baĢlayarak ardıĢık sayma

sayılarının toplamı ile baĢlayalım.

1=1

1+2=3= 1,5 .2

1+2+3=6=2.3

1+2+3+4=10=2,5 . 4

1+2+3+4+5=15=3.5

1+2+3+4+5+6=21=3,5 .6

1+2+3+4+5+6+7=28=4.7

…………..

Toplamlara baktığımızda;

Ortadaki sayı ile terim sayısının

çarpımının sonucu verdiğini

görebiliriz.

Ortadaki sayı; en küçük terim ile en

büyük terimin toplamının yarısıdır.

Yeni bir hazine bulunmuĢtur.

HAZĠNE-1

ArdıĢık ilk n tane Sayma sayısının

toplamı; toplamdaki son sayı ile

ardıĢığının çarpımının yarısına eĢittir.

1 + 2 + 3 + …. + n = 𝑛(𝑛+1)

2

DNA-2

1 + 2 + 3 + … +99+ 100

Toplamının sonucu kaçtır?

A) 1000 B) 1050 C)5000

D)5050 E)6000

ÇÖZÜM

HAZĠNE-1 den; son sayı 100, ardıĢığı

100+1=101 olduğundan istenen toplam;

1 + 2 + 3 + … + 100 =

100(100+1)

2=

100.101

2= 5050 dir.


GENETĠK KOPYA-2

1+2+3+ … +10


A)50 B)55 C)60 D)75 E)100

24

HAZĠNE-2

a, (a+r), (a+2r), (a+3r), … , (a+nr)

Ģeklindeki dizilere Aritmetik dizi denir.

r: Ortak fark

n+1: Terim sayısı = Son terim −Ġlk terim

Ortak fark+ 1

Ortadaki sayı = İlk terim +Son terim

2

Bir aritmetik dizinin tüm terimlerinin

toplamı:

TOPLAM = 0rtadaki sayı x Terim sayısı

DNA-3 13+16+19+ … +127+130 Toplamının sonucu kaçtır?

A)2500 B)2640 C)2860

D)2900 E)3210

ÇÖZÜM

𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 +𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚

2. (𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı)

Ortak fark = r = 3

𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚

𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘+ 1

𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =130−13

3+ 1 =

117

3+ 1 = 39 +

1 = 40

𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =13+130

2. 40 =

143

2. 40 = 2860


GENETĠK KOPYA-3

18+22+26+ … +98+102


A)1230 B)1320 C)1380

D)1440 E)1500

UYARI

Ortadaki sayı, toplanan terimlerden biri

olmayabilir.

DNA-4

10+11+12+ … +19+20


A)150 B)155 C)165 D)175 E)200

ÇÖZÜM

Ġstenen toplam;

1+2+3+…+9+10+11+12+…+20 =20 20+1

2

= 20.21

2= 210

1+2+3+…+9 = 9(9+1)

2=

9.10

2= 45

10+11+12+…+20 = 210-45 = 165 olur.


YADA !!!

Ortadaki sayı= 𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı

2=

10+20

2 =15

Terim sayısı = 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚


=20−10

1+ 1 = 11

Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı

=15.11=165

Tercih sizin…

GENETĠK KOPYA-4

25+26+27+ … +74+75


A)2500 B)2550 C)2600

D)2650 E)2700

25

DNA-5

4+8+12+ … +396+400 Toplamının sonucu nedir?

A)20000 B)20100 C)20200

D)20300 E)20400

ÇÖZÜM

Toplamdaki sayılar 4’ün katı olduğundan

4 parantezine alınabilir.

4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)

Parantez içindeki toplam DNA-2 de

bulunmuĢtu.

Bu durumda;

4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)

=4. 100(100+1)

2= 4.

100.101

2= 4.5050

=20200 olacaktır.


YADA !!!

Ortadaki sayı = 𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı

2=

4+400

2

=202

Terim sayısı = 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚


=400−4

4+ 1 = 100

Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı

=202.100=20200

Tercihini yapamayanlar için…

GENETĠK KOPYA-5

5+10+15+ … +495+500


A)2525 B)25250 C)252500

D)252600 E)252700

DNA-6

0,12112111211112111112…

irrasyonel sayısında 0 dan sonraki

onikinci 2 den önce yazılan 1 lerin

toplamı kaçtır?

A)12 B)24 C)48 D)78 E)96

ÇÖZÜM

Verilen Ġrrasyonel sayıda;

2 rakamlarının önünde sırasıyla,

1 tane, 2 tane, 3 tane, … , 12 tane

1 bulunmaktadır.

Soruda bizden istenen toplam:

1+2+3+ … +12 toplamıdır.

1+2+3+ … +12 = 12(12+1)

2= 78 bulunur.


GENETĠK KOPYA-6

En alt sırasında 15 tane bidon bulunan

Ģekildeki gibi bir istifte, toplam kaç

bidon vardır?

A)120 B)125 C)130 D)145 E)150

26

DNA-7

ArdıĢık ilk n sayma sayısının toplamını

veren sayılara Üçgen sayılar denir.

1+2+3+ …. +n= 𝑛(𝑛+1)

2

n N+ için Ģeklinde yazılabilen

sayılardır. 1, 3, 6, 10, 15, ... gibi.

AĢağıdaki sayılardan hangisi üçgen

sayıdır?

A)16 B)24 C)32 D)36 E)48

ÇÖZÜM

Üçgen sayılar, 𝑛 ∈ 𝑁+ 𝑖ç𝑖𝑛; 𝑛(𝑛+1)

2

Ģeklinde yazılabilen sayılardır.

𝑛 ∈ 𝑁+ 𝑖ç𝑖𝑛; 𝑛(𝑛+1)

2 =36

n(n+1) =2.36=72=8.9

n=8, n+1=9

Seçeneklerde; iki katı, ardıĢık iki doğal

sayının çarpımı olan 36 aranan sayıdır.


GENETĠK KOPYA-7

1+2+3+ … +n=66 ise,

n doğal sayısı kaçtır?

A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

DNA-8

{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki

100. kümenin : en büyük elemanı kaçtır?

A)100 B)500 C)5000

D)5050 E)6000

ÇÖZÜM

Kümelerin en büyük elemanlarına dikkat

edildiğinde;

1. Kümede 1

2. Kümede 3

3. Kümede 6

……

birer üçgen sayı olduğu görülür.

Bu durumda 100. kümenin en büyük

elemanı da 100. Üçgen sayı yani ilk 100

sayma sayısının toplamı olan;

100(100+1)

2=

100.101

2= 5050 dir.


GENETĠK KOPYA-8

{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki

100. kümenin : en küçük elemanı kaçtır?

A)100 B)4950 C)4951

D)5050 E)6000

IġIK-2

n tane ardıĢık doğal sayının toplamının

n’e bölümü (aritmetik ortası) dizinin

ortasındaki sayıyı verir.

2

)1( nn

27

DNA-9 ArdıĢık beĢ doğal sayının toplamı 400 ise

bu sayılardan en büyüğü kaçtır?

A)79 B)80 C)81 D)82 E)83

ÇÖZÜM

𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚

𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı=

400

5= 80

Aritmetik orta = Ortadaki terim = 80

78, 79, 80, 81, 82

80 + 2 = 82 sayıların en büyüğüdür.


GENETĠK KOPYA-9

11 tane ardıĢık pozitif tamsayının

toplamı 2002 ise en küçüğü kaçtır?

A)176 B)177 C)178

D)182 E)187

DNA-10

ArdıĢık 17 tane tamsayının toplamı

17 dir.

Bu sayıların çarpımı kaçtır?

A)-170 B)-17 C)0 D)17 E)170

ÇÖZÜM



17

17= 1

Aritmetik orta = Ortadaki sayı = 1

… , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Ortadaki sayı 1 olduğundan, sayılardan

biri de 0 sayısıdır.

Tüm sayıların çarpımında, çarpanlardan

biri sıfır olduğundan, çarpım sıfır olur.


GENETĠK KOPYA-10

ArdıĢık 9 tane tamsayının toplamı 9 ise,


A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

DNA-11 n ve m pozitif tamsayılar olmak üzere:

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ … +(n+m)=1000

ise;

n+m toplamı kaçtır?

A)15 B)45 C)60 D)70 E)85

ÇÖZÜM

Toplamda; m+1 tane n ve 1+2+3+…+m

toplamı olduğundan;

(m+1)n+ 𝑚(𝑚+1)

2 = 1000

2(m+1)n+m(m+1) = 2000

(m+1)(2n+m) = 2000 = 24.53

m+1 çift, 2n+m tek olacağından;

m+1 = 24 = 16 ⟹ m = 15

2n+m = 53 = 125 ⟹ 2n = 110 ⟹ n = 55

n+m = 55+15 = 70 bulunur.


UYARI

n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere;

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ …+(n+m)= 𝑚+1 (2𝑛+𝑚)

2

GENETĠK KOPYA-11

n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı,

63=n+(n+1)+ … +(n+k)

biçiminde ardıĢık doğal sayıların toplamı

olarak yazıldığında,

n=8 ise, k kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

28

DNA-12 49 tane ardıĢık pozitif tamsayının

toplamı 74 olduğuna göre, bu sayılardan

en küçüğü kaçtır?

A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

ÇÖZÜM



74

49=

49.49

49

= 49

Aritmetik orta = Ortadaki terim = 49

0rtadaki terim 49 olduğundan,

kendisinden küçük 24 teri, kendisinden

büyük 24 terim bulunur.

Sayılardan en küçüğü; 49-24=25 olur.


GENETĠK KOPYA-12

1+2+3+ …. +n = 10n

EĢitliğini geçekleyen n doğal sayısı

kaçtır?

A)15 B)16 C)17 D)18 E)19

DNA-13 2+4+6+ … +100 =2550 olduğuna göre,

1+3+5+ … +99

toplamının sonucu kaçtır?

A)2400 B)2450 C)2500

D)2550 E)2600

ÇÖZÜM

1+2+3+4+5+6+ … +99+100 =n(n+1)

2=

100.101

2

(1+3+5+… +99)+(2+4+6+…+100)=5050

(1+3+5+… +99)+(2550)=5050

1+3+5+… +99 =5050-2550=2500 olur.


GENETĠK KOPYA-13

n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye

kadar doğal sayıların toplamı A,

5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı

B ile gösteriliyor.

A+B=370 ise A nın değeri kaçtır?

A)176 B)180 C) 184 D)190 E)192

DNA-14

12+22+32+ ... +102=K

olarak veriliyor.

Karesi alınan sayılar birer azaltılırsa

toplamın sonucu kaç olur?

A)K-10 B)K-19 C)K-90

D)K-100 E)K-101

ÇÖZÜM

Karesi alınan sayılardan birer

çıkarıldığında toplam;

(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2+ … +(10-1)2

=02+12+22+ ... +92 Ģekline dönüĢür ki

bu toplam K’dan 102=100 noksandır.


GENETĠK KOPYA-14

12+22+32+ ... +102=A

olarak veriliyor. Karesi alınan sayılar

birer artırılırsa toplamın sonucu kaç

olur?

A)A+121 B)A+120 C)A+11

D)A+10 E)A+1

29

DNA-15

A=1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)

B=2.3+3.4+4.5+ ... +(n+1)(n+2)

n=10 için B nin A türünden eĢiti


A)A+132 B)A+130 C)A+12

D)A+10 E)12.A

ÇÖZÜM

n=10 için;

A=1.2+2.3+3.4+ … +10.11

B=2.3+3.4+4.5+ … +10.11+11.12 olur.

B sayısı, A’dan; 11.12-1.2 fazladır.

B=A+130 olur.


GENETĠK KOPYA-15

T = 2.5+3.6+4.7+ …. +10.13

Toplamının her bir teriminin birinci

çarpanı 1 azaltılırsa,

T sayısı ne kadar azalır?

A)79 B)80 C)81 D)82 E)83

DNA-16

1-2+3-4+5-6+ …. +19-20


A)-11 B)-10 C)-9 D)-8 E)-7

ÇÖZÜM

1-2+3-4+5-6+ …. +19-20

ĠĢleminde gruplandırma yaparsak;

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …. +(19-20)

=(-1)+(-1)+(-1)+ … +(-1)

20 tane terimde, ikiĢerli 10 grup

olacağından,

=10(-1)=-10 bulunur.


GENETĠK KOPYA-16

100-99+98-97+96-95+ … +4-3+2-1


A)100 B)99 C)51 D)50 E)49

DNA-17

102-92+82-72+62-52+42-32+22-12


A)35 B)45 C)55 D)65 E)75

ÇÖZÜM a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;

102-92=(10-9)(10+9)=1.19=19

82-72=(8-7)(8+7)=1.15=15

62-52=(6-5)(6+5)=1.11=11

42-32=(4-3)(4+3)=1.7=7

22-12=(2-1)(2+1)=1.3=3 olduğundan

102-92+82-72+62-52+42-32+22-12

=19+15+11+7+3 bulunur.

Ortadaki terim (aritmetik orta)=11

Terim sayısı=5 olduğundan, toplamın

sonucu; 11.5=55 tir.


IġIK-3

ArdıĢık iki doğal sayıdan, büyüğünün

karesi ile küçüğünün karelerinin farkı,

sayıların toplamına eĢittir.

212-202=(21-20)(21+20)=1.41=41

752-742=(75-74)(75+74)=1.149=149 gibi

GENETĠK KOPYA-17

12-22+32-42+ … +192-202


A)-210 B)-190 C)-180

D)-160 E)-110

30

IġIK-4

ArdıĢık ilk n çift sayma sayısının toplamı:

dir.

IġIK-5

ArdıĢık ilk n tek sayma sayısının toplamı:

dir.

DNA-18

ArdıĢık ilk 40 pozitif çift tamsayının

toplamı A,

ardıĢık ilk 40 pozitif tek tamsayının

toplamı B ise,

A-B farkı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 40 D) 400 E) 720

ÇÖZÜM

A=2+4+6+ … +80

2n=80 ise n=40 olduğundan;

A=n(n+1)=40(40+1)=40.41=1640

B=1+3+5+ … +79

2n-1=79 ise n=80 olduğundan;

B=n2=402=1600

A-B=1640-1600=40 bulunur.


YADA !!!

1+2+3+4+ … +79+80 Toplamında;

40 tane tek, 40 tane çift pozitif tamsayı

vardır.

ĠkiĢerli gruplandırdığımızda;

(1+2)+(3+4)+(5+6)+ … +(79+80)

Her grupta fark 1 olup, 40 grup vardır.

A-B=40.1=40 olur.

GENETĠK KOPYA-18

1+3+5+ … +99


A)250 B)2401 C)2500

D)2601 E)5000

DNA-19

n N için,

n2 Ģeklindeki sayılara Kare sayılar

denir.

0, 1, 4, 9, 16, … gibi.

ArdıĢık ilk 100 doğal sayıdan kaç tanesi

kare sayıdır (tam karedir) ?

A)8 B)9 C)10 D)11 E)12

ÇÖZÜM

02=0, 12=1, 22=4, 32=9, … , 92=81,

102=100 olduğundan,

Ġlk 100 doğal sayı içinde;

0, 1, 4, 9, 16, … , 81 olmak üzere 10 tane

kare sayı vardır.


GENETĠK KOPYA-19

AĢağıdaki sayılardan hangisi ardıĢık iki

üçgen sayının toplamı değildir?

A)4 B)9 C)16 D)25 E)75

12...642 nnn

212...531 nn

31

KONU TESTĠ

1. AĢağıdakilerden hangisi ardıĢık üç

doğal sayının toplamı olamaz?

A)48 B)63 C)75 D)82 E)96

2. ArdıĢık üç doğal sayının en küçüğü ile

en büyüğünün toplamı 88 dir.

Bu üç sayının toplamı kaçtır?

A)130 B)131 C)132 D)134 E)135

3. ArdıĢık 13 tane tamsayının toplamı

13 tür.

Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

4. 1+2+3+ … +n=A olduğuna göre,

n+(n+1)+(n+2)+ … +2n toplamının

A türünden eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)A B)2A C)3A D)A2 E)A3

5. n bir doğal sayı olmak üzere,

45 sayısı;

n+(n+1)+(n+2)+ … +(n+k)=45

biçiminde ardıĢık doğal sayıların

toplamı olarak yazıldığında, k’nın

alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)4 B)5 C)8 D)9 E)14

6. On bir tane ardıĢık tamsayının

toplamı 2002 ise en büyüğü kaçtır?

A)176 B)177 C)178 D)182 E)187

7. 1+2+3+ … +n ≤ 125

EĢitsizliğini sağlayan en büyük

n doğal sayısı kaçtır?

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

8. ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımı

0 dır.

Bu sayılardan en büyüğü en çok

kaçtır?

A)2010 B)2009 C)2008

D)2007 E)2006

9. a, b ve c ardıĢık üç doğal sayı,

a2+b2=c2 ise

a+b+c toplamı kaçtır?

A)7 B)12 C)15 D)18 E)24

10. (33+44+55+66):11


A)7 B)9 C)11 D)18 E)24

32

11. (12+10+8+6+4+2):(6+5+4+3+2+1)


A)2 B)4 C)6 D)8 E)12

12. (2009+2008+2007)-

(2006+2005+2004)


A)3 B)6 C)9

D)2003 E)2004

13. a,b,c,d ardıĢık dört tek sayı olmak

üzere; a<b<c<d için

(a-b)(c-d)(a-d)(b-c)


A)16 B)24 C)32 D)40 E)48

14. ArdıĢık üç pozitif tamsayının

çarpımı, toplamlarının 21 katıdır.

Bu sayıların toplamı kaçtır?

A)23 B)24 C)25 D)26 E)27

15. n doğal sayısının ardıĢığı

( n’den sonra gelen doğal sayı)

n* ile gösterildiğine göre ;

(3.4*)* sayısının ardıĢığı kaçtır?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

16. A=1211 ve B=1112 sayıları için

aĢağıdakilerden hangisi çift sayıdır?

A) A-B B) A+B C) (A+1)B

D) (A-1)B E)A.B

YANITLAR

1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E

7.B 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C

13.E 14.B 15.E 16.E

33

KONU TESTĠ

1. ArdıĢık ilk 100 pozitif tam sayının

karelerinin toplamı A dır.

ArdıĢık ilk 100 pozitif çift tam

sayının karelerinin toplamı


A) 2.A B) 4.A C) 2.A2

D) 4.A2 E) 200.A

2. 1 den 55 e kadar olan tamsayılar

soldan sağa doğru yazılarak

N=1234…9101112…5455

Ģeklinde 101 basamaklı bir N sayısı

oluĢturuluyor.

Buna göre, N nin soldan 55. rakamı

kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9

3. 1+3+7+9+13+15+19+ …. +61+63+67

Toplamının değeri kaçtır?

A)663 B)695 C)717

D)771 E)779

4. ArdıĢık altı doğal sayıdan son

dördünün toplamı 62 olduğuna göre,

ilk dördünün toplamı kaçtır?

A)54 B)55 C)56 D)57 E)58

5. ArdıĢık dört çift sayının toplamı

aĢağıdakilerden hangisi olamaz?

A)84 B)100 C)116

D)132 E)144

6. ArdıĢık beĢ tek sayının toplamı 165

olduğuna göre,


A)33 B)35 C)37 D)39 E)41

7. ArdıĢık üç tek sayının toplamı, üç

basamaklı bir doğal sayıdır.

Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?

A)33 B)35 C)37 D)39 E)41

8. 1+3+5+ … +99=T ise

2+4+6+ … +100 toplamının

T türünden eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)T B)2.T C)T+25

D)T+50 E)T+100

9. ArdıĢık dokuz tek sayının toplamı

873 olduğuna göre,

bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A)87 B)91 C)97 D)107 E)109

34

10. a, b ve c ardıĢık üç çift sayı olup,

a<b<c dir. Buna göre;

(a-b)+(a-c)+(b-c)

toplamı kaçtır?

A)-10 B)-8 C)-6 D)-4 E)-2

11. 1+2+3+4+ … +99+100

Ġfadesinde, tek sayıların her biri

1 artırılır, çift sayıların her biri

2 azaltılırsa toplamdaki değiĢme için


A)100 azalır. B)50 azalır.

C)değiĢmez. D)50 artar.

E)100 artar.

12. ArdıĢık yedi tamsayının, en

küçüğü ile en büyüğünün toplamı 24

olduğuna göre,

bu yedi sayının toplamı kaçtır?

A)60 B)66 C)72 D)78 E)84

13. ArdıĢık beĢ çift sayının toplamı

100 ise,

bu sayıların en büyüğü ile en

küçüğünün toplamı kaçtır?

A)36 B)38 C)40 D)42 E)44

14. 1+2+3+ … +n = 190 ise,

n kaçtır?

A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

15. 11+13+15+ … +41


A)416 B)425 C)432

D)441 E)453

16. 18+22+26+ … +82


A)800 B)820 C)830

D)840 E)850

1.B 2.B 3.D 4.A 5.E 6.C

7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.E

13.C 14.B 15.A 16.E

35

RAKAMLAR

Doğal sayılar kümesinin alt kümelerinden

biri olan;

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

kümesine Rakamlar kümesi, bu kümenin

elemanlarına da Rakam denir.

Rakamlar, ‘’Onluk sistemde’’ sayıları

yazmak için kullanılan sembollerdir.

UYARI

Rakamlar, birer doğal sayıdır.

Sayılar, rakamların bir arada yazılması

ile oluĢturulur.

304 ; -12 ; 4,5 ; 29 ; 22

7 birer sayıdır.

DNA-1 a ve b birer rakam olmak üzere;

3a+2b=22 ise,

a+b toplamının alabileceği kaç farklı

değer vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

Bu tip sorularda; değiĢkenlerden birine

uygun değerler verilerek diğeri bulunur.

2b ve 22 çift olduğundan, a’ya en küçük

çift sayı değeri vermekle baĢlayalım.

a=0 için; 3.0+2b=22 ve b=11 olur.

b=11 bir rakam değildir, alınmaz.

a=2 için; 3.2+2b=22 ve b=8

a=4 için; 3.4+2b=22 ve b=5

a=6 için; 3.6+2b=22 ve b=2

a=8 için; 3.8+2b=22 ve b=-1

b=-1 bir rakam değildir, alınmaz.

a+b toplamı;

2+8=10, 4+5=9 ve 6+2=8 olmak üzere

3 farklı değer alır.


UYARI

Soruda;

a’nın aldığı değerler, b’nin katsayısı olan

2 Ģer, 2 Ģer artarken,

b’nin aldığı değerler, a’nın katsayısı olan

3 er, 3 er azalmaktadır.

GENETĠK KOPYA-1 a ve b birer rakam olmak üzere;

a+b=12 ise,

a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

DNA-2 x, y ve z farklı rakamlar olmak üzere;

4x-3y+z ifadesinin alabileceği

en büyük ve en küçük değerlerin toplamı

kaçtır?

A)18 B)26 C)44 D)52 E)80

ÇÖZÜM

x ve z büyük (x’in katsayısı büyük

olduğundan, x en büyük)

y küçük alındığında ifade büyük değer

alacağından;

x=9 , y=0 , z=8 alınırsa

4.9-3.0+8=44 en büyük değerdir.

x ve z küçük (x’in katsayısı büyük

olduğundan, x en küçük)

y büyük alındığında ifade küçük değer

almaktadır.

x=0 , y=9 , z=1 alınırsa

4.0-3.9+1=-26 en küçük değeridir.

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı

44+(-26)=44-26=18 dir.


BASAMAK ANALĠZĠ

36

GENETĠK KOPYA-2 a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere;

a+2b-3c ifadesinin alabileceği en büyük

değer kaçtır?

A)24 B)25 C)26 D)27 E)28

DNA-3 a ve b birer rakam olmak üzere;

2a-3b=0 ise,

Yazılabilecek en büyük ab iki basamaklı

sayısı kaçtır?

A)32 B)64 C)96 D)97 E)98

ÇÖZÜM

Öncelikle; 2a-3b=0 eĢitliğinde,

a’ya verilecek değerler 3 ün katları,

b’nin değerleri de 2 nin katları olacaktır.

ab sayısını en büyük olması için;

a büyük, b büyük olmalıdır.

a’nın alabileceği en büyük değer 9,

a’nın bu değeri için de b=6 olur.

ab=96 yazılabilecek en büyük sayıdır.


GENETĠK KOPYA-3 a ve b birer rakam olmak üzere;

3a=4b eĢitliğini gerçekleyen kaçtane iki

basamaklı ab sayısı yazılabilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Sayıları oluĢturmaya baĢlamıĢ iken, kaçar

tane sayı yazılabileceğine de bir göz

atalım.

Bir basamaklı; 10 tane doğal sayı,

9 tane sayma sayısı,

Ġki basamaklı; 90 tane doğal sayı,

Üç basamaklı; 900 tane doğal sayı,

Dört basamaklı; 9 000 tane doğal sayı…

yazılabilir.

Genel olarak;

Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9

rakamdan birini,

yanındaki basamağa; 10 rakamdan birini,

yanındaki basamağa; yine 10 rakamdan

birini yazabiliriz.

Matematiğin en önemli kurallarından biri

olan, çarpmanın temel ilkesi gereği,

yazılabilecek sayıların adedi;

9.10.10… dur.

DNA-4 Üç basamaklı, rakamları farklı kaç tane

abc doğal sayısı yazılabilir?

A)9OO B)800 C)720 D)648 E)600

ÇÖZÜM

Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9

rakamdan birini yazabiliriz.

Ortadaki basamağa; a yerine yazılan

rakam dıĢında geriye kalan 9 rakamdan

birini yazabiliriz.

Son basamağa; a ve b yerine yazılan iki

rakam dıĢında kalan 8 rakamdan biri

yazılabilir.

Sonuç olarak:

9.9.8=648 tane üç basamaklı, rakamları

farklı doğal sayı vardır.


GENETĠK KOPYA-4 Ġki basamaklı kaç tane çift doğal sayı

yazılabilir?

A)50 B)45 C)40 D)36 E)35

37

DNA-5 543 sayfalık bir kitabın sayfalarını

numaralandırmak için kaç tane rakam

kullanılır?

A)15512 B)1521 C)1543

D)1598 E)1629

ÇÖZÜM

Bir basamaklı 9 tane sayma sayısı,

Ġki basamaklı 90 tane sayma sayısı

olduğundan;

9+90=99 sayfa bir ve iki basamaklı

sayılar ile numaralandırılır.

543-99=444 sayfa üç basamaklı sayılar

ile numaralandırılmıĢtır.

Bir basamaklı sayılarda: 9.1=9

Ġki basamaklı sayılarda: 90.2=180

Üç basamaklı sayılarda: 444.3=1332

tane rakam kullanılır.

Toplam: 9+180+1332=1521 rakam

kullanılır.


GENETĠK KOPYA-5 100 sayfalık bir kitabın sayfalarını

numaralandırırken 4 rakamı kaç kez

kullanılır?

A)10 B)18 C)19 D)20 E)21

HAZĠNE-1

ai ler birer rakam, n sayma sayısı

göstermek üzere; her A doğal sayısı

A = a 10 +a 10 + … +a 10+a

biçiminde gösterilebilir.

Bu gösterime A doğal sayısının

çözümlenmiĢ Ģekli denir.

A = anan-1…a1a0 doğal sayısı

n+1 basamaklı bir doğal sayıdır.

IġIK-1

a, b, c, d birer rakam, a≠ 0 olmak üzere;

Ġki basamaklı doğal sayılar;

ab = 10.a+b

a onlar , b birler basamağıdır.

Üç basamaklı doğal sayılar;

abc = 100.a+10.b+c

a yüzler , b onlar , c birler basamağıdır.

Dört basamaklı doğal sayılar;

abcd = 1000.a+100.b+10.c+d

a binler, b yüzler, c onlar, d birler

basamağı olarak adlandırılır ve

çözümlenir.

ab0 üç basamaklı sayısı; ab.10

abc üç basamaklı sayısı;

abc = ab0 + c =ab.10 + c veya

abc = a00 + bc = a.100 +bc

biçimlerinde de gruplandırılabilir.

Örneğin;

abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd gibi.

SAYI DEĞERĠ

Bir doğal sayının yazılıĢında; rakamın

bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek

baĢına gösterdiği değere, bu rakamın

sayı değeri denir.

BASAMAK DEĞERĠ

Rakamların bulundukları basamaklara

göre aldığı değere, bu rakamın basamak

değeri denir.

678 = 6.102+7.10+8

= 600+70+8 sayısında;

6, 7 ve 8 rakamların sayı değerleri,

600, 70 ve 8 rakamların basamak

değerleridir.

n

n

1n

1n

1 0

38

IġIK-2

Bir sayıyı oluĢturan rakamların basamak

değerleri toplamı, sayının kendisini verir.

2 345 = 2.103+3.102+4.10+5

= 2000+300+40+5

2, 3, 4 ve 5 rakamların sayı değerleri,

2000, 300, 40 ve 5 rakamların basamak

değerleridir.

2 345 = 2.103+3.102+4.10+5

=234.10+5 = 2340+5

=23.102+45 = 2300+45

=2.103+345 = 2000+345

biçimlerinde de gruplara ayrılabilir.

DNA-6 Kendisini oluĢturan rakamların, sayı

değerlerinin çarpımı 40 olan dört

basamaklı en küçük doğal sayının birler

basamağı kaçtır?

A)O B)1 C)2 D)5 E)8

ÇÖZÜM

abcd dört basamaklı doğal sayısında;

a.b.c.d=40 verilmiĢtir.

Sayının küçük olması istendiğinden;

soldaki basamaktaki rakamların sayı

değerlerinin küçük olması gerekir.

40=2.2.2.5=1.2.4.5=1.1.5.8

yazılımlarından;

a=b=1 , c = 5 , d = 8 alınırsa ;

abcd = 1158 olacaktır.

Birler basamağındaki rakam 8 dir.


GENETĠK KOPYA-6

Kendisini oluĢturan rakamların, sayı

değerlerinin toplamı 20 olan dört

basamaklı en büyük doğal sayının onlar

basamağında hangi rakam kullanılır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

DNA-7 3,4,5,6,7 rakamları birer kez kullanılarak

yazılan abcde beĢ basamaklı sayısında;

a+b=d+e dir.

Bu koĢullara uyan kaç tane abcde sayısı

yazılabilir?

A)4 B)12 C)18 D)24 E)28

ÇÖZÜM

KoĢula uygun rakam gruplarını bulalım.

4+7=5+6

3+7=4+6

3+6=4+5

Ģeklinde üç ana grup oluĢturulabilir.

