AKADEMIA GÓRNICZO – HUTNICZA
im. Stanisława Staszica
WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOINŻYNIERII
KATEDRA GEOMECHANIKI, BUDOWNICTWA I
GEOTECHNIKI
Rozprawa doktorska
Badania nad kształtowaniem się wartości
współczynnika podatności podłoża dla celów
obliczeń statycznych obudowy tuneli
mgr inż. Kornel Frydrych
Promotor:
Prof. dr hab. inż. Andrzej Wichur
Kraków 2012 r.
Składam serdeczne podziękowania Promotorowi
Panu Profesorowi Andrzejowi Wichurowi, za pomoc,
okazaną cierpliwość oraz cenne uwagi przekazane w
trakcie pisania pracy.
3
Spis treści
1. Wstęp ………………………………..………………………………..……………... 14
1.1. Pojęcie współczynnika podatności podłoża ……………………………..... 14
1.2. Teza i cel pracy ………………………………..……………………………. 16
1.3. Zakres pracy ………………………………..………………………………. 17
2. Odpór sprężysty górotworu (podłoża) w projektowaniu budowli oraz obudowy
Wyrobisk podziemnych ……………………………..…………………….………... 18
2.1. Odpór sprężysty w projektowaniu fundamentów …………………………… 18
2.2. Odpór sprężysty w projektowaniu obudowy wyrobisk podziemnych ……… 21
2.3. Koncepcja badań ……………………………..……………………………... 27
3. Badania wstępne nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności
podłoża w zagadnieniach projektowania obudowy tuneli ..……………………….. 29
3.1. Cel badań ......…………………………..……………………………………. 29
3.2. Wpływ konstrukcji obudowy wyrobiska o przekroju kołowym na
wartość współczynnika podatności podłoża ………………………………. 29
3.3. Wyrobisko o przekroju kołowym obciążone od wewnątrz ciśnieniem
normalnym p = po + p2 cos 2 ………………………………..……………. 45
3.4. Wnioski ………………………………..…………………………………….. 58
4. Badania kształtowania się wartości współczynnika podatności podłoża w
zagadnieniach projektowania tuneli o przekroju kołowym i eliptycznym ………… 59
4.1. Obecny zakres stosowania przekrojów poprzecznych kołowych
i eliptycznych w budownictwie podziemnym ………………………………. 59
4.2. Konstrukcja oraz weryfikacja modelu obliczeniowego dla przekroju
kołowego i eliptycznego ………………………………..…………………… 62
4.3. Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla tarczy z otworem
kołowym i eliptycznym ………………………………..……………………. 68
4.3.1. Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla różnych wartości
współczynnika sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona
górotworu ………………………………..……………………………… 68
4.3.2. Obliczenia współczynnika kształtu k dla różnych wartości
współczynnika sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona
górotworu ………………………………..……………………………… 85
4.3.3. Obliczenia współczynnika kształtu k dla różnych stosunków
4
półosi elipsy ………………………………..………………………….. 103
4.3.3.1. Dla a/b = 2,0 ………………………………..……………... 107
4.3.3.2. Dla a/b = 1,75 ………………………………..……………. 114
4.3.3.3. Dla a/b = 1,5 ………………………………..……………... 121
4.3.3.4. Dla a/b = 1,25 ………………………………..……………. 128
4.3.3.5. Dla a/b = 1,0 ………………………………..……………... 135
4.3.4. Aproksymacja funkcji współczynnika kształtu k ……………………. 142
4.4. Przykład zastosowania opracowanej metody wyznaczania wartości
współczynnika podatności podłoża dla tunelu o przekroju
eliptycznym ………………………………..………………………………. 151
5. Podsumowanie i wnioski końcowe ………………………………..……………… 156
6. Literatura ………………………………..…………………………………………. 159
7. Załączniki ………………………………..………………………………..……….. 169
5
Spis rysunków
Rysunek 1.1 Model sprężystego podłoża wg Winklera
Rysunek 2.1 Schemat statyczny do obliczeń sił wewnętrznych
Rysunek 2.2 Węzły obliczeniowe współpracy obudowy z górotworem
Rysunek 2.3 Określenie zasięgu odporu na podstawie przemieszczeń układu podstawowego
Rysunek 3.1 Przekrój tunelu w obudowie wielowarstwowej
Rysunek 3.2 Szkic do modelu (1)
Rysunek 3.3 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu
o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości
2 mm
Rysunek 3.4 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu
o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości
5 mm
Rysunek 3.5 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu
o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości
10 mm
Rysunek 3.6 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu
o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości
20 mm
Rysunek 3.7 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla obudowy wstępnej
tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej
Rysunek 3.8 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od
współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla tunelu bez obudowy
wstępnej
Rysunek 3.9 Tarcza z pierścieniem kołowym obciążona na brzegach ciśnieniem pz i px
Rysunek 3.10 Pierścień kołowy obciążony na obydwóch brzegach
Rysunek 3.11 Wykres naprężeń radialnych σr
6
Rysunek 3.12 Wykres naprężeń obwodowych σt
Rysunek 3.13 Wykres naprężeń stycznych τ
Rysunek 3.14 Wykres przemieszczeń radialnych u
Rysunek 3.15 Tarcza z otworem kołowym obciążonym od wewnątrz obciążeniem normal-
nym p = p0 + p2 · cos2φ
Rysunek 3.16 Wartość współczynnika C(, , ) na obwodzie wyrobiska zależna od parame-
tru
Rysunek 4.1 Przekroje wyrobisk stosowane w budownictwie podziemnym
Rysunek 4.2 Tunele szlakowe Metra Warszawskiego
Rysunek 4.3 Schemat skrajni dwujezdniowej drogi1)
klasy A lub S
Rysunek 4.4 Schemat dwóch tuneli eliptycznych dla dwujezdniowej drogi klasy A
Rysunek 4.5 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – schemat obciążenia
Rysunek 4.6 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – wymiary
Rysunek 4.7 Model tarczy z otworem kołowym (rw = 6,58 m) obciążonym od środka ciśnie-
niem 1,0 MPa
Rysunek 4.8 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu kołowego
(rw = 6,58 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000
15000 MPa, = 0,15 0,25)
Rysunek 4.9 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m –
schemat obciążenia
Rysunek 4.10 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m –
wymiary
Rysunek 4.11 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m; b = 4,9 m) obciążonym od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.12 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.13 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
7
Rysunek 4.14 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 100 ÷ 30000 MPa, = 0,20)
Rysunek 4.15 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonym od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.16 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m) obciążonym od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.17 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.18 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.19 Schemat wykorzystany do obliczenia współczynnika kształtu
Rysunek 4.20 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.21 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25m, b = 4,9 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.22 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25m, b = 4,9m)
(E = 100 ÷ 30000 MPa, = 0,20)
Rysunek 4.23 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.24 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.25 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,20)
Rysunek 4.26 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.27 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.28 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,20)
8
Rysunek 4.29 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.30 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75
(a = 11,13 m; b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.31 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 ( a = 9,54 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 7.32 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.33 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0
(a = b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.34 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) obciążonego od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.35 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 2,0
(a = 12,72 m; b = 6,36 m)
Rysunek 4.36 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) obciążonego od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.37 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,75
(a = 11,13 m; b = 6,36 m)
Rysunek 4.38 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptyczne-
go o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) obciążonego od środ-
ka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.39 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,5
(a = 9,54 m; b = 6,36 m)
Rysunek 4.40 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycz-
nego o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) obciążonego od
środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.41 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,25
(a = 7,95 m; b = 6,36 m)
Rysunek 4.42 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptyczne-
go o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnie-
niem 1,0 MPa
9
Rysunek 4.43 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,0
(a = b = 6,36 m)
Rysunek 4.44 Schemat do aproksymacji funkcji
Rysunek 4.45 Kroki aproksymacji funkcji współczynnika kształtu k (przykład dla elipsy
o stosunku półosi a/b = 1,25, liczba Poissona g = 0,25)
Rysunek 4.46 Rozkład wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobi-
ska eliptycznego o wymiarach półosi a = 8,0 m, b = 4,65 m; parametry góro-
tworu: moduł sprężystości wzdłużnej Eg = 10000 MPa, liczba Poissona
g = 0,20
Rysunek 4.47 Rozkład wartości współczynnika kształtu k na obwodzie wyrobiska eliptycz-
nego o stosunkach półosi a/b = 1,5 i a/b = 1,75; parametry górotworu: moduł
sprężystości wzdłużnej Eg = 10000 MPa, liczba Poissona = 0,20
Rysunek 4.48 Wyniki obliczeń współczynnika kształtu k przy użyciu wzorów z aproksymacji
funkcji f(k)
10
Spis tabel
Tabela 3.1 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w
obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizola-
cyjną o grubości 2 mm
Tabela 3.2 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w
obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizola-
cyjną o grubości 5 mm
Tabela 3.3 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w
obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizola-
cyjną o grubości 10 mm
Tabela 3.4 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w
obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizola-
cyjną o grubości 20 mm
Tabela 3.5 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w
obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizo-
lacyjnej
Tabela 3.6 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu
w bez obudowy wstępnej.
Tabela 3.7 Wyniki obliczeń naprężeń i przemieszczeń w tarczy z otworem kołowym obcią-
żonym ciśnienim p = p0 + p2∙cos2
Tabela 4.1 Weryfikacja modelu tarczy w otworem kołowym - zestawienie wyników
Tabela 4.2 Porównanie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem kołowym (rw = 6,58 m)
Tabela 4.3 Weryfikacja modelu tarczy w otworem kołowym - zestawienie wyników
Tabela 4.4 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
Tabela 4.5 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8m)
Tabela 4.6 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
Tabela 4.7 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
(a = 8,25 m, b = 4,9 m)
11
Tabela 4.8 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
(a = 16,5 m; b = 9,8 m)
Tabela 4.9 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
(a = 4,9 m; b = 8,25 m)
Tabela 4.10 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.11 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.12 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.13 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.14 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.15 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.16 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.17 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m)
Tabela 4.18 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy
z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m)
Tabela 4.19 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym
o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m)
Tabela 4.20 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosun-
ku półosi a/b = 1,25
Tebela.4.21 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosun-
ku półosi a/b = 1,5
Tabela 4.22 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosun-
ku półosi a/b = 1,75
Tabela 4.23 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosun-
ku półosi a/b = 2,0
12
Tabela 4.24 Średni błąd kwadratowy aproksymacji funkcji współczynnika kształtu f(k)
Tabela 4.25 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu nomogramów
Tabela 4.26 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu wzorów uzy-
skanych z aproksymacji funkcji f(k)
Tabela 4.27 Porównanie wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobi-
ska eliptycznego uzyskanych na podstawie trzech metod: a) obliczenia progra-
mem Robot Structural Analysis, b) obliczenia na podstawie nomogramów, c)
obliczenia przy użyciu wzorów aproksymacyjnych funkcji f(k)
13
Spis załączników
Załącznik 1 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,10
(wartość współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 43,7250)
Załącznik 2 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,15
(wartość współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 15,2375)
Załącznik 3 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,20
Załącznik 4 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,25
Załącznik 5 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,30
Załącznik 6 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,35
Załącznik 7 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,40
Załącznik 8 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,45
Załącznik 9 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,50
14
1. Wstęp
1.1. Pojęcie współczynnika podatności podłoża
Cechą wyróżniającą obudowy wyrobisk podziemnych (w tym tuneli) jest, że
obudowy te współpracują z górotworem, tzn. na kontakcie obudowy i górotworu
powstają przemieszczenia, powodujące zaistnienie sił, które działają oprócz aktywnego
parcia górotworu. Siły te zwane są odporem górotworu (zwykle: odporem sprężystym
górotworu) (Wichur 2009).
Podstawowym parametrem charakteryzującym ten odpór jest współczynnik
podatności podłoża k, zwany w literaturze anglojęzycznej modulus (coefficient) of
subgrade reaction (względnie bedding value), a w literaturze rosyjskojęzycznej jako
коэффициент постели. W literaturze dotyczącej projektowania tuneli współczynnik
ten jest oznaczany symbolem C i nazywany często współczynnikiem podatności
podłoża wg Winklera. Spotykane są również inne określenia np.: znamię gruntu
(Modliński 1979, Świniański 2003), współczynnik podłoża (Kobiak i Stachurski 1987),
współczynnik reakcji podłoża (Wiłun 2000). Wartość tego współczynnika jest
uzyskiwana zwykle w badaniach in situ (tzw. plate – bearing test); można je również
znaleźć w pracach (Huber 1958, Nowacki 1974, Terzaghi 1955, Winterkorn i Fang
1975).
Winkler przyjął ośrodek gruntowy jako układ identycznych wzajemnie niezależnych,
zlokalizowanych blisko siebie nieciągłych liniowo elastycznych sprężyn i proporcji
pomiędzy obciążeniem nacisku p w każdym badanym punkcie a osiadaniem y
pochodzącym od obciążenia w danym punkcie wyrażanym współczynnikiem reakcji
podłoża (Winkler 1867) (por. rys 1.1).
Ks = p/y (1.1)
W rzeczywistości w tym modelu grunt jest zastępowany sprężynami, których
sztywność odpowiada wartości Ks. Przyjmuje się również zależność liniową naprężenie-
odkształcenie.
15
Wyobraźmy sobie belkę podpartą na całej swej długości w małych równych
odstępach jednakowymi sprężynami. Gdy taką belkę obciążymy, to podpory sprężyste
ugną się, a ich ugięcie, które jest zarazem ugięciem belki w przekroju nad sprężyną, jest
proporcjonalne do nacisku na sprężystą podporę, a więc również do reakcji tej podpory.
Gdy odstępy podpór maleją, a ich liczba rośnie, przy czym sprężyny nie przestają
działać niezależnie, czyli nie zaczepiają o siebie nawzajem, to można je zastąpić
ciągłym podłożem sprężystym. Takie podłoże nazywane jest podłożem Winklera (por.
Huber 1958). Jest to oczywiście podłoże fikcyjne, gdyż w podłożach rzeczywistych
ugięcie każdego obranego przekroju belki jest zależne nie tylko od reakcji podłoża pod
tym przekrojem, ale także od reakcji sąsiednich i dalszych części podłoża. Ugięcie
bowiem podłoża w pewnym miejscu nie jest możliwe bez odkształceń części
sąsiadujących, tak jak przyjęto to w podłożu Winklera (rys. 1.1) (Rossiński 1963).
Rysunek 1.1 Model sprężystego podłoża wg Winklera (Rossiński 1963)
Opierając się na rysunku współczynnik podatności podłoża C można wyrazić
wzorem:
y,xz
y,xpC (1.2)
gdzie:
C – współczynnik podatności podłoża, MN/m3 (MPa/m),
p(x,y) – obciążenie podłoża, MPa,
z(x,y) – ugięcie (przemieszczenie) podłoża, m.
16
Przy założeniu liniowej sprężystości pomiędzy obciążeniem i przemieszczeniem
podłoża otrzymujemy stałą wartość współczynnika C. Przedstawienie
skomplikowanych własności podłoża za pomocą jednego stałego parametru C stanowi
duże uproszczenie zagadnienia.
Wielu naukowców prowadziło badania (Biot 1937, Filonenko-Borodich 1940,
Pasternak 1954, Terzaghi 1955, Vesic 1961) w celu udoskonalenia techniki i metody
wyznaczenia wartości współczynnika Ks. Badania te wykazały, że geometria, wymiary
fundamentów oraz warstwowanie gruntu to najważniejsze parametry wpływające na
jego wartość.
Generalnie zakłada się że wartości współczynnika reakcji podłoża można uzyskać
używając następujących alternatywnych testów (Moayed 2008):
1) testu obciążanej płyty,
2) testu konsolidacji (endometry),
3) testu trójosiowego ściskania,
4) CBR- California Bearing Ratio Test (Kalifornijski wskaźnik nośności gruntu).
1.2. Teza i cel pracy
Teza:
Wartość współczynnika podatności podłoża C na obwodzie obudowy wyrobiska jest
zmienna – w odróżnieniu od dotychczasowych poglądów, które przypisują tej wielkości
wartość (liczbę) stałą.
Cel:
Celem pracy jest zbadanie rozkładu tego współczynnika na obwodzie obudowy
wyrobiska oraz wskazanie wytycznych do jego obliczenia. Analizę zmienności wartości
współczynnika podatności podłoża na obwodzie obudowy przeprowadzono przez
wykonanie odpowiednio zaprogramowanych obliczeń dla płaskiej sprężystej tarczy z
17
otworem o kształcie przekroju odpowiadającym przekrojom tuneli stosowanym w
praktyce. W wyniku obliczeń uzyskano wartości współczynnika podatności podłoża w
zależności od parametrów sprężystych obudowy i górotworu jak również od przekroju
poprzecznego wyrobiska.
1.3. Zakres pracy
Początkowe rozdziały zawierają wprowadzenie do zagadnień ściśle związanych z
tematyką opisującą zjawisko odporu sprężystego górotworu, aktualny stan wiedzy z
badanej dziedziny oraz jego praktyczne zastosowanie. W rozdziałach tych omówiono
udział odporu sprężystego górotworu w projektowaniu fundamentów, a także wpływ na
nośność obudowy wyrobiska.
W dalszej części pracy przedstawiono wyniki badań dotyczące udziału konstrukcji
obudowy w kształtowaniu wartości współczynnika podatności podłoża C. W rozdziale
tym przeanalizowano trzy warianty tunelu o przekroju kołowym: tunelu w obudowie
wstępnej z folią hydroizolacyjną, tunelu w obudowie wstępnej bez folii
hydroizolacyjnej oraz tunelu bez obudowy wstępnej. Wykonano również badania
wpływu nierównomiernego obciążenia uzależnionego od kąta na przebieg wartości
współczynnika C na obwodzie wyrobiska o przekroju kołowym.
W rozdziale 4 przed rozpoczęciem badań dotyczących wpływu kształtu wyrobiska
na rozkład współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska przeprowadzono
studium nad najczęściej wykorzystywanymi przekrojami w budownictwie tunelowym.
Następnie przy użyciu programu Robot Structural Analysis przeprowadzono badania
tuneli o przekroju eliptycznym i kołowym w celu uzyskania wartości współczynnika C
na obwodzie wyrobiska dla różnych stosunków półosi elipsy oraz zróżnicowanych
parametrów sprężystych górotworu (modułu sprężystości wzdłużnej i liczby Poissona).
Na koniec przedstawiono wytyczne do wyznaczenia współczynnika podatności
podłoża dla wyrobisk eliptycznych mające na celu usprawnienie obliczeń projektowych
dotyczących wymiarowania obudowy wyrobisk podziemnych.
18
2. Odpór sprężysty górotworu (podłoża) w projektowaniu
budowli oraz obudowy wyrobisk podziemnych
2.1. Odpór sprężysty w projektowaniu fundamentów
Często przyjmowane przez konstruktorów założenie, że współczynnik podatności
podłoża jest parametrem zależnym jedynie od stanu i rodzaju gruntu prowadzi do
jednakowych odkształceń i przemieszczeń fundamentów niezależnie od ich wymiarów,
co jest sprzeczne z podstawowymi zasadami mechaniki gruntów. Niekiedy wręcz
oczekuje się od geologów podawania wprost tego parametru w dokumentacji
geologicznej (Świniański 2003). Zwraca uwagę znaczna rozbieżność wartości
współczynnika podatności podłoża podawana w literaturze przez różnych autorów dla
tych samych gruntów (Kuczyński 1980, Kobiak i Stachurski 1987, Wiłun 2000).
W fundamentowaniu obliczanie odporu sprężystego górotworu opiera się na teorii
belek na sprężystym podłożu (Dąbrowski i Kolendowicz 1983, Grabowski i in. 2005).
Model podłoża Winklera jest modelem idealizowanym, dlatego zakres jego
stosowalności jest ograniczony. Główną przyczyną rozbieżności pomiędzy podłożem
budowlanym jest pominięcie w modelu naprężeń stycznych, które mają istotny wpływ
na wielkość spodziewanych osiadań powierzchni posadowienia.
Praktyka obliczeniowa wykazała, że dla belek i płyt można stosować ten model
statyczny, gdy grubość warstwy ściśliwej nie przekracza połowy szerokości belki lub
płyty (Rossiński 1963). W tych przypadkach współczynnik podatności podłoża należy
określać na podstawie wartości modułu ściśliwości Es, otrzymanych z badań polowych.
Opracowany w 1927 roku test SPT jest najpopularniejszą i najbardziej opłacalną
metodą badania właściwości gruntów. Metoda została znormalizowana jako
ASTM D1586 (ASTM 1992).
SPT (Standard Penetration Test) jest to dynamiczny test penetracyjny in-situ,
którego zadaniem jest zebranie informacji na temat właściwości, zaburzenia gruntu,
analizy uziarnienia a także jego klasyfikacji.
19
Zastosowanie wyników badań penetracyjnych (SPT) (Moayed i Naeini 2006) w
projektach geotechnicznych może zostać podzielone na sposoby podejścia:
podejście bezpośrednie,
podejście pośrednie.
Podejście bezpośrednie daje możliwość przejścia prosto z badań in-situ do
stosowania w fundamentowaniu bez potrzeby oceniania jakichkolwiek pośrednich
parametrów gruntu. To podejście jest czasami stosowane w ocenie osiadania płytkich
fundamentów w niespójnych ośrodkach oraz do oceny stanów granicznych konstrukcji
palowych poddanych jednocześnie osiowemu i poziomemu obciążaniu. Podejście to
prowadzi do metod empirycznych, których jakość jest ściśle powiązana z ilością i
jakością odnotowanych przypadków, na których metoda podejścia bezpośredniego
została oparta.
Przykłady wyżej opisanej metody możemy znaleźć w pracach (Burland i Burbridge
1984, Bustamante i Gianeselli 1982, Reese i Wright 1977, Reese i O’Neil 1987,
Jamiolkowski i in. 1985).
Podejście pośrednie, które prowadzi do metod interpretacji dopuszczającej
szacowanie wartości parametrów sprężystych gruntu. To podejście jest racjonalniejsze
od podejścia bezpośredniego. Odkąd pojawiły się testy penetracji, inżynierowie usiłują
oceniać właściwości odkształceniowe i osiadania płytkich fundamentów (Terzaghi i
Peck 1948). Dla niespójnych ośrodków gruntowych lub tych, gdzie występują
nienaruszone partie gruntu, podejście to jest zawodne lub nieopłacalne ekonomicznie
(D’Appolonia i in. 1968, Mitchell i Gardner 1975, Parry 1978).
W literaturze dotyczącej fundamentowania do wyznaczenia wartości współczynnika
podatności podłoża przedstawionych zostało kilka wzorów.
Piętkowski podaje następujące zależności (Piętkowski 1957, Piętkowski 1969):
dla stóp fundamentowych i kwadratowych i kołowych
(2.1)
dla długich fundamentów taśmowych równomiernie obciążonych
(2.2)
20
gdzie:
C – współczynnik podatności podłoża, MN/m3 (MPa/m),
Es – moduł podatności gruntu wg PN-B-02480:1986, MPa,
b – bok kwadratu, średnica koła lub szerokość fundamentu taśmowego, m.
Wzory (2.1) i (2.2) dotyczą podłoża jednolitego i nieuwarstwionego.
Według Gorbunowa-Posadowa współczynnik podatności podłoża należy
przyjmować wg wzoru (Gorbunow-Posadow 1956):
(2.3)
gdzie:
– współczynnik zależny od długości fundamentu l oraz wysokości warstwy
ściśliwej h,
E0 – moduł pierwotnego (ogólnego) odkształcenia gruntu wg PN-B-02480:1986,
MPa,
– liczba Poissona,
b – szerokość fundamentu taśmowego, m.
Określenie współczynnika ściśliwości nie jest jednoznaczne, gdyż nie zachodzi
liniowa zależność pomiędzy obciążeniem a osiadaniem gruntu. Dlatego do obliczeń
należy przyjmować tę wartość Es czy też E0, która odpowiada średniemu obciążeniu
wywołanemu przez konstrukcję.
Wzory do określania współczynnika podatności podłoża podali też inni autorzy,
między innymi Koegler (Koegler i Scheiding 1938), Fłorina (Modliński 1979) oraz
Wiłun (Wiłun 2000):
wg Koeglera:
(2.4)
gdzie:
m – współczynnik zależny od kształtu fundamentu i stosunku wymiarów
21
fundamentu (b x l lub D) do miąższości h gruntu ściśliwego pod fundamentem,
M0 – edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej (ogólnej)
wg PN-B-02480:1986, MPa,
b – szerokość fundamentu, m;
wg Fłorina:
(2.5)
gdzie:
qśr – średni nacisk przekazywany przez fundament na podłoże, MPa,
sśr – średnie osiadanie fundamentów budynku obliczone z uwzględnieniem
rzeczywistej budowy i ściśliwości M0 warstw podłoża gruntowego, m;
wg Wiłuna:
(2.6)
gdzie:
– współczynnik wpływu zależny od kształtu i sztywności fundamentu,
E0 – moduł pierwotnego (ogólnego) odkształcenia gruntu wg PN-86/B-02480, MPa,
– liczba Poissona gruntu ściśliwego,
B – szerokość lub średnica obciążonego obszaru/fundamentu, m.
Jak wynika z przedstawionych wzorów, współczynnik podatności podłoża nie jest
zależny jedynie od parametrów sprężystych gruntu, ale jest ściśle powiązany z
rozmiarami fundamentu.
2.2. Odpór sprężysty w projektowaniu obudowy wyrobisk
podziemnych
W przypadku projektowania obudowy tuneli zagadnienie odporu sprężystego
górotworu stało się w Polsce szerzej znane po ukazaniu się pracy Dawydowa
(Dawydow 1954). Odpór ten został wprowadzony do praktyki polskiego budownictwa
podziemnego w roku 1973 wraz z ustanowieniem normy branżowej (BN-73/0434-04) i
jest stosowany pomimo zmieniających się norm (BN-79/0434-04, PN-G-05020:1997).
22
Jak wykazały badania odpór sprężysty górotworu poważnie zwiększa nośność
obudowy. Dla obudów łukowych prace nad tym zagadnieniem prowadził ośrodek
badawczy OBR BG „Budokop” (Rułka i in. 1983, Mateja 1982). Z badań tych wynika
np., że dla wyrobiska o szerokości w świetle obudowy stalowej łukowej V29 równej 5,0
m, obciążonej równomiernie ciśnieniem pionowym, nośność obudowy w zależności od
rodzaju wykładki wynosi (Wichur 2009):
w przypadku niestarannej wykładki kamiennej (współczynnik ściśliwości
podłoża Ez = 1,5 MPa): ok. 0,07 MPa,
w przypadku dobrej wykładki kamiennej (Ez = 7 MPa): ok. 0,11 MPa,
w przypadku wykładki scalonej zaprawą cementową (Ez = 40 MPa):
ok. 0,18 MPa.
Badania w tym kierunku przedstawiono również w publikacji (Domańska 2002), a
także w pracy (Frydrych 2008), gdzie wykazano dodatni wpływ odporu sprężystego
górotworu na nośność odrzwi obudowy ŁP.
Jak wskazują przedstawione liczby, istnienie odporu sprężystego górotworu
znacznie zwiększa nośność obudowy. Fakt ten powoduje, że nie może być on pominięty
w obliczeniach sił wewnętrznych (Wichur i Gruszka 2001, Wichur i in. 2009, Wichur i
in. 2010, Sinha 1991, Jendryś i in. 2003), a co za tym idzie, w procesie projektowania
obudowy wyrobiska podziemnego.
Odpór sprężysty górotworu w ujęciu normy PN-G-05020:1997 opiera się na
koncepcji sprężystego podłoża wg Winklera, która jest wykorzystywana w obliczeniach
belek na sprężystym podłożu. Zgodnie z tą normą obudowy sklepione należy obliczać
jako konstrukcje łukowe, ramowo-łukowe lub pierścieniowe, współpracujące z
otaczającym górotworem. Współpracę górotworu z obudową należy uwzględnić,
przyjmując w schemacie statycznym ciągłe lub punktowe sprężyste rozparcia
(wahacze). Rozparcia te należy przyjmować w odcinkach obwodu obudowy, w których
oś odkształcona ustroju podstawowego statycznie wyznaczalnego przemieszcza się pod
wpływem działającego obciążenia w stronę górotworu (rys. 2.1). Te dodatkowe reakcje
zaleca się modelować za pomocą wahaczy usytuowanych wzdłuż dwusiecznych kątów
wierzchołkowych wieloboku lub radialnie do zakrzywionej osi pręta jak na rysunku 2.2.
23
Współpracę z górotworem można pominąć w skałach ciekłych (kurzawkowych) i
małospoistych (PN-G-05020:1997).
Rysunek 2.1 Schemat statyczny do obliczeń sił wewnętrzych (PN-G-05020:1997)
Rysunek 2.2 Węzły obliczeniowe współpracy obudowy z górotworem (Mateja 1982): a) w układzie schematu prętowego z odporem sprężystym
b) w układzie schematu łukowego z odporem sprężystym
c) w układzie schematu łukowego z odporem poprzez węzły przegubowe
W praktyce projektowej stosowane są dwie metody wyznaczania odporu sprężystego
górotworu (Wichur 2009):
w przypadku obliczeń ręcznych stosowana jest metoda podana przez Dawydowa
(Dawydow 1954), lecz bez uwzględnienia jego koncepcji tzw. warstwy
24
sprężystej, a wartość współczynnika podatności podłoża jest wyznaczana w
oparciu o rozważania sprężystej tarczy z otworem kołowym,
w przypadku obliczeń numerycznych odkształcalny górotwór zastępuje się
słupkami (wahaczami) posadowionymi w nieodkształcalnym górotworze.
Wartość sztywności ściskania wahaczy (rys. 2.1) zgodnie z PN-G-05020:1997
należy obliczać wg wzoru:
w
sw
g
g
wwr
llEEFD
1 (2.7)
w którym:
Dw - sztywność ściskania wahaczy, MN,
Eg - współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu, MPa,
g - liczba Poissona górotworu,
rw - promień wyrobiska w wyłomie, m,
ls - odległość wahaczy, m,
lw - długość wahacza, m.
W celu wyznaczenia współczynnika sprężystości wahacza najpierw wyznacza się
współczynnik podatności podłoża pC według wzoru:
wg
g
pr
EC
)1( ( 2.8 )
w którym:
- współczynnik podatności podłoża, MN/m
3,
- współczynnik sprężystości górotworu, MPa,
- współczynnik Poissona górotworu otaczającego wyrobisko,
- promień wyrobiska w wyłomie, m.
Promień wr oblicza się według wzoru:
pC
gE
g
wr
25
02
1dsr ww
( 2.9 )
gdzie:
sw - szerokość wyrobiska w świetle obudowy, m,
do - grubość obudowy, m.
lub przyjmuje równy zewnętrznemu promieniowi sklepienia.
Korzystając ze wzorów (2.7) oraz (2.8) można zapisać, że współczynnik sprężystości
wzdłużnej wahacza wyraża się wzorem:
wah
wahp
wahF
lCSbE
( 2.10 )
w którym:
- współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału wahacza, MPa,
- obliczeniowy wymiar wzdłuż osi wyrobiska, m (zwykle b=1m),
- odległość między poszczególnymi wahaczami, m,
- długość wahacza, m,
- pole przekroju poprzecznego wahacza, m
2.
Najczęściej przyjmuje się:
bSFwah ( 2.11 )
wówczas otrzymuje się:
wahpwah lCE (2. 12 )
Wahacze należy zamodelować w ustroju statycznym na odcinku przemieszczania się
ustroju w stronę górotworu. Wstępnie zasięg można przyjąć na podstawie analizy osi
odkształconej ustroju bez odporu biernego jak na rysunku 2.3.
Odpór bierny górotworu można pominąć w obudowach sklepionych o dużej
sztywności, zlokalizowanych w górotworze o niskich parametrach sprężystych Eg, νg
wahE
b
S
wahl
wahF
26
lub oddzielonych od górotworu wykładką (warstwą amortyzującą) o niskich
parametrach sprężystych.
Rysunek 2.3 Określenie zasięgu odporu na podstawie przemieszczeń układu podstawowego
a) w ociosach wyrobiska, b) w stropie wyrobiska (Mateja 1982)
Wzór określający sztywność ściskania wahaczy został wyprowadzony na podstawie
analizy tarczy sprężystej z obudowanym otworem obciążonym ciśnieniem
równomiernym na obwodzie otworu (por. Mateja 1982). Sposób zaproponowany przez
normę posiada zasadnicze wady:
1) nie uwzględnia wpływu konstrukcji obudowy na wartość współczynnika
podatności podłoża,
2) nie uwzględnia zmienności wartości współczynnika podatności podłoża
wynikającej ze zmienności promienia wyrobiska w wyłomie (rw).
3) ponieważ wzór zaprezentowany w normie dotyczy wyrobiska o przekroju
kołowym, wartość tego współczynnika jest stała na obwodzie wyrobiska i nie
uwzględnia jego zmienności pod wpływem zmiany kształtu przekroju.
Powyższe fakty skłoniły do dalszych badań nad zagadnieniem kształtowania się
wartości współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobisk o przekroju innym
niż kołowy jak również o zróżnicowanej konstrukcji obudowy.
Dokładniejsza znajomość własności odporu sprężystego umożliwia zastosowanie w
procesie projektowania obudowy opracowanych dla konstrukcji prętowych zasad
wymiarowania (w tym: norm), opartych na pogłębionej znajomości własności betonu i
żelbetu.
27
2.3. Koncepcja badań
Wykonanie badań powinno być poprzedzone przyjęciem odpowiednich założeń
obliczeniowych, polegających na zastąpieniu rzeczywistego elementu konstrukcyjnego
ustrojem idealizowanym (Filcek i in. 1994, Szmelter 1980, Konderla i Kasprzak 1997).
Pozwala to na uwzględnienie realistycznego zachowania się konstrukcji pod
obciążeniem w zależności od wybranej metody analizy. Należy zatem sformułować
teoretyczny model obliczeniowy (analityczny i numeryczny) uwzględniający:
idealizację geometryczną ustroju (model geometryczny),
idealizację zachowania się materiałów (model materiałowy),
idealizację obciążeń (model obciążeń).
Koncepcja modelu geometrycznego wynika z wymiarów i kształtów
geometrycznych oraz z wzajemnego usytuowania w przestrzeni elementów w
rozważanym ustroju (Filcek i in. 1994, Walaszczyk i in. 1993, Konderla i Kasprzak
1997). Podstawą idealizacji geometrycznej jest także rodzaj stanu naprężenia w
konstrukcji. Wyróżnia się elementy: jednowymiarowe, zwane prętowymi (belki, słupy,
łuki), dwuwymiarowe (płyty, tarcze, powłoki) oraz trójwymiarowe (skrzynie). Dla
rozpatrywanego ustroju niezbędne są zatem: dobór odpowiedniego modelu
geometrycznego oraz przyjęcie rzeczywistych bądź zastępczych (obliczeniowych)
wymiarów.
W badaniach w celu zamodelowania tunelu w otaczającym go górotworze posłużono
się modelem nieważkiej, sprężystej tarczy z wydrążonym otworem (kołowym lub
eliptycznym). Model materiałowy przyjęty do obliczeń zakłada, że górotwór otaczający
wyrobisko (tarcza) jest ciągły pozbawiony szczelin i spękań, izotropowy, jednorodny i
sprężysty.
W badaniach przeprowadzonych dla tarczy z otworem kołowym przewidziano trzy
warianty obciążenia układu :
tarcza z otworem obciążona na krawędziach równomiernym
ciśnieniem p0 (obliczenia analityczne),
tarcza z otworem obciążonym od wewnątrz zmiennym ciśnieniem p
zależnym od kąta (obliczenia analityczne),
28
tarcza z otworem obciążonym od środka równomiernym ciśnieniem
1,0 MPa (obliczenia numeryczne).
Dla tarczy z otworem eliptycznym przeprowadzono badania dla obciążenia
równomiernego przyłożonego 1,0 MPa od środka otworu (obliczenia numeryczne).
Metody analityczne badań oparto o podstawowe rozwiązania z dziedziny
geomechaniki oraz wytrzymałości materiałów uzyskane przez scałkowanie
odpowiednich równań różniczkowych (Huber 1958, Sałustowicz 1955, Timoszenko i
Goodier 1962, Sałustowicz 1965), a także z dziedziny projektowania obudowy
wyrobisk podziemnych (Wichur 2009, PN-G-05020:1997). Obliczenia analityczne
wykonano z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Microsoft Office Excel. W
przypadku skomplikowanych obliczeń sięgnięto do metod numerycznych (MES).
Badania z tego zakresu wykonane zostały z użyciem program Robot Structural
Analysis.
29
3. Badania wstępne nad kształtowaniem się wartości
współczynnika podatności podłoża w zagadnieniach
projektowania obudowy tuneli
3.1. Cel badań
Wzór (2.8) wykorzystywany do obliczanie współczynnika podatności podłoża C nie
uwzględnia wpływu konstrukcji obudowy na jego wartość. Celem badań wstępnych
było przeprowadzenie analizy zmienności wartości współczynnika podatności podłoża
na obwodzie obudowy wyrobiska tunelowego o przekroju kołowym w zależności od
rodzaju konstrukcji obudowy. W badaniach tych wykonano obliczenia dla płaskiej
sprężystej tarczy z otworem kołowym obciążonej na krawędziach ciśnieniem p0.
Obliczenia przeprowadzono dla trzech konstrukcji obudowy tunelu: obudowy wstępnej
z folią hydroizolacyjną, obudowy wstępnej bez folii hydroizolacyjnej oraz dla tunelu
bez obudowy wstępnej.
Wzór ten sugeruje również, iż wartość współczynnika podatności podłoża C na
obwodzie obudowy wyrobiska kołowego jest stała. Zależność ta została wyprowadzona
dla tarczy z otworem kołowym równomiernie obciążonej na krawędziach i nie
uwzględnia wpływu nierównomiernego obciążenia na wartość tego współczynnika
(por. Mateja 1982).
W celu wykazania zmienności wartości współczynnika C w dalszej części badań
przeprowadzono obliczenia dla tarczy z otworem kołowym obciążonym od środka
nierównomiernym ciśnieniem p uzależnionym od kąta .
