6. OPTIKA FOURIER
6.1. ANALISIS FOURIER
• Dalam interferensi, difraksi, terjadi superposisidua buah gelombang bahkan lebih.
• Seringkali superposisi terjadi antara gelombangyang memiliki amplitudo, panjang gelombangyang berbeda, sehingga sulit untukmendeskripsikan gelombang hasil superposisi.
• Baron de Fourier (1768-1830) membuatTeorema untuk mengatasi masalah tersebut(TEOREMA FOURIER).
Superposisi dua gelombang harmonik dengan frekuensiberbeda menghasilkan gelombang tak-harmonik
• Teorema Fourier : suatu fungsi yang memilikiperioda ruang λ dapat dianalisis sebagai jumlahfungsi-fungsi harmonik, dimana panjanggelombangnya merupakan integral dari sub-perkalian dari λ (λ, λ/2, λ/3,…).
• Deret Fourier :
• C adalah konstanta dan f(x) menggambarkangelombang yang menjalar f (x - vt).
( )
( ) λπε
ελπ
ελ
πελπ
/2;cos
2cos
...2/
2cos
2cos 12110
=+=
+=
+
++
++=
kmkxC
xmC
xCxCCxf
mm
mm
( )
( ) ∑ ∑∞
=
∞
=
++=
−==
+=+
1 1
0 sincos2
:maka
sin
cos:dimana
sincoscos
mm
mm
mmm
mmm
mmmm
mkxBmkxAA
xf
CB
CA
mkxBmkxAmkxC
εε
ε
Proses penentuan koefisien-koefisien A0, Am, danBm untuk suatu fungsi periodik spesifik f(x) dikenaldengan ANALISIS FOURIER.
• Penentuan koefisien A0.
( )
( )dxxfA
AdxA
dxxf
dxmkxdxmkx
∫
∫∫
∫∫
=
==
==
λ
λλ
λλ
λ
λ
0
0
0
0
0
0
00
2
22
0cossin
• Penentuan koefisien Am dan Bm digunakanortogonalitas fungsi sinusoidal.
ab
ab
dxbkxakx
dxbkxakx
dxbkxakx
δλ
δλ
λ
λ
λ
2sinsin
2coscos
0cossin
0
0
0
∫
∫
∫
=
=
=
• a, b adalah bilangan bulat positif bukan 0. danδab = delta Kronecker
≠=
==
ba
ba
ab
;0
;1
δ
• Sekarang kalikan fungsi f(x) dengan cos mkxkemudian integralkan dari 0 sampai perioda λ :
( )
( )∫
∫ ∫
==
==
λ
λ λ
λ
λ
0
0
2
0
,...2,1,0;cos2
2coscos
mdxmkxxfA
AdxmkxAdxmkxxf
m
mm
• dengan cara yang sama diperoleh :
( )∫ ==λ
λ 0
,...2,1,0;sin2
mdxmkxxfBm
• Maka fungsi periodik f(x) dapat diungkapkandalam deret Fourier :
( )
( )
( )∫
∫
∑∑
=
=
++=∞
=
∞
=
λ
λ
λ
λ
0
0
11
0
sin2
cos2
sincos2
dxmkxxfB
dxmkxxfA
mkxBmkxAA
xf
m
m
mm
mm
Sifat-sifat fungsi f(x) dalam deret Fourier
1. Jika f(x) fungsi genap f(-x) = f(x), atausimetri di x = 0, maka hanya adakomponen cosinus saja atau Bm = 0.
2. Jika f(x) fungsi ganjil f(-x) = - f(x), makahanya ada fungsi sinus saja (Am = 0).
Contoh : Gelombang periodik persegi
Dengan menggunakan deret Fourier, cari bentukfungsi f(x) dan gambarkan bentuk gelombangnyasampai orde-5
0 λ/2 λ 3λ/2−λ/2λ
f(x)
x
+1
-1
• Bentuk matematik gelombang diatas adalah :
( )
<<−<<+
=λλ
λx
xxf
2/;1
2/0;1
• Karena fungsinya ganjil, maka Am = 0 :
( ) ( )
( ) λπππ
ππ
λλλλ
λ
λ
λ
λ
/2;cos12
cos1
cos1
sin)1(2
sin)1(2
2/
2/
0
2/
2/
0
=−=
+−=
−++= ∫∫
kmm
mkxm
mkxm
dxmkxdxmkxBm
• Maka koefisien-koefisien Bm :
( )
+++=
=====
...5sin5
13sin
3
1sin
4
:maka
...;5
4;0;
3
4;0;
454321
kxkxkxxf
BBBBB
π
πππ
Semakin besar orde m yang dihitung, makabentuk fungsi semakinmendekati gelombangpersegi, namun menjadifungsi kontinu.