Ġlk grup için;

c yerine kullanılmayan 3’ü yazar,

soluna 47 veya 74, sağına 56 veya 65

olmak üzere 4 farklı sayı,

soluna 56 veya 65, sağına 47 veya 74

olmak üzere 4 farklı sayı

yazılabileceğinden toplam 8 sayı vardır.

Diğer iki grup için de benzer iĢlemlerle

8 er sayı yazılabileceğinden,

8+8+8=24 sayı yazılabilir?

Doğru Seçenek D dir

39

GENETĠK KOPYA-7

1,2,3,4 rakamları birer kez kullanılarak

yazılan abcd dört basamaklı sayısında;

a+b=c+d dir.

Bu koĢulara uygun yazılabilecek en küçük

abcd sayısında b+c toplamı kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

DNA-8 abc üç basamaklı sayısında;

a’nın sayı değeri 1 artırılır,

b’nin sayı değeri 1 azaltılır ve

c’nin sayı değeri 2 artırıldığında;

abc sayısının değeri kaç artar?

A)112 B)108 C)102 D)92 E)88

ÇÖZÜM

abc=100.a+10.b+c dir.

(a+1).100+(b-1).10+c+2

=100.a+100+10.b-10+c+2

=100.a+10.b+c+100-10+2

=abc+92

Sayının değeri 92 artmıĢtır.


GENETĠK KOPYA-8 abc üç basamaklı sayısında;

a, b ve c’nin sayı değerleri 2 Ģer

artırıldığında,

abc sayısının değeri kaç artar?

A)2 B)22 C)188 D)200 E)222

DNA-9 abab dört basamaklı sayısı, ab iki

basamaklı sayısının kaç katıdır?

A)10 B)11 C)100 D)101 E)110

ÇÖZÜM

abab=1000.a+100.b+10.a+b

=1010.a+101.b

=101(10.a+b)

=101.ab

abab sayısı, ab sayısının 101 katıdır.


GENETĠK KOPYA-9 aaa üç basamaklı sayısı, a’nın kaç katıdır?

A)11 B)100 C)110 D)111 E)121

DNA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıları için;

ab+ba=132 olduğuna göre,

ab sayısının en büyük değeri için

a.b çarpımı kaçtır?

A)81 B)72 C)54 D)36 E)27

ÇÖZÜM

Sayıları çözümlediğimizde;

ab+ba=132

10.a+b+10.b+a=132

11.a+11.b=132

11(a+b)=132

a+b=12 bulunur.

a=9 ve b=3 için aranan koĢullar sağlanır

ab=93 yazılabilecek en büyük sayıdır.

a.b=9.3=27 olur.


40

GENETĠK KOPYA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıların

toplamı aĢağıdakilerden hangisi olamaz?

A)11 B)22 C)33 D)44 E)55

DNA-11 xy ve yx iki basamaklı doğal sayılar,

xy+yx = 66 ise

xy-yx farkı en çok kaçtır?

A)12 B)18 C)24 D)36 E)44

ÇÖZÜM

xy = 10.x+y

yx = 10.y+x olarak çözümlendiğinde;

xy+yx=(10.x+y)+(10.y+x)=11(x+y)=66

x+y=6 bulunur.

xy-yx=(10.x+y)-(10.y+x)=9(x-y)

farkının büyük olması istenmektedir.

x’in büyük, y’nin küçük olması gerekir.

Toplamları 6 olan iki rakamdan

x =5 ve y =1 için

aranan koĢullar sağlanır.

xy=51 ve yx=15 olmalıdır.

xy-yx=51-15=36 aranan

en büyük farktır.


GENETĠK KOPYA-11 ab ve ba iki basamaklı doğal sayılar

arasındaki fark aĢağıdakilerden hangisi

olamaz?

A)9 B)18 C)27 D)36 E)46

DNA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı,

x bir gerçel sayı olmak üzere:

a.x = 94 ve b.x = 141 ise

ab.x çarpımı kaçtır?

A)1024 B) 1081 C)1212

D)1425 E)1437

ÇÖZÜM

ab=10.a+b çözümlemesi kullanıldığında;

ab.x = (10.a+b)x = 10.a.x+b.x bulunur.

a.x = 94 ve b.x = 141 yazılırsa

ab.x = 10.94+141 = 940+141 = 1081 olur.


GENETĠK KOPYA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı,

x bir gerçel sayı olmak üzere:

a.x = 52 ve b.x = 91 ise

ab.x çarpımı kaçtır?

A)143 B)438 C)611

D)4732 E)5291

DNA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer

değiĢtirildiğinde, elde edilen iki

basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan

27 fazla olmaktadır.

b-a farkı kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM

Önce sözlü ifadeyi eĢitlik halinde

yazalım;

ba sayısı, ab sayısından 27 fazla ise

ba=ab+27 yazılabilir.

Çözümleme yapıldığında;

10.b+a=10.a+b+27

9.b-9.a=27

9(b-a)=27

b-a=3 bulunur.


41

GENETĠK KOPYA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer

değiĢtirildiğinde, elde edilen iki

basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan

36 noksan olmaktadır.

a-b farkı kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için;

aa.bb = 2178 olduğuna göre

a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?

A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

ÇÖZÜM

aa=10.a+a=11.a

bb=10.b+b=11.b

çözümlemeleri kullanılırsa

aa.bb=11.a.11.b=121.a.b=2178

a.b=18 bulunur.

Çarpımları 18 olan iki sayının

çarpımlarının büyük olması için, sayıların

bir birinden uzak olması gerektiğinden;

a=2 ve b=9 alınmalıdır.

a+b=11 en büyük değerdir.


GENETĠK KOPYA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için;

aa+bb=176 olduğuna göre,

a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

A)16 B)24 C)52 D)63 E)64

DNA-15 Rakamları toplamı 10 olan iki basamaklı

bir sayının üç katının iki eksiği, sayının

ters yazılıĢına eĢit olduğuna göre,

bu sayının birler basamağındaki rakam

kaçtır?

A)1 B)2 C)4 D)5 E)8

ÇÖZÜM

ab iki basamaklı sayısı için;

verilenleri eĢitlik durumunda yazarsak;

a+b=10

3.ab-2=ba olur.

Çözümleme yaptığımızda;

3(10.a+b)-2=10.b+a

30.a+3.b-2=10.b+a

30.a+3.b-10.b-a=2

29.a-7.b=2 bulunur.

Bulunan eĢitlikler

a=2 ve b=8 değerleri için sağlanır.

ab=28 sayısının birler basamağı 8 dir.


GENETĠK KOPYA-15 Basamaklarının sayı değerlerinin toplamı

8 olan iki basamaklı bir sayının rakamları

yer değiĢtirdiğinde, sayı 36

azalmaktadır.

Bu iki basamaklı sayı kaçtır?

A)26 B)35 C)53 D)62 E)71

42

DNA-16 a4b2 sayısı, a2b4 sayısından

kaç fazladır?

A)168 B)178 C)188 D)198 E)208

ÇÖZÜM

Sayılar çözümlendiğinde;

a4b2=1000.a+100.4+10.b+2

a2b4=1000.a+100.2+10.b+4

a4b2-a2b4 = 1000.a+100.4+10.b+2

-(1000.a+100.2+10.b+4)

=400+2-(200+4)

=198 olur.


YADA !!!

a4b2 sayısının yüzler basamağı,

a2b4 sayısının yüzler basamağından

2 fazla olduğundan;

ikinci sayıdan 200 fazla,

benzer Ģekilde birler basamağı 2 az

olduğundan, sayıdan 2 azdır.

200-2=198 fazladır.

GENETĠK KOPYA-16

xyz üç basamaklı sayısının her

basamağının sayı değeri, kendisi kadar

artırıldığında sayı 143 artıyor. x+y+z toplamı kaçtır?

A)6 B)7 C)8 D)9 E)12

DNA-17 2abc dört basamaklı doğal sayısının

4 katı, dört basamaklı cba2 doğal sayısı

ise; a+b+c toplamı kaçtır?

A)15 B)16 C)17 D)18 E)19

ÇÖZÜM

4.2abc=cba2

4(2000+100.a+10.b+c)=1000.c+100.b+10.a

+2

eĢitliği düzenlediğimizde;

498.c+30.b-195.a=3999 bulunur.

EĢitliği gerçekleyen a, b, c değerleri

arandığında

a=8, b=7 ve c=1 için doğrulandığı

görülür.

a+b+c=8+7+1=16 dır.


GENETĠK KOPYA-17

abc üç basamaklı sayısı ac iki basamaklı

sayısının yedi katıdır.


A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

Bu bölümde üslü sayılarla iĢlemler

yapacağımızdan, üslü sayılarla ilgili

kuralları bir hatırlayalım.

an.am=am+n

an.bn=(a.b)n

(an)m=an.m

43

UYARI

10n-1 sayısı, sondan n-1 basamağı 0 olan,

n basamaklı en küçük doğal sayıdır.

10n-1 sayısı, n tane 9 rakamı ile yazılan,

n basamaklı en büyük doğal sayıdır.

IġIK-3

A sayısı m basamaklı pozitif bir tamsayı

ve n bir doğal sayı olmak üzere ;

N = A.10n Ģeklinde yazılabilen bir doğal

sayı;

sonunda n tane 0 bulunan

m+n basamaklı bir sayıdır.

123.104=1230000 sayısı, sonunda 4 tane

sıfır bulunan, 7 basamaklı bir sayıdır.

DNA-18 A=21999.52001 sayısı kaç basamaklıdır?

A)1999 B)2000 C)2001

D)2002 E)2003

ÇÖZÜM

21999.51999.52 = 25.(2.5)1999 =25.101999

Sondan 1999 basamağı sıfır olan

2001 basamaklı bir sayıdır.


GENETĠK KOPYA-18

A = 412.2511 sayısı kaç basamaklıdır?

A)11 B)12 C)21 D)22 E)23

IġIK-4 m ve n basamaklı iki doğal sayının

çarpımı;

m+n-1 veya m+n basamaklı bir doğal

sayıdır.

UYARI

Soldaki ilk basamaklarında bulunan

rakamların, sayı değerlerinin çarpımı iki

basamaklı ise çarpım m+n basamaklıdır.

DNA-19 A sayısı 666 tane 3 ten, B sayısı 666 tane 6 dan oluĢmuĢtur.

A.B çarpımı kaç basamaklıdır?

A)18 B)1331 C)1332

D)1334 E)1335

ÇÖZÜM

Soldaki ilk basamakları 6 ve 6 dır.

6.6=32 sayısı iki basamaklıdır.

Bu yüzden A.B çarpımı m+n basamaklı

olacağından 666+666=1332 basamaklıdır.


GENETĠK KOPYA-19 5 123 476 . 4 134 567 . 44 311 207

çarpımından elde edilen sayı

kaç basamaklıdır?

A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

44

KONU TESTĠ

1. 1025-25 sayısının

rakamları toplamı kaçtır?

A)218 B)219 C)220 D)221 E)222

2. Ġki basamaklı ab sayısının rakamları

yer değiĢtirdiğinde sayının değeri

36 azalmaktadır.

Bu koĢulu sağlayan iki basamaklı

ab sayılarının en büyüğü için

a+b toplamı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

3. 1 den 123 e kadar ( 1 ve 123 dahil)

doğal sayıların yan yana yazılmasıyla

elde edilen sayı kaç basamaklıdır?

A) 123 B) 171 C) 249

D) 258 E) 261

4. 2, 4, 6 ve 8 rakamlarını birer kez

kullanarak yazılabilen iki basamaklı

ab ve cd doğal sayılarının toplamının


A) 128 B) 130 C) 134

D) 146 E) 152

5. abc üç basamaklı sayısının rakamları

kullanılarak yazılabilecek altı tane iki

basamaklı sayının toplamı T ise;

cba

T

oranı kaçtır?

A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 55

6. 1999 yılının rakamları toplamı

28 dir. Takip eden X yılındaki

rakamlar toplamı 28 olacaktır.

Buna göre X-1999 farkı kaçtır?

A) 9 B) 90 C) 900 D) 909 E) 999

7. A=212.58 sayısı

kaç basamaklıdır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

8. Üç basamaklı 6ab sayısı,

üç basamaklı ab8 sayısından

349 fazladır.

Buna göre a+b toplamı kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 14

9. abc ve def üç basamaklı doğal

sayılardır.

abc-def = 222 eĢitliğinde,

a rakamı 1 azaltılır,

e rakamı 2 artırıldığında sonuç kaç

olur?

A) 122 B) 112 C) 102

D) 92 E) 82

10. a, b, c, d, e farklı birer rakamdır.

abc üç basamaklı, de iki basamaklı

doğal sayıları için:

abc-de farkının en küçük değeri

kaçtır?

A) 1 B) 4 C) 6 D) 12 E) 25

45

11. 10100-101 sayısının rakamları

toplamı kaçtır?

A) 89 B) 90 C) 99

D) 899 E) 900

12. 34a üç basamaklı bir sayıdır. Bu

sayının rakamları yer değiĢtirilerek

yazılabilecek altı üç basamaklı sayının

toplamı 3108 ise a kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13. Birbirlerinden farklı, üç

basamaklı iki doğal sayının toplamı T

dir.

Buna göre, T kaç farklı değer

alabilir?

A)1795 B)1796 C)1797

D)1780 E)1782

14. aa ve bb iki basamaklı doğal

sayılardır.

(aa)2+(bb)2=1573

olduğuna göre,


A)4 B)5 C)6 D)7 E)13

15. Üç basamaklı bir doğal sayının, iki

basamaklı bir doğal sayı ile çarpımı

en çok m, en az n basamaklı ise,

m+n toplamı kaçtır?

A)4 B)6 C)9 D)12 E)20

16. ab ve cd iki basamaklı sayıları

için;

a+b=6 ve c.d=6 dır.

ab-cd farkının en büyük değeri

kaçtır?

A)32 B)36 C)44 D)48 E)55

YANITLAR

1.B 2.E 3.E 4.D 5.B 6.C

7.C 8.C 9.C 10.B 11.D 12.C

13.C 14.B 15.C 16.C

46

KONU TESTĠ

1. abc üç basamaklı sayısında;

a ve c yer değiĢtirdiğinde sayının değeri

495 azalmaktadır.

Buna göre a-c farkı kaçtır?

A)-5 B)-4 C)4 D)5 E)6

2. Ġki basamaklı kaç tane doğal sayı

yazılabilir?

A)89 B)90 C)91 D)99 E)100

3. Ġki basamaklı doğal sayıların tümü

yazılırken 5 rakamı kaç kez

kullanılır?

A)9 B)10 C)11 D)19 E)20

4. Dört basamaklı,rakamları farklı en

küçük doğal sayının rakamları toplamı

kaçtır?

A)1 B)6 C)7 D)8 E)9

5. Karesi dört basamaklı bir doğal sayı

olan en küçük iki basamaklı doğal

sayının rakamları çarpımı kaçtır?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

6. Soldan sağa ve sağdan sola okunuĢları

aynı olan sayılara yansıyan sayılar

denir.

Örneğin; 747, 6556, 62326, ….

sayıları yansıyandır.

BeĢ basamaklı kaç tane yansıyan çift

doğal sayı vardır?

A)400 B)800 C)1000

D)2000 E)4000

7. 18 = 8

38 = 24

24 = 8

46 = 24

42 = 8

Yukarıda verilen eĢitlikler bir kurala

göre verilmiĢtir.

Aynı kurala göre 26 sayısının eĢiti nedir?

A)8 B)12 C)16 D)18 E)24

8. ab , ba ve c4 iki basamaklı doğal

sayılar olmak üzere ;

ab – ba = c4 ise c kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 3

9. 11.22.33.44.55.66.77.88.99.1010 = N sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

47

10. 1234567891011121314...

ġeklinde pozitif tamsayıların ardarda

yazılması ile elde edilen 100 basamaklı

sayının birler basamağında hangi rakam

bulunur?

A)1 B)3 C)4 D)5 E)6

11. Ġki basamaklı bir doğal sayı;

rakamları toplamı ile rakamları

çarpımının toplamına eĢittir.

Bu koĢula uygun iki basamaklı en büyük

doğal sayı kaçtır?

A)19 B)39 C)89 D)98 E)99

12. ab iki basamaklı sayısı için; ab.a =265 ve ab.b = 159 ise


A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

13. ab iki basamaklı, bxa üç

basamaklı doğal sayıları için; 7.ab = bxa ise a.b çarpımı kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

14. 444 444 sayısının eĢiti


A) 106−1

9 B)

105−1

9 C)

106−1

9. 4

D) 105−1

9. 4 E) 4(106 − 1)

15. 437 sayfalık bir kitabın sayfa

numaraları yazılırken kaç tane rakam

kullanılır?

A)1203 B)1206 C)1208

D)1209 E)1210

16. ArdıĢık ilk 2008 pozitif tek

sayının çarpımı N dir.

N in birler basamağındaki rakam


A) 0 B) 1 C) 4 D) 5 E) 9

YANITLAR

1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B

8.D 9.B 10.D 11.E 12.D 13.E

14.C 15.A 16.D

48

Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde

sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin

elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır.

En büyük elemanı 9 olan,

10 elemanlı bir kümedir.

Onluk sistemde; sayının çözümlenmiş

şeklinde, 10’un kuvvetleri kullanılır.

Sayının değeri; kendisini oluşturan

rakamların basamak değerlerinin

toplamıdır.

435 = 4.102+3.101+5.100

= 400 + 30 + 5

Dört yüz+ Otuz+ BeĢ

SAYI TABANI

n sayı tabanında sayılar;

{0, 1, 2, … , n-1} kümesinin elemanları

kullanılarak yazılır. ( n > 1 )

En büyük elemanı (n-1) olan,

n elemanlı bir kümedir.

HAZĠNE-1

n sayı tabanında verilmiĢ bir sayının,

10 luk sistemdeki değeri;

a,b,c,d < n olmak üzere;

(abcd)n = a.n3+b.n2+c.n1+d.n0 dır.

DNA-1

5, sayı tabanını göstermek üzere;

(324)5 sayısının 10 sayı tabanındaki

yazılıĢı hangisidir?

A)75 B)85 C)89 D)92 E)96

ÇÖZÜM

(324)5 = 3.52+2.51+4.50

= 3.25+2.5+4.1

= 75+10+4

= 89 bulunur.


GENETĠK KOPYA-1




A)22 B)33 C)44 D)55 E)66

DNA-2




A)204 B)234 C)308 D)310 E)326

ÇÖZÜM

(1234)6 = 1.63+2.62+3.61+4.60

= 216+2.36+3.6+4.1

=216+72+18+4

=310 bulunur.


GENETĠK KOPYA-2


(432)9 sayısının 10 luk sistemdeki

karĢılığı kaçtır?

A)324 B)326 C)351 D)353 E)357

DNA-3


2(abc)5 = (cba)5 ise


A)5 B)6 C)8 D)9 E)10

TABAN ARĠTMETĠĞĠ

49

ÇÖZÜM

(abc)5 ve (cba)5 sayılarının 10 sayı

tabanındaki karĢılıkları;

(abc)5=a.52+b.5+c

(cba)5=c.52+b.5+a dır.

Bu değerler verilen eĢitlikte yerlerine

yazıldığında;

2(abc)5 = (cba)5

2(a.52+b.5+c) = c.52+b.5+a

50a+10b+2c = 25c+5b+a

49a+5b = 23c eĢitliği

a =1, b =4, c =3 için doğrulanır.

a+b+c = 1+4+3 = 8 bulunur.


GENETĠK KOPYA-3

a sıfırdan farklı bir rakamı,

4 ve n sayı tabanını göstermek üzere,

(aaa)4 = (aa)n olduğuna göre,

n kaçtır?

A)16 B)18 C)20 D)24 E)25

DNA-4

5 sayı tabanında üç basamaklı kaç tane

sayı yazılabilir?

A)25 B)50 C)75 D)100 E)125

ÇÖZÜM

5 sayı tabanında kullanılacak rakamlar

{0,1,2,3,4} kümesinden alınır.

(abc)5 sayısında;

a’yı 0 dıĢında 4 rakamdan biri,

b’yi 5 rakamdan biri,

c’yi 5 rakamdan biri olarak

seçebileceğimizden,

4.5.5=100 sayı yazılabilir.


GENETĠK KOPYA-4

3 sayı tabanında yazılabilecek üç

basamaklı sayının, 10 luk sistemdaki

karĢılığı kaçtır?

A)26 B)27 C)39 D)40 E)42

IġIK-1

(abcd)n sayısının on tabanındaki

karĢılığı:

n çift ise d’ye bağlıdır: d tek ise tek,

çift ise çifttir.

n tek ise a+b+c+d toplamına bağlıdır:

toplam tek ise tek, çift ise çifttir.

DNA-5


(23a)9 sayısının on tabanındaki karĢılığı

çift sayı ise,

a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)12 B)14 C)16 D25 E)26

ÇÖZÜM

9, tek sayı olduğundan;

2+3+a toplamının çift olması gerekir.

Toplamı çift yapan a değerleri:

1, 3, 5 ve 7 dir.

1+3+5+7=16 bulunur.


GENETĠK KOPYA-5

7 sayı tabanında verilen

(65a3)7 sayısının, 10 tabanındaki karĢılığı

tek sayı ise,


A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

50

DNA-6


(7654a)8 sayısının, 10 tabanındaki

karĢılığı tek sayı ise

a’nın alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

A)12 B)14 C)16 D)25 E)26

ÇÖZÜM

8, çift olduğundan;

a’nın tek sayı olması, sayının 10

tabanındaki karĢılığının tek sayı olmasını

gerektirir.

a’nın alabileceği tek değerler;

1,3,5 ve 7 dir.

1+3+5+7=16 bulunur.


GENETĠK KOPYA-6

6, sayı tabanıdır.

(1234a)6 sayısının, 10 tabanındaki

karĢılığı çift sayı ise,


kaçtır?

A)4 B)6 C)7 D)8 E)9

IġIK-2

n sayı tabanında verilen

(abcde)n sayısının, 10 tabanındaki

karĢılığının (n-1) sayısına bölünebilmesi

için; rakamlar toplamının (n-1) sayısına

bölünebilmesi gerekir.

DNA-7

[123456789(10)(11)(12)(13)(14)]15

sayısı 15 tabanında yazılmıĢtır.

10 tabanındaki karĢılığı:

1513+2.1512+3.1511+…+13.15+14

olduğuna göre bu sayının 7 ile

bölümünden kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)6

ÇÖZÜM

15 in 7 ile bölümünden kalan 1 olduğundan

terimlerin 7 ile bölümlerinden kalanlar:

1+2+3+ ... +13+14 = 14.15

2 =105

toplamının 7 ile bölümünden kalandır.

105=7.15+0 olup, kalan 0 dır.


GENETĠK KOPYA-7


(234a)6 sayısının 10 tabanındaki

karĢılığının 5 ile bölünebilmesi için

a kaç olmalıdır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)5

IġIK-3

10 sayı tabanında verilen sayıyı,

n sayı tabanında yazmak için verilen

sayının içinde n’in kuvvetleri aranır.

29 un 2 tabanında yazılıĢını bulmak için;

29 ard arda 2 ye bölünür.

29=2.14+1

14=2.7+0

7=2.3+1

3=2.1+1

1=2.0+1

En son kalandan baĢlayarak diğerleri sıra

ile yazıldığında, 29 sayısının 2 tabanında

yazılıĢı bulunmuĢ olur.

29=(11101)2 dir.

İlk bölme işleminden bulunan kalan,

sağdaki ilk basamağı verir.

51

DNA-8

22 sayısı 3, 4 ve 5 sayı tabanlarında

yazıldığında

kaç kez 2 rakamı kullanılır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM 22 sayısını ard arda 3 ile bölüp, en son

kalandan baĢlayarak elde edilen kalanları

sıra ile yazalım.

22=3.7+1

7=3.2+1

2=3.0+2

22=(211)3 2 rakamı 1 kez kullanıldı.

Aynı iĢlemleri 4 için yapalım.

22=4.5+2

5=4.1+1

1=4.0+1


Aynı iĢlemleri 5 için yapalım.

22=5.4+2

4=5.0+4


2 rakamı toplam 3 kez kullanıldı.


GENETĠK KOPYA-8

25 sayısının, 2 sayı tabanında yazılmıĢ

Ģekli aĢağıdakilerden hangisidir?

A)(111)2 B)(1011)2 C)(1101)2

D)(11100)2 E)(11001)2

DNA-9

216-1 sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında

kaç basamaklı olur?

A)6 B)8 C)12 D)15 E)16

ÇÖZÜM

216-1 = 22 8 − 1

= 48-1

4 sayı tabanında, 48 sayısını yazarken;

48 in katsayısı 1, diğer kuvvetlerinin

katsayısı 0 olacağından

48 = (100 000 000)4 yazılır.

48-1 = (100 000 000)4 -1

= (33 333 333)4

8 basamaklıdır.


GENETĠK KOPYA-9

22008-1 sayısı 2 sayı tabanında

yazıldığında oluĢan sayının rakamları

toplamı kaçtır?

A) 1 B) 25 C) 208

D) 2007 E) 2008

IġIK-3

10 luk sistemdeki dört iĢlem kuralları,

n sayı tabanında verilen sayılar için de

aynen geçerlidir. 10 luk sistemdeki 10 lu

demetler yerine, n sayı tabanında n li

demetler kullanılır.

(201)5+(44)5 toplama iĢleminde;

1+4=5=1.5+0 olduğundan,

1+4=5 değil, 0 yazılıp, elde 1 var

denilecek ve iĢlem 0+4=4, elde 1 vardı,

4+1=5=1.5+0 dan, 0 yazılıp tekrar elde 1

var deyip, 2+1=3 diyerek sonlanacaktır.

(201)5+(44)5=(300)5 bulunur.

52

(201)5-(44)5 çıkarma iĢleminde;

Gerekirse diğer basamaklardan 5 lik

desteler alınır.

1 den 4’ü değil, 5+1=6 dan 4’ü çıkarıp

birler basamağına 2 yazılacaktır.

(201)5-(44)5 = (102)5 bulunur.

(865)9.(71)9 çarpma ve yapılacak

toplama iĢlemlerinde de; her 9 luk deste

için elde 1 var denilecektir.

7.5=35 değil, 35=3.9+8 olduğundan;

kalan 8’i yazıp, elde 9’un katsayısı olan 3

var diyerek iĢlem yapılacaktır.

(865)9.(71)9 = (68055)9 bulunur.

DNA-10

5 sayı tabanı olmak üzere;

(234)5+(23)5

ĠĢleminin 5 tabanına göre sonucu


A)(212)5 B)(222)5 C)(312)5

D)(322)5 E)(332)5

ÇÖZÜM

Sağdaki ilk basamaklardan toplamaya

baĢladığımızda;

4+3=7

7=1.5+2

Sonucun ilk basamağı 2 olup, elde 1 var

denilecektir.

3+2=5 ikinci basamaklar toplamı.

5+1=6 elde 1 vardı.

6=1.5+1

Sonucun ikinci basamağı 1 olup, elde 1 var

Sonucun son basamağı;

2+1=3 elde 1 vardı,

(234)5+(23)5=(312)5 bulunur.


GENETĠK KOPYA-10


(345)6+(15)6

ĠĢleminin sonucunun, 6 sayı tabanındaki

yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?

A)(403)6 B)(404)6 C)(405)6

D)(414)6 E)(423)3

DNA-11


(654)7-(25)7



A)(606)7 B)(616)7 C)(626)7

D)(636)7 E)(641)7

ÇÖZÜM

Sağdaki ilk basamaklardan çıkarma

iĢlemine baĢladığımızda;

4 den 5 çıkmaz, 654 ün 5 olan ikinci

basamağı 7 nin katsayısı olduğundan bir

yedilik deste aldığımızda;

7+4=11 ve 11-5=6 olacaktır.

654 ün 5 olan ikinci basamağından 1

alınmıĢtı, 5-1=4 kaldı.

4-2=2 sonucun ikinci basamağıdır.

Son basamakta iĢlem yapılmadığı için,

aynen kalır ve 6 dır.

(654)7-(25)7=(626)7 bulunur.


GENETĠK KOPYA-11

4, sayı tabanı olmak üzere;

(100)4 sayısının bir eksiği, aynı sayı

tabanında hangisidir?

A)(10)4 B)(11)4 C)(22)4

D)(30)4 E)(33)4

53

DNA-12

9, sayı tabanı olmak üzere;

(865)9.(71)9



A)58045 B)68045 C)68055

D)68145 E)68155

ÇÖZÜM

Yukarıdaki iĢlemi dillendirdiğimizde;

865 in 1 ile çarpımı 865 dir.

865 i, 7 ile çarparken;

7.5=35=3.9+8

8 yazılır, elde 3 var denir.

7.6=42, 42+3=45=5.9+0

0 yazılır, elde 5 var denir.

7.8=56, 56+5=61=6.9+7

61 in 9 tabanındaki karĢılığı 67 yazılır.

Ġkinci çarpım; 8067 dir.

Son olarak uygun toplama iĢlemi yapalım;

5 aĢağıya alınır,

6+8=14=1.9+5, 5 aĢağıya, elde 1 var,

8+0=8, 8+1=9=1.9+0

0 yazılır, elde 1 var,

7+1=8

8 yazılır.

6 aĢağıya alınır.

SONUÇ; 68055 bulunur.


GENETĠK KOPYA-12


(55)6 sayısının iki katı, aynı tabanda

kaça eĢittir?

A)111 B)124 C)134 D)144 E)154

DNA-13

a sayı tabanıdır.

(62)a.(14)a = (808)a ise a kaçtır?

A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

ÇÖZÜM

(62)a=6.a+2

(14)a=a+4 ve

(808)a=8.a2+8 olduğundan

(62)a.(14)a = (808)a

(6a+2)(a+4) = 8a2+8

6a2+26a+8 = 8a2+8

a2-13a = 0

a(a-13)=0

a=0 alınamayacağından

a-13=0 ve a =13 tür.


GENETĠK KOPYA-13

n sayı tabanı olmak üzere;

(13)n+(31)n = 24 ise n kaçtır?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)7

54

DNA-14

b ve c sayı tabanıdır.

(32)b = (21)c ve

(21)b = (13)c ise

b+c toplamı kaçtır?

A)8 B)12 C)13 D)14 E)15

ÇÖZÜM (32)b=3.b+2 ve (21)c=2.c+1

3.b+2=2.c+1

(21)b=2.b+1 ve (13)c=c+3

2.b+1=c+3

2.b+1=c+3 ⇒ c=2b-2

3.b+2=2.c+1 ⇒ 3.b+2=2(2b-2)+1

⇒ b=5 ve c=2.5-2 ⇒ c=8 bulunur.

b+c=5+8=13 olur.