3.2. Wpływ konstrukcji obudowy wyrobiska o przekroju kołowym
na wartość współczynnika podatności podłoża
Obudowa tunelu ma zwykle postać obudowy wielowarstwowej (rys.3.1), składającej
się z obudowy wstępnej, hydroizolacji i obudowy ostatecznej (Chudek 1986, Wichur et
al. 1994, Wichur et al. 2005, Wichur et al. 2006, Wichur 2009, PN-G-05020:1997,
PN-G-05600:1998). Przekroje tuneli przybierają postać kołową, eliptyczną lub
podkowiastą w zależności od warunków geotechnicznych i użytkowych.
30
Przy projektowaniu obudowy, konstruktor napotyka problem, w jaki sposób jej
konstrukcja wpływa na wartość współczynnika podatności podłoża. Odpowiedź na to
pytanie w przypadku obudowy wielowarstwowej można znaleźć w sposób
nieskomplikowany jedynie dla przekroju kołowego.
Analizę wpływu konstrukcji obudowy tunelu o przekroju kołowym na wartość
współczynnika podatności podłoża przeprowadzono dla następujących modeli
obudowy:
1. tunelu w obudowie wstępnej z folią hydroizolacyjną,
2. tunelu w obudowie wstępnej bez folii hydroizolacyjnej,
3. tunelu bez obudowy wstępnej.
Rysunek 3.1 Przekrój tunelu w obudowie wielowarstwowej (Frydrych 2005)
Rozważono środkowo-symetryczne zadanie teorii sprężystości (rys. 3.2) tarczy z
otworem z umieszczonymi w nim bez luzu i wcisku dwoma pierścieniami (Frydrych
2005):
- pierścień wewnętrzny (folia hydroizolacyjna o współczynniku sprężystości
wzdłużnej E1 i współczynniku Poissona 1) o promieniach ro, r1 (r1 > ro),
- pierścień zewnętrzny (obudowa wstępna tunelu wykonana z materiału o
współczynniku sprężystości wzdłużnej E2 i współczynniku Poissona 2) o
promieniach r1, r2 (r2 > r1).
Brzegi tarczy są wolne od obciążeń, natomiast na wewnętrznej powierzchni
pierścienia wewnętrznego działa ciśnienie p (docisk od obudowy ostatecznej), które
generuje powstawanie odporu sprężystego górotworu (por. Mateja 1982). Z odporem
31
tym jest związane używane w dalszej części pracy, pojęcie współczynnika podatności
podłoża wg Winklera C lub krótko: współczynnika podatności podłoża.
Stan naprężenia w pierścieniach i tarczy charakteryzowany jest następującymi
składowymi tensora naprężenia (naprężeniami głównymi):
- naprężenia radialne r o kierunku zgodnym z kierunkiem promienia
wychodzącego ze środka tarczy z pierścieniem,
- naprężenie obwodowe t o kierunku prostopadłym do kierunku promienia
wychodzącego ze środka tarczy z pierścieniem,
- naprężenia podłużne l o kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku
(zakłada się płaski stan odkształcenia).
Stan przemieszczenia charakteryzowany jest wektorem przemieszczenia u o
kierunku promieniowym.
Przy rozwiązywaniu zadania wykorzystano klasyczne rozwiązanie Lamégo dla
sprężystego pierścienia kołowego o promieniach (wewnętrznym i zewnętrznym) a < b
obciążonego ciśnieniem wewnętrznym pa oraz pb. Rozwiązanie to ma postać (Huber
1958) (naprężenia rozciągające są dodatnie, przemieszczenia u są dodatnie, jeżeli są
skierowane od środka na zewnątrz)
222
22
22
22
rab
bapp
ab
bpap baba
r
(3.1)
222
22
22
22
rab
bapp
ab
bpap baba
t
(3.2)
22
222
ab
bpap bal
(3.3)
rab
bapp
ab
rbpap
Eu baba
22
22
22
22
211
(3.4)
Zakładając równość przemieszczeń radialnych na kontaktach pierścieni oraz na
kontakcie pierścienia zewnętrznego i tarczy oraz oznaczając reakcje na powierzchniach
kontaktowych odpowiednio przez pR1 (kontakt pierścieni) oraz pR2 (kontakt pierścienia
zewnętrznego i tarczy) otrzymuje się układ dwóch równań liniowych
32
12111),()( 21 rrRRrrR ppupu
(3.5)
22221)(),(2 rrRtrrRR puppu
(3.6)
w których u1 oraz u2 oznaczają przemieszczenia pierścieni, a ut – przemieszczenie
tarczy. Z układu tego wyznacza się reakcje na powierzchniach kontaktowych:
ArrrrEE
rrErrErrrpEp
o
oR
2
1
2
2
22
131
2
2
2
123
2
1
2
232
22
1
2
2
22
12 2111121
(3.7)
ArrE
rrrrpEp
o
oR
22
11
2
1
2
2
2
1
22
2
2
12 1142
(3.8)
przy czym:
122
131
2
22
2
123
2
1
2
232
2
11
22
1
2
212
2
12
2
2
22
121
2
2
2
1
22
2
211
1211
21114
o
o
o
rrEErrE
rrErrrrE
rrrrErrA
(3.9)
Po obliczeniu reakcji można wyznaczyć naprężenia i przemieszczenia, korzystając ze
wzorów (3.1) (3.4). Oznaczając przez ua przemieszczenia radialne folii, tj.:
orra uu
1
otrzymuje się wzór na współczynnik podatności podłoża dla modelu (1).:
au
pC 1 (3.10)
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń uzyskano:
2
1
1
11
1 A
A
r
EC
o
(3.11)
33
Rysunek 3.2 Szkic do modelu (1)
przy czym:
2
1
2
232
2
2223
2
123
2
11
2
12
2
1
2
2
223
2
12
2
232
22
1211
1
1211211
1212111
rrE
rErErrErr
ErrErrEA
o
o
(3.12)
34
2
1
2
121
22
1
112
2
222332
2
1
2
1
221
22
1112
2
132232
211
121121121
12112111
oo
o
o
rrErr
ErEErr
ErrErEEA
(3.13)
Analogicznie otrzymano dla modelu (2) i (3).
W przypadku modelu (2), zakładając równość przemieszczeń radialnych na
kontakcie pierścienia z betonu natryskowego i tarczy górotworu otrzymano równanie
liniowe
2222)()(2 rrRtrrR pupu
(3.14)
z którego uzyskano wzór na wartość współczynnika podatności podłoża:
4
3
12
22
1 A
A
r
EC
(3.15)
gdzie:
2
1
2
2223
2
1
2
2323 2111 rrErrEA (3.16)
2
1
2
2
2
223
2
2
2
12324 21211 rrErrEA (3.17)
Podobnie przy rozważaniu modelu (3) otrzymuje się dla współczynnika podatności
podłoża wg Winklera wzór:
23
33
1 r
EC
(3.18)
W oparciu o wyprowadzone wzory przeprowadzono obliczenia.
W pierwszym modelu do obliczeń przyjęto tunel o średnicy w świetle obudowy
D = 6,0 m, w obudowie wstępnej grubości 15 cm z betonu klasy C12/15
(PN-B-03264:2002) z folią hydroizolacyjną o grubości od 2 do 20 mm; wobec braku
danych obliczeniowych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1)
35
przyjęto, że wahają się one w przedziale od 0,01 do 10000 MPa. Zestawienie
wszystkich danych do obliczeń przedstawiono poniżej:
- współczynnik Poissona folii: 1 = 0,5,
- współczynnik Poissona betonu: 2 = 0,2,
- współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,
- współczynnik sprężystości wzdłużnej folii: E1 = 0,01 10000 MPa
- współczynnik sprężystości wzdłużnej betonu klasy C12/15: E2 = 27000 MPa,
- współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 7000 MPa
- promień tunelu w świetle obud. wstępnej wyłożonej folią: r1 = 3 m,
- grubość folii hydroizolacyjnej: 2; 5; 10; 20 mm,
- promień tunelu w świetle obud. wstępnej: r2 = 3,002; 3,005; 3,010; 3,020 m,
- grubość obudowy wstępnej: 15 cm,
- promień tunelu w wyłomie: r3 = 3,152; 3,155; 3,160; 3,170 m
Wyniki obliczeń zestawiono w tabelach (tab. 3.1 ÷ 3.4) oraz przedstawiono
graficzne na wykresach (rys. 3.3 3.6).
Rysunek 3.3 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu
klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm
2200
2210
2220
2230
2240
2250
2260
2270
2280
2290
2300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
),
MN
/m3
współczynnik sprężystości wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E1), MPa
36
Tabela 3.1 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie
wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm
E1
MPa
E2
MPa
E3
MPa 1 2 3 ro
m
r1
m
r2
m
C
MN/m3
0,01 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,75
0,1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,75
1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,75
10 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,76
20 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,76
30 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,76
40 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,76
50 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,77
60 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,77
70 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,77
80 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,78
90 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,78
100 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,78
200 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,81
300 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,84
400 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,87
500 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,90
600 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,93
700 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,96
800 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2249,99
900 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2250,02
1000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2250,05
2000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2250,34
3000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2250,64
4000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2250,94
5000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2251,23
6000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2251,53
7000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2251,82
8000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2252,12
9000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2252,42
10000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,002 3,152 2252,71
37
Rysunek 3.4 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu
klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 5 mm
Rysunek 3.5 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu
klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 10 mm
2200
2210
2220
2230
2240
2250
2260
2270
2280
2290
2300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
),
MN
/m3
współczynnik sprężystość wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E1), MPa
2200
2210
2220
2230
2240
2250
2260
2270
2280
2290
2300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
), M
N/m
3
współczynnik sprężystość wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E1), MPa
38
Tabela 3.2 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie
wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 5 mm
E1
MPa
E2
MPa
E3
MPa 1 2 3 ro
m
r1
m
r2
m
C
MN/m3
0,01 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,90
0,1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,90
1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,90
10 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,90
20 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,91
30 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,92
40 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,93
50 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,93
60 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,94
70 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,95
80 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,96
90 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,96
100 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2244,97
200 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,04
300 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,12
400 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,19
500 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,27
600 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,34
700 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,41
800 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,49
900 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,56
1000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2245,64
2000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2246,37
3000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2247,11
4000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2247,85
5000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2248,59
6000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2249,33
7000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2250,07
8000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2250,81
9000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2251,55
10000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,005 3,155 2252,29
39
Tabela 3.3 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie
wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 10 mm
E1
MPa
E2
MPa
E3
MPa 1 2 3 ro
m
r1
m
r2
m
C
MN/m3
0,01 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,84
0,1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,84
1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,84
10 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,85
20 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,87
30 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,88
40 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,90
50 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,91
60 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,93
70 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,94
80 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,95
90 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,97
100 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2236,98
200 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,13
300 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,28
400 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,43
500 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,57
600 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,72
700 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2237,87
800 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2238,02
900 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2238,16
1000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2238,31
2000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2239,79
3000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2241,26
4000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2242,73
5000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2244,21
6000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2245,68
7000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2247,16
8000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2248,63
9000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2250,10
10000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,01 3,16 2251,58
40
Tabela 3.4 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie
wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 20 mm
E1
MPa
E2
MPa
E3
MPa 1 2 3 ro
m
r1
m
r2
m
C
MN/m3
0,01 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,85
0,1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,85
1 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,85
10 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,88
20 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,91
30 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,94
40 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,96
50 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2220,99
60 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,02
70 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,05
80 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,08
90 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,11
100 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,14
200 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,43
300 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2221,73
400 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2222,02
500 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2222,31
600 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2222,61
700 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2222,90
800 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2223,19
900 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2223,49
1000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2223,78
2000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2226,71
3000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2229,65
4000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2232,58
5000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2235,52
6000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2238,45
7000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2241,38
8000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2244,32
9000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2247,25
10000 27000 7000 0,5 0,2 0,25 3 3,02 3,17 2250,18
41
Rysunek 3.6 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu
klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 20 mm
Jak wynika z powyższych obliczeń grubość folii jak i jej współczynnik sprężystości
wzdłużnej nie wpływają znacząco na wartość współczynnika podatności podłoża wg
Winklera. Dla podanych założeń, wartości tego współczynnika lokują się w przedziale
od 2220,85 do 2252,71 MN/m3, a zatem różnica wynosi zaledwie 1,41 %.
W drugim modelu do obliczeń przyjęto tunel o średnicy w świetle obudowy D = 6,0
m, w obudowie wstępnej grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii
hydroizolacyjnej. Wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3)
przyjęte do obliczeń wahały się w przedziale od 1000 do 16000 MPa. Zestawienie
wszystkich danych do obliczeń przedstawiono poniżej:
- współczynnik Poissona betonu: 2 = 0,2,
- współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,
- współczynnik sprężystości wzdłużnej betonu kasy C12/15: E2 = 27000 MPa,
- współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 1000 16000 MPa,
- grubość obudowy wstępnej: 15 cm,
- promień tunelu w świetle obud. wstępnej: r1 = 3 m,
- promień tunelu w wyłomie: r2 = 3,15 m.
2200,00
2210,00
2220,00
2230,00
2240,00
2250,00
2260,00
2270,00
2280,00
2290,00
2300,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
),
MN
/m3
współczynnik sprężystości wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E1), MPa
42
Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli (tab. 3.5) oraz przedstawiono graficzne na
wykresie (rys. 3.7).
Tabela 3.5 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie
wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej
E2
MPa
E3
MPa 2 3 r1
m
r2
m
C
MN/m3
27000 1000 0,2 0,25 3 3,15 710,87
27000 2000 0,2 0,25 3 3,15 969,54
27000 3000 0,2 0,25 3 3,15 1227,55
27000 4000 0,2 0,25 3 3,15 1484,89
27000 5000 0,2 0,25 3 3,15 1741,58
27000 6000 0,2 0,25 3 3,15 1997,62
27000 7000 0,2 0,25 3 3,15 2253,00
27000 8000 0,2 0,25 3 3,15 2507,73
27000 9000 0,2 0,25 3 3,15 2761,82
27000 10000 0,2 0,25 3 3,15 3015,26
27000 11000 0,2 0,25 3 3,15 3268,06
27000 12000 0,2 0,25 3 3,15 3520,22
27000 13000 0,2 0,25 3 3,15 3771,75
27000 14000 0,2 0,25 3 3,15 4022,64
27000 15000 0,2 0,25 3 3,15 4272,89
27000 16000 0,2 0,25 3 3,15 4522,52
Rysunek 3.7 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z
betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
),
MN
/m3
współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu (E3), MPa
43
Z otrzymanych wyników obliczeń wynika, że współczynnik sprężystości górotworu
znacząco wpływa na wartość współczynnika Winklera (dla przyjętych danych wartość
ta waha się od 710,87 do 4522,52 MN/m3).
Różnice wartości współczynnika podatności podłoża dla tunelu w obudowie
wstępnej z folią hydroizolacyjną o grubości 2 20 mm oraz tunelu w obudowie bez
folii hydroizolacyjnej nie przekroczyły 1,42 % (dla górotworu o współczynniku
wzdłużnej E3 = 7000 MPa w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu C12/15).
Trzeci model przyjęty do obliczeń dotyczy tunelu bez obudowy wstępnej o średnicy
w wyłomie D = 6,0 m. Wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3)
przyjęte do obliczeń wahały się w przedziale od 1000 do 28000 MPa, Pozostałe dane do
obliczeń przedstawiono poniżej:
- współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,
- promień tunelu w wyłomie: r2 = 3,0 m,
- współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 1000 28000 MPa.
Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli (tab. 3.6) oraz przedstawiono graficzne na
wykresie (rys. 3.8).
Rysunek 3.8 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika
sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla tunelu bez obudowy wstępnej
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
wsp
ółc
zyn
nik
po
da
tno
ści p
od
łoża w
g W
ink
lera
(C
),
MN
/m3
współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu (E3), MPa
44
Tabela 3.6 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w bez obudowy
wstępnej.
E3
MPa 3 r2
m
C
MN/m3
1000 0,25 3 266,67
2000 0,25 3 533,33
3000 0,25 3 800,00
4000 0,25 3 1066,67
5000 0,25 3 1333,33
6000 0,25 3 1600,00
7000 0,25 3 1866,67
8000 0,25 3 2133,33
9000 0,25 3 2400,00
10000 0,25 3 2666,67
11000 0,25 3 2933,33
12000 0,25 3 3200,00
13000 0,25 3 3466,67
14000 0,25 3 3733,33
15000 0,25 3 4000,00
16000 0,25 3 4266,67
17000 0,25 3 4533,33
18000 0,25 3 4800,00
19000 0,25 3 5066,67
20000 0,25 3 5333,33
21000 0,25 3 5600,00
22000 0,25 3 5866,67
23000 0,25 3 6133,33
24000 0,25 3 6400,00
25000 0,25 3 6666,67
26000 0,25 3 6933,33
27000 0,25 3 7200,00
28000 0,25 3 7466,67
Przeprowadzone obliczenia wykazały, że brak obudowy wstępnej ma swoje odbicie
w otrzymanym wyniku obliczeń współczynnika wg Winklera. Jeśli porówna się
wartości otrzymane dla modelu drugiego i trzeciego, można zauważyć, że dla tych
samych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) wartość
współczynnika Winklera jest o ok. 400 MN/m3
większa w przypadku tunelu z obudową
wstępną.
45
3.3. Wyrobisko o przekroju kołowym obciążone od wewnątrz
ciśnieniem normalnym p = po + p2 cos 2
W rozważaniach przyjęto sprężystą tarczę o dużych wymiarach obciążoną
ciśnieniem pz w kierunku osi z oraz ciśnieniem px w kierunku osi x (pz ≠ px) z
umieszczonym w niej bez luzu i wcisku sprężystym pierścieniem kołowym (rys. 3.9).
Rozważania prowadzono w biegunowym układzie współrzędnych (r, φ) o początku w
środku pierścienia i kącie (azymucie) mierzonym zgodnie z ruchem wskazówek zegara
od obranego kierunku.
a
b
t
r
r
t
r
N pz
pz
pxpx
Rysunek 3.9 Tarcza z pierścieniem kołowym obciążona na brzegach ciśnieniem pz i px
W układzie tym stan naprężenia (odkształcenia) charakteryzowany jest trzema
następującymi składowymi naprężenia (odkształcenia):
σr(εr) – naprężenie (odkształcenie) radialne,
σt(εt) – naprężenie (odkształcenie) obwodowe,
τ(γ) – naprężenie styczne (odkształcenie postaciowe),
46
a stan przemieszczenia – dwoma składowymi wektora przemieszczenia:
u – przemieszczenie radialne,
v – przemieszczenie obwodowe.
Do rozwiązania zadania korzystamy z warunków niepełnego kontaktu, tj. równość
naprężeń radialnych i stycznych pierścienia oraz tarczy
rprt (3.19)
p = t = 0 (3.20)
a także równość przemieszczeń radialnych pierścienia i tarczy
up = ut (3.21)
Najpierw należy rozważyć pomocnicze zadanie rozwiązania stanu naprężenia i
przemieszczenia pierścienia kołowego o promieniach rw oraz rz (rys. 3.10) obciążonego
na brzegach siłami normalnymi p i stycznymi t zgodnie z równościami:
- dla r = rw:
2cos20
www ppp (3.22)
2sin2
ww tt (3.23)
- dla r = rz:
2cos20
zzz ppp (3.24)
2sin2
zz tt (3.25)
Do rozważań wprowadzono funkcję naprężeń Airy’ego F określoną w następujący
sposób (Timoszenko 1962):
2
2
2
11
F
rr
F
rr (3.26)
2
2
r
Ft
(3.27)
47
F
rr
1 (3.28)
rwrz
t
r
r
t
N
p
w
p
z
tw
tz
Rysunek 3.10 Pierścień kołowy obciążony na obydwóch brzegach
Przyjmując funkcję naprężeń (Timoszenko 1962)
)2sin2cos)(()lnln( 2221
2
2423
2
22
4
210040302
2
01 DDrCCrCrCDrCCrCrCF
(3.29)
uzyskuje się następujące naprężenia (Wichur 1978)
2sin2cos6421ln22 2221
4
24
2
23220
2
040201 DDrCrCCDrCrCCr
(3.30)
2sin2cos62123ln22 2221
4
2422
2
210
2
040201 DDrCCrCDrCrCCt
(3.31)
2cos2sin332 2221
4
24
2
2322
2
21 DDrCrCCrC (3.32)
48
Po uwzględnieniu związków między przemieszczeniami i odkształceniami
względnymi oraz między odkształceniami względnymi i naprężeniami (prawo Hooke’a)
otrzymuje się
fDDrCrCrCrC
DrCrCfdrEEu r
2sin2cos1212
112
2221
3
24
1
2322
3
21
0
1
0401 (3.33)
rfdfDD
rCrCrCrCrfdurEE t
12221
3
24
1
2322
3
211
2cos2sin
1113)(
(3.34)
gdzie:
E – współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału,
rff 1, – funkcje jednej zmiennej (odpowiednio oraz r)
Ponieważ nie dopuszcza się ruchu pierścienia jako całości , zatem f1(r) = f() = 0,
a występujące w równaniach stałe C01, C02, …C24, D21, D22 wyznacza się z
następujących warunków brzegowych:
- dla r = rw
2cos20
ww
r pp (3.35)
2sin2
wt (3.36)
- dla r = rz:
2cos20
zz
r pp (3.37)
2sin2
zt (3.38)
Wykorzystując te warunki otrzymuje się następujący układ równań:
w
ww prCrCCD 0
2
0402010 1ln22 (3.39)
z
zz prCrCCD 0
2
0402010 1ln22 (3.40)
2cos2sin2cos642 22221
4
24
2
2322
w
ww pDDrCrCC (3.41)
49
2cos2sin2cos642 22221
2
24
2
2322
z
zz pDDrCrCC (3.42)
2sin2cos2sin332 22221
4
24
2
2322
2
21
w
www tDDrCrCCrC (3.43)
2sin2cos2sin332 22221
4
24
2
2322
2
21
z
zzz tDDrCrCCrC (3.44)
który jest spełniony przez pierwiastki
22
2
0
2
001
2 wz
w
w
z
z
rr
rprpC
(3.45)
002 C (3.46)
22
22
0004
wz
zw
zw
rr
rrppC
(3.47)
322
22
4
2222
22
22
4
21
3
3
wz
ww
w
wwzz
zw
zz
z
rr
tprtptprrtprC
(3.48)
322
2
6
222
24
222
42
2
6
22
2222
wz
w
w
zwz
zw
wwz
zw
z
z
rr
prtpprrtpprrprC
(3.49)
322
222
26
2222
44
222
62
23
22
wz
zwz
zw
wzwz
zw
wzw
zw
rr
tpprrttpprrtpprrC
(3.50)
322
222
64
222
46
24
3
2323
wz
wwz
zw
zzw
zw
rr
tpprrtpprrC
(3.51)
10 D (3.52)
2
24
2
2322
221
642
zz
z
rCrCC
pD (3.53)
022 D (3.54)
W celu obliczenia stałych korzystamy z warunków brzegowych dla warunku
niepełnego kontaktu:
50
- w przypadku pierścienia
arw (3.55)
brz (3.56)
0220 www tpp (3.57)
00 pp z (3.58)
22 pp z (3.59)
02 zt (3.60)
- w przypadku tarczy
brw (3.61)
zr (3.62)
00 ppw (3.63)
22 ppw (3.64)
02 zt (3.65)
00 '2
ppp
p xzz
(3.66)
22 '2
ppp
p xzz
(3.67)
222 ''2
ptpp
t xzz
(3.68)
przy czym na kontakcie tarczy i pierścienia występują :
- siły normalne
2cos20
ppp (3.69)
- siły styczne
51
0t (3.70)
Wartości nieznanych parametrów 0p oraz
2p oblicza się, wykorzystując warunek
równości przemieszczeń radialnych.
0
22
22
00
111
'2p
ab
ab
E
E
pp
t
pp
p
t
(3.71)
t
p
p
t
ab
abbbabaa
E
E
pp
5361595
'12
322
322642246
02 (3.72)
Gdzie:
Ep – współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału pierścienia, MPa,
Et – współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału tarczy, MPa,
p – liczba Poissona materiału pierścienia,
t – liczba Poissona materiału tarczy.
Po obliczeniu wartości współczynników 0p oraz 2p można wyznaczyć wartości
współczynników C01, C02, …C24, D21, D22, a następnie wartości naprężeń i
przemieszczeń.
W celu zilustrowania otrzymanych zależności wykonano obliczenia według
otrzymanych wzorów, a ich wyniki umieszczono w tabeli 3.7 oraz naniesiono na
wykresy (rys. 3.11 3.14). Zależności te otrzymano dla następujących danych:
a = 4,0 m
b = 4,5 m
Ep = 25000 MPa
Et = 10000 MPa
pz = 11 MPa
px = 9 MPa
p = 0,167
t = 0,200
52
Tabela 3.7 Wyniki obliczeń naprężeń i przemieszczeń w tarczy z otworem kołowym obciążonym
ciśnienim p = p0 + p2∙cos2
r t r C01 C02 C04 C21 C22 C23 C24
6,1979 52,8639 0,0000 4,5 0 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8639 0,0000 4,5 10 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8639 0,0001 4,5 20 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8638 0,0001 4,5 30 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8638 0,0001 4,5 40 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8637 0,0001 4,5 50 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8637 0,0001 4,5 60 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8636 0,0001 4,5 70 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1977 52,8636 0,0000 4,5 80 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1977 52,8636 0,0000 4,5 90 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1977 52,8636 0,0000 4,5 100 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8636 -0,0001 4,5 110 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8637 -0,0001 4,5 120 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8637 -0,0001 4,5 130 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1978 52,8638 -0,0001 4,5 140 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8638 -0,0001 4,5 150 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8639 -0,0001 4,5 160 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8639 0,0000 4,5 170 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
6,1979 52,8639 0,0000 4,5 180 14,7654 0 -472,5 0,0722 -3,9551 71,1049 -508,71
Rysunek 3.11 Wykres naprężeń radialnych σr
Wykres naprężeń radialnych r
6,1977
6,1977
6,1978
6,1978
6,1978
6,1978
6,1978
6,1979
6,1979
6,1979
6,1979
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
[ o]
r [M
Pa]
D0 D21 D22 pwo pzo pw2 pz2 rw rz tw2 tz2 pz px po p2
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
1 6,52E-05 0 0 6,1978 0 0,0120 4 4,5 0 0 11 9 6,198 0,012032
Rysunek 3.12 Wykres naprężeń obwodowych σt
Wykres naprężeń obwodowych s t
52,8636
52,8637
52,8637
52,8638
52,8638
52,8639
52,8639
52,8640
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
j [ o]
st [
MP
a]
p'o a b Ep Et p t p'2 /180)*j p t up
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,0000 6,2099 0 0,00932928
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,1745 6,2091 0 0,00932928
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,3491 6,2070 0 0,00932926
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,5236 6,2038 0 0,00932923
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,6981 6,1999 0 0,00932919
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 0,8727 6,1957 0 0,00932915
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,0472 6,1918 0 0,00932911
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,2217 6,1886 0 0,00932908
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,3963 6,1865 0 0,00932906
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,5708 6,1858 0 0,00932906
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,7453 6,1865 0 0,00932906
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 1,9199 6,1886 0 0,00932908
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,0944 6,1918 0 0,00932911
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,2689 6,1957 0 0,00932915
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,4435 6,1999 0 0,00932919
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,6180 6,2038 0 0,00932923
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,7925 6,2070 0 0,00932926
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 2,9671 6,2091 0 0,00932928
10 4 4,5 25000 10000 0,167 0,2 1 3,1416 6,2099 0 0,00932928
Rysunek 3.13 Wykres naprężeń stycznych τ
Wykres napężeń stycznych t
-0,0004
-0,0003
-0,0002
-0,0001
0,0000
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
j [ o]
t [M
Pa]
53
Rysunek 3.14 Wykres przemieszczeń radialnych u
Uzyskane rozwiązanie można wykorzystać do analizy odporu sprężystego tarczy. W
tym celu rozważono stan naprężenia i przemieszczenia w sprężystej nieważkiej tarczy z
otworem kołowym obciążonym od wewnątrz ciśnieniem normalnym p (rys. 3.15)
p = p0 + p2 · cos2φ (3.73)
oraz stycznym
t = 0 (3.74)
Wprowadzono układ współrzędnych prostokątnych (x, y, z) o początku w osi
wyrobiska (otworu) i osi z pokrywającej się z osią otworu oraz prostopadłymi do niej
osiami x i y (rys. 3.15). Z układem tym związano układ współrzędnych walcowych
(r, , z) następującymi relacjami:
x = r · cos (3.75)
y = r · sin (3.76)
z = z (3.77)
przy czym:
r – promień bieżący punktu (r ≥ rw, rw – promień otworu),
– azymut bieżący punktu (0 ≤ ≤ 2).
Wykres przemieszczeń radialnych u
0,00932900
0,00932905
0,00932910
0,00932915
0,00932920
0,00932925
0,00932930
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
[ o]
u [
m]
54
p = p + p cos20 2
rw
x
y
Rysunek 3.15 Tarcza z otworem kołowym obciążonym od wewnątrz obciążeniem normalnym
p = p0 + p2 · cos2φ
Stan naprężenia w tarczy opisany jest składowymi tensora naprężenia:
σr – naprężenie radialne,
σt – naprężenie obwodowe,
σz – naprężenie podłużne (wzdłuż osi z),
– naprężenie styczne w płaszczyźnie (x, y) (naprężenie rozciągające są dodatnie).
Wektor przemieszczenia opisany jest składowymi:
u – przemieszczenie radialne,
v – przemieszczenie obwodowe,
w – przemieszczenie podłużne (w = 0, zakłada się płaski stan odkształcenia),
(przemieszczenia od środka na zewnątrz są dodatnie).
55
Przyjęto następujące warunki brzegowe:
- dla r = rw
r = p0 + p2 · cos2φ (3.78)
= 0 (3.79)
- dla r → ∞
r → 0 (3.80)
Uzyskane rozwiązanie ma postać:
2cos22
2
2
2
22
2
0
r
r
r
rp
r
rp www
r (3.81)
2cos4
4
22
2
0 r
rp
r
rp ww
t (3.82)
2cos22
2
2 r
rp w
z (3.83)
2sin12
2
2
2
2
r
r
r
rp ww (3.84)
2cos
312
13
2
20
2
r
rpp
rE
ru ww (3.85)
2sin
321
12
2
2
2
r
rp
rE
rv ww (3.86)
przy czym:
E – współczynnik sprężystości wzdłużnej (moduł Younga) materiału tarczy
(górotworu), MPa,
– liczba Poissona materiału tarczy (górotworu).
Jak można łatwo przekonać się, przedstawione rozwiązanie spełnia równania
równowagi, równanie nierozdzielności Levy’ego, związki między przemieszczeniami,
odkształceniami i naprężeniami (prawo Hooke’a i równania Cauchy’ego) oraz warunki
brzegowe (3.78 3.80).
56
Dla określenia wartości współczynnika podatności podłoża potrzebne są wartości na
konturze otworu:
- naprężenia radialnego wrrrrr
w
- przemieszczenia radialnego wrrruu
w
Z równania (3.81) i (3.85) otrzymuje się:
2cos20 pprwr (3.87)
2cos
3
112
120 pp
E
rru ww (3.88)
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
pp 0 (3.89)
pp2 (3.90)
Po uwzględnieniu (3.89) i (3.90) równania (3.87) i (3.88) można zapisać w
następującej postaci
2cos1 prwr (3.91)
2cos6533
1
E
prru ww (3.92)
Współczynnik podatności podłoża wyrazi się wzorem
2cos6531
2cos13
ww
wr
r
E
ru
rC (3.93)
Po wprowadzeniu oznaczeń
wr
EC
10 (3.94)
oraz
2cos653
2cos13,,
C (3.95)
otrzymuje się:
C = C0 · C(, , ) (3.96)
57
Ze wzoru (3.96) wynika, że wartość współczynnika podatności podłoża zależy
przede wszystkim od stałej wartości C0 obliczonej dla równomiernego obciążenia
konturu obwodu wyrobiska ( = 0) oraz od wartości C(, , ) zależnej od liczby
Poissona materiału tarczy, nierównomierności obciążenia konturu obwodu ( > 0) i
współrzędnej
W celu wyjaśnienia wpływu nierównomiernego obciążenia na przebieg wartości
C(, , ) przeprowadzono obliczenia dla następujących danych: = 0,2 oraz
= 0; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50.
Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 3.16.
Przeprowadzone obliczenia potwierdzają, że wartość współczynnika podatności
podłoża na obwodzie wyrobiska nie jest stała: w przedziale zmienności 0 ≤ Δ ≤ 0,50
zależna od kąta wartość C(, , ) waha się w przedziałach 1,0 ÷ 0,918 (klucz
sklepienia, tj. = 0) oraz 1,0 ÷ 1,364 (ociosy wyrobiska, tj. = 90°). Z rysunku 3.16
wynika również, że ograniczenie zmienności obciążenia do Δ ≤ 0,10 prowadzi do
ograniczenia wartości C(, , ) do 0,976 (klucz sklepienia) i 1,031 (ociosy wyrobiska).
Rysunek 3.16 Wartość współczynnika C(, , ) na obwodzie wyrobiska zależna od parametru
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
[...o]
C( ,,
) 0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
58
Spostrzeżenia te rzucają światło na jakościową stronę zjawiska: zmienność wartości
współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska zależy od zmienności
obciążenia – przy równomiernej (w przybliżeniu) reakcji obudowy zmienność ta jest
niewielka, a przy nierównomiernej reakcji może osiągać znaczne wartości.
3.4. Wnioski
Przeprowadzone badania wstępne wykazały, że w przypadku obudów
wielowarstwowych grubość folii hydroizolacyjnej jak i jej współczynnik sprężystości
wzdłużnej nie wpływają znacząco na wartość współczynnika podatności podłoża C.
Można więc pominąć jej udział w obliczeniach współczynnika C.
Jednakże udział obudowy wstępnej ma już swoje odzwierciedlenie w wartościach
współczynnika podatności podłoża. W przypadku tunelu w obudowie wstępnej wartość
tego współczynnika dla tych samych parametrów sprężystych górotworu jest o ok.
400 MN/m3
większa niż w przypadku tunelu bez obudowy wstępnej.
W badaniach zaobserwowano duży wpływ parametrów sprężystych górotworu na
wartość współczynnika podatności górotworu.
Przeprowadzone obliczenia dla tarczy z otworem kołowym obciążonym od środka
nierównomiernym ciśnieniem p = po + p2 cos 2 dowiodły, że w przypadku
nierównomiernego obciążenia obudowy ostatecznej wyrobiska wartość współczynnika
podatności podłoża na obwodzie wyrobiska jest zmienna.
Uzyskane wyniki dotyczą jedynie wyrobisk o przekroju kołowym i nie wykazują
wpływu kształtu wyrobiska na wartość współczynnika C. Dlatego w dalszej części
pracy wykonano badania rozkładu współczynnika podatności podłoża na obwodzie
obudowy tuneli o przekroju eliptycznym. W badaniach tych uwzględniono wpływ
kształtu tunelu (stosunku półosi elipsy a/b) na rozkład wartości tego współczynnika.
59
4. Badania kształtowania się wartości współczynnika
podatności podłoża w zagadnieniach projektowania tuneli o
przekroju kołowym i eliptycznym
4.1. Obecny zakres stosowania przekrojów poprzecznych kołowych i
eliptycznych w budownictwie podziemnym
W budownictwie podziemnym stosuje się różnego rodzaju przekroje wyrobisk
(rys. 4.1) (Furtak i Kędracki 2005, Gałczyński 2001, www.en.structurae.de). Dobór
kształtu poprzecznego wyrobiska jest związany z techniką wykonania tunelu oraz
optymalizacją wykorzystania przestrzeni (Fischer 2001) przy zachowaniu odpowiedniej
skrajni (Rozporządzenie 1999, Rozporządzenie 2000, Rozporządzenie 2011, Ustawa
1985).
Podczas drążenia tuneli długich najczęściej wybieraną metodą jest drążenie tunelu
przy użyciu tarczy zmechanizowanej (np. TBM lub EPB) (Arioglu i in. 2002, Kolymbas
2005, Babendererde 1991, Bournes 2005, Gehring 1997, Hollen 1998, ITA 2000,
Kosmalski i Kozłowski 2002, Kosmalski i Kozłowski 2003, Steiner 2001, Pokrovsky
1980, www.ita-aites.org, www.tunnelbuilder.com). Technologia ta zmusza wykonawcę
do zastosowania przekroju kołowego. W warunkach polskich przekroje tego typu
można spotkać w tunelach szlakowych Metra Warszawskiego (rys 4.2) (Stypuła 2003,
Kosmalski i Kozłowski 2005, Madryas i Ryż 2003, Kosmalski i Gmitrowski 1995,
www.pebeka.com.pl, www.metro.waw.pl). Najczęściej stosowaną obudową w metodzie
tarczowej jest obudowa wykonana z żelbetowych elementów prefabrykowanych lub z
tubingów żeliwnych.
W przypadku tuneli krótkich często stosuje się drążenie przy użyciu Nowej
Austriackiej Metody Drążenia Tuneli (NATM) (Pękacki 1971, Poettler i in. 2003, Golec
1996, Motyczka 2006, Czaja i Tajduś 2004, Dzierżęga 2004, Karakuş i Fowell 2004,
Rułka i in. 1996, Bougard 1984, Bickel i in. 1996). Metoda ta nie narzuca z góry
określonego kształtu przekroju poprzecznego wyrobiska, a zatem daje wykonawcy
swobodę w doborze przekroju, który najlepiej wykorzysta przestrzeń w świetle
obudowy. W przypadku tuneli drogowych (Eisenstein 2000, Gróf 2002, Pilecki 2002)
60
oraz kolejowych (Obst 2001) najczęściej dobierane kształty to eliptyczne, paraboliczne
lub podkowiaste (Jabłońska 2002, Jaworski 2003, Stamatello 1970). W przypadku
płytkich tuneli, wykonywanych metodami odkrywkowymi stosowane się również
przekroje prostokątne (PN-S-02203:1997).
