49
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai langkah penyelesaian masalah
pemrograman nonlinear dan penerapannya dalam penetapan jumlah produksi
optimal pada biaya produksi perbulan di Tempe Murni dengan pendekatan
separable programming menggunakan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong
dengan algoritma genetika.
A. Penyelesaian Masalah Nonlinear Menggunakan Pendekatan Separable
Programming
Separable programming merupakan metode penyelesaian model nonlinear
yang khusus karena fungsi tujuan dan fungsi kendalanya harus dinyatakan sebagai
jumlahan fungsi satu variabel dan bukan perkalian dua variabel berbeda atau
lebih. Separable programming selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan
hampiran fungsi linear sepotong-sepotong. Adapun langkah penyelesaiannya
yaitu :
a. Membentuk model nonlinear
Model nonlinear dibentuk berdasarkan data yang diperoleh dari objek
penelitian.
b. Membentuk Masalah P ( Fungsi Separable)
c. Mentransformasikan fungsi nonlinear menjadi fungsi linear dengan hampiran
linear sepotong-sepotong formulasi Lambda dan membuat titik kisi.
50
d. Membentuk masalah AP
e. Membentuk masalah LAP
f. Menyelesaikan masalah LAP.
Masalah LAP yang diperoleh merupakan pemrograman linear yang
selanjutnya dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian pemrograman linear.
Skripsi ini menggunakan algoritma genetika untuk menyelesaikan pemrograman
linear yang telah diperoleh.
Secara umum, langkah penyelesaian pemrograman nonlinear menggunakan
pendekatan separable programming dengan hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong formulasi lambda menggunakan algoritma genetika dapat diilustrasikan
seperti pada Gambar 3.1 berikut :
Gambar 3.1 Bagan penyelesaian model nonlinear menggunakan separable
programming metode hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong formulasi lambda dengan Algoritma Genetika
a
b
Fungsi Nonlinear
Membentuk Masalah P
Mentransformasikan Fungsi Nonlinear menjadi Fungsi Linear dengan hampiran linear sepotong-sepotong formulasi Lambda dan membuat titik
kisi
Membentuk Masalah AP
Membentuk Masalah LAP
Menyelesaikan Masalah LAP dengan Algoritma Genetika
Solusi Optimal
51
Keterangan :
a : Nilai Lambda disubstitusikan ke fungsi tujuan linear.
b : Nilai lambda disubstitusikan ke persamaan variabel x untuk selanjutnya
disubstitusi ke fungsi tujuan nonlinear.
B. Penerapan Model Nonlinear pada Produksi Tempe Murni
Pada sub bab ini akan dibahas bagaimana pembentukan model nonlinear
untuk optimisasi biaya produksi di Tempe Murni untuk selanjutnya akan dibahas
langkah penyelesaian model dengan menggunakan pendekatan separable
programming dengan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong. Pada
penyelesaian akhir separable programming setelah terbentuk fungsi linear dengan
kendala linear selanjutnya akan diselesaikan dengan algoritma genetika.
1. Pembentukan Model
Indusri Tempe Murni setiap harinya memproduksi ratusan bungkus tempe
dengan berbagai harga/bungkus. Terdapat empat variasi harga yang diproduksi,
yaitu harga Rp 5.000,00, harga Rp 3.500,00, harga Rp 2.500,00 dan harga Rp
2.000,00. Dari keempat varian tempe yang diproduksi, tempe dengan harga Rp
5.000,00/bungkus menjadi jenis produk yang paling banyak diminati sehingga
jumlah produksinya paling banyak di antara yang lain. Selain produksi harian
tetap yang akan dijual langsung, industri Tempe Murni juga menerima jasa
pemesanan untuk konsumennya. Sehingga saat tejadi pemesanan tambahan dari
konsumen, jumlah produksi/bulan yang dibuat akan mengalami kenaikan
sehingga total produksi bulanan di Tempe Murni tidak selalu tetap.