GENETĠK KOPYA-14

11 ve 9 sayı tabanı olmak üzere ;

(ab)11 = (ba)9 ise

b – a farkı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

DNA-15

7 ve 9 sayı tabanıdır.

(abc)9 = (cba)7 ise


A)8 B)9 C)10 D)11 E)12

ÇÖZÜM (abc)9=a.92+b.9+c=81.a+9.b+c

(cba)7=c.72+b.7+a=49.c+7.b+a

Sayıların 10 luk sistemdeki karĢılıklarıdır

(abc)9 = (cba)7

81.a+9.b+c=49.c+7.b+a

80.a+2.b-48.c=0

40.a+b-24.c=0 eĢitliği

a=1, b=8 ve c=2 için sağlanır.

a+b+c=1+8+2=11 bulunur.


GENETĠK KOPYA-15

b sayı tabanında

(121)b= 81 ise

b kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5

DNA-16

2 ve 8 sayı tabanını göstermektedir.

(111 110 101 011 010)2 = (X)8 ise

X hangisidir?

A)76543 B)76532 C)76521

D)976510 E)76432

ÇÖZÜM

8=23 olduğundan her üç basamağın 10

sayı tabanındaki karĢılıkları sıralanırsa,

sayının 8 sayı tabanındaki karĢılığı

yazılmıĢ olur.

(111)2 = 22+2+1 = 7

(110)2 = 22+2 = 6

(101)2 = 22+1 = 5

(011)2 = 2+1 = 3

(010)2 = 2

(X)8 = (76532)8


55

GENETĠK KOPYA-16

2 sayı tabanında yazılan on basamaklı en

büyük sayının, 8 sayı tabanında yazılıĢı


A) 777 B) 1177 C) 1717

D) 1777 E) 7777

DNA-17


(199)16 = ( X )4 eĢitliğini sağlayan

X aĢağıdakilerden hangisidir?

A) 1212 B) 2121 C) 12121

D) 21212 E) 12221

ÇÖZÜM

(199)16 sayısının her basamağı ayrı ayrı

4 sayı tabanında yazılır.

Bulunan ifadelerin yan yana yazılmasıyla,

sayı 4 tabanına çevrilmiĢ olur.

9=2.4+1=(21)4

9=2.4+1=(21)4

1=0.4+1=(01)4=(1)4

(199)16 =(1 21 21)4 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

GENETĠK KOPYA-17


(57)9=(X)3 eĢitliğinin sağlayan X,


A)121 B)212 C)221

D)1221 E)1222

DNA-18

0,5 ondalık sayısının 2 sayı tabanındaki

gösterimi aĢağıdakilerden hangisidir?

A)0,1 B)0,01 C)0,1 D)0,101 E)0,10

ÇÖZÜM

n sayı tabanında verilmiĢ 𝑎𝑏𝑐,𝑑𝑒 … 𝑛 sayısının,

10 sayı tabanındaki karĢılığı 𝑎.𝑛2 + 𝑏.𝑛1 + 𝑐.𝑛0 + 𝑑.𝑛−1 + 𝑒.𝑛−2 +⋯ olduğundan;

0,5 =5

10=

1

2= 2−1 = 0,1 2 dir.


GENETĠK KOPYA-18


(0,24)5 sayısının, ondalık sayı karĢılığı

nedir?

A)0,5 B)0,6 C)0,56

D)0,65 E)0,7

56

KONU TESTĠ

1. x sayı tabanıdır.

(41)x =3.(14)x ise x kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

2. 3 ve 10 sayı tabanıdır.

(12012)3=(x)10 ise x kaçtır?

A) 110 B) 120 C) 130

D) 140 E) 150

3. 3 sayı tabanında, üç basamaktan

daha az basamakla yazılabilen kaç tane

doğal sayı vardır?

A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

4. 22008-1 sayısı 2 sayı tabanında

yazıldığında kaç tane 0 rakamı

kullanılır?

A)0 B)1 C)2 D)2007 E)2008

5. 6 ve 10 sayı tabanıdır

(33)6+(22)6=(X)10 ise X nedir?

A)15 B)25 C)35 D)45 E)55

6. 84-1 sayısı 4 sayı tabanında

yazıldığında kullanılan tüm rakamların

toplamı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 9 D) 18 E) 27

7. 8 sayı tabanıdır.

[(33)8]2 sayısının aynı tabandaki eĢiti

hangisidir?

A)121 B)131 C)232

D)1331 E)2332

8. b sayı tabanıdır.

(23)b.(14)b = (333)b ise b kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

9. b sayı tabanıdır.

(321)b = 86 ise (123)b sayısının

onluk sistemde değeri kaçtır?

A) 27 B) 38 C) 51 D) 66 E) 83

10. b sayı tabanında , c2 sayısı

10 olarak yazılıyorsa ;

b2 sayısının c sayı tabanında

yazılıĢı aĢağıdakilerden hangisidir?

A) 100 B) 1000 C) 10000

D) 100000 E) 1000000

11. a ve a pozitif tamsayı iken;

(a+1)2 nin a sayı tabanında yazılıĢı


A)11 B)22 C)121 D)222 E)1111

3

57

12. 2,3,5,9 ve 12 sayı tabanıdır.

AĢağıdaki sayılardan en büyüğü

hangisidir?

A) (0,10)2 B) (0,12)3 C) (0,21)5

D) (0,42)9 E) (0,53)12

13. 9 sayı tabanıdır.

(33)9.(44)9 çarpımının eĢiti


A)(5500)9 B)(1573)9

C)(1452)9 D)(1200)9

E)(700)9

14. a sayı tabanıdır.

A=(1254)a ve 2.A=(2541)a ise,

a kaçtır?

A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

15. 6 ve 10 sayı tabanıdır.

(33)6.(22)6=(X)10 ise,

X aĢağıdakilerden hangisidir?

A)250 B)294 C)350

D)454 E)556

16. n ve 2n sayı tabanıdır.

(8888)n=(A)2n ise,

A aĢağıdakilerden hangisidir?

A)1248 B)1334 C)1428

D)1532 E)1543

1.E 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D

7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B

13.B 14.B 15.B 16.A

58

TANIM

Pozitif ilk n tam sayının çarpımı

1.2.3…n = n! biçiminde gösterilir.

n Faktöriyel okunur.

1!=1

2!=1.2=2

3!=1.2.3=6

4!=1.2.3.4=24

5!=1.2.3.4.5=120 gibi.

Özel olarak;

0! = 1 olarak tanımlanmıĢtır.

IġIK-1

n! = n.(n-1)!

n! =n.(n-1)(n-2)!

6!=6.5!

6!=6.5.4! gibi.

HAZĠNE-1

Faktöriyel iĢleminin, toplama, çıkarma,

çarpma ve bölme iĢlemleri üzerine

dağılma özelliği yoktur.

2! + 3! ≠ 5!

2! + 3! = 1.2 + 1.2.3 = 2 + 6 = 8 dir.

DNA-1 𝟏𝟐!

𝟖!.𝟒! iĢleminin sonucu kaçtır?

A)45 B)55 C)99 D)120 E)495

ÇÖZÜM 12!

8!.4!=

12.11.10.9.8!

8!.4.3.2.1=

12.11.10.9

4.3.2.1 =11.5.9 = 495


GENETĠK KOPYA-1

7.8.9…..36

Ġfadesinin eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)6! B)35! C)34!

D) 36!

6! E) 36! – 6!

DNA-2


A)10 B)100 C)1000

D)10000 E)100000

ÇÖZÜM 101!−100!

99!=

101.100!−100!

99!=

100!(101−1)

99!

=100!.100

99!=

100.99!.100

99!= 100.100 = 10000


GENETĠK KOPYA-2 𝟏𝟑!−𝟏𝟐!

𝟏𝟎!+𝟏𝟏!


hangisidir?

A)11 B)12 C)23 D)132 E) 23

22

DNA-3 𝟑𝒏+𝟏 !

𝟑𝒏−𝟏 ! ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)n(n+1) B)3n(n+1) C)3n(3n-1)

D)3n(3n+1) E)3n

FAKTÖRĠYEL

59

ÇÖZÜM 3𝑛+1 !

3𝑛−1 !=

3𝑛+1 3𝑛 3𝑛−1 !

3𝑛−1 !

= 3𝑛(3𝑛 + 1) Doğru Seçenek D dir.

GENETĠK KOPYA-3 𝟐𝐧+𝟑 !

𝟐𝐧+𝟏 !

ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)(2n+3)(2n+2) B)(2n+3)(2n+1)

C)2n(2n+1) D)2n+2 E)2

DNA-4

77!+78! toplamı, 77! in kaç katıdır?

A)8 B)37 C)77 D)78 E)79

ÇÖZÜM

77!+78! = 77!+78.77! = 77!(1+78) = 79.77!

OluĢan son çarpımda, istenen toplamın

77! Ġn 79 katı olduğu görülür.


GENETĠK KOPYA-4

67!-66! farkı, 66! in kaç katıdır?

A)33 B)34 C)65 D)66 E)67

DNA-5

2.4.6…..100

Çarpımının eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)2.50! B)2.100! C)100.50!

D)250.50! E)2100.50!

ÇÖZÜM

2.4.6…..100=(2.1)(2.2)(2.3)…..(2.50)

=2.2.2…2.1.2.3…..50

olduğu hatırlandığında;

=250.50! bulunur.


GENETĠK KOPYA-5

3.6.9……300


hangisidir?

A)3.100! B)3.300! C)300.100!

D)350100! E)3100.100!

DNA-6

x,y doğal sayıları için;

20.x! = y! olduğuna göre;

y nin alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

A)20 B)23 C)25 D)26 E)27

ÇÖZÜM

IġIK-1 de;

n.(n-1)!=n! özelliği kullanılırsa;

20.19!=20! olacağından,

x=19 vee y=20 olur.

n(n-1)(n-2)!=n! özelliği kullanılırsa;

5.4.3!=5! Olacağından,

x=3 ve y=5 olur.

y’nin alabileceği değerlerin toplamı;

20+5=25 dir.


60

GENETĠK KOPYA-6

a ve b doğal sayıları için,

a! = 30.b! olduğuna göre;

b’nin alabileceği değerlerler toplamı

kaçtır?

A)29 B)30 C)32 D)33 E)34

DNA-7

0!+1!+2!+…+2008! toplamının birler


A)0 B)3 C)4 D)7 E)8

ÇÖZÜM

0!=1

1!=1

2!=1.2=2

3!=1.2.3=6

4!=1.2.3.4=24

5!=1.2.3.4.5=120

6!=1.2.3.4.5.6=720

…………

EĢitliklerine bakıldığında;

5! ve sonrası 0 ile sonlanmaktadır.

( birler basamağı 0 dır. )

0!+1!+2!+…+2008!

Toplamının birler basamağını 4! e kadar

olan sayılar belirler.

0!+1!+2!+3!+4!+ … +2008!

=1+1+2+6+24+120+…..

=34+120+720+…

Toplamın birler basamağı,

4+0+0+0+….+0=4 bulunur.


IġIK-2

n ≥ 5 için; n! sayısının birler basamağı

0 dır.

GENETĠK KOPYA-7

1!+3!+5!+……+2009! Toplamının birler


A)0 B)4 C)6 D)7 E)8

IġIK-3

n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal

sayı) çarpanlarının sayısı:

n’in ard arda x’e bölümlerinden elde

edilen bölümler toplamı kadardır.

n! sayısının içinde bulunan tüm x

çarpanlarının (x=a.b, a ve b asal) sayısı,

a<b için, b çarpanlarının sayısı kadardır.

DNA-8

a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere;

10! = a.2b eĢitliğinde,

b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)8 B)15 C)21 D)25 E)36

ÇÖZÜM

IġIK-3 den, 10 sayısı ard arda 2 ye

bölünerek, bölümler toplamı aranır.

10=2.5

5=2.2+1

2=2.1

5+2+1=8

b’nin alabileceği en büyük değerdir.

YADA !!!

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

=(2.5).9.(23).7.(2.3).5.(22).3.2.1

=5.9.7.3.5.3.1.(28)

a=5.9.7.3.5.3.1

b=8 alınabileceği gibi,

eĢitlik b’nin 8’den küçük değerleri için de

doğru olur.

b’nin alabileceği değerler:

1,2,3,4,5,6,7 ve 8 dir.

1+2+3+4+5+6+7+8=36 aranan toplamdır.


61

GENETĠK KOPYA-8

100!=K.5x

EĢitliğinde, K ve x pozitif tam sayılar

olmak üzere,

x’in en büyük değeri kaçtır?

A)20 B)24 C)25 D)26 E)50

DNA-9

𝟏𝟐!

𝟔𝒏 sayısını tamsayı yapan n’in

en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

A)4 B)5 C)6 D)8 E)10

ÇÖZÜM

6=2.3 olduğundan,

IġIK-3, 2 ve 3 çarpanları için uygulanır.

12=2.6

6=2.3

3=2.1+1

6+3+1=10 tane 2 çarpanı,

12=3.4

4=3.1+1

4+1=5 tane 3 çarpanı vardır.

210.35=25.25.35=25(2.3)5=25.65

olduğundan, 5 tane 6 çarpanı

oluĢturulabilir.

n’in en büyük değeri 5 tir.

Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak

yeterlidir. Çünkü 3 çarpanlarının sayısı,

2 çarpanlarının sayısından azdır.


GENETĠK KOPYA-9 𝟑𝟎!

𝟏𝟓𝐧

sayısını tamsayı yapan n’in

en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

A)2 B)6 C)7 D)14 E)21

IġIK-4

n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı,

n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının

(10=2.5 ve 2<5 olduğundan,

tüm 5 çarpanlarının) sayısı kadardır.

DNA-10

2008! sayısının sonunda kaç tane

0 vardır?

A)400 B)480 C)498 D)499 E)500

ÇÖZÜM

2008 sayısı içindeki 5 çarpanlarını

arayacağız.

2008=5.401+3

401=5.80+1

80=5.16

16=5.3+1

401+80+16+3=500 tane 5 çarpanı,

500 tane 10 çarpanı ve bundan dolayı da

2008! Sayısının sonunda 500 tane 0

vardır.


GENETĠK KOPYA-10

999! sayısının sonunda kaç tane

0 vardır?

A)199 B)200 C)245 D)246 E)250

IġIK-5

n!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı,

n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı

kadardır.

DNA-11

[(3!)!]!-1 sayısının sonunda kaç tane

9 vardır?

A)177 B)178 C)179 D)180 E)181

62

ÇÖZÜM

[(3!)!]!-1 sayısının sonundaki 9 ların

sayısı,

[(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı

kadardır.

[(3!)!]! = [6!]! = 720!

720! =1.2.3…..720 sayısı içinde

10 =2.5 çarpanlarının sayısını bulacağız.

Bunun için 720 sayısını ard arda 5’e

bölüp, bölümler toplamı alınmalıdır.

720=144.5

144=28.5+4

28=5.5+3

5=1.5

144+28+5+1 = 178 tane 5 çarpanı vardır.

720! =A.10178 sayısının sonunda

178 tane 0 rakamı vardır.

720! – 1 = A.10178 – 1 sayısının

sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur.


GENETĠK KOPYA-11

100!-1

Sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?

A)2 B)23 C)24 D)25 E)26

DNA-12

1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1

olduğu bilindiğine göre;

1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!) = A

sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1

olduğu bilindiğine göre;

1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!)=(10+1)!-1

=11!-1 dir.

11=5.2+1

Olduğundan, 11! sayısının sonunda

2 tane 0, 11!-1 sayısının sonunda da

2 tane 9 vardır.

GENETĠK KOPYA-12

T=1.1!+2.2!+3.3!+ … +19.19!

olduğuna göre,

T+1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-13

a,b ve çift tamsayı ise

a+b nin en büyük değeri kaçtır?

A)9 B)10 C)14 D)15 E)16

ÇÖZÜM

12! = 1.2.3…12 sayısı içinde 2 ve 3

çarpanlarının kaçar tane olduğunu bulmak

için;

12 sayısı ard arda 2 ye bölünüp, bölenler

toplamı alınır. 12!=A.2a biçiminde yazılır.

12=6.2

6=3.2

3=1.2+1

6+3+1=10 tane 2 çarpanı vardır.

12 sayısı ard arda 3’e bölünüp, bölenler

toplamı alınır. 12!=B.3b biçiminde yazılır.

12=4.3

4=1.3+1

4+1=5 tane de 3 çarpanı vardır.

Zba 3.2

!12

63

a=10 alınır ve 12! içindeki tüm 2

çarpanları ile sadeleĢtirilirse, elde edilen

sayı tek sayı olacağından a=9 alınmak

zorundadır.

a+b=9+5=14 bulunur.


GENETĠK KOPYA-13

𝟐𝟎!

𝟐𝐧

Ġfadesinin bir tek sayı gösterdiği

bilindiğine göre,

N doğal sayısının değeri kaçtır?

A)10 B)15 C)17 D)18 E)19

DNA-14 𝟖𝟖!

𝟖𝐧

Sayısının bir tamsayı olduğu bilindiğine

göre,

n pozitif tamsayısının en büyük değeri

kaçtır?

A)11 B)12 C)22 D)27 E)28

ÇÖZÜM

8=23 olduğundan;

88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım

88=2.44

44=2.22

22=2.11

11=2.5+1

5=2.2+1

2=2.1

44+22+11+5+2+1=85 tane 2 çarpanı,

(23)28.2=828.2 olduğundan,

28 tane 8 çarpanı vardır.

n’in en büyük değeri 28 dir.


GENETĠK KOPYA-14

99!=9n.A eĢitliğinde,

A ve n pozitif tamsayıları için

n’in en büyük değeri kaçtır?

A)11 B)24 C)33 D)34 E)35

DNA-15

5, 10, 15, … , 95, 100 Aritmetik

dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan

sayının sondan kaç basamağı 0 dır?

A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

ÇÖZÜM

5.10.15……100=(5.1)(5.2)(5.3)…..(5.20)

=520.20!

Sayının içindeki 10=2.5 çarpanlarının

sayısı aranacak.

20=2.10

10=2.5

5=2.2+1

2=2.1

10+5+2+1=18 tane 2 çarpanı var.

20=5.4

520.54=524 24 tane 5 çarpanı var.

218.524=218.518.56=(2.5)18.56=56.1018

Sayının son 18 basamağı 0 dır.


GENETĠK KOPYA-15

23!+24!

sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?

A)4 B)6 C)7 D)9 E)11

64

DNA-16

K=44!-4!

K sayısının son üç basamağı


A)000 B)996 C)076

D)976 E)006

ÇÖZÜM

44! Sayısı;

44=5.8+4

8=5.1+3

Sonunda 8+1=9 tane sıfı bulunan bir sayı,

4!=4.3.2.1=24 olduğundan

K=44!-4! = …0000-24= …9976

Son üç basamak 976 dır.


GENETĠK KOPYA-16

A=75!-5

Sayısının son iki basamağı


A)00 B)05 C)70 D)85 E)95

UYARI

n! ± m! sayısının sonundaki 0 sayısı,

n-m ≥5 için, m! in sonundaki 0 sayısı

kadardır.

DNA-17

50!+60!

ĠĢleminden elde edilen sayının sondan

kaç basamağı 0 dır?

A)2 B)10 C)12 D)14 E)26

ÇÖZÜM

50=5.10

10=5.2

10+2=12 tane 5 çarpanı,

50! sayısının sonunda 12 tane 0 var.

60=5.12

12=5.2+2

12+2=14 tane 5 çarpanı,

60! sayısının sonunda 14 tane 0 var.

50!+60! sayısının sonunda, 50! sayısının

sonundaki 0 sayısı kadar, 12 tane 0

vardır.


GENETĠK KOPYA-17

75!-70!-1

ĠĢleminden elde edilen sayının sondan

kaç basamağı 9 dur?

A)31 B)30 C)16 D)15 E)14

65

KONU TESTĠ

1. x,yN ve 12.x! = y! olduğuna

göre; y nin alabileceği değerlerin

toplamı kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

2. ! !25

!

x y

x

eĢitliğini sağlayan

en büyük x sayısı kaçtır?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

3. 3! ! !

3! k.n! ( k∈ Z+ )

eĢitliğini sağlayan en büyük n sayısı

için n kaçtır?

A) 718 B) 719 C) 720

D)721 E) 722

4. A = 33! – 3! olduğuna göre;

A sayısının son iki basamağı


A) 00 B) 04 C) 06 D) 94 E) 96

5. 2

2008!

(1004!) sayısının sonunda kaç

tane 0 vardır?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 200 E) 400

6. n2

!25!.15 sayısı tek sayı ise

n kaçtır?

A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 242

7. A=!40

!80 sayısının sonunda kaç tane

sıfır vardır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

8. n!5! = 6! ise n kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. 6!.7!


hangisidir?

A)8! B)8!+1 C)9!

D)10! E)7!+8’

10. (1!)2+(2!)2+(3!)2+ … +(10!)2

toplamından elde edilen sayının birler


A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9

66

11. 7!+8!+9!+ ... +2008!

Toplamının onlar basamağında hangi

rakam bulunur?

A)1 B)3 C)4 D)6 E)9

12. 500! Sayısının sonunda kaçtane 0

vardır?

A)124 B)218 C)432

D)500 E)615

13. 48! Sayısı 6 sayı tabanında

yazıldığında sondan kaç basamağı 0

olur?

A)20 B)22 C)24

D)25 E)26

14. 1000! Sayısı 7n ile

bölünebilmektedir.

n'in en büyük tamsayı değeri kaçtır?

A)144 B)146 C)152

D)164 E)168

15. 1!+4!+5!

Toplamının eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)5! B)10! C)145

D)154 E)720

16. 𝟏𝟎𝟎!

𝟐𝟓𝟎.𝟓𝟏𝟎

Sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?

A)16 B)14 C)12 D)10 E )8

1.E 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C

7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.A

13.B 14.D 15.C 16.B

67

TANIM

A,B,C,D ∈ N ve B≠0 için;

A : BÖLÜNEN B : BÖLEN

C : BÖLÜM D : KALAN

HAZĠNE-1

BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN

DNA-1

Yukarıdaki bölme iĢlemine göre;

bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

A)4 B)5 C)10 D)14 E)15

ÇÖZÜM

Bölme iĢlemi, Bölüm ÖzdeĢliği Ģeklinde

yazıldığında;

BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN

234=23.BÖLÜM+KALAN

EĢitliği sağlayan sayılar;

BÖLÜM = 10

Kalan = 4 olur.

BÖLÜM + KALAN = 10 + 4 = 14


UYARI

Pek çok arkadaĢınızın düĢtüğü;

234 sayısının ilk iki basamağı olan

23 de, bölen 23 sayısı 1 defa var,

Bölüm 1, kalan 4 tür YANLIġına

düĢmeyin.

Bu durumda;

234=23.1+4 eĢitliğinin doğru olmadığına

dikkat edilmelidir.

Bölme iĢlemi sırasında; bölünen sayıdan

basamak indirildiğinde, ilk kalanla

birlikte bölenden küçük ise bir basamak

daha indirmeden, bölüme 0 basamağının

eklenmesi unutulmamalıdır.

GENETĠK KOPYA-1 ab3 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki

basamaklı bir sayıya bölünüyor.

Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

A)3 B)4 C)10 D)12 E)13

IġIK-1

0 ≤ D < B

Kalan, bölenden küçüktür ve pozitiftir.

DNA-2 abcd gibi dört basamaklı bir sayı,

19 sayısına bölünüyor.

Kalanın alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

A)18 B)37 C)171 D)190 E)201

ÇÖZÜM

IġIK-1 den, kalan 19 dan küçük her doğal

sayı olabilir.

1+2+3+ … +18 = 18.19

2 = 171 olur.

BÖLME - BÖLÜNEBĠLME

68

GENETĠK KOPYA-2 BeĢ basamaklı bir doğal sayı, üç

basamaklı bir doğal sayıya bölündüğünde,

kalan sayı en çok kaç olabilir?

A)9 B)98 C)99 D)998 E)999

IġIK-2

D = 0 ise A = B.C olur.

B sayısına, A nın bir böleni denir.

(ya da A ya B nin katıdır denir.)

Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’

diyerek ifade edilir.

Tam bölünmelerde ; kalan sıfıra eĢittir.

DNA-3 a,b ve c farklı rakamlar olmak üzere;

abc üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı

sayısına tam olarak bölünebiliyorsa,

abc sayısının en büyük ve en küçük

değerlerinin toplamı kaçtır?

A)860 B)980 C)1000

D)1100 E)1200

ÇÖZÜM

abc=ab0+c=ab.10+c

çözümlemesi ile bölüm özdeĢliği

karĢılaĢtırıldığında;

tam bölünmelerde kalan 0 olacağından,

c=0 olmalıdır.

ab0 ın en büyük değeri; 980

en küçük değeri; 120 dir.

Toplam: 980 + 120 = 1100 olur.


GENETĠK KOPYA-3 abcabc altı basamaklı sayısı, abc üç

basamaklı sayısının kaç katıdır?

A)11 B)101 C)111 D)1001 E)1111

IġIK-3

A-D ve A+(B-D) sayıları,

B sayısına tam bölünür.

Bölünenden, kalan çıkarılır veya

Bölünene , bölen ile kalanın farkı

eklenirse elde edilen yeni sayı bölenin

katı olur.

DNA-4 2018 sayısından büyük, 26 sayısına

bölünebilen en küçük sayının tüm


A)9 B)10 C)12 D)13 E)16

ÇÖZÜM

2018 sayısını 26 ya bölme iĢleminde;

2018=26.77+16 olduğundan,

Bölüm:77, Kalan:16 dır.

Bölen ile kalanın farkı: 26-16=10

Bölünen ile farkın toplamı:2018+10=2028

Sayısı, 26 nın katı olan, 2018 den büyük,

en küçük sayıdır.

Rakamları toplamı: 2+0+2+8=12 dir.


GENETĠK KOPYA-4 2018 sayısından küçük, 26 sayısına

bölünebilen en büyük sayının tüm


A)4 B)10 C)12 D)13 E)16

IġIK-4

D < C ise B ile C aralarında

yer değiĢtirebilir.

69

DNA-5

Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

ÇÖZÜM

olduğundan; 9 < 75 tir.

Soruda; bölüm, bölenden küçük

olduğundan, yer değiĢtirebilirler.

Kalan 3 tür.


GENETĠK KOPYA-5

Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan ile

bölenin toplamı kaçtır?

A)72 B)75 C)78 D)80 E)82

2. TANIM

a , b N ve b 0 ise

a = b.q + r olacak Ģekilde ve tek türlü

belirlenen q , r Z vardır.

( 0 r < b )

Eğer a = b.q olacak Ģekilde bir

q N varsa

b sayısına a nın bir böleni

( yada a ya b nin bir katı ) denir.

b a yazılır.

Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’

diyerek ifade edilir.

IġIK-5

a b ve b c ise a c dir.

a sayısı b nin bir böleni ve b sayısı da

c nin bir böleni ise;

a sayısı c ninde bir bölenidir.

DNA-6 A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı,

B sayısı da C sayısının 6 katı ise

A sayısı, C sayısının kaç katıdır?

A)4 B)6 C)12 D)24 E)48

ÇÖZÜM

A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı;

A=4.B

B sayısı da C sayısının 6 katı;

B=6.C

EĢitlikleri bir arada kullandığımızda;

A=4.B=4.(6.C)=24.C olur.

A sayısı, C nin 24 katıdır.


GENETĠK KOPYA-6 A, B, C Pozitif tamsayıları göstermek

üzere;

A sayısı B nin 3 katı, B sayısı da C nin

4 katı ise

𝐀+𝐁

𝟔.𝐂 iĢleminin sonucu kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)12

IġIK-6

a b , a c ve m , n Z ise

a (mb+nc) dir.

a sayısı b ve c nin bir böleni ise bunların

katlarının toplamının (farkının) da bir

bölenidir.

70

DNA-7 a ve b pozitif tamsayılarının 7 ile

bölümünden kalanlar sırası 3 ve 4 tür.

4.a+5.b toplamının 7 ile bölümünden

kalan kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM

a=7.x+3

4.a=4(7x+3)=28x+12

b=7.y+4

5.b=5(7y+4)=35y+20

bölüm özdeĢlikleri yazıldığında;

4.a+5.b=(28x+12)+(35y+20)

=28x+35y+32

=7(4x+5y+4)+4

Toplamın 7 bölümünde bölüm; 4x+5y+4

kalan; 4 tür.


GENETĠK KOPYA-7 A doğal sayısı 8’e bölündüğünde

5 kalanını,

B doğal sayısı 8’e bölündüğünde

x kalanını veriyor.

A+B toplamı 8’e bölündüğünde 3 kalanını

verdiğine göre x kaçtır?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

IġIK-7

a b ve b 0 ise 0< a b dir.

a sayısı b nin bir böleni ise b den küçük

veya eĢittir.

IġIK-8

a b ve b a ise a= b dir.

a sayısı b nin , b sayısı da a nın bir böleni

ise sayılar mutlak değerce eĢittir.

DNA-8 a + aa + aaa

toplamı 3.a sayısının kaç katıdır?

A)11 B)13 C)17 D)23 E)41

ÇÖZÜM

Sayılarını çözümlediğimizde;

aa = 10.a+a = 11.a

aaa = 100.a+10.a+a=11.a

a+aa+aaa = a+11.a+111.a = 123.a = 3.41.a

123.a sayısı, 3.a nın 41 katıdır.


GENETĠK KOPYA-8 ab iki basamaklı sayısının 7 ile

bölümünden kalan 1 dir. ab sayısının her

rakamının sayı değeri 3 artırılırsa,

bulunan yeni sayının 7 ile bölümünden

kalan kaç olur?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

DNA-9 Dört basamaklı bir sayı 131 ile

bölündüğünde 112 kalanını ,

132 ile bölündüğünde 98 kalanını

vermektedir.

Bu sayı kaçtır ?

A)1945 B)1946 C)1947

D)1948 E)1949

ÇÖZÜM

Bölüm özdeĢliği gereğince;

A = 131x+112

A = 132y+98 yazılır.

Ġkinci eĢitlikte;

A = 132y+98 = (131+1)y+98 = 131y+y+98

ĠĢlemleri yapılır ve birinci eĢitlik ile

karĢılaĢtırılırsa

x = y ve y+98 =112 den

x = y = 14 bulunur.

A = 131.14+112 = 1946 dır.


