BAB 3 Interpolasi

7/21/2019 BAB 3 Interpolasi

http://slidepdf.com/reader/full/bab-3-interpolasi-56da3dfa511c0 1/21

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS MIPA

JURUSAN ILMU KOMPUTER DAN ELEKTRONIKA

ILMU KOMPUTER

RKPMRencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan

Modul Pembelajaran Minggu ke 4,5

INTERPOLASI

oleh

1. Drs. G.P. Dalijo, Dipl. omp.

!. "gus #ihabuddin, #.#i., M.Kom.

Didanai dengan dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2012

Desember !$1!



BAB IV

INTERPOLASI

MINGGU KE 4,5

Pendekatan terhadap suatu nilai %ungsi dibutuhkan pada beberapa kasus

dimana nilai tersebut akan sulit didapatkan dari suatu pendekatan analisis. Pendekatan

numeris untuk hal tersebuat adalah dengan interpolasi. &nterpolasi pada suatu %ungsi

'()* dapat din+atakan dalam berbagai bentuk persamaan diantaran+a linear,

polinomial atau parabolik, trigonometri, e)ponensial, logaritmik, dan sebagain+a.

Pada bagian ini akan dibicarakan beberapa model interpolasi diantaran+a linear,

kuadratik, beda terbagi ne-ton, bead maju ne-ton, beda mundur ne-ton, dan

interpolasi dengan %ungsi spline.

4.1 Definisi

&nterpolasi adalah proses menemukan dan mengealuasi sebuah %ungsi +ang

gra%ikn+a melalui beberapa titik +ang sudah diberikan. 'ungsi +ang diealuasi paling

ban+ak berupa polinomial.

Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut

Diberikan n/1 titik data +ang berupa pasangan bilangan

*,,*,,*,, (((11$$ f x f x f x

nn dengan x x x n

,,,1$ semuan+a

berlainan. "kan dicari suatu polinom ( ) x pn

+ang pada setiap xi mengambil nilai

f i +ang diberikan, +aitu

( ) ( ) ( ) f x p f x p f x pnnnnn

=== ,,,11$$

+ang mempun+ai derajat n atau

kurang.

Polinom pn

disebut penginterpolasi. 0ilainilai x j sering disebut simpul.

0ilai f j

bisa berupa nilainilai %ungsi matematis (tetapi ( ) x f tidak diketahui* atau

nilai +ang diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom ( ) x pn

digunakan

untuk mendapatkan nilainilai aproksimasi ( ) x f +ang tidak dilakukan pengukuran.



#ecara khusus, terdapat ! macam pengertian untuk interpolasi, +aitu

&nterpolasi x terletak di antara simpulsimpul +ang ada.

2kstrapolasi x tidak terletak di antara simpulsimpul 3 biasan+a kurang

cermat.&nterpolasi dan 2kstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu

%ungsi +ang belum diketahui, dimana %ungsi itu bersi%at kontin+u dalam interal

tertentu.

4. In!e"#$%&si P$%in$'i&%

eberapa interpolasi pol+nomial +ang akan dibahas adalah interpolasi linier,

interpolasi kuadratik, interpolasi beda terbagi 0e-ton, dan interpolasi agrange.

4..1 In!e"#$%&si Linie"

&nterpolasi linear menggunakan sarana garis lurus melalui f x f x 11$$ ,,, .

&nterpolasi linier dapat digunakan untuk mengestimasi nilai ( ) x f untuk x +ang tidak

ada di dalam data dengan menggunakan ! titik terdekat dengan x.#ecara detil, dapat

dijelaskan sebagai berikut

Diberikan ! titik f x $$, dan f x 11

, dengan x$6 x1

Garis lurus +ang menghubungkan kedua titik merupakan gra%ik dari polinomial

linear ( ) x x

f x x f x x p x

$1

1$$1

1 −

−+−

=

ara penulisan rumus +ang lain

( ) [ ] x x f x x f p x1$$$1

,−+= dengan [ ] x x

f f x x f

$1

$1

1$,

−

−

= ,

disebut beda

Dengan demikian, %ungsi p1

menginterpolasi nilai xi pada titik f

i,

i 7 $.1, atau ( ) 1.$,1 == i f x p ii



Gambar 4.1 &lustrasi interpolasi linier

Dengan demikian, algoritma interpolasi linier dapat disusun sebagai berikut

&nput xi, i 7 1, ! 8 %( xi*, i 7 1, ! 8 P1

9utput linier

angkahlangkah

:ntuk i 7 1, ! lakukan

"i 7 xi

i 7 %( xi*

%aktor 71!