Rysunek 4.1 Przekroje wyrobisk stosowane w budownictwie podziemnym (1 – kołowy, 2 – eliptyczny
poziomy, 3 – eliptyczny pionowy, 4 – podkowiasty)
Rysunek 4.2 Tunele szlakowe Metra Warszawskiego (www.pebeka.com.pl)
Podczas projektowania tunelu projektant musi pamiętać, że tunel powinien zapewnić
(Rozporządzenie 2000) przeprowadzenie elementów drogi takich jak: jezdnia,
torowisko tramwajowe, utwardzone pobocze, pas dzielący, pas awaryjny, chodnik (z
61
wyjątkiem tunelu do ruchu pojazdów), ścieżka rowerowa (z wyjątkiem tunelu do ruchu
pojazdów). Przekrój tunelu powinien zapewnić zachowanie skrajni (rys. 4.3)
identycznych jak na odcinkach przed i za tunelem (Rozporządzenie, 1999).
Poszczególne kierunki ruchu bądź jego rodzaje powinny być umieszczone w
oddzielnych tunelach. Jeśli konstrukcja tunelu może pomieścić obie jezdnie i torowisko
tramwajowe, to jezdnie i torowisko powinny być wydzielone specjalnymi przegrodami
lub barierami betonowymi.
Rysunek 4.3 Schemat skrajni dwujezdniowej drogi
1) klasy A lub S
(A- autostrady, S- drogi szybkiego ruchu) 1)
wymiary podane są w metrach (Rozporządzenie 1999)
Analizując powyższe założenia można zauważyć, że optymalnym kształtem
przekroju tunelu jest kształt eliptyczny (rys. 4.4). Ponieważ wartość współczynnika
podatności podłoża na obwodzie wyrobiska kołowego (przypadek metody drążenia za
pomocą TBM) jest stała i można ją wyliczyć ze wzoru (2.8), dalsze badania skierowane
zostały w stronę zbadania rozkładu tego współczynnika na obwodzie wyrobisk
eliptycznych.
Rysunek 4.4 Schemat dwóch tuneli eliptycznych dla dwujezdniowej drogi klasy A
62
W podziemnych zakładach górniczych dla wyrobisk korytarzowych poziomych i
pochyłych wymiary w świetle obudowy są znormalizowane (PN-G-06010:1998). W
przypadku przekrojów symetrycznych podział wyróżnia wyrobiska sklepione, kołowe,
łukowe zwykłe, łukowe zamknięte, łukowe podwyższone. Podział ten nie ma większego
znaczenia w przypadku wyrobisk tunelowych.
4.2. Konstrukcja oraz weryfikacja modelu obliczeniowego dla
przekroju kołowego i eliptycznego
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń przeprowadzonych przy pomocy
programu Robot Structural Analysis zbudowano model testowy – tarcza z otworem
kołowym o promieniu r = 6,10 m. Aby zredukować wpływ brzegów tarczy na wyniki
na obwodzie wyrobiska przyjęto, że odległość krawędzi otworu od brzegu tarczy
powinna wynosić co najmniej 5r. Tarczę zamodelowano jako nieważką i obciążono na
brzegach obciążeniem równomiernym p = 10 MPa. Przyjęto następujące warunki
brzegowe:
- na pionowych krawędziach przyjęto zerowe przemieszczenia poziome,
- na poziomych krawędziach przyjęto zerowe przemieszczenia pionowe.
Współczynnik sprężystości tarczy przyjęto Eg = 5000 MPa, a współczynnik Poissona
= 0,2. Zadanie zostało rozważone w płaskim stanie odkształcenia. Ponieważ układ
jest osiowo-symetryczny, do obliczeń przyjęto jego połowę (rys. 4.5 ÷ 4.6).
W obliczeniach przyjęto azymut zerowy dla kierunku osi z.
W celu weryfikacji poprawności działania modelu zbadano naprężenia i
przemieszczenia w trzech punktach obliczeniowych:
1. w kluczu sklepienia,
2. na ociosie wyrobiska (w połowie wysokości wyrobiska),
3. w kluczu spągu.
63
Rysunek 4.5 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – schemat obciążenia
Weryfikacji uzyskanych wyników dokonano poprzez teoretyczne rozwiązanie
układu (Sałustowicz 1955) oraz przy użyciu alternatywnych metod numerycznych -
programu Mathematica 4.0 i programu Cosmos/M. Uzyskane wyniki przedstawiono
tabelarycznie (tab. 4.1).
Rysunek 4.6 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – wymiary
64
Tabela 4.1 Weryfikacja modelu tarczy z otworem kołowym - zestawienie wyników
Robot Structural
Analysis
Rozwiązanie
teoretyczne
Mathematica 4.0 Cosmos/M
Naprężenia 1 = 20,57 MPa
2 = 20,55 MPa
3 = 20,17 MPa
= 20,00 MPa
= 19,73 MPa
= 20,69 MPa
Przemieszczenia u1 = 0,02499 m
u2 = 0,02500 m
u3 = 0,02499 m
u = 0,02436 m
u = 0,02452 m
u = 0,02435 m
Z przeprowadzonego porównania można zauważyć, że błąd względny pomiędzy
wynikami uzyskanymi z modelowania programem Robot Structural Analysis a
wynikami rozwiązań analitycznych nie przekracza 2,85 % w przypadku naprężeń i
2,63 % w przypadku przemieszczeń. Można zatem uznać, że konstrukcja modelu
obliczeniowego jest poprawna, a uzyskiwane wyniki mieszczą się w granicach błędu +/-
3%.
Aby obliczyć wartość współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska
kołowego posłużono się wzorem (2.8). W tym celu zbudowano model tarczy z
centralnie umieszczonym otworem kołowym o promieniu rw = 6,58 m (rys. 4.7)
obciążonym od środka ciśnieniem wzorcowym 1,0 MPa. Obliczenia przeprowadzono
dla różnych wartości parametrów górotworu tj.: Eg = 5000; 10000; 15000 MPa oraz
= 0,15; 0,20; 0,25.
Rysunek 4.7 Model tarczy z otworem kołowym (rw = 6,58 m) obciążonym od środka ciśnieniem
1,0 MPa
65
W wyniku tego modelowania uzyskano przemieszczenia w punktach
obliczeniowych. Obliczone wartości współczynnika C uzyskane z modelowania
programem Robot Structural Analysis przedstawiono graficznie na wykresie (rys. 4.8).
Dla porównania wykonano obliczenia współczynnika podatności podłoża C wg wzoru
(2.8), a uzyskane wyniki zestawiono tabelarycznie (tab. 4.2).
Rysunek 4.8 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu kołowego (rw = 6,58 m)
obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000 15000 MPa, = 0,15 0,25)
Tabela 4.2 Porównanie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem
kołowym (rw = 6,58 m)
Lp. Współczynnik
sprężystości
wzdłużnej górotworu
Eg
MPa
Liczba
Poissona
Promień
wyrobiska
rw
[m]
Współczynnik podatności
podłoża C
MN/m3
Błąd
względny
[%] Średnia wartość
obliczona
programem
Robot
Obliczony
wg wzoru
(2.8)
1 15 000 0,15 6,58 1982,29 1907,56 3,92
2 15 000 0,20 6,58 1899,70 1831,49 3,72
3 15 000 0,25 6,58 1823,71 1761,42 3,54
4 10000 0,15 6,58 1321,53 1271,51 3,93
5 10000 0,20 6,58 1266,46 1220,96 3,73
6 10000 0,25 6,58 1215,81 1174,26 3,54
7 5000 0,15 6,58 660,76 635,82 3,92
8 5000 0,20 6,58 633,23 610,50 3,72
9 5000 0,25 6,58 607,90 587,13 3,54
0
500
1000
1500
2000
2500
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
66
Wartość współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska kołowego
powinna być stała, jednakże wykresy uzyskane na podstawie modelowania programem
Robot Structural Analysis wykazują odchylenia. Jest to spowodowane doborem siatki
oraz dyskretyzacją okręgu podczas modelowania. Przy budowie modelu
obliczeniowego założono, że odcinki, na które podzielone są krawędzie na obwodzie
wyrobiska nie mogą przekraczać długości 0,5 m. Obliczony błąd względny (Sobczyk
2000) średnich wartości uzyskanych z modelowania od wartości obliczonych na
podstawie wzoru (2.8) nie przekracza 4%.
W celu weryfikacji poprawności obliczeń dla tarczy z otworem eliptycznym przy
pomocy programu Robot Structural Analysis zbudowano model tarczy (wymiary
przedstawione na rysunku 4.10) obciążonej na brzegach obciążeniem równomiernym
p = 10 MPa. Warunki brzegowe oraz parametry tarczy przyjęto jak dla modelu z
otworem kołowym. Zadanie zostało rozważone w płaskim stanie odkształcenia.
Ponieważ układ jest osiowo-symetryczny, do obliczeń przyjęto jego połowę (rys. 4.9).
Rysunek 4.9 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m – schemat
obciążenia
Aby sprawdzić poprawności działania modelu, tak jak dla przykładu tarczy z
otworem kołowym, zbadano naprężenia i przemieszczenia w trzech punktach na
obwodzie otworu eliptycznego:
67
1. w kluczu sklepienia,
2. na ociosie wyrobiska (w połowie wysokości wyrobiska),
3. w kluczu spągu.
Rysunek 4.10 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m – wymiary
Weryfikacji uzyskanych wyników dokonano poprzez teoretyczne rozwiązanie układu
(Timoszenko i Goodier 1962) oraz przy użyciu programu Cosmos/M. Przy teoretycznym
rozwiązaniu zagadnienia wspomożono się programem Mathematica 4.0. Uzyskane
wyniki przedstawiono tabelarycznie (tab. 4.3).
Tabela 4.3 Weryfikacja modelu tarczy w otworem kołowym - zestawienie wyników
Robot Structural
Analysis
Rozwiązanie
teoretyczne
/ Mathematica 4.0/
Cosmos/M
Naprężenia 1 = 15,17 MPa
2 = 26,61 MPa
3 = 15,11 MPa
1 = 15,48 MPa
2 = 25,84 MPa
3 = 15,48 MPa
1 = 15,44 MPa
2 = 25,90 MPa
3 = 15,44 MPa
Przemieszczenia u1 = 0,06485 m
u2 = 0,04775 m
u3 = 0,06487 m
u1 = 0,06316 m
u2 = 0,04888 m
u3 = 0,06316 m
u1 = 0,06403 m
u2 = 0,04857 m
u3 = 0,06403 m
Z przeprowadzonego porównania można zauważyć, że błąd względny pomiędzy
wynikami uzyskanymi z modelowania programem Robot Structural Analysis od
rozważań teoretycznych nie przekracza 2,98 % w przypadku naprężeń i 2,70% w
68
przypadku przemieszczeń. Można zatem uznać, że konstrukcja modelu obliczeniowego
jest poprawna, a uzyskiwane wyniki mieszczą się w granicach błędu +/- 3%.
4.3. Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla tarczy z
otworem kołowym i eliptycznym
4.3.1. Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla różnych wartości
współczynnika sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona górotworu
W pierwszej fazie obliczeń zamodelowano tarczę o wymiarach 99,0 x 58,8 m z
centralnie umieszczonym otworem eliptycznym o półosiach a = 8,25 m i b = 4,9 m
obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa (rys. 4.11). Aby warunki zbliżyć do
rzeczywistych, wymiary otworu przyjęto tak, by odwzorować tunel eliptyczny w
obudowie sklepionej o grubości 1,0 m z dwujezdniową drogą klasy A dla terenu
niezabudowanego i prędkości przejazdowej 120 km/h. Obliczenia przeprowadzone
zostały dla następujących parametrów tarczy (parametry górotworu otaczającego
wyrobisko) Eg = 100; 500; 1000; 5000; 10000; 15000; 30000 MPa oraz g = 0,15; 0,20;
0,25.
Uzyskane wyniki obliczeń zaprezentowano tabelarycznie (tab. 4.4) i graficznie w
postaci wykresów (rys. 4.12 ÷ 4.14).
Rysunek 4.11 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m; b = 4,9 m) obciążonym od środka
ciśnieniem 1,0 MPa
69
Rysunek 4.12 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
(a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.13 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
(a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
6000,00
7000,00
8000,00
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
70
Rysunek 4.14 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
(a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 100 ÷ 30000 MPa, = 0,20)
W przedstawionych charakterystykach można zauważyć pewną prawidłowość. Dla
tej samej wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu i róznych wartości
liczby Poissona wykresy wykazują zgodność w pewnym przedziale przebiegu funkcji
(rys. 4.13) Największe różnice odnotowano na ociosie wyrobiska w punkcie o azymucie
j = 90o. Można też zauważyć zależności dotyczące wpływu współczynnika sprężystości
górotworu (rys. 4.14). Wraz z jego wzrostem wykres przesuwa się w układzie w górę
powodując wzrost wartości współczynnika podatności podłoża na całym obwodzie
wyrobiska.
0,00
2000,00
4000,00
6000,00
8000,00
10000,00
12000,00
14000,00
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=100, ni = 0,20
E=500, ni = 0,20
E=1000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,20
E=30000, ni = 0,20
71
Tabela 4.4 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
Współczynnik podatności podłoża C (MN/m3)
= 0,15 = 0,20 = 0,25
Lp. j E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
E = 100
MPa
E = 500
MPa
E = 1000
MPa
E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
E = 30000
MPa
E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
1 0,00 350,14 700,28 1050,42 6,89 34,43 68,86 344,23 688,71 1033,06 2066,12 338,64 677,05 1016,26
2 1,80 350,01 700,27 1050,41 6,88 34,42 68,84 344,23 688,22 1033,04 2066,10 338,52 677,04 1015,22
3 3,60 350,37 700,75 1051,49 6,89 34,44 68,89 344,46 688,67 1033,01 2066,01 338,73 677,47 1016,21
4 5,40 350,61 701,21 1051,45 6,89 34,47 68,95 344,80 689,59 1034,03 2070,18 339,06 678,34 1017,18
5 7,20 351,33 702,66 1053,63 6,91 34,55 69,09 345,49 690,97 1036,11 2074,33 339,84 679,67 1019,16
6 9,00 352,30 704,60 1056,89 6,93 34,64 69,29 346,42 692,83 1039,25 2078,46 340,73 681,45 1022,19
7 10,80 353,77 707,53 1061,31 6,96 34,78 69,56 347,83 695,65 1043,49 2086,91 342,08 684,15 1026,24
8 12,60 355,24 710,49 1065,72 6,98 34,92 69,85 349,24 698,48 1047,73 2095,40 343,43 686,86 1030,30
9 14,40 356,98 713,96 1071,33 7,02 35,10 70,20 351,03 701,81 1053,07 2103,92 345,14 690,51 1035,42
10 16,20 359,12 718,50 1076,95 7,06 35,31 70,62 353,08 706,14 1059,59 2116,93 347,22 694,20 1041,66
11 18,00 361,66 723,06 1084,99 7,11 35,55 71,10 355,51 711,03 1066,17 2134,60 349,56 699,37 1049,03
12 19,80 364,11 728,21 1091,90 7,16 35,79 71,59 357,98 715,97 1073,96 2147,91 351,91 704,07 1055,36
13 21,60 366,98 733,94 1101,36 7,21 36,07 72,15 360,73 721,46 1081,77 2166,01 354,67 709,35 1064,00
14 23,40 370,30 740,32 1110,89 7,28 36,39 72,78 363,91 727,56 1092,12 2184,37 357,71 715,67 1072,73
15 25,20 373,82 747,92 1121,90 7,35 36,74 73,48 367,41 734,84 1102,63 2203,00 361,18 722,11 1083,91
16 27,00 377,83 755,65 1133,03 7,42 37,12 74,24 371,25 742,23 1113,32 2226,82 364,85 729,70 1094,19
17 28,80 382,20 764,12 1147,05 7,51 37,55 75,09 375,43 750,89 1126,72 2251,10 368,99 737,97 1106,96
18 30,60 386,54 773,36 1160,06 7,59 37,97 75,95 379,72 759,72 1139,11 2281,03 373,08 746,46 1118,86
19 32,40 391,54 782,76 1174,63 7,69 38,45 76,91 384,49 769,28 1153,07 2305,91 377,77 755,57 1133,27
20 34,20 397,28 794,87 1192,35 7,80 39,02 78,04 390,27 780,20 1171,29 2342,59 383,28 766,56 1149,45
21 36,00 403,67 807,34 1210,57 7,93 39,64 79,28 396,37 792,76 1188,63 2380,36 389,24 778,48 1167,22
22 37,80 410,47 820,91 1230,96 8,06 40,30 80,59 403,01 805,71 1209,48 2419,27 395,58 791,43 1187,20
23 39,60 417,99 836,30 1253,41 8,21 41,03 82,06 410,36 820,38 1231,01 2459,36 402,72 805,40 1207,62
24 41,40 425,97 851,53 1278,44 8,36 41,79 83,59 417,95 836,24 1253,26 2506,90 410,11 820,50 1230,38
25 43,20 434,79 869,54 1304,43 8,53 42,66 85,32 426,52 853,41 1279,50 2562,68 418,42 836,90 1255,27
26 45,00 444,56 889,07 1333,01 8,72 43,59 87,17 435,81 871,99 1306,78 2614,03 427,41 855,13 1282,70
27 46,80 455,13 910,27 1364,87 8,92 44,61 89,23 446,23 892,01 1338,70 2673,33 437,29 874,96 1311,22
28 48,60 466,44 932,45 1399,88 9,14 45,70 91,39 456,95 913,97 1370,24 2744,77 447,86 895,64 1342,98
29 50,40 479,20 958,40 1436,92 9,39 46,93 93,85 469,28 938,55 1407,07 2818,70 459,68 919,03 1379,55
30 52,20 492,91 985,90 1478,02 9,65 48,26 96,52 482,70 965,31 1448,21 2896,42 472,35 945,14 1416,39
72
31 54,00 508,67 1017,85 1526,01 9,96 49,78 99,55 497,82 995,65 1493,47 2986,94 487,05 973,74 1461,30
32 55,80 525,96 1052,01 1577,06 10,29 51,44 102,87 514,43 1028,86 1544,22 3082,84 502,96 1005,93 1508,89
33 57,60 545,91 1091,72 1636,71 10,67 53,35 106,69 533,49 1066,42 1600,29 3196,65 521,11 1042,23 1564,13
34 59,40 568,26 1137,15 1703,64 11,10 55,48 110,96 554,75 1109,96 1663,55 3327,09 541,62 1083,25 1625,72
35 61,20 593,63 1187,41 1782,15 11,58 57,88 115,77 578,76 1158,17 1736,04 3479,40 564,39 1128,17 1693,83
36 63,00 620,71 1242,01 1861,01 12,09 60,47 120,95 604,76 1209,33 1812,94 3632,24 588,78 1178,22 1765,04
37 64,80 652,69 1305,59 1957,78 12,70 63,50 127,00 634,82 1269,86 1903,30 3815,57 617,50 1234,28 1852,51
38 66,60 690,21 1380,17 2069,61 13,40 67,01 134,02 669,99 1340,83 2009,96 4027,64 650,14 1301,07 1950,41
39 68,40 734,54 1467,74 2202,06 14,23 71,17 142,34 711,57 1423,13 2136,63 4261,69 689,31 1378,63 2067,13
40 70,20 782,10 1564,57 2345,74 15,12 75,59 151,17 755,70 1511,41 2268,72 4527,81 729,83 1460,63 2190,32
41 72,00 840,26 1679,18 2523,47 16,20 80,98 161,96 810,01 1620,52 2428,95 4868,85 779,40 1558,80 2340,63
42 73,80 911,47 1822,34 2732,10 17,50 87,49 174,98 875,33 1748,63 2629,03 5258,06 838,60 1678,46 2517,69
43 75,60 1001,10 2001,39 3001,76 19,11 95,55 191,08 955,51 1911,01 2866,52 5733,04 910,91 1820,98 2733,62
44 77,40 1104,22 2207,33 3317,58 20,93 104,67 209,33 1046,65 2094,41 3141,61 6283,22 991,06 1983,22 2972,39
45 79,20 1234,06 2469,68 3704,52 23,18 115,92 231,85 1159,10 2316,67 3479,61 6959,23 1088,41 2174,96 3260,24
46 81,00 1383,66 2769,56 4155,64 25,66 128,32 256,63 1282,24 2566,59 3839,77 7702,11 1191,19 2380,35 3570,52
47 82,80 1569,47 3138,95 4708,92 28,63 143,14 286,28 1430,82 2861,63 4296,91 8567,06 1307,37 2617,37 3922,78
48 84,60 1775,45 3554,92 5313,06 31,70 158,53 317,06 1584,21 3175,44 4742,16 9484,32 1424,42 2850,99 4264,91
49 86,40 2014,78 4018,56 6038,47 35,02 175,14 350,22 1750,52 3503,97 5259,88 10496,12 1544,67 3089,35 4637,89
50 88,20 2209,44 4412,18 6624,26 37,61 188,03 376,12 1881,82 3765,34 5648,01 11296,01 1634,64 3270,40 4911,77
51 90,00 2319,79 4650,36 6942,94 39,07 195,32 390,73 1952,89 3905,77 5847,05 11763,89 1686,15 3366,70 5049,93
52 91,80 2260,86 4518,97 6778,45 38,40 191,99 383,95 1918,51 3842,46 5758,07 11581,03 1664,65 3328,16 4993,95
53 93,60 2029,25 4051,37 6098,47 35,32 176,61 353,19 1766,21 3532,42 5311,19 10547,37 1558,04 3122,49 4680,83
54 95,40 1779,46 3558,16 5338,37 31,77 158,84 317,72 1588,58 3174,20 4765,74 9504,86 1428,71 2858,67 4286,13
55 97,20 1562,19 3124,39 4676,27 28,48 142,42 284,81 1423,73 2850,40 4270,97 8516,89 1303,01 2603,42 3912,94
56 99,00 1371,10 2742,20 4117,88 25,41 127,03 254,08 1270,37 2543,20 3807,98 7657,05 1179,20 2356,38 3543,49
57 100,80 1220,89 2441,77 3660,35 22,90 114,51 229,03 1144,65 2291,45 3439,43 6865,28 1074,53 2148,70 3224,13
58 102,60 1094,93 2187,73 3287,98 20,74 103,69 207,35 1036,80 2073,59 3113,15 6209,74 981,27 1961,46 2945,46
59 104,40 999,26 1998,51 2999,00 19,06 95,32 190,63 952,91 1905,81 2862,41 5702,75 908,11 1815,36 2722,20
60 106,20 914,60 1829,20 2740,54 17,55 87,76 175,51 877,58 1754,42 2635,82 5271,63 840,71 1682,00 2523,00
61 108,00 845,38 1691,63 2533,41 16,29 81,46 162,92 814,64 1629,27 2443,15 4890,87 784,12 1566,60 2353,23
62 109,80 784,62 1569,25 2352,67 15,17 75,82 151,64 758,39 1515,70 2273,55 4547,10 732,29 1464,57 2194,75
63 111,60 734,69 1468,34 2202,06 14,24 71,19 142,37 711,73 1423,78 2136,63 4267,55 689,49 1378,63 2067,13
64 113,40 689,75 1380,66 2069,61 13,40 67,00 134,00 669,99 1340,83 2009,96 4027,64 650,14 1299,48 1950,41
65 115,20 652,69 1305,59 1957,78 12,70 63,49 126,98 634,82 1269,86 1903,30 3815,57 617,38 1234,28 1852,51
66 117,00 620,71 1242,01 1861,01 12,10 60,48 120,95 604,67 1209,33 1812,94 3632,24 588,78 1178,22 1765,04
73
67 118,80 593,63 1187,12 1782,15 11,58 57,90 115,81 579,09 1158,17 1736,04 3479,40 564,61 1129,40 1693,83
68 120,60 568,57 1137,15 1706,49 11,10 55,51 111,03 555,05 1109,96 1666,25 3327,09 541,83 1083,25 1625,72
69 122,40 546,21 1092,90 1639,34 10,68 53,38 106,76 533,71 1067,54 1600,29 3206,68 521,38 1043,28 1564,13
70 124,20 526,23 1053,10 1579,51 10,30 51,47 102,95 514,69 1029,90 1544,22 3092,18 503,21 1006,92 1508,89
71 126,00 509,18 1017,85 1528,31 9,96 49,81 99,63 498,07 996,62 1493,47 2986,94 487,33 974,66 1461,30
72 127,80 493,39 986,72 1480,18 9,66 48,30 96,59 482,93 966,23 1448,21 2896,42 472,83 946,01 1418,36
73 129,60 479,43 959,31 1438,96 9,39 46,97 93,93 469,71 939,42 1409,03 2818,70 459,93 919,86 1379,91
74 131,40 466,66 933,31 1399,88 9,15 45,73 91,45 457,19 914,79 1372,09 2744,77 448,05 896,57 1344,76
75 133,20 455,13 910,27 1364,87 8,92 44,62 89,25 446,23 892,13 1338,70 2674,37 437,48 874,96 1312,92
76 135,00 444,51 889,07 1333,01 8,72 43,59 87,19 435,97 871,89 1308,48 2613,10 427,57 855,13 1282,70
77 136,80 435,12 870,21 1305,94 8,54 42,68 85,36 426,84 853,32 1281,13 2561,83 418,72 837,49 1256,60
78 138,60 426,11 852,25 1278,27 8,36 41,81 83,62 418,08 836,16 1254,82 2506,14 410,22 820,50 1230,18
79 140,40 418,13 836,30 1254,98 8,21 41,03 82,06 410,32 820,30 1231,01 2458,67 402,68 805,40 1207,62
80 142,20 410,78 821,52 1232,33 8,06 40,32 80,65 403,30 806,28 1209,48 2418,64 395,85 791,97 1187,02
81 144,00 404,31 808,59 1213,37 7,94 39,70 79,39 396,96 793,95 1191,30 2379,79 389,81 779,62 1169,93
82 145,80 397,88 796,08 1193,65 7,81 39,07 78,14 390,69 781,35 1172,53 2342,07 383,69 767,66 1150,62
83 147,60 391,99 783,98 1176,00 7,70 38,50 76,99 384,92 769,87 1154,28 2311,22 378,20 756,08 1134,55
84 149,40 386,83 773,95 1160,06 7,60 38,00 76,00 379,99 760,25 1140,41 2280,60 373,34 746,96 1119,99
85 151,20 382,35 764,70 1147,05 7,51 37,57 75,14 375,70 751,41 1126,72 2255,78 369,11 738,52 1106,96
86 153,00 377,82 755,65 1133,03 7,42 37,12 74,24 371,24 742,20 1113,32 2226,47 364,84 729,70 1094,09
87 154,80 373,81 747,92 1121,83 7,35 36,73 73,46 367,27 734,80 1101,42 2202,68 361,04 722,07 1082,74
88 156,60 370,29 740,87 1110,89 7,28 36,39 72,79 363,90 728,06 1092,12 2184,09 357,70 715,63 1072,73
89 158,40 367,23 734,48 1101,30 7,22 36,09 72,19 360,97 721,95 1082,94 2165,76 354,77 709,82 1063,92
90 160,20 364,36 728,72 1093,10 7,16 35,81 71,62 358,09 715,95 1073,90 2147,91 352,02 704,04 1056,41
91 162,00 361,79 723,56 1084,95 7,11 35,56 71,13 355,63 711,01 1067,25 2134,60 349,66 699,32 1048,97
92 163,80 359,36 719,00 1078,11 7,07 35,33 70,66 353,31 706,62 1059,59 2121,42 347,33 694,66 1041,61
93 165,60 357,36 714,46 1072,44 7,03 35,13 70,25 351,26 702,29 1054,17 2108,35 345,37 690,97 1036,45
94 167,40 355,49 710,98 1066,86 6,99 34,95 69,91 349,60 698,95 1048,80 2095,40 343,78 687,32 1031,32
95 169,20 354,14 708,03 1062,43 6,96 34,81 69,63 348,19 696,14 1044,55 2086,91 342,42 684,61 1027,26
96 171,00 352,67 705,59 1058,01 6,94 34,68 69,35 346,78 693,79 1040,33 2082,79 341,07 681,91 1023,21
97 172,80 351,70 703,65 1054,72 6,92 34,58 69,16 345,85 691,45 1037,18 2074,33 340,07 680,13 1020,20
98 174,60 350,98 702,20 1052,56 6,90 34,51 69,02 345,15 690,07 1035,10 2070,18 339,40 678,80 1018,21
99 176,40 350,74 701,24 1052,59 6,90 34,48 68,96 344,81 689,62 1034,08 2070,28 339,08 678,39 1017,24
100 178,20 350,38 700,76 1051,52 6,89 34,45 68,90 344,47 689,17 1033,04 2066,10 338,86 677,50 1016,25
101 180,00 350,51 701,26 1051,52 6,89 34,46 68,93 344,59 689,18 1034,13 2066,12 338,98 677,97 1017,29
74
W kolejnej fazie obliczeń zbudowano model o wymiarach wyrobiska dwukrotnie
większych od modelu pierwszego (elipsa o półosiach a = 16,5 m; b = 9,8 m) (rys.4.15)
oraz model gdzie a < b (elipsa pionowa o półosiach a = 4,9 m; b = 8,25 m) (rys. 4.16) –
jest to model pierwszy obrócony o 90o. W obu przypadkach obliczenia przeprowadzono
dla górotworu o parametrach E = 5000; 10000; 15000 MPa oraz = 0,15; 0,20; 0,25.
Wyniki obliczeń przedstawiono tabelarycznie (tab. 4.5 ÷ 4.6) oraz graficznie w postaci
wykresów (rys. 4.17 ÷ 4.18).
