Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-1
Bab 3
Terapan Integral Ganda __________________________________________________________________________
3.1 Integral Ganda dalam koordinat Kartesis dan Polar
Koordinat Kartesis Koordinat Polar
Ilustrasi
R={ , | , }x y a x b g x y f x
1 2R={ , | , )}r r
Massa , , R R
x y dA x y dxdyM ∬ ∬ , ,
R R
M r dA r rdrd ∬ ∬
Momen-x , x
R
M y x y dxdy∬ sin ,
R
x dM r r r r d ∬
Momen-y , R
y x x y d dyM x∬ cos , y
R
r r r drM d ∬
Titik berat
,
,
R
R
x x y dx dy
xx y dx dy
,
,
R
R
y x y dx dy
yx y dx dy
2 2 2
Dapat ditentukan
dan dari
r
x rcos
y rsin
x y r
ρ = rapat massa / densiti
A = luas daerah R
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-2
Jika ρ konstan titik pusat massa disebut Sentroid
1
R
R
R
x dx dy
x x dx dyAdx dy
1
R
R
R
y dx dy
y y dx dyAdx dy
3.2 Momen Inersia 1. Momen inersia terhadap suatu garis L, pada kurva
2 ( , ) ( , )L
R
I x y x y dxdy
Dalam hal ini,
x, y = jarak titik (x,y) dari garis L
2. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y
2 ( , )x
R
I y x y dxdy , 2 ( , )y
R
I x x y dxdy
3. Momen inersia polar
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-3
2 2
0 x yI I I ( , )R
x y x y dxdy
Contoh 1. Diketahui: Suatu lamina berbentuk daerah yang dapat didefinisikan sebagai himpunan
2
3R { x, y | 0 8, 0 }x y x dengan rapat massa ,x y xy
Ditanya:M, Mx, My dan ( , )x y , dan lain-lain
Jawab : 2
3R { x, y | 0 8, 0 }x y x
Jadi
2 23 3
23
8 88
2
00
0 0 0 0
8 7
3
0
1( ) ( , )
2
1 768
2 5
x x
x
R
M R x y dxdy xy dxdy xydy dx xy dx
x dx
Jadi massanya adalah 768/5 satuan massa
Untuk pertanyaan lain dapat diselesaikan, dengan menggunakan pernyataan
Moment terhadap sumbu x
( , ) x
R
M R y x y dxdy
Moment terhadap sumbu y
( , ) y
R
M R x x y dxdy
Koordinat
pusat
massa
( ) ( )
,( ) ( )
y x
M R M Rx y
M R M R
3.3 Studi kasus Nebula Cincin
Lingkaran konsentris berikut adalah model ideal dari sebuah ”ring-nebula” berjari- jari a dan
b, dan mempunyai rapat massa yang tetap ( , ) cx y . Pertanyaannya;
a. Deskripsikan daerah R dari cincin ini
b. Hitung momen inersia polarnya
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-4
Simulasi Ring Nebulae “Fomalhaut”, suatu
nebula yang berjarak 25 pc, massa 2,3 massa
matahari dan radiusnya 1,85 radius matahari.
Suhunya 8500 K dan berumur 200 juta tahun.
Noktah merah menunjukkan planet, noktah putih
adalah bintang dan cincin bagian dalam
berwarna kecoklatan menyatakan serpihan
piringan. Jarak planet ke bintang 15 au
Nebula terletak pada rasi Piscis Austrinus dengan h m s o22 57 39 ,1 dan 29 37'20"
Penyelesaian
Persamaan lingkaran dengan jejari a dan b adalah;
2 2 2x y b sebut dareah R1
2 2 2x y a sebut dareah R2
Jadi daerah cincin tersebut adalah R1-R2
Momen inersia cincin dengan jejari a dan b adalah;
2
0R
I r dA dalam hal ini, r – jarak elemen massa/luas ke pusat koordinat, = rapat