1!

""

linier 7 1 / (%aktor ; (P1 < "1**

Contoh soal

1. arilah ln =.! dari ln =.$ 7 !.1=>! dan ln =.5 7 !.!51?

Pen+elesaian

( ) ( )$.=!.=$.=5.=

1=>!.!!51?.!1=>!.!!.=

1−

−−

+= p 7 !.!1@@

Aadi ln =.! 7 !.!1@@

!. Baksirlah populasi &ndonesia tahun 1==@ jika diketahui populasi tahun

1=@$ adalah 1>=.? juta dan 1==$ adalah !$?.! juta.

?. Citunglah interpolasi linear pada titik 1.5 jika diketahui f (1*74, f (!*7= dan

f (?*71.

Pen+elesaian

( ) [ ] x x f x x f p x1$$$1

,−+=

( ) ( )15.11!

4=

45.11 −−−

+= p 7 .5



4.1. In!e"#$%&si K(&)"&!i*

&nterpolasi kuadratik adalah interpolasi +ang memakai sarana polinom

berderajat paling tinggi dua +ang kuran+a melalui ? titik

f x f x f x dan!!11$$

,,,,,

Polinomial kuadratik +ang melalui ketiga titik tersebut adalah

( ) [ ] [ ] x x x f x x x x x x f x x f p x!1$1$1$$$!

,,, −−+−+=

dengan [ ] x x

f f

x x f

$1

$1

1$,

−

−

= dan

[ ] [ ] [ ]

x x

x x f x x f x x x f

$!

1$!1

!1$

,,,,

−

−

=

Dapat dibuktikan bah-a

( ) f x p $$! =

( ) ( ) f x x

f f x x f x p

1$1

$1

$1$1!=

−

−

−+= dan

( ) f x p!!!

=

Contoh soal

Aika ( )$.@ f 7!.$>=4, ( )$.= f 7!.1=>! dan ( )5.= f 7!.!51?, carilah ( )!.= f

Pen+elesaian

x$ 7

@.$

f $

7

!.$>=4 [ ] 11>.$,

1$ = x x f

[ ] 1$@.$,!1 = x x f x1

7

=.$

1=>!.!1= f [ ] $$D.$,,

!1$ −= x x x f

x! 7 !51?.!

!= f



=.5

( ) ( )( ) ( )( )( )$$D4.$$.=$.@11>@.$$.@$>=4.!!

−−−+−+= x x x x p

7 $.>! / $.!! x < $.$$4 x!

( ) !1=!.!!.=!

= p 3 eksak sampai 4 desimal, karena tern+ata

( ) ( )( ) ( ) !1=!.!!.=ln!.=

ln

==

=

f

x x f

Contoh soal

Citunglah interpolasi kuadratik pada titik 1.5 jika diketahui f (1*74, f (!*7= dan f (?*71

Pen+elesaian

x$ 7

1

f $

7 4

[ ] 5,1$ = x x f

[ ] >,!1 = x x f x1

7

!

=1= f [ ],,

!1$ = x x x f

x! 7

?

1D!= f

( ) [ ] [ ] x x x f x x x x x x f x x f p x!1$1$1$$$!

,,, −−+−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1!1514!

−−+−+= x x x x p

7 1 / ! x / x2

P!(1.5* 7 .!5

4.1.+ In!e"#$%&si Be)& Te"&-i Ne!$n

&nterpolasi linear dan kuadratik merupakan kasus khusus interpolasi derajat +ang

lebih tinggi. Dalam hal ini, digunakan konsep beda terbagi sebagai berikut

• :ntuk order pertama dihitung dari deriati% %ungsi ( ) x f secara diskrit

[ ] x x x x

f f x x f 1$

$1

$1

1$ ,, ≠

−

−

=



• :ntuk order +ang lebih tinggi, dipakai beda terbagi order +ang lebih rendah secara

rekursi%

[ ]

[ ] [ ]

x x

x x f x x f

x x x f $!