52
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka akan disusun model untuk
meminimumkan biaya produksi bulanan yang harus dikeluarkan industri Tempe
Murni agar keuntungan yang dihasilkan menjadi optimal. Adapun yang dimaksud
biaya produksi total di sini yaitu biaya pembelian bahan baku, upah tetap pekerja,
biaya distribusi dan biaya tambahan lain. Biaya – biaya seperti biaya pembelian
bahan baku, upah tetap pekerja, biaya distribusi telah dikalkulasi oleh pemilik
produksi dan dijadikan biaya modal untuk setiap bungkus tempe yang dihasilkan
sehingga tidak dinotasikan dalam suatu variabel. Biaya tambahan lain yang
dimaksud adalah biaya yang dikeluarkan saat terjadi pemesanan dalam jumlah
besar. Pada kondisi tersebut tenaga kerja akan mengalami penambahan jam kerja
sehingga terdapat pengeluaran tambahan untuk upah jam tambahan pekerja. Tabel
3.1 – Tabel 3.3 berikut adalah data produksi tetap, data jumlah pemesanan dan
data biaya produksi bulanan Tempe Murni.
Tabel 3.1 Jumlah Produksi Tetap (Tanpa Pesanan) Tempe Murni Periode
April 2016 – Juni 2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus)
A
(5.000/bungkus)
B
(3.500/bungkus)
C
(2.500/bungkus)
D
(2.000/bungkus)
April 2016 6000 3600 1000 1500
Mei 2016 6000 3600 900 1800
Juni 2016 6000 3600 900 1800
Jumlah produksi tetap ini merupakan jumlah tempe yang habis terjual
setiap bulannya, yang belum merupakan kapasitas maksimal produksi. Kapasitas
53
maksimal produksi berupa jumlah tempe maksimal yang dapat diproduksi pekerja
tanpa adanya biaya tambahan.
Tabel 3.2 Jumlah Pemesanan Tempe Murni Periode April 2016 – Juni
2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus)
A
(5.000/bungkus)
B
(3.500/bungkus)
C
(2.500/bungkus)
D
(2.000/bungkus)
April 2016 120 150 240 300
Mei 2016 200 150 240 320
Juni 2016 300 180 210 360
Jumlah pemesanan merupakan jumlah tempe yang diproduksi diluar
produksi tetap. Jika jumlah pemesanan sedikit dan tidak melebihi kapasitas
maksimal produksi maka pemilik tidak akan mengeluarkan biaya tambahan.
Tabel 3.3 Data Biaya Produksi Tempe Murni Periode April 2016 – Juni
2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus)
A
(5.000/bungkus)
B
(3.500/bungkus)
C
(2.500/bungkus)
D
(2.000/bungkus)
April 2016 Rp 17.433.500,00 Rp7.518.500,00 Rp1.802.900,00 Rp1.980.000,00
Mei 2016 Rp 17.665.200,00 Rp7.518.500,00 Rp1.657.600,00 Rp2.332.000,00
Juni 2016 Rp 17.957.000,00 Rp7.578.200,00 Rp1.616.800,00 Rp2.378.500,00
54
Tabel 3.3 merupakan data biaya produksi yang dikeluarkan untuk produksi
total Tempe Murni (tetap dan pesanan) selama periode yang ditentukan. Naik
turunnya jumlah biaya membuat produsen Tempe Murni masih kesulitan dalam
hal menentukan jumlah produksi minimal untuk setiap varian tempe yang
diproduksi, sehingga diharapkan nantinya industri Tempe Murni dapat
memperkirakan biaya produksi minimal yang harus dikeluakan setiap bulannya.
Dalam penelitian ini diasumsikan beberapa hal, yaitu :
1. Produksi tetap setiap bulan selalu habis terjual.
2. Pola jumlah pemesanan tidak berbeda secara signifikan.
3. Tidak ada perubahan biaya modal.
Selanjutnya, berdasarkan tujuan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan
biaya produksi Tempe Murni untuk empat varian harga, maka dibentuk variabel
keputusan yang akan digunakan yaitu :
= banyak produksi tempe varian A yaitu tempe dengan harga Rp
5.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian B yaitu tempe dengan harga Rp
3.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian C yaitu tempe dengan harga Rp
2.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian D yaitu tempe dengan harga Rp
2.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
Adapun langkah – langkah dalam pembentukan model matematika untuk
permasalahan Tempe Murni adalah sebagai berikut :
55
a. Membentuk Fungsi Tujuan
Melihat data biaya produksi dari Tempe Murni tiap bulannya berubah-
ubah, maka fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah fungsi dengan bentuk
nonlinear. Biaya produksi total merupakan jumlahan dari biaya produksi untuk
masing – masing varian produk. Oleh karena itu, fungsi tujuan dapat dinyatakan
sebagai jumlahan dari biaya produksi untuk setiap varian produk.