71

GENETĠK KOPYA-9 Üç basamaklı bir sayı 12 ile

bölündüğünde 9 kalanını,

13 ile bölündüğünde 1 kalanını

vermektedir.

Bu üç basamaklı sayının rakamları

toplamı kaçtır?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

DNA-10 x43y ve x34y dört basamaklı sayıları

sırası ile 9 un A ve B katıdır.


A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

ÇÖZÜM

x43y=x.1000+4.100+3.10+y

x34y=x.1000+3.100+4.10+y

çözümlemeleri taraf tarafa

çıkarıldığında;

x43y-x34y=(x.1000+430+y) -

(x.1000+340+y)

x43y-x34y=90

x43y=9.A

x34y=9.B bölüm özdeĢlikleri.

x43y-x34y=9.A-9.B

90=9(A-B)

A-B=10 bulunur.


GENETĠK KOPYA-10 5a3b ve 2a4b dört basamaklı sayıları

sırası ile 20 nin x ve y katıdır.

x-y farkı kaçtır?

A)35 B)73 C)94 D)127 E)149

DNA-11 111222333 … 888999 sayısının

111 sayısına bölümü kaç basamaklıdır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 24 E) 25

ÇÖZÜM

BÖLÜNEN=BÖLEN.BÖLÜM+KALAN

Bölüm özdeĢliğinde;

Bölünen sayı, bölen ile bölümün

çarpımından oluĢtuğuna göre,

basamak sayısı, bölen ve bölümün

basamak sayıları toplamına eĢit veya bir

küçüğü olacaktır.

Bölen ve bölünenin soldaki ilk

basamakları küçük olduğundan,

toplamın bir eksiği olur.

Bölünen sayı; 27 basamaklı

Bölen sayı; 3 basamaklı olduğuna göre

27=3+x-1 den x=25 bulunur.

Bölüm 25 basamaklıdır.


GENETĠK KOPYA-11 30000007 sayısı 37 ile bölündüğünde,

bölüm kaç basamaklı bir sayı olur?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-12

1≤n≤25 tamsayıları için,

2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.

KoĢulu sağlayan n tamsayılarının 3 ile


A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

72

ÇÖZÜM

2n+1 sayısının 3 ile tam olarak

bölünebilmesi, 3 ün katı olması demektir.

2n+1=3.k (k∈Z)

2n=3.k-1

2n sayısı, 3 ile bölündüğünde 2 kalanını

veriyor.

n sayısı, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını

verir.

Doğru Seçenek D dır.

GENETĠK KOPYA-12 1≤n≤25 tamsayıları için,

2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.

KoĢulu sağlayan kaç tane n tamsayısı

vardır?

A)7 B)8 C)9 D)10 E)11

73

KONU TESTĠ

1. n pozitif tamsayısının 5 ile

bölümünden kalan 3 tür.

AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile

bölünebilir?

A)n+3 B)n+2 C)n+1

D)n-1 E)n-2

2. 1170 sayısının en az kaç katı

60 ile tam bölünür?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9

3. 7.n sayısı, 5 ile bölündüğünde 3

kalanını vermektedir. n’in en küçük

pozitif tam sayı değeri kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

4. Bir N sayısının X’e bölümünden kalan

24 tür. 2.N sayısının X’e bölümünden

kalan 11 ise,

X kaçtır?

A)13 B)35 C)37 D)42 E)59

5. n tamsayısının 8’e bölümünden kalan

3 tür.

6.n sayısının 8’e bölümünden kalan

kaç olur?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

6. A ve B doğal sayıları için;

olduğuna göre;


A)108 B)113 C)119

D)121 E)149

7. Ġki basamaklı bir sayının, rakamları

toplamına bölümünden kalan en çok

kaç olabilir?

A)12 B)13 C)14 D)15 E)16

8. Dört basamaklı abcd sayısı üç

basamaklı abc sayısına bölündüğünde

bölüm ile kalanın farkı 6 olduğuna

göre,

Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

9. a ve b farklı rakamlar olmak üzere,

1a3 üç basamaklı sayısı b6 iki

basamaklı sayısına bölündüğünde

bölüm 5, kalan 13 olmaktadır.

a+b toplamının en büyük değeri

kaçtır?

A)6 B)9 C)12 D)15 E)16

74

10. ab ve cd iki basamaklı sayılarının

9 ile bölümlerinden

kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.

abcd dört basamaklı sayısının 9 ile


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

11. M sayısının 9 ile bölümünden

kalan 6,

N sayısının 27 ile bölümünden kalan 9

olduğuna göre,

M.N çarpımının 27 ye bölümünden

kalan kaç olur?

A)0 B)6 C)9 D)15 E)18

12. 242 sayısı X’e bölündüğünde 8

kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde

9 kalanını vermektedir.

242 ve 698 sayılarının toplamının

aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise

ortak bölen kaçtır?

A)11 B)13 C)17 D)19 E)23

13. Pozitif iki sayıdan biri diğerinin

üç katıdır. 54 sayısının her iki sayıya

bölümünden elde edilen bölümler

arasındaki fark 4 tür.

Buna göre bu iki sayı arasındaki fark

kaçtır?

A)5 B)9 C)12 D)18 E)27

14. 1717 sayısının 17 ye bölümünden

elde edilen bölüm kaç olur?

A)10 B)11 C)100 D)101 E)110

15. Bir A doğal sayısı 3 ile

bölündüğünde bölüm x, kalan2,

x sayısı 4 ile bölündüğünde kalan

1 dir.

Buna göre, A sayısının 12 ile


A)2 B)3 C)4 D)5 E)7

16. A ve x pozitif tamsayılar olmak

üzere,

A sayısı 6 ile bölündüğünde, bölüm

2x+1, kalan 1 dir.

A sayısı 7 ile bölündüğünde, bölüm 9,

kalan x-1 olduğuna göre,

A sayısı kaçtır?

A)67 B)71 C)72 D)75 E)83

YANITLAR

1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B

7.D 8.A 9.C 10.A 11.A

12.B 13.D 14.D 15.D 16.A

75

BÖLÜNEBĠLME KURALLARI

Bu bölümde; verilen bir doğal sayının,

hangi doğal sayılar ile bölünebileceğini ve

bölme iĢlemi sonucunda kalanın ne

olacağını bölme iĢlemi yapmadan bulma

yöntemleri anlatılacaktır.

Bu yöntemleri bilmek, pek çok soruda

bize büyük kolaylıklar sağlar.

IġIK-1

En küçük doğal sayı olan 0 ile baĢlayalım.

Hangi sayılar 0 ile bölünebilir ?

sorusunun yanıtı ‘’0 sayısı ile bölme

işlemi tanımsız’’ olmalıdır.

Herhangi bir sayının, 0 sayısı ile

bölümünden söz edilemez.

UYARI

𝑎 ≠ 0 için 𝑎

𝑜=TANIMSIZ

𝟎

𝟎= TANIMSIZ

IġIK-2

Doğal sayıların tümü, 1 ile bölünebilir.

Bir doğal sayının 1’e bölümü, kendisine

eĢittir.

𝒂

𝟏= 𝒂 𝒂.𝟏 = 𝟏.𝒂 = 𝒂

IġIK-3

Birler basamağı çift (0,2,4,6,8) olan

sayılar, 2 ile bölünebilir.

IġIK-4

Rakamları toplamı 3 ve 3’ün katı olan


Rakamları toplamının 3’e bölümünden

bulunacak kalan, sayının 3’e bölümünden

bulunacak kalanı verir.

DNA-1


bölünebilir?

A)43 B)76 C)125 D)542 E)2841

ÇÖZÜM

2841 sayısının basamaklarındaki

rakamların sayı değerleri toplamı

2+8+4+1=15 olup, 3’ün katıdır.

2841 sayısı, 3 ile bölünebilir.


GENETĠK KOPYA-1 457a dört basamaklı sayısının, 3 ile

bölünebilmesi için;


kaçtır?

A)8 B)9 C)12 D)15 E)18

DNA-2 56a8 dört basamaklı sayısının, 3 ile

bölümünden kalanın 1 olduğu bilindiğine

göre;


A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

56a8 sayısının basamaklarındaki

rakamların sayı değerleri toplamı

5+6+a+8=19+a dır.

Sayının 3 ile bölümünden kalanın 1 olması

için, rakamları toplamının 3’e bölümünden

kalanın 1 olması gerekir.

19+a=3k+1 (k∈ 𝑍) olmalıdır.

a=0,3,6,9 için koĢul sağlanır.

a, 4 farklı değer alabilir.


76

GENETĠK KOPYA-2 4A12 dört basamaklı sayısının, 3 ile

bölümünden kalanın 2 olduğu bilindiğine

göre;

A’nın alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

A)7 B)9 C)12 D)15 E)18

IġIK-5

Bir doğal sayının onlar ve birler

basamağındaki rakamların oluĢturduğu iki

basamaklı sayı, 4 ün katı ise; bu doğal

sayı 4’e bölünebilir.

Son iki basamağın 4’e bölümündeki kalan,

sayının 4’e bölümündeki kalanı verir.

Onlar basamağındaki sayının iki katı ile

birler basamağının toplamı 4’ün katı olan

sayılar, 4’e bölünebilir.

(2a1+ao toplamı, 4 ün katı ise)

UYARI

Ard arda iki kez 2 ile bölünebilen sayılar,

4 ile bölünebilir.

DNA-3


bölünebilir?

A)134 B)238 C)312 D)526 E)622

ÇÖZÜM

312 sayısının son iki basamağı 12 olup,

12=3.4 sayısı 4’ün katıdır.

312 sayısı, 4 ile bölünebilir.


GENETĠK KOPYA-3 73A2 dört basamaklı sayısının 4 ile

bölünebilmesi için A’nın alabileceği kaç

farklı değer vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-4

8765a beĢ basamaklı sayısı 4 ile

bölündüğünde 3 kalanını vermektedir.

a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)9 B)10 C)12 D)15 E)19

ÇÖZÜM

8765a sayısının son iki basamağının

oluĢturduğu 5a iki basamaklı sayısının 4

ile bölümünden 3 kalanı bulunmalıdır.

5a=4k+3 (k∈ 𝑍) olmalıdır.

a=1,5,9 için koĢul sağlanır.

1+5+9=15 a’nın alabileceği değerler

toplamıdır.


GENETĠK KOPYA-4 123a dört basamaklı sayısının 4’e

bölümünden kalan 1 ise,


A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-5

2327 sayısından en az kaç çıkarılırsa

bulunan sayı 2, 3 ve 4 ile tam olarak

bölünebilir?

A) 11 B) 12 C) 16 D) 26 E) 102

77

ÇÖZÜM

4 ile bölünebilen sayılar, 2 ile de

bölünebilir.

2 ile bölünebilenler, 4 ile de

bölünebilir denilemez.

Hem 2, hem de 4 ile bölünebilen sayılar

için; 4 ile bölünebilenleri bulmak

yeterlidir.

Hem 3, hem de 4 ile bölünebilen en

küçük pozitif tamsayı 12 dir.

12 ile bölünebilen sayılar, hem 3, hem 4

ve hem de 2 ile bölünebilir.

2327=12.193+11 olduğundan,

2327 nin 12 ile bölümünden kalan 11 dir.

Sayıdan 11 çıkarıldığında (veya 1

eklendiğinde) bulunan sayı 12 ile (2,3 ve

4 ile) bölünebilir.


GENETĠK KOPYA-5 12 ye bölündüğünde, 11 kalanını veren

pozitif bir tamsayının 3 ile bölümünden

kalan a, 4 ile bölümünden kalan b ise,


A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

IġIK-6

Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar,


Birler basamağının 5’e bölümündeki

kalan, sayının 5’e bölümünden kalanı

verir.

DNA-6

20067+20068 sayısının 5 ile bölümünden

kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

ÇÖZÜM

Birler basamağı 6 olan sayıların, tüm

kuvvetlerinin birler basamağı 6 dır.

20067 ve 20068 kuvvetlerinin de birler

basamağı 6 dır.

6 nın 5’e bölümünden kalan 1 olduğundan;

20067 ve 20068 in 5’e bölümünden

kalanlar 1 dir.

Toplamın 5’e bölümünden kalan

1+1=2 dir.


GENETĠK KOPYA-6 2009.2008-2007.2006

Sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

DNA-7 Rakamları birbirinden farklı olan, üç

basamaklı 4ab sayısı 3 ve 5 ile kalansız

bölünebiliyor.

Buna göre a kaç farklı değer alabilir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

ÇÖZÜM

3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı

3’ün katı olmalıdır.

4+a+b=3k (k∈ 𝑍)

5 ile bölünebilmesi için birler basamağı

0 veya 5 olmalıdır.

b=0 veya b=5

b=0 için; 4+a+0=3k a=2,5,8 olabilir.

b=5 için; 4+a+5=3k a=0,3,6,9 olur.

Rakamları farklı olacağından;

a=2,5,8,0,3,6,9 olmak üzere 7 farklı

değer alabilir?


4ab sayısı 15 ile bölünebilir.

78

GENETĠK KOPYA-7 4 ve 5 ile bölünebilen iki basamaklı kaç

tane doğal sayı yazılabilir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)8

IġIK-7

2 ve 3 ile bölünebilen sayılar, 6 ile

bölünebilir.

Rakamları toplamı 3’ün katı olan, çift

sayılar 6 ile bölünebilir.

DNA-8

abc üç basamaklı sayısının 6 katı xy02

ise x+y toplamı kaç farklı değer alır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM

6.abc = xy02 verildiğinden

xy02 sayısı 6 ile bölünebilir.

(6 nın katıdır.)

2 ve 3 ile bölünebilmelidir.

Birler basamağı 2 olduğundan sayı çifttir

x+y+0+2=3.k (3 ün katı olacak)

k=1,2,3, … için x+y toplamı 1, 4, 7, 10,

13, 16 ??? olabilir.

6.999=5994 olduğundan xy02 sayısında

x+y toplamı en çok (5+9=14) 14 olabilir.


GENETĠK KOPYA-8 5aaaa beĢ basamaklı sayısı 6 ile

bölünebiliyorsa a kaçtır?

A)0 B)2 C)4 D)6 E)8

DNA-9

AĢağıdaki sayılardan hangisi 2,3,4,5 ve 6

sayıları ile bölünebilen en küçük pozitif

tamsayıdır?

A)24 B)36 C)60 D)75 E)120

ÇÖZÜM

6 ya bölünebilen sayılar, 2 ve 3’e

4’e bölünebilen sayılar, 2 ye bölünebilir.

4 ve 6 ya bölünebilen sayılar 12 ile

12 ve 5’e bölünebilen sayılar 60 ile

bölünebilir.


GENETĠK KOPYA-9 6 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük

doğal sayı ile iki basamaklı en küçük

doğal sayının toplamı kaçtır?

A)96 B)102 C)108 D)114 E)120

IġIK-8

Bir doğal sayının yüzler,onlar ve birler

basamağındaki rakamların oluĢturduğu üç

basamaklı sayı 8 in katı ise; bu doğal sayı

8’e bölünebilir.

Yüzler basamağı çift olanlarda;

Son iki basamağın oluĢturduğu sayı 8’in

katı olanlar,

Yüzler basamağı tek olanlarda;

Son iki basamağın oluĢturduğu sayının 4

eksiği 8’in katı olanlar, 8 ile bölünebilir.

Son üç basamağın 8’e bölümündeki kalan,

sayının 8’e bölümündeki kalanı verir.

UYARI

Ard arda üç kez 2 ile bölünebilen sayılar,


79

DNA-10

1, 3, 6 rakamları birer kez kullanılarak

yazılabilecek üç basamaklı farklı

sayılardan; 4 ile bölünebilen A sayısının,

8 ile bölünebilen B sayısı ile toplamı kaç

olabilir?

A)136 B)180 C)316 D)452 E)496

ÇÖZÜM

A ve B sayıları, sırası ile 4 ve 8 ile

bölüneceğinden öncelikle 2 ile

bölünebilmelidirler.

Bunun için birler basamakları çift

olmalıdır.

Sayı 6 ile bitmelidir.

316:2=158 158:2=79

316 sayısı iki kez 2 ile bölünebildiğinden,

A=316 sayısı 4 ile bölünebilir.

136:2=68 68:2=34 34:2=17

136 sayısı üç kez 2 ile bölünebildiğinden,

B=136 sayısı 8 ile bölünebilir.

A+B=316+136=452 olur.


GENETĠK KOPYA-10 476 476 sayısının 8 ile bölümünden kalan

kaç olur?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-11

23A5B beĢ basamaklı sayısı 8 ile


B’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)16

ÇÖZÜM

23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa;

A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.

B=6 için 56=7.8

A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı

olmalıdır.

B=2 için 52-4=48=6.8

B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.

Toplam: 6+2=8 olur.


GENETĠK KOPYA-11 9876A sayısının 8 ile bölümü 3 kalanını

verdiğine göre,

A kaç olmalıdır?

A)1 B)3 C)5 D)7 E)9

IġIK-9

Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar,


Rakamları toplamının 9’a bölümünden

bulunacak kalan, sayının 9’a bölümünden

bulunacak kalanı verir.

DNA-12

3A4A5A altı basamaklı sayısı 9 ile



kaçtır?

A)8 B)10 C)15 D)18 E)24

ÇÖZÜM

3+A+4+A+5+A = 12+3A = 9.k olmalıdır.

k’nın 2,3 ve 4 değerleri için;

A rakamı 2,5 ve 8 olabileceğinden;

2+5+8=15 olur.


80

GENETĠK KOPYA-12

[3(230+x)]2 = 492a04 ise

a kaç olmalıdır?

A)1 B)3 C)6 D)7 E)8

DNA-13

7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden

kalan 1 dir.

Aynı sayı 8 sayı tabanında yazıldığında

birler basamağı kaç olur?

A)1 B)2 C)3 D)5 E)7

ÇÖZÜM

7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden

kalan 1 ise;

7+3+5+7+2+6+a=9k+1 dir.

30+a=9k+1

k=4 için a=7 olmalıdır.

7357267 sayısını 8 sayı tabanında

yazarken birler basamağına,

7357267 sayısının 8’e bölümünden

bulunan kalan geleceğinden,

267 sayısında, 2 çift,

67=8.8+3 olduğundan aranan rakam 3 tür


GENETĠK KOPYA-13

23A5B beĢ basamaklı sayısının 9 ile

bölümünden kalan 4 olduğuna göre,

A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

IġIK-10

Birler basamağı 0 olan sayılar, 10 ile

bölünebilir.

Sayının birler basamağındaki rakamın

sayı değeri, verilen sayının 10 ile

bölümündeki kalandır.

DNA-14

1+9+92+93+…+92007 toplamının birler


A)0 B)1 C)6 D)7 E)9

ÇÖZÜM

Toplamdaki terimleri teker teker

incelediğimizde;

9’un tek kuvvetlerinin 9,

9, 93=729, 95=59049, …..

9’un çift kuvvetlerinin 1,

92=81, 94=6561, …

ile sonlandığını görebiliriz.

Toplamdaki terimlerin yarısının birler

basamağı 1, diğer yarısının birler

basamağı 9 olduğundan;

Toplamın tümünün birler basamağı

1+9=10 olduğundan 0 dır.


GENETĠK KOPYA-14

20052006+20062007

Toplamını veren sayının birler basamağı

kaçtır?

A)0 B)1 C)5 D)6 E)9

81

DNA-15

4, 5, 6, 8, 10 sayılarına bölündüğünde 3

kalanını veren en küçük pozitif üç

basamaklı tam sayının rakamları toplamı

kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

ÇÖZÜM

8’e bölünebilen sayılar, 4’e

10’a bölünebilen sayılar, 5’e

6 ve 8’e bölünebilen sayıların da 24’e

bölünebilir.

24 ve 10’a bölünebilen sayılar 120 ye

bölünebilir.

4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölünebilen en

küçük pozitif tamsayı 120,

4,5,6,8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 3

kalanını veren en küçük pozitif tamsayı

123 tür.

123 ün rakamları toplamı: 1+2+3=6 olur.


GENETĠK KOPYA-15

8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 7

kalanını veren üç basamaklı en büyük

doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

A)15 B)16 C)18 D)19 E)22

IġIK-11

Tek numaralı basamaktaki rakamlar

toplamı ile çift numaralı basamaktaki

rakamlar toplamının farkı 11 in katı olan


(N= 100A+B için A+B sayısı 11 in katı ise,

N sayısı 11 ile bölünebilir)

Tek numaralı basamaktaki rakamlar

toplamı ile çift numaralı basamaktaki

rakamlar toplamının farkının 11’e

bölümünden kalan, sayının 11’e

bölümünden kalanı verir.

DNA-16

58 246 3a7 sayısının

11’e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?

A)0 B) 1 C)3 D)7 E)9

ÇÖZÜM

58 246 3a7 (8+4+3+7) – (5+2+6+a) = 22-(13+a)

= 9-a = 11.k

k=0 için 9-a=0 ve a=9 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-16

27381a altı basamaklı sayısının 11’e

bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-17

22227777 sayısının iki basamaklı

en büyük böleni kaçtır?

A)11 B)33 C)66 D)77 E)99

ÇÖZÜM

22227777 sayısında;

2+2+2+2+7+7+7+7=36=4.9 olduğundan

Sayı 9 ile bölünebilir.

(2+2+7+7)-(2+2+7+7)=18-18=0=0.11

Olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir.

9 ve 11 ile bölünebilen sayılar 99 ile

bölünebilir.


82

GENETĠK KOPYA-17

Rakamları farklı, 9 basamaklı, 11 ile

bölünebilen en küçük doğal sayı


A)102345678 B)102347586 C)123456789 D)123458596

E)123456798

DNA-18

Dört basamaklı, tam kare doğal sayılar

arasında sadece bir tanesi aabb

biçimindedir.


A) 6 B) 9 C) 11 D) 13 E) 14

ÇÖZÜM

aabb=a.1000+a.100+b.10+b=1100.a+11.b

=11(100.a+b)

=11.a0b

Çözümlemesinden elde edilen çarpımın

bir tam kare olması için, a0b sayısı

içinde 11 çarpanı bulunmalıdır. (sayı 11’in

katı olmalıdır)

a0b sayısının 11 ile bölünebilmesi için de

(a+b)-0=11k

a+b=11 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-18

AĢağıdaki doğal sayılardan hangisi bir

doğal sayının karesidir?

A)4477 B)5566 C)6655

D)7744 E)3388

TANIM

1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal

sayılara, aralarında asaldır denir.

7 ; 13 12 ; 25

24 ; 29 4 ; 6 ; 27

Sayıları aralarında asaldır.

IġIK-12

3 ve 4 ile bölünebilen sayılar, 12 ile

bölünebilir.

UYARI

3 ve 4 sayıları aralarında asal olup,

12=3.4 tür.

12=2.6 olduğu halde, 2 ve 6 aralarında

asal olmadığından, 2 ve 6 için

uygulanamaz.

DNA-19

5613a8 sayısı 12 ile bölünebiliyorsa

a kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

ÇÖZÜM

4 ve 3 ile bölünebilmelidir.

4 ile bölünebilmesi için;

a8 sayısı 4 ün katı olmalıdır.

a’nın alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8

3 ile bölünebilmesi için;

5+6+1+3+a+8 = 23+a=3.k olmalıdır.

a’nın alabileceği değerler : 1, 4, 7

a’nın her iki koĢulu da sağlayan değeri

4 tür.


83

GENETĠK KOPYA-19

A321B beĢ basamaklı, rakamları farklı

doğal sayısının 12 ile bölünebilmesi için

A kaç olmalıdır?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

DNA-20

n pozitif tam sayısı, 3, 5 ve 12 ile


AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile

bölünebilir?

A)n-2 B)n-1 C)n+1 D)n+15 E)n+60

ÇÖZÜM

12=3.4 olduğundan, 12 ile bölünebilen

sayılar 3 ile bölünebilir.

5 ve 12 ile bölünebilen sayılar, 5 ve 12

aralarında asal olduğundan

5.12=60 ile bölünebilirler.

3,5 ve 12 ile bölünebilen en küçük pozitif

tam sayı 60 tır.

n sayısı aranan koĢulu sağladığından,

n+60 sayısı aranan sayıdır.


GENETĠK KOPYA-20

n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile


AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile

bölünebilir?

A)n+12 B)n+16 C)n+24

D)n+32 E)n+36

DNA-21

7 168 sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12

sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

ÇÖZÜM

Birler basamağı 8 dir.


Rakamlar toplamı:

7+1+6+8=22 dir.

22 sayısı 3’ün katı olmadığından,

bölenlerinden biri 3 değildir.

Son iki basamağı 68 dir.

68=4.17 olup, 4 ile bölünebilir.

Birler basamağı 0 veya 5 olmadığından,


3 ile bölünemediğinden, 6 bölenlerinden

biri değildir.

Son üç basamak 168 dir.

Yüzler basamağı 1 ve tek,

68+4=72

72=9.8 olup, 8 ile bölünebilir.

Rakamlar toplamı:

7+1+6+8=22 dir.

22 sayısı 9’un katı olmadığından,


(3 ile bölünemediğinden, 9 ile de

bölünemez)

Birler basamağı 0 olmadığından, 10

bölenlerinden biri değildir.

7168 için (7+6)-(1+8)=13-9=4

4 sayısı 11’in katı olmadığından,


3 ile bölünemediğinden, 12 bölenlerinden

biri değildir.

84

2, 4 ve 8 olmak üzere üç tanesi ile

bölünebilir.


GENETĠK KOPYA-21

12 345 sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12

sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-22

Dört basamaklı 8A6B sayısının 15 ile

bölünebilmesi için a+b toplamının en

büyük değeri kaç olmalıdır?

A)8 B)10 C)12 D)13 E)15

ÇÖZÜM

15=3.5 ve 3 ile 5 aralarında asal

olduğundan verilen sayının 15 ile

bölünebilmesi için,

3 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.

8A6B sayısının 5 ile bölünebilmesi için

B=0 veya B=5 olmalıdır.

8A6B sayısının 3 ile bölünebilmesi için

8+A+6+B=3k

14+A+B=3k olmalıdır.

B=0 için;

14+A+0=3k

14+A=3k

A=1,4,7 olabilir.

B=5 için;

14+A+5=3k

19+A=3k

A=2,5,8 olabilir.

A+B nin en büyük değeri;

8+5=13 olur.


GENETĠK KOPYA-22

BeĢ basamaklı A234B sayısı 15 ile

bölünebildiğine göre,

A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?

A)9 B)10 C)12 D)14 E)15

DNA-23

a b olmak üzere abab dört basamaklı

sayısı 18 ile bölünebilmektedir.

a nın alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

A)16 B)17 C)20 D)22 E)25

ÇÖZÜM



bölünebilmesi için;


2 için: b = 0, 2, 4, 6, 8 olabilir.

9 için: a+b+a+b = 2a+2b = 2(a+b)

toplamı 9 un katı olmalıdır.

b=0 ise a=9

b=2 ise a=7

b=4 ise a=5

b=6 ise a=3

b=8 ise a=1 olacaktır.


9+7+5+3+1=25 bulunur.


GENETĠK KOPYA-23

BeĢ basamaklı 234ab sayısı 18 ile


a’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

85

DNA-24

BeĢ basamaklı 9876AB sayısı 20 ile


AB iki basamaklı sayısının en büyük

değeri kaçtır?

A)20 B)40 C)60 D)80 E)90

ÇÖZÜM



bölünebilmesi için


5 için; B=0 veya B=5 olmalıdır.

4 için; AB sayısının 4 ile bölünebilmesi

gerekir. B çift olmalıdır.

B=0 için AB nin 4’e bölünebilmesi,

Son iki basamağın 00, 20, 40, 60, 80

20 nin katı olması ile mümkündür.

Sayının 20 ile bölünebilmesi için;

son iki basak 20 nin katı olmalıdır.

En büyük değeri 80 dir


GENETĠK KOPYA-24

20 ile bölündüğünde 18 kalanını veren bir

sayının, 4 ve 5 ile bölündüğünde a ve b

kalanlarını verdiği bilindiğine göre,


A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-25

23A5B beĢ basamaklı sayısı 24 ile


A, kaç farklı değer alabilir?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

ÇÖZÜM






A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.

B=6 için 56=7.8

A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı

olmalıdır.

B=2 için 52-4=48=6.8

B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.


2+3+A+5+B=10+A+B=3k olmalıdır.

A tek iken,

B=2 için; 10+A+2=12+A=3k

A=3,9

A çift iken,

B=6 için; 10+A+6=16+A=3k

A=2,8

olmak üzere A, 4 farklı değer alabilir.


GENETĠK KOPYA-25

A543B beĢ basamaklı sayısı 24 ile



kaçtır?

A)7 B)8 C)11 D)12 E)13

86

DNA-26

Dört basamaklı, 25 ile bölünebilen kaç

tane doğal sayı vardır?

A)90 B)180 C)270 D)360 E)450

ÇÖZÜM

Sayının 25 ile bölünebilmesi için

son iki basamağı: 00, 25, 50,75

olmalıdır.

abcd dört basamaklı sayısında,

a yerine 9 rakam, b yerine 10 rakam

yazılabileceğinden son iki basamağı cd

olan 9.10=90 sayı yazılabilir.

Her birinden 90 tane sayı olacağından

4.90=360 tane sayı vardır.


GENETĠK KOPYA-26

12345 sayısının 25 ile bölümünden

kalan kaçtır?

A)5 B)10 C)15 D)20 E)21

DNA-27

7a9b sayısı 36 ile bölünebiliyorsa


A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

ÇÖZÜM





4 için; 9b sayısı 4 ün katı olacağından,

b, 2 veya 6 olmalı,

9 için: 7+a+9+b=16+a+b=9k

b=2 ise 16+a+2=18+a=9k

a, 0 veya 9

b=6 ise 16+a+6=22+a=9k

a, 5 olmalıdır.

a+b=0+2=2

a+b=9+2=11

a+b=5+6=11 olacağından

en büyük değeri 11 dir.


GENETĠK KOPYA-27

3A4B sayısı 36 ile bölünebiliyorsa,

a kaç farklı değer alabilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-28

x01y sayısı 72 ile bölünebiliyorsa,

x+y toplamı kaçtır?

A)8 B)9 C)10 D)11 E)17

ÇÖZÜM





8 için; 01y, 8 in katı olmalıdır.

y=6 olmalı.

9 için; x+0+1+y=x+0+1+6=x+7=9k

x=2 olmalı.

x+y=2+6=8 olur.