1$!1

!1$

,,

,, −

−

=

[ ] [ ] [ ]

x x

x x x f x x x f x x x x f

$?

!1$?!1

?!1$

,,,,,,,

−

−=

#ehingga

[ ]

[ ] [ ]

x x

x x f x x f

x x f n

nn

n

$

1$1

$

,,,,

,, −

−

=

−

3 disebut "('(s e)& !e"&-i Ne!$n.

Dengan demikian, interpolasi beda terbagi 0e-ton dapat dirumuskan sebagai

berikut

( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]

( ) ( ) [ ] x x f x x x x

x x x f x x x x x x f x x f p

nn

n x

,,

,,,

$1$

!1$1$1$$$

−

−−++

−−+−+=

Contoh soal

arilah ( )!.= f dari interpolasi menggunakan titiktitik (@.$, !.$>=44!*, (=.$,

!.1=>!!5*, (=.5, !.!51!=!*, (11.$, !.?=>@=5*.

Pen+elesaian

Dengan menggunakan tabel i xi

f i [ x x f ii

,+

[ x x x f ii 1,,

+ [ x x x f iii !1

,,,++

$ @.$ !.$>=44!

$.11>>@?

$.1$@1?4

$.$=>>?5

$.$$4??

$.$$5!$$

$.$$$4111 =.$ !.1=>!!5

! =.5 !.!51!=!

? 11.$ !.?=>@=5

P?( x* 7 !.$>=44! / $.11>>@? ( x@.$* $.$$4?? ( x@.$* ( x=.$* / $.$$$411 ( x@.$*

( x=.$* ( x=.5*



P?(=.!* 7 !.$>=44! / $.141?4$ $.$$1544 $.$$$$?$

7 !.!1=!$@ 3 eksak sampai desimal.

Dari penjelasan dan perumusan di atas, algoritma &nterpolasi eda Berbagi

0e-ton dapat disusun sebagai berikut

Bujuan menghitung ( ) z pn

dari ( ) z f pada z

"lgoritma interpolasi

input f x f x f x nn,,,,,,

11$$ 8 z

output ( ) z pn

angkahlangkah

1. :ntuk j 7 $, 1, !, E , n lakukan ( ) f x f j j

=

!. :ntuk m 7 1, !, E , n1 lakukan

:ntuk j 7 $, 1, !, E , nm, lakukan

[ ] x x

x x x x x x x x

jm j

m j j jm j j

m j j j

f f f

−

−

=

+

−++++

++

111

1

,,,,,,,,

?. ( ) f p z $$

=

4. :ntuk k 7 1, !, ?, E , n lakukan

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x x x x p p k k k k f z z z z ,,

$1$1

−− −−+=

4.1.4 In!e"#$%&si #&)& Ti!i* /&n- Be"0&"&* S&'&

Rumus interpolasi beda terbagi 0e-ton berlaku untuk simpul +ang berjarak

sembarang. :ntuk simpulsimpul +ang berjarak sama, maka didapatkan xi

nhhh x x x x x x x n+=+=+=

$$!$1$ ,,!,,

dengan h adalah jarak antara ! simpul. &ni akan men+ederhanakan rumus interpolasi.



4.1.4.1 R('(s Be)& M&0( Ne!$n G"e-$"/2Ne!$n3

Dide%inisikan

f f f j j j −=∆ +1 3 beda maju pertama

f f f j j j

∆−∆=∆+1

!3 beda maju kedua

f f f j

k

j

k

j

k 1

1

1 −

+

− ∆−∆=∆ 3 beda maju kek

Dari de%iniside%inisi di atas, tern+ata dapat dibuktikan bah-a

[ ] $$ F

1,, f

hk f

k

k k x x ∆= ....(1)

dengan x x j jh

1−−= (konstan*

Pembuktian

Pembuktian dilakukan dengan memakai induksi, bah-a memang benar untuk k 7

1, karena x1 = x0 + h, sehingga

( ) $$1

$1

$11$

F1

11G,H f

h f f

h x x

f f x x f ∆=−=

−−

=

Dengan anggapan (1) benar untuk semua beda maju orde k, maka rumus berlaku

untuk k/1. digunakan xk+1 = xo + (k+1)h dan j 7 $.