Pada permasalahan Tempe Murni ini digunakan data biaya produksi bulan
April 2016 hingga Juni 2016 tiap produk. Fungsi tujuan dibentuk dengan
menjadikan jumlah produksi total tiap varian sebagai nilai , dan biaya produksi
setiap varian produk sebagai nilai . Fungsi biaya yang dikeluarkan untuk
memproduksi setiap varian tempe diperoleh dengan mencari regresi polynomial
yang akan ditentukan dengan software Geogebra melalui perintah Fitpoly.
1) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Langkah yang digunakan untuk mencari fungsi biaya yaitu dengan
menginput data jumlah produksi total Tempe Murni Varian A dan biaya produksi
Tempe Murni Varian A. Selanjutnya dengan bantuan menu Spreadsheet dalam
software Geogebra lalu diolah menggunakan command Fitpoly dengan orde 2,
maka didapatkan Gambar 3.2 sebagai berikut :
56
Gambar3.2 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang
dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
0,12 2408,07 4292917,02 (3.1)
2) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe
Murni Varian B dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan
menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.3 sebagai berikut :
57
Gambar 3.3 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang
dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
0,19 1378,58 374355,88 (3.2)
3) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe
Murni varian C dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan
menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.4 sebagai berikut :
58
Gambar 3.4 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang
dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
0,72 249,62 1012447,66 (3.3)
4) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe
Murni varian D dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan
menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.5 sebagai berikut :
59
Gambar 3.5 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang
dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
0,17 419,44 662500 (3.4)
Fungsi tujuan pada permasalahan ini adalah mengoptimalkan biaya
produksi total yang dibentuk dari penjumlahan biaya produksi setiap varian
produk, sehingga berdasarkan fungsi (3.1) – (3.4) maka didapatkan fungsi tujuan
adalah meminimumkan :
, , , 0,12 2408,07 4292917,02 0,19
1378,58 374355,88 0,72 249,62 1012447,66
0,17 419,44 662500 (3.5)
60
Persamaan (3.5) Tersebut dapat disederhanakan menjadi :
, , , 0,12 2408,07 0,19 1378,58
0,72 249,62 0,17 419,44 5593508,8 (3.6)
b. Membentuk Fungsi Kendala
Berdasarkan informasi dari pemilik industri Tempe Murni, kapasitas
minimal produksi untuk tempe jenis A ( adalah 6200 bungkus, tempe jenis B
( sebanyak 3760 bungkus, tempe jenis C ( sebanyak 1180 bungkus dan
tempe jenis D ( sebanyak 2100 bungkus.
Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya
produksi, maka jumlah produksi yang dapat dibuat diharapkan merupakan jumlah
produksi yang maksimal agar tidak terlalu banyak penambahan produksi saat
terjadi pemesanan dalam jumlah besar. Fungsi kendala dari permasalahan ini
dapat dirumuskan sebagai berikut :
6200 (3.7a)
3760 (3.7b)
1180 (3.7c)
2100 (3.7d)
, , , 0 (3.7e)
Jadi, permasalahan industri Tempe Murni dapat dimodelkan menjadi
model nonlinear dengan fungsi tujuan sesuai dengan Persamaan (3.6) dan fungsi
kendala sesuai dengan Persamaan (3.7).