Rysunek 4.15 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonym od środka
ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.16 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m) obciążonym od środka
ciśnieniem 1,0 MPa
75
Rysunek 4.17 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
(a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.18 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
(a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
76
Tabela 4.5 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5m; b = 9,8m)
Współczynnik podatności podłoża C (MN/m3)
E = 5000 MPa E = 10000 MPa E = 15000 MPa
Lp. j = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25
1 0,00 174,76 171,82 168,98 349,53 343,64 337,95 524,38 515,46 506,84
2 0,90 174,73 171,76 168,92 349,41 343,52 337,84 524,11 515,20 506,84
3 1,80 174,70 171,76 168,92 349,40 343,52 337,83 524,10 515,19 506,83
4 2,70 174,79 171,84 169,00 349,52 343,63 338,05 524,37 515,44 507,07
5 3,60 174,73 171,79 168,94 349,40 343,52 337,83 524,10 515,45 506,83
6 4,50 174,88 171,96 169,10 349,76 343,86 338,27 524,63 515,96 507,32
7 5,40 175,03 172,10 169,24 350,12 344,20 338,48 525,18 516,22 507,81
8 6,30 175,18 172,24 169,41 350,35 344,43 338,81 525,44 516,73 508,31
9 7,20 175,36 172,42 169,57 350,71 344,89 339,14 525,98 517,25 508,80
10 8,10 175,60 172,65 169,79 351,19 345,35 339,59 526,79 518,03 509,29
11 9,00 175,87 172,91 170,07 351,80 345,82 340,14 527,61 518,81 510,30
12 9,90 176,17 173,20 170,32 352,28 346,40 340,70 528,43 519,60 511,05
13 10,80 176,48 173,52 170,66 353,02 346,98 341,26 529,52 520,65 512,06
14 11,70 176,84 173,87 170,99 353,63 347,68 341,93 530,63 521,71 513,07
15 12,60 177,24 174,25 171,36 354,49 348,51 342,72 531,73 522,76 514,08
16 13,50 177,68 174,67 171,76 355,35 349,34 343,52 533,12 524,10 515,35
17 14,40 178,14 175,11 172,21 356,22 350,29 344,42 534,52 525,44 516,64
18 15,30 178,64 175,62 172,70 357,35 351,25 345,34 535,92 526,78 518,19
19 16,20 179,20 176,16 173,22 358,34 352,33 346,50 537,61 528,39 519,75
20 17,10 179,74 176,71 173,74 359,48 353,41 347,54 539,31 530,03 521,31
21 18,00 180,38 177,29 174,32 360,75 354,63 348,70 541,03 531,95 522,87
22 18,90 180,98 177,90 174,91 362,03 355,86 349,88 543,05 533,60 524,72
23 19,80 181,66 178,55 175,56 363,32 357,09 351,06 545,07 535,54 526,59
24 20,70 182,37 179,26 176,24 364,75 358,46 352,49 547,12 537,78 528,73
25 21,60 183,16 180,01 176,96 366,32 360,09 353,93 549,47 540,04 530,89
26 22,50 183,95 180,80 177,72 367,90 361,61 355,51 551,85 542,32 533,06
27 23,40 184,82 181,63 178,54 369,63 363,26 357,09 554,56 544,91 535,55
28 24,30 185,72 182,50 179,37 371,38 364,93 358,81 557,27 547,50 538,03
29 25,20 186,67 183,44 180,28 373,28 366,89 360,55 560,02 550,43 540,83
30 26,10 187,67 184,39 181,22 375,34 368,73 362,44 563,10 553,08 543,65
77
31 27,00 188,70 185,42 182,23 377,41 370,84 364,46 566,21 556,37 546,80
32 27,90 189,75 186,46 183,22 379,51 372,85 366,52 569,37 559,39 549,67
33 28,80 190,89 187,54 184,29 381,78 375,15 368,58 572,54 562,73 552,87
34 29,70 192,07 188,67 185,41 384,06 377,34 370,81 576,10 566,12 556,10
35 30,60 193,30 189,85 186,56 386,53 379,70 373,05 580,01 569,56 559,68
36 31,50 194,55 191,11 187,77 389,17 382,22 375,47 583,65 573,33 563,30
37 32,40 195,92 192,43 189,02 391,85 384,79 378,04 587,66 577,17 566,96
38 33,30 197,28 193,72 190,29 394,55 387,52 380,66 591,71 581,06 570,98
39 34,20 198,73 195,15 191,66 397,46 390,29 383,31 596,20 585,34 575,09
40 35,10 200,24 196,59 193,10 400,41 393,26 386,12 600,73 589,64 579,21
41 36,00 201,82 198,17 194,57 403,55 396,26 389,14 605,35 594,39 583,73
42 36,90 203,42 199,73 196,10 406,92 399,47 392,20 610,37 599,20 588,30
43 37,80 205,17 201,40 197,72 410,33 402,73 395,46 615,51 604,09 593,29
44 38,70 206,90 203,09 199,38 413,81 406,20 398,77 620,70 609,42 598,00
45 39,60 208,79 204,90 201,14 417,51 409,89 402,28 626,39 614,84 603,54
46 40,50 210,72 206,78 202,92 421,45 413,65 405,86 632,15 620,35 608,77
47 41,40 212,77 208,77 204,86 425,46 417,47 409,65 638,45 626,34 614,44
48 42,30 214,91 210,86 206,88 429,73 421,71 413,68 644,87 632,43 620,65
49 43,20 217,18 213,06 209,02 434,46 426,03 417,96 651,42 639,05 626,92
50 44,10 219,54 215,35 211,24 439,09 430,62 422,49 658,48 646,20 633,75
51 45,00 222,05 217,74 213,56 443,99 435,48 427,11 666,17 653,09 640,67
52 45,90 224,57 220,17 215,91 449,22 440,45 431,83 673,53 660,54 647,72
53 46,80 227,29 222,81 218,41 454,57 445,53 436,82 682,03 668,59 655,40
54 47,70 230,08 225,51 221,01 460,04 450,92 442,12 690,26 676,38 663,18
55 48,60 232,99 228,32 223,77 466,07 456,64 447,53 699,10 684,80 671,20
56 49,50 236,08 231,30 226,59 472,06 462,49 453,10 708,23 693,89 679,78
57 50,40 239,31 234,41 229,59 478,61 468,91 459,18 718,09 703,21 688,64
58 51,30 242,67 237,66 232,77 485,35 475,32 465,44 728,22 712,85 698,10
59 52,20 246,32 241,17 236,09 492,54 482,32 472,26 739,17 723,68 708,39
60 53,10 250,15 244,84 239,60 500,15 489,55 479,31 750,44 734,39 718,97
61 54,00 254,20 248,74 243,39 508,54 497,47 486,79 762,61 746,39 730,35
62 54,90 258,51 252,93 247,40 517,15 505,84 494,72 775,76 758,77 742,07
63 55,80 263,09 257,25 251,52 526,05 514,48 503,08 789,25 771,53 754,57
64 56,70 267,78 261,79 255,86 535,58 523,45 511,76 803,29 785,42 767,59
65 57,60 272,84 266,64 260,47 545,68 533,27 520,98 818,47 799,65 781,62
78
66 58,50 278,16 271,71 265,36 556,14 543,38 530,71 834,21 815,17 796,12
67 59,40 283,83 277,09 270,48 567,69 554,22 541,13 851,25 831,10 811,59
68 60,30 289,73 282,77 275,87 579,30 565,39 551,55 868,95 848,31 827,77
69 61,20 296,13 288,83 281,59 592,06 577,70 563,34 888,14 866,19 844,55
70 62,10 302,80 295,24 287,63 605,79 590,44 575,27 908,14 885,73 862,66
71 63,00 310,04 302,07 294,16 620,05 604,15 588,32 929,85 905,89 882,23
72 63,90 317,62 309,22 300,95 635,04 618,45 601,90 952,56 927,95 902,60
73 64,80 325,88 316,98 308,24 651,56 634,16 616,42 977,26 951,03 924,63
74 65,70 334,75 325,40 316,10 669,33 650,61 632,44 1004,16 975,82 948,47
75 66,60 344,33 334,49 324,64 688,83 668,70 649,09 1032,74 1003,05 973,74
76 67,50 354,44 343,90 333,50 709,06 687,73 666,92 1063,69 1031,70 1000,81
77 68,40 365,46 354,23 342,96 730,93 708,23 686,23 1096,39 1062,57 1029,21
78 69,30 377,04 364,96 353,10 754,08 730,02 705,87 1131,00 1094,38 1059,44
79 70,20 389,74 376,82 363,95 779,77 753,37 727,66 1169,37 1130,31 1091,86
80 71,10 403,51 389,48 375,62 806,70 778,85 751,36 1210,21 1168,87 1126,48
81 72,00 418,68 403,67 388,61 837,37 807,34 777,50 1256,72 1211,20 1166,03
82 72,90 435,18 418,63 402,24 870,23 837,72 804,62 1305,00 1255,69 1207,36
83 73,80 453,66 435,35 417,43 907,32 870,85 835,18 1360,18 1305,29 1252,52
84 74,70 474,35 454,08 434,32 948,69 908,16 868,97 1423,41 1361,68 1302,75
85 75,60 496,69 474,10 452,00 993,13 948,59 904,56 1489,09 1423,20 1356,00
86 76,50 520,12 494,96 470,59 1039,75 989,48 941,32 1559,97 1484,58 1411,21
87 77,40 546,85 518,43 491,08 1093,43 1036,58 982,16 1641,75 1555,69 1473,44
88 78,30 577,60 545,17 514,23 1154,94 1090,35 1028,47 1732,33 1635,52 1541,59
89 79,20 611,39 574,04 538,79 1222,15 1148,08 1077,95 1834,18 1722,37 1616,52
90 80,10 647,37 604,37 564,16 1293,58 1208,60 1128,32 1942,48 1812,23 1693,20
91 81,00 687,75 637,31 591,53 1375,49 1275,77 1183,09 2062,90 1911,00 1776,09
92 81,90 732,03 673,56 620,86 1463,21 1347,13 1241,17 2195,08 2021,69 1862,55
93 82,80 782,12 713,40 652,69 1565,06 1426,79 1304,73 2345,00 2139,09 1959,88
94 83,70 835,31 753,51 683,51 1671,61 1508,62 1367,21 2507,41 2261,84 2050,82
95 84,60 892,57 796,20 715,49 1786,36 1592,11 1431,53 2679,26 2387,48 2146,95
96 85,50 954,53 840,56 747,91 1909,05 1682,32 1496,33 2867,39 2518,76 2244,50
97 86,40 1018,34 884,44 779,74 2037,45 1768,88 1560,60 3055,01 2655,44 2336,82
98 87,30 1076,42 923,01 805,99 2151,93 1844,42 1613,22 3233,81 2765,76 2419,24
99 88,20 1122,22 951,47 825,60 2241,34 1904,29 1651,19 3370,29 2855,03 2478,80
100 89,10 1150,50 968,88 836,58 2298,75 1936,12 1674,69 3450,96 2904,18 2511,83
79
101 90,00 1161,44 976,56 841,75 2325,58 1953,12 1683,50 3484,32 2932,55 2525,25
102 90,90 1147,52 966,80 835,04 2292,81 1931,97 1671,62 3439,21 2903,19 2504,91
103 91,80 1115,52 947,55 822,14 2231,69 1892,93 1642,68 3345,55 2845,26 2466,82
104 92,70 1071,37 918,56 802,87 2142,74 1837,13 1604,89 3218,61 2756,54 2409,87
105 93,60 1017,35 883,61 778,26 2034,71 1765,81 1557,63 3047,85 2651,84 2333,09
106 94,50 957,97 842,86 749,49 1917,45 1685,72 1500,51 2870,09 2528,58 2249,20
107 95,40 900,73 802,38 720,70 1801,66 1605,81 1440,52 2698,76 2405,57 2160,78
108 96,30 841,77 759,15 687,83 1683,54 1518,31 1376,22 2525,32 2276,35 2062,65
109 97,20 784,62 714,87 654,00 1568,32 1429,73 1308,64 2356,47 2145,70 1962,82
110 98,10 733,69 675,13 622,53 1468,90 1349,59 1244,53 2201,07 2024,47 1867,59
111 99,00 689,12 639,19 593,24 1377,69 1277,85 1185,99 2065,37 1918,51 1780,44
112 99,90 647,83 604,81 564,58 1295,90 1209,48 1129,15 1944,54 1814,22 1695,08
113 100,80 611,72 574,12 539,02 1223,43 1149,17 1077,23 1834,18 1722,37 1616,52
114 101,70 578,91 546,36 514,99 1157,82 1092,72 1030,41 1737,62 1638,60 1545,45
115 102,60 549,53 520,99 493,29 1099,87 1042,16 986,18 1649,00 1564,07 1478,86
116 103,50 522,42 497,06 472,38 1044,61 993,88 944,53 1567,65 1491,47 1417,36
117 104,40 497,97 475,32 453,15 995,73 950,64 906,10 1492,92 1426,87 1359,46
118 105,30 475,14 454,82 434,91 949,87 910,01 870,00 1426,06 1364,17 1304,23
119 106,20 454,70 436,46 418,44 909,93 872,92 836,74 1364,31 1309,10 1256,04
120 107,10 436,49 419,90 403,40 872,63 839,66 806,36 1309,82 1259,22 1209,98
121 108,00 420,13 404,85 389,64 840,26 809,40 779,14 1259,71 1213,92 1168,50
122 108,90 404,75 390,78 376,89 809,59 781,56 753,66 1214,86 1171,92 1130,49
123 109,80 391,33 378,32 365,37 782,66 756,64 730,73 1174,12 1134,81 1096,10
124 110,70 378,19 366,20 354,12 756,38 732,24 708,48 1134,57 1098,99 1062,37
125 111,60 365,89 354,71 343,56 732,04 709,35 687,35 1097,39 1063,66 1030,36
126 112,50 354,76 344,23 333,87 709,59 688,76 667,54 1064,29 1032,36 1001,51
127 113,40 344,51 334,66 324,85 689,19 669,53 649,91 1033,29 1003,65 974,37
128 114,30 334,88 325,56 316,35 669,99 651,38 632,70 1004,65 976,36 949,05
129 115,20 326,06 317,29 308,51 652,17 634,76 617,02 978,41 952,15 925,71
130 116,10 317,81 309,51 301,15 635,62 619,02 602,47 953,65 928,18 903,62
131 117,00 310,22 302,26 294,34 620,22 604,33 588,85 930,89 907,10 883,20
132 117,90 302,95 295,31 287,78 605,94 590,61 575,77 909,12 885,92 863,59
133 118,80 296,19 288,99 281,73 592,54 577,78 563,51 888,30 867,28 845,43
134 119,70 289,88 282,92 276,00 579,76 565,85 552,01 869,84 848,48 827,95
135 120,60 283,97 277,31 270,69 567,81 554,65 541,28 852,10 831,93 811,92
80
136 121,50 278,31 271,84 265,51 556,62 543,86 530,92 835,15 815,31 796,27
137 122,40 272,92 266,71 260,55 545,83 533,45 521,11 818,71 799,92 781,91
138 123,30 267,78 261,81 255,89 535,39 523,62 511,68 803,51 785,67 767,86
139 124,20 262,96 257,20 251,49 525,92 514,38 503,00 788,84 771,76 754,27
140 125,10 258,37 252,79 247,29 516,71 505,74 494,58 775,27 758,42 741,65
141 126,00 254,12 248,72 243,33 508,36 497,32 486,65 762,13 745,95 729,94
142 126,90 250,06 244,77 239,60 500,02 489,68 479,18 749,97 734,48 718,67
143 127,80 246,25 241,11 236,02 492,37 482,21 472,18 738,71 723,34 708,10
144 128,70 242,54 237,54 232,66 485,22 475,18 465,31 727,78 712,43 697,81
145 129,60 239,12 234,24 229,48 478,22 468,59 458,88 717,21 702,88 688,26
146 130,50 235,84 231,07 226,44 471,67 462,17 452,77 707,37 693,09 679,49
147 131,40 232,75 228,10 223,56 465,51 456,29 447,05 698,26 684,48 670,84
148 132,30 229,80 225,25 220,76 459,49 450,38 441,64 689,37 675,61 662,46
149 133,20 226,96 222,50 218,12 453,83 445,00 436,35 680,76 667,33 654,20
150 134,10 224,25 219,87 215,58 448,49 439,74 431,15 672,74 659,74 646,61
151 135,00 221,63 217,39 213,18 443,28 434,79 426,45 664,90 652,30 639,52
152 135,90 219,18 215,01 210,87 438,37 429,93 421,84 657,71 645,02 632,62
153 136,80 216,87 212,77 208,70 433,75 425,54 417,49 650,62 638,29 626,25
154 137,70 214,61 210,57 206,61 429,22 421,05 413,22 643,68 631,69 619,94
155 138,60 212,48 208,50 204,60 424,96 416,99 409,20 637,32 625,61 613,80
156 139,50 210,43 206,51 202,66 420,78 413,01 405,41 631,43 619,63 608,13
157 140,40 208,47 204,63 200,84 417,02 409,26 401,68 625,26 613,76 602,51
158 141,30 206,58 202,75 199,05 413,16 405,58 398,18 619,62 608,40 597,03
159 142,20 204,77 201,02 197,37 409,54 401,97 394,72 614,42 603,08 591,98
160 143,10 203,02 199,36 195,74 406,14 398,72 391,47 608,96 598,21 587,35
161 144,00 201,39 197,76 194,22 402,78 395,52 388,44 604,29 593,40 582,75
162 144,90 199,82 196,22 192,71 399,64 392,37 385,43 599,35 588,67 578,25
163 145,80 198,31 194,74 191,31 396,70 389,57 382,61 594,82 584,35 573,81
164 146,70 196,87 193,32 189,91 393,65 386,65 379,83 590,72 580,08 569,75
165 147,60 195,47 192,00 188,61 390,94 384,06 377,22 586,31 575,87 565,71
166 148,50 194,14 190,72 187,36 388,28 381,38 374,78 582,30 572,05 562,07
167 149,40 192,90 189,50 186,19 385,79 379,00 372,39 578,69 568,59 558,47
168 150,30 191,70 188,32 185,04 383,34 376,65 370,14 575,11 564,87 555,21
169 151,20 190,53 187,20 183,96 381,05 374,46 367,92 571,58 561,49 551,99
170 152,10 189,43 186,11 182,93 378,93 372,30 365,85 568,40 558,46 548,77
81
171 153,00 188,39 185,11 181,93 376,84 370,29 363,80 565,27 555,45 545,90
172 153,90 187,38 184,12 180,99 374,77 368,32 361,91 562,15 552,47 543,06
173 154,80 186,43 183,21 180,08 372,86 366,35 360,17 559,40 549,52 540,25
174 155,70 185,52 182,30 179,21 370,96 364,67 358,43 556,65 546,90 537,74
175 156,60 184,65 181,47 178,39 369,36 363,00 356,83 553,94 544,31 535,26
176 157,50 183,81 180,64 177,59 367,63 361,35 355,25 551,55 542,02 532,77
177 158,40 183,03 179,89 176,87 366,05 359,84 353,68 549,18 539,75 530,61
178 159,30 182,27 179,17 176,15 364,48 358,33 352,24 546,82 537,50 528,45
179 160,20 181,56 178,45 175,47 363,06 356,97 350,94 544,79 535,26 526,31
180 161,10 180,89 177,81 174,82 361,77 355,61 349,64 542,76 533,33 524,46
181 162,00 180,25 177,20 174,23 360,50 354,39 348,47 540,75 531,68 522,61
182 162,90 179,65 176,59 173,65 359,23 353,17 347,31 539,03 529,76 521,05
183 163,80 179,08 176,04 173,10 358,10 352,09 346,26 537,34 528,13 519,22
184 164,70 178,55 175,50 172,58 357,09 351,00 345,23 535,64 526,51 517,67
185 165,60 178,05 175,03 172,13 356,10 350,05 344,20 534,24 525,17 516,39
186 166,50 177,55 174,55 171,67 355,11 349,10 343,29 532,56 523,56 515,11
187 167,40 177,12 174,14 171,25 354,24 348,28 342,50 531,46 522,50 513,83
188 168,30 176,69 173,69 170,82 353,38 347,45 341,70 530,08 521,18 512,56
189 169,20 176,29 173,31 170,46 352,53 346,63 340,92 528,98 519,85 511,28
190 170,10 175,96 172,99 170,12 351,92 345,93 340,24 527,88 519,07 510,28
191 171,00 175,66 172,70 169,84 351,31 345,34 339,69 527,06 518,02 509,53
192 171,90 175,35 172,41 169,57 350,71 344,77 339,13 525,97 517,24 508,78
193 172,80 175,11 172,18 169,34 350,23 344,30 338,69 525,43 516,45 508,04
194 173,70 174,87 171,95 169,12 349,74 343,84 338,25 524,62 515,94 507,28
195 174,60 174,69 171,78 168,93 349,39 343,50 337,92 524,08 515,42 506,79
196 175,50 174,54 171,61 168,79 349,03 343,15 337,58 523,54 514,90 506,29
197 176,40 174,33 171,41 168,57 348,67 342,81 337,15 523,00 514,13 505,80
198 177,30 174,42 171,49 168,65 348,79 342,92 337,37 523,27 514,38 506,05
199 178,20 174,31 171,38 168,58 348,67 342,81 337,15 523,01 514,13 505,81
200 179,10 174,31 171,38 168,55 348,67 342,82 337,15 523,01 514,14 505,56
201 180,00 174,43 171,47 168,63 348,80 342,94 337,27 523,29 514,40 505,82
82
Tabela 4.6 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
Współczynnik podatności podłoża C (MN/m3)
E = 5000 MPa E = 10000 MPa E = 15000 MPa
Lp. j = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25
1 0,00 2341,92 1964,64 1692,05 4694,84 3937,01 3389,83 7042,25 5882,35 5076,14
2 1,80 2246,95 1905,28 1652,18 4493,89 3810,55 3304,36 6722,17 5718,40 4964,57
3 3,60 2037,45 1768,88 1558,36 4067,70 3532,14 3112,25 6117,04 5298,20 4677,91
4 5,40 1793,32 1597,73 1434,36 3585,89 3194,30 2874,42 5378,83 4797,67 4311,63
5 7,20 1566,69 1428,26 1304,93 3136,63 2856,52 2609,46 4705,58 4284,79 3914,80
6 9,00 1374,60 1275,34 1182,99 2749,19 2550,69 2367,91 4123,79 3826,67 3543,05
7 10,80 1221,09 1146,66 1076,12 2440,67 2291,84 2153,68 3669,41 3443,24 3228,95
8 12,60 1095,04 1038,06 982,97 2190,07 2075,02 1965,93 3283,49 3111,39 2952,92
9 14,40 992,51 947,43 903,98 1986,83 1896,46 1807,96 2973,65 2841,07 2710,70
10 16,20 907,92 871,86 835,50 1817,37 1743,08 1671,00 2725,16 2616,51 2506,49
11 18,00 838,06 808,08 778,01 1677,45 1615,67 1555,43 2511,51 2423,50 2335,68
12 19,80 779,35 753,63 728,00 1559,06 1508,71 1455,59 2338,59 2260,88 2183,39
13 21,60 729,98 707,44 684,98 1458,65 1414,89 1370,50 2189,51 2120,91 2056,76
14 23,40 687,36 667,82 647,78 1373,81 1334,52 1295,84 2062,45 2003,46 1944,53
15 25,20 650,62 633,33 615,57 1301,04 1265,66 1231,86 1952,16 1900,81 1847,06
16 27,00 618,80 603,02 587,19 1237,02 1205,85 1175,05 1855,04 1808,27 1760,89
17 28,80 590,90 576,57 561,99 1181,12 1152,33 1123,97 1773,52 1728,74 1687,13
18 30,60 566,23 552,79 539,79 1132,34 1105,72 1079,02 1698,51 1658,17 1618,75
19 32,40 544,32 531,94 519,73 1088,64 1064,44 1039,33 1631,93 1595,83 1559,97
20 34,20 525,05 513,29 501,90 1050,02 1027,20 1004,41 1575,02 1540,02 1504,97
21 36,00 507,56 496,79 485,91 1015,11 993,09 972,28 1521,79 1489,51 1457,58
22 37,80 491,89 481,71 471,48 984,27 963,05 942,87 1476,51 1444,45 1415,21
23 39,60 477,77 468,15 458,43 956,06 936,24 916,86 1433,41 1403,82 1374,67
24 41,40 465,08 455,67 446,65 930,21 911,75 893,70 1394,59 1367,11 1340,06
25 43,20 453,42 444,61 435,95 907,20 889,22 871,58 1359,57 1333,91 1308,40
26 45,00 443,08 434,41 426,09 886,12 869,20 852,48 1329,90 1303,87 1278,35
27 46,80 433,37 425,18 417,15 866,71 850,72 834,24 1299,56 1275,07 1250,84
28 48,60 424,60 416,82 409,03 849,60 833,64 818,02 1273,74 1250,53 1227,60
29 50,40 416,68 408,93 401,52 833,73 817,86 803,01 1250,59 1226,85 1205,11
30 52,20 409,36 401,96 394,57 819,08 803,91 789,10 1228,08 1205,44 1183,18
31 54,00 402,62 395,37 388,28 805,57 791,02 776,88 1207,90 1186,11 1164,83
83
32 55,80 396,54 389,41 382,47 793,09 779,10 764,93 1189,63 1168,70 1146,96
33 57,60 390,95 383,92 377,22 781,58 768,15 754,44 1173,35 1151,75 1132,12
34 59,40 385,79 379,00 372,37 771,57 758,00 744,75 1157,38 1136,53 1117,50
35 61,20 381,05 374,32 367,92 762,41 748,64 735,81 1143,13 1122,93 1103,31
36 63,00 376,71 370,17 363,80 753,41 740,59 727,63 1130,54 1110,94 1091,81
37 64,80 372,86 366,35 360,17 745,72 732,72 720,07 1118,14 1099,08 1080,50
38 66,60 369,23 362,88 356,71 738,71 726,01 713,66 1107,27 1088,63 1070,52
39 68,40 366,05 359,71 353,68 731,85 719,41 707,37 1097,73 1079,51 1060,69
40 70,20 363,06 356,97 350,94 726,12 713,93 701,63 1089,58 1070,51 1053,21
41 72,00 360,50 354,39 348,47 720,99 708,54 696,93 1081,48 1062,77 1045,74
42 73,80 358,22 352,09 346,26 716,44 704,17 692,30 1074,67 1056,27 1038,42
43 75,60 356,10 350,17 344,31 712,45 700,34 688,63 1067,90 1050,89 1033,29
44 77,40 354,37 348,39 342,61 708,49 696,55 685,45 1063,48 1045,54 1028,18
45 79,20 352,77 346,87 341,15 705,55 693,73 682,30 1057,94 1040,23 1023,09
46 81,00 351,56 345,70 339,92 703,13 691,40 680,07 1054,68 1037,12 1020,10
47 82,80 350,47 344,66 338,92 701,19 689,09 677,84 1051,43 1033,98 1017,10
48 84,60 349,63 343,85 338,15 699,26 687,71 676,52 1049,26 1031,91 1014,10
49 86,40 349,15 343,28 337,59 698,31 686,32 675,19 1047,10 1029,83 1013,13
50 88,20 348,79 342,93 337,26 697,35 685,87 674,76 1046,02 1028,80 1012,14
51 90,00 348,67 342,82 337,15 697,35 685,40 674,31 1046,02 1028,81 1011,12
52 91,80 348,79 342,93 337,26 697,34 685,86 674,75 1046,02 1028,79 1012,13
53 93,60 349,03 343,27 337,59 698,30 686,31 675,18 1047,08 1029,82 1013,12
54 95,40 349,63 343,85 338,14 699,25 687,69 676,51 1049,25 1031,90 1014,08
55 97,20 350,47 344,53 338,91 700,69 689,07 677,83 1051,39 1033,97 1017,08
56 99,00 351,43 345,57 339,91 703,11 691,38 679,58 1054,66 1037,07 1020,08
57 100,80 352,77 346,85 341,14 705,53 693,71 682,27 1057,91 1040,20 1023,06
58 102,60 354,23 348,26 342,60 708,46 696,52 684,97 1062,32 1044,42 1028,14
59 104,40 356,09 350,03 344,18 711,92 700,32 688,59 1067,86 1049,75 1032,18
60 106,20 358,08 352,07 346,13 716,42 704,13 692,25 1074,63 1056,19 1038,37
61 108,00 360,35 354,25 348,33 720,95 708,49 696,91 1081,43 1062,72 1044,60
62 109,80 363,04 356,82 350,79 726,08 713,39 701,58 1089,53 1070,45 1051,98
63 111,60 365,90 359,68 353,53 731,80 719,36 707,31 1097,68 1079,44 1060,62
64 113,40 369,06 362,71 356,68 738,14 725,43 713,12 1107,21 1088,56 1070,44
65 115,20 372,70 366,19 360,01 745,13 732,65 719,99 1118,07 1099,00 1080,41
66 117,00 376,68 370,14 363,77 753,35 740,00 727,54 1130,47 1110,86 1091,71
67 118,80 380,88 374,29 367,75 761,76 748,60 735,76 1143,04 1122,84 1103,21
84
68 120,60 385,62 378,82 372,21 771,53 757,90 744,70 1157,29 1136,43 1116,25
69 122,40 390,77 383,88 377,04 781,54 767,46 754,38 1171,88 1151,63 1130,72
70 124,20 396,35 389,37 382,42 793,04 778,44 764,81 1189,52 1168,57 1146,82
71 126,00 402,58 395,32 388,24 804,81 790,33 776,15 1207,78 1185,97 1164,67
72 127,80 409,33 401,76 394,53 818,30 803,84 789,02 1227,94 1205,28 1183,18
73 129,60 416,64 408,87 401,46 832,91 817,79 802,92 1250,44 1226,68 1204,93
74 131,40 424,54 416,59 408,97 849,45 833,56 817,93 1273,58 1250,34 1227,39
75 133,20 433,31 425,11 417,09 866,63 850,62 834,14 1299,38 1274,86 1250,84
76 135,00 443,02 434,55 426,03 886,03 869,09 852,37 1329,70 1303,64 1278,10
77 136,80 453,55 444,75 435,88 907,09 889,10 872,08 1361,18 1333,66 1308,12
78 138,60 465,24 455,81 446,74 929,99 911,63 893,56 1396,27 1366,82 1339,75
79 140,40 477,93 468,26 458,56 955,81 936,10 917,53 1433,13 1405,44 1376,18
80 142,20 492,03 481,82 471,56 983,98 963,64 943,56 1476,19 1446,15 1414,82
81 144,00 507,44 496,65 485,99 1014,79 993,70 971,89 1521,42 1489,10 1457,14
82 145,80 524,87 513,39 501,98 1049,83 1026,79 1003,96 1574,61 1539,56 1506,68
83 147,60 544,11 531,77 519,73 1088,22 1063,97 1039,07 1631,45 1595,30 1559,39
84 149,40 565,99 552,59 539,29 1132,10 1105,17 1078,43 1697,96 1657,55 1618,09
85 151,20 590,27 576,01 561,73 1180,55 1152,02 1123,29 1769,80 1728,03 1686,36
86 153,00 618,18 602,39 586,57 1236,35 1205,48 1173,33 1854,28 1807,44 1760,00
87 154,80 650,32 632,61 615,34 1300,64 1265,23 1229,95 1951,26 1896,36 1846,01
88 156,60 686,67 667,13 647,50 1373,33 1334,00 1295,28 2061,36 2002,27 1943,27
89 158,40 729,03 707,12 685,08 1458,06 1414,25 1369,82 2188,18 2119,47 2055,24
90 160,20 778,98 753,23 727,59 1558,33 1507,14 1454,77 2336,95 2259,11 2183,39
91 162,00 837,60 807,59 777,50 1676,53 1614,68 1554,41 2511,51 2423,50 2333,37
92 163,80 907,79 871,23 835,47 1816,17 1741,82 1669,71 2722,46 2613,68 2503,59
93 165,60 992,23 947,00 902,74 1985,24 1894,82 1806,31 2978,18 2837,37 2706,98
94 167,40 1093,96 1036,96 981,89 2187,92 2072,83 1963,77 3283,49 3106,47 2948,06
95 169,20 1220,10 1145,50 1075,60 2437,65 2288,85 2147,95 3662,59 3436,51 3228,95
96 171,00 1372,86 1273,48 1182,08 2744,83 2546,54 2360,22 4113,97 3817,32 3552,18
97 172,80 1558,76 1419,48 1298,24 3117,14 2838,96 2593,90 4676,27 4258,44 3891,49
98 174,60 1773,33 1584,14 1423,72 3551,44 3168,29 2847,43 5319,98 4752,43 4276,28
99 176,40 2033,85 1768,88 1558,36 4067,70 3532,14 3112,25 6084,68 5298,20 4677,91
100 178,20 2238,64 1895,59 1644,77 4474,55 3796,50 3293,72 6734,50 5686,78 4940,58
101 180,00 2320,19 1949,32 1680,67 4651,16 3891,05 3355,70 6944,44 5847,95 5050,51
85
Wyniki uzyskane z badań przeprowadzonych dla trzech powiązanych ze sobą modeli
wykazały zmianę wartości współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska
w zależności od jego gabarytów. Można zauważyć, że w przypadku dwukrotnego
powiększenia wymiarów wyrobiska wartości tego współczynnika w badanych
punktach maleją dwukrotnie. W przypadku modelu pierwszego wartości maksymalna
współczynnika podatności podłoża (dla E = 15000 MPa i = 0,15) na ociosie
wyrobiska (dla punktu o azymucie j = 90o) wyniosła 6942,94 MN/m
3 natomiast dla
modelu drugiego (dla tych samych parametrów tarczy) z dwukrotnie większą elipsą
wartość tego współczynnika w tym samym punkcie osiągnęła wartość 3484,32 MN/m3.
Podobieństwo układów można zauważyć również w przypadku otworu eliptycznego
obróconego o 90o. Z przebiegu funkcji dla tego modelu (rys. 4.18) można zauważyć,
że jest to przesunięta w fazie o 90o funkcja z modelu pierwszego.
4.3.2. Obliczenia współczynnik kształtu k dla różnych wartości współczynnika
sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona górotworu
Z przeprowadzonych badań wynika, że współczynnik podatności podłoża jest
zmienny na obwodzie wyrobiska eliptycznego. Na jego wartość oprócz kształtu i
gabarytów wyrobiska mają wpływ parametry górotworu otaczającego wyrobisko. W
celu uproszczenia obliczeń i redukcji niektórych zmiennych wprowadzono
współczynnik k, który w dalszej części pracy nazywany będzie współczynnikiem
kształtu. Współczynnik ten wyraża się wzorem (por. rys. 4.19):
(4.1)
gdzie:
k – współczynnik kształtu,
Cel – współczynnik sprężystości podłoża na obwodzie elipsy, MN/m3,
Ck – współczynnik sprężystości podłoża na obwodzie koła dla rw = b (rys. 4.19)
obliczony wg wzoru (2.8), MN/m3.
Obliczenia współczynnika kształtu przeprowadzono dla trzech wcześniej
rozważanych modeli tarczy z otworem eliptycznym. Wyniki obliczeń zestawiono
tabelarycznie (tab. 4.7 ÷ 4.9) oraz przedstawiono graficznie na wykresach
(rys. 4.20 ÷ 4.28).
86
Rysunek 4.19 Schemat wykorzystany do obliczenia współczynnika kształtu
Rysunek 4.20 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
87
Tabela 4.7 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
Współczynnik kształtu k
= 0,15 = 0,20 = 0,25
Lp. j E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
E = 100
MPa
E = 500
MPa
E = 1000
MPa
E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
E = 30000
MPa
E = 5000
MPa
E = 10000
MPa
E = 15000
MPa
1 0,00 0,3946 0,3946 0,3946 0,4049 0,4049 0,4049 0,4048 0,4050 0,4050 0,4050 0,4148 0,4147 0,4150
2 1,80 0,3945 0,3946 0,3946 0,4048 0,4048 0,4048 0,4048 0,4047 0,4050 0,4050 0,4147 0,4147 0,4145
3 3,60 0,3949 0,3949 0,3950 0,4051 0,4051 0,4051 0,4051 0,4049 0,4049 0,4049 0,4150 0,4149 0,4150
4 5,40 0,3951 0,3951 0,3950 0,4054 0,4054 0,4054 0,4055 0,4055 0,4053 0,4058 0,4153 0,4155 0,4153
5 7,20 0,3959 0,3959 0,3958 0,4063 0,4063 0,4063 0,4063 0,4063 0,4062 0,4066 0,4163 0,4163 0,4162
6 9,00 0,3970 0,3970 0,3970 0,4074 0,4074 0,4074 0,4074 0,4074 0,4074 0,4074 0,4174 0,4174 0,4174
7 10,80 0,3987 0,3987 0,3987 0,4090 0,4090 0,4090 0,4090 0,4090 0,4090 0,4090 0,4190 0,4190 0,4190
8 12,60 0,4004 0,4004 0,4004 0,4107 0,4107 0,4107 0,4107 0,4107 0,4107 0,4107 0,4207 0,4207 0,4207
9 14,40 0,4023 0,4023 0,4025 0,4128 0,4128 0,4128 0,4128 0,4127 0,4128 0,4124 0,4228 0,4229 0,4228
10 16,20 0,4047 0,4049 0,4046 0,4152 0,4152 0,4152 0,4152 0,4152 0,4154 0,4149 0,4253 0,4252 0,4253
11 18,00 0,4076 0,4074 0,4076 0,4181 0,4181 0,4181 0,4181 0,4181 0,4179 0,4184 0,4282 0,4284 0,4284
12 19,80 0,4103 0,4103 0,4102 0,4209 0,4209 0,4209 0,4210 0,4210 0,4210 0,4210 0,4311 0,4312 0,4309
13 21,60 0,4136 0,4136 0,4137 0,4242 0,4242 0,4242 0,4242 0,4242 0,4241 0,4245 0,4345 0,4345 0,4345
14 23,40 0,4173 0,4172 0,4173 0,4279 0,4279 0,4279 0,4280 0,4278 0,4281 0,4281 0,4382 0,4383 0,4380
15 25,20 0,4213 0,4215 0,4215 0,4321 0,4321 0,4321 0,4321 0,4321 0,4322 0,4318 0,4425 0,4423 0,4426
16 27,00 0,4258 0,4258 0,4256 0,4365 0,4365 0,4365 0,4366 0,4364 0,4364 0,4365 0,4469 0,4469 0,4468
17 28,80 0,4307 0,4306 0,4309 0,4415 0,4415 0,4415 0,4415 0,4415 0,4417 0,4412 0,4520 0,4520 0,4520
18 30,60 0,4356 0,4358 0,4358 0,4466 0,4466 0,4466 0,4465 0,4467 0,4465 0,4471 0,4570 0,4572 0,4569
19 32,40 0,4413 0,4411 0,4413 0,4522 0,4522 0,4522 0,4522 0,4523 0,4520 0,4520 0,4628 0,4628 0,4628
20 34,20 0,4477 0,4479 0,4479 0,4589 0,4589 0,4589 0,4590 0,4588 0,4591 0,4591 0,4695 0,4695 0,4694
21 36,00 0,4549 0,4549 0,4548 0,4662 0,4662 0,4662 0,4661 0,4661 0,4659 0,4666 0,4768 0,4768 0,4766
22 37,80 0,4626 0,4626 0,4624 0,4739 0,4739 0,4739 0,4739 0,4738 0,4741 0,4742 0,4846 0,4847 0,4848
23 39,60 0,4711 0,4713 0,4709 0,4826 0,4826 0,4825 0,4826 0,4824 0,4826 0,4820 0,4933 0,4933 0,4931
24 41,40 0,4801 0,4798 0,4803 0,4915 0,4915 0,4915 0,4915 0,4917 0,4913 0,4914 0,5024 0,5026 0,5024
25 43,20 0,4900 0,4900 0,4900 0,5017 0,5017 0,5017 0,5016 0,5018 0,5016 0,5023 0,5126 0,5126 0,5126
26 45,00 0,5010 0,5010 0,5008 0,5126 0,5126 0,5126 0,5125 0,5127 0,5123 0,5124 0,5236 0,5238 0,5238
27 46,80 0,5129 0,5129 0,5127 0,5247 0,5246 0,5247 0,5248 0,5245 0,5248 0,5240 0,5357 0,5359 0,5354
28 48,60 0,5257 0,5254 0,5259 0,5374 0,5374 0,5374 0,5374 0,5374 0,5371 0,5380 0,5486 0,5486 0,5484
29 50,40 0,5401 0,5401 0,5398 0,5519 0,5519 0,5519 0,5519 0,5519 0,5516 0,5525 0,5631 0,5629 0,5633
30 52,20 0,5555 0,5556 0,5552 0,5675 0,5676 0,5675 0,5677 0,5676 0,5677 0,5677 0,5786 0,5789 0,5784
88
31 54,00 0,5733 0,5736 0,5733 0,5854 0,5854 0,5854 0,5854 0,5854 0,5854 0,5854 0,5966 0,5964 0,5967
32 55,80 0,5928 0,5928 0,5924 0,6049 0,6049 0,6049 0,6050 0,6050 0,6053 0,6042 0,6161 0,6161 0,6161
33 57,60 0,6152 0,6152 0,6149 0,6273 0,6273 0,6274 0,6274 0,6271 0,6273 0,6265 0,6384 0,6384 0,6387
34 59,40 0,6404 0,6408 0,6400 0,6525 0,6525 0,6524 0,6524 0,6527 0,6521 0,6521 0,6635 0,6635 0,6638
35 61,20 0,6690 0,6691 0,6695 0,6807 0,6807 0,6807 0,6806 0,6810 0,6805 0,6820 0,6914 0,6910 0,6916
36 63,00 0,6995 0,6999 0,6991 0,7111 0,7112 0,7112 0,7112 0,7111 0,7107 0,7119 0,7213 0,7217 0,7207
37 64,80 0,7356 0,7357 0,7355 0,7468 0,7468 0,7468 0,7465 0,7467 0,7461 0,7479 0,7564 0,7560 0,7564
38 66,60 0,7779 0,7777 0,7775 0,7880 0,7880 0,7880 0,7879 0,7884 0,7879 0,7894 0,7964 0,7969 0,7964
39 68,40 0,8278 0,8271 0,8272 0,8369 0,8369 0,8370 0,8368 0,8368 0,8376 0,8353 0,8444 0,8444 0,8441
40 70,20 0,8814 0,8816 0,8812 0,8889 0,8890 0,8889 0,8887 0,8887 0,8893 0,8875 0,8940 0,8946 0,8944
41 72,00 0,9470 0,9462 0,9480 0,9523 0,9523 0,9523 0,9526 0,9529 0,9521 0,9543 0,9548 0,9548 0,9558
42 73,80 1,0272 1,0269 1,0264 1,0289 1,0289 1,0289 1,0294 1,0282 1,0306 1,0306 1,0273 1,0281 1,0281