$

1

1

$1

$11

1$

*F1(

1

F

1

F

1

*1(

1

*1(

G,,HG,,HG,...,H

f hk

f hk

f hk hk

hk

x x f x x f x x f

k

k

k

k

k

k

k k k

++

++

∆+

=

∆−∆

+=

+−

=

Rumus di atas merupakan rumus (1* dengan k/1 sebagai ganti k. Dengan

demikian rumus (1* terbukti.

ila ditetapkan bah-a rh x x += $ atauh

x xr $−= , $ I r I n, maka rumus

interpolasi menjadi

( ) ( )

( ) ( ) ( ) $$!

$$

$

$

F11

F!1 f

nnr r r f r r f r f

f s

r x P x f

n

sn

s

n

∆+−−++∆−+∆+=

∆

=≈ ∑

=



dengan koe%isienkoe%isien binomial dide%inisikan dengan

( ) ( ) ( )

F

1!1,1

$ s

sr r r r

s

r r +−−−=

=

Perhitungan terhadap eror +ang terjadi

( )( )

( ) ( ) ( )t f nr r r n

r x

nn

n

11

1F1

+

+

−−+

−= ε

dengan ( )1+n f adalah turunan f ke (n/1* dan t terletak antara x dan xn

Contoh soal

Citung cosh ($.5* jika diketahui cosh ($.5* 7 1.1!>!, cosh ($.* 7 1.1@545, cosh

($.>* 7 1.!551=, cosh ($.@* 7 1.?>>4?5

Pen+elesaian

j x j x f j jcosh= f

j∆ f

j

!∆ f j

?∆

$ $.5 1.1!>!

$.$5>@?=

$.$=>$4

$.$@!!

$.$11@5

$.$1!5! $.$$$=>1 $. 1.1@545

! $.> 1.!551=

? $.@ 1.?>>4?5

( ) ( )D.$

1.$

5$.$5D.$$ =−=−

=h

x xr

P?($.5* 7 1.1!>! / $. ) $.$5>@?= /!

*4.$(D.$ −) $.11@5

/D

*4.1*(4.$(D.$ −−) $.$$$=>

7 1.1!>! / $.$?4>$? < $.$$14!4 / $.$$$$?=

7 1.1$=44

4.1.4. R('(s Be)& M(n)(" Ne!$n G"e-$"/2Ne!$n3

Dide%inisikan beda mundur pertama dari f pada x j 1−−=∇ j j j f f f

eda mundur kedua 1

!

−∇−∇=∇ j j j f f f

eda mundur ketiga 111

−

−−∇−∇=∇ j

k j

k j

k f f f (k 7 1,!, E*

Maka rumus interpolasi beda mundur 0e-ton menjadi

( ) ( )

( ) ( ) ( )$$

!

$$

$

$

F

11

F!

1

1

f n

nr r r f

r r f r f

f s

sr x P x f

n

sn

s

n

∇−++

++∇+

+∇+=

∇

−+=≈ ∑

=



dengan nr h

x xr hr x x ≤≤

−=→+= $,$

$

4.1.5 In!e"#$%&si L&-"&n-e

Diberikan ( ) ( ) ( )nn f x f x f x ,,,,,, 11$$ dengan i x∆ sebarang. agrange

mempun+ai pemikiran mengalikan j f dengan suatu polinom +ang bernilai 1 pada j x

dan $ pada n titik simpul lainn+a dan kemudian menjumlahkan n/1 polinom tersebut

untuk memperoleh polinom interpolasi tunggal berordo n atau lebih kecil.