61
2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Separable Programming
Metode Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong
Penyelesaian model nonlinear dengan pendekatan separable programming
selanjutnya dikerjakan menggunakan metode hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong (piecewise linear approximation). Adapun langkah – langkah
penyelesaiannya yaitu sebagai berikut :
a. Membentuk Masalah P
Berdasarkan Persamaan (3.6), maka diperoleh :
0,12 2408,07 (3.8a)
0,19 1378,58 (3.8b)
0,72 249,62 (3.8c)
0,17 419,44 5593508,8 (3.8d)
Persamaan (3.6) yang telah dijabarkan dalam Persamaan (3.8) tersebut
dapat dinyatakan sebagai fungsi separable seperti persamaan (2.18) untuk
1,2,3,4 yaitu :
∑ (3.9)
Berdasarkan fungsi kendala (3.7) dan Persamaan (2.19), maka fungsi
kendala tersebut dapat diubah menjadi :
; 0 ; 0 ; 0 (3.10a)
0; ; 0 ; 0 (3.10b)
0; 0 ; ; 0 (3.10c)
0; 0 ; 0 ; (3.10d)
62
Pada pembentukan fungsi kendala dengan pendekatan separable
programming perlu ditambahkan satu kendala lagi yaitu interval nilai untuk
1, 2, 3, 4. Berdasarkan kendala (3.7) maka kendala baru yang ditambahkan
yaitu 0 6300 (3.10e)
Batas atas dalam permasalahan ini digunakan 6300 karena yang
mendekati nilai kendala yang paling besar.
Selanjutnya, untuk masalah meminimumkan harus dipenuhi bahwa
Persamaan (3.6) dan Persamaan (3.7) merupakan jumlahan dari fungsi –
fungsi cembung. Fungsi cembung dapat diidentifikasi dengan menentukan
turunan keduanya. Berdasarkan Teorema 2.1., maka :
0,24 0
0,38 0
1,44 0
0,34 0
Turunan kedua dari setiap fungsi > 0 sehingga merupakan fungsi
cembung sempurna. Dengan cara yang sama dapat diketahui pula bahwa
setiap fungsi kendala (3.7) merupakan fungsi cembung.
Berdasarkan identifikasi yang telah dilakukan, maka masalah nonlinear
dengan fungsi tujuan seperti pada Persamaan (3.6) dan fungsi kendala seperti
63
pada Persamaan (3.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan separable
programming.
b. Menentukan jumlah titik kisi
Banyaknya titik kisi dapat ditentukan secara sembarang. Pada
perhitungan awal untuk masalah ini ditetapkan jumlah titik kisi yang
digunakan sebanyak empat ( 1, 2, 3, 4 . Interval setiap titik kisi pada
masalah ini dibuat sama agar memudahkan dalam perhitungan. Berdasarkan
(3.10e) maka nilai untuk permasalahan ini adalah sebagai berikut :
0, 2100, 4200, 6300 (3.11a)
0, 2100, 4200, 6300 (3.11b)
0, 2100, 4200, 6300 (3.11c)
0, 2100, 4200, 6300 (3.11d)
Nilai fungsi titik kisi dengan 4 titik kisi dapat dilihat pada Lampiran 3.