massa dan dA elemen luas dalam daerah R
Cara 1
Daerah cincin adalah selisih 1R dan 2R . Luas daerah ini merupakan 4 kali luas daerah yang
terletak pada kuadran I x 0 dan y 0
2 2
1 4 ( , ) | 0 , 0 ( )R x y x b y b x dan 2 2
2 4 ( , ) | , 0 ( )R x y o x a y a x
Jadi :
2
0
2( ) ( , )R
x y x y dxdyI
1 2
2 2 2 2
0
1 1
4 4
4 ( ) 4 ( )
R R
I x y cdxdy x y cdxdy
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-5
2 2 2 2
2 2 2 2
0
0 0 0 0
4 4 4 4 4( )
b b x a a x
b a b aI x y cdxdy x y cdxdy I I I I
Misalkan;
2 2
2 21 3
2 2 2 3 2 2 2 2 22 2
0 0 0 00
1 1
3 3
a xa a x a a
aIx y dxdy x y y dx x a x a x dx
c
Misalkan;
sin cos
0 0
arcsin 12
x a dx a d
x
x a
Jadi diperoleh bentuk integral yang baru;
1 32
2 2 2 2 2 2 2 22 2
0
1sin sin sin cos
3
aIa a a a a a d
c
2 24 2 2 4 4 2 2 4
0 0
/224 2 4 4
2 4
00
1 1sin cos cos (1 cos )cos cos
3 3
2 2cos cos
3 3
aIa d a d
c
a d a C C
Gunakan rumus rekursif;
1
2
1cos cos sin ( 1)
n n
n nC d n Cn
Diperoleh;
/2 4 44
2 4
0
2
3 8 8
aa
I a a ca C C I
c
Dengan cara yang sama, diperoleh;
/2 4 44
2 4
0
2
3 8 8
bb
I b b cb C C I
c
Dengan demikian diperoleh hasil akhir;
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-6
4 44 4
0 42 2
b a
c b ab c a cI I I
Cara 2
Persamaan ini lebih mudah diselesaikan dengan koordinat polar dalam hal ini daerah yang
ditinjau adalah ;
( , ) , dan 0 2R r a r b sedangkan elemen luas dA rdrd
Jadi kita harus menghitung;
4 42
2 3 3
0
0
2( , )
4
b
R R a
c b aI r r rdrd r cdrd c r drd
Atau;
4 4
02
c b aI
3.4 Studi Kasus Inti Komet 1) Inti sebuah komet memperlihatkan daerah berbentuk mirip elips. Inti ini dapat dianggap
sebagai suatu lamina dengan rapat massa tetap. Model ideal untuk inti komet digambarkan
sebagai sebuah daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Pertanyaannya, tentukan sentroid dari
lamina S yang dibatasi kurva berikut:
2 3y x dan 2 5y x
Penyelesaian
Apabila kurva berpotongan artinya, titik potong antara dua kurva memenuhi
3 5 1x x x
Dengan demikian
2 5 4 2y x y
Jadi titik potongnya adalah (1,-2) dan (1,2)
Misal rapat massa lamina homogen tersebut ρ . Maka massa dari lamina tersebut adalah
R R
M ρ x y dxdy ρ dxdy,
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-7
y R
R
x R
R
xdxdyM
xA dxdy
ydxdyM
yA dxdy
Jawab: Hitung luas daerah R
2
2
2
2
252 2 2 25 2 2 2 3
322 2 2 23
2 5 3 8 2 8
3
16 16 32 6416 16 32
3 3 3 3
yy
y
R y
A dxdy dxdy x dy y y dy y dy y y
Titik beratnya dapat dicari
22
22
552 2 2 2 4 4 22
32 2 23
22 23
22
1 3 3 1 3 25 10 6 9
64 64 2 64 2 2
3 16 4 3 2 3 16 16 3 648 16 16 1
64 2 64 3 64 3 3 64 3
yy
R yy
y y y yx x dxdy x dxdy x dy dy
A
ydy y y
∬
dan
2
2
2
2
52 2 25 3 3
3
2 2 23
22
3 2 4
22
1 3 3 3 5 3
64 64 64
3 3 1 38 2 4 16 8 16 8 0
64 64 2 64
yy
yR y
y y dxdy y dxdy xy dy y y y y dyA
y y dy y y
∬
2) . Suatu daerah dibatasi oleh kurva logy x , garis 0y dan 1 x a
Carilah massa dan sentroid dari lamina tersebut ?