87

GENETĠK KOPYA-28

A34B sayısı 72 ile bölünebiliyorsa

A+B toplamı kaçtır?

A)7 B)8 C)9 D)11 E)12

DNA-29

6 ya tam olarak bölünemeyen pozitif

tamsayılar küçükten büyüğe doğru

sıralanıyor.

Bu sıralamadaki 100. sayı


A)109 B)111 C)119 D)123 E)125

ÇÖZÜM

ArdıĢık her 6 pozitif tamsayıdan biri

6 ya tam olarak bölünebilir, diğer beĢ

tanesi bölünemez.

Bu durumda sayıları beĢer beĢer

gruplandırdığımızda;

100:5=20 tane beĢli gurup bulunur.

Her grup 6 sayı için yazıldığından

20.6=120 sayı için oluĢturulmuĢtur.

Son grup içindeki son sayı 119 dur.


GENETĠK KOPYA-29

4 e tam olarak bölünemeyen tamsayılar

küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Bu sıralamadaki 50. Sayı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)61 B)62 C)63 D)65 E)66

DNA-30

toplamının 11 ile bölümünden kalan 8 ise

a kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

Basamak sayısı çift olanlar 11 ile

bölünebilir.

Örneğin; aaaa sayısı için

(a+a)-(a+a)=0=11k

Basamak sayısı tek olanların 11 ile

bölümünden kalan a dır.

Örneğin; aaaaa sayısı için

(a+a+a)-(a+a)=a

1,3,5,7,9 ve 11 basamaklı sayıların her

birinden kalan a olduğundan,

Toplamın 11’e bölümünden kalan 6.a dır.

6.a=11k+8 olması için a=5 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-30

AĢağıdaki sayılardan kaç tanesi

11 ile bölünebilir?

I.616 II.264 III.4596

IV.4562 V.2090

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

88

KONU TESTĠ

1. 387A42 sayısı 3 ile bölünebiliyor. A

nın alabileceği kaç farklı değer

vardır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)9

2. 5A427B altı basamaklı bir doğal

sayıdır. Sayı 6 ile bölünebiliyorsa

A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

3. A < B olmak üzere, üç basamaklı

5AB sayısının 5 ile bölümünden kalan

3 tür. Bu sayının 4 ile bölünebilmesi

için A nın alabileceği değerlerin

toplamı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 21

4. 2006.2005-2004.2003 iĢleminden

elde edilen sayının

9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

5. 45672+56782 toplamının

9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

6. [3(460+x)]2 = 1971a16

eĢitliğinin doğru olması için a = ?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7. 800 ile 1000 sayıları arasında 7 ve

8 ile bölünebilen kaç doğal sayı

vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. Bir A sayısının rakamlarının sayı

değerlerinin toplamı 16 dır. Buna

göre, A2 sayısının 9 ile bölümünden

kalan kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile

bölümlerinden

kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.

abcd dört basamaklı sayısının 9 ile


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

10. a6a41 beĢ basamaklı sayısı 9 ile

bölünebiliyorsa a kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

89

11. A=66-1 sayısı aĢağıdakilerden

hangisine tam bölünemez?

A) 5 B) 7 C) 31 D)36 E) 43

12. n pozitif tamsayısının 5 ile

bölümünden kalan 3 tür.


bölünebilir?

A)n+3 B)n+2 C)n+1

D)n-1 E)n-2

13. n tamsayısı3, 5 ve 12 ile

bölünebilmektedir. n den küçük ve bu

sayılarla bölünebilen büyük sayı


A)n-3 B)n-5 C)n-12

D)n-15 E)n-60

14. 5, 7 ve 20 ile bölünebilen en

küçük pozitif tamsayı


A)35 B)70 C)140

D)200 E)280

15. n tamsayısının 8’e bölümünden

kalan 3 tür.

6.n sayısının 8’e bölümünden kalan

kaç olur?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

16. n bir tamsayı olmak üzere,

(2n+2)2 sayısının 4 ile bölümünden

kalan kaç olur?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

1.C 2.E 3.C 4.E 5.E 6.C

7.B 8.A 9.A 10.E 11.D

12.B 13.E 14.C 15.C 16.A

90

KONU TESTĠ

1. Rakamları toplamı 9 olan, 3 ile

bölünebilen iki basamaklı en küçük

doğal sayı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)27 B)33 C)72 D)18 E)90

2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile

bölünemez?

A)339 B)342 C)552

D)1111 E)672

3. {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile

yazılan, rakamları tekrarsız beĢ

basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi

4 ile bölünebilir?

A)144 B)168 C)192

D)216 E)240

4. 351n ve 352n sayıları 7 ile

bölündüklerinde aynı kalanı

vermektedir.

Buna göre n’in en küçük pozitif

tamsayı değeri kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

5. 9+92+93+ … +98

Toplamının 6 ile bölümünden kalan

kaçtır?

A)0 B)2 C)3 D)4 E)5

6. Yalnızca 1 ve 0 rakamları kullanılarak

yazılabilecek doğal sayılardan 225 ile

bölünebilen en küçük sayı kaç

basamaklıdır?

A)3 B)9 C)10 D)11 E)12

7. 6A6B dört basamaklı doğal sayısı 72

ile bölünebildiğine göre, A’nın

alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

A)10 B)12 C)14 D)16 E)18


bölünebilir?

A)3744 B)721809 C)7177788

D)88228299 E)99229288

9. aab üç basamaklı sayısı 12 ile


a < 4 olduğuna göre, b nin alabileceği

değerlerin toplamı kaçtır?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)14

10. Altı basamaklı 65a43b doğal

sayısı 12 ile bölünebilmektedir.

Buna göre, a kaç farklı değer

alabilir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

91

11. 34+35+36+37

Toplamı aĢağıdaki sayılardan hangisi

ile tam bölünemez?

A)2 B)3 C)21 D)27 E)40

12. Dört basamaklı a01b doğal sayısı

8 ve 9 ile bölünebilmektedir.

Buna göre a+b toplamı kaçtır?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)10

13. BeĢ basamaklı 12a3b doğal sayısı

a≠b için 4 ve 9 ile bölünebildiğine

göre,

a kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)6 E)7

14. Dört basamaklı abba doğal sayısı

15 ile bölünebildiğine göre, b nin

alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)9 B)12 C)18 D)23 E)30

15. BeĢ basamaklı 561xy doğal sayısı

45 ile bölünebildiğine göre, x’in en

büyük değeri kaçtır?

A)1 B)5 C)6 D)7 E)8

16. Üç basamaklı abc doğal sayısı

5 ile bölünebilmektedir. 9 ile

bölümünden kalan 1 ise, a.b çarpımının


A)15 B)24 C)48 D)49 E)56

1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B

9.E 10.E 11.C 12.D 13.A 14.B 15.C

16.D

92

KONU TESTĠ

1. {0,1,2,3,4,5} rakamları kullanılarak

yazılabilen, rakamları tekrarsız,

4 basamaklı, 3 ile bölünebilen en

büyük sayı 4,5,6,8,9 sayılarından kaç

tanesi ile bölünebilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

2. Her hangi bir tek sayının karesinin,

8’e bölümünden kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

3. 87ab6 sayısı 8 ile bölünebilen beĢ

basamaklı bir sayıdır.

a+b toplamının alabileceği en büyük

değer kaçtır?

A)12 B)14 C)15 D)16 E)17

4. A84B84 altı basamaklı sayısı 72 ile

bölünebiliyor.

A’nın alabileceği kaç farklı değer

vardır?

A)1 B)3 C)4 D)5 E)6

5. Ġlk 200 pozitif tamsayı içinde

3,4,5 ve 6 ile bölünebilen kaç tane

sayı vardır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

6. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç

tanesi 27 ile bölünebilir?

A)30 B)31 C)32 C)33 E)34

7. 9A407B altı basamaklı sayısı 12 ile


A-B farkının en büyük değeri kaçtır?

A)7 B)6 C)5 D)4 E)3

8. 5A55B beĢ basamaklı sayısı 72 ile

bölünebiliyor.

A kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)6

9. A3640548981279644B

18 basamaklı sayısı 99 ile

bölünebiliyor.


A)6 B)8 C)10 D)12 E)14

10. 150 sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10

sayılarından kaç tanesi ile

bölünebilir?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

93

11. 168 sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10

sayılarından kaç tanesi ile

bölünebilir?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8


bölünebilir?

A)673 B)694 C)745 D)756 E)827

13. 5,7 ve 20 ile bölünebilen en küçük

pozitif tam sayı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)35 B)70 C)140 D)200 E)280

14. 7, 10, 15, 21 ve 28 ile bölünebilen

beĢ basamaklı en büyük doğal sayı


A)99840 B)99900 C)99920

D)99960 E)99990

15. aaaa dört basamaklı sayısı, 6 ile


Verilen sayının, 6 ile bölümünden elde

edilen bölümün rakamları toplamı kaçtır?

A)4 B)6 C)12 D)24 E)32

16. n! sayısının 9’a bölünebilmesi için

n’in en küçük değeri kaç olmalıdır?

( n! = 1.2.3….n alınacaktır )

A)3 B)4 C)5 D)6 E)9

1.B 2.B 3.E 4.D 5.A 6.E

7.E 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D

13.C 14.D 15.A 16.D

94

TANIM

1 ve kendisinden baĢka hiç bir doğal

sayıya bölünemeyen 1 den büyük doğal

sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, … gibi.

En küçük asal sayı 2 dir.

2 sayısı dıĢında, diğer asal sayılar tek

sayıdır.

DNA-1 a,b,c asal sayılar ve a< b< c dir.

a+b+c = 22 ve a.b+b.c+c.a = 131 ise

b.c çarpımı kaçtır?

A)7 B)13 C)14 D)26 E)91

ÇÖZÜM

a+b+c = 22 toplamı çift olduğundan

sayılardan en az biri çift olmalıdır.

Bu durumda kesinlikle a =2 olmalıdır.

2.b+b.c+2.c=131

2(b+c)+b.c=131 eĢitliğinde deneme ile

b =7 ve c =13 olacağı bulunur.

b.c = 7.13 = 91 olacaktır.


GENETĠK KOPYA-1

x ve y asal sayılar olmak üzere,

2x+y=16 ise,


A)5 B)7 C)9 D)11 E)13

DNA-2 100 sayısından küçük 25 tane asal sayı

vardır. 100 den farklı kaç tane n

tamsayısı için n den küçük asal sayıların

sayısı 25 tir?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM

100 sayısından küçük en büyük asal sayı

97 dir. 100 sayısından büyük en küçük asal sayı

101 dir.

100 asal sayı değildir. 98, 99, 101 sayılarından küçük asal

sayılar 25 tanedir.


GENETĠK KOPYA-2

..., 59, 53, 47, ? , …

Asal sayı dizisinde ? yerine hangi sayı

yazılabilir?

A)37 B)41 C)43 D)45 E)46

HAZĠNE-1

a,b,c, … farklı asal sayılar,

p,q,r, … sayma sayıları olmak üzere ;

N > 1 için her bir N doğal sayısı

N = ap.bq.cr… olacak Ģekilde

tek türlü asal çarpanlarına ayrılır.

UYARI

Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük

enerji, Matematikte bir Doğal sayının

asal çarpanlara ayrılması ile eĢ değerli

olabilir.

Bu yüzden sayı problemlerinin pek

çoğunda çözüme, verilen Doğal

sayıları asal çarpanlara ayırmakla

başlamakta yarar vardır.

DNA-3 540 sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ

biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?

A)22.33.5 B)22.32.5 C)23.32.5

D)2.33.5 E)2.33.5

ASAL SAYILAR

95

ÇÖZÜM 540 sayısını, en küçük asal sayı olan 2 ile

bölmeye baĢlar ve içindeki tüm asal sayı

bölenlerini ararız.


GENETĠK KOPYA-3

72 sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ

biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?

A)2.3 B)22.3 C)22.32

D)23.32 E)23.33

DNA-4 250 sayısının en küçük iki asal çarpanının

toplamı kaçtır?

A)2 B)5 C)7 D)10 E)12

ÇÖZÜM

250=2.53 Ģeklinde çarpanlara

ayrıldığında, en küçük iki asal çarpanının

2 ve 5 olduğu görülür.

2+5=7 bulunur.


GENETĠK KOPYA-4 90 sayısının tüm asal çarpanlarının

toplamı kaçtır?

A)2 B)5 C)7 D)10 E)12

DNA-5 a,b,c asal sayılar,

a = 3b-2.13c-2 olduğuna göre ;

a+b+c toplamının alabileceği en küçük

değer kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)8

ÇÖZÜM a'nın asal sayı olması için, 3b-2 veya 13c-2

den birinin 1 olası gerekir.

Toplamın küçük olması istendiğinden;

13c-2 =1 ve 3b-2 =3 olmalıdır.

a≠ 0 için; a0=1 ve a1=a olduğundan

c-2=0, c=2, 13c-2 =130=1

b-2=1, b=3, 3b-2 =31=3

a = 3b-2.13c-2, a=3.1=3 olmalıdır.

a+b+c =3+3+2=8 bulunur.


GENETĠK KOPYA-5 a,b,c birbirinden farklı asal sayılar,

N = a2.b3.c4 eĢitliği veriliyor.

N in en küçük değeri için


A)5 B)7 C)8 D)10 E)12

DNA-6 x,y ∈ N ve x2-y2 = 13 ise

x kaç olmalıdır?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

96

ÇÖZÜM

a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;

x2-y2 = (x-y)(x+y)

x ve y doğal sayı olduğundan,

x+y ve x-y de doğal sayı olacaktır.

13 bir asal sayı olduğundan, ancak

1.13 biçiminde iki doğal sayının çarpımı

olarak yazılabilir.

x2-y2 = (x-y)(x+y)=1.13

x-y = 1 ve x+y = 13 olmak zorundadır.

Sistem çözüldüğünde;

x =7 ve y =6 bulunur.


GENETĠK KOPYA-6 a,b doğal sayıları için;

a2-b2=7 ise

b kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-7 1 den büyük asal olmayan bir tamsayının

rakamlarının toplamı, sayı asal

çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu

yazılıĢta bulunan tüm asal çarpanlarının

rakamlarının toplamına eĢit oluyorsa bu

tür sayılara Smith sayısı adı verilir.

Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına

728=2.2.2.7.13 biçiminde ayrılır.

7+2+8=2+2+2+7+1+3 olduğundan 728 bir

Smith sayısıdır.

Bu tanıma göre, aĢağıdaki sayılardan

hangisi bir Smith sayısıdır?

A)21 B)24 C)27 D)36 E)45

ÇÖZÜM

27=3.3.3

2+7=3+3+3 olduğundan 27 bir Smith

sayısıdır.

Doğru Seçenek C dir

GENETĠK KOPYA-7 Asal olmayan 1 den büyük tamsayılara

birleĢik tamsayı denir.

AĢağıdakilerden hangisi birleĢik tamsayı

değildir?

A)12 B)18 C)21 D)23 E)25

DNA-8 n doğal sayı olmak üzere,

22n+1 biçiminde yazılabilen asal sayılara

Fermat asalı denir.

AĢağıdakilerden hangisi Fermat asalıdır?

A)7 B)15 C)17 D)23 E)29

ÇÖZÜM

n=0 için;

22n+1= 220

+1 = 21+1=2+1=3

n=1 için;

22n+1= 221

+1 = 22+1=4+1=5

n=2 için;

22n+1= 222

+1 = 24+1=16+1=17 sayısı

Fermat asalıdır.


GENETĠK KOPYA-8 n doğal sayı olmak üzere,

2n -1 biçiminde yazılabilen asal sayılara

Mersenne asalı denir.

AĢağıdakilerden hangisi Mersenne

asalıdır?

A)5 B)11 C)13 D)31 E)37

97

DNA-9 a,n N+ için a =2 ve n asal sayı ise

an-1 asaldır.

23-1 = 7

25-1 =31

AĢağıdaki sayılardan hangisi asaldır?

A)225-1 B)226-1 C)227-1

D)228-1 E)229-1

ÇÖZÜM

229-1 ifadesinde n=29 asal olduğundan 229-1 sayısı da asaldır. Doğru Seçenek E dir

GENETĠK KOPYA-9

n! + 1 < p < n! + n koĢulunu sağlayan

p lerden hiçbiri asal değildir.

5!+1 < p < 5!+5 koĢulunu sağlayan bir

p asal sayısı yoktur.

12!+1 < X < 12!+12 koĢulunu sağlayan kaç

tane asalsayı vardır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

DNA-10 a ve b asal sayılar, a < b olmak üzere,

a+b=19 ise,

a kaçtır?

A)2 B)3 C)5 D)7 E)11

ÇÖZÜM

Ġki asal sayının toplamı da bir asal sayı

ise bu sayılardan küçüğü 2 dir.

a+b=19 eĢitliğinde 19 asal sayı,

a ve b de asal sayı olduğundan;

a=2 dir. Doğru Seçenek A dır.

GENETĠK KOPYA-10

k pozitif tamsayı olmak üzere,

4k+1 biçiminde yazılabilen sayılara

Hilbert asalı denir.

AĢağıdakilerden hangisi Hilbert asalıdır?

A)3 B)7 C)11 D)17 E)19

Asal sayıların birkaç güzel özelliğini de

örneklerle verelim.

2 den büyük bütün çift doğal sayılar,

iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.

36=7+29=13+23

Tüm çift doğal sayılar, iki asal sayının

farkıdır.

12=23-11

5 den büyük tüm pozitif tamsayılar,

üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir.

35=5+11+19

98

TANIM

1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal

sayılara, aralarında asaldır denir.

7 ; 13 12 ; 25

24 ; 29 4 ; 6 ; 27

Sayıları aralarında asaldır.

UYARI

ArdıĢık doğal sayılar aralarında asaldır.

14 ; 15 18 ; 19

UYARI

Aralarında asal sayıların toplamları ve

çarpımları da aralarında asaldır.

7+13=20 7.13=91

20 ve 91 sayıları aralarında asaldır.

UYARI

ArdıĢık iki sayının toplamı ile bunların

karelerinin toplamı aralarında asaldır.

4+5=9 42+52=41

9 ve 41 sayıları aralarında asaldır.

DNA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 1001 sayısı

ile aralarında asaldır?

A) 56 B) 88 C) 105 D) 128 E) 156

ÇÖZÜM

Aralarında asal olmaları için,

1 den baĢka ortak bölenleri olmamalıdır.

1001=3.7.11 olduğundan,

Bölenleri; 3, 7 ve 11 dir.

56=7.8 7 ye bölünür.

88=11.8 11 e bölünür.

105=3.35 3 e bölünür.

156=11.15 11 e bölünür.

Seçenekler içinde 3’e, 7’ye ve 11’e

bölünemeyen sayı 1001 ile aralarında

asaldır.

128 aranan sayıdır.


GENETĠK KOPYA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 72 sayısı ile

aralarında asaldır?

A)24 B)36 C)50 D)75 E)125

DNA-12 1 n 100 koĢulunu sağlayan doğal

sayılardan;

Kaç tanesi 15 sayısı ile aralarında

asaldır?

A)20 B)33 C)47 D)53 E)67

ÇÖZÜM

Verilen doğal sayılardan,

15 ile aralarında asal olanlar;

15 = 3.5 olduğundan (bölenleri 3 ve 5)

3 ve 5 sayılarından herhangi birine

bölünmemelidir. (1 den baĢka ortak

bölenleri olamaz)

Bu sayıları bulmak için biz önce 3’e ve 5’e

bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız.

Verilen 100 doğal sayı içinde,

3’e bölünebilen sayıların adedi;

ARALARINDA ASAL SAYILAR

99

100’ün, 3’e bölümünden bulunacak bölüm

kadardır.

100 = 3.33+1 den 33 tanesi 3 ile,

Benzer Ģekilde; 5 sayısı için

100 = 5.20 den 20 tanesi 5 ile,

3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile de

bölünebileceğinden;

100 = 15.6+10 dan 6 tanesi 3 ve 5 ile

bölünebilir.

Kümelerin eleman sayıları için;

s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B) olduğundan

3 veya 5 ile bölünebilen sayılar;

33+20-6 = 47 tanedir.

Ne 3’e ne de 5’e bölünemeyen, 15 sayısı

ile aralarında asal olan sayılar da;

100-47 = 53 tanedir.


GENETĠK KOPYA-12 1 n 100 koĢulunu sağlayan doğal

sayılardan;

Kaç tanesi 6 sayısı ile aralarında asaldır?

A)16 B)28 C)33 D)42 E)50

DNA-13 a ve b asal sayılar, b ve c sayıları da

aralarında asal sayılardır.

c=4a ise a+b+c toplamının en küçük

değeri kaçtır?

A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

ÇÖZÜM

a+b+c toplamının küçük olması için

sayılar küçük seçilmelidir.

En küçük asal sayı 2 olduğundan

a=2 seçildiğinde

c=4a

c=4.2=8 olur.

b=3 alındığında, kendisi asal olup,

c=8 sayısı ile de aralarında asaldır.

a+b+c=2+3+8=13 toplamın en küçük

değeridir.


GENETĠK KOPYA-13 a, b, c ardıĢık üç asal sayıdır.

a+b+c toplamı en az kaçtır?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)19

100

KONU TESTĠ

1. Sıfırdan farklı bir doğal sayının 13

katı ile 17 katı toplanıyor.

Bu toplamın en az kaç farklı asal

çarpanı vardır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 12 sayısı

ile aralarında asaldır?

A)8 B)9 C)10 D)11 E)14

3. 1≤ n ≤ 100 koĢulunu sağlayan doğal

sayılardan;

Kaç tanesi 8 sayısı ile aralarında

asaldır?

A)12 B)38 C)50 D)62 E)88

4. Rakamlarının karelerinin toplamı 1

olan sayılara Mutlu sayılar denir.

Örneğin; 13 sayısı için,

12+32=10 12+02=1

AĢağıdakilerden hangisi Mutlu

sayıdır?

A)21 B)23 C)102 D)201 E)202

5. 504 sayısının kaç tane farklı asal sayı

çarpanı vardır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)7

6. 100 den küçük ve 100 ile aralarında

asal kaç tane doğal sayı vardır?

A) 32 B) 36 C) 40 D) 45 E) 49

7. 60 ile 70 arasındaki dokuz

tamsayıdan kaç tanesi 12 sayısı ile

aralarında asaldır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

8. x ve y doğal sayıları için;

x2-y2=13 ise,


A)12 B)13 C)14 D)26 E)28

9. x ve y pozitif tamsayıları için;

x.y =13 ise, x+y toplamı kaçtır?

A)13 B)14 C)16 D)20 E)26

101

10. x asal sayısı için 17x+1 ifadesi

tam kare ise,

x kaçtır?

A) 15 B) 17 C) 19 D) 23 E) 29

11. 87!+88! Sayısının en büyük asal

sayı böleni kaçtır?

A)87 B)88 C)89 D)90 E)91

12. Aralarında asal üç sayının çarpımı

720 dir.

Bu üç sayının toplamının en küçük

değeri kaçtır?

A)22 B)27 C)30 D)45 E)62

13. 7, 5 ve 3 sayıları,

a.b+c=22 eĢitliğinde yerlerine

yazıldığında, a,b,c sıralaması için


A)7,5,3 B)7,3,5 C)3,5,7

D)3,7,5 E)5,7,3

14. 1 ve 0 rakamlarını kullanarak

yazılabilecek asal sayının rakamları

toplamı kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

15. a,b ve c farklı rakamlar, ab ve bc

aralarında asal iki basamaklı

sayılardır.

ab+bc toplamının en küçük değeri

için;

ab-bc farkı kaçtır?

A)7 B)8 C)9 D)10 E)11

16. 18, 45, 79, 90, 97

Sayılarından kaç tanesi asal sayıdır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C

7.B 8.B 9.B 10.B 11.C 12.B

13.C 14.B 15.B 16.B

102

DOĞAL SAYI BÖLENLERĠ

Bu bölümde; bir doğal sayıyı asal

çarpanlara ayırmanın bize sağladığı

baĢka kolaylıkları inceleyeceğiz.

Örneğin;

N = 120 doğal sayısının kaç tane doğal

sayı böleni vardır?sorusunu çözmek için;

1,2,3,4,5,6, ….., 120 diyerek tüm

bölenlerini bulmak oldukça zamanımızı

alacaktır.

HAZĠNE-1

N = ap.bq.cr… sayısının,

(p+1)(q+1)(r+1)… tane doğal sayı böleni

vardır.

IġIK-1

Doğal sayı bölenlerinin toplamsal tersleri

de N sayısının bir böleni olacağından;

N’in tam sayı bölenlerinin sayısı, doğal

sayı bölenlerinin iki katı kadardır.

DNA-1

120 sayısının kaç tane doğal sayı böleni

vardır?

A)12 B)13 C)14 D)15 E)16

ÇÖZÜM

N = 120 = 23.3.5 olarak yazıldığında;

kural gereği

(3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2=16 tane Doğal sayı

böleni vardır.

Ġlk soru olduğu için bir kez bu bölenleri

tek tek yazalım ve biraz da irdeleyelim.

Bölenler;

1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,12

0 olmak üzere 16 tanedir.


GENETĠK KOPYA-1 72 sayısının kaç tane doğal sayı böleni

vardır?

A)3 B)4 C)6 D)7 E)12

DNA-2

A=150.60.90 sayısının kaç tane doğal

sayı böleni vardır?

A)64 B)80 C)100 D)125 E)150

ÇÖZÜM

A=150.60.90=(2.3.52)(22.3.5)(2.32.5)

=21+2+1.31+1+2.52+1+1=24.34.54

ġeklinde asal çarpanlara ayrıldığında;

(4+1)(4+1)(4+1)=5.5.5=125 tane doğal

sayı böleni vardır.


GENETĠK KOPYA-2 N=122 sayısının kaç tane doğal sayı

böleni vardır?

A)3 B)4 C)6 D)13 E)15

DNA-3

1001 ile aralarında asal abc üç basamaklı

sayısının 12 tane pozitif tamsayı böleni

varsa abcabc altı basamaklı sayısının kaç

tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A)24 B)36 C)48 D)72 E)96

103

ÇÖZÜM

abcabc sayısını çözümleyelim.

abcabc =

= 100000a+10000b+1000c+100a+10b+c

= 100100a+10010b+1001c

= 1001(100a+10b+c)

= 1001.abc = 7.11.13.abc

abc sayısının 12 tane pozitif tam sayı

böleni olduğundan, asal çarpanlarının

üslerinin birer fazlasının çarpımı 12 dir.

abcabc = 7.11.13.abc sayısının, pozitif

tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için;

tüm asal çarpanlarının üslerinin birer

fazlası çarpılacağından

(1+1)(1+1)(1+1).12 = 96 tane pozitif tam



GENETĠK KOPYA-3 1200…0 sayısının 96 tane doğal sayı

böleni olduğu bilindiğine göre;

verilen sayının sondan kaç basamağı

O dır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

DNA-4

1 800 sayısının doğal sayı bölenlerinden

kaç tanesi 10 un katıdır?

A)12 B)14 C)16 D)18 E)20

ÇÖZÜM

1800 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

1800 = 23.32.52 olur.

Bölenlerinin 10 un katı olması için;

A=10.B=(2.5).B Ģeklinde yazılabilmelidir.

Bu yüzden;

1800 = 23.32.52 = 2.5.(22.32.5)

yazdığımızda; 10 çarpanı dıĢında

22.32.5 in (2+1)(2+1)(1+1) =3.3.2= 18

tane doğal sayı böleni vardır.

Bu 18 tane bölen 10 ile çarpıldığında;

1800 ün 10 un katı olan 18 tane böleni

bulunur.


GENETĠK KOPYA-4

120 sayısının doğal sayı bölenlerinden

kaç tanesi tek sayıdır?

A)4 B)6 C)12 D)18 E)24

DNA-5

7! Sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç

tanesi tek sayıdır?

A) 4 B) 6 C) 19 D) 12 E) 24

ÇÖZÜM

7! =1.2.3.4.5.6.7 = 2.3.22.5.2.3.7

=24.32.5.7

Tek sayıların içinde 2 çarpanı

olmayacağından;

7! = 24(32.5.7) ifadesinde parantez

içindeki sayının doğal sayı bölenleri

tektir.

(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 tane tek doğal



104

GENETĠK KOPYA-5

10! Sayısının kaç tane tamsayı böleni

vardır?

A)128 B)256 C)270

D)512 E)540

DNA-6

N2=3602 sayısının doğal sayı

bölenlerinden kaç tanesi N sayısından

küçüktür?

A)24 B)48 C)52 D)96 E)105

ÇÖZÜM

N2=(23.32.5)2=26.34.52 olduğundan;

N2 sayısının (6+1)(4+1)(2+1)=7.5.3=105

tane doğal sayı böleni vardır.

Bu 105 tane bölenden biri N olduğundan

geriye kalan 105-1=104 tane böleninden

Yarısı N den küçük, yarısı N den

büyüktür.

6+1 4+1 2+1 −1

2=

7.5.3−1

2=

105−1

2=

104

2= 52

tanedir.


GENETĠK KOPYA-6

A=250 doğal sayısının karesinin doğal

sayı bölenlerinden kaç tanesi A dan

büyüktür?

A)6 B)7 C)8 D)10 E)12

DNA-7

Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının

toplamı, kendisine eĢit olan pozitif tam

sayıya mükemmel sayı denir.

6 , 28 , 496 ,… gibi.

6 nın bölenleri ; 1,2,3,6 1+2+3=6

28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14,28

1+2+4+7+14=28

2n-1 asal ise 2n-1(2n-1) mükemmel

sayıdır.

AĢağıdaki sayılardan hangisi hem

mükemmel sayı, hem de üçgen sayıdır?

A)7 B)21 C)28 D)36 E)45

ÇÖZÜM

28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14,28

1+2+4+7+14=28 Mükemmel sayı.

1+2+3+4+5+6+7=28 Üçgen sayı.


GENETĠK KOPYA-7


toplamı, kendisinden büyük olan pozitif

tam sayıya güçlü sayı denir.

12, 30 , 36 , … gibi.

12 nin bölenleri ; 1,2,3,4,6,12

1+2+3+4+6=16 > 12

30 un bölenleri; 1,2,3,5,6,10,15,30

1+2+3+5+6+10+15=42 > 30

En küçük tek abundant sayı 945 tir.

AĢağıdaki sayılardan hangisi güçlü sayı

değildir?

A)12 B)15 C)18 D)20 E)24

105

DNA-8


toplamı, kendisinden küçük olan pozitif

tam sayıya güçsüz sayı denir.

8, 15, 35, … gibi.