c. Membentuk Masalah AP
Pembentukan masalah AP diperoleh dengan cara membentuk model
linear dari masalah P yang dilakukan dengan hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong formulasi lambda. Berdasarkan Persamaan (2.24), (2.25) dan (2.26)
maka diperoleh hampiran linearnya yaitu :
∑ (3.12a)
∑ (3.12b)
∑ (3.12c)
∑ (3.12d)
64
dengan kendala
∑ (3.13a)
∑ (3.13b)
∑ (3.13c)
∑ (3.13d)
∑ (3.13e)
∑ (3.13f)
∑ (3.13g)
∑ (3.13h)
∑ (3.13i)
∑ (3.13j)
∑ (3.13k)
∑ (3.13l)
∑ (3.13m)
∑ (3.13n)
∑ (3.13o)
∑ (3.13p)
1 (3.14a)
1 (3.14b)
1 (3.14c)
1 (3.14d)
, , , 0 untuk 1,2,3, … ,4. (3.14e)
dengan yang diperoleh berdasarkan pada persamaan (2.27) yaitu :
65
0 2100 4200 6300 (3.15a)
0 2100 4200 6300 (3.15b)
0 2100 4200 6300 (3.15c)
0 2100 4200 6300 (3.15d)
Sehingga diperoleh masalah AP sebagai berikut :
Meminimumkan
∑ (3.16)
dengan kendala
∑ , 1,2, … , (3.17)
0 1,2, … , (3.18)
d. Membentuk Masalah LAP
Berdasarkan Persamaan (2.30), fungsi tujuan masalah LAP dapat
dituliskan sebagai berikut :
∑ . (3.19)
berdasarkan persamaan (3.12a) – (3.12d), persamaan (3.19) dapat dituliskan
sebagai berikut
∑ (3.20)
Berdasarkan persamaan (2.30), persamaan (3.20) dapat dituliskan
sebagai berikut
11 1 11 21 1 21 41 1 4 1
66
. (3.21)
Berdasarkan persamaan (3.8), (3.9) dan (3.10) dalam menghitung nilai dari
, dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada lampiran 3, diperoleh
hampiran fungsi tujuan linear sebagai berikut :
0 11 3486147 21 8030694 31 13633641 41 0 12
3732918 22 9141636 32 16226154 42 0 13 2650998 23
11652396 33 27004194 43 5593508,8 14 7224032,8 24
10353956,8 34 14983280,8 44 (3.22)
Berdasarkan persamaan (2.31a), fungsi kendala untuk masalah LAP dapat
dituliskan sebagai berikut
∑ 1 2 3 4 1 (3.23a)
∑ 1 2 3 4 2 (3.23b)
∑ 1 2 3 4 3 (3.23c)
∑ 1 2 3 4 4 (3.23d)
Berdasarkan persamaan (3.13), persamaan (3.23) dapat dituliskan sebagai
berikut :
∑ ∑ ∑ ∑
∑ 1 (3.24a)
∑ ∑ ∑ ∑
∑ (3.24b)
∑ ∑ ∑ ∑
∑ (3.24c)
67
∑ ∑ ∑ ∑
∑ . (3.24d)
Berdasarkan persamaan (2.31a), persamaan (3.24) dapat dituliskan sebagai
berikut
11 11 21 21 41 41
12 12 12
13 13 13
14 14 14 (3.25a)
11 11 21 21 41 41
22 22 22
23 23 23
24 24 24 (3.25b)
11 11 21 21 41 41
32 32 32
33 33 33
34 34 34 (3.25c)
11 11 21 21 41 41
12 12 22 22 42 42
43 43 43
44 44 44 . (3.25d)
68
Berdasarkan persamaan (3.25) dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada
Lampiran 3, substitusikan nilai dari sehingga diperoleh hampiran
fungsi kendala linear sebagai berikut
0 11 2100 21 4200 31 6300 41 0 12 0 22
0 32 0 42 0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 0 24 0 34
0 44 6200 (3.26a)
0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 2100 22 4200 32
6300 42 0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 0 24 0 34 0 44
3760 (3.26b)
0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 0 22 0 32 0 42
0 13 2100 23 4200 33 6300 43 0 14 0 24 0 34 0 44
1180 (3.26c)
0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 0 22 0 32 0 42
0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 2100 24 4200 34 6300 44
2100 (3.26d)
Berdasarkan Persamaan (3.22) dan (3.26) dapat diperoleh masalah
pemrograman linear dengan fungsi-fungsi linear sebagai berikut :
Meminimumkan
0 11 3486147 21 8030694 31 13633641 41 0 12
3732918 22 9141636 32 16226154 42 0 13 2650998 23
11652396 33 27004194 43 5593508,8 14 7224032,8 24
10353956,8 34 14983280,8 44 (3.27)
69
dengan kendala
0 11 2100 21 4200 31 6300 1 0 12 0 22 0 32 0
0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 0 24 0 34 0 44 6200 (3.28a)
0 0 0 0 0 2100 4200
6300 0 0 0 0 0 0 0
0 3760 (3.28b)
0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 0 22 0 32 0 42
0 13 2100 23 4200 33 6300 43 0 14 0 24 0 34
0 44 1180 (3.28c)
0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 0 22 0 32 0 42
0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 2100 24 4200 34
6300 44 2100 (3.28d)
11 21 31 41 1 (3.28e)
12 22 32 42 1 (3.28f)
13 23 33 43 1 (3.28g)
14 24 34 44 1 (3.28h)
1, 2, 3, 4 0 dengan 1, 2, 3, 4
70
dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua
, tidak nol dan berdampingan.