Penyelesaian
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-8
Jawab:
, 1 , 0 logR x y x a y x
lnlog
ln10
xx
log
log
0
1 0 1
1 1
lnlog
ln10
xa ax
R
a a
A dxdy dydx y dx
xxdx dx
∬
Tinjau 1
ln
a
xdx
Mis : 1
ln , u x du dx dv dx v xx
Gunakan integrasi parsial u dv uv vdu
1 1
1 1
1ln ln ln ln1 ln 1
a aa a
xdx x x x dx a a x a a ax
Jadi luas daerah yang dibatasi adalah
ln 1
ln10
a a aA
Titik berat dapat dicari dari pernyataan
log
log
0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 ln log
ln10
xa a a ax
R
xx xdxdy xdydx xy dx x xdx x dx
A A A A A ∬
Tinjau 1
ln
a
x xdx
Mis : 1
ln u x du dxx
dan 21
2dv xdx v x
Gunakan integrasi parsial u dv uv vdu
2 2 2 2
1 11 1
1 1 1 1 1 ln ln ln 0
2 2 2 4
a aa a
x xdx x x x dx a a xx
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-9
2 2 22
1
1 1 2 ln 1 ln ln
2 4 4 4
aa a a a
x xdx a a
Untuk titik berat hitung dari pernyataan
2 2 2 2 2 21 (2 1) ln10 (2 1) (2 1)
(4ln10) ( ln 1) 4ln10 4( ln 1
n ln
)
ln la a a a a a a a ax
A a a a a a a
2log 2log
2
01 0 1 1 1
log1 1 1 1 1 1 ln
2 2 2 ln10
xxa a a a
R
x xy y dxdy y dydx y dx dx dx
A A A A A
∬
Tinjau integral 2
1
ln
a
I x dx
Mis : 1
lnu x du dxx
dan ln lndv xdx v x x x
2 2 2
1 1
1 1
2 2
( ln )(ln ) [ (ln ) ln ] ( (ln ) ln ) [ ln ]
ln ln ln 2 0 2 ln 2 ln 2 2
a a
a a
udv uv vdu
x x xI x dx x x x x dx a a a a x x x x
x
a a a a a a a a a a a a
Jadi
2 2
2 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 21 ln10 ln 2 ln 2 2
2 2 ln 1 ln10 2 ln 1
a a a a a a a a a ay a a a a a
A a a a a a a
Kesimpulan, titik beratnya adalah;
2 2(2 1)
4( ln
n
1
l
)
a a ax
a a a
dan
2ln 2 ln 2 2
2 ln 1
a a a a ay
a a a
3.5 Menentukan titik berat inti asteroid / komet Untuk menentukan titik berat inti asteroid / komet. Bayangan dibagi dalam empat
persegi panjang kecil dengan luas yang sama. Pengukuran dilakukan dengan densitometer.
Masing masing empat persegi panjang diukur densitasnya. Pelat potret bergerak maju
mundur, ke kiri dan ke kanan
x
y (xi,yi)
y Densitometer
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-10
Plat potret Schmidt, memperlihatkan
jejak asteroid/komet. Problem utama
adalah menentukan posisi yang tepat
memilih inti komet/asteroid. Aplikasi
mencari titik berat dapat digunakan untuk
menentukan inti komet/asteroid
Gambar Low activity comet P/2006 HR30 bayangan kasar komet dan model koma dipotret 4
Agustus 2006 Palomar 200 inch. Komet ini mirip asteroid tipe D
Titik berat dapat dicari dari formula.
1
1
n
i i
i
n
i
i
x x y
x
x y
dan 1
1
n
i i
i
n
i
i
y x y
y
x y
dengan i rapat massa pada tiap empat persegi panjang dengan dimensi yang sama,
sedangkan n jumlah empat persegi panjang.
3.6 Soal latihan Tentukan sentroid dari lamina S berikut, jika daerah S dibatasi oleh kurva yang bersangkutan
1. 2 , 2y x x y [ 1/ 2, 8 / 5]x y
2. 2 23, 5y x y x [ 1, 0]x y
x
dengan rapat “massa” pada tiap
empat persegi panjang dengan
dimensi yang sama, sedangkan n
jumlah empat persegi panjang.
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-11
3. 2 8 0, 3 5 0, 2, 4x y x y x x 18 50,
13 39x y
4. 2 , 0,0y sin x y x [ / 2, / 8]x y
5. sin , cos , 0 4
y x y x x
22 (log )
( 2 1) 1 ;4 2( log 1)
a ax y
a a a
6. log , 0, 1 y x y x a
2 2 22 log 1 (log ) ; 4( log 1) 2( log 1)
a a a a ax y
a a a a a a
7. 1, 0, 0x y x y [1
5x y ]
8. 2 2
3 3 1, 0, 0 pada kuadran Ix y x y 256
[ ]315
x y
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
KK-Astronomi Page 3-12
Daftar Isi
Bab 3 .......................................................................................................................................... 1
Terapan Integral Ganda.............................................................................................................. 1
3.1 Integral Ganda dalam koordinat Kartesis dan Polar ...................................................... 1
3.2 Momen Inersia ................................................................................................................ 2
3.3 Studi kasus Nebula Cincin .............................................................................................. 3
3.4 Studi Kasus Inti Komet ................................................................................................... 6
3.5 Menentukan titik berat inti asteroid / komet ................................................................. 9
3.6 Soal latihan.................................................................................................................... 10