Rumus interpolasi lagrange

Polinomial interpolasi mempun+ai bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xb f xb f xb f xb f x Lnnn

++++= ...!!11$$

Dengan bk (x) 7 suatu polinomial derajat Jn

Polinomial bk (x) dapat dicari dengan menggunakan n/1 persamaan constraint.

Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut

ni f x Liin

,,!,1,$8*( ==

#ehingga

( ) ( ) ( ) ( ) $$$11$$$$$ ... f xb f xb f xb f f x L nnn =+++→=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnnn

nnn

f xb f xb f xb f f x L

f xb f xb f xb f f x L

=+++→=

=+++→=

...

...

11$$$

111111$$11

:ntuk mempermudah pen+elesaian persamaan constraint, maka dipilih

( )

≠=

=k i

k i xb ik

8$

81

Persamaan tersebut telah memenuhi persamaan constraint.

entuk persamaan polinomial bk (x) adalah sebagai berikut

( ) *(**((**(*(( 11!1$ nk k k k x x x x x x x x x x x xC xb −−−−−−=+−

#esuai pilihan di atas +ang cocok dengan constraint +aitu bk (xk ) 7 1

Maka konstanta C k dapat dicari dengan rumusan berikut

*(**((**((

1

111$ nk k jk k k k

k x x x x x x x x x x

C −−−−−

=

+−

Dengan demikian semua polinomial bk (x) diperoleh



( )

( )

( )

( ) *(**((

*(**(*((

*(**(*((

*(**((

11$

?1$!!

?!$11

!1$$

−−−−=

−−−−=−−−−=

−−−=

nnn

n

n

n

x x x x x xC xb

x x x x x x x xC xb

x x x x x x x xC xb

x x x x x xC xb

di mana

*(**(*((

1

*(**(*((

1

*(**(*((

1

*(**(*((

1

1!1$

$

!?!1!$!

$

1?1!1$1

1

$?$!$1$

$

−−−−−

=

−−−−=

−−−−=

−−−−=

nnnnn

n

n

n

x x x x x x x xC

x x x x x x x xC

x x x x x x x xC

x x x x x x x xC

Aadi polinomial bk (x) dapat ditulis secara lengkap

( )

( )

( )

( )*(**(*((

*(**(*((

*(**(*((

*(**(*((

*(**((

*(**((

*(**((

*(**((

1!1$

1!1$

!?!1!$!

?1$!

1!1$1

!$1

$!$1$

!1$

−

−

−−−−−−−−

=

−−−−

−−−−=

−−−−−−

=

−−−−−−

=

nnnnn

nn

n

n

n

n

n

n

x x x x x x x x

x x x x x x x x xb

x x x x x x x x

x x x x x x x x xb

x x x x x x

x x x x x x xb

x x x x x x

x x x x x x xb

#ehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan

sebagai berikut

*(**((**((

*(**((**((*(

111$

111$

$ nk k k k k k k

nk k n

k

k n x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x f x L

−−−−−−−−−−

=+−

+−

=∑

"tau jika ( ) *(**((**(*(( 11!1$ nk k n x x x x x x x x x x x x xl −−−−−−=+−

maka rumus interpolasi lagrange adalah

( ) ( ) ( )

k

n

k k k

k n f

xl

xl x L x f ∑

=

=≈$ *(

dengan

( ) ( )( ) ( )n x x x x x x xl −−−= !1$ untuk k 7 1,!, E, n1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nk k k x x x x x x x x xl −−−−= +− 11$



( ) ( )( ) ( )11$ −−−−= nn x x x x x x xl

Dengan demikian ( ) k k n f xl = dan ( $= jk xl jika j 6 k

Djuhana (!$$!* melakukan analisis kesalahan metode agrange. Kesalahan itu

terjadi saat metode ini ingin memberikan aproksimasi suatu %ungsi %()* dengan

polinomial n()* +aitu

( ) ( ) ( ) ( )ξ 1$$$

*F1(

*(**(( +

+−−−

=−= n

nn f n

x x x x x x x L x f x

di mana ξ tergantung pada nilai x dan tidak diketahui di dalam interal x, x0 dan xn