8 in bölenleri ; 1,2,4,8 1+2+4=7 < 8

15 in bölenleri;1,3,5,15 1+3+5=9 < 15

AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı

değildir?

A)4 B)5 C)6 D)8 E)16

ÇÖZÜM

4 ün bölenleri: 1,2,4

1+2=3 < 4

5 in bölenleri: 1,5

1 < 5

6 nın bölenleri ; 1,2,3,6

1+2+3=6 Mükemmel sayı.

8 in bölenleri: 1,2,4,8

1+2+4=7 < 8

16 nın bölenleri: 1,2,4,8,16

1+2+4+8=15 < 16


GENETĠK KOPYA-8

Kendisinden küçük tüm doğal sayılar

içinde en çok doğal sayı böleni olan

sayılara çok bölenli sayı denir.

6, 12, 24, …. gibi.

AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı

değildir?

A)4 B)6 C)12 D)16 E)24

Yukarıda, bölenlerinin sayısı ve toplamı

ile doğal sayılar arasında yapılan

tanımlar, ders kitaplarında olmadığı

halde geçmiĢ yıllarda ÖSS sorusu olarak

sorulmuĢtur.

Bu yüzden, konunun ayrıntılarına

değinmiĢ olduk.

DNA-9

360 sayısının pozitif tamsayı

bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

ÇÖZÜM

360=23.32.5

olarak asal çarpanlarına ayrıldığında;

22=4, 32=9 ve (2.3)2=62=36

0lmak üzere 3 tane tam kare böleni var.


GENETĠK KOPYA-9

x Z+ için x3 sayısı 40 000 in bir

bölenidir.

x in en büyük değeri kaçtır?

A)10 B)12 C)15 D)20 E)25

DNA-9

Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı 180

cm2 olan kaç farklı dikdörtgen vardır?

A)6 B)8 C)9 D)12 D)18

106

ÇÖZÜM

Kenar uzunlukları a ve b olan

dikdörtgenin alanı a.b dir.

a.b=180

eĢitliğinde a ve b sayıları, 180 in

bölenleridir.

180=22.32.5 olduğundan,

(2+1)(2+1)(1+1)=3.3.2=18 tane

(a,b) pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir.

Kenar uzunlukları (a,b) ve (b,a) olan

dikdörtgenler aynı sayılacağından:

18:2=9 farklı dikdörtgen vardır.


GENETĠK KOPYA-9

1 ile 1 000 arasında en çok doğal sayı

böleni olan sayı aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)720 B)750 C)840 D)864 E)960

DNA-10

72 sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı

kaçtır?

A)0 B)60 C)72 D)123 E)132

ÇÖZÜM

72=23.32 olduğundan,

72 sayısının 4.3=12 tane doğal sayı

böleni ve bu bölenlerin negatif olanları

ile birlikte 12+12=24 tane tamsayı

böleni vardır.

(-72)+(-36)+(-24)+ … +24+36+72=0 dır.

Bir doğal sayının tüm tamsayı

bölenlerinin toplamı 0 dır.


GENETĠK KOPYA-10

28 sayısının, asal sayı bölenleri dıĢında

tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

A)-28 B)-9 C)O D)9 E)19

HAZĠNE-2

N = ap.bq.cr… sayısının doğal sayı

bölenlerinin toplamı;

(1+a+a2+…+ap)(1+b+b2+…+bq)(1+c+c2+…+cr)..

= . . … dir.

DNA-11

144 sayısının doğal sayı bölenlerinin

toplamı kaçtır?

A)0 B)144 C)223 D)288 E)367

ÇÖZÜM

144 sayısını asal çarpanlara ayıralım.

144=122=(22.3)2=24.32

5.4=20 tane doğal sayı böleni var.

Bu bölenlerin toplamı;

(1+2+22+23+24)(1+3+32)=31.13=223

Veya doğrudan;

24+1−1

2−1.32+1−1

3−1=

32−1

1.

27−1

2= 31.13 = 223


GENETĠK KOPYA-11

625 sayısının doğal sayı bölenlerinin

toplamı kaçtır?

A)125 B)156 C)225

D)250 E)624

1

11

a

a p

1

11

b

bq

1

11

c

c r

107

HAZĠNE-3

N = ap.bq.cr… sayısı kendisinden küçük

ap.bq.cr…(1- )(1- )(1- )… tane sayı ile

aralarında asaldır.

DNA-12

20 sayısı kendisinden küçük kaç tane

doğal sayı ile aralarında asaldır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

ÇÖZÜM

20 = 4.5=22.5 olduğundan;

22 . 5 1−1

2 1−

1

5 = 22 . 5.

1

2.

4

5= 8

tane sayı ile aralarında asaldır.

YADA !!!

Ne 2 ne de 5 ile bölünmemelidir.

20:2=10 tanesi 2 ile,

20:5=4 tanesi 5 ile,

20:10=2 tanesi de hem 2, hem de 5 ile


10+4-2=12 tanesi 2 veya 5 ile

bölünebildiğinden;

20-12=8 tanesi 20 sayısı ile aralarında

asaldır.


GENETĠK KOPYA-12

72 sayısı kendisinden küçük kaç tane

doğal sayı ile aralarında asaldır?

A)12 B)18 C)24 D)30 E)36

HAZĠNE-4

N = ap.bq.cr… sayısının doğal sayı

bölenlerinin çarpımı;

dir.

DNA-13

A=25.52 ve A sayısının bütün doğal sayı

bölenlerinin çarpımı B ise Ax=B eĢitliğini

sağlayan x sayısı kaçtır?

A)3 B)4 C)6 D)9 E)12

ÇÖZÜM

A’nın doğal sayı bölenlerinin çarpımını

B = = 8006.3 = 80018

= 8009 olarak buluruz.

Ax=8009

x =9 bulunur.


GENETĠK KOPYA-13

512 sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin

çarpımı kaçtır?

A)252 B)245 C)243 D)242 E)236

DNA-14

Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı sayıca

çevresine eĢit olan dikdörtgenlerden

alanı en büyük olan kaç birim karedir?

A)9 B)12 C)16 D)18 E)24

ÇÖZÜM

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını a ve b

ile gösterelim.

Alan = a.b

Çevre = 2(a+b)

a.b = 2(a+b) verilmiĢ.

a.b = 2a+2b

a.b-2b=2a

b(a-2)=2a

b = 2𝑎

𝑎−2=

2 𝑎−2 +4

𝑎−2= 2 +

4

𝑎−2

a

1

b

1

c

1

)...1)(1)(1( rqpN

)12)(15(800

108

a ve b, kenar uzunluğu gösterdiği için

pozitif tam sayı olmalıdır.

b nin pozitif tam sayı olması için,

a-2 nin 4’ün böleni olması gerekir.

4’ün bölenleri; -4, -2, -1, 1, 2, 4

a-2=-4 için; a=-2 olamaz.

a-2=-2 için; a=0 olamaz.

a-2=-1 için; a=1, b=-2 olamaz.

a-2=1 için; a=3, b=6 ve a.b=18

a-2=2 için; a=4, b=4 ve a.b=16

a-2=4 için; a=6, b=3 ve a.b=18

alanın en büyük değeri; kenarlardan biri

3 birim, diğeri 6 birim olduğunda 18

birim kare olarak bulunur.


GENETĠK KOPYA-14

a ve b pozitif tam sayılar ve

a+ 𝟔

𝒃 = 10

olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler

toplamı kaçtır?

A)12 B)14 C)16 D)24 E)28

DNA-15

12

100

n ifadesinin en küçük doğal sayı

değeri için n doğal sayısı kaç olmalıdır?

A)1 B)3 C)13 D)20 E)25

ÇÖZÜM

12

100

n ifadesinin bir doğal sayı olması

için, 2n-1 in bölen olması gerekir.

100 ün bölenleri:1,2,4,5,10,20,25,50 ve

100 dür.

En küçük doğal sayı olması için de

paydanın büyük olması gerekir.

100 ve 50 için, n doğal sayı değildir.

2n-1=25 n=13 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-15 𝟔

𝐧+𝟏 ifadesini tamsayı yapan kaç tane n

tamsayısı vardır?

A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

DNA-16 180.x = y3 eĢitliğini sağlayan

en küçük pozitif y sayısı kaçtır?

A)30 B)90 C)150 D)270 D)300

ÇÖZÜM

180 sayısını asal çarpanlara ayıralım.

180 = 22.32.5 olur.

x = 2a.3b.5c alınırsa;

180.x = (22.32.5)(2a.3b.5c)

=2a+2.3b+2.5c+1 = y3 olacağından

a+2, b+2, c+1 sayıları

3 ün katı olmalıdır.

a =1 , b =1 , c =2 için:

x = 2.3.52 = 150 ve

y = 2.3.5 = 30 bulunur.


GENETĠK KOPYA-16

1260.x = N3 eĢitliğinde

x ve N pozitif tamsayılardır.

En küçük x sayısı kaçtır?

A) 210 B) 420 C) 630

D) 2450 E) 7350

109

DNA-17 x, y, A, B pozitif tam sayıları için;

90.x = A2 ve 90.y = B3 ise


A)300 B)310 C)320 D)360 E)400

ÇÖZÜM

90=2.32.5

2.32.5.x=A2

x=2.5=10 olmalıdır.

2.32.5.y=B3

y=22.3.52=300 olmalıdır.

x+y=10+300=310 bulunur.


GENETĠK KOPYA-17 n,x,y pozitif tam sayıları için;

14.n = x2 ve 21.n = y3 ise

n’in en küçük değeri kaçtır?

A)2.3.7 B)22.33.55 C)23.32.7

D)23.32.7 E)23.32.75

DNA-18

m ve n sayma sayıları olmak üzere;

n! + 1 = m2

eĢitliğini sağlayan en küçük

m+n toplamı kaçtır?

A)7 B)9 C)11 D)15 E)16

ÇÖZÜM

n = 1,2,3,4, … değerleri eĢitlikte

kullanıldığında,

n=4 için m=5

n=5 için m=11 ve

n=7 için m=71 bulunur.

m+n=5+4=9 toplamın en küçük değeridir.


GENETĠK KOPYA-18 a.10.12.15 çarpımı bir doğal sayının

kübüdür.

a sayısının en küçük pozitif tamsayı

değeri kaçtır?

A)8 B)12 C)15 D)18 E)24

110

KONU TESTĠ

1. a, b ve c pozitif tamsayılar,

a2+b2=c2 ise,

(a,b ve c Pisagor Sayıları iken)

AĢağıdaki sayılardan hangisi

(c-b)(c+b) çarpımının pozitif tamsayı

bölenlerinin sayısı olamaz?

A)9 B)17 C)25 D)36 E)45

2. 2006 sayısının n sayısına

bölümünden kalan 6 dır.

KoĢulu sağlayan kaç tane n pozitif


A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20

3. Ġlk beĢ asal sayının toplamı kaçtır?

A)26 B)27 C)28 D)29 E)30

4. 9! Sayısının kaç tane pozitif tamsayı

böleni vardır?

A)16 B)80 C)160 D)240 E)512

5. Sekizer tane pozitif tamsayı böleni

olan üç farklı doğal sayının toplamı en

az kaçtır?

A)72 B)94 C)118 D)124 E)136

6. 12 tane pozitif tamsayı böleni olan en

büyük iki basamaklı pozitif tamsayı

kaçtır?

A) 84 B) 90 C) 92

D) 96 E) 99

7. Ġki basamaklı tam kare sayılardan

hangisinin 9 tane doğal sayı böleni

vardır?

A)25 B)36 C)49 D)64 E)81

8. Dört tane doğal sayı böleni olan en

küçük doğal sayı A , altı tane doğal

sayı böleni olan en küçük doğal sayı B

ise A+B toplamı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

9. A=6x.2x-2 doğal sayısının 40 tane

tamsayı böleni olduğuna göre,

A kaçtır?

A)108 B)144 C)208

D)216 E)432

10. x.y=840

eĢitliğini gerçekleyen kaç tane (x,y)

pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir?

A)16 B)32 C)48 D)64 E)96

111

11. m ve n pozitif tamsayılar olmak

üzere,

60.m=n3 eĢitliğini gerçekleyen m’nin


A)45 B)50 C)90 D)225 E)450

12. AĢağıdaki sayılardan hangisinin

kendisinden farklı pozitif tamsayı

çarpanlarının toplamı, kendisinden

küçüktür?

A)12 B)30 C)36 D)45 E)60

13. x ve y pozitif tamsayılardır.

𝑦 =4𝑥+3

𝑥 eĢitliğini sağlayan

y değerlerinin toplamı kaçtır?

A)5 B)7 C)12 D)17 E)19

14. 504 sayısının asal çarpanlara

ayrılmıĢ biçimi aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)2.3.7 B)22.33 C)22.32.7

D)22.33.7 E)23.32.7

15. 10 ile bölünemeyen a ve b pozitif

tam sayıları için

a.b = 10 000 ise a+b toplamı

kaçtır?

A)520 B)641 C)1258

D)2504 E)5002

16. m ve n pozitif tamsayılar olmak

üzere; m2+49 = n2 dir.

n-m kaç farklı değer alabilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)7

1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D

7.B 8.D 9.E 10.B 11.E

12.D 13.C 14.E 15.B 16.A

112

ORTAK BÖLENLERĠN EN BÜYÜĞÜ:

Ġki yada daha fazla sayma sayısının her

birini tam bölen en büyük sayma sayısına

En Büyük Ortak Bölen denir. (O.B.E.B)

HAZĠNE-1

Verilen sayılar asal çarpanlarına

ayrıldığında;

asal çarpanlarından ortak olanlarının en

küçük üslülerinin çarpımı, sayıların

O.B.E.B’ini verir.

DNA-1

168 ve 180 sayılarının ortak

bölenlerinden en büyüğü kaçtır?

A)2 B)3 C)6 D)12 E)18

ÇÖZÜM

Öncelikle verilen sayıları asal

çarpanlarına ayırmak gerekir.

168=23.3.7

180=22.32.5

Ortak asal çarpanları; 2 ve 3’tür.

23 ve 22 den küçük olanı 22,

3 ve 32 den küçük olanı 3’tür.


bölenlerinden en büyüğü; 22.3=12 dir.

O.B.E.B(168, 180)=22.3=12 dir.


UYARI

168 = 12.14

180 = 12.15

12 Sayısı, 168 ve 180 sayılarını

bölen ortak bölenlerin en büyüğüdür.

180-168 = 12

Sayılarınfarkı, ortak bölene tam

olarak bölünür.

Bölümler: 14 ve 15 aralarında

asaldır.

GENETĠK KOPYA-1



A)4 B)9 C) 12 D)24 E)36

ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ:

Ġki yada daha fazla sayma sayısının

hepsinin katı olan en küçük sayma

sayısına En küçük ortak kat denir.

(O.K.E.K)

HAZĠNE-2

Verilen sayılar asal çarpanlarına

ayrıldığında;

asal çarpanlarından ortak olanlarının en

büyük üslüleri ile ortak olmayanlarının

tümünün çarpımı, sayıların O.K.E.K’ini

verir.

DNA-2

12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından


A)60 B)90 C)120 D)180 E)240

113

ÇÖZÜM

Öncelikle verilen sayıları asal

çarpanlarına ayırmak gerekir.

12=22.3

18=2.32

30=2.3.5

Ortak asal çarpanlar; 2 ve 3’tür.

22 ve 2 den büyük olanı 22,

3 ve 32 den büyük olanı 32 dir.

Ortak olmayan çarpan; 5

12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından

en küçüğü; 22.32.5=180 dir.

O.K.E.K(12, 18, 30)=180


UYARI

180 = 12.15

180 = 18.10

180 = 30.6

180 sayısı, 12, 18 ve 30

sayılarınınkatı olan en küçük sayıdır.

Bölümler: 15, 10 ve 6 sayıları


GENETĠK KOPYA-2

168 ve 180 sayılarının ortak katlarından


A)12 B)360 C)1440

D)2520 E)2800

IġIK-1

A ve B gibi iki sayının çarpımı bu

sayıların OBEB ve OKEK lerinin

çarpımına eĢittir.

DNA-3

a ve b sayıları için;

OKEK(a,b) =108 ve OBEB(a,b) =3 ise

a.b çarpımı kaçtır?

A)108 B)111 C)216 D)324 E)972

ÇÖZÜM

Sayıların çarpımı, OBEB ve OKEK lerinin

çarpımına eĢit olduğundan;

a.b = OBEB(a, b).OKEK(a, b)

a.b = 3.108 = 324 bulunur. Doğru Seçenek D dir.

GENETĠK KOPYA-3

OBEB(6,21)=A ve OKEK(6,21)=B ise,

A.B çarpımı kaçtır?

A)36 B)42 C)84 D)126 E)252

IġIK-2

Aralarında asal sayıların OKEK’i bu

sayıların çarpımı , OBEB’i ise 1 dir.

DNA-4

24 ve 25 sayılarının ortak bölenlerinin

en büyüğü ile ortak katlarının en

küçüğünün toplamı kaçtır?

A)49 B)491 C)600

D)601 E)720

ÇÖZÜM

24 ve 25 sayıları 1 den baĢka ortak

bölenleri olmadığından aralarında

asaldır.(ardıĢık doğal sayılar aralarında

asaldır)

114

OBEB(24,25)=1

OKEK(24,25)=24.25=600

OBEB(24,25)+OKEK(24,25)=1+600=601


GENETĠK KOPYA-4

8 ve 21 sayılarının ortak bölenlerinin en

büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün

toplamı kaçtır?

A)168 B)169 C)216 D)217 E)321

DNA-5

5 ile x aralarında asal sayılar,

OKEK(5x, 5+x) = 520 ise

x in değeri aĢağıdakilerden hangisidir?

A)6 B)8 C)12 D)16 E)20

ÇÖZÜM

Aralarında asal sayıların, toplamları ve

çarpımları da aralarında asal olduğundan;

5x ve 5+x sayıları da aralarında

asaldır.

OKEK(5x, 5+x) = 5x.(5+x) = 520

x.(5+x) = 104

x2+5x-104=0

(x-8)(x+13)=0

x-8=0 x1 = 8

x+13=0 x2=-13

-13 doğal sayı olmadığından;

x=8 olur.


GENETĠK KOPYA-5

A sayma sayısıdır.

OKEK(A, A+1)+A = 48 ise A kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

IġIK-3

Hem A ve hem de B gibi iki doğal sayıya

da bölünebilen sayılar , bunların OKEK’i

ile bölünebilen sayılardır.

DNA-6

x sayısı 30, 45, 75 sayılarını tam

bölüyor,

12, 18, 24 sayıları da y doğal sayısını

tam bölüyor.

x’in en büyük değeri ile,

y’nin en küçük değerinin toplamı kaçtır?

A)72 B)87 C)102 D)117 E)132

ÇÖZÜM

3O, 45 ve 75 sayılarını tam bölen en

büyük sayı, bunların OBEB’idir.

30=22.3.5

45=32.5

75=3.52 olduğundan;

x = OBEB(30, 45, 75) = 3.5=15

y doğal sayısı, 12, 18 ve 24 sayılarına

bölünebilen en küçük sayı ise bunların

OKEK’idir.

12=22.3

18=2.32

24=23.3

y=OKEK(12,18,24)=23.32=72

x+y = 15+72 = 87 bulunur.


GENETĠK KOPYA-6

A sayma sayısı 12 , 18 , 30 sayılarına tam

bölünmekte , B doğal sayısı bu sayıları

tam bölmektedir.

nin en küçük değeri kaçtır?

A)12 B)15 C)24 D)30 E)36

B

A

115

DNA-7

Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen

halılar ile kare Ģeklinde bir alan

kaplanacaktır.

En az kaç halı gerekir?

A)4 B)6 C)8 D)9 E)12

ÇÖZÜM

Kare Ģeklindeki alanın kenar uzunlukları

8 ve 12 nin katı olmalıdır.

8=23

12=22.3 olduğundan

OKEK(8,12)=23.3=8.3=24 bulunur.

!!! Dikdörtgenlerden kare oluşturuldu.

Karenin alanı=24.24=576

Bir halının alanı=8.12=96

Halı sayısı=𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı

𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı=

576

96= 6 olur.


GENETĠK KOPYA-7

15 cm. ve 20 cm. kenar uzunluğu olan

seramikler ile kare Ģeklinde bir yüzey

oluĢturulacaktır.

En az kaç seramik gerekir?

A)7 B)9 C)12 D)15 E)20

DNA-8

Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen

Ģeklindeki bir salon kare Ģeklindeki eĢ

halılar ile kaplanacaktır.

En az kaç halı gerekir?

A)3 B)6 C)8 D)9 E)12

ÇÖZÜM

Salonun kenar uzunlukları, kare

Ģeklindeki halıların kenar uzunluklarına

bölünebilmelidir.

8=23

12=22.3 olduğundan

OBEB(8,12)=22=4 bulunur.

8:4=2 12:4=3

2.3=6 tane halı gerekir.

!!! Dikdörtgen karelere bölündü.

Salonun alanı=8.12=96 m2.

Bir halının alanı=4.4=16 m2.

Halı sayısı = 𝑆𝑎𝑙𝑜𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı

𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı=

96

16= 6 olur.


GENETĠK KOPYA-8

Kenar uzunlukları 15 m. ve 20 m. olan

dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçenin

çevresine eĢit aralıklarla ağaçlar

dikilecektir. KöĢelere de ağaçların

dikildiği bu ağaçlandırmada en az kaç

ağaç dikilebilir?

A)7 B)12 C)14 D)16 E)20

116

DNA-9

91 ve 126 cm. uzunluğundaki iki ayrı

demir çubuk eĢit uzunlukta parçalara

ayrılacaktır.

Çubuklar ayrı ayrı en az kaç yerden

kesilmelidir?

A)28 B)29 C)30 D)31 E)32

ÇÖZÜM

Kesilecek parçaların uzunlukları,

91 ve 126 nın böleni olmalıdır.

91=7.13

126=7.18

OBEB(91,126)=7

Kesilecek parçaların uzunlukları 7 Ģer

cm. olmalıdır.

91 cm. uzunluğundaki demir çubuk

91=7.13 olduğundan 12 yerden,

126 cm. uzunluğundakidemir çubuk

126=7.18 olduğundan 17 yerden

kesilmelidir.

12+17=29 kesim yapılacak ve 31 parça

oluĢacaktır.


UYARI

Ağaç dikme sorularında;

15 m.uzunluğundaki bir yola,

5 m. aralıklarla 4 ağaç dikileceği

(15=5.3

bölüm=3

ağaç sayısı=3+1=4)

Parça kesme sorularında;

15 cm.lik çubuğu, 5 cm.lik parçalara

ayırmak için, 2 yerden kesim yapılacağı

(15=5.3

Bölüm=3

Kesim sayısı=3-1=2)

Gözardı edilmemelidir.

GENETĠK KOPYA-9

Ġzmirden Ankaraya 9 ve 12 saatte bir

otobüs gönderen iki Ģirket aynı saatte

ilk otobüslerini gönderiyor. Ġkinci kez

birlikte aynı saatte otobüs

gönderdiklerinde toplam kaç sefer

yapılmıĢ olur?

A)5 B)7 C)8 D)9 E)12

DNA-10

1040 ve 2030 sayılarının kaç tane pozitif

tam sayı ortak böleni vardır?

A)1271 B)1800 C)2000

D)2501 D)2701

ÇÖZÜM

Ortak bölenlerin sayısı, ortak

bölenlerinden en büyüğünün pozitif ortak

bölenlerinin sayısı kadardır.

1040=(2.5)40=240.540

2030=(22.5)30=260.530

OBEB(1040,2030)=240.530

(40+1)(30+1)=41.31=1271

Tane pozitif ortak böleni vardır.


GENETĠK KOPYA-10

24 ve 30 sayılarının kaçtane ortak

pozitif tamsayı böleni vardır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

117

DNA-11

5, 7 ve 9’a bölündüğünde sırasıyla 1, 3 ve

5 kalanını veren en küçük pozitif tamsayı

kaçtır?

A)311 B)315 C)319 D)323 E)327

ÇÖZÜM

5’e bölündüğünde 1 kalanını veren sayı;

A=5x+1 Bölüm özdeĢliği

7’ye bölündüğünde 3 kalanını veren sayı;

A=7y+3

9’a bölündüğünde 5 kalanını veren sayı;

A=9z+5 biçiminde yazılabilir.

EĢitliklerin her iki tarafına

4 eklendiğinde;

A+4=5x+5=5(x+1)

A+4=7y+7=7(y+1)

A+4=9z+9=9(z+1) elde edilir.

Bu eĢitlikler bize A+4 sayısının 5,7 ve 9’a

bölünebildiğini gösterir.

A+4 sayısı, 5,7 ve 9’un OKEK’idir.

(veya OKEK’in bir katıdır)

OKEK(5,7,9)=315

A+4=315

A=311 bulunur.


GENETĠK KOPYA-11

Bir sınıftaki öğrenciler dörderli, beĢerli

ve altıĢarlı sıralandıklarında sırasıyla 3,

4 ve 5 öğrenci artmaktadır. Bu sınıfta en

az kaç öğrenci vardır?

A) 59 B) 60 C) 61 D) 62 E) 63

DNA-12

99, 141 ve 204 sayılarını böldüğünde aynı

kalanı veren pozitif tamsayının rakamları

toplamı kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)8

ÇÖZÜM

Ortak böleni A ile gösterdiğimizde;

99 = A.B+K Bölüm özdeĢliği

141 = A.C+K

204 = A.D+K elde edilir.

EĢitliklerini taraf tarafa çıkardığımızda;

141-99 = A(C-B) = 42 = 21.2 ve

204-141 = A(D-C) = 63 = 21.3

olduğundan A sayısı 42 ve 63 ün OBEB’i

dir.

OBEB(42,63)=21

A = 21 dir. Rakamları toplamı 3 tür.


UYARI

Verilen sayıların ortak böleninin,

farklarının ortak böleni olduğuna dikkat

ediniz.

GENETĠK KOPYA-12

22022 ve 20222 sayıları aynı üç

basamaklı sayıya bölündüğünde aynı

kalanı vermektedir.

En büyük bölen ile ortak kalanın farkı

kaçtır?

A)422 B)478 C)900

D)1216 E)1800

118

DNA-13

Ortak katlarının en küçüğü 60 olan farklı

iki sayının toplamı en çok A ve en az B

olduğuna göre,


A)60 B)90 C)107 D)120 E)132

ÇÖZÜM

OKEK(a,b)=60

a+b toplamının en büyük olması için;

a=60

b=30 olmalıdır.

A=a+b=60+30=90 olur.

Sayılardan biri OKEK, diğeri OKEK

in yarısıdır.

a+b toplamının en küçük olması için;

a=5

b=12 olmalıdır.

B=a+b=5+12=17 olur.

Çarpımları OKEK olan aralarında

asal, biri birine en yakın iki sayı.

A+B=90+17=107 olur.


GENETĠK KOPYA-13

Ortak katlarının en küçüğü 45 olan farklı

iki sayının toplamı en çok A ve en az B

olduğuna göre,


A)60 B)74 C)82 D)90 E)105

DNA-14

Ortak bölenlerinin en büyüğü 12 olan

farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?

A)24 B)30 C)36 D)42 E)48

ÇÖZÜM

OBEB(a,b)=12

a+b toplamının en küçük olması için;

a=12

b=24 olmalıdır.

Sayılardan biri OBEB, diğeri OBEB

in iki katıdır.

a+b=12+24=36 bulunur.


GENETĠK KOPYA-14

Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan

farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?

A)30 B)45 C)60 D)75 E)90

DNA-15

5! ve 6! sayılarının ortak bölenlerinden

en büyüğü kaçtır?

A)5 B)6 C)5! D)6! E)7.6!

ÇÖZÜM

5!=1.2.3.4.5

6!=1.2.3.4.5.6

1.2.3.4.5 sayısı her ikisinin de bölenidir.

OBEB(5!,6!)=5! dir.


119

GENETĠK KOPYA-15

5! ve 6! sayılarının ortak katlarından en

küçüğü kaçtır?

A)5 B)6 C)5! D)6! E)7.6!

DNA-16

217 ve 218 sayılarının ortak katlarından


A)2 B)18 C)217 D)218 E)3.217

ÇÖZÜM

218=2.217 olarak düĢünüldüğünde;

218 sayısı, 217 sayısının da katıdır.

OKEK(217,218)=218

(ortak asal çarpanlardan üssü büyük

olan)


GENETĠK KOPYA-16

217 ve 218 sayılarının ortak bölenlerden

en büyüğü kaçtır?

A)2 B)18 C)217 D)218 E)3.217

DNA-17

OBEB(x,192) =32 ve x< 192 ise x’in

alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A)160 B)192 C)224 D)256 E)288

ÇÖZÜM

192=32.6

x=32.a

6 ve a sayıları aralarında asal olmalıdır.

a=1 ve a=5 olabilir.

x=32 veya x=160

32+160=192 bulunur.


GENETĠK KOPYA-17

24 ve a sayılarının OBEB’i 6 dır.

0 < a < 50 olduğuna göre a kaç farklı

değeri alabilir?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

DNA-18

Biri diğerini bölmeyen a ve b doğal

sayıları için,

OBEB(a,b) = 12 ve OKEK(a,b) = 432

olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?

A)108 B)124 C)148 D)156 E)164

ÇÖZÜM

a.b=OBEB(a,b).OKEK(a,b) IġIK-1

a.b=12.432=(22.3)(24.33)=26.34

a=OBEB(a,b).x=12.x=22.3.x

b=OBEB(a,b).y=12.y=22.3.y

x ve y sayıları aralarında asal. DNA-1

eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;

(22.3.x)( 22.3.y)= 26.34

24.32.x.y=26.34

x.y=22.32

x=22 ve y=32 olmalıdır.

Bu durumda;

a=22.3.x=22.3.22=48

b=22.3.y=22.3.32=108

a+b=48+108=156 bulunur.


120

GENETĠK KOPYA-18

OBEB(a,b) = 6 ve OKEK(a,b) = 36

olduğuna göre,

a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?

A)24 B)30 C)36 D)42 E)48

DNA-19

a ile b aralarında asal iki sayıdır.

OKEK(a,b)=345 ve a+ ise

b sayısı aĢağıdakilerden hangisidir?

A)5 B)15 C)23 D)36 E)69

ÇÖZÜM

a ile b aralarında asal iki sayı olduğundan

OKEK(a,b)=a.b dir. IġIK-2

345=a.b

345=1.345

345=3.115

345=5.96

345=15.23

EĢitliklerinden,

a=23 ve b=15 sayıları verilen eĢitliği

sağlar.

b=15 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-19

a ve b aralarında asal iki sayma sayısı,

OBEB(a,b) = x ve OKEK(a,b) =y ise

değeri kaçtır?