Berdasarkan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diperoleh,
maka dapat diketahui bahwa model linear yang terbentuk memiliki 16 variabel
keputusan dengan 8 fungsi kendala.
e. Menyelesaikan model linear dengan Algoritma Genetika
Proses penyelesaian model linear dengan kendala linear ini akan
menggunakan bantuan software Matlab yang akan dibahas dalam sub bab
berikutnya.
3. Penyelesaian Model Linear dengan Algoritma Genetika
Penyelesaian model linear dengan algoritma genetika akan dilakukan
menggunakan software Matlab. Optimisasi Algoritma default dari Matlab
merupakan optimisasi meminimumkan. Beberapa komponen algoritma genetika
yang telah diset oleh Matlab yaitu jumlah populasi sebanyak 20, seleksi
menggunakan metode roulette whell, crossover probability ( = 0,8 dan mutation
probability ( = 0,2. Jadi dalam skripsi ini hanya membahas proses Algoritma
Genetika dengan menggunakan proses yang telah menjadi default dari Matlab.
Meminimumkan
0 11 3486147 21 8030694 31 13633641 41 0 12
3732918 22 9141636 32 16226154 42 0 13
2650998 23 11652396 33 27004194 43
5593508,8 14 7224032,8 24 10353956,8 34
14983280,8 44
71
dengan kendala
2100 4200 6300 6200
2100 4200 6300 3760
2100 23 4200 33 6300 43 1180
2100 4200 6300 2100
1
12 22 32 42 1
13 23 33 43 1
14 24 34 44 1
1, 2, 3, 4 0 dengan 1, 2, 3, 4
Selanjutnya untuk memudahkan penginputan, variabel-variabel pada
fungsi diatas akan diubah sebelum diselesaikan menggunakan Matlab. Adapun
teknis pengubahannya yaitu berurutan dari 1 , 2 , ,
16 . Sehingga menjadi sebagai berikut :
Meminimumkan
0 1 3486147 2 8030694 3 13633641 4
0 5 3732918 6 9141636 7
16226154 8 0 9 2650998 10
11652396 11 27004194 12
5593508,8 13 7224032,8 14
10353956,8 15 14983280,8 16
dengan kendala
72
2100 2 4200 3 6300 4 6200
2100 6 4200 7 6300 8 3760
2100 10 4200 11 6300 12 1180
2100 14 4200 15 6300 16 2100
1 2 3 4 1
5 6 7 8 1
9 10 11 12 1
13 14 15 16 1
0 , dengan 1,2, ,16
Langkah – langkah penyelesaiannya sebagai berikut :
a. Pengkodean Fungsi Fitness
Fungsi fitness merupakan fungsi tujuan yang akan dicari nilai
optimalnya. Nilai optimal yang dicari dalam Matlab adalah nilai minimum
dari fungsi fitness. Input disimpan dengan nama fungsiku.m (dapat dilihat di
Lampiran 4).
b. Pengkodean Fungsi Kendala
Fungsi kendala diinput dalam script Matlab dan disimpan dengan nama
kendala.m(dapat dilihat di Lampiran 4).
c. Minimasi dengan Algoritma Genetika
Langkahnya yaitu melakukan input perintah pada command window
untuk mengoptimalkan fungsi tujuan dengan kendala yang sudah diinput dan
disimpan dengan nama fungsiku.m dan kendala.m tadi.