"lgoritma interpolasi polinomial lagrange dapat dirumuskan sebagai berikut

&nput n, i

x

, i 7 $, 1, !, E , n 8 %( i

x

* 8 x9utput Plag 7 ln( x*

angkahlangkah

Plag 7 $

:ntuk i 7 $,1,!, E, n lakukan

%aktor 7 1

:ntuk j 7 $,1, E , n

Aika j 6 i, %aktor 7 %aktor ; ji

j

x x

x x

−−

Plag 7 Plag / %aktor ; %( xi*

Contoh soal

arilah %(=.!* dengan interpolasi lagrange dengan n 7 ? dan %(=.$*7!.1=>!!,

%(=.5*7!.!51!=, %(1$.$*7!.?$!5=, %(11.$*7!.?=>=$

Pen+elesaian

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ?

??

?!

!!

!1

11

1$

$$

$? f

xl

xl f

xl

xl f

xl

xl f

xl

xl x L +++=

( ) ( ) ( ) ( )?$!$1$$$ x x x x x x xl −−−= 7 1.$$$$$

( ) ( ) ( ) ( )?!1$ x x x x x x xl −−−= 7 $.4?!$$

( ) ( ) ( ) ( )?1!1$111 x x x x x x xl −−−= 7 $.?>5$$

( ) ( ) ( ) ( )?!$1 x x x x x x xl −−−= 7 $.!@@$$

( ) ( ) ( )( )?!1!$!!! x x x x x x xl −−−= 7 $.5$$$$



( ) ( ) ( ) ( )?1$! x x x x x x xl −−−= 7 $.1$@$$

( ) ( )( )( )!?1?$??? x x x x x x xl −−−= 7 ?.$$$$$

( ) ( ) ( ) ( )!1$? x x x x x x xl −−−= 7 $.$4@$$

?=>$$.!$$$$$.?

$4@$$.$

?$!5=.!5$$$$.$

1$@$$.$!51!=.!

?>5$$.$

!@@$$.$1=>!!.!

$$$$$.1

4?!$$.$ (=.!*

?

+

−++

−

−=

7 !.!1=!$ (eksak sampai 5 angka decimal*

4.. F(n-s2f(n-si In!e"#$%&si N$n2P$%in$'i&%

&nterpolasi dan ekstrapolasi adalah salah satu metode pendekatan atau

aproksimasi. &nterpolasi dan ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai

dalam suatu %ungsi +ang belum diketahui, di mana %ungsi itu bersi%at kontin+u dalam

interal tertentu.

Berdapat beberapa kelemahan penggunaan interpolasi polinomial

• Bitiktitik penginterpolasi harus dipilih dengan hatihati. Aika tidak, bisa terjadi

perbedaan +ang sangat besar antara %ungsi dan hasil interpolasi seiring bertambah

ban+akn+a titik +ang digunakan.

ontoh

&nterpolasi terhadap!

1

1*(

x x f

+= pada interal H5,5

Gambar 4.! Gra%ik interpolasi dengan 07





Gambar 4. &nterpolasi derajat untuk data di atas

4..1 In!e"#$%&si )en-&n F(n-si S#%ine

"moothn#ss bisa didapatkan dengan interpolasi polinomial secara lokal

menggunakan %ungsi%ungsi spline. Polinomialpolinomial berderajat rendah (+ang

berbeda derajatn+a* digunakan untuk tiap interal HLi, Li/1

Definisi f(n-si s#%ine

Misalkan n x x x <<< .....1$ adalah serangkaian titik. 'ungsi s merupakan spline

berderajat k jika

a. s adalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinteral HL i,

Li/1.

b. *1(,.....,M, −k s s s semuan+a kontin+u pada interal HL$, L 0

ontohcontoh %ungsi spline

a.

−

+−=

@5

1*( !

x

x x

x

x s

4?

?1

1$

≤≤

≤≤

≤≤

x

x

x

Merupakan %ungsi spline derajat !. Derajat masingmasing %ungsi paling tinggi

adalah !. ukan merupakan spline kubik (derajat ?* karena deriati% titik !

tidak kontin+u, +aitu $, !, $, untuk masingmasing interal.

b.