43 75,60 1,1282 1,1278 1,1277 1,1236 1,1236 1,1236 1,1237 1,1237 1,1237 1,1237 1,1159 1,1154 1,1162
44 77,40 1,2445 1,2438 1,2463 1,2309 1,2309 1,2309 1,2309 1,2315 1,2315 1,2315 1,2140 1,2147 1,2137
45 79,20 1,3908 1,3917 1,3917 1,3632 1,3633 1,3633 1,3631 1,3622 1,3640 1,3640 1,3333 1,3322 1,3313
46 81,00 1,5594 1,5606 1,5611 1,5090 1,5090 1,5090 1,5079 1,5092 1,5052 1,5096 1,4592 1,4580 1,4580
47 82,80 1,7688 1,7688 1,7690 1,6832 1,6833 1,6833 1,6826 1,6826 1,6844 1,6791 1,6015 1,6031 1,6018
48 84,60 2,0009 2,0032 1,9959 1,8642 1,8643 1,8643 1,8630 1,8672 1,8589 1,8589 1,7449 1,7462 1,7415
49 86,40 2,2707 2,2645 2,2685 2,0594 2,0596 2,0593 2,0586 2,0603 2,0619 2,0572 1,8922 1,8922 1,8938
50 88,20 2,4900 2,4863 2,4885 2,2112 2,2112 2,2116 2,2130 2,2140 2,2140 2,2140 2,0024 2,0031 2,0056
51 90,00 2,6144 2,6205 2,6082 2,2971 2,2970 2,2975 2,2966 2,2966 2,2920 2,3057 2,0655 2,0621 2,0621
52 91,80 2,5480 2,5464 2,5464 2,2578 2,2577 2,2576 2,2562 2,2594 2,2572 2,2699 2,0392 2,0385 2,0392
53 93,60 2,2870 2,2829 2,2910 2,0770 2,0769 2,0767 2,0771 2,0771 2,0820 2,0673 1,9086 1,9125 1,9113
54 95,40 2,0054 2,0050 2,0054 1,8680 1,8680 1,8682 1,8682 1,8664 1,8682 1,8630 1,7502 1,7509 1,7502
55 97,20 1,7606 1,7606 1,7567 1,6747 1,6748 1,6747 1,6743 1,6760 1,6742 1,6693 1,5962 1,5946 1,5978
56 99,00 1,5452 1,5452 1,5469 1,4938 1,4939 1,4940 1,4939 1,4954 1,4927 1,5008 1,4445 1,4433 1,4469
57 100,80 1,3759 1,3759 1,3751 1,3467 1,3466 1,3467 1,3461 1,3474 1,3483 1,3456 1,3163 1,3161 1,3165
58 102,60 1,2340 1,2328 1,2352 1,2194 1,2194 1,2192 1,2193 1,2193 1,2204 1,2171 1,2021 1,2014 1,2027
59 104,40 1,1262 1,1262 1,1266 1,1209 1,1210 1,1209 1,1206 1,1206 1,1221 1,1177 1,1124 1,1119 1,1116
60 106,20 1,0308 1,0308 1,0295 1,0321 1,0321 1,0320 1,0320 1,0316 1,0332 1,0332 1,0299 1,0302 1,0302
61 108,00 0,9527 0,9532 0,9517 0,9580 0,9579 0,9580 0,9580 0,9580 0,9577 0,9586 0,9605 0,9595 0,9609
62 109,80 0,8843 0,8843 0,8838 0,8917 0,8917 0,8917 0,8919 0,8912 0,8912 0,8912 0,8970 0,8970 0,8962
63 111,60 0,8280 0,8274 0,8272 0,8372 0,8371 0,8371 0,8370 0,8372 0,8376 0,8364 0,8446 0,8444 0,8441
64 113,40 0,7773 0,7780 0,7775 0,7879 0,7879 0,7879 0,7879 0,7884 0,7879 0,7894 0,7964 0,7959 0,7964
65 115,20 0,7356 0,7357 0,7355 0,7467 0,7467 0,7467 0,7465 0,7467 0,7461 0,7479 0,7563 0,7560 0,7564
66 117,00 0,6995 0,6999 0,6991 0,7112 0,7112 0,7112 0,7111 0,7111 0,7107 0,7119 0,7213 0,7217 0,7207
89
67 118,80 0,6690 0,6689 0,6695 0,6809 0,6809 0,6809 0,6810 0,6810 0,6805 0,6820 0,6916 0,6918 0,6916
68 120,60 0,6408 0,6408 0,6411 0,6528 0,6528 0,6528 0,6527 0,6527 0,6532 0,6521 0,6637 0,6635 0,6638
69 122,40 0,6156 0,6158 0,6158 0,6278 0,6278 0,6277 0,6276 0,6277 0,6273 0,6285 0,6387 0,6390 0,6387
70 124,20 0,5931 0,5934 0,5934 0,6053 0,6053 0,6054 0,6053 0,6056 0,6053 0,6061 0,6164 0,6167 0,6161
71 126,00 0,5738 0,5736 0,5741 0,5858 0,5858 0,5858 0,5857 0,5860 0,5854 0,5854 0,5970 0,5970 0,5967
72 127,80 0,5561 0,5560 0,5561 0,5680 0,5680 0,5680 0,5679 0,5681 0,5677 0,5677 0,5792 0,5794 0,5792
73 129,60 0,5403 0,5406 0,5406 0,5523 0,5523 0,5523 0,5524 0,5524 0,5523 0,5525 0,5634 0,5634 0,5635
74 131,40 0,5259 0,5259 0,5259 0,5377 0,5377 0,5377 0,5377 0,5379 0,5379 0,5380 0,5489 0,5492 0,5491
75 133,20 0,5129 0,5129 0,5127 0,5248 0,5248 0,5248 0,5248 0,5246 0,5248 0,5242 0,5359 0,5359 0,5361
76 135,00 0,5010 0,5010 0,5008 0,5127 0,5126 0,5127 0,5127 0,5127 0,5129 0,5122 0,5238 0,5238 0,5238
77 136,80 0,4904 0,4904 0,4906 0,5019 0,5019 0,5019 0,5020 0,5017 0,5022 0,5021 0,5129 0,5130 0,5131
78 138,60 0,4802 0,4802 0,4802 0,4917 0,4917 0,4917 0,4917 0,4917 0,4919 0,4912 0,5025 0,5026 0,5023
79 140,40 0,4712 0,4713 0,4715 0,4825 0,4825 0,4825 0,4825 0,4823 0,4826 0,4819 0,4933 0,4933 0,4931
80 142,20 0,4629 0,4629 0,4629 0,4742 0,4742 0,4742 0,4743 0,4741 0,4741 0,4741 0,4849 0,4851 0,4847
81 144,00 0,4557 0,4556 0,4558 0,4669 0,4668 0,4668 0,4668 0,4668 0,4670 0,4664 0,4775 0,4775 0,4777
82 145,80 0,4484 0,4486 0,4484 0,4595 0,4595 0,4595 0,4595 0,4594 0,4596 0,4590 0,4700 0,4702 0,4698
83 147,60 0,4418 0,4418 0,4418 0,4527 0,4527 0,4527 0,4527 0,4527 0,4525 0,4530 0,4633 0,4631 0,4633
84 149,40 0,4360 0,4361 0,4358 0,4469 0,4469 0,4469 0,4469 0,4470 0,4470 0,4470 0,4573 0,4575 0,4573
85 151,20 0,4309 0,4309 0,4309 0,4418 0,4418 0,4418 0,4418 0,4418 0,4417 0,4421 0,4522 0,4523 0,4520
86 153,00 0,4258 0,4258 0,4256 0,4365 0,4365 0,4365 0,4366 0,4364 0,4364 0,4364 0,4469 0,4469 0,4468
87 154,80 0,4213 0,4215 0,4214 0,4320 0,4320 0,4320 0,4319 0,4321 0,4318 0,4317 0,4423 0,4423 0,4421
88 156,60 0,4173 0,4175 0,4173 0,4280 0,4280 0,4280 0,4279 0,4281 0,4281 0,4281 0,4382 0,4383 0,4380
89 158,40 0,4139 0,4139 0,4137 0,4245 0,4245 0,4245 0,4245 0,4245 0,4245 0,4245 0,4346 0,4348 0,4344
90 160,20 0,4106 0,4106 0,4106 0,4211 0,4211 0,4211 0,4211 0,4210 0,4210 0,4210 0,4312 0,4312 0,4314
91 162,00 0,4077 0,4077 0,4076 0,4182 0,4182 0,4182 0,4182 0,4181 0,4184 0,4184 0,4283 0,4283 0,4283
92 163,80 0,4050 0,4052 0,4050 0,4155 0,4155 0,4155 0,4155 0,4155 0,4154 0,4158 0,4255 0,4255 0,4253
93 165,60 0,4027 0,4026 0,4029 0,4131 0,4131 0,4131 0,4131 0,4129 0,4132 0,4132 0,4231 0,4232 0,4232
94 167,40 0,4006 0,4006 0,4008 0,4111 0,4111 0,4111 0,4111 0,4110 0,4111 0,4107 0,4211 0,4210 0,4211
95 169,20 0,3991 0,3990 0,3991 0,4094 0,4094 0,4094 0,4095 0,4093 0,4095 0,4090 0,4195 0,4193 0,4195
96 171,00 0,3975 0,3976 0,3975 0,4078 0,4078 0,4078 0,4078 0,4079 0,4078 0,4082 0,4178 0,4177 0,4178
97 172,80 0,3964 0,3965 0,3962 0,4067 0,4067 0,4067 0,4067 0,4066 0,4066 0,4066 0,4166 0,4166 0,4166
98 174,60 0,3955 0,3957 0,3954 0,4058 0,4058 0,4058 0,4059 0,4058 0,4058 0,4058 0,4158 0,4158 0,4158
99 176,40 0,3953 0,3951 0,3954 0,4055 0,4055 0,4055 0,4055 0,4055 0,4054 0,4058 0,4154 0,4155 0,4154
100 178,20 0,3949 0,3949 0,3950 0,4052 0,4052 0,4051 0,4051 0,4052 0,4050 0,4050 0,4151 0,4150 0,4150
101 180,00 0,3950 0,3952 0,3950 0,4053 0,4053 0,4053 0,4052 0,4052 0,4054 0,4050 0,4153 0,4153 0,4154
90
Rysunek 4.21 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.22 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m)
(E = 100 ÷ 30000 MPa, = 0,20)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=100, ni = 0,20
E=500, ni = 0,20
E=1000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,20
E=30000, ni = 0,20
91
Tabela 4.8 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8 m)
Współczynnik kształtu k
E = 5000 MPa E = 10000 MPa E = 15000 MPa
Lp. j = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25
1 0,00 0,3939 0,4041 0,4140 0,3939 0,4041 0,4140 0,3940 0,4041 0,4139
2 0,90 0,3938 0,4040 0,4138 0,3938 0,4040 0,4138 0,3938 0,4039 0,4139
3 1,80 0,3938 0,4040 0,4138 0,3938 0,4040 0,4138 0,3938 0,4039 0,4139
4 2,70 0,3940 0,4042 0,4140 0,3939 0,4041 0,4141 0,3940 0,4041 0,4141
5 3,60 0,3938 0,4040 0,4139 0,3938 0,4040 0,4138 0,3938 0,4041 0,4139
6 4,50 0,3942 0,4044 0,4143 0,3942 0,4044 0,4144 0,3942 0,4045 0,4143
7 5,40 0,3945 0,4048 0,4146 0,3946 0,4048 0,4146 0,3946 0,4047 0,4147
8 6,30 0,3948 0,4051 0,4150 0,3948 0,4050 0,4150 0,3948 0,4051 0,4151
9 7,20 0,3953 0,4055 0,4154 0,3953 0,4056 0,4154 0,3952 0,4055 0,4155
10 8,10 0,3958 0,4061 0,4160 0,3958 0,4061 0,4160 0,3958 0,4061 0,4159
11 9,00 0,3964 0,4067 0,4167 0,3965 0,4067 0,4167 0,3964 0,4067 0,4167
12 9,90 0,3971 0,4074 0,4173 0,3970 0,4074 0,4174 0,3970 0,4074 0,4174
13 10,80 0,3978 0,4081 0,4181 0,3979 0,4080 0,4180 0,3978 0,4082 0,4182
14 11,70 0,3986 0,4089 0,4189 0,3985 0,4089 0,4189 0,3987 0,4090 0,4190
15 12,60 0,3995 0,4098 0,4198 0,3995 0,4098 0,4198 0,3995 0,4098 0,4198
16 13,50 0,4005 0,4108 0,4208 0,4005 0,4108 0,4208 0,4006 0,4109 0,4209
17 14,40 0,4015 0,4119 0,4219 0,4015 0,4119 0,4219 0,4016 0,4119 0,4219
18 15,30 0,4027 0,4131 0,4231 0,4027 0,4131 0,4230 0,4027 0,4130 0,4232
19 16,20 0,4039 0,4143 0,4244 0,4039 0,4143 0,4245 0,4039 0,4143 0,4245
20 17,10 0,4051 0,4156 0,4257 0,4051 0,4156 0,4257 0,4052 0,4155 0,4257
21 18,00 0,4066 0,4170 0,4271 0,4066 0,4170 0,4272 0,4065 0,4170 0,4270
22 18,90 0,4079 0,4184 0,4285 0,4080 0,4185 0,4286 0,4080 0,4183 0,4285
23 19,80 0,4095 0,4199 0,4301 0,4095 0,4199 0,4300 0,4095 0,4199 0,4300
24 20,70 0,4111 0,4216 0,4318 0,4111 0,4215 0,4318 0,4111 0,4216 0,4318
25 21,60 0,4128 0,4234 0,4336 0,4128 0,4235 0,4336 0,4128 0,4234 0,4336
26 22,50 0,4146 0,4253 0,4354 0,4146 0,4253 0,4355 0,4146 0,4252 0,4353
27 23,40 0,4166 0,4272 0,4374 0,4166 0,4272 0,4374 0,4167 0,4272 0,4374
28 24,30 0,4186 0,4292 0,4395 0,4185 0,4292 0,4395 0,4187 0,4292 0,4394
29 25,20 0,4208 0,4315 0,4417 0,4207 0,4315 0,4417 0,4208 0,4315 0,4417
30 26,10 0,4230 0,4337 0,4440 0,4230 0,4336 0,4440 0,4231 0,4336 0,4440
31 27,00 0,4253 0,4361 0,4465 0,4253 0,4361 0,4465 0,4254 0,4362 0,4465
92
32 27,90 0,4277 0,4386 0,4489 0,4277 0,4385 0,4490 0,4278 0,4386 0,4489
33 28,80 0,4303 0,4411 0,4515 0,4303 0,4412 0,4515 0,4302 0,4412 0,4515
34 29,70 0,4329 0,4438 0,4542 0,4328 0,4438 0,4542 0,4328 0,4438 0,4542
35 30,60 0,4357 0,4465 0,4571 0,4356 0,4465 0,4570 0,4358 0,4465 0,4571
36 31,50 0,4385 0,4495 0,4600 0,4386 0,4495 0,4600 0,4385 0,4495 0,4600
37 32,40 0,4416 0,4526 0,4631 0,4416 0,4525 0,4631 0,4415 0,4525 0,4630
38 33,30 0,4447 0,4556 0,4662 0,4447 0,4557 0,4663 0,4446 0,4556 0,4663
39 34,20 0,4479 0,4590 0,4696 0,4479 0,4590 0,4696 0,4479 0,4589 0,4697
40 35,10 0,4513 0,4624 0,4731 0,4513 0,4625 0,4730 0,4513 0,4623 0,4730
41 36,00 0,4549 0,4661 0,4767 0,4548 0,4660 0,4767 0,4548 0,4660 0,4767
42 36,90 0,4585 0,4698 0,4804 0,4586 0,4698 0,4804 0,4586 0,4698 0,4804
43 37,80 0,4624 0,4737 0,4844 0,4624 0,4736 0,4844 0,4625 0,4736 0,4845
44 38,70 0,4664 0,4777 0,4885 0,4664 0,4777 0,4885 0,4664 0,4778 0,4884
45 39,60 0,4706 0,4819 0,4928 0,4705 0,4820 0,4928 0,4706 0,4820 0,4929
46 40,50 0,4750 0,4863 0,4972 0,4750 0,4865 0,4972 0,4750 0,4864 0,4972
47 41,40 0,4796 0,4910 0,5019 0,4795 0,4909 0,5018 0,4797 0,4910 0,5018
48 42,30 0,4844 0,4959 0,5069 0,4843 0,4959 0,5068 0,4845 0,4958 0,5069
49 43,20 0,4895 0,5011 0,5121 0,4896 0,5010 0,5120 0,4894 0,5010 0,5120
50 44,10 0,4948 0,5065 0,5175 0,4949 0,5064 0,5175 0,4947 0,5066 0,5176
51 45,00 0,5005 0,5121 0,5232 0,5004 0,5121 0,5232 0,5005 0,5120 0,5232
52 45,90 0,5062 0,5178 0,5290 0,5063 0,5180 0,5290 0,5060 0,5179 0,5290
53 46,80 0,5123 0,5240 0,5351 0,5123 0,5239 0,5351 0,5124 0,5242 0,5352
54 47,70 0,5186 0,5304 0,5415 0,5185 0,5303 0,5416 0,5186 0,5303 0,5416
55 48,60 0,5252 0,5370 0,5482 0,5253 0,5370 0,5482 0,5253 0,5369 0,5481
56 49,50 0,5321 0,5440 0,5552 0,5320 0,5439 0,5551 0,5321 0,5440 0,5552
57 50,40 0,5394 0,5513 0,5625 0,5394 0,5514 0,5625 0,5395 0,5513 0,5624
58 51,30 0,5470 0,5590 0,5703 0,5470 0,5590 0,5702 0,5471 0,5589 0,5701
59 52,20 0,5552 0,5672 0,5784 0,5551 0,5672 0,5785 0,5554 0,5674 0,5785
60 53,10 0,5638 0,5759 0,5870 0,5637 0,5757 0,5872 0,5638 0,5758 0,5872
61 54,00 0,5730 0,5850 0,5963 0,5731 0,5850 0,5963 0,5730 0,5852 0,5965
62 54,90 0,5827 0,5949 0,6061 0,5828 0,5949 0,6060 0,5829 0,5949 0,6060
63 55,80 0,5930 0,6051 0,6162 0,5929 0,6050 0,6163 0,5930 0,6049 0,6162
64 56,70 0,6036 0,6157 0,6269 0,6036 0,6156 0,6269 0,6035 0,6158 0,6269
65 57,60 0,6150 0,6271 0,6382 0,6150 0,6271 0,6382 0,6149 0,6269 0,6383
66 58,50 0,6270 0,6391 0,6501 0,6268 0,6390 0,6501 0,6268 0,6391 0,6502
67 59,40 0,6397 0,6517 0,6627 0,6398 0,6518 0,6629 0,6396 0,6516 0,6628
93
68 60,30 0,6531 0,6651 0,6759 0,6529 0,6649 0,6757 0,6529 0,6651 0,6760
69 61,20 0,6675 0,6793 0,6899 0,6672 0,6794 0,6901 0,6673 0,6791 0,6897
70 62,10 0,6825 0,6944 0,7047 0,6827 0,6944 0,7047 0,6823 0,6944 0,7045
71 63,00 0,6988 0,7105 0,7207 0,6988 0,7105 0,7207 0,6986 0,7102 0,7205
72 63,90 0,7159 0,7273 0,7373 0,7157 0,7273 0,7373 0,7157 0,7275 0,7371
73 64,80 0,7345 0,7455 0,7552 0,7343 0,7458 0,7551 0,7342 0,7456 0,7551
74 65,70 0,7545 0,7654 0,7744 0,7543 0,7651 0,7747 0,7545 0,7650 0,7746
75 66,60 0,7761 0,7867 0,7954 0,7763 0,7864 0,7951 0,7759 0,7864 0,7952
76 67,50 0,7989 0,8089 0,8171 0,7991 0,8088 0,8170 0,7992 0,8089 0,8173
77 68,40 0,8238 0,8332 0,8403 0,8238 0,8329 0,8406 0,8238 0,8331 0,8405
78 69,30 0,8498 0,8584 0,8651 0,8498 0,8585 0,8647 0,8498 0,8580 0,8652
79 70,20 0,8785 0,8863 0,8917 0,8788 0,8860 0,8914 0,8786 0,8862 0,8917
80 71,10 0,9095 0,9161 0,9203 0,9092 0,9159 0,9204 0,9093 0,9164 0,9200
81 72,00 0,9437 0,9494 0,9521 0,9437 0,9494 0,9524 0,9442 0,9496 0,9523
82 72,90 0,9809 0,9846 0,9855 0,9807 0,9852 0,9857 0,9805 0,9845 0,9860
83 73,80 1,0225 1,0239 1,0227 1,0225 1,0241 1,0231 1,0219 1,0233 1,0229
84 74,70 1,0692 1,0680 1,0641 1,0692 1,0680 1,0645 1,0695 1,0676 1,0639
85 75,60 1,1195 1,1151 1,1074 1,1193 1,1155 1,1081 1,1188 1,1158 1,1074
86 76,50 1,1724 1,1641 1,1529 1,1718 1,1636 1,1531 1,1721 1,1639 1,1525
87 77,40 1,2326 1,2193 1,2032 1,2323 1,2190 1,2032 1,2335 1,2197 1,2033
88 78,30 1,3019 1,2823 1,2599 1,3016 1,2823 1,2599 1,3016 1,2823 1,2590
89 79,20 1,3781 1,3501 1,3200 1,3774 1,3501 1,3205 1,3781 1,3503 1,3202
90 80,10 1,4592 1,4215 1,3822 1,4579 1,4213 1,3822 1,4595 1,4208 1,3828
91 81,00 1,5502 1,4990 1,4493 1,5502 1,5003 1,4493 1,5499 1,4982 1,4505
92 81,90 1,6500 1,5842 1,5211 1,6490 1,5842 1,5204 1,6492 1,5850 1,5211
93 82,80 1,7629 1,6779 1,5991 1,7638 1,6779 1,5983 1,7619 1,6770 1,6006
94 83,70 1,8828 1,7723 1,6746 1,8839 1,7741 1,6748 1,8839 1,7733 1,6748
95 84,60 2,0119 1,8727 1,7530 2,0132 1,8723 1,7536 2,0130 1,8718 1,7533
96 85,50 2,1515 1,9770 1,8324 2,1515 1,9784 1,8330 2,1544 1,9747 1,8330
97 86,40 2,2953 2,0802 1,9104 2,2962 2,0802 1,9117 2,2953 2,0819 1,9084
98 87,30 2,4262 2,1709 1,9747 2,4252 2,1690 1,9762 2,4297 2,1684 1,9757
99 88,20 2,5295 2,2379 2,0227 2,5260 2,2394 2,0227 2,5322 2,2383 2,0244
100 89,10 2,5932 2,2788 2,0496 2,5907 2,2769 2,0515 2,5928 2,2769 2,0513
101 90,00 2,6179 2,2969 2,0623 2,6209 2,2969 2,0623 2,6179 2,2991 2,0623
102 90,90 2,5865 2,2739 2,0459 2,5840 2,2720 2,0477 2,5840 2,2761 2,0457
103 91,80 2,5144 2,2286 2,0142 2,5151 2,2261 2,0123 2,5136 2,2307 2,0146
94
104 92,70 2,4149 2,1605 1,9670 2,4149 2,1605 1,9660 2,4183 2,1611 1,9681
105 93,60 2,2931 2,0783 1,9067 2,2931 2,0766 1,9081 2,2899 2,0790 1,9054
106 94,50 2,1593 1,9824 1,8363 2,1610 1,9824 1,8381 2,1564 1,9824 1,8368
107 95,40 2,0302 1,8872 1,7657 2,0305 1,8884 1,7646 2,0277 1,8860 1,7646
108 96,30 1,8974 1,7855 1,6852 1,8974 1,7855 1,6859 1,8974 1,7847 1,6845
109 97,20 1,7685 1,6814 1,6023 1,7675 1,6814 1,6031 1,7705 1,6822 1,6030
110 98,10 1,6537 1,5879 1,5252 1,6554 1,5871 1,5245 1,6537 1,5872 1,5252
111 99,00 1,5533 1,5034 1,4534 1,5527 1,5028 1,4528 1,5518 1,5041 1,4540
112 99,90 1,4602 1,4225 1,3832 1,4605 1,4223 1,3832 1,4610 1,4223 1,3843
113 100,80 1,3788 1,3503 1,3206 1,3788 1,3514 1,3196 1,3781 1,3503 1,3202
114 101,70 1,3049 1,2850 1,2617 1,3049 1,2850 1,2623 1,3055 1,2847 1,2621
115 102,60 1,2386 1,2254 1,2086 1,2396 1,2256 1,2081 1,2389 1,2262 1,2077
116 103,50 1,1775 1,1691 1,1573 1,1773 1,1688 1,1570 1,1778 1,1693 1,1575
117 104,40 1,1224 1,1179 1,1102 1,1222 1,1179 1,1100 1,1217 1,1187 1,1102
118 105,30 1,0710 1,0697 1,0655 1,0705 1,0702 1,0658 1,0714 1,0695 1,0651
119 106,20 1,0249 1,0266 1,0252 1,0255 1,0266 1,0250 1,0251 1,0263 1,0258
120 107,10 0,9839 0,9876 0,9883 0,9835 0,9874 0,9878 0,9841 0,9872 0,9881
121 108,00 0,9470 0,9522 0,9546 0,9470 0,9519 0,9545 0,9465 0,9517 0,9543
122 108,90 0,9123 0,9191 0,9234 0,9124 0,9191 0,9232 0,9128 0,9188 0,9232
123 109,80 0,8821 0,8898 0,8951 0,8821 0,8898 0,8951 0,8822 0,8897 0,8951
124 110,70 0,8524 0,8613 0,8676 0,8524 0,8611 0,8679 0,8524 0,8616 0,8676
125 111,60 0,8247 0,8343 0,8417 0,8250 0,8342 0,8420 0,8245 0,8339 0,8415
126 112,50 0,7996 0,8096 0,8180 0,7997 0,8100 0,8177 0,7996 0,8094 0,8179
127 113,40 0,7765 0,7871 0,7959 0,7767 0,7874 0,7961 0,7763 0,7869 0,7957
128 114,30 0,7548 0,7657 0,7751 0,7551 0,7660 0,7751 0,7548 0,7655 0,7751
129 115,20 0,7349 0,7463 0,7558 0,7350 0,7465 0,7558 0,7351 0,7465 0,7560
130 116,10 0,7163 0,7280 0,7378 0,7163 0,7280 0,7380 0,7165 0,7277 0,7380
131 117,00 0,6992 0,7109 0,7211 0,6990 0,7107 0,7213 0,6994 0,7112 0,7213
132 117,90 0,6829 0,6946 0,7051 0,6829 0,6946 0,7053 0,6831 0,6946 0,7053
133 118,80 0,6676 0,6797 0,6902 0,6678 0,6795 0,6903 0,6674 0,6799 0,6904
134 119,70 0,6534 0,6654 0,6762 0,6534 0,6654 0,6762 0,6535 0,6652 0,6762
135 120,60 0,6401 0,6522 0,6632 0,6399 0,6523 0,6631 0,6402 0,6522 0,6631
136 121,50 0,6273 0,6394 0,6505 0,6273 0,6396 0,6504 0,6275 0,6392 0,6503
137 122,40 0,6152 0,6273 0,6384 0,6152 0,6273 0,6384 0,6151 0,6271 0,6386
138 123,30 0,6036 0,6158 0,6269 0,6034 0,6158 0,6268 0,6037 0,6160 0,6271
139 124,20 0,5927 0,6049 0,6161 0,5927 0,6049 0,6162 0,5927 0,6051 0,6160
95
140 125,10 0,5824 0,5946 0,6059 0,5823 0,5947 0,6059 0,5825 0,5946 0,6057
141 126,00 0,5728 0,5850 0,5961 0,5729 0,5848 0,5961 0,5726 0,5848 0,5961
142 126,90 0,5636 0,5757 0,5870 0,5635 0,5759 0,5870 0,5635 0,5758 0,5869
143 127,80 0,5550 0,5671 0,5783 0,5549 0,5671 0,5784 0,5550 0,5671 0,5783
144 128,70 0,5467 0,5587 0,5700 0,5468 0,5588 0,5700 0,5468 0,5585 0,5699
145 129,60 0,5390 0,5509 0,5622 0,5390 0,5511 0,5621 0,5389 0,5511 0,5621
146 130,50 0,5316 0,5435 0,5548 0,5316 0,5435 0,5546 0,5315 0,5434 0,5549
147 131,40 0,5246 0,5365 0,5477 0,5246 0,5366 0,5476 0,5246 0,5366 0,5479
148 132,30 0,5180 0,5298 0,5409 0,5178 0,5296 0,5410 0,5180 0,5297 0,5410
149 133,20 0,5116 0,5233 0,5344 0,5115 0,5233 0,5345 0,5115 0,5232 0,5343
150 134,10 0,5055 0,5171 0,5282 0,5055 0,5171 0,5282 0,5055 0,5172 0,5281
151 135,00 0,4996 0,5113 0,5223 0,4996 0,5113 0,5224 0,4996 0,5114 0,5223
152 135,90 0,4940 0,5057 0,5166 0,4940 0,5056 0,5168 0,4942 0,5057 0,5166
153 136,80 0,4888 0,5004 0,5113 0,4888 0,5004 0,5114 0,4888 0,5004 0,5114
154 137,70 0,4837 0,4953 0,5062 0,4837 0,4952 0,5062 0,4836 0,4952 0,5063
155 138,60 0,4789 0,4904 0,5013 0,4789 0,4904 0,5013 0,4788 0,4905 0,5013
156 139,50 0,4743 0,4857 0,4965 0,4742 0,4857 0,4966 0,4744 0,4858 0,4966
157 140,40 0,4699 0,4813 0,4921 0,4700 0,4813 0,4921 0,4698 0,4812 0,4920
158 141,30 0,4656 0,4769 0,4877 0,4656 0,4770 0,4878 0,4655 0,4770 0,4876
159 142,20 0,4615 0,4728 0,4835 0,4616 0,4727 0,4835 0,4616 0,4728 0,4835
160 143,10 0,4576 0,4689 0,4796 0,4577 0,4689 0,4796 0,4575 0,4690 0,4797
161 144,00 0,4539 0,4651 0,4758 0,4539 0,4651 0,4758 0,4540 0,4652 0,4759
162 144,90 0,4504 0,4615 0,4721 0,4504 0,4614 0,4722 0,4503 0,4615 0,4722
163 145,80 0,4470 0,4580 0,4687 0,4471 0,4581 0,4687 0,4469 0,4581 0,4686
164 146,70 0,4437 0,4547 0,4653 0,4436 0,4547 0,4653 0,4438 0,4548 0,4653
165 147,60 0,4406 0,4516 0,4621 0,4406 0,4517 0,4621 0,4405 0,4515 0,4620
166 148,50 0,4376 0,4486 0,4590 0,4376 0,4485 0,4591 0,4375 0,4485 0,4590
167 149,40 0,4348 0,4457 0,4562 0,4348 0,4457 0,4562 0,4348 0,4458 0,4561
168 150,30 0,4321 0,4429 0,4533 0,4320 0,4429 0,4534 0,4321 0,4429 0,4534
169 151,20 0,4294 0,4403 0,4507 0,4294 0,4404 0,4507 0,4294 0,4402 0,4508
170 152,10 0,4270 0,4377 0,4482 0,4271 0,4378 0,4482 0,4271 0,4378 0,4482
171 153,00 0,4246 0,4354 0,4457 0,4247 0,4355 0,4457 0,4247 0,4355 0,4458
172 153,90 0,4224 0,4331 0,4434 0,4224 0,4331 0,4433 0,4224 0,4331 0,4435
173 154,80 0,4202 0,4309 0,4412 0,4202 0,4308 0,4412 0,4203 0,4308 0,4412
174 155,70 0,4182 0,4288 0,4391 0,4181 0,4289 0,4391 0,4182 0,4288 0,4392
175 156,60 0,4162 0,4268 0,4370 0,4163 0,4269 0,4371 0,4162 0,4267 0,4371
96
176 157,50 0,4143 0,4249 0,4351 0,4143 0,4249 0,4352 0,4144 0,4249 0,4351
177 158,40 0,4125 0,4231 0,4333 0,4125 0,4232 0,4333 0,4126 0,4232 0,4333
178 159,30 0,4108 0,4214 0,4316 0,4108 0,4214 0,4315 0,4108 0,4214 0,4316
179 160,20 0,4092 0,4197 0,4299 0,4092 0,4198 0,4299 0,4093 0,4196 0,4298
180 161,10 0,4077 0,4182 0,4283 0,4077 0,4182 0,4283 0,4078 0,4181 0,4283
181 162,00 0,4063 0,4168 0,4269 0,4063 0,4168 0,4269 0,4063 0,4168 0,4268
182 162,90 0,4049 0,4153 0,4254 0,4048 0,4153 0,4254 0,4050 0,4153 0,4255
183 163,80 0,4036 0,4141 0,4241 0,4036 0,4141 0,4242 0,4037 0,4141 0,4240
184 164,70 0,4024 0,4128 0,4228 0,4024 0,4128 0,4229 0,4024 0,4128 0,4228
185 165,60 0,4013 0,4117 0,4217 0,4013 0,4117 0,4216 0,4014 0,4117 0,4217
186 166,50 0,4002 0,4105 0,4206 0,4002 0,4105 0,4205 0,4001 0,4105 0,4207
187 167,40 0,3992 0,4096 0,4196 0,3992 0,4096 0,4196 0,3993 0,4096 0,4196
188 168,30 0,3983 0,4085 0,4185 0,3983 0,4086 0,4186 0,3983 0,4086 0,4186
189 169,20 0,3974 0,4076 0,4176 0,3973 0,4076 0,4176 0,3974 0,4076 0,4175
190 170,10 0,3966 0,4069 0,4168 0,3966 0,4068 0,4168 0,3966 0,4070 0,4167
191 171,00 0,3959 0,4062 0,4161 0,3959 0,4061 0,4161 0,3960 0,4061 0,4161
192 171,90 0,3952 0,4055 0,4154 0,3952 0,4054 0,4154 0,3952 0,4055 0,4155
193 172,80 0,3947 0,4050 0,4149 0,3947 0,4049 0,4149 0,3948 0,4049 0,4149
194 173,70 0,3942 0,4044 0,4144 0,3942 0,4044 0,4144 0,3942 0,4045 0,4143
195 174,60 0,3938 0,4040 0,4139 0,3938 0,4040 0,4139 0,3938 0,4041 0,4139
196 175,50 0,3934 0,4036 0,4135 0,3934 0,4035 0,4135 0,3934 0,4037 0,4135
197 176,40 0,3930 0,4031 0,4130 0,3930 0,4031 0,4130 0,3930 0,4031 0,4131
198 177,30 0,3932 0,4033 0,4132 0,3931 0,4033 0,4133 0,3932 0,4033 0,4133
199 178,20 0,3929 0,4031 0,4130 0,3930 0,4031 0,4130 0,3930 0,4031 0,4131
200 179,10 0,3929 0,4031 0,4129 0,3930 0,4032 0,4130 0,3930 0,4031 0,4129
201 180,00 0,3932 0,4033 0,4132 0,3931 0,4033 0,4132 0,3932 0,4033 0,4131
97
Rysunek 4.23 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5 m; b = 9,8 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.24 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5 m; b = 9,8 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
98
Tabela 4.9 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
Współczynnik kształtu k
E = 5000 MPa E = 10000 MPa E = 15000 MPa
Lp. j = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,15 = 0,20 = 0,25
1 0,00 4,4438 3,8900 3,4898 4,4542 3,8976 3,4958 4,4542 3,8824 3,4898
2 1,80 4,2636 3,7724 3,4076 4,2636 3,7724 3,4076 4,2518 3,7741 3,4131
3 3,60 3,8661 3,5024 3,2141 3,8592 3,4968 3,2095 3,8690 3,4968 3,2161
4 5,40 3,4028 3,1635 2,9584 3,4021 3,1624 2,9642 3,4021 3,1665 2,9642
5 7,20 2,9728 2,8280 2,6914 2,9759 2,8280 2,6910 2,9763 2,8280 2,6914
6 9,00 2,6083 2,5252 2,4399 2,6083 2,5252 2,4419 2,6083 2,5256 2,4358
7 10,80 2,3170 2,2704 2,2195 2,3156 2,2689 2,2210 2,3209 2,2725 2,2199
8 12,60 2,0778 2,0554 2,0274 2,0778 2,0543 2,0274 2,0768 2,0535 2,0301
9 14,40 1,8833 1,8759 1,8645 1,8850 1,8775 1,8645 1,8808 1,8751 1,8636
10 16,20 1,7228 1,7263 1,7232 1,7242 1,7257 1,7232 1,7237 1,7269 1,7232
11 18,00 1,5902 1,6000 1,6046 1,5915 1,5995 1,6040 1,5885 1,5995 1,6058
12 19,80 1,4788 1,4922 1,5015 1,4792 1,4936 1,5011 1,4792 1,4922 1,5011
13 21,60 1,3851 1,4007 1,4128 1,3839 1,4007 1,4133 1,3849 1,3998 1,4140
14 23,40 1,3043 1,3223 1,3360 1,3034 1,3212 1,3363 1,3045 1,3223 1,3369
15 25,20 1,2346 1,2540 1,2696 1,2344 1,2530 1,2704 1,2347 1,2545 1,2699
16 27,00 1,1742 1,1940 1,2111 1,1736 1,1938 1,2118 1,1733 1,1935 1,2106
17 28,80 1,1212 1,1416 1,1591 1,1206 1,1408 1,1591 1,1217 1,1410 1,1599
18 30,60 1,0744 1,0945 1,1133 1,0743 1,0947 1,1127 1,0743 1,0944 1,1129
19 32,40 1,0328 1,0532 1,0719 1,0328 1,0538 1,0718 1,0322 1,0532 1,0725
20 34,20 0,9963 1,0163 1,0352 0,9962 1,0169 1,0358 0,9962 1,0164 1,0347
21 36,00 0,9631 0,9836 1,0022 0,9631 0,9832 1,0027 0,9625 0,9831 1,0021
22 37,80 0,9334 0,9538 0,9724 0,9338 0,9534 0,9723 0,9339 0,9533 0,9730
23 39,60 0,9066 0,9269 0,9455 0,9071 0,9269 0,9455 0,9066 0,9265 0,9451
24 41,40 0,8825 0,9022 0,9212 0,8825 0,9026 0,9216 0,8821 0,9023 0,9213
25 43,20 0,8604 0,8803 0,8991 0,8607 0,8803 0,8988 0,8599 0,8804 0,8995
26 45,00 0,8408 0,8601 0,8788 0,8407 0,8605 0,8791 0,8412 0,8606 0,8789
27 46,80 0,8223 0,8419 0,8604 0,8223 0,8422 0,8603 0,8220 0,8415 0,8600
28 48,60 0,8057 0,8253 0,8436 0,8061 0,8253 0,8436 0,8056 0,8253 0,8440
29 50,40 0,7906 0,8097 0,8281 0,7910 0,8097 0,8281 0,7910 0,8097 0,8285
30 52,20 0,7768 0,7959 0,8138 0,7771 0,7959 0,8138 0,7768 0,7956 0,8134
31 54,00 0,7640 0,7828 0,8008 0,7643 0,7831 0,8012 0,7640 0,7828 0,8008
99
32 55,80 0,7524 0,7710 0,7888 0,7524 0,7713 0,7888 0,7524 0,7713 0,7885
33 57,60 0,7418 0,7602 0,7780 0,7415 0,7605 0,7780 0,7421 0,7602 0,7783
34 59,40 0,7320 0,7504 0,7680 0,7320 0,7504 0,7680 0,7320 0,7501 0,7683
35 61,20 0,7230 0,7412 0,7588 0,7233 0,7412 0,7588 0,7230 0,7411 0,7585
36 63,00 0,7148 0,7329 0,7503 0,7148 0,7332 0,7504 0,7151 0,7332 0,7506
37 64,80 0,7075 0,7254 0,7428 0,7075 0,7254 0,7426 0,7072 0,7254 0,7428
38 66,60 0,7006 0,7185 0,7357 0,7009 0,7188 0,7360 0,7003 0,7185 0,7360
39 68,40 0,6946 0,7122 0,7295 0,6943 0,7122 0,7295 0,6943 0,7125 0,7292
40 70,20 0,6889 0,7068 0,7238 0,6889 0,7068 0,7236 0,6892 0,7065 0,7241
41 72,00 0,6840 0,7017 0,7187 0,6840 0,7014 0,7187 0,6840 0,7014 0,7189
42 73,80 0,6797 0,6971 0,7142 0,6797 0,6971 0,7139 0,6797 0,6971 0,7139
43 75,60 0,6757 0,6933 0,7101 0,6759 0,6933 0,7101 0,6754 0,6936 0,7104
44 77,40 0,6724 0,6898 0,7066 0,6722 0,6896 0,7069 0,6727 0,6901 0,7069
45 79,20 0,6694 0,6868 0,7036 0,6694 0,6868 0,7036 0,6691 0,6866 0,7034
46 81,00 0,6671 0,6845 0,7011 0,6671 0,6845 0,7013 0,6671 0,6845 0,7013
47 82,80 0,6650 0,6824 0,6990 0,6653 0,6822 0,6990 0,6650 0,6824 0,6993
48 84,60 0,6634 0,6808 0,6974 0,6634 0,6808 0,6977 0,6637 0,6811 0,6972
49 86,40 0,6625 0,6797 0,6963 0,6625 0,6795 0,6963 0,6623 0,6797 0,6965
50 88,20 0,6618 0,6790 0,6956 0,6616 0,6790 0,6958 0,6616 0,6790 0,6958
51 90,00 0,6616 0,6788 0,6954 0,6616 0,6785 0,6954 0,6616 0,6790 0,6951
52 91,80 0,6618 0,6790 0,6956 0,6616 0,6790 0,6958 0,6616 0,6790 0,6958
53 93,60 0,6623 0,6797 0,6963 0,6625 0,6794 0,6963 0,6623 0,6797 0,6965
54 95,40 0,6634 0,6808 0,6974 0,6634 0,6808 0,6976 0,6636 0,6811 0,6972
55 97,20 0,6650 0,6822 0,6990 0,6648 0,6822 0,6990 0,6650 0,6824 0,6992
56 99,00 0,6668 0,6842 0,7011 0,6671 0,6845 0,7008 0,6671 0,6845 0,7013
57 100,80 0,6694 0,6868 0,7036 0,6694 0,6868 0,7036 0,6691 0,6865 0,7034
58 102,60 0,6722 0,6896 0,7066 0,6722 0,6896 0,7064 0,6719 0,6893 0,7068
59 104,40 0,6757 0,6931 0,7099 0,6754 0,6933 0,7101 0,6754 0,6928 0,7096
60 106,20 0,6795 0,6971 0,7139 0,6797 0,6971 0,7139 0,6797 0,6971 0,7139
61 108,00 0,6838 0,7014 0,7184 0,6840 0,7014 0,7187 0,6840 0,7014 0,7182
62 109,80 0,6889 0,7065 0,7235 0,6889 0,7063 0,7235 0,6891 0,7065 0,7232
63 111,60 0,6943 0,7122 0,7292 0,6943 0,7122 0,7294 0,6943 0,7124 0,7292
64 113,40 0,7003 0,7182 0,7356 0,7003 0,7182 0,7354 0,7003 0,7184 0,7359
65 115,20 0,7072 0,7251 0,7425 0,7069 0,7253 0,7425 0,7072 0,7253 0,7428
66 117,00 0,7148 0,7329 0,7503 0,7147 0,7326 0,7503 0,7150 0,7332 0,7506
67 118,80 0,7227 0,7411 0,7585 0,7227 0,7411 0,7588 0,7230 0,7411 0,7585
100
68 120,60 0,7317 0,7501 0,7677 0,7320 0,7503 0,7680 0,7320 0,7500 0,7674
69 122,40 0,7415 0,7601 0,7776 0,7415 0,7598 0,7780 0,7412 0,7601 0,7774
70 124,20 0,7521 0,7710 0,7887 0,7524 0,7707 0,7887 0,7524 0,7713 0,7884
71 126,00 0,7639 0,7827 0,8007 0,7636 0,7824 0,8004 0,7639 0,7827 0,8007
72 127,80 0,7767 0,7955 0,8137 0,7764 0,7958 0,8137 0,7767 0,7955 0,8134
73 129,60 0,7906 0,8096 0,8280 0,7902 0,8096 0,8280 0,7909 0,8096 0,8284
74 131,40 0,8056 0,8248 0,8435 0,8059 0,8252 0,8435 0,8055 0,8252 0,8438
75 133,20 0,8222 0,8417 0,8603 0,8222 0,8421 0,8602 0,8219 0,8414 0,8600
76 135,00 0,8406 0,8604 0,8787 0,8406 0,8604 0,8790 0,8410 0,8604 0,8787
77 136,80 0,8606 0,8806 0,8990 0,8606 0,8802 0,8993 0,8609 0,8802 0,8993
78 138,60 0,8828 0,9025 0,9214 0,8823 0,9025 0,9215 0,8831 0,9021 0,9211
79 140,40 0,9069 0,9272 0,9458 0,9068 0,9267 0,9462 0,9065 0,9276 0,9461
80 142,20 0,9336 0,9540 0,9726 0,9336 0,9540 0,9730 0,9337 0,9545 0,9727
81 144,00 0,9629 0,9834 1,0024 0,9628 0,9838 1,0023 0,9623 0,9828 1,0018
82 145,80 0,9959 1,0165 1,0353 0,9960 1,0165 1,0353 0,9959 1,0161 1,0358
83 147,60 1,0324 1,0529 1,0720 1,0324 1,0533 1,0715 1,0319 1,0529 1,0721
84 149,40 1,0740 1,0941 1,1123 1,0741 1,0941 1,1121 1,0740 1,0940 1,1124
85 151,20 1,1200 1,1405 1,1586 1,1200 1,1405 1,1584 1,1194 1,1405 1,1594
86 153,00 1,1730 1,1927 1,2098 1,1730 1,1934 1,2100 1,1728 1,1929 1,2100
87 154,80 1,2340 1,2526 1,2691 1,2340 1,2526 1,2684 1,2342 1,2516 1,2691
88 156,60 1,3029 1,3209 1,3355 1,3029 1,3207 1,3358 1,3038 1,3215 1,3360
89 158,40 1,3833 1,4001 1,4130 1,3833 1,4001 1,4126 1,3840 1,3989 1,4130
90 160,20 1,4781 1,4914 1,5007 1,4785 1,4921 1,5002 1,4781 1,4910 1,5011
91 162,00 1,5893 1,5990 1,6036 1,5906 1,5985 1,6030 1,5885 1,5995 1,6042
92 163,80 1,7225 1,7250 1,7232 1,7231 1,7244 1,7219 1,7220 1,7250 1,7212
93 165,60 1,8827 1,8751 1,8619 1,8835 1,8759 1,8628 1,8837 1,8727 1,8610
94 167,40 2,0758 2,0532 2,0251 2,0758 2,0521 2,0251 2,0768 2,0503 2,0268
95 169,20 2,3151 2,2681 2,2184 2,3127 2,2660 2,2151 2,3166 2,2681 2,2199
96 171,00 2,6050 2,5215 2,4380 2,6042 2,5211 2,4340 2,6021 2,5194 2,4421
97 172,80 2,9577 2,8106 2,6776 2,9574 2,8106 2,6750 2,9577 2,8106 2,6754
98 174,60 3,3649 3,1366 2,9364 3,3694 3,1366 2,9364 3,3649 3,1366 2,9399
99 176,40 3,8592 3,5024 3,2141 3,8592 3,4968 3,2095 3,8486 3,4968 3,2161
100 178,20 4,2478 3,7533 3,3923 4,2452 3,7585 3,3966 4,2596 3,7533 3,3966
101 180,00 4,4026 3,8596 3,4664 4,4128 3,8521 3,4606 4,3924 3,8596 3,4722
101
Rysunek 4.25 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5 m; b = 9,8 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,20)
Rysunek 4.26 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=5000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,20
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=5000, ni = 0,15
E=5000, ni = 0,20
E=5000, ni = 0,25
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
E=15000, ni = 0,15
E=15000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,25
102
Rysunek 4.27 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 10000 MPa, = 0,15 ÷ 0,25)
Rysunek 4.28 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m)
(E = 5000 ÷ 15000 MPa, = 0,20)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=10000, ni = 0,15
E=10000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,25
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
E=5000, ni = 0,20
E=10000, ni = 0,20
E=15000, ni = 0,20
103
Z przeprowadzonych obliczeń wynika (rys. 4.22, rys. 4.25, rys. 4.28), że
współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu nie wpływa na wynik współczynnika
kształtu, dlatego dalsze obliczenia przeprowadzone zostały dla E = 10000 MPa. Na
wykresach widać, że liczba Poissona dla różnych modeli w pewnych przedziałach daje
rozbieżne wyniki, dlatego nie można pominąć jej wpływu na wartość współczynnika
kształtu.
