1
22/09/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
2 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
• Kesalahan yg terjadi dlm interpolasi linier adalah krn kurva dr
fungsi didekati dg garis lurus.
• Untuk mengurangi kesalahan yg terjadi maka perkiraan
dilakukan dg menggunakan garis lengkung.
Apabila garis lengkung terdapat 3 titik data order 2
(Interpolasi Quadratic)
Dipakai untuk bentuk polinomial
order 2 (kuadratik/parabolik).
f(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)
Dijabarkan lebih lanjut:
f(x)=b0+b1x-b1x0+b2x2-b2xx1-b2xx0+b2x0x1
=(b0-b1x0+b2x0x1)+(b1-b2x1-b2x0)x+b2x2
=a0+a1x+a2x2
3 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Cara menghitung koefisien2 pada
persamaan:
b0→pada x=x0:f(x0)=b0+0+0→b0=f(x0)
b1→nilai b0 disubstitusikan ke
persamaan pada x=x1:f(x1)=f(x0)+b1(x1
-x0 )+0
4
01
011
xx
)f(x)f(xb
22/09/2013 Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
b2→nilai b0 & b1 disubstitusikan ke persamaan pada x=x2:
Dengan manipulasi matematis:
5
)xx)(xx(b)xx(xx
)f(x)f(x)f(x)f(x 1202202
01
01
02
02
01
01
12
12
2xx
xx
)f(x)f(x
xx
)f(x)f(x
b
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh :
Dengan menggunakan formula interpolasi kuadratik(polinomial orde 2), tentukan nilai ln(2) pada data f(x)=ln(x) yg melalui titik2 data:x0=1,f(x0)=0 ; x1=4,f(x1)=1.3862944 ; x2=6,f(x2)=1.7917595.
Bila nilai sesungguhnya ln(2)=0.69314718, maka kesalahan relatif dgn data (x0,x1)=33.3%. (lht Cth 1.1)
6 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh 1.2 (lanjutan):
Mencari koefisien persamaan:
b0=f(x0)=0
7
462098.0 xx
)f(x)f(x)x,f(xb
01
01
011
05187309.0xx
)x,f(xxx
)f(x)f(x
xx
)x,f(x)x,f(x)x,x,f(xb
02
01
12
12
02
0112
0122
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh 1.2 (lanjutan):
f(x)=0.462098(x-1)-0.05187309(x-1)(x-4)
f(2)=0.56584418
Kesalahan relatif=
8
18.3659% x100%69314718.0
69314718.056584418.0
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Interpolasi dgn polynomial Lagrange digunakan untuk
memudahkan penyelesaian polynomial Newton, terutama
dgn order>2.
Persamaan yg mendasari:
9
ji
j
0i
n
0i
iin xx
xxx)(Ldengan )f(x x)(L x)(f
n
ijj
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Tanda π menunjukkan “hasil kali dari”
Contoh utk versi linier (n=1), maka:
Utk versi order-2
10
)x(f)x(x
)x-(x)f(x
)x(x
)x-(x)(xf 1
01
00
10
11
)f(x)xx)(x(x
)x-x)(x-(x)x(f
)xx)(x(x
)x-x)(x-(x)f(x
)xx)(x(x
)x-x)(x-(x)(xf 2
1202
10
1
2101
20
0
2010
212
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Utk versi orde 3
11 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Sehingga untuk versi orde 3
12 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Penyelesaian:
13 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
462098.0)3862944.1()1(4
)1-(2)(0
)4(1
)4-(2)(2f1
Matematika Teknik Kimia II
)(1.7917595)46)(1(6
)4-2)(1-(2)3862944.1(
)64)(1(4
)6-2)(1-(2)(0
)61)(4(1
)6-2)(4-(2)(2f2
56584437,0)(2f2
Contoh:
Diketahui f(x)=ln(x)
xo =1 f(1) = 0
x1 =4 f(4) = 1.3862944
x2 =6 f(6) = 0.69314718
Ditanya : x=2, f(x)=?
Untuk orde 1 (linier):
Untuk versi order-2
14 22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh:
Diketahui log 654 = 2.8156
log 659 = 2,8189
log 661 = 2,8202