−

x

x

x s

1!*(

!1

1$

≤≤

≤≤

x

x



Merupakan spline linier.

"oal bagaimana dengan

a.

+++

−+−−+−

−+−

=

4?!5

!54

1!

1!

*(

!?

!?

!

!?

x x x

x x x

x x

x x x

x s

4?

?1

1$

$!

≤≤

≤≤

≤≤

≤≤−

x

x

x

x

b.

−+−+

+=

!

?

*1(?*1(5?

!*(

x x

x x x f

G4,1H

G1,$H

∈

∈

x

x

4..1. In!e"#$%&si S#%ine K(i* A%&'i& Natural Cubic Spline Interpolation3

Diberikan n titik data ( xi, !i* dengan x1 N x! N ... N xn dan a 7 x1, b 7 xn. "kan

dicari %ungsi s( x* +ang terde%inisi pada Ha,b +ang menginterpolasi data

ii ! x s =*( , i 7 1, ....., n

"gar s( x* mulus, *(M x s dan s( x* harus kontin+u supa+a kura mengikuti bentuk

umum dari interpolasi linear, *(M x s tidak boleh berubah terlalu ban+ak pada titik

titik. #+aratn+a, s( x* bernilai sekecil mungkin.

Maka s( x* harus memenuhi

a. s( x* berupa polinom kubik pada masingmasing interal G,1H j j x x − untuk j 7 !,

?, ....., n

b. $*(O*(O 1 ==n

x s x s

s( x* disebut %ungsi spline kubik alamiah +ang menginterpolasi data ( xi, !i*.

:ntuk membentuk s()*, dapat digunakan cara sebagai berikut

Misalkan $i, ....., $n dengan *(Oii

x s $ ≡ , i 7 1, E.., n. s( x*

akan din+atakan dalam $i.

s( x* persamaan kubik pada tiap selang G,1H j j x x − , maka s( x* akan linear pada

selang tersebut. 'ungsi linier akan ditentukan oleh ! titik dan dipakai

11*(O−−

= j j $ x s dan

j j $ x s =*(O



Maka

1*(*(O

−−

=

j

j j

x

$ x x x s

untuk j j x x x ≤≤

−1

"ntideriati% ke! dari s( x* pada G,1H j j x x − +ang memenuhi kondisi penginterpolasi

j j j j ! x s ! x s ==−− *(,*( 11 adalah

*(

*(*(

*(D

*(*(*(

1

11

1

?

11

?

−

−−

−

−−

−−+−

+−

−+−=

j j

j j j j

j j

j j j j

x x

! x x ! x x

x x

$ x x $ x x x s

G*(**H((D

1111 j j j j j j

$ x x $ x x x x−−−

−+−−− ...... (1*

untuk j j x x x ≤≤−1

Rumus tersebut diterapkan pada tiap interal G,HG,.....,,H 1!1 nn ! x x x−

s( x* akan kontin+u pada Ha, b karena s+arat i j ! x s =*( . "gar *(M x s kontin+u pada

Ha, b maka *(M x s pada G,H 1 j j x x− dan G,H 1+ j j x x harus mempun+ai nilai +ang sama

pada titik batas x 7 x j, j 7 !, ....., n!.

Dihasilkan1

1

1

1

1

111

1

1

D?D −

−

+

++

+−+−

−

−−

−−−

=−

+−

+−

j j

j j

j j

j j

j

j j

j

j j

j

j j

x x

! !

x x

! ! $

x x $

x x $

x x

j 7 !, ?, ....., n1 ....... (!*

3 Berdapat n! persamaan

Dengan asumsi sebelumn+a $ 1 7 $ n 7 $ ....... (?*

"kan dihasilkan $ 1, ....., $ n +ang akan disubstitusi pada (1* menghasilkan %ungsi

penginterpolasi s( x*.

Contoh soal

1. Citung spline kubik alamiah +ang menginterpolasi data

{ }*,4(*,,?(*,,!(*,1,1( 41

?1

!1

!. Citung spline kubik alamiah untuk data

) $.$ $.1 $.? $.