Deret Fourier mengubahfungsi diskrit menjadi fungsi kontinu
Gelombang Tak-Periodik• Semua gelombang nyata berbentuk pulsa, sehingga
penting untuk menganalisis fungsi-fungsi tak-periodik
• Bentuk pulsa dapat diubah dari fungsi f(x) menjadi suatubentuk fungsi amplitudo sebagai fungsi dari bilangangelombang k.
• Perubahan tersebut menggunakan Transformasi Fourier (Fourier Transform, FT)
• Deret Fourier diubah menjadi integral Fourier.
( ) ( )kAxf m→
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞∞
=
=
+=
dxkxxfkB
dxkxxfkA
dxkxkBdxkxkAxf
sin
cos
sincos1
00π
PULSA DAN PAKET-PAKET GELOMBANG
1. Pulsa Persegi
( )xf
x
0E
-L/2 0 L/2
( )
>
<=
2/;0
2/;0
Lx
LxExf
Karena pulsa f(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0
( ) ( )
=
===
==
+
−
+
−
∞
∞−∫∫
2sinc
2/
2/sin2/sin
2sin
coscos
0
002/
2/0
2/
2/
0
kLLE
kL
kLLEkL
k
Ekx
k
E
dxkxEdxkxxfkA
L
L
L
L
( ) ( ) dxkxkLLExf cos2/sinc1
0
0∫∞
=π
2. Gelombang Cosinus
( )
>
≤≤−=
Lx
LxLxkExE
p
;0
;cos0
Karena E(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0
( )
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]LkkLkkLE
dxxkkxkkE
dxkxxkEkA
pp
pp
L
L
p
L
L
−++=
−++=
=
∫
∫+
−
+
−
sincsinc
coscos2
1
coscos
0
0
0
Jika terdiri dari banyak gelombang ( λ << L), maka kpL >> 2π
( )( ) aikan)kecil/diab(sinc
2
<<+
>>+
Lkk
Lkk
p
p π
( ) ( )LkkLEkA p −= sinc0
• Jika gelombang cosinus dalam domain waktu, makaditransformasi ke domain frekuensi ω.
( )
( )
( ) ( )TcTEA
fFTTransformFouriertf
Tt
TtTtEtE
p
p
ωωω
ω
ω
−=
→→
>
≤≤−=
sin
)()(
;0
;cos
0
0
FOURIER TRANSFORM DISKRIT (DFT)
• Suatu fungsi yang menggambarkan beberapa proses fisisdapat dianalisis dengan analisis Fourier, dan fungsitransformasinya dapat ditentukan secara analitik.
• Contoh : proses interferensi, difraksi dll.
• Namun untuk beberapa situasi tidak ada fungsi yang dapat menggambarkan data.
• Dalam beberapa kasus, fungsi/data dapat dgitalisasi.• Penentuan frekuensi dari data yang terkumpul
menggunakan teknik numerik yaitu transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform, DFT).
• Contoh :
(a). Pulsa persegi 1D , (b). Transformasi Foruier-nya
(c). Pulsa persegi 2D, (d). Trans. Fourier, (e). Intensitas
E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002
Aplikasi : Filter frekuensi GambarGambar monalisa tidakdapat digambarkan denganfungsi tertentu.
Gambar discan, digitalisasidan dikomputasi denganDFT.
(a). Gambar Mona Lisa
(b). Spektrum Intensitashasil DFT
(c). Gambar setelahfrekuensi tinggi dibuang
(d). Gambar setalahfrekuensi rendahdihilangkan
E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002
Tugas Individu/Mandiri
1. Dengan deret Fourier, cari fungsi f(x) dari sinyal dibawahini sampai orde ke-7 dan gambarkan fungsinya.
λ/2
−λ/2
−λ/2 +λ/2−λ +λ
f(x)
x+3λ/2
−3λ/2
2. Cari transformasiFourier dari sinyalsegitiga dibawah ini, dan gambarkan x
E (x)
-L +L
L