A)1 B)2 C)x D)y E)x.y

DNA-20


OBEB(a,b) =20 ise

OBEB(a4, b3) değeri kaçtır?

A)20 B)24.53 C)26.53

D)26.54 E)28.54

ÇÖZÜM

a=20.x=22.5.x

b=20.y=22.5.y DNA-1

a4=(22.5)4.x4=28.54.x4

b3=(22.5)3.y3=26.53.y3

x ve y aralarında asal olduğundan

HAZĠNE-1 den;

OBEB(a4, b3) = 26.53 dir.


GENETĠK KOPYA-20


OBEB(a,b) =2 ise

OBEB(a2, b3) değeri kaçtır?

A)2 B)4 C)6 D)8 E)10

DNA-21

a, b ve c sayıları için;

OBEB(a,b) = 4

OBEB(b,c) = 6 ve

OBEB(a,c) = 10 ise


A)20 B)32 C)50 D)62 E)70

ÇÖZÜM

OBEB(a,b) = 4 ise;

a=4.x ve b=4.y DNA-1

OBEB(b,c) = 6 ise;

b=6.m ve c=6.n

2760

b

?1.

yx

ba

121

OBEB(a,c) = 10 ise;

a=10.p ve c=10.k

eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;

a=4.x=10.p =20 =OKEK(4,10) IġIK-3

b=4.y=6.m =12 =OKEK(4,6)

c=6.n=10.k =30 =OKEK(6,10) olur.

a+b+c=20+12+30=62 bulunur.


GENETĠK KOPYA-21

a, b ve c sayıları için;

OBEB(a,b) = 2

OBEB(b,c) = 4 ve

OBEB(a,c) = 6 ise


A)18 B)22 C)24 D)26 E)30

DNA-22

4,5,6,7 ve 8 e bölündüğünde hep

3 kalanını veren 3 ten büyük en küçük

pozitif tamsayının rakamları toplamı

kaçtır?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

ÇÖZÜM

A=4x+3

A=5y+3

A=6z+3

A=7m+3

A=8n+3 Bölüm özdeĢliği

A-3=4x

A-3=5y

A-3=6z

A-3=7m

A-3=8n

EĢitliklere dikkat edildiğinde,

A-3 sayısının 4,5,6,7 ve 8 e bölünebildiği

görülür.

Bu durumda;

A-3=OKEK(4,5,6,7,8)=840

A=843

8+4+3=15 bulunur.


GENETĠK KOPYA-22

1000 den büyük, 8, 9 ve 10 ile

bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük


A)1080 B)1082 C)1172

D)1442 E)1632

DNA-23

a, b ve c pozitif tamsayılar,

c=a+b dir.

a ve b nin en büyük ortak böleni

4 olduğuna göre,

AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift

sayıdır?

A) c

4 B)

a−b

4 C)

c−a

4 D)

c.b

4 E)

c+b

4

ÇÖZÜM

a=4x ve b=4y DNA-1

c=a+b=4x+4y

a, b ve c nin bu değerleri seçeneklerde

yerlerine yazıldığında; c.b

4=

4x+4y 4y

4= 4x + 4y y = 4 x + y y

Kesinlikle çift sayıdır.


YADA

a, b ve c yerine 8, 12 ve 20 gibi uygun

değerler verilerek seçenekler denenir.

122

GENETĠK KOPYA-23

a, b ve c pozitif tamsayılar,

a=b+c dir.

b ve c nin en büyük ortak böleni

3 olduğuna göre,

AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle 6 ile

bölünebilir?

A)a B)b C)a+b D)a+c E)a+b+c

DNA-24

a, b ve c doğal sayılar,

a≠b≠c≠1

OKEK(a,b,c)=30 olduğuna göre,


kaçtır?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)15

ÇÖZÜM

30=a.x

30=b.y

30=c.z DNA-2

a, b ve c nin küçük olması için,

x, y ve z nin büyük ve aralarında asal

olması gerekir.

x=15, y=10 ve z=6 için

a=2, b=3 ve c=5 bulunur.

a+b+c=2+3+5=10 olur.


GENETĠK KOPYA-24

a, b ve c doğal sayılarının ortak

katlarından en küçüğü OKEK(a,b,c)=30

olduğuna göre,

a+b+c toplamının en büyük değeri

kaçtır?

A)45 B)50 C)55 D)60 E)75

DNA-25

a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.

OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=22

olduğuna göre,


A)14 B)18 C)22 D)26 E)30

ÇÖZÜM

n sayma sayısı olmak üzere,

a=2n ve b=2n+2 dir.

a=2.n ve b=2(n+1)

n, n+1 ardıĢık doğal sayılar olup


a ve b sayılarının ortak bölenlerinden en

büyüğü 2 dir.

Ardışık çift sayıların ortak

bölenlerinden en büyüğü 2 dir.

a ve b sayılarının ortak katlarından en

küçüğü 2n(n+1) dir.


2n(n+1)-2=22

n(n+1)=12

n=3

a=2n=2.3=6

b=2n+2=2.3+2=8 bulunur.

a+b=6+8=14 olur.


GENETĠK KOPYA-25

a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.

OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=22

olduğuna göre,


A)14 B)18 C)22 D)26 E)30

123

DNA-26

a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.


olduğuna göre,


A)8 B)12 C)16 D)20 E)24

ÇÖZÜM

n, sayma sayısı olmak üzere,

a=2n-1 ve b=2n+1 dir.

Ardışık tek sayılar aralarında asal

olduğundan,

OBEB(a,b)=1 ve OKEK(a,b)=a.b dir.


a.b+1=64

(2n-1)(2n+1)=63

n=4 olur.

a=2n-1=2.4-1=7

b=2n+1=2.4+1=9 dur.

a+b=7+9=16 bulunur.


GENETĠK KOPYA-26

a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.


olduğuna göre,


A)8 B)12 C)16 D)20 E)24

DNA-27

OKEK(63, 84, N)=126

KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif


A)12 B)13 C)14 D)15 E)16

ÇÖZÜM

63=(2.3)3=23.33

84=(23)4=212

126=(22.3)6=212.36

HAZĠNE-2 den;

N sayısı 36 çarpanını içermek zorundadır.

Diğer çarpan 20,21,22, ... ,212 olmak

üzere 13 farklı N sayısı vardır.


GENETĠK KOPYA-27

OKEK(66, 88, N)=1212

KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif


A)12 B)13 C)16 D)24 E)25

124

KONU TESTĠ

1. 12a3b2c4 , 5abcd , 6ac6

ifadelerinin OKEK’i hangisidir?

A) ac B) ac6 C) a3b2c6d

D) 12a3b2c6d E) 60a3b2c6d

2. 24x4y ve 30x3y5 sayılarının OBEB’i

axbyc ise,


A)10 B)19 C)129 D)139 E)140

3. a, b, c, d farklı asal sayılar olmak

üzere,

a4b3c2d, a7b5c3d ve a5b4c3d2

sayılarının OKEK’inin kaç tane pozitif

tamsayı böleni vardır?

A)120 B)210 C)576

D)654 E)1080

4. 95 ve 152 sayılarının ortak

katlarından en küçüğü kaçtır?

A)304 B)760 C)1520

D)14440 E)28880



A)4 B)6 C)7 D)9 E)12

6. 5!, 15! ve 25! Sayılarının ortak

bölenlerinden en büyüğü


A)5 B)5! C)15! D)25 E)25!

7. 44, 4! ve 44 sayılarının ortak

katlarından en küçüğü


A)8448 B)16896 C)33792

D)270336 E)322128

8. OBEB(1001, 2007)=X

OKEK(1001, 2007)=Y ise

X.Y çarpımı kaçtır?

A)2009007 B)2009006

C)2009005 D)2009004

E)2009008

9. 5 ile bölündüğünde 2 kalanını,

7 ile bölündüğünde 3 kalanını veren

en küçük iki pozitif tamsayının

toplamı kaçtır?

A)34 B)69 C)70 D)104 E)139

10. x ve y birbirinden farklı doğal

sayılar ve

OBEB(x, y)=21 olduğuna göre,

x+y toplamı en az kaçtır?

A)22 B)42 C)63 D)84 E)99

125

11. 3, 5 ve 6 sayılarına

bölündüğünde hep 2 kalanını veren en

küçük doğal sayının rakamları toplamı

kaçtır?

A)1 B)5 C)11 D)12 E)14

12. 85, 98 ve 123 sayılarını

böldüğünde, sırasıyla

1, 2 ve 3 kalanını veren en büyük


A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 15

13. OBEB(288, 720)=A

OKEK(288, 720)=B ise,


A)1456 B)1520 C)1584

D)1728 E)1840

14. OBEB(3,6,8)=X

OKEK(3,6,8)=Y ise,

X.Y çarpımı kaçtır?

A)18 B)24 C)36 D)48 E)144

15. Toplamları 46 olan a ve b pozitif

tamsayılarının en küçük ortak katı

385 tir.

Buna göre 𝑎 − 𝑏 kaçtır?

A)12 B)20 C)24 D)25 E)26

16. Ortak katlarının en küçüğü 105

olan farklı iki sayının toplamı en çok

kaçtır?

A)15 B)108 C)112

D)140 E)210

1.E 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.A

8.A 9.B 10.C 11.B 12.D 13.C

14.B 15.C 16.D

126

KONU TESTĠ

1. x ve y aralarında asal doğal

sayılardır.

OBEB(x2, y3).OKEK(x2, y3)=500

olduğuna göre,


A)3 B)5 C)6 D)7 E)54

2. Ġki ayrı otobüs Ģirketi A ve B

kentleri arasında sefer yapmaktadır.

ġirketlerden biri 12 günde bir, diğeri

15 günde bir sefer yapmaktadır.

Bu Ģirketler aynı gün sefer yaptıktan

en az kaç gün sonra tekrar aynı gün

sefer yaparlar?

A)24 B)30 C)60 D)75 E)90

3. OKEK(X,52)=624 olduğuna göre, X’in

en küçük pozitif tamsayı değeri

kaçtır?

A)42 B)48 C)68 D)96 E)144

4. a.b=150 ve OBEB(a,b)=5 ise

OKEK(a,b) kaçtır?

A)20 B)25 C)30 D)40 E)50

5. a.b=160 ve OKEK(a,b)=40 ise

OBEB(a,b) kaçtır?

A)4 B)5 C)8 D)10 E)20

6. Ortak katlarının en küçüğü 42 olan

farklı iki sayının toplamı en az

kaçtır?

A)7 B)10 C)12 D)13 E)15

7. 34

,5

6,

7

8 sayıları ile tam bölünebilen üç

basamaklı en büyük sayı kaçtır?

A)105 B)210 C)315

D)840 E)945

8. X ve 16 sayılarının OBEB’i 16 dır.

X<100 olduğuna göre, X’in alabileceği

değerlerin toplamı kaçtır?

A)32 B)64 C)160

D)336 E)356

9. 18, 36, 54 sayılarına bölündüğünde

13 kalanını veren üç basamaklı en

küçük doğal sayı kaçtır?

A)108 B)121 C)134 D)147 E)160

10. 1059, 1417 ve 2312 sayıları

d>1 sayısına bölündüğünde aynı

r kalanını vermektedir.

d-r farkı kaçtır?

A)12 B)13 C)14 D)15 E)16

127

11. 3’e bölündüğünde 2,

8’e bölündüğünde 7 kalanını veren bir

sayı, 12’ye bölündüğünde kalan kaç

olur?

A)1 B)5 C)8 D)9 E)11

12. A,B∈Z ve A > B olduğuna göre,

aĢağıdakilerden hangisi yanlıĢtır?

A)1≤OBEB(A,B)≤A-B

B)1≤OBEB(A,B)≤B

C)A≤OKEK(A,B) ≤A.B

D)A.B=OBEB(A,B).OKEK(A,B)

E)OKEK(A,B) < OBEB(A,B)

13. 72 sayısının doğal sayı

bölenlerinin kümesi A ile

gösterildiğinde ;

m,n A için m|n (m, n’i böler)

koĢulunu sağlayan kaç tane (m,n)

ikilisi yazılabilir?

A)12 B)24 C)27 D)36 E)60

14. Hem 6 ya, hem de 8 e bölünebilen

doğal sayılar aĢağıdakilerden hangisi

ile daima bölünebilir?

A)5 B)9 C)11 D)16 E)24

15. 10 a bölündüğünde 9,

9 a bölündüğünde 8,

8 e bölündüğünde 7, ... ,

2 ye bölündüğünde 1 kalanını veren

en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

A)2509 B)2519 C)2529

D)2539 E)2549

16. a ve b doğal sayılar,

a=2b+8 ve 𝑏

8 tamsayı ise,

OBEB(a,b) kaçtır?

A)4 B)6 C)8 D)12 E)16

1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D

7.A 8.D 9.B 10.D 11.E 12.E

13.E 14.E 15.B 16.C

128

KONU TESTĠ

1. 48, 64 ve 160 sayılarının ortak

bölenlerinin en büyüğü ile ortak

katlarının en küçüğünün toplamı

kaçtır?

A)824 B)888 C)976

D)1042 E)1210

2. 2 ye, 4 e ve 5 e bölündüğünde

1 kalanını veren, 3 e tam bölünebilen

100 den küçük en büyük tamsayının

rakamları çarpımı kaçtır?

A)6 B)8 C)9 D)12 E)24

3. a ve b sayıları için:

OKEK(a,b)=4.OBEB(a,b) ve a.b=36 ise


A)9 B)13 C)15 D)16 E)24

4. 242 sayısı X’e bölündüğünde 8

kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde

9 kalanını vermektedir.

242 ve 698 sayılarının toplamının

aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise

ortak bölen kaçtır?

A)11 B)13 C)17 D)19 E)23


bölenlerinden en büyüğü


A)1 B)2 C)22007

D)22008 E)24015

6. n pozitif tamsayı olmak üzere; 𝑛

12+

𝑛

18 ifadesinin alabileceği en

küçük tamsayı değeri kaçtır?

A)2 B)3 C)5 D)6 E)7

7. a ve b pozitif tamsayılarının en büyük

ortak böleni

EBOB(a,b)=1 dir.

a.b=400 olduğuna göre,

kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi

bulunabilir?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

8. 3, 7 ve 8 ile kalansızbölünebilen

2000 den küçük sayıların en

büyüğünün onlar basamağındaki

rakam kaçtır?

A)2 B)4 C)6 D)7 E)8

129

9. 100! ve 102! Sayılarının ortak

bölenlerinin en büyüğü kaçtır?

A)2 B)100 C)10200

D)100! E)102!



A)168 B)252 C)504

D)1008 E)1260

11. 6 lık, 12 lik ve 24 lük paketlerde

satılan sodalardan 90 tane almak

isteyen bir kiĢi en az kaç paket

almalıdır?

A)4 B)5 C)6 D)8 E)15

12. 12, 15 ve 21 sayılarının ortak


A)180 B)210 C)390

D)420 E)530

13. 3700 sayısının en az kaç fazlası

4, 5 ve 6 sayıları ile kalansız

bölünebilir?

A)10 B)20 C)30 D)40 E)50

14. Kenar uzunlukları 6 cm. ve 10 cm.

olan dikdörtgenler ile bir kare

oluĢturulmak isteniyor. En az kaç dikdörtgen kullanılmalıdır?

A)10 B)12 C)15 D)16 E)20

15. 8 e bölündüğünde 2, 12 ye

bölündüğünde 6 kalanını veren iki

basamaklı en büyük doğal sayının


A)8 B)9 C)10 D)12 E)15

16. OBEB(30,36)+OKEK(30,36)


A)180 B)186 D)172

D)180 E)192

1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C

7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D

13.B 14.C 15.B 16.B

130

TANIM

m , n , p , q N için ;

(m,n) (p,q) m+q=n+p

bağıntısıyla belirli denklik sınıflarından

her birine bir tamsayı denir.

(0,0) ≈(1,1) ≈(2,2) ≈…≈(n,n) = 0

(1,0) ≈(2,1) ≈(3,2) ≈…≈ (n,n-1) = 1

(2,0) ≈(3,1) ≈…… = 2

(n,0) ≈ …… = n

(0,1) ≈ (1,2) ≈ ….. = -1

(0,2) ≈(1,3) ≈ … = -2

(0,n) ≈ ….. = -n

Z = { …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Z = Z-∪ {0}∪ Z+

Tamsayılar kümesi, Negatif

tamsayılar, sıfır sayısı ve Pozitif

tamsayılardan oluşur.

Tam sayılarda, dört iĢlemi yaparken

sonucun iĢaretine dikkat edilmelidir.

Birkaç örnekle hatırlayalım.

7 + 12 = 19

(-7) + (– 12) = -7-12 = -19

Pozitif tamsayıların toplamı pozitif,

Negatif tamsayıların toplamı

negatiftir.

7 + (– 12) =7-12= -5

(-7) + 12 = -7+12=5

Ters işaretli tamsayıların toplamının

işareti, mutlak değerce büyük olanın

işaretidir. ( 𝟑 = 𝟑 , −𝟑 = 𝟑 )

7.12 = 84

(-7).(-12) = 84

Aynı işaretli tamsayıların çarpımı

pozitiftir.

7.(-12) = -84

(-7).12 = -84

Ters işaretli tamsayıların çarpımı

negatiftir.

DNA-1

7-3(7-3)


A)-5 B)-2 C)0 D)5 E)16

ÇÖZÜM Önce parantez içindeki iĢlem yapılır.

7-3=4

7-3(7-3) = 7-3.4 = 7-12 = -5


GENETĠK KOPYA-1

9 – (5 – 2)


A)-6 B)-5 C)4 D)5 E)6

DNA-2

9 - (-3+2)


A)-9 B)-8 C)8 D)10 E)12

ÇÖZÜM 9 - (-3+2) = 9-(-1) = 9+1 =10


TAMSAYILAR

131

GENETĠK KOPYA-2

7-(-4+3)


A)-8 B)-7 C)7 D)8 E)9

DNA-3

3-4(5-6)


A)-1 B)1 C)6 D)7 E)8

ÇÖZÜM

3-4(5-6) = 3-4(-1) = 3+4 = 7


GENETĠK KOPYA-3

2-4(6-8)


A)-10 B)-8 C)-4 D)8 E)10

DNA-4

Dokuz tane ardıĢık tamsayının toplamı

9 ise bu sayıların çarpımı kaçtır.

A)-9 B)-1 C)0 D)1 E)9

ÇÖZÜM

Aritmetik orta (sayıların toplamının, sayı

adedine bölümü), ortadaki sayıyı

vereceğinden;

9:9 = 1 ortadaki sayıdır.

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

1’den önce gelen tamsayı 0 dır.

Çarpanlardan biri 0 olduğundan çarpımın

sonucu 0 dır.


GENETĠK KOPYA-4

Yedi tane ardıĢık tamsayının toplamı -7

ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?

A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1

HAZĠNE-1

Bir çarpımın sonucu 0 ise; çarpanlardan

en az biri 0 dır.

a.b = 0 ise a=0 veya b=0 dır.

DNA-5

ArdıĢık 2007 tane tam sayının çarpımları

0 olsun.

Bu sayılardan en küçüğü en az kaç

olabilir?

A)-2007 B)-2006 C)0

D)2006 E)2007

ÇÖZÜM Çarpımlarının 0 olması için çarpanlardan

biri 0 olmalıdır.

ArdıĢık sayılardan en büyüğünü 0 alırsak,

en küçüğü -2006 olur.


GENETĠK KOPYA-5

ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımları

0 olsun.

Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

olabilir?

A)-2007 B)-2006 C)0

D)2007 E)2008

132

DNA-6

1-x , 2-x , 3-x , … , 100-x

sayılarının;

x = 18 için çarpımları kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 9 D) 18 E) 180

ÇÖZÜM

Verilen sayı dizisinde bulunan 18-x de;

x yerine 18 yazıldığında x-18=18-18=0

olacaktır.

Diğer sayılar ne olursa olsun,

terimlerden biri 0 olduğundan çarpım

0 dır.


GENETĠK KOPYA-6

x+1, x+2, x+3, .... , x+2008

sayılarının;

x=-1990 için çarpımları kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 9 D) 18 E)2008

DNA-7

ardıĢık üç negatif tek sayıdır.

iĢleminin sonucu nedir?

A) −1

2 B) −

1

3 C)0 D)

1

3 E)

1

2

ÇÖZÜM

ArdıĢık üç negatif tamsayı olarak;

x=-5, y=-3, z=-1 alındığında,

x− y + z

x + y + z= −5 − −3 + (−1)

−5 + −3 + (−1)

−5 + 3 − 1

−5− 3 − 1=−3

−9= −3 . 1

−3 . 3=

1

3


YADA

x, y ve z ardıĢık sayıları için;

x+z

2= y ve x+z = 2y özelliği kullanılır.

x−y+z

x+y+z=

2y−y

2y+y=

y

3y=

1

3 bulunur.

GENETĠK KOPYA-7

a, b, c ardıĢık üç pozitif çift tamsayıdır.

a + b + c

a− b + c


A)1 B)2 C)3 D)4 E)6

HAZĠNE-2

Ġki (veya daha fazla) Doğal sayının

toplamı 0 ise; toplamdaki terimlerin her

biri 0 dır.

a,bN için

a+b=0 ise a=0 ve b=0 dır.

DNA-8

x ve y tamsayılar olmak üzere;

(x-3)2+(y+2)2=0 ise

4x+5y toplamının değeri kaçtır?

A)0 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM

Bir tamsayının karesinin alabileceği

en küçük değer sıfırdır.

(x-3)2+(y+2)2=0 ise

(x-3)2=0 x-3=0 x=3

(y+2)2=0 y+2=0 y=-2

olmalıdır.

4x+5y=4.3+5(-2)=12-10=2 bulunur.


zyx ,,

?

zyx

zyx

133

GENETĠK KOPYA-8

a ve b tamsayılar olmak üzere,

(a+4)2+(b+1)2=0 ise


A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1

DNA-9

A=5-(a+2)2

Ġfadesinin alabileceği en büyük değer

kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

ÇÖZÜM

Farkın büyük olabilmesi için

(a-2)2 ifadesi en küçük değeri olan

0 değerini almalıdır.

(a+2)2=0 a+2=0 a=-2 için,

A=5-(a+2)2=5-(-2+2)2=5-0=5 olur.


GENETĠK KOPYA-9

B=(b-3)2-4

Ġfadesinin alabileceği en küçük değer

kaçtır?

A)-7 B)-4 C)-1 D)3 E)7

DNA-10

x2+y2 4 koĢulunu sağlayan kaç tane

farklı (x,y) tamsayı ikilisi vardır?

A)4 B)5 C)12 D)13 E)16

ÇÖZÜM

x2+y2 toplamının alabileceği tüm

değerleri araĢtıralım.

x2+y2 = 0 (0, 0)

x2+y2 = 1 (-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)

x2+y2 = 2 (-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)

x2+y2 =3 yok.

x2+y2 =4 (-2, 0), (2, 0), (0, -2), (0, 2)

olmak üzere 13 tanedir.


Analitik çözüm: Analitik düzlemde ;

x2+y2 =4 çemberi içinde veya üzerinde

koordinatları tamsayı olan noktalar.

(O merkezli, 2 birim yarıçaplı çember)

GENETĠK KOPYA-10

x2+y2 > 1

koĢulunu sağlamayan kaç tane farklı

(x,y) tamsayı ikilisi vardır?

A)1 B)4 C)5 D)9 E)13

Ġlerideki bölümlerde ayrıntılı olarak

iĢlenecek olmasına karĢın, sıklıkla

kullanılan bazı özdeĢlikleri burada

hatırlatalım.

IġIK-1

a2-b2=(a-b)(a+b) iki kare farkı

(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2 tam kare

134

DNA-11

a2-b2 = 124 eĢitliğini sağlayan kaç

(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM a2-b2 = (a-b)(a+b) = 124

124=2.2.31

124’ü; 1.124, 2.62, 4.31

olarak çarpanlara ayırdığımızda;

Bir tek 2.62 de çarpanların toplamı çift

sayıdır.

Bu tür tamsayı sorularında;

çarpanlar toplamı çift olmalıdır.

Pozitif tamsayılarda çözüm

arandığından; a-b çarpanı küçük,

a+b çarpanı büyük alınmıştır.

Bu durumda;

a-b=2 ve

a+b=62 olur.

a=b+2 ve b+2+b=62 den

a=32 ve b=30 bulunur.

(32,30) ikilisi eĢitliği sağlar.


GENETĠK KOPYA-11

a2-b2 = 15 eĢitliğini sağlayan kaç

(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-12

x2-y2 = 44 eĢitliğini sağlayan kaç

(a, b) tam sayı ikilisi vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM x2-y2=(x-y)(x+y)=44

44=2.2.11

44’ü;

1.44, 2.22, 4.11, 11.4, 22.2, 44.1

olarak çarpanlara ayırdığımızda;

2.22 ve 22.2 çarpanlarının toplamı çift

sayıdır.

(-2)(-22) ve (-22)(-2) çarpımlarının da

koĢulları sağladığı göz önüne alındığında

x-y=2 x-y=22

x+y=22 x+y=2

x-y=-2 x-y=-22

x+y=-22 x+y=-2

denklem sistemlerinin çözümünden;

(12,10), (12,-10), (-12,10) ve (-12,-10)

olmak üzere dört tane tamsayı ikilisi

bulunabilir.


GENETĠK KOPYA-12

Farkları 1 den büyük x ve y tamsayıları

için,

x2-y2=187 olduğu bilindiğine göre,

x.y çarpımı kaçtır?

A)30 B)36 C)40 D)42 E)54

135

DNA-13

a, b, c, d, e farklı tamsayılar olmak üzere

(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45 ise

a+b+c+d+e toplamı kaçtır?

A)5 B)17 C)25 D)27 E)30

ÇÖZÜM

45 sayısı farklı 6 tamsayının çarpımı

biçiminde;

45=(-1).1.(-3).3.5 yazılabilir.

6-a=-1 ⟹ a=7

6-b=1 ⟹ b=5

6-c=-3 ⟹ c=9

6-d=3 ⟹ d=3

6-e=5 ⟹ e=1

a+b+c+d+e=7+5+9+3+1=25 bulunur.

Doğru Seçenek C dir

GENETĠK KOPYA-13

x ve y tamsayıları için:

x.y=15 ise

x+y toplamı kaç farklı değer alabilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)6

DNA-14

{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı

x, y ve z elemanları için

3x-2y-z

Ġfadesinin en büyük değeri kaçtır?

A)10 B)11 C)12 D)14 E)15

ÇÖZÜM

Ġfadenin büyük değer alması için;

katsayıları pozitif olanlar büyük, negatif

olanlar küçük seçilmelidir.

En büyük eleman 2 olduğundan x=2,

En küçük eleman -2 olduğundan y=-2 ve

z=-1 seçilmelidir.

(y’nin katsayısı -2 olduğundan, y’yi daha

küçük seçtik)

3x-2y-z=3.2-2(-2)-(-1)=6+4+1=11

bulunabilecek en büyük değerdir.


GENETĠK KOPYA-14

{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı

x, y ve z elemanları için

3x-2y-z

Ġfadesinin en küçük değeri kaçtır?

A)-15 B)-14 C)-13 D)-11 E)-10

DNA-15

2x+7y = 1 000 eĢitliğini sağlayan kaç

tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?

A)69 B)70 C)71 D)72 E)73

ÇÖZÜM

Bilinmeyen sayısının, denklem

sayısından fazla olduğu sorularda;

bilinmeyenlerden birine değerler

verilerek, diğerleri aranır.

y’ye çift değerler vererek araĢtırmaya

baĢlayalım;

y=2 için x=493

y=4 için x=486

y=6 için x=479

...

y=140 için x=10

y=142 için x=3 bulunur.

71 tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır


y'nin aldığı değerler, x’in katsayısı

olan 2 şer artarken,

x’in aldığı değerler, y’nin katsayısı

olan 7 şer azalmaktadır.

136

Analitik çözüm: Analitik düzlemde

1. Bölgede 2x+7y = 1000 doğrusu

üzerinde koordinatları tamsayı olan

noktalar.

GENETĠK KOPYA-15

3x+5y=501 denklemini sağlayan kaç tane

(x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?

A)31 B)32 C)33 D)34 E)35

DNA-16

a ve b negatif tamsayılar olmak üzere,

2a-5b=0 olduğuna göre,


A)-3 B)-4 C)-5 D)-6 E)-7

ÇÖZÜM

Toplamın büyük olması için, a ve b büyük

değerler almalıdır.

2a-5b=0

2a=5b

a'nın alabileceği değerler, b’nin

katsayısının katları,

b’nin alabileceği değerler, a’nın

katsayısının katlarıdır.

Negatif tamsayılar içinde koĢulu

sağlayan en büyük sayılar;

a=-5 ve b=-2 dir.

a+b=(-5)+(-2)=-5-2=-7 bulunur.


GENETĠK KOPYA-16

x ve y tamsayıları için,

2x+3y=0 ise

x+y toplamının en küçük pozitif değeri

kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

DNA-17

a ve b tamsayıları için,

a2-b2=24 ise

a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?

A)-25 B)-12 C)-11 D)-10 E)-6

ÇÖZÜM

a2-b2=(a-b)(a+b)=24

24=1.24=2.12=3.8=4.6=6.4=8.3=12.2=24.1

ve bu çarpanların negatif olanlarından,

toplamları çift olanlar

karĢılaĢtırıldığında

a+b toplamının enküçük değeri -12 dir.


GENETĠK KOPYA-17

m ve n pozitif tamsayılar olmak

üzere;

m2+49 = n2 dir.

n-m kaç farklı değer alabilir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)7

137

KONU TESTĠ

1. 4-5[4+8(7-9)]


A)-20 B)-12 C)24 D)36 E)64

2. Çarpımları 342 olan ardıĢık iki

tamsayıdan en küçüğü kaçtır?

A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19

3. a-b-[a-3b-(2a-5b)]

ĠĢleminin eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)a-b B)2a-b C)a-2b

D)2a-3b E)3a-2b

4. x, y ve z farklı pozitif tam sayılar

olmak üzere,

x+y2+z3 toplamının


A)7 B)8 C)9 D)10 E)12

5. x=-2 ve y=4 için =?

Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?

A)-1 B)0 C)1 D)2 E)4

6. x=-2 için

x{x[x(x+1)+1]+1}+1

Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?