'()* $.$$$$ $.!!4 $.41= 1.$!=

4.. In!e"#$%&si R&si$n&% )&n Pe6&&n Be"s&'(n-



'ungsi%ungsi rasional (+ang merupakan perbandingan polinomial* diperlukan

untuk karakteristik tertentu, misaln+a asimtot.

#ebagai contoh untuk melihat bagaimana kondisi x

x 1!+

di dekat $ tidak dapat di

dekati dengan polinomial.

Misal % x x x ,.....,, 1$ dengan 0 7 n / m adalah titiktitik dimana f ( x$*, ..... f ( x % *

diketahui. Maka untuk tiap i 7 $, ..... 0,

m

imi

n

in

i xb xb

xa xaa x f

+++

+++=

.....1

.....*(

1

11$

&ni dapat ditulis dengan

*(*.....*((..... 111$ i

m

imii

n

in x f xb xb x f xa xaa =++−+++

+ang merupakan sistem linear.

Betapi sistem tersebut tern+ata belum tentu mempun+ai pen+elesaian dan jika ada,

pen+elesaian tersebut belum tentu unik. Dengan demikian, diperlukan metode lain.

#alah satu metode +ang dapat dipakai adalah metode pecahan bersambung

(Contin&#d 'ractions* +ang menggunakan beda iners (in#rs# diff#r#nc#s)

De%inisi beda iners untuk %ungsi f pada titiktitik x$, E.., x %

*n#rs# diff#r#nc#s ke$ GHGH ii x f x =φ

*n#rs# diff#r#nc#s ke1 GHGH

G,H ji

ji

ji x x

x x x x

φ φ φ

−

−=

#ecara umum

G,,.....,HG,,.....,HG,,,.....,H

r p+ p

r +

r + p x x x x x x

x x x x x x

φ φ φ

−

−=

ontoh soal

:ntuk data x$ 7 1, x1 7 $ , x! 7 1 , x? 7 ! dengan nilainilai %ungsi !, 1, ?, !.5,didapatkan tabel beda iners sebagai berikut.

i xi f i G,H $ i x xφ G,,H 1$ i x x xφ G,,,H ?!1$ x x x xφ

$ 1 !

1 $ 1 1

! 1 ? ! $.????

? ! !.5 $.!@5> !1.$$@4



#alah satu perhitungan>

!

D1

!$

G,HG,HG,,H

?$1$

?1?1$ =

−−−

=−−

= x x x x

x x x x x

φ φ φ

Dari de%inisi beda iners di atas, dapat diturunkan rumus interpolasi pecahan

rasional bersambung, seperti uraian berikut ini

$

$$$

*(*(*(*(*(

x x

x f x f x x x f x f

−−

−+= G,H

GH$

$

$ x x

x x x

φ φ

−+= ..... (1*

G,,HG,HG,H

G,HGH*(

1$

11$$

1$

$$$,1

x x x

x x x x x x

x x

x x x x

φ φ φ

φ φ ρ

−+=

−+=

#ubstitusi terhadap (1* maka

G,,HG,H

GH*(

1$

11$

$$

x x x

x x x x

x x x x f

φ φ

φ −

+−+=

Maka *(1,1 x ρ didapatkan dengan mengganti x pada G,,H !1$ x x xφ dengan x!

1?

1>

1

1!*(

?1

1,1 −−

=+−

++=

x

x

x

x x ρ

Dengan demikian, rumus interpolasi pecahan rasional bersambung secara umum

.....G,,,HG,,H

G,H

GH*(

?!1$

!!1$

11$

$$

+−

+

−+

−+=

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x f

φ φ

φ

φ

Contoh soal

1. arilah interpolasi pecahan rasional bersambung dari data pada penjelasan di atas.

x x

x

x x

x x

−+−

++=

−−

+−

++=

@!11

1!

!1

1

?

11

1!*(1,! ρ

@!!

51@

@!!

*@*(1(!

!

−

−+−=

−

−++=

x

x x

x

x x

!. arilah interpolasi %ungsi rasional 1,! ρ untuk data f (1* 7 @, f (!* 7 , f (?* 7 5,

f (4* 7 4



Documents

BAB 3 Interpolasi