W przypadku modelu tarczy z elipsą o wymiarach półosi a = 8,25 m; b = 4,9 m oraz
tarczy z elipsą gdzie a = 16,5 m; b = 9,8 m pomimo dwukrotnego zwiekszenia
gabarytów wyrobiska współczynnik kształtu pozostaje niezmienny, tak wiec wynika z
tego, że dla stałego stosunku półosi elipsy a/b jest on niezmienny. W przypadku modelu
trzeciego nie zauważono podobieństw i zależności z poprzednimi modelami.
4.3.3. Obliczenia współczynnik kształtu k dla różnych stosunków półosi elipsy
W dalszych badaniach postanowiono wykazać wpływ stosunku a/b na rozkład i
wartość współczynnika kształtu na obwodzie wyrobiska eliptycznego. W tym celu
skonstruowano 5 modeli geometrycznych tarczy z centralnie umieszczonym otworem
eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0; 1,75; 1,5; 1,25; 1,0 (rys. 4.29 ÷ 4.33).
Rysunek 4.29 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
104
Rysunek 4.30 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.31 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m)
obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
105
Rysunek 4.32 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m;
b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.33 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36m)
obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa
106
Obliczenia przeprowadzono dla parametrów górotworu:
- współczynnik podatności wzdłużnej górotworu: Eg = 10 000 MPa,
- liczba Poissona: = 0,10; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45; 0,50.
W celu wyznaczenia współczynnika kształtu k dla wybranych stosunków półosi
elipsy przeprowadzono obliczenia wartości współczynnika podatności podłoża (Cel) na
obwodzie każdej z rozważanych elips. W sumie przebadano 45 modeli obliczeniowych.
Uzyskane wyniki przedstawiono tabelarycznie (tab. 4.10 ÷ 4.19) oraz graficznie w
postaci wykresów (rys. 4.34 ÷ 4.43).
107
4.3.3.1. Dla a/b = 2,0
Rysunek 4.34 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.35 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 2,0
(a = 12,72 m; b = 6,36 m)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
108
Tabela 4.10 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m)
Współczynnik podatności podłoża C [MN/m3]
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 417,36 411,86 406,67 401,45 396,51 391,54 386,85 382,12 377,64
2 1,8 417,54 412,03 406,67 401,61 396,51 391,69 386,85 382,26 377,78
3 3,6 417,89 412,37 407,17 401,93 396,98 392,00 387,29 382,55 378,06
4 5,4 418,58 413,05 407,83 402,57 397,45 392,61 387,88 383,12 378,61
5 7,2 419,46 413,91 408,66 403,38 398,39 393,37 388,62 383,98 379,45
6 9,0 420,52 415,11 409,83 404,52 399,50 394,44 389,66 384,99 380,43
7 10,8 422,12 416,49 411,18 405,99 400,77 395,83 391,01 386,30 381,70
8 12,6 423,73 418,23 412,87 407,48 402,37 397,39 392,52 387,76 383,26
9 14,4 425,71 420,17 414,76 409,47 404,31 399,27 394,34 389,68 384,98
10 16,2 428,08 422,47 417,00 411,65 406,43 401,49 396,50 391,62 386,99
11 18,0 430,66 424,99 419,62 414,20 408,91 403,89 398,83 394,03 389,33
12 19,8 433,65 427,90 422,46 416,96 411,75 406,49 401,50 396,63 391,85
13 21,6 436,87 431,22 425,51 420,10 414,80 409,62 404,53 399,56 394,69
14 23,4 440,52 434,78 429,15 423,64 418,25 412,96 407,77 402,70 397,88
15 25,2 444,44 438,59 433,05 427,43 421,92 416,52 411,40 406,20 401,28
16 27,0 448,82 443,06 437,21 431,66 426,02 420,67 415,42 410,10 405,05
17 28,8 453,71 447,82 441,84 436,16 430,57 425,08 419,70 414,41 409,38
18 30,6 458,92 452,89 446,97 441,33 435,60 429,96 424,42 419,15 413,80
19 32,4 464,67 458,71 452,62 446,83 440,93 435,31 429,78 424,16 418,82
20 34,2 471,02 464,89 458,84 452,88 446,99 441,19 435,47 429,84 424,30
21 36,0 478,00 471,69 465,45 459,29 453,42 447,41 441,69 435,85 430,29
22 37,8 485,42 479,15 472,70 466,54 460,45 454,42 448,49 442,61 436,81
23 39,6 493,56 487,08 480,87 474,47 468,14 461,88 455,88 449,76 443,89
24 41,4 502,74 496,02 489,56 482,91 476,55 470,22 463,95 457,54 451,61
25 43,2 512,53 505,80 499,08 492,37 485,71 479,09 472,75 466,22 459,99
26 45,0 523,26 516,24 509,48 502,71 495,72 489,00 482,31 475,66 469,10
27 46,8 535,01 527,96 520,86 513,75 506,90 499,81 492,75 485,97 478,97
28 48,6 547,91 540,80 533,62 526,11 518,88 511,62 504,36 497,17 489,98
29 50,4 562,39 554,90 547,31 539,95 532,24 524,80 517,07 509,63 502,20
30 52,2 578,00 570,40 562,67 554,83 546,92 538,94 531,25 523,23 515,27
31 54,0 595,91 587,83 579,92 571,52 563,34 555,07 546,78 538,43 530,07
109
32 55,8 615,34 607,09 598,96 590,28 581,45 572,84 563,79 555,04 546,28
33 57,6 637,30 628,84 620,08 611,04 602,15 592,76 583,23 573,67 564,35
34 59,4 662,19 653,49 644,37 634,50 624,77 614,82 604,71 594,84 584,55
35 61,2 690,54 681,06 671,52 661,55 650,80 640,19 629,31 618,34 607,28
36 63,0 722,47 713,09 702,53 691,93 680,42 668,94 657,24 644,86 632,86
37 64,8 759,79 749,40 738,73 726,78 714,75 701,82 688,94 675,35 662,04
38 66,6 803,11 792,11 780,02 767,60 753,83 740,01 725,20 710,58 695,28
39 68,4 853,85 842,09 829,62 815,18 799,83 784,33 767,65 751,15 733,86
40 70,2 914,77 902,02 887,43 872,05 854,63 836,77 817,62 798,62 778,53
41 72,0 987,97 973,99 958,38 939,80 920,40 898,67 876,97 854,62 831,67
42 73,8 1078,55 1064,00 1044,90 1024,02 999,62 974,67 948,21 921,25 893,95
43 75,6 1193,04 1176,49 1155,01 1127,96 1099,20 1068,12 1035,13 1001,67 967,56
44 77,4 1341,89 1322,46 1295,50 1262,70 1225,40 1185,02 1142,31 1099,34 1057,46
45 79,2 1542,68 1518,67 1485,36 1440,63 1389,40 1335,80 1278,48 1222,27 1165,69
46 81,0 1827,27 1795,91 1748,53 1685,54 1609,91 1531,55 1452,65 1373,83 1297,99
47 82,8 2255,68 2215,57 2138,39 2035,23 1916,08 1796,61 1676,16 1560,49 1453,42
48 84,6 2981,68 2914,62 2771,19 2570,15 2358,11 2146,85 1956,03 1783,26 1633,41
49 86,4 4433,25 4295,65 3908,49 3436,34 2983,57 2602,90 2289,23 2029,25 1819,38
50 88,2 8762,16 8024,69 6228,50 4756,51 3758,10 3082,52 2598,42 2244,16 1969,94
51 90,0 62500,00 20833,33 9009,01 5714,29 4201,68 3311,26 2739,73 2331,00 2028,40
52 91,8 8762,16 8084,52 6228,50 4769,21 3758,10 3086,05 2598,42 2245,56 1969,94
53 93,6 4433,25 4295,65 3908,49 3429,33 2983,57 2602,90 2289,23 2029,25 1819,38
54 95,4 2981,68 2913,47 2768,86 2570,15 2358,11 2146,85 1956,03 1783,26 1633,41
55 97,2 2255,87 2215,57 2138,39 2033,79 1916,08 1792,17 1674,48 1558,89 1453,42
56 99,0 1827,37 1795,91 1747,96 1684,73 1608,95 1531,55 1451,57 1372,75 1296,94
57 100,8 1542,68 1518,67 1485,36 1440,63 1389,40 1335,11 1277,75 1221,53 1164,94
58 102,6 1341,93 1322,36 1295,50 1262,70 1224,99 1185,87 1143,51 1099,88 1056,91
59 104,4 1193,04 1176,42 1154,85 1129,21 1100,08 1067,78 1035,13 1001,27 967,56
60 106,2 1079,71 1064,00 1045,87 1023,85 1000,60 975,33 948,21 920,95 893,63
61 108,0 987,99 974,90 958,38 940,67 920,23 899,45 876,75 854,38 831,42
62 109,8 914,77 902,02 888,22 871,95 855,22 836,77 818,09 798,43 779,10
63 111,6 853,86 842,78 829,57 815,18 800,46 784,33 768,23 750,99 734,20
64 113,4 803,11 792,11 780,62 767,60 754,39 740,01 725,71 710,58 695,74
65 115,2 759,79 749,96 738,73 727,30 714,75 702,22 688,94 675,79 662,47
66 117,0 722,99 713,09 703,03 691,93 680,82 668,94 657,16 645,26 633,14
67 118,8 690,54 681,52 671,52 661,55 651,22 640,54 629,31 618,34 607,28
110
68 120,6 662,63 653,48 644,37 634,90 625,16 615,19 605,07 594,84 584,55
69 122,4 637,70 629,24 620,45 611,41 602,15 592,76 583,23 574,00 564,35
70 124,2 615,72 607,46 598,96 590,28 581,79 572,80 564,10 555,04 546,28
71 126,0 595,91 588,17 579,92 571,85 563,34 555,07 546,74 538,38 530,07
72 127,8 578,33 570,73 562,98 555,14 547,20 539,23 531,21 523,23 515,48
73 129,6 562,39 554,90 547,61 539,95 532,24 524,80 517,07 509,63 502,20
74 131,4 548,21 540,80 533,62 526,39 519,13 511,88 504,36 497,13 490,21
75 133,2 535,30 528,23 521,13 514,01 506,90 499,81 492,97 485,94 479,20
76 135,0 523,26 516,50 509,74 502,71 495,95 489,22 482,31 475,66 469,07
77 136,8 512,53 505,80 499,07 492,61 485,94 479,30 472,73 466,44 459,96
78 138,6 502,74 496,26 489,56 483,14 476,76 470,21 463,93 457,72 451,61
79 140,4 493,81 487,32 480,87 474,47 468,36 462,08 455,88 449,94 443,89
80 142,2 485,66 479,38 472,92 466,76 460,66 454,63 448,67 442,79 436,98
81 144,0 478,22 471,91 465,67 459,50 453,62 447,61 441,87 436,04 430,47
82 145,8 471,24 465,11 459,06 453,08 447,19 441,38 435,66 430,02 424,48
83 147,6 464,89 458,92 452,83 447,03 441,12 435,50 429,96 424,52 419,16
84 149,4 459,13 453,10 447,17 441,53 435,78 430,14 424,78 419,33 414,14
85 151,2 453,92 448,02 442,04 436,35 430,76 425,26 419,88 414,75 409,55
86 153,0 449,03 443,26 437,40 431,84 426,20 420,85 415,59 410,44 405,37
87 154,8 444,63 438,79 433,24 427,61 422,10 416,87 411,56 406,53 401,44
88 156,6 440,72 434,97 429,34 423,82 418,42 413,13 407,94 402,86 398,04
89 158,4 437,06 431,40 425,69 420,27 414,97 409,78 404,70 399,72 394,84
90 160,2 433,84 428,08 422,63 417,13 411,92 406,65 401,66 396,78 392,00
91 162,0 430,85 425,17 419,80 414,38 409,07 404,06 398,99 394,18 389,49
92 163,8 428,26 422,65 417,18 411,82 406,60 401,65 396,65 391,92 387,14
93 165,6 425,89 420,34 414,93 409,64 404,48 399,43 394,65 389,84 385,12
94 167,4 423,91 418,41 413,04 407,81 402,70 397,70 392,83 388,06 383,41
95 169,2 422,30 416,84 411,35 406,16 401,09 396,15 391,32 386,60 381,99
96 171,0 420,87 415,28 410,00 404,85 399,66 394,75 389,97 385,29 380,72
97 172,8 419,64 414,25 408,83 403,71 398,55 393,68 388,92 384,28 379,74
98 174,6 418,76 413,39 408,00 402,73 397,77 392,92 388,03 383,41 378,90
99 176,4 418,06 412,71 407,33 402,09 397,14 392,15 387,44 382,84 378,34
100 178,2 417,71 412,37 407,00 401,77 396,82 391,85 387,14 382,55 377,93
101 180,0 417,71 412,20 406,83 401,77 396,67 391,70 387,00 382,41 377,93
111
Tabela 4.11 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m)
Współczynnik kształtu k
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 0,2920 0,3012 0,3104 0,3191 0,3278 0,3362 0,3444 0,3524 0,3603
2 1,8 0,2921 0,3014 0,3104 0,3193 0,3278 0,3363 0,3444 0,3525 0,3604
3 3,6 0,2924 0,3016 0,3107 0,3195 0,3282 0,3366 0,3448 0,3528 0,3607
4 5,4 0,2928 0,3021 0,3113 0,3200 0,3286 0,3371 0,3454 0,3533 0,3612
5 7,2 0,2935 0,3027 0,3119 0,3207 0,3294 0,3377 0,3460 0,3541 0,3620
6 9,0 0,2942 0,3036 0,3128 0,3216 0,3303 0,3387 0,3470 0,3550 0,3629
7 10,8 0,2953 0,3046 0,3138 0,3228 0,3314 0,3399 0,3482 0,3562 0,3641
8 12,6 0,2964 0,3059 0,3151 0,3239 0,3327 0,3412 0,3495 0,3576 0,3656
9 14,4 0,2978 0,3073 0,3165 0,3255 0,3343 0,3428 0,3511 0,3594 0,3673
10 16,2 0,2995 0,3090 0,3183 0,3273 0,3360 0,3447 0,3530 0,3611 0,3692
11 18,0 0,3013 0,3108 0,3203 0,3293 0,3381 0,3468 0,3551 0,3634 0,3714
12 19,8 0,3034 0,3130 0,3224 0,3315 0,3404 0,3490 0,3575 0,3658 0,3738
13 21,6 0,3056 0,3154 0,3247 0,3340 0,3430 0,3517 0,3602 0,3685 0,3765
14 23,4 0,3082 0,3180 0,3275 0,3368 0,3458 0,3546 0,3631 0,3714 0,3796
15 25,2 0,3109 0,3208 0,3305 0,3398 0,3488 0,3576 0,3663 0,3746 0,3828
16 27,0 0,3140 0,3241 0,3337 0,3432 0,3522 0,3612 0,3699 0,3782 0,3864
17 28,8 0,3174 0,3275 0,3372 0,3467 0,3560 0,3650 0,3737 0,3822 0,3905
18 30,6 0,3211 0,3312 0,3411 0,3509 0,3602 0,3692 0,3779 0,3865 0,3948
19 32,4 0,3251 0,3355 0,3454 0,3552 0,3646 0,3738 0,3827 0,3912 0,3996
20 34,2 0,3295 0,3400 0,3502 0,3600 0,3696 0,3788 0,3877 0,3964 0,4048
21 36,0 0,3344 0,3450 0,3552 0,3651 0,3749 0,3841 0,3933 0,4019 0,4105
22 37,8 0,3396 0,3504 0,3608 0,3709 0,3807 0,3902 0,3993 0,4082 0,4167
23 39,6 0,3453 0,3562 0,3670 0,3772 0,3871 0,3966 0,4059 0,4148 0,4235
24 41,4 0,3517 0,3628 0,3736 0,3839 0,3940 0,4037 0,4131 0,4219 0,4308
25 43,2 0,3586 0,3699 0,3809 0,3914 0,4016 0,4113 0,4209 0,4299 0,4388
26 45,0 0,3661 0,3776 0,3888 0,3997 0,4099 0,4199 0,4294 0,4387 0,4475
27 46,8 0,3743 0,3861 0,3975 0,4084 0,4191 0,4291 0,4387 0,4482 0,4569
28 48,6 0,3833 0,3955 0,4073 0,4183 0,4290 0,4393 0,4491 0,4585 0,4674
29 50,4 0,3935 0,4059 0,4177 0,4293 0,4401 0,4506 0,4604 0,4700 0,4791
30 52,2 0,4044 0,4172 0,4294 0,4411 0,4522 0,4627 0,4730 0,4825 0,4916
112
31 54,0 0,4169 0,4299 0,4426 0,4544 0,4658 0,4766 0,4869 0,4965 0,5057
32 55,8 0,4305 0,4440 0,4571 0,4693 0,4807 0,4918 0,5020 0,5119 0,5211
33 57,6 0,4459 0,4599 0,4732 0,4858 0,4979 0,5089 0,5193 0,5290 0,5384
34 59,4 0,4633 0,4780 0,4918 0,5044 0,5166 0,5279 0,5384 0,5486 0,5577
35 61,2 0,4831 0,4981 0,5125 0,5259 0,5381 0,5497 0,5603 0,5702 0,5793
36 63,0 0,5054 0,5216 0,5362 0,5501 0,5626 0,5744 0,5852 0,5947 0,6037
37 64,8 0,5315 0,5481 0,5638 0,5778 0,5910 0,6026 0,6134 0,6228 0,6316
38 66,6 0,5619 0,5793 0,5953 0,6102 0,6233 0,6354 0,6457 0,6553 0,6633
39 68,4 0,5974 0,6159 0,6332 0,6481 0,6613 0,6734 0,6835 0,6927 0,7001
40 70,2 0,6400 0,6597 0,6773 0,6933 0,7066 0,7184 0,7280 0,7365 0,7427
41 72,0 0,6912 0,7124 0,7314 0,7471 0,7610 0,7716 0,7809 0,7881 0,7934
42 73,8 0,7546 0,7782 0,7975 0,8141 0,8265 0,8369 0,8443 0,8496 0,8528
43 75,6 0,8347 0,8605 0,8815 0,8967 0,9088 0,9171 0,9217 0,9237 0,9231
44 77,4 0,9388 0,9672 0,9887 1,0038 1,0132 1,0175 1,0171 1,0138 1,0088
45 79,2 1,0793 1,1108 1,1336 1,1453 1,1488 1,1469 1,1384 1,1272 1,1121
46 81,0 1,2784 1,3135 1,3345 1,3400 1,3311 1,3150 1,2934 1,2669 1,2383
47 82,8 1,5781 1,6205 1,6320 1,6180 1,5842 1,5426 1,4925 1,4391 1,3866
48 84,6 2,0860 2,1318 2,1150 2,0433 1,9497 1,8433 1,7417 1,6445 1,5583
49 86,4 3,1015 3,1418 2,9830 2,7319 2,4668 2,2348 2,0383 1,8714 1,7357
50 88,2 6,1300 5,8693 4,7536 3,7814 3,1072 2,6466 2,3136 2,0696 1,8793
51 90,0 43,7250 15,2375 6,8757 4,5429 3,4739 2,8430 2,4395 2,1497 1,9351
52 91,8 6,1300 5,9130 4,7536 3,7915 3,1072 2,6497 2,3136 2,0709 1,8793
53 93,6 3,1015 3,1418 2,9830 2,7263 2,4668 2,2348 2,0383 1,8714 1,7357
54 95,4 2,0860 2,1309 2,1132 2,0433 1,9497 1,8433 1,7417 1,6445 1,5583
55 97,2 1,5782 1,6205 1,6320 1,6169 1,5842 1,5388 1,4910 1,4376 1,3866
56 99,0 1,2784 1,3135 1,3340 1,3394 1,3303 1,3150 1,2925 1,2660 1,2373
57 100,8 1,0793 1,1108 1,1336 1,1453 1,1488 1,1463 1,1377 1,1265 1,1114
58 102,6 0,9388 0,9672 0,9887 1,0038 1,0128 1,0182 1,0182 1,0143 1,0083
59 104,4 0,8347 0,8604 0,8814 0,8977 0,9095 0,9168 0,9217 0,9234 0,9231
60 106,2 0,7554 0,7782 0,7982 0,8140 0,8273 0,8374 0,8443 0,8493 0,8525
61 108,0 0,6912 0,7130 0,7314 0,7478 0,7608 0,7723 0,7807 0,7879 0,7932
62 109,8 0,6400 0,6597 0,6779 0,6932 0,7071 0,7184 0,7284 0,7363 0,7433
63 111,6 0,5974 0,6164 0,6331 0,6481 0,6618 0,6734 0,6840 0,6926 0,7004
64 113,4 0,5619 0,5793 0,5958 0,6102 0,6237 0,6354 0,6462 0,6553 0,6637
65 115,2 0,5315 0,5485 0,5638 0,5782 0,5910 0,6029 0,6134 0,6232 0,6320
66 117,0 0,5058 0,5216 0,5365 0,5501 0,5629 0,5744 0,5851 0,5951 0,6040
113
67 118,8 0,4831 0,4985 0,5125 0,5259 0,5384 0,5500 0,5603 0,5702 0,5793
68 120,6 0,4636 0,4780 0,4918 0,5047 0,5169 0,5282 0,5388 0,5486 0,5577
69 122,4 0,4461 0,4602 0,4735 0,4861 0,4979 0,5089 0,5193 0,5293 0,5384
70 124,2 0,4308 0,4443 0,4571 0,4693 0,4810 0,4918 0,5023 0,5119 0,5211
71 126,0 0,4169 0,4302 0,4426 0,4546 0,4658 0,4766 0,4868 0,4965 0,5057
72 127,8 0,4046 0,4174 0,4297 0,4413 0,4524 0,4630 0,4730 0,4825 0,4918
73 129,6 0,3935 0,4059 0,4179 0,4293 0,4401 0,4506 0,4604 0,4700 0,4791
74 131,4 0,3835 0,3955 0,4073 0,4185 0,4292 0,4395 0,4491 0,4585 0,4677
75 133,2 0,3745 0,3863 0,3977 0,4086 0,4191 0,4291 0,4389 0,4481 0,4572
76 135,0 0,3661 0,3778 0,3890 0,3997 0,4101 0,4200 0,4294 0,4387 0,4475
77 136,8 0,3586 0,3699 0,3809 0,3916 0,4018 0,4115 0,4209 0,4301 0,4388
78 138,6 0,3517 0,3630 0,3736 0,3841 0,3942 0,4037 0,4131 0,4221 0,4308
79 140,4 0,3455 0,3564 0,3670 0,3772 0,3872 0,3967 0,4059 0,4149 0,4235
80 142,2 0,3398 0,3506 0,3609 0,3711 0,3809 0,3903 0,3995 0,4083 0,4169
81 144,0 0,3346 0,3452 0,3554 0,3653 0,3751 0,3843 0,3934 0,4021 0,4107
82 145,8 0,3297 0,3402 0,3504 0,3602 0,3697 0,3790 0,3879 0,3966 0,4050
83 147,6 0,3252 0,3357 0,3456 0,3554 0,3647 0,3739 0,3828 0,3915 0,3999
84 149,4 0,3212 0,3314 0,3413 0,3510 0,3603 0,3693 0,3782 0,3867 0,3951
85 151,2 0,3176 0,3277 0,3374 0,3469 0,3562 0,3651 0,3739 0,3825 0,3907
86 153,0 0,3141 0,3242 0,3338 0,3433 0,3524 0,3613 0,3700 0,3785 0,3867
87 154,8 0,3111 0,3209 0,3306 0,3400 0,3490 0,3579 0,3665 0,3749 0,3830
88 156,6 0,3083 0,3181 0,3277 0,3369 0,3460 0,3547 0,3632 0,3715 0,3797
89 158,4 0,3058 0,3155 0,3249 0,3341 0,3431 0,3518 0,3603 0,3686 0,3767
90 160,2 0,3035 0,3131 0,3226 0,3316 0,3406 0,3492 0,3576 0,3659 0,3740
91 162,0 0,3014 0,3110 0,3204 0,3294 0,3382 0,3469 0,3553 0,3635 0,3716
92 163,8 0,2996 0,3091 0,3184 0,3274 0,3362 0,3449 0,3532 0,3614 0,3693
93 165,6 0,2980 0,3074 0,3167 0,3257 0,3344 0,3429 0,3514 0,3595 0,3674
94 167,4 0,2966 0,3060 0,3152 0,3242 0,3329 0,3415 0,3498 0,3579 0,3658
95 169,2 0,2954 0,3049 0,3139 0,3229 0,3316 0,3401 0,3484 0,3565 0,3644
96 171,0 0,2944 0,3037 0,3129 0,3219 0,3304 0,3389 0,3472 0,3553 0,3632
97 172,8 0,2936 0,3030 0,3120 0,3209 0,3295 0,3380 0,3463 0,3544 0,3623
98 174,6 0,2930 0,3024 0,3114 0,3202 0,3289 0,3374 0,3455 0,3536 0,3615
99 176,4 0,2925 0,3019 0,3109 0,3197 0,3284 0,3367 0,3450 0,3531 0,3609
100 178,2 0,2922 0,3016 0,3106 0,3194 0,3281 0,3364 0,3447 0,3528 0,3605
101 180,0 0,2922 0,3015 0,3105 0,3194 0,3280 0,3363 0,3446 0,3527 0,3605
114
4.3.3.2. Dla a/b = 1,75
Rysunek 4.36 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.37 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,75
(a = 11,13 m; b = 6,36 m)
0
2500
5000
7500
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
115
Tabela 4.12 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m)
Współczynnik podatności podłoża C [MN/m3]
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 513,87 505,82 497,76 489,96 482,63 475,29 468,38 461,47 454,96
2 1,8 514,14 505,82 498,00 490,19 482,62 475,50 468,60 461,67 455,16
3 3,6 514,66 506,32 498,49 490,66 483,30 475,94 469,01 462,07 455,54
4 5,4 515,45 507,34 499,22 491,36 483,98 476,59 469,63 462,88 456,31
5 7,2 516,78 508,36 500,20 492,55 485,11 477,68 470,68 463,89 457,28
6 9,0 518,10 509,89 501,68 493,97 486,49 478,99 471,94 465,09 458,44
7 10,8 519,98 511,70 503,67 495,63 488,09 480,76 473,63 466,72 459,99
8 12,6 522,41 513,77 505,67 497,80 490,16 482,75 475,56 468,56 461,76
9 14,4 524,86 516,40 508,19 500,23 492,50 484,98 477,69 470,83 463,94
10 16,2 527,88 519,31 510,99 502,91 495,33 487,70 480,30 473,33 466,34
11 18,0 531,22 522,52 514,34 506,14 498,42 490,67 483,38 476,07 469,17
12 19,8 535,18 526,32 518,00 509,66 501,80 494,15 486,72 479,26 472,22
13 21,6 539,48 530,46 521,98 513,74 505,71 497,91 490,33 482,94 475,74
14 23,4 544,13 535,22 526,56 518,13 509,93 501,95 494,44 486,88 479,75
15 25,2 549,17 540,36 531,50 522,87 514,75 506,56 498,86 491,36 483,79
16 27,0 554,92 545,90 537,10 528,24 519,89 511,75 503,85 496,12 488,58
17 28,8 561,41 552,14 543,10 534,28 525,69 517,32 509,14 501,18 493,67
18 30,6 568,38 558,84 549,52 540,74 531,87 523,51 515,07 507,12 499,33
19 32,4 575,85 566,32 556,70 547,62 538,77 530,10 521,64 513,39 505,33
20 34,2 584,19 574,35 564,70 555,29 546,10 537,41 528,64 520,08 511,94
21 36,0 593,12 582,91 573,27 563,80 554,25 545,18 536,36 527,41 518,99
22 37,8 603,05 592,79 582,73 572,87 563,21 553,76 544,56 535,52 526,96
23 39,6 613,69 603,35 592,85 582,56 572,80 563,24 553,57 544,42 535,41
24 41,4 625,46 614,67 604,06 593,60 583,37 573,30 563,47 554,11 544,69
25 43,2 638,52 627,20 616,40 605,40 594,95 584,39 574,33 564,45 554,78
26 45,0 652,54 641,01 629,63 618,41 607,37 596,88 586,22 575,77 565,85
27 46,8 668,08 656,33 644,28 632,74 621,42 610,27 598,89 588,15 577,61
28 48,6 685,29 672,82 660,41 648,60 636,47 624,52 613,22 601,68 590,78
29 50,4 704,39 691,51 678,29 665,60 653,05 640,66 628,46 616,84 605,15
30 52,2 725,09 711,79 698,03 684,84 671,32 658,41 645,68 633,14 620,83
116
31 54,0 748,68 734,33 719,99 705,63 691,96 677,95 664,16 650,90 637,96
32 55,8 774,44 759,44 744,32 729,30 714,28 699,51 684,94 670,47 656,68
33 57,6 803,27 787,50 771,53 755,63 739,15 723,34 707,84 692,43 677,29
34 59,4 836,45 819,64 801,98 784,88 767,36 750,41 733,63 716,58 700,33
35 61,2 873,86 855,13 836,17 817,75 798,69 780,34 761,79 743,90 726,31
36 63,0 916,36 896,10 875,48 854,70 834,58 813,89 793,44 773,89 754,67
37 64,8 964,94 942,93 920,29 897,40 874,46 852,10 829,51 807,30 786,14
38 66,6 1021,03 996,49 972,19 946,57 920,87 895,31 870,08 845,97 821,74
39 68,4 1087,37 1059,71 1032,19 1003,11 973,93 944,92 916,34 889,06 861,76
40 70,2 1168,02 1136,10 1103,02 1069,36 1035,60 1003,45 970,49 938,34 907,88
41 72,0 1260,87 1224,79 1186,11 1146,37 1106,59 1068,33 1030,34 993,00 957,78
42 73,8 1376,85 1331,83 1284,54 1237,93 1190,60 1144,70 1099,55 1056,41 1014,18
43 75,6 1517,47 1463,34 1404,91 1346,88 1290,01 1233,18 1178,97 1126,89 1077,77
44 77,4 1700,09 1626,77 1553,39 1479,67 1407,42 1336,37 1270,39 1207,22 1148,96
45 79,2 1932,82 1835,75 1736,17 1639,41 1545,06 1456,04 1373,04 1297,44 1226,64
46 81,0 2246,41 2104,45 1964,85 1833,96 1708,99 1594,37 1488,54 1395,68 1310,52
47 82,8 2677,49 2457,71 2255,96 2064,28 1895,68 1746,62 1614,80 1498,56 1394,89
48 84,6 3283,09 2924,06 2606,25 2334,02 2097,43 1903,67 1739,06 1598,33 1477,13
49 86,4 4134,00 3486,61 2991,75 2605,93 2298,44 2053,84 1854,06 1685,65 1547,38
50 88,2 5127,73 4062,69 3334,48 2831,74 2452,00 2159,69 1933,31 1745,91 1594,30
51 90,0 5681,82 4310,34 3484,32 2915,45 2512,56 2202,64 1960,78 1769,91 1610,31
52 91,8 5127,73 4041,60 3334,48 2823,99 2450,69 2159,69 1932,64 1745,91 1591,79
53 93,6 4109,97 3479,40 2987,11 2599,90 2296,27 2052,27 1850,84 1685,65 1544,39
54 95,4 3268,15 2912,04 2596,69 2326,41 2097,43 1903,67 1736,41 1596,05 1475,15
55 97,2 2667,85 2452,72 2248,82 2058,27 1890,62 1744,24 1611,17 1495,46 1392,22
56 99,0 2239,83 2100,56 1961,63 1829,25 1704,88 1590,78 1486,90 1392,95 1306,77
57 100,8 1928,07 1831,31 1733,53 1635,71 1541,73 1453,06 1370,39 1295,07 1225,53
58 102,6 1696,50 1625,82 1550,19 1476,70 1404,69 1333,89 1268,12 1205,17 1147,10
59 104,4 1517,47 1461,31 1404,17 1345,24 1287,75 1231,09 1177,04 1126,13 1076,13
60 106,2 1375,00 1329,63 1282,43 1236,52 1188,71 1141,78 1097,89 1053,94 1012,75
61 108,0 1259,32 1221,89 1184,34 1144,67 1104,98 1066,29 1028,90 991,65 956,51
62 109,8 1165,10 1133,29 1100,35 1067,91 1034,21 1000,80 967,97 936,74 905,64
63 111,6 1087,18 1059,47 1030,89 1001,85 972,71 943,76 916,00 888,01 860,76
64 113,4 1020,87 996,29 971,05 945,46 919,80 894,28 869,79 845,02 820,84
65 115,2 964,02 941,89 919,28 897,20 874,24 851,42 828,86 807,30 785,58
66 117,0 915,42 895,17 874,58 854,70 833,91 813,26 793,44 773,33 754,15
117
67 118,8 873,01 854,30 836,03 816,95 798,69 779,76 761,61 743,19 725,62
68 120,6 836,37 818,87 801,23 784,28 767,22 749,72 732,95 716,42 700,33
69 122,4 803,27 787,42 770,84 754,96 739,03 723,34 707,70 692,29 677,29
70 124,2 774,38 759,37 744,32 729,21 714,28 699,40 684,82 670,35 656,26
71 126,0 748,08 734,26 719,91 705,63 691,39 677,85 664,05 650,49 637,46
72 127,8 725,04 711,23 697,96 684,30 671,24 658,32 645,18 632,66 620,36
73 129,6 704,35 691,03 678,23 665,53 652,97 640,58 628,46 616,47 604,70
74 131,4 685,26 672,77 660,35 648,54 636,41 624,52 613,14 601,60 590,70
75 133,2 668,05 656,29 644,23 632,74 621,36 609,84 598,89 588,07 577,54
76 135,0 652,54 641,01 629,63 618,36 607,32 596,47 586,16 575,70 565,47
77 136,8 638,52 627,17 616,37 605,36 594,95 584,34 574,27 564,39 554,78
78 138,6 625,46 614,64 604,03 593,56 583,33 573,25 563,42 554,11 544,64
79 140,4 613,67 603,35 592,85 582,86 572,76 563,20 553,53 544,37 535,41
80 142,2 603,03 592,77 582,70 572,87 563,21 553,76 544,51 535,76 526,92
81 144,0 593,10 583,25 573,24 563,80 554,22 545,18 536,32 527,69 519,22
82 145,8 584,17 574,33 564,70 555,29 546,40 537,38 528,60 520,04 511,94
83 147,6 575,83 566,32 557,01 547,62 538,74 530,08 521,61 513,39 505,33
84 149,4 568,38 558,82 549,82 540,72 531,87 523,49 515,07 507,09 499,33
85 151,2 561,41 552,14 543,08 534,26 525,67 517,30 509,40 501,43 493,67
86 153,0 555,23 545,89 537,08 528,52 520,16 511,75 503,82 496,09 488,58
87 154,8 549,47 540,36 531,77 523,14 514,73 506,82 498,86 491,34 484,02