73
Tampilannya sebagai berikut :
Gambar 3.6 Tampilan perintah untuk minimasi pada command window
Matlab
Selanjutnya dengan menekan enter maka akan didapatkan nilai atau
yang meminimumkan fungsi tujuan linear. Namun karena sifat dasar algoritma
genetika yang dimulai dengan menggunakan pembangkitan bilangan acak
seperti yang sudah dijelaskan dalam Contoh 2.5, maka dalam skripsi ini
digunakan 10 kali penginputan fungsi fitness dan fungsi kendala yang sama
(hasil dapat dilihat pada Lampiran 5), dan dipilih satu hasil yang paling
minimum sebagai berikut :
Gambar 3.7 Tampilan hasil perintah minimasi pada command window
74
Berdasarkan Gambar 3.7 diatas didapatkan hasil yang optimal yaitu :
(1) = 0,0000
(2) = 0,0000
(3) = 0,0475
(4) = 0,9525
(5) = 0,0000
(6) = 0,2094
(7) = 0,7906
(8) = 0,0000
(9) = 0,3254
(10) = 0,6746
(11) = 0,0000
(12) = 0,0000
(13) = 0,0000
(14) = 0,9761
(15) = 0,0239
(16) = 0,0000
Pada permasalahan ini membahas tentang produksi tempe yang
dinyatakan dalam satuan bungkus, sehingga lambda yang diperoleh harus
merupakan bilangan bulat agar didapatkan jumlah produksi tempe dalam
bilangan bulat. Oleh karena itu, dilakukan pemrograman bulat untuk
mengubah lambda yang telah diperoleh menjadi bilangan bulat. Pemrograman
75
bulat dilakukan menggunakan software WinQSB yang prosesnya dapat dilihat
pada Lampiran 6 sehingga diperoleh hasil
Gambar 3.8 Hasil Pemrograman Bulat dengan WinQSB
dengan lambda sudah dalam bentuk bilangan bulat.
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
76
1
0
0
32.560.310
Langkah selanjutnya yaitu mensubstitusikan nilai-nilai lambda yang
telah didapatkan kedalam persamaan (3.15) untuk mendapatkan nilai
, , , dan sehingga didapatkan :
0 2100 4200 6300
=(0)(0) + (2100)(0) + (4200)(0) + (6300)(1)
= 6300
0 2100 4200 6300
= (0)(0) + (2100)(0) + (4200)(1) + (6300)(0)
=4200
0 2100 4200 6300
= (0)(0) + (2100)(1) + (4200)(0) + (6300)(0)
= 2100
0 2100 4200 6300
= (0)(0) + (2100)(1) + (4200)(0) + (6300)(0)
= 2100
Hasil yang diperoleh yaitu jumlah produksi (varian A) sebanyak 6300
bungkus, (varian B) sebanyak 4200 bungkus, (varian C) sebanyak 2100
bungkus dan (varian D) sebanyak 2100 bungkus.
77
Sehingga nilai minimum untuk fungsi nonlinear (biaya total produksi
bulan Juli) yaitu :
, , ,
0,12 1408,07 0,19 1378,58 0,72
249,62 0,17 419,44 5593508,8
=(0,12)(6300)2 + (1408,07)(6300) + (0,19)(4200)2 +
(1378,58)(4200) +(0,72)(2100)2 – (249,62)(2100) +
(0,17)(2100)2+ (419,44)(2100) + 5593508,8
= 32.650.307,8
Selanjutnya sebagai pembanding, masalah nonlinear produksi tempe murni
juga diselesaiakan langsung menggunakan software winqsb. Melalui software
winqsb didapatkan hasil biaya produksi Rp 32.417.660,00 (Lampiran 7).
Hasil perhitungan fungsi tujuan linear dengan nonlinear memang sedikit
berbeda karena fungsi tujuan linear merupakan suatu nilai pendekatan (Rao, 1984
: 649), namun demikian substitusi nilai bernilai benar karena adanya jaminan
bahwa hanya ada dua yang bernilai positif dan lebih dari nol.
Berdasarkan Teorema 2.2 yang menjelaskan bahwa penyelesaian masalah
pendekatan juga merupakan penyelesaian yang layak dari masalah P. Pada
penelitian ini Masalah LAP merupakan pendekatan dari masalah nonlinear
sehingga penyelesaian pendekatan pada masalah LAP merupakan penyelesaian
layak dari masalah nonlinear juga.