A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

7. x ve y pozitif tamsayıları için;

7x+11y=100 ise


A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

8. (x+1) + (x-2) + (x+3) + (x-4) + …+

(x+99) + (x-100)


A) x-50 B) x+50 C) 100x-50

D) 100x+50 E) x+500

9. (x-3)(3x+4) = 0 Denkleminin Tam sayılardaki çözüm

kümesi aĢağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) {3} C) {−4

3 }

D) {-3} E) {3, −4

3 }

10. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak

üzere,

3a-2b+c=0 ise


kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

yx

xyx

43

22

138

11. a,b,c birbirinden farklı pozitif

tamsayılardır.

Buna göre, 3a+2b+c=30 denklemini

sağlayan en büyük c sayısı kaçtır?

A)20 B)21 C)22 D)23 E)24

12. Karelerinin farkı 72 olan pozitif

iki tamsayının toplamı en az kaçtır.

A)6 B)8 C)9 D)12 E)17

13. Çarpımları 342 olan ardıĢık iki

Pozitif tamsayıdan küçüğü kaçtır?

A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19

14. 2008 tane pozitif tamsayısının

çarpımı 2008 dir.

Bu sayıların toplamının en büyük

değeri kaçtır?

A)2007 B)2008 C)2009

D)4015 E)4016

15. x2y-y3 = 105 eĢitliğini sağlayan

(x,y) pozitif tam sayıları için


A)7 B)8 C)9 D)15 E)17

16. 6 dan küçük kaç tane x tamsayısı

için 6 + x ifadesi bir tamsayı

gösterir?

A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5

1.E 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C

7.C 8.C 9.B 10.B 11.D 12.D

13.D 14.D 15.D 16.D

139

TANIM

K = {(p:q) p,q Z ve q 0 }

kesirler kümesinde ;

(p:q) (r:s) p.s=q.r

denklik bağıntısının ayırdığı denklik

sınıflarından her birine bir rasyonel sayı

denir.

(p, q) 𝜖 K ifadesi 𝑝

𝑞 Ģeklinde gösterilir.

p’ye kesrin payı, q’ya kesrin paydası

denir. 𝑝

𝑞 kesri, p bölü q Ģeklinde okunur.

IġIK-1 p

q=

r

s ⇔ p. s = q. r

DNA-1

01

3

a

ba ise

aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle

doğrudur?

A) a=-1 B) a=3 C) b -1

D) b 4 E) a+b 3

ÇÖZÜM Kesrin 0’a eĢit olması için payının;

a+b-3=0 olması gerekir.

Kesrin tanımlı olması için paydanın;

a+1≠ 0 olması gerekir.

a+1 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1 olmalıdır.

a=-1 olsa idi;

a+b-3=-1+b-3=b-4=0 ⇒ b=4 olurdu.

a ≠ -1 olacağından b ≠ 4 olmalıdır.


GENETĠK KOPYA-1 x−y+1

x−4= 0 ise

aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle

doğrudur?

A)x=4 B)x=-1 C)y=-1

D)x 5 E) y 5

DNA-2 2

5=

𝑥

15 eĢitliğini sağlayan x sayısı


A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

ÇÖZÜM IġIK-1 den,

2

5=

𝑥

15 ⇔ 2.15=5.x

5x=30

x=6 bulunur.


GENETĠK KOPYA-2 −12

𝑥=

9

3 eĢitliğini sağlayan x sayısı


A)-4 B)-3 C)1 D)3 E)4

DNA-3

3

3

n

n ifadesini tamsayı yapan

kaç tane n tamsayısı vardır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 2

RASYONEL SAYILAR

140

ÇÖZÜM Kesrin tam sayı göstermesi için;

payın, paydaya bölünebilmesi gerekir.

𝑛+3

𝑛−3=

𝑛−3+6

𝑛−3=

𝑛−3

𝑛−3+

6

𝑛−3= 1 +

6

𝑛−3

6 sayısının tamsayı bölenleri;

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 olmak üzere

8 tanedir.

n-3=-6 ⇒ n=-3 n-3=-3 ⇒ n=0

n-3=-2 ⇒ n=1 n-3=-1 ⇒ n=2

n-3=1 ⇒ n=4 n-3=2 ⇒ n=5

n-3=3 ⇒ n=6 n-3=6 ⇒ n=9

olmak üzere n’in alabileceği 8 tamsayı

değeri vardır.


GENETĠK KOPYA-3

n+2

n−2 ifadesini tamsayı yapan

kaç tane n tamsayısı vardır?

A)2 B)3 C)4 D)6 E)8

DNA-4

a, b, c pozitif tamsayılar,

𝑎

𝑏=

2

3 ve

𝑏

𝑐= 4 olduğuna göre,


kaçtır?

A)9 B)12 C)15 D)20 E)23

ÇÖZÜM 𝑎

𝑏=

2

3 ⇔ 3a=2b

𝑏

𝑐= 4 ⇔

b

c=

4

1 ⇔ b=4c

Toplamın küçük olması için a, b ve c nin

küçük seçilmesi gerekir.

3a=2b eĢitliğinde a=2k ve b=3k (kϵZ+)

olmalıdır.

b=4c 3k=4c eĢitliğinde

k=4m ve c=3m (mϵZ+) olmalıdır.

m=1 için;

c=3m=3.1=3

k=4m=4.1=4

b=3k=3.4=12

a=2k=2.4=8 bulunur.

a+b+c=8+12+3=23 olur.


GENETĠK KOPYA-4

a, b ve c pozitif tamsayıları için

a

b=

3

4 ve

b

c=

3

2 ise


kaçtır?

A)8 B)9 C)12 D)29 E)32

DNA-5

a, b pozitif tamsayılar ve

𝑎

3+ 𝑏 = 5 olduğuna göre;

a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)3 B)6 C)9 D)12 E)15

141

ÇÖZÜM

Toplanan terimlerden birinin büyük

olması isteniyorsa, diğerinin küçük olması

gerekir.

b=1 için

𝑎

3+ 𝑏 = 5

𝑎

3+ 1 = 5

𝑎

3= 4

a=12 bulunur.


GENETĠK KOPYA-5

x ve y pozitif tamsayılar,

x+y

4 = 4 olduğuna göre

y nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)4 B)8 C)12 D)16 E)20

Rasyonel sayılarla, dört iĢlem kurallarını

hatırlayıp, örneklerle pekiĢtirelim.

IġIK-2 𝑎

𝑏 rasyonel sayı ve n≠ 0 için;

𝑎

𝑏=

𝑛 .𝑎

𝑛 .𝑏

Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı

bir sayı ile çarpılır veya bölünürse,

kesrin değeri değiĢmez.

DNA-6 108 108

144 144 kesrinin eĢiti


A) 2

3 B)

3

4 C)

4

9 D)

7

9 E)

11

12

ÇÖZÜM

Pay ve paydayı asal çarpanlarına ayırıp

kısaltmaları yapalım.

108 108=22.33.7.11.13

144 144=24.32.7.11.13

108 108

144 144=

22 .33 .7.11.13

24 .32 .7.11.13=

3

22 =3

4 bulunur.


GENETĠK KOPYA-6 420

630

kesrinin eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?

A) 2

3 B)

3

4 C)

4

9 D)

7

9 E)

11

12

IġIK-3 𝑎

𝑏 ve

𝑐

𝑑 rasyonel sayıları için;

𝑎

𝑏∓

𝑐

𝑑=

𝑎 .𝑑∓𝑏 .𝑐

𝑏 .𝑑

UYARI 𝑎

𝑘 ve

𝑏

𝑘 rasyonel sayıları için;

𝑎

𝑘 ∓

𝑏

𝑘=

𝑎∓𝑏

𝑘

142

DNA-7

1-1

3+

1

9−

1

27


A) 13

27 B)

17

27 C)

20

27 D)

5

9 E)

5

6

ÇÖZÜM

1-1

3+

1

9−

1

27 =

1

1−

1

3+

1

9−

1

27

Kesirlerin paydalarını eĢitlemek için;

Birinci kesrin pay ve paydasını 27 ile,

Ġkinci kesrin pay ve paydasını 9 ile,

Üçüncü kesrin pay ve paydasını 3ile

çarpalım;

=1.27

1.27−

1.9

3.9+

1.3

9.3−

1

27=

27

27−

9

27+

3

27−

1

27

IġIK-3 ve UYARI uygulandığında;

=27−9+3−1

27=

20

27 bulunur.


GENETĠK KOPYA-7

2- 1

2−

3

4


A) 1

2 B)

2

3 C)

1

4 D)

3

4 E) 1

IġIK-4 𝑎

𝑏 ve

𝑐


𝑎

𝑏.𝑐

𝑑=

𝑎 .𝑐

𝑏 .𝑑

IġIK-5 𝑎

𝑏 ve

𝑐


𝑎

𝑏:𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏.𝑑

𝑐=

𝑎 .𝑑

𝑏 .𝑐

DNA-8

ise x kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM 5

2

𝑥+

52

𝑥

=5

2𝑥

1

+5

12

𝑥

=5

2.

1

𝑥+

5

1.𝑥

2=

5.1

2.𝑥+

5.𝑥

1.2

=5

2𝑥+

5𝑥

2=

5.2+2𝑥 .5𝑥

2𝑥 .2=

10+10𝑥2

4𝑥

=2(5+5𝑥2)

2.2𝑥=

5+5𝑥2

2𝑥

5+5𝑥2

2𝑥= 5 ⇒ 5+5x2=5.2x

5(1+x2)=5.2x ⇒ 1+x2=2x

x2-2x+1=0

(x-1)2=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1


GENETĠK KOPYA-8 345

+3

45


A)3 B)39

10 C)4 D)4

1

5 E)5

52

52

5

x

x

52

52

5

x

x

143

UYARI

a, b ve c tamsayıları için;

𝑎𝑏

𝑐 𝑖𝑙𝑒 𝑎.

𝑏

𝑐 farklı gösterimlerdir.

𝑎𝑏

𝑐= 𝑎 +

𝑏

𝑐=

𝑎

1+𝑏

𝑐=

𝑎 .𝑐+𝑏

𝑐

𝑎.𝑏

𝑐=

𝑎

1.𝑏

𝑐=

𝑎 .𝑏

𝑐

34

5= 3 +

4

5=

3.5+4

5=

19

5

3.4

5=

3.4

5=

12

5

Yukarıda görüldüğü gibi farklı

gösterimler, farklı sayıları gösterir.

DNA-9

2−

12

2 +12

−3−

13

3 +13

:2

3


A) −3

5 B) −

2

5 C) −

3

1𝑂 D)

3

5 E)

3

1𝑂

ÇÖZÜM

2−

1

2

2+1

2

−3−

1

3

3+1

3

:2

3 =

2.2−1

22.2+1

2

−3.3−1

33.3+1

3

:2

3

= 3

25

2

−8

310

3

:2

3=

3

2.

2

5−

8

3.

3

10 .

3

2

= 3.2

2.5−

8.3

3.10 .

3

2 =

3

5−

8

10 .

3

2

= 3

5−

2.4

2.5 .

3

2=

3

5−

4

5 .

3

2=

3−4

5 .

3

2

=−1

5.

3

2=

−1.3

5.2=

−3

10= −

3

10


GENETĠK KOPYA-9

7−75

3 +12


A) 3

5 B)

3

8 C) 1 D)

8

5 E) 2

DNA-10 4

5 kesrinin pay ve paydasına x sayısı

eklendiğinde, kesrin çarpımsal tersi elde

edilmektedir.

x sayısı kaçtır?

A)-9 B)-6 C)1 D)6 E)9

ÇÖZÜM 4

5 kesrinin çarpımsal tersi

5

4 olduğundan

4+𝑥

5+𝑥=

5

4

4(4+x)=5(5+x)

16+4x=25+5x

x=-9 bulunur.


GENETĠK KOPYA-10 2

3 kesrinin pay ve paydasından kaç

çıkarılırsa, kesrin çarpımsal tersi elde

edilebilir?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

144

DNA-11

ise

toplamının K türünden

eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?

A)K-1 B)1-K C)K-3 D)3-K E)3K

ÇÖZÜM

=A

EĢitlikleri taraf tarafa toplandığında;

9

10+

10

11+

11

12+

1

10+

1

11+

1

12= 𝐾 + 𝐴

Soldaki ifade gruplandığında

9

10+

1

10 +

10

11+

1

11 +

11

12+

1

12 = 𝐾 + 𝐴

9+1

10+

10+1

11+

11+1

12= 𝐾 + 𝐴

10

10+

11

11+

12

12= 1 + 1 + 1 = 3 = 𝐾 + 𝐴

A=3-K bulunur.


GENETĠK KOPYA-11

A=12

11+

13

12+

14

13 ise

1

11+

1

12+

1

13 toplamının A türünden eĢiti


A)A-1 B)A-3 C)1-A D)3-A E)3A

DNA-12

(2:3):[(4:5):6] ĠĢleminin sonucu kaçtır?

A) 1

5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 50

ÇÖZÜM

Önce küçük parantezler içindeki

iĢlemleri, sonra diğer parantez içindeki

iĢlemleri yaparız.

(2:3):[(4:5):6] =

2 4 2 4 1:[ : 6] :[ . ]

3 5 3 5 6

2 4 2 30 60:[ ] . 5

3 30 3 4 12


GENETĠK KOPYA-12

2:[3:(4:5)]


A) 8

15 B)

2

3 C) 1 D) 3 E) 5

DNA-13

[2-3(2-3)-1]-1


A) 1

5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 50

ÇÖZÜM

Küçük parantezden iĢleme baĢlayacağız.

Sayının -1 inci kuvvetini almak, sayının

çarpımsal tersini yazmaktır.

a-1= 𝟏𝐚 dır.

[2-3(2-3)-1]-1 = [2-3(-1)-1]-1

= [2+3]-1 = 5-1 = 5

1


K12

11

11

10

10

9

12

1

11

1

10

1

K12

11

11

10

10

9

12

1

11

1

10

1

145

GENETĠK KOPYA-13

[9-10(9-10)-1]-1 = ?


A) -19 B) -19

1 C)

19

1

D) 19 E) 20

DNA-14


A)2 B)24

7 C)3 D)3

3

5 E)4

ÇÖZÜM

Merdivenli kesirlerde en alt (üst)

basamaktan iĢleme baĢlanır ve adım adım

devam ettirilerek sonuca gidilir.

5−2

3=

15−2

3=

13

3 bulunur.

Yerine yazalım 3

13

3

= 3.3

13=

9

13 olur.

Bunu da yerine yazdığımızda;

2−9

13=

26−9

13=

17

13 bulunur.

Her yeni bulunan sayıyı yerine

yazacağımızdan;

5

17

13

= 5.13

17=

65

17 ve

3−65

17=

51−65

17= −

14

17 olur.

2

−14

17

= 2. −17

14 = −

17

7

5 + −17

7 = 5−

17

7=

35−17

7=

18

7

=2.7+4

7= 2 +

4

7= 2

4

7 dir.


GENETĠK KOPYA-14


A)1 B)15

8 C) 1

4

5 D)2 E)3

IġIK-6 𝑎

𝑏 𝑣𝑒

𝑑

𝑐 rasyonel sayıları için;

OKEK( , )=

OBEB( , )=

DNA-15

ve in katı olan

en küçük doğal sayı kaçtır?

A)1 B)2 C)4 D)8 E)15

ÇÖZÜM

OKEK( )=


?

3

25

32

53

25

?

2

11

11

11

11

b

a

d

c

),(

),(

dbOBEB

caOKEK

b

a

d

c

),(

),(

dbOKEK

caOBEB

3

2

5

4

5

4,

3

24

1

4

)5,3(

)4,2(

OBEB

OKEK

146

GENETĠK KOPYA-15 8

49 ve

12

25 sayıları ile tambölünebilen en

küçük pozitif tam sayı kaçtır?

A)24 B)36 C)48 D)56 E)72

DNA-16

a ve b doğal sayılar ve 1

𝑎+

1

𝑏= 1

olduğuna göre,


A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

ÇÖZÜM 1

𝑎+

1

𝑏= 1 ⇒

𝑎+𝑏

𝑎 .𝑏= 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎. 𝑏

Toplamları, çarpımlarına eşit olan iki

pozitif tam sayı; a=2 ve b=2 dir.

2+2=2.2

𝑎 = 𝑎. 𝑏 − 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 𝑎 − 1 ⇒ 𝑏 =𝑎

𝑎−1

𝑏 =𝑎−1+1

𝑎−1 ⇒ 𝑏 = 1 +

1

𝑎−1

Son eĢitlikte;

b’nin doğal sayı olması için,

a-1=1 ⇒ a=2 ve

a=2 için de b=2 değerini alır.

a+b=2+2=4 bulunur.


GENETĠK KOPYA-16

a ve b doğal sayıları için;

a+b=6 olduğuna göre 1

𝑎+

1

𝑏 toplamının alabileceği en küçük

değer kaçtır?

A) 1

3 B)

1

2 C)

2

3 D)

3

4 E) 1

TANIM

a bir tamsayı, n bir sayma sayısı olmak

üzere; 𝑎

10𝑛 biçiminde yazılabilen sayılara

ondalık rasyonel sayı denir.

1

2=

1.5

2.5=

5

10= 0,5

1

5=

1.2

5.2=

2

10= 0,2

1

4=

1.25

4.25=

25

100= 0,25 gibi.

UYARI

ab,cd ondalık sayısının çözümlenmiĢ Ģekli

ab,cd =a.10+b.100+𝑐

10+

𝑑

102 dir.

DNA-17

ise

değeri kaçtır?

A)1 B)1,5 C)2 D)2,5 E)3

ÇÖZÜM 𝑥+0,5

𝑥+𝑦+0,5

𝑦+𝑧+0,5

𝑧

=𝑥

𝑥+

0,5

𝑥+𝑦

𝑦+

0,5

𝑦+𝑧

𝑧+

0,5

𝑧

= 1 +0,5

𝑥+ 1 +

0,5

𝑦+ 1 +

0,5

𝑧

= 3 +0,5

𝑥+

0,5

𝑦+

0,5

𝑧= 4,5

0,5

𝑥+

0,5

𝑦+

0,5

𝑧= 1,5 iki tarafı da

2 ile çarpalım

5,45,05,05,0

z

z

y

y

x

x

?111

zyx

147

1

𝑥+

1

𝑦+

1

𝑧= 3 bulunur.

eĢitliğini 2 ile

çarparsak yanıt 3 bulunur.


GENETĠK KOPYA-17

1

0,1+

0,2

0,02 :

0,5

5


A)0,2 B)0,3 C)20 D)30 E)200

HAZĠNE-1

Her rasyonel sayının bir devirli ondalık

açılımı vardır.

KarĢıt olarak her devirli ondalık açılım

bir rasyonel sayı belirtir.

1

3= 0,333… = 0, 3

25

99= 0,252525… = 0, 25 gibi.

𝑥 = 0,2555… = 0,25 100𝑥 = 25,555… 10𝑥 = 2,555… 90𝑥 = 23

𝑥 =23

90 gibi.

IġIK-7 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑟𝑙𝑖 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙ı𝑘 𝑠𝑎𝑦ı =

𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙 ı𝑘 𝑘ı𝑠𝑚ı𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑚 ı−𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑘ı𝑠𝑚ı

𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 9,𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 0

DNA-18


A) 2 B)2,1 C)2,2 D)2,3 E)2,4

ÇÖZÜM

0,04 =4

90 0,02 =

2

90

0,004 =4

900 değerlerini yerine yazalım.

0,04 +0,004

0,02 =

4

90+

4

9002

90

=40

900+

4

9002

90

=44

9002

90

=44

900.

90

2=

22

10= 2,2


GENETĠK KOPYA-18

değeri kaçtır?

A)2 B)2,1 C)2,1 D)2,3 E) 2,3

DNA-19

a ve b pozitif tam sayılar,

için a+b toplamının


A)38 B)43 C)49 D)52 E)55

ÇÖZÜM

3, 45 =345−3

99=

342

99=

9.38

9.11=

38

11

a=38 ve b=11

a+b=38+11=49 bulunur.


5,45,05,05,0

zz

z

yy

y

xx

x

5,15,05,05,0

zyx

?20,0

400,040,0

1,3a ve 3,1b için ?b

a

b

a45,3

148

GENETĠK KOPYA-19

a ve b pozitif tam sayılar,

2,2 1 = a

b için a-b farkının


A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

IġIK-8

Bir devirli ondalık sayıda, devreden sayı

9 ise; kendisinden önce gelen basamağı

1 arttırır.

0,9 = 1

0,29 = 0,3 gibi.

DNA-20


A)110,7 B)111 C) 111,7

D)112 E)120

ÇÖZÜM

Devreden basamak 9 olduğu için; 99, 9 = 100 9, 9 = 10 0, 9 = 1 yazıldığında;

99, 9 + 9, 9 + 0, 9 = 100 + 10 + 1 = 111 Doğru Seçenek B dir.

GENETĠK KOPYA-20 8, 9 + 0,89

0,9


A)9 B)10 C)11 D)12 E)13

IġIK-9

Paydaları eĢit pozitif rasyonel

sayılardan,

payı büyük olan sayı diğerinden büyüktür.

gibi.

IġIK-10

Payları eĢit pozitif rasyonel sayılardan,

paydası büyük olan sayı diğerinden

küçüktür.

gibi.

IġIK-11

Payı ile paydasının farkı eĢit olan

rasyonel sayılardan;

1 den küçük sayılarda payı büyük olan

sayı diğerinden büyük,

1 den büyük sayılarda payı büyük olan

sayı diğerinden küçüktür.

gibi.

DNA-21

için

, ,

sayıları arasındaki sıralama nasıldır?

A) x<y<z B) x<z<y C) z<x<y

D) z<1<y<x E) z<y<1<x

?9,09,99,99

...13

6

13

7

13

8

...6

17

7

17

8

17

13

12

16

15

14

15

42

43

Nm

2

3

m

mx

4

5

m

my

8

7

m

mz

149

ÇÖZÜM

x ve y nin payları, paydalarından büyük

olduğundan, x ve y sayıları 1 den

büyüktür.

x ve y nin payları ile paydalarının farkı

eĢit olduğundan, payı büyük olan y sayısı

x den küçüktür.

z nin payı, paydasından küçük olduğundan

1 den ve diğer sayılardan küçüktür.

Bu durumda sıralama;

z<1<y<x olur.


GENETĠK KOPYA-21

A=11

12 B=

121

122 C=

1221

1222

Olduğuna göre, aĢağıdaki sıralamalardan

hangisi doğrudur?

A)a<b<c B)a<c<b C)b<c<a

D)c<b<a E)c<a<b

DNA-22

K = 12

14

x

x ifadesi veriliyor.

Ġfadeyi tanımsız yapan x değeri kaçtır?

A)0 B) 1

2 C) 1 D)

3

2 E)2

ÇÖZÜM

Paydayı 0 yapan x değerleri için

tanımsızdır.

2x-1=0

x=1

2 için tanımsızdır.


GENETĠK KOPYA-22

K = 12

14

x


K’ yı 0 yapan x değeri kaçtır?

A) −1

4 B)0 C)

1

2 D)

3

2 E)2

DNA-23

K = 12

14

x


x kaç olursa olsun, K’nın alamayacağı

değer kaçtır?

A)0 B) 1

2 C) 1 D)

3

2 E)2

ÇÖZÜM

K= 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑 ifadesinde, x değiĢkeni hangi

değeri alırsa alsın, K için x lerin

katsayılarının oranı olan 𝑎

𝑐 değeri

bulunamaz.

x’lerin katsayılarının oranı, K’ nın değeri

olamaz.

K2

4 , K 2 dir.


GENETĠK KOPYA-23

K = 12

14

x


K’yı tamsayı yapan x tamsayılarının

toplamı kaçtır?

A)-1 B)0 C)1 D)2 E)3

150

DNA-24

K = 12

14

x


Hem K’yı ve hem de çarpımsal tersini

tamsayı yapan x değerlerinin toplamı

kaçtır?

A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

ÇÖZÜM

Hem kendisi, hem de çarpımsal tersi

tamsayı olan iki sayı vardır.

Bu sayılardan biri 1, diğeri -1 dir.

112

14

x

x

2x-1=4x+1

2x=-2

x=-1

112

14

x

x

-2x+1=4x+1

6x=0

x=0

-1+0=-1 aranan toplamdır.


GENETĠK KOPYA-24 2a−3

5a+6 ve

5a+6

2a−3

Ġfadelerinin bir tamsayı olduğu

bilindiğine göre,

a nın alabileceği değerlerden biri


A)-6 B)-3 C)1 D)3 E)6

DNA-25

Ali 0 ile 3 arasında 1’den farklı 100 tane

pozitif rasyonel sayı, Oya da Ali’nin

yazdığı sayıların çarpımsal terslerini

yazsın.

Bu 200 sayının kaç tanesi 0 ile 1

arasındadır?

A) 49 B)50 C)51 D)99 E)100

ÇÖZÜM

0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıların

çarpımsal tersleri 1 den büyük,

1 ile 3 arasındaki rasyonel sayıların

çarpımsal tersleri, 0 ile 1 arasındadır.

Ali, 0 ile 1 arasında x tane, 1 ile 3

arasında 100-x tane sayı yazmıĢ olsun.

0ya, 100-x tane 0 ile 1 arasında,

x tane de 1 den büyük sayı yazmak

zorundadır.

0 ile 1 arasındaki sayıların adedi;

x+(100-x)=100 dür.


GENETĠK KOPYA-25

Çarpımsal tersi kendisine eĢit olan kaç

tane rasyonel sayı vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

151

KONU TESTĠ

1. 16:4+8.2-8 ĠĢleminin sonucu kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

2. 1:{[(𝟐𝟑:4):5]:6}


A) 1

5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 180

3. {[2:(3.4)-5]6-7}:(8.9) ĠĢleminin sonucu kaçtır?

A)−1

2 B)0 C)

1

2 D)1 E)2

4. 25)25(

)25(25


A) -13 B) -13

1 C)

13

1

D) 1 E) 13

5. )4.2(:128

4).2:128(


A) 1 B) 2 C) 4

D) 16 E) 256

6. (2-1+3-1)-1


A) 5 B) 1/6 C) 6

D) 2/3 E) 6/5

7. [2-(2:2

3-2)]:

1

2+3


A) 6/7 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

8. a ve b doğal sayıları için; a.b=6 ise 1

𝑎+

1

𝑏 toplamının en küçük değeri

kaçtır?

A) 1

3 B)

1

2 C)

2

3 D)

5

6 E) 1

9. 2 1−1

2 + 3 1−

1

3 + …+ 10 1−

1

10


A)45 B)49 C)50 D)54 E)55

10. 1

3+

3

51

4−

2

9


A)168

5 B)

144

5 C)

7

270 D)

96

35 E)

140

9

152

11. 3

2+7

1+56

:3

5+7

5


A)9

10 B)1 C)

11

10 D)

6

5 E)

13

10

12. A,B,C ve D sayıları {1,2,3,4}

kümesinin farklı elemanları olmak üzere;

𝐴

𝐵−

𝐶

𝐷= 1 ise, A+C toplamı kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

13. 1 1

(3 ) (1 )2 21 3

(4 ) ( 1)4 4


A) 4

3 B) 3

2

1 C)

4

1 D)

4

7 E) 2

14. 3

13 14 :

3 3 121

4


A) 145 B) 144 C) 143 D) 13 E) 12

15. 11 ?

11

11

2


A) 17

7 B)

10

7 C)

4

3 D) 3 E) 4

16. 6

5:

4

1.

3

1

2

1


A) 4

1 B)

5

1 C)

12

5 D)

12

1 E)

20

1

1.B 2.E 3.A 4.B 5.D 6.E

7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.E

13.D 14.A 15.E 16.E

153

KONU TESTĠ

1.

x

1

11

11

zincir kesrinin kısaltılmıĢı


A) x-1 B) –x C) x-1

D) 1-x E) 1+x

2.


A)0,001 B)0,01 C)0,1 D)1 E)10

3. 1

1 12 3

?3 2


A)-6 B) −6

5 C) −

5

6 D)

5

6 E )

6

5

4. ?

21

2

x

xx

x


hangisidir?

A) 1

2 B)

𝑥

2 C) 2 D) x E)2x

5. 1 3 12 1

2 4 3


A)3

19 B)

3

17 C)

3

16 D)

3

14 E)

3

13

6. 3 32

17 68 51

n

eĢitsizliğini sağlayan kaç tane n doğal

sayısı vardır?

A) 28 B)29 C)30 D)32 E)34

7. Bir sayıyı 0,75 ile bölmek, hangi sayı

ile çarpmak demektir?

A) 3

4 B)

4

3 C) 3 D) 4 E) 6

8. 0,65+(0,2+ )2

10,5


A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

9. 1(0,18 0,04)

0,01


A)0,14 B)1,4 C)14 D)140 E)1400

?100

11...

4

11

3

11

2

11

154

10. 4,0 ifadesinin eĢiti hangisidir?

A) 2,0 B) 20,0 C) 60,0

D) 6,0 E) 40,0

11.


A)2 B)21

2 C)3 D) 3

1

2 E)4

12. 1

6 sayısının eĢiti aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)0, 6 B)0, 16 C)0,16

D)0,16 E)0, 3

13.

eĢitliğinde x kaç olmalıdır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

14. 1−1

1+1

1−12


𝐴)3

5 B)

3

8 C)

2

3 D)

8

5 E) 4

15. a, b ve c farklı pozitif tamsayıları

için 1

𝑎+

2

𝑏+

3

𝑐 toplamının alabileceği en büyük

değer kaçtır?

A)4 B) 13

3 C)

25

6 D)

9

2 E) 5

16. A yüksekliğinden bırakılan bir top

yüksekliğinin r (r< 1) ile çarpımı

kadar yükseliyorsa denge durumuna

gelinceye kadar aldığı toplam yol:

A.1+r

1−r dir.

6 metre yüksekliğinden bırakılan bir top

yüksekliğinin yarısı kadar yükseliyorsa

denge durumuna gelinceye kadar alacağı

toplam yol kaç metredir?

A)6 B)9 C)12 D)15 E)18

1.A 2.B 3.E 4.B 5.E 6.C

7.B 8.E 9.C 10.D 11.B 12.D

13.C 14.C 15.B 16.E

?

2

34

56

78

x

9

87

6

54

3

21

Documents

SAYILAR - Matematik, Matematik, Matematik… · Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru kullanıldıklarında matematik seyretmesi doyumsuz bir sanat eserine dönüĢür. ÖSS