88 156,6 544,13 535,22 526,56 518,40 510,19 502,21 494,44 487,11 479,75
89 158,4 539,47 530,74 522,25 513,99 505,71 497,91 490,55 483,17 475,97
90 160,2 535,17 526,60 518,00 509,91 502,04 494,15 486,72 479,47 472,44
91 162,0 531,50 522,80 514,34 506,39 498,42 490,91 483,38 476,28 469,37
92 163,8 528,16 519,58 511,25 503,17 495,33 487,94 480,53 473,55 466,54
93 165,6 525,13 516,66 508,44 500,47 492,73 485,22 477,92 471,05 464,15
94 167,4 522,41 514,04 505,92 498,05 490,40 482,98 475,77 468,78 461,97
95 169,2 520,25 511,96 503,92 495,88 488,32 480,98 473,86 466,94 460,20
96 171,0 518,37 510,15 501,93 494,21 486,72 479,21 472,16 465,30 458,65
97 172,8 516,78 508,62 500,45 492,79 485,35 477,90 470,90 464,10 457,49
98 174,6 515,72 507,34 499,47 491,60 484,21 476,81 469,85 463,09 456,52
99 176,4 514,93 506,58 498,74 490,90 483,54 476,16 469,23 462,28 455,74
100 178,2 514,40 506,07 498,25 490,43 483,09 475,73 468,81 461,88 455,36
101 180,0 514,40 506,07 498,01 490,44 482,86 475,51 468,60 461,89 455,17
118
Tabela 4.13 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m)
Współczynnik kształtu k
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 0,3595 0,3700 0,3799 0,3895 0,3990 0,4081 0,4170 0,4256 0,4340
2 1,8 0,3597 0,3700 0,3801 0,3897 0,3990 0,4083 0,4172 0,4258 0,4342
3 3,6 0,3601 0,3703 0,3804 0,3901 0,3996 0,4086 0,4176 0,4261 0,4346
4 5,4 0,3606 0,3711 0,3810 0,3906 0,4002 0,4092 0,4182 0,4269 0,4353
5 7,2 0,3615 0,3718 0,3818 0,3916 0,4011 0,4101 0,4191 0,4278 0,4362
6 9,0 0,3625 0,3729 0,3829 0,3927 0,4022 0,4113 0,4202 0,4289 0,4373
7 10,8 0,3638 0,3743 0,3844 0,3940 0,4035 0,4128 0,4217 0,4304 0,4388
8 12,6 0,3655 0,3758 0,3859 0,3958 0,4053 0,4145 0,4234 0,4321 0,4405
9 14,4 0,3672 0,3777 0,3879 0,3977 0,4072 0,4164 0,4253 0,4342 0,4426
10 16,2 0,3693 0,3798 0,3900 0,3998 0,4095 0,4187 0,4277 0,4365 0,4449
11 18,0 0,3716 0,3822 0,3925 0,4024 0,4121 0,4213 0,4304 0,4390 0,4476
12 19,8 0,3744 0,3850 0,3953 0,4052 0,4149 0,4243 0,4334 0,4420 0,4505
13 21,6 0,3774 0,3880 0,3984 0,4084 0,4181 0,4275 0,4366 0,4454 0,4539
14 23,4 0,3807 0,3915 0,4019 0,4119 0,4216 0,4310 0,4402 0,4490 0,4577
15 25,2 0,3842 0,3952 0,4056 0,4157 0,4256 0,4349 0,4442 0,4531 0,4615
16 27,0 0,3882 0,3993 0,4099 0,4200 0,4298 0,4394 0,4486 0,4575 0,4661
17 28,8 0,3928 0,4038 0,4145 0,4248 0,4346 0,4442 0,4533 0,4622 0,4710
18 30,6 0,3976 0,4087 0,4194 0,4299 0,4397 0,4495 0,4586 0,4677 0,4764
19 32,4 0,4029 0,4142 0,4249 0,4354 0,4455 0,4551 0,4645 0,4734 0,4821
20 34,2 0,4087 0,4201 0,4310 0,4415 0,4515 0,4614 0,4707 0,4796 0,4884
21 36,0 0,4149 0,4263 0,4375 0,4482 0,4583 0,4681 0,4776 0,4864 0,4951
22 37,8 0,4219 0,4336 0,4447 0,4554 0,4657 0,4755 0,4849 0,4939 0,5027
23 39,6 0,4293 0,4413 0,4525 0,4631 0,4736 0,4836 0,4929 0,5021 0,5108
24 41,4 0,4376 0,4496 0,4610 0,4719 0,4823 0,4922 0,5017 0,5110 0,5196
25 43,2 0,4467 0,4587 0,4704 0,4813 0,4919 0,5018 0,5114 0,5205 0,5293
26 45,0 0,4565 0,4688 0,4805 0,4916 0,5022 0,5125 0,5220 0,5310 0,5398
27 46,8 0,4674 0,4800 0,4917 0,5030 0,5138 0,5240 0,5333 0,5424 0,5510
28 48,6 0,4794 0,4921 0,5040 0,5156 0,5262 0,5362 0,5460 0,5549 0,5636
29 50,4 0,4928 0,5058 0,5177 0,5292 0,5399 0,5501 0,5596 0,5689 0,5773
30 52,2 0,5073 0,5206 0,5327 0,5444 0,5550 0,5653 0,5749 0,5839 0,5923
119
31 54,0 0,5238 0,5371 0,5495 0,5610 0,5721 0,5821 0,5914 0,6003 0,6086
32 55,8 0,5418 0,5555 0,5681 0,5798 0,5906 0,6006 0,6099 0,6183 0,6265
33 57,6 0,5620 0,5760 0,5888 0,6007 0,6111 0,6211 0,6303 0,6386 0,6461
34 59,4 0,5852 0,5995 0,6121 0,6240 0,6345 0,6443 0,6532 0,6608 0,6681
35 61,2 0,6114 0,6254 0,6382 0,6501 0,6604 0,6700 0,6783 0,6860 0,6929
36 63,0 0,6411 0,6554 0,6682 0,6795 0,6900 0,6988 0,7065 0,7137 0,7200
37 64,8 0,6751 0,6897 0,7024 0,7134 0,7230 0,7316 0,7386 0,7445 0,7500
38 66,6 0,7143 0,7288 0,7420 0,7525 0,7614 0,7687 0,7747 0,7802 0,7839
39 68,4 0,7607 0,7751 0,7878 0,7975 0,8052 0,8113 0,8159 0,8199 0,8221
40 70,2 0,8171 0,8309 0,8418 0,8501 0,8562 0,8616 0,8641 0,8653 0,8661
41 72,0 0,8821 0,8958 0,9052 0,9114 0,9149 0,9173 0,9174 0,9157 0,9137
42 73,8 0,9632 0,9741 0,9804 0,9842 0,9844 0,9828 0,9790 0,9742 0,9675
43 75,6 1,0616 1,0703 1,0722 1,0708 1,0666 1,0588 1,0498 1,0392 1,0282
44 77,4 1,1894 1,1898 1,1855 1,1763 1,1637 1,1474 1,1312 1,1133 1,0961
45 79,2 1,3522 1,3427 1,3250 1,3033 1,2775 1,2502 1,2226 1,1965 1,1702
46 81,0 1,5716 1,5392 1,4996 1,4580 1,4130 1,3689 1,3254 1,2871 1,2502
47 82,8 1,8732 1,7976 1,7218 1,6411 1,5673 1,4996 1,4378 1,3820 1,3307
48 84,6 2,2968 2,1387 1,9891 1,8555 1,7342 1,6345 1,5485 1,4740 1,4092
49 86,4 2,8921 2,5501 2,2833 2,0717 1,9003 1,7634 1,6509 1,5545 1,4762
50 88,2 3,5874 2,9715 2,5449 2,2512 2,0273 1,8543 1,7214 1,6101 1,5210
51 90,0 3,9750 3,1526 2,6592 2,3178 2,0774 1,8912 1,7459 1,6322 1,5362
52 91,8 3,5874 2,9560 2,5449 2,2451 2,0262 1,8543 1,7208 1,6101 1,5186
53 93,6 2,8753 2,5448 2,2798 2,0669 1,8986 1,7621 1,6480 1,5545 1,4734
54 95,4 2,2864 2,1299 1,9818 1,8495 1,7342 1,6345 1,5461 1,4719 1,4073
55 97,2 1,8664 1,7939 1,7163 1,6363 1,5632 1,4976 1,4346 1,3791 1,3282
56 99,0 1,5670 1,5363 1,4971 1,4543 1,4096 1,3658 1,3239 1,2846 1,2467
57 100,8 1,3489 1,3394 1,3230 1,3004 1,2747 1,2476 1,2202 1,1943 1,1692
58 102,6 1,1869 1,1891 1,1831 1,1740 1,1614 1,1453 1,1291 1,1114 1,0943
59 104,4 1,0616 1,0688 1,0717 1,0695 1,0647 1,0570 1,0480 1,0385 1,0266
60 106,2 0,9620 0,9725 0,9787 0,9830 0,9828 0,9803 0,9776 0,9719 0,9662
61 108,0 0,8810 0,8937 0,9039 0,9100 0,9136 0,9155 0,9161 0,9145 0,9125
62 109,8 0,8151 0,8289 0,8398 0,8490 0,8551 0,8593 0,8619 0,8639 0,8640
63 111,6 0,7606 0,7749 0,7868 0,7965 0,8042 0,8103 0,8156 0,8189 0,8212
64 113,4 0,7142 0,7287 0,7411 0,7516 0,7605 0,7678 0,7745 0,7793 0,7831
65 115,2 0,6744 0,6889 0,7016 0,7133 0,7228 0,7310 0,7380 0,7445 0,7494
66 117,0 0,6404 0,6547 0,6675 0,6795 0,6895 0,6983 0,7065 0,7132 0,7195
120
67 118,8 0,6108 0,6248 0,6381 0,6495 0,6604 0,6695 0,6781 0,6854 0,6922
68 120,6 0,5851 0,5989 0,6115 0,6235 0,6343 0,6437 0,6526 0,6607 0,6681
69 122,4 0,5620 0,5759 0,5883 0,6002 0,6110 0,6211 0,6301 0,6384 0,6461
70 124,2 0,5418 0,5554 0,5681 0,5797 0,5906 0,6005 0,6098 0,6182 0,6261
71 126,0 0,5234 0,5370 0,5494 0,5610 0,5716 0,5820 0,5913 0,5999 0,6081
72 127,8 0,5072 0,5202 0,5327 0,5440 0,5550 0,5652 0,5745 0,5834 0,5918
73 129,6 0,4928 0,5054 0,5176 0,5291 0,5399 0,5500 0,5596 0,5685 0,5769
74 131,4 0,4794 0,4921 0,5040 0,5156 0,5262 0,5362 0,5459 0,5548 0,5635
75 133,2 0,4674 0,4800 0,4917 0,5030 0,5137 0,5236 0,5333 0,5423 0,5510
76 135,0 0,4565 0,4688 0,4805 0,4916 0,5021 0,5121 0,5219 0,5309 0,5395
77 136,8 0,4467 0,4587 0,4704 0,4813 0,4919 0,5017 0,5113 0,5205 0,5293
78 138,6 0,4376 0,4495 0,4610 0,4719 0,4823 0,4922 0,5017 0,5110 0,5196
79 140,4 0,4293 0,4413 0,4525 0,4634 0,4736 0,4836 0,4929 0,5020 0,5108
80 142,2 0,4219 0,4336 0,4447 0,4554 0,4657 0,4755 0,4848 0,4941 0,5027
81 144,0 0,4149 0,4266 0,4375 0,4482 0,4582 0,4681 0,4775 0,4866 0,4953
82 145,8 0,4087 0,4201 0,4310 0,4415 0,4518 0,4614 0,4707 0,4796 0,4884
83 147,6 0,4029 0,4142 0,4251 0,4354 0,4454 0,4551 0,4644 0,4734 0,4821
84 149,4 0,3976 0,4087 0,4196 0,4299 0,4397 0,4495 0,4586 0,4676 0,4764
85 151,2 0,3928 0,4038 0,4145 0,4247 0,4346 0,4442 0,4536 0,4624 0,4710
86 153,0 0,3884 0,3993 0,4099 0,4202 0,4301 0,4394 0,4486 0,4575 0,4661
87 154,8 0,3844 0,3952 0,4058 0,4159 0,4256 0,4352 0,4442 0,4531 0,4618
88 156,6 0,3807 0,3915 0,4019 0,4121 0,4218 0,4312 0,4402 0,4492 0,4577
89 158,4 0,3774 0,3882 0,3986 0,4086 0,4181 0,4275 0,4368 0,4456 0,4541
90 160,2 0,3744 0,3852 0,3953 0,4054 0,4151 0,4243 0,4334 0,4422 0,4507
91 162,0 0,3718 0,3824 0,3925 0,4026 0,4121 0,4215 0,4304 0,4392 0,4478
92 163,8 0,3695 0,3800 0,3902 0,4000 0,4095 0,4189 0,4279 0,4367 0,4451
93 165,6 0,3674 0,3779 0,3880 0,3979 0,4074 0,4166 0,4255 0,4344 0,4428
94 167,4 0,3655 0,3760 0,3861 0,3959 0,4055 0,4147 0,4236 0,4323 0,4407
95 169,2 0,3640 0,3744 0,3846 0,3942 0,4037 0,4130 0,4219 0,4306 0,4390
96 171,0 0,3627 0,3731 0,3831 0,3929 0,4024 0,4115 0,4204 0,4291 0,4375
97 172,8 0,3615 0,3720 0,3819 0,3918 0,4013 0,4103 0,4193 0,4280 0,4364
98 174,6 0,3608 0,3711 0,3812 0,3908 0,4003 0,4094 0,4184 0,4271 0,4355
99 176,4 0,3602 0,3705 0,3806 0,3903 0,3998 0,4088 0,4178 0,4263 0,4348
100 178,2 0,3599 0,3701 0,3803 0,3899 0,3994 0,4085 0,4174 0,4259 0,4344
101 180,0 0,3599 0,3701 0,3801 0,3899 0,3992 0,4083 0,4172 0,4260 0,4342
121
4.3.3.3. Dla a/b = 1,50
Rysunek 4.38 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o
stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.39 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,5
(a = 9,54 m; b = 6,36 m)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
122
Tabela 4.14 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m)
Współczynnik podatności podłoża C [MN/m3]
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 655,74 642,26 629,33 617,28 605,33 594,18 583,09 572,74 562,43
2 1,8 655,73 642,66 629,70 617,26 605,67 594,15 583,40 572,71 562,71
3 3,6 656,55 643,03 630,05 617,97 605,97 594,78 583,66 573,27 563,24
4 5,4 657,35 644,19 631,15 619,01 606,96 595,71 584,54 574,11 564,03
5 7,2 659,00 645,76 632,63 620,41 608,28 596,95 586,04 575,20 565,06
6 9,0 661,06 647,71 634,48 622,14 610,28 598,51 587,52 576,90 566,68
7 10,8 663,55 650,05 637,10 624,24 612,27 600,72 589,62 578,89 568,56
8 12,6 666,49 652,83 639,71 627,09 614,98 603,29 592,02 581,16 570,71
9 14,4 669,84 656,01 643,13 630,33 618,01 606,16 594,73 583,72 573,43
10 16,2 674,14 660,07 646,56 633,95 621,43 609,39 598,15 586,92 576,45
11 18,0 678,46 664,57 650,81 637,97 625,23 613,32 601,50 590,42 579,77
12 19,8 683,73 669,12 655,50 642,43 629,81 617,26 605,55 594,29 583,38
13 21,6 689,06 674,60 660,68 647,29 634,40 621,97 610,36 598,79 587,63
14 23,4 695,40 680,55 666,74 653,02 639,80 627,41 615,13 603,64 592,20
15 25,2 702,27 687,55 672,91 659,21 646,06 632,92 620,70 608,85 597,46
16 27,0 709,79 694,64 680,01 665,91 652,37 639,26 626,68 614,48 603,06
17 28,8 718,45 702,82 687,72 673,63 659,59 646,06 633,42 620,82 609,10
18 30,6 727,28 711,58 696,45 681,39 667,33 653,76 640,27 627,64 615,45
19 32,4 737,42 721,08 705,40 690,28 675,69 661,55 648,40 635,29 622,64
20 34,2 748,29 731,84 715,52 699,71 685,02 670,84 656,63 643,42 630,57
21 36,0 760,00 742,85 726,38 710,40 694,97 680,18 665,81 652,04 639,04
22 37,8 773,20 755,25 738,56 721,83 705,69 690,59 676,11 661,60 648,00
23 39,6 786,88 768,66 751,06 734,05 717,64 701,78 686,48 671,72 657,88
24 41,4 802,79 783,58 765,03 747,67 730,37 714,19 698,55 683,00 668,31
25 43,2 819,37 799,59 780,59 762,23 744,50 727,38 710,73 694,80 679,88
26 45,0 837,81 816,95 797,42 777,79 759,56 741,95 724,29 707,90 692,09
27 46,8 857,83 836,31 815,33 795,21 775,63 757,44 739,36 722,26 705,44
28 48,6 879,47 856,99 835,40 813,87 793,55 774,11 755,18 737,62 720,00
29 50,4 903,66 879,48 856,98 834,34 813,34 792,85 772,72 753,68 735,54
30 52,2 929,88 904,76 880,22 857,20 834,50 812,40 791,93 771,42 752,44
123
31 54,0 959,46 932,73 906,82 882,02 857,83 834,78 812,34 790,75 770,26
32 55,8 991,43 963,34 935,00 908,45 883,10 858,40 834,92 812,07 790,13
33 57,6 1027,59 996,31 967,25 938,01 910,98 884,62 858,62 834,65 811,34
34 59,4 1067,20 1033,51 1002,24 970,78 940,90 912,63 885,15 859,16 834,60
35 61,2 1110,67 1075,22 1040,24 1006,58 974,72 943,73 913,71 886,11 858,70
36 63,0 1161,03 1121,36 1083,10 1045,85 1010,63 977,82 945,20 914,58 886,10
37 64,8 1215,88 1173,32 1130,44 1089,88 1051,14 1014,23 979,13 946,54 914,85
38 66,6 1279,06 1230,56 1183,35 1138,25 1095,31 1054,56 1015,94 980,18 945,58
39 68,4 1350,88 1295,14 1241,84 1191,91 1143,87 1098,48 1055,69 1016,04 978,81
40 70,2 1430,34 1367,37 1306,58 1250,01 1195,88 1145,86 1099,09 1055,08 1013,85
41 72,0 1520,29 1449,01 1379,88 1313,99 1253,43 1196,95 1145,31 1096,24 1050,56
42 73,8 1625,47 1539,14 1459,86 1384,94 1315,57 1252,57 1194,23 1139,33 1089,37
43 75,6 1742,65 1639,67 1548,16 1462,25 1382,18 1311,40 1245,38 1184,66 1129,09
44 77,4 1876,09 1753,55 1644,32 1543,55 1453,87 1371,37 1299,02 1230,99 1169,87
45 79,2 2023,14 1876,30 1747,65 1630,66 1526,85 1435,32 1351,55 1276,76 1210,00
46 81,0 2184,65 2004,76 1853,40 1718,28 1599,71 1497,10 1404,25 1321,55 1248,96
47 82,8 2353,44 2140,54 1961,44 1806,12 1672,14 1555,65 1453,64 1363,68 1283,83
48 84,6 2520,91 2264,01 2057,61 1882,72 1734,26 1604,40 1494,96 1398,57 1311,97
49 86,4 2661,83 2374,95 2136,74 1945,76 1781,70 1646,05 1528,86 1425,50 1336,52
50 88,2 2762,38 2447,51 2191,87 1987,73 1815,38 1673,20 1549,22 1442,08 1350,77
51 90,0 2801,12 2475,25 2212,39 2000,00 1828,15 1680,67 1557,63 1449,28 1355,01
52 91,8 2762,38 2447,51 2191,87 1987,73 1815,38 1673,20 1549,22 1442,29 1350,77
53 93,6 2664,09 2374,95 2137,96 1945,76 1782,43 1646,05 1529,34 1425,50 1336,85
54 95,4 2520,91 2264,01 2057,61 1882,72 1734,26 1605,22 1494,96 1398,57 1312,44
55 97,2 2356,54 2142,92 1961,44 1806,12 1672,14 1555,65 1453,64 1363,68 1283,83
56 99,0 2184,65 2004,76 1853,40 1718,28 1599,71 1497,10 1404,25 1321,55 1248,96
57 100,8 2023,14 1876,30 1745,31 1629,04 1526,85 1435,32 1350,57 1276,76 1210,00
58 102,6 1873,83 1753,55 1644,32 1543,55 1453,87 1371,37 1297,67 1230,99 1169,87
59 104,4 1740,86 1639,67 1548,16 1460,76 1382,18 1311,40 1244,20 1183,78 1129,09
60 106,2 1623,25 1539,14 1458,54 1384,94 1315,57 1252,57 1193,20 1138,38 1089,37
61 108,0 1520,29 1446,11 1378,79 1313,99 1253,43 1196,95 1144,35 1095,38 1050,56
62 109,8 1430,34 1366,42 1306,58 1249,12 1195,88 1145,86 1098,17 1054,24 1013,15
63 111,6 1348,45 1293,66 1240,51 1189,95 1143,13 1098,48 1055,69 1015,39 977,46
64 113,4 1279,06 1229,89 1182,69 1137,60 1094,68 1053,94 1015,35 978,84 944,32
65 115,2 1215,33 1171,50 1129,29 1089,88 1051,14 1014,23 978,61 945,29 914,36
66 117,0 1161,03 1120,88 1082,61 1045,85 1010,63 976,52 945,20 914,58 885,01
124
67 118,8 1110,27 1075,22 1040,24 1006,16 974,72 943,32 913,71 885,71 858,70
68 120,6 1066,85 1033,51 1001,87 970,78 940,53 912,63 884,79 859,16 834,26
69 122,4 1027,28 996,31 966,93 938,01 910,65 884,62 858,62 834,65 811,34
70 124,2 991,43 963,06 935,83 908,45 882,81 858,40 834,63 812,07 790,13
71 126,0 959,23 932,73 906,82 881,76 857,83 834,52 812,34 790,75 770,01
72 127,8 929,88 904,54 880,96 857,20 834,50 812,40 791,70 771,42 752,22
73 129,6 903,66 879,48 856,98 835,01 813,34 792,85 772,51 753,68 735,33
74 131,4 879,47 856,99 835,40 814,33 794,15 774,50 755,72 737,43 720,00
75 133,2 857,83 836,15 815,33 795,21 776,20 757,44 739,19 722,26 705,44
76 135,0 837,81 816,95 797,27 778,38 759,56 741,80 724,79 707,90 692,09
77 136,8 819,25 799,59 780,59 762,23 744,50 727,24 710,73 695,26 679,88
78 138,6 802,79 783,58 765,60 747,67 730,89 714,06 698,42 682,87 668,31
79 140,4 787,40 769,14 751,51 734,05 717,64 701,78 686,48 672,15 657,88
80 142,2 773,20 755,25 738,46 721,83 706,18 690,59 676,01 661,60 648,00
81 144,0 760,57 743,40 726,29 710,40 694,97 680,18 665,81 652,35 639,04
82 145,8 748,22 731,84 715,52 700,20 685,02 670,75 656,63 643,33 630,57
83 147,6 737,90 721,60 705,89 690,67 676,07 661,98 648,40 635,29 622,56
84 149,4 727,80 711,58 696,45 681,85 667,33 653,76 640,67 628,03 615,82
85 151,2 718,45 702,76 688,13 673,63 659,59 646,48 633,42 620,82 609,03
86 153,0 710,29 695,07 680,47 666,35 652,79 639,26 627,01 614,85 603,06
87 154,8 702,76 687,55 673,31 659,21 646,01 633,32 620,70 608,85 597,46
88 156,6 695,84 681,01 666,74 653,44 640,16 627,41 615,50 603,64 592,55
89 158,4 689,50 675,01 661,08 647,67 634,75 622,31 610,36 598,79 587,97
90 160,2 683,70 669,56 655,93 642,39 629,81 617,64 605,91 594,60 583,71
91 162,0 678,91 664,57 651,24 637,97 625,62 613,32 601,86 590,77 579,77
92 163,8 674,59 660,51 646,95 633,95 621,82 609,76 598,11 587,26 576,45
93 165,6 670,29 656,44 643,13 630,33 618,01 606,52 595,09 584,06 573,43
94 167,4 666,91 653,26 640,12 627,49 615,33 603,65 592,37 581,50 571,01
95 169,2 663,99 650,48 637,51 624,63 612,64 601,09 589,97 579,23 568,88
96 171,0 661,49 648,13 634,86 622,53 610,66 598,87 587,85 577,24 567,00
97 172,8 659,42 646,16 633,02 620,78 608,63 597,31 586,39 575,53 565,38
98 174,6 658,22 644,61 631,95 619,39 607,33 596,07 585,22 574,43 564,35
99 176,4 656,98 643,44 630,84 618,35 606,70 595,14 584,34 573,60 563,56
100 178,2 656,59 643,07 630,10 617,65 606,04 594,50 583,74 573,04 563,03
101 180,0 656,17 642,67 630,12 617,67 605,69 594,53 583,43 573,07 562,75
125
Tabela 4.15 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m)
Współczynnik kształtu k
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 0,4588 0,4697 0,4803 0,4907 0,5005 0,5102 0,5192 0,5282 0,5366
2 1,8 0,4587 0,4700 0,4806 0,4907 0,5008 0,5101 0,5195 0,5282 0,5368
3 3,6 0,4593 0,4703 0,4809 0,4913 0,5010 0,5107 0,5197 0,5287 0,5373
4 5,4 0,4599 0,4712 0,4817 0,4921 0,5018 0,5115 0,5205 0,5294 0,5381
5 7,2 0,4610 0,4723 0,4828 0,4932 0,5029 0,5125 0,5218 0,5304 0,5391
6 9,0 0,4625 0,4737 0,4842 0,4946 0,5046 0,5139 0,5231 0,5320 0,5406
7 10,8 0,4642 0,4755 0,4862 0,4963 0,5062 0,5158 0,5250 0,5339 0,5424
8 12,6 0,4663 0,4775 0,4882 0,4985 0,5085 0,5180 0,5271 0,5359 0,5445
9 14,4 0,4686 0,4798 0,4908 0,5011 0,5110 0,5204 0,5295 0,5383 0,5470
10 16,2 0,4716 0,4828 0,4935 0,5040 0,5138 0,5232 0,5326 0,5413 0,5499
11 18,0 0,4746 0,4861 0,4967 0,5072 0,5169 0,5266 0,5356 0,5445 0,5531
12 19,8 0,4783 0,4894 0,5003 0,5107 0,5207 0,5300 0,5392 0,5481 0,5565
13 21,6 0,4821 0,4934 0,5042 0,5146 0,5245 0,5340 0,5435 0,5522 0,5606
14 23,4 0,4865 0,4978 0,5089 0,5191 0,5290 0,5387 0,5477 0,5567 0,5650
15 25,2 0,4913 0,5029 0,5136 0,5241 0,5342 0,5434 0,5527 0,5615 0,5700
16 27,0 0,4966 0,5081 0,5190 0,5294 0,5394 0,5489 0,5580 0,5667 0,5753
17 28,8 0,5026 0,5140 0,5249 0,5355 0,5454 0,5547 0,5640 0,5725 0,5811
18 30,6 0,5088 0,5205 0,5315 0,5417 0,5517 0,5613 0,5701 0,5788 0,5871
19 32,4 0,5159 0,5274 0,5384 0,5488 0,5587 0,5680 0,5773 0,5859 0,5940
20 34,2 0,5235 0,5353 0,5461 0,5563 0,5664 0,5760 0,5847 0,5934 0,6016
21 36,0 0,5317 0,5433 0,5544 0,5648 0,5746 0,5840 0,5928 0,6013 0,6096
22 37,8 0,5409 0,5524 0,5637 0,5739 0,5835 0,5929 0,6020 0,6101 0,6182
23 39,6 0,5505 0,5622 0,5732 0,5836 0,5933 0,6026 0,6112 0,6195 0,6276
24 41,4 0,5616 0,5731 0,5839 0,5944 0,6039 0,6132 0,6220 0,6299 0,6376
25 43,2 0,5732 0,5848 0,5957 0,6060 0,6155 0,6245 0,6328 0,6407 0,6486
26 45,0 0,5861 0,5975 0,6086 0,6183 0,6280 0,6370 0,6449 0,6528 0,6603
27 46,8 0,6001 0,6117 0,6223 0,6322 0,6413 0,6503 0,6583 0,6661 0,6730
28 48,6 0,6153 0,6268 0,6376 0,6470 0,6561 0,6647 0,6724 0,6802 0,6869
29 50,4 0,6322 0,6432 0,6540 0,6633 0,6725 0,6807 0,6880 0,6950 0,7017
30 52,2 0,6505 0,6617 0,6718 0,6815 0,6900 0,6975 0,7051 0,7114 0,7178
31 54,0 0,6712 0,6822 0,6921 0,7012 0,7093 0,7167 0,7233 0,7292 0,7348
126
32 55,8 0,6936 0,7046 0,7136 0,7222 0,7301 0,7370 0,7434 0,7489 0,7538
33 57,6 0,7189 0,7287 0,7382 0,7457 0,7532 0,7595 0,7645 0,7697 0,7740
34 59,4 0,7466 0,7559 0,7649 0,7718 0,7779 0,7836 0,7881 0,7923 0,7962
35 61,2 0,7770 0,7864 0,7939 0,8002 0,8059 0,8103 0,8136 0,8172 0,8192
36 63,0 0,8123 0,8202 0,8266 0,8314 0,8356 0,8396 0,8416 0,8434 0,8453
37 64,8 0,8506 0,8582 0,8628 0,8665 0,8691 0,8708 0,8718 0,8729 0,8728
38 66,6 0,8948 0,9000 0,9031 0,9049 0,9056 0,9054 0,9046 0,9039 0,9021
39 68,4 0,9451 0,9473 0,9478 0,9476 0,9457 0,9432 0,9400 0,9370 0,9338
40 70,2 1,0007 1,0001 0,9972 0,9938 0,9888 0,9838 0,9786 0,9730 0,9672
41 72,0 1,0636 1,0598 1,0531 1,0446 1,0363 1,0277 1,0198 1,0110 1,0022
42 73,8 1,1372 1,1257 1,1142 1,1010 1,0877 1,0755 1,0633 1,0507 1,0393
43 75,6 1,2192 1,1993 1,1816 1,1625 1,1428 1,1260 1,1089 1,0925 1,0772
44 77,4 1,3125 1,2825 1,2549 1,2271 1,2021 1,1775 1,1567 1,1352 1,1161
45 79,2 1,4154 1,3723 1,3338 1,2964 1,2624 1,2324 1,2034 1,1774 1,1543
46 81,0 1,5284 1,4663 1,4145 1,3660 1,3226 1,2854 1,2503 1,2187 1,1915
47 82,8 1,6465 1,5656 1,4970 1,4359 1,3825 1,3357 1,2943 1,2576 1,2248
48 84,6 1,7636 1,6559 1,5704 1,4968 1,4339 1,3775 1,3311 1,2898 1,2516
49 86,4 1,8622 1,7370 1,6308 1,5469 1,4731 1,4133 1,3613 1,3146 1,2750
50 88,2 1,9326 1,7901 1,6728 1,5802 1,5010 1,4366 1,3794 1,3299 1,2886
51 90,0 1,9597 1,8104 1,6885 1,5900 1,5115 1,4430 1,3869 1,3365 1,2927
52 91,8 1,9326 1,7901 1,6728 1,5802 1,5010 1,4366 1,3794 1,3301 1,2886
53 93,6 1,8638 1,7370 1,6317 1,5469 1,4737 1,4133 1,3617 1,3146 1,2754
54 95,4 1,7636 1,6559 1,5704 1,4968 1,4339 1,3782 1,3311 1,2898 1,2521
55 97,2 1,6486 1,5673 1,4970 1,4359 1,3825 1,3357 1,2943 1,2576 1,2248
56 99,0 1,5284 1,4663 1,4145 1,3660 1,3226 1,2854 1,2503 1,2187 1,1915
57 100,8 1,4154 1,3723 1,3320 1,2951 1,2624 1,2324 1,2025 1,1774 1,1543
58 102,6 1,3109 1,2825 1,2549 1,2271 1,2021 1,1775 1,1554 1,1352 1,1161
59 104,4 1,2179 1,1993 1,1816 1,1613 1,1428 1,1260 1,1078 1,0917 1,0772
60 106,2 1,1356 1,1257 1,1132 1,1010 1,0877 1,0755 1,0624 1,0498 1,0393
61 108,0 1,0636 1,0577 1,0523 1,0446 1,0363 1,0277 1,0189 1,0102 1,0022
62 109,8 1,0007 0,9994 0,9972 0,9931 0,9888 0,9838 0,9778 0,9722 0,9665
63 111,6 0,9434 0,9462 0,9468 0,9460 0,9451 0,9432 0,9400 0,9364 0,9325
64 113,4 0,8948 0,8995 0,9026 0,9044 0,9051 0,9049 0,9041 0,9027 0,9009
65 115,2 0,8502 0,8568 0,8619 0,8665 0,8691 0,8708 0,8714 0,8718 0,8723
66 117,0 0,8123 0,8198 0,8263 0,8314 0,8356 0,8384 0,8416 0,8434 0,8443
67 118,8 0,7767 0,7864 0,7939 0,7999 0,8059 0,8099 0,8136 0,8168 0,8192
127
68 120,6 0,7464 0,7559 0,7646 0,7718 0,7776 0,7836 0,7878 0,7923 0,7959
69 122,4 0,7187 0,7287 0,7380 0,7457 0,7529 0,7595 0,7645 0,7697 0,7740
70 124,2 0,6936 0,7044 0,7142 0,7222 0,7299 0,7370 0,7432 0,7489 0,7538
71 126,0 0,6711 0,6822 0,6921 0,7010 0,7093 0,7165 0,7233 0,7292 0,7346
72 127,8 0,6505 0,6616 0,6724 0,6815 0,6900 0,6975 0,7049 0,7114 0,7176
73 129,6 0,6322 0,6432 0,6540 0,6638 0,6725 0,6807 0,6878 0,6950 0,7015
74 131,4 0,6153 0,6268 0,6376 0,6474 0,6566 0,6650 0,6729 0,6801 0,6869
75 133,2 0,6001 0,6116 0,6223 0,6322 0,6418 0,6503 0,6582 0,6661 0,6730
76 135,0 0,5861 0,5975 0,6085 0,6188 0,6280 0,6369 0,6454 0,6528 0,6603
77 136,8 0,5731 0,5848 0,5957 0,6060 0,6155 0,6244 0,6328 0,6412 0,6486
78 138,6 0,5616 0,5731 0,5843 0,5944 0,6043 0,6131 0,6219 0,6297 0,6376
79 140,4 0,5509 0,5626 0,5735 0,5836 0,5933 0,6026 0,6112 0,6199 0,6276
80 142,2 0,5409 0,5524 0,5636 0,5739 0,5839 0,5929 0,6019 0,6101 0,6182
81 144,0 0,5321 0,5437 0,5543 0,5648 0,5746 0,5840 0,5928 0,6016 0,6096
82 145,8 0,5235 0,5353 0,5461 0,5567 0,5664 0,5759 0,5847 0,5933 0,6016
83 147,6 0,5162 0,5278 0,5387 0,5491 0,5590 0,5684 0,5773 0,5859 0,5939
84 149,4 0,5092 0,5205 0,5315 0,5421 0,5517 0,5613 0,5705 0,5792 0,5875
85 151,2 0,5026 0,5140 0,5252 0,5355 0,5454 0,5551 0,5640 0,5725 0,5810
86 153,0 0,4969 0,5084 0,5193 0,5297 0,5397 0,5489 0,5583 0,5670 0,5753
87 154,8 0,4917 0,5029 0,5139 0,5241 0,5341 0,5438 0,5527 0,5615 0,5700
88 156,6 0,4868 0,4981 0,5089 0,5195 0,5293 0,5387 0,5480 0,5567 0,5653
89 158,4 0,4824 0,4937 0,5045 0,5149 0,5248 0,5343 0,5435 0,5522 0,5609
90 160,2 0,4783 0,4897 0,5006 0,5107 0,5207 0,5303 0,5395 0,5483 0,5569
91 162,0 0,4750 0,4861 0,4970 0,5072 0,5173 0,5266 0,5359 0,5448 0,5531
92 163,8 0,4719 0,4831 0,4938 0,5040 0,5141 0,5235 0,5326 0,5416 0,5499
93 165,6 0,4689 0,4801 0,4908 0,5011 0,5110 0,5208 0,5299 0,5386 0,5470
94 167,4 0,4666 0,4778 0,4885 0,4989 0,5088 0,5183 0,5274 0,5363 0,5447
95 169,2 0,4645 0,4758 0,4865 0,4966 0,5065 0,5161 0,5253 0,5342 0,5427
96 171,0 0,4628 0,4740 0,4845 0,4949 0,5049 0,5142 0,5234 0,5323 0,5409
97 172,8 0,4613 0,4726 0,4831 0,4935 0,5032 0,5128 0,5221 0,5308 0,5394
98 174,6 0,4605 0,4715 0,4823 0,4924 0,5021 0,5118 0,5211 0,5297 0,5384
99 176,4 0,4596 0,4706 0,4815 0,4916 0,5016 0,5110 0,5203 0,5290 0,5376
100 178,2 0,4593 0,4703 0,4809 0,4910 0,5011 0,5104 0,5198 0,5285 0,5371
101 180,0 0,4591 0,4701 0,4809 0,4910 0,5008 0,5105 0,5195 0,5285 0,5369
128
4.3.3.4. Dla a/b = 1,25
Rysunek 4.40 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o
stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.41 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,25
(a = 7,95 m; b = 6,36 m)
0
500
1000
1500
2000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3]
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,50
ni = 0,45
129
Tabela 4.16 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m)
Współczynnik podatności podłoża C [MN/m3]
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 891,27 866,55 843,17 821,69 800,64 780,64 762,20 744,05 727,27
2 1,8 891,19 866,46 843,78 821,59 800,54 781,14 762,09 744,49 727,16
3 3,6 891,72 867,70 844,23 821,99 801,51 781,44 762,93 744,72 727,87
4 5,4 893,70 868,78 845,17 823,53 802,31 782,75 763,55 745,81 728,89
5 7,2 895,52 870,40 847,40 824,86 804,17 783,84 765,13 747,25 730,23
6 9,0 897,99 872,65 849,41 827,41 805,83 786,00 767,08 749,04 731,33
7 10,8 901,05 875,49 852,00 829,73 808,64 788,53 768,81 750,60 733,28
8 12,6 904,01 878,95 855,15 832,60 811,20 790,85 771,50 753,13 736,08
9 14,4 908,45 882,92 858,87 836,68 814,94 794,29 774,64 756,50 738,65
10 16,2 913,67 887,60 863,79 840,49 818,41 798,06 778,10 759,66 741,52
11 18,0 919,51 893,03 868,64 844,92 823,10 802,37 782,03 763,26 745,36
12 19,8 925,22 899,01 874,08 850,59 828,30 807,12 786,98 767,69 749,41
13 21,6 932,50 905,65 880,27 856,09 833,31 812,33 791,60 772,02 753,91
14 23,4 939,83 912,98 886,94 862,88 839,51 817,99 796,76 777,29 758,74
15 25,2 948,65 920,34 894,23 869,67 846,22 824,11 802,94 782,95 763,91
16 27,0 957,57 929,08 902,35 877,63 853,63 830,70 809,09 788,98 769,40
17 28,8 967,33 938,77 910,96 885,63 861,42 837,95 816,14 795,57 775,81
18 30,6 977,96 948,39 920,45 895,02 869,95 846,18 823,82 802,37 782,74
19 32,4 990,42 959,68 930,67 904,29 879,06 854,43 831,95 810,37 789,24
20 34,2 1002,89 971,81 942,74 915,01 888,76 864,14 840,55 818,15 797,08
21 36,0 1016,31 984,19 954,49 925,59 899,32 873,44 849,60 827,21 805,07
22 37,8 1031,07 998,10 967,33 937,97 910,23 884,26 859,38 835,79 814,25
23 39,6 1046,91 1012,32 981,01 950,27 922,05 895,66 869,65 845,67 823,19
24 41,4 1063,87 1028,48 995,55 964,14 934,86 907,61 881,08 856,29 833,09
25 43,2 1082,00 1045,09 1010,95 979,18 948,81 920,12 893,35 867,66 843,65
26 45,0 1100,70 1063,36 1027,69 994,61 962,99 933,57 905,41 879,11 854,55
27 46,8 1121,29 1082,13 1045,37 1011,26 978,70 947,58 918,66 891,34 865,76
28 48,6 1143,71 1103,12 1064,02 1028,31 994,23 962,61 932,80 904,66 877,65
29 50,4 1168,14 1124,16 1084,64 1046,59 1011,79 978,22 947,42 918,36 890,25
30 52,2 1192,17 1146,99 1105,81 1066,23 1029,14 994,36 962,45 931,66 903,79
130
31 54,0 1219,58 1172,20 1128,67 1087,32 1048,63 1012,39 978,38 946,97 916,88
32 55,8 1247,21 1198,24 1151,83 1108,26 1067,86 1030,71 995,26 962,59 931,31
33 57,6 1277,19 1225,55 1176,69 1130,94 1089,29 1050,36 1012,48 978,41 946,42
34 59,4 1310,10 1254,07 1203,33 1155,12 1111,29 1069,53 1031,40 994,98 961,58
35 61,2 1344,23 1284,70 1230,89 1179,95 1133,60 1090,59 1049,69 1012,30 977,33
36 63,0 1378,67 1316,43 1259,09 1206,22 1157,22 1110,92 1069,58 1030,29 992,91
37 64,8 1416,90 1350,28 1289,14 1232,89 1181,02 1132,99 1088,55 1047,30 1009,57
38 66,6 1454,92 1383,60 1318,40 1260,88 1205,77 1155,00 1109,06 1065,59 1025,89
39 68,4 1493,86 1420,17 1350,25 1287,73 1230,42 1177,74 1128,16 1084,04 1042,45
40 70,2 1536,53 1455,58 1382,20 1315,44 1255,79 1199,90 1148,56 1101,94 1059,13
41 72,0 1576,26 1491,06 1413,61 1343,83 1280,32 1222,31 1169,14 1119,18 1074,77
42 73,8 1618,96 1527,03 1446,26 1371,66 1304,09 1243,40 1188,45 1136,89 1090,56
43 75,6 1658,88 1562,15 1475,65 1397,91 1328,52 1264,74 1206,67 1153,57 1105,37
44 77,4 1697,57 1597,19 1504,58 1423,66 1350,81 1284,04 1224,20 1168,32 1118,88
45 79,2 1735,78 1628,00 1533,73 1447,62 1371,17 1301,64 1240,69 1183,31 1130,94
46 81,0 1769,66 1656,20 1556,97 1468,09 1389,26 1317,84 1253,79 1195,20 1141,80
47 82,8 1799,72 1682,09 1579,41 1485,70 1404,80 1331,75 1266,25 1206,84 1151,13
48 84,6 1825,29 1701,26 1595,93 1502,79 1417,52 1343,46 1275,12 1214,57 1159,72
49 86,4 1842,37 1719,20 1608,84 1511,46 1427,45 1350,46 1282,96 1220,22 1164,83
50 88,2 1853,87 1725,77 1617,00 1518,82 1433,92 1356,16 1286,40 1224,96 1167,75
51 90,0 1858,74 1730,10 1618,12 1522,07 1434,72 1356,85 1288,66 1225,49 1168,22
52 91,8 1853,62 1725,77 1617,00 1518,82 1431,87 1356,16 1286,40 1224,87 1167,67
53 93,6 1842,37 1716,27 1608,49 1511,46 1427,45 1350,46 1282,76 1220,22 1164,83
54 95,4 1825,29 1701,26 1595,93 1500,58 1417,52 1341,69 1274,84 1214,57 1158,39
55 97,2 1799,72 1682,09 1579,41 1485,70 1404,80 1331,75 1264,69 1205,09 1151,13
56 99,0 1769,66 1656,20 1556,97 1468,09 1389,26 1317,84 1253,34 1195,20 1141,80
57 100,8 1735,78 1628,00 1531,55 1447,62 1371,17 1301,64 1239,24 1181,99 1130,94
58 102,6 1697,57 1597,19 1504,58 1423,66 1349,89 1284,04 1224,20 1168,85 1118,88
59 104,4 1658,88 1562,15 1475,65 1397,91 1328,52 1264,74 1206,67 1154,14 1105,37
60 106,2 1618,96 1527,03 1444,49 1371,66 1304,09 1243,40 1188,45 1136,89 1089,50
61 108,0 1576,26 1491,06 1415,25 1343,83 1280,32 1222,31 1169,14 1119,18 1074,77
62 109,8 1535,01 1455,58 1382,20 1315,44 1255,79 1199,90 1148,56 1102,95 1059,13
63 111,6 1493,86 1418,83 1350,25 1287,73 1230,42 1177,74 1129,18 1084,04 1042,45
64 113,4 1454,92 1383,60 1318,40 1259,82 1205,77 1155,00 1109,06 1065,59 1026,72
65 115,2 1415,41 1348,96 1289,14 1232,89 1181,02 1133,07 1089,44 1048,13 1009,69
66 117,0 1377,22 1316,43 1259,09 1205,16 1157,22 1110,92 1068,78 1030,29 992,91
131
67 118,8 1341,70 1284,70 1229,74 1179,95 1133,60 1089,72 1049,69 1011,57 977,33
68 120,6 1308,71 1254,07 1202,19 1155,12 1110,34 1069,53 1030,60 994,98 961,58
69 122,4 1277,19 1225,55 1175,57 1130,94 1089,29 1048,81 1012,48 978,41 945,83
70 124,2 1247,21 1198,24 1150,74 1108,26 1067,86 1030,07 995,26 962,01 931,31
71 126,0 1218,30 1171,03 1126,91 1086,33 1047,73 1012,39 978,38 946,97 916,88
72 127,8 1192,17 1146,99 1104,77 1066,23 1029,14 994,36 962,45 931,66 902,66
73 129,6 1166,31 1124,16 1083,62 1046,59 1010,91 978,22 946,93 917,19 889,81
74 131,4 1143,71 1102,56 1063,49 1027,80 994,23 962,61 932,35 904,23 877,65
75 133,2 1121,29 1081,63 1044,89 1010,35 978,25 947,58 918,66 890,94 865,12
76 135,0 1100,23 1062,89 1027,24 994,61 962,58 933,57 905,02 879,11 853,56
77 136,8 1081,57 1044,67 1010,54 978,78 948,42 920,12 893,00 866,99 842,69
78 138,6 1063,47 1028,48 995,17 963,78 935,31 907,27 881,08 855,97 833,09
79 140,4 1046,54 1013,28 980,66 950,77 922,05 895,34 870,03 845,67 822,91
80 142,2 1030,73 998,10 967,01 937,66 910,23 883,97 859,38 836,43 813,99
81 144,0 1016,31 984,81 954,20 926,40 899,05 874,16 849,60 826,96 805,67
82 145,8 1002,61 971,81 942,47 914,74 888,76 863,89 840,31 818,15 796,86
83 147,6 990,16 959,68 931,50 904,05 879,06 855,12 831,73 810,37 789,82
84 149,4 978,65 949,26 921,27 894,80 869,95 846,18 823,61 802,98 782,55
85 151,2 968,03 938,77 911,76 886,39 861,42 838,43 816,78 795,39 775,81
86 153,0 957,38 929,93 902,96 877,63 853,45 831,37 809,55 788,98 769,81
87 154,8 948,65 921,00 895,01 870,24 846,91 824,77 803,57 783,54 764,32
88 156,6 940,54 912,98 887,71 862,88 840,19 818,49 797,37 777,88 759,16
89 158,4 933,36 906,46 880,89 856,81 833,99 812,84 792,22 772,60 754,34
90 160,2 926,07 899,68 874,84 851,30 828,97 807,76 787,47 768,27 749,96
91 162,0 919,51 893,71 869,39 845,62 823,77 803,00 782,64 763,83 745,90
92 163,8 914,40 888,38 864,53 841,19 819,07 798,69 778,69 760,23 742,07
93 165,6 909,27 883,79 859,60 837,38 815,60 794,91 775,24 757,07 739,19
94 167,4 904,90 879,72 855,88 833,29 811,85 791,47 772,16 753,69 736,62
95 169,2 901,11 876,26 852,73 830,41 809,29 788,53 769,40 751,22 733,82
96 171,0 897,99 873,41 850,18 827,41 806,48 786,62 767,08 749,08 731,87
97 172,8 895,52 871,20 847,40 825,58 804,17 784,50 765,72 747,29 730,23
98 174,6 893,70 868,78 845,89 823,53 802,96 782,75 764,14 745,84 728,89
99 176,4 892,52 867,70 844,94 822,64 802,15 782,05 762,93 745,27 728,40
100 178,2 891,98 867,21 843,78 822,27 801,18 781,76 762,67 744,49 727,69
101 180,0 891,27 867,30 843,88 821,69 801,28 781,25 762,78 744,60 727,80
132
Tabela 4.17 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m)
Współczynnik kształtu k
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0,35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,0 0,6235 0,6338 0,6435 0,6532 0,6620 0,6703 0,6787 0,6862 0,6938
2 1,8 0,6235 0,6337 0,6440 0,6532 0,6619 0,6707 0,6786 0,6866 0,6937
3 3,6 0,6238 0,6346 0,6443 0,6535 0,6627 0,6709 0,6793 0,6868 0,6944
4 5,4 0,6252 0,6354 0,6450 0,6547 0,6634 0,6721 0,6799 0,6878 0,6954
5 7,2 0,6265 0,6366 0,6467 0,6558 0,6649 0,6730 0,6813 0,6891 0,6966
6 9,0 0,6282 0,6383 0,6483 0,6578 0,6663 0,6749 0,6830 0,6908 0,6977
7 10,8 0,6304 0,6403 0,6502 0,6596 0,6686 0,6770 0,6845 0,6922 0,6996
8 12,6 0,6324 0,6429 0,6527 0,6619 0,6707 0,6790 0,6869 0,6945 0,7022
9 14,4 0,6355 0,6458 0,6555 0,6652 0,6738 0,6820 0,6897 0,6976 0,7047
10 16,2 0,6392 0,6492 0,6592 0,6682 0,6767 0,6852 0,6928 0,7006 0,7074
11 18,0 0,6433 0,6532 0,6629 0,6717 0,6805 0,6889 0,6963 0,7039 0,7111
12 19,8 0,6473 0,6575 0,6671 0,6762 0,6848 0,6930 0,7007 0,7080 0,7149
13 21,6 0,6524 0,6624 0,6718 0,6806 0,6890 0,6975 0,7048 0,7120 0,7192
14 23,4 0,6575 0,6678 0,6769 0,6860 0,6941 0,7023 0,7094 0,7168 0,7238
15 25,2 0,6637 0,6731 0,6825 0,6914 0,6997 0,7076 0,7149 0,7220 0,7288
16 27,0 0,6699 0,6795 0,6887 0,6977 0,7058 0,7132 0,7204 0,7276 0,7340
17 28,8 0,6767 0,6866 0,6952 0,7041 0,7122 0,7195 0,7267 0,7337 0,7401
18 30,6 0,6842 0,6937 0,7025 0,7115 0,7193 0,7265 0,7335 0,7399 0,7467
19 32,4 0,6929 0,7019 0,7103 0,7189 0,7268 0,7336 0,7408 0,7473 0,7529
20 34,2 0,7016 0,7108 0,7195 0,7274 0,7348 0,7420 0,7484 0,7545 0,7604
21 36,0 0,7110 0,7198 0,7285 0,7358 0,7436 0,7499 0,7565 0,7629 0,7680
22 37,8 0,7213 0,7300 0,7383 0,7457 0,7526 0,7592 0,7652 0,7708 0,7768
23 39,6 0,7324 0,7404 0,7487 0,7555 0,7624 0,7690 0,7743 0,7799 0,7853
24 41,4 0,7443 0,7522 0,7598 0,7665 0,7729 0,7793 0,7845 0,7897 0,7948
25 43,2 0,7570 0,7644 0,7716 0,7784 0,7845 0,7900 0,7954 0,8002 0,8048
26 45,0 0,7701 0,7777 0,7843 0,7907 0,7962 0,8016 0,8062 0,8107 0,8152
27 46,8 0,7845 0,7915 0,7978 0,8040 0,8092 0,8136 0,8180 0,8220 0,8259
28 48,6 0,8001 0,8068 0,8121 0,8175 0,8220 0,8265 0,8306 0,8343 0,8373
29 50,4 0,8172 0,8222 0,8278 0,8320 0,8365 0,8399 0,8436 0,8469 0,8493
30 52,2 0,8340 0,8389 0,8440 0,8477 0,8509 0,8538 0,8570 0,8592 0,8622
133
31 54,0 0,8532 0,8573 0,8614 0,8644 0,8670 0,8692 0,8712 0,8733 0,8747
32 55,8 0,8725 0,8764 0,8791 0,8811 0,8829 0,8850 0,8862 0,8877 0,8885
33 57,6 0,8935 0,8964 0,8980 0,8991 0,9006 0,9018 0,9015 0,9023 0,9029
34 59,4 0,9165 0,9172 0,9184 0,9183 0,9188 0,9183 0,9184 0,9176 0,9173
35 61,2 0,9404 0,9396 0,9394 0,9381 0,9373 0,9364 0,9346 0,9335 0,9324
36 63,0 0,9645 0,9628 0,9609 0,9589 0,9568 0,9538 0,9524 0,9501 0,9472
37 64,8 0,9913 0,9876 0,9839 0,9801 0,9765 0,9728 0,9692 0,9658 0,9631
38 66,6 1,0179 1,0120 1,0062 1,0024 0,9969 0,9917 0,9875 0,9827 0,9787
39 68,4 1,0451 1,0387 1,0305 1,0237 1,0173 1,0112 1,0045 0,9997 0,9945
40 70,2 1,0750 1,0646 1,0549 1,0458 1,0383 1,0302 1,0227 1,0162 1,0104
41 72,0 1,1028 1,0906 1,0789 1,0683 1,0586 1,0495 1,0410 1,0321 1,0253
42 73,8 1,1326 1,1169 1,1038 1,0905 1,0782 1,0676 1,0582 1,0484 1,0404
43 75,6 1,1606 1,1426 1,1262 1,1113 1,0984 1,0859 1,0744 1,0638 1,0545
44 77,4 1,1876 1,1682 1,1483 1,1318 1,1168 1,1025 1,0900 1,0774 1,0674
45 79,2 1,2144 1,1907 1,1705 1,1509 1,1337 1,1176 1,1047 1,0913 1,0789
46 81,0 1,2381 1,2113 1,1883 1,1671 1,1486 1,1315 1,1164 1,1022 1,0893
47 82,8 1,2591 1,2303 1,2054 1,1811 1,1615 1,1434 1,1275 1,1129 1,0982
48 84,6 1,2770 1,2443 1,2180 1,1947 1,1720 1,1535 1,1354 1,1201 1,1064
49 86,4 1,2889 1,2574 1,2279 1,2016 1,1802 1,1595 1,1423 1,1253 1,1112
50 88,2 1,2970 1,2622 1,2341 1,2075 1,1856 1,1644 1,1454 1,1297 1,1140
51 90,0 1,3004 1,2654 1,2350 1,2100 1,1862 1,1650 1,1474 1,1301 1,1145
52 91,8 1,2968 1,2622 1,2341 1,2075 1,1839 1,1644 1,1454 1,1296 1,1140
53 93,6 1,2889 1,2553 1,2276 1,2016 1,1802 1,1595 1,1422 1,1253 1,1112
54 95,4 1,2770 1,2443 1,2180 1,1930 1,1720 1,1520 1,1351 1,1201 1,1051
55 97,2 1,2591 1,2303 1,2054 1,1811 1,1615 1,1434 1,1261 1,1113 1,0982
56 99,0 1,2381 1,2113 1,1883 1,1671 1,1486 1,1315 1,1160 1,1022 1,0893
57 100,8 1,2144 1,1907 1,1689 1,1509 1,1337 1,1176 1,1034 1,0900 1,0789
58 102,6 1,1876 1,1682 1,1483 1,1318 1,1161 1,1025 1,0900 1,0779 1,0674
59 104,4 1,1606 1,1426 1,1262 1,1113 1,0984 1,0859 1,0744 1,0643 1,0545
60 106,2 1,1326 1,1169 1,1024 1,0905 1,0782 1,0676 1,0582 1,0484 1,0394
61 108,0 1,1028 1,0906 1,0801 1,0683 1,0586 1,0495 1,0410 1,0321 1,0253
62 109,8 1,0739 1,0646 1,0549 1,0458 1,0383 1,0302 1,0227 1,0171 1,0104
63 111,6 1,0451 1,0377 1,0305 1,0237 1,0173 1,0112 1,0054 0,9997 0,9945
64 113,4 1,0179 1,0120 1,0062 1,0016 0,9969 0,9917 0,9875 0,9827 0,9795
65 115,2 0,9902 0,9866 0,9839 0,9801 0,9765 0,9729 0,9700 0,9666 0,9632
66 117,0 0,9635 0,9628 0,9609 0,9581 0,9568 0,9538 0,9516 0,9501 0,9472
134
67 118,8 0,9387 0,9396 0,9385 0,9381 0,9373 0,9356 0,9346 0,9329 0,9324
68 120,6 0,9156 0,9172 0,9175 0,9183 0,9180 0,9183 0,9176 0,9176 0,9173
69 122,4 0,8935 0,8964 0,8972 0,8991 0,9006 0,9005 0,9015 0,9023 0,9023
70 124,2 0,8725 0,8764 0,8782 0,8811 0,8829 0,8844 0,8862 0,8872 0,8885
71 126,0 0,8523 0,8565 0,8601 0,8636 0,8663 0,8692 0,8712 0,8733 0,8747
72 127,8 0,8340 0,8389 0,8432 0,8477 0,8509 0,8538 0,8570 0,8592 0,8611
73 129,6 0,8159 0,8222 0,8270 0,8320 0,8358 0,8399 0,8431 0,8458 0,8489
74 131,4 0,8001 0,8064 0,8117 0,8171 0,8220 0,8265 0,8302 0,8339 0,8373
75 133,2 0,7845 0,7911 0,7975 0,8032 0,8088 0,8136 0,8180 0,8216 0,8253
76 135,0 0,7697 0,7774 0,7840 0,7907 0,7959 0,8016 0,8058 0,8107 0,8143
77 136,8 0,7567 0,7641 0,7712 0,7781 0,7842 0,7900 0,7951 0,7995 0,8039
78 138,6 0,7440 0,7522 0,7595 0,7662 0,7733 0,7790 0,7845 0,7894 0,7948
79 140,4 0,7322 0,7411 0,7484 0,7559 0,7624 0,7687 0,7747 0,7799 0,7851
80 142,2 0,7211 0,7300 0,7380 0,7454 0,7526 0,7590 0,7652 0,7714 0,7765
81 144,0 0,7110 0,7203 0,7282 0,7365 0,7433 0,7506 0,7565 0,7626 0,7686
82 145,8 0,7014 0,7108 0,7193 0,7272 0,7348 0,7417 0,7482 0,7545 0,7602
83 147,6 0,6927 0,7019 0,7109 0,7187 0,7268 0,7342 0,7406 0,7473 0,7535
84 149,4 0,6847 0,6943 0,7031 0,7114 0,7193 0,7265 0,7333 0,7405 0,7465
85 151,2 0,6772 0,6866 0,6959 0,7047 0,7122 0,7199 0,7273 0,7335 0,7401
86 153,0 0,6698 0,6801 0,6891 0,6977 0,7056 0,7138 0,7208 0,7276 0,7344
87 154,8 0,6637 0,6736 0,6831 0,6918 0,7002 0,7081 0,7155 0,7226 0,7292
88 156,6 0,6580 0,6678 0,6775 0,6860 0,6947 0,7028 0,7100 0,7174 0,7242
89 158,4 0,6530 0,6630 0,6723 0,6812 0,6895 0,6979 0,7054 0,7125 0,7196
90 160,2 0,6479 0,6580 0,6677 0,6768 0,6854 0,6935 0,7012 0,7085 0,7155
91 162,0 0,6433 0,6537 0,6635 0,6723 0,6811 0,6895 0,6969 0,7044 0,7116
92 163,8 0,6397 0,6498 0,6598 0,6687 0,6772 0,6858 0,6933 0,7011 0,7079
93 165,6 0,6361 0,6464 0,6560 0,6657 0,6743 0,6825 0,6903 0,6982 0,7052
94 167,4 0,6331 0,6434 0,6532 0,6625 0,6712 0,6796 0,6875 0,6951 0,7027
95 169,2 0,6304 0,6409 0,6508 0,6602 0,6691 0,6770 0,6851 0,6928 0,7001
96 171,0 0,6282 0,6388 0,6489 0,6578 0,6668 0,6754 0,6830 0,6908 0,6982
97 172,8 0,6265 0,6372 0,6467 0,6563 0,6649 0,6736 0,6818 0,6892 0,6966
98 174,6 0,6252 0,6354 0,6456 0,6547 0,6639 0,6721 0,6804 0,6878 0,6954
99 176,4 0,6244 0,6346 0,6449 0,6540 0,6632 0,6715 0,6793 0,6873 0,6949
100 178,2 0,6240 0,6343 0,6440 0,6537 0,6624 0,6712 0,6791 0,6866 0,6942
101 180,0 0,6235 0,6343 0,6441 0,6532 0,6625 0,6708 0,6792 0,6867 0,6943
135
4.3.3.5. Dla a/b = 1,0
Rysunek 4.42 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego
o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa
Rysunek 4.43 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,0
(a = b = 6,36 m)
400
800
1200
1600
2000
0 45 90 135 180
C [
MN
/m3
]
j [...o]
ni = 0,10 ni = 0,15 ni = 0,20 ni = 0,25 ni = 0,30 ni = 0,35 ni = 0,40 ni = 0,45 ni = 0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
0 45 90 135 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j
ni = 0,10
ni = 0,15
ni = 0,20
ni = 0,25
ni = 0,30
ni = 0,35
ni = 0,40
ni = 0,45
ni = 0,50
136
Tabela 4.18 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m)
Współczynnik podatności podłoża C [MN/m3]
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,00 1386,06 1327,17 1274,70 1224,72 1179,90 1138,40 1098,46 1061,45 1027,08
2 2,05 1379,56 1321,13 1269,05 1219,33 1174,83 1133,33 1093,39 1056,38 1023,01
3 4,09 1377,23 1318,67 1266,65 1217,11 1172,51 1131,01 1091,07 1054,06 1020,89
4 6,14 1373,02 1316,28 1264,27 1214,75 1170,13 1128,63 1088,69 1051,68 1019,62
5 8,18 1372,66 1315,95 1263,46 1215,25 1169,00 1127,50 1087,56 1050,55 1018,98
6 10,23 1372,75 1315,73 1262,93 1214,20 1169,37 1127,87 1087,93 1050,92 1018,26
7 12,27 1372,99 1317,28 1263,98 1214,82 1171,00 1129,50 1089,56 1052,55 1019,56
8 14,32 1375,67 1317,18 1264,99 1215,36 1171,18 1129,68 1089,74 1052,73 1020,62
9 16,36 1377,90 1320,36 1267,95 1219,07 1173,82 1132,32 1092,38 1055,37 1023,39
10 18,41 1376,50 1318,51 1266,71 1217,95 1172,33 1130,83 1090,89 1053,88 1021,51
11 20,45 1377,55 1320,46 1267,92 1219,96 1174,97 1133,47 1093,53 1056,52 1023,37
12 22,50 1376,83 1319,11 1266,04 1218,42 1173,00 1131,50 1091,56 1054,55 1021,74
13 24,55 1376,04 1319,21 1265,46 1217,24 1172,56 1131,06 1091,12 1054,11 1021,50
14 26,59 1376,01 1318,39 1265,40 1217,21 1173,11 1131,61 1091,67 1054,66 1021,85
15 28,64 1379,43 1322,18 1268,12 1219,58 1175,32 1133,82 1093,88 1056,87 1024,74
16 30,68 1377,53 1319,54 1268,45 1219,11 1174,63 1133,13 1093,19 1056,18 1024,39
17 32,73 1377,54 1320,04 1268,46 1220,39 1175,04 1133,54 1093,60 1056,59 1025,05
18 34,77 1377,41 1320,30 1267,75 1220,10 1173,98 1132,48 1092,54 1055,53 1024,37
19 36,82 1379,68 1321,32 1268,95 1220,34 1175,53 1134,03 1094,09 1057,08 1025,32
20 38,86 1378,72 1321,97 1269,55 1220,15 1175,36 1133,86 1093,92 1056,91 1025,76
21 40,91 1381,51 1323,33 1270,95 1222,56 1177,72 1136,22 1096,28 1059,27 1027,09
22 42,95 1378,38 1320,46 1268,35 1219,15 1174,60 1133,10 1093,16 1056,15 1024,79
23 45,00 1377,53 1320,86 1268,67 1219,44 1175,83 1134,33 1094,39 1057,38 1024,94
24 47,05 1378,91 1320,83 1269,71 1220,30 1174,59 1133,09 1093,15 1056,14 1025,97
25 49,09 1379,97 1324,04 1270,20 1222,66 1177,69 1136,19 1096,25 1059,24 1027,94
26 51,14 1377,79 1321,70 1269,03 1220,40 1176,19 1134,69 1094,75 1057,74 1027,12
27 53,18 1379,10 1322,91 1269,79 1220,77 1176,53 1135,03 1095,09 1058,08 1027,05
28 55,23 1379,13 1321,00 1268,93 1220,81 1175,04 1133,54 1093,60 1056,59 1026,48
29 57,27 1378,46 1321,29 1269,50 1220,86 1177,00 1135,50 1095,56 1058,55 1026,92
30 59,32 1378,59 1322,28 1268,99 1221,13 1175,53 1134,03 1094,09 1057,08 1026,54
31 61,36 1380,29 1323,12 1271,21 1222,56 1177,50 1136,00 1096,06 1059,05 1027,60
32 63,41 1376,83 1319,11 1267,50 1218,42 1174,25 1132,75 1092,81 1055,80 1024,07
137
33 65,45 1377,55 1320,46 1266,43 1218,02 1173,17 1131,67 1091,73 1054,72 1023,54
34 67,50 1376,50 1318,51 1266,71 1217,44 1173,14 1131,64 1091,70 1054,69 1023,47
35 69,55 1377,30 1319,81 1266,94 1220,01 1174,69 1133,19 1093,25 1056,24 1025,05
36 71,59 1374,61 1317,87 1264,54 1216,37 1171,73 1130,23 1090,29 1053,28 1022,03
37 73,64 1374,35 1318,11 1264,74 1216,95 1171,66 1130,16 1090,22 1053,21 1021,82
38 75,68 1376,04 1318,39 1265,37 1216,77 1172,81 1131,31 1091,37 1054,36 1021,89
39 77,73 1377,91 1320,77 1267,90 1219,36 1174,16 1132,66 1092,72 1055,71 1023,75
40 79,77 1376,50 1319,72 1265,63 1217,47 1172,65 1131,15 1091,21 1054,20 1022,42
41 81,82 1377,03 1318,49 1266,48 1218,43 1172,37 1130,87 1090,93 1053,92 1021,82
42 83,86 1375,78 1317,53 1265,73 1217,85 1171,98 1130,48 1090,54 1053,53 1021,89
43 85,91 1376,53 1320,10 1266,57 1218,70 1172,93 1131,43 1091,49 1054,48 1022,81
44 87,95 1377,41 1319,26 1267,43 1219,51 1173,71 1132,21 1092,27 1055,26 1023,54
45 90,00 1378,42 1321,91 1269,84 1220,24 1175,74 1134,24 1094,30 1057,29 1026,07
46 92,05 1375,78 1319,39 1267,44 1217,85 1173,45 1131,95 1092,01 1055,00 1024,05
47 94,09 1375,15 1318,67 1266,65 1216,95 1172,51 1131,01 1091,07 1054,06 1022,86
48 96,14 1374,89 1318,00 1265,86 1217,47 1171,48 1129,98 1090,04 1053,03 1021,54
49 98,18 1376,38 1319,37 1266,61 1219,36 1174,40 1132,90 1092,96 1055,95 1024,12
50 100,23 1374,19 1318,76 1265,71 1216,77 1171,76 1130,26 1090,32 1053,31 1022,11
51 102,27 1374,35 1318,11 1265,13 1215,88 1171,66 1130,16 1090,22 1053,21 1020,81
52 104,32 1372,80 1316,20 1264,09 1216,37 1170,41 1128,91 1088,97 1051,96 1020,74
53 106,36 1375,50 1318,16 1265,42 1216,73 1171,65 1130,15 1090,21 1053,20 1021,74
54 108,41 1374,73 1318,51 1265,21 1217,44 1173,14 1131,64 1091,70 1054,69 1023,11
55 110,45 1377,55 1320,46 1267,92 1219,39 1174,45 1132,95 1093,01 1056,00 1025,48
56 112,50 1376,83 1319,11 1265,37 1217,80 1172,43 1130,93 1090,99 1053,98 1022,25
57 114,55 1376,89 1319,21 1266,89 1218,57 1172,56 1131,06 1091,12 1054,11 1022,44
58 116,59 1376,92 1319,92 1266,80 1217,80 1173,66 1132,16 1092,22 1055,21 1023,19
59 118,64 1378,46 1321,29 1268,68 1220,10 1175,11 1133,61 1093,67 1056,66 1025,84
60 120,68 1377,53 1319,54 1267,58 1218,31 1173,14 1131,64 1091,70 1054,69 1023,57
61 122,73 1379,10 1321,47 1268,46 1219,54 1174,26 1132,76 1092,82 1055,81 1023,26
62 124,77 1378,93 1321,70 1269,03 1220,40 1175,36 1133,86 1093,92 1056,91 1024,80
63 126,82 1381,17 1324,04 1270,20 1222,66 1177,69 1136,19 1096,25 1059,24 1027,94
64 128,86 1378,91 1323,30 1269,71 1220,30 1176,54 1135,04 1095,10 1058,09 1025,97
65 130,91 1381,61 1324,61 1271,03 1222,64 1177,79 1136,29 1096,35 1059,34 1027,92
66 132,95 1378,37 1321,69 1269,49 1221,25 1175,57 1134,07 1094,13 1057,12 1025,53
67 135,00 1378,72 1320,77 1268,59 1220,37 1175,69 1134,19 1094,25 1057,24 1024,01
68 137,05 1377,28 1319,33 1267,11 1217,90 1174,31 1132,81 1092,87 1055,86 1023,37
138
69 139,09 1378,20 1319,96 1267,44 1219,18 1173,38 1131,88 1091,94 1054,93 1023,68
70 141,14 1377,41 1319,95 1267,42 1218,91 1173,70 1132,20 1092,26 1055,25 1023,32
71 143,18 1378,62 1321,03 1268,05 1220,01 1174,69 1133,19 1093,25 1056,24 1024,78
72 145,23 1375,36 1319,01 1265,74 1216,61 1172,31 1130,81 1090,87 1053,86 1021,74
73 147,27 1375,19 1318,30 1265,35 1217,02 1172,25 1130,75 1090,81 1053,80 1020,60
74 149,32 1374,35 1316,86 1263,99 1215,20 1171,24 1129,74 1089,80 1052,79 1020,02
75 151,36 1376,89 1319,99 1267,61 1219,23 1174,40 1132,90 1092,96 1055,95 1022,90
76 153,41 1376,83 1319,11 1266,04 1217,07 1173,00 1131,50 1091,56 1054,55 1021,74
77 155,45 1376,82 1319,79 1265,82 1217,45 1172,65 1131,15 1091,21 1054,20 1021,60
78 157,50 1375,84 1319,54 1266,15 1218,31 1172,66 1131,16 1091,22 1054,21 1022,13
79 159,55 1379,10 1322,02 1270,50 1221,43 1176,00 1134,50 1094,56 1057,55 1024,72
80 161,59 1378,78 1320,52 1268,07 1219,63 1174,76 1133,26 1093,32 1056,31 1023,33
81 163,64 1378,49 1320,65 1268,64 1219,12 1173,67 1132,17 1092,23 1055,22 1022,59
82 165,68 1376,85 1319,13 1266,39 1218,85 1173,40 1131,90 1091,96 1054,95 1022,55
83 167,73 1378,58 1319,67 1266,89 1218,43 1173,29 1131,79 1091,85 1054,84 1023,46
84 169,77 1377,03 1320,21 1267,67 1219,36 1174,59 1133,09 1093,15 1056,14 1024,05
85 171,82 1379,32 1322,51 1268,59 1220,37 1175,69 1134,19 1094,25 1057,24 1025,49
86 173,86 1377,80 1319,51 1267,56 1219,54 1173,65 1132,15 1092,21 1055,20 1023,23
87 175,91 1380,33 1321,91 1269,84 1220,24 1175,74 1134,24 1094,30 1057,29 1023,97
88 177,95 1383,13 1324,50 1272,26 1222,49 1177,86 1136,36 1096,42 1059,41 1026,69
89 180,00 1389,91 1330,70 1277,95 1229,23 1182,69 1141,19 1101,25 1064,24 1031,32
139
Tabela 4.19 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m)
Współczynnik kształtu k
Lp. j = 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
1 0,00 0,9697 0,9707 0,9728 0,9737 0,9755 0,9774 0,9781 0,9789 0,9798
2 2,05 0,9651 0,9663 0,9685 0,9694 0,9713 0,9731 0,9736 0,9742 0,9759
3 4,09 0,9635 0,9645 0,9667 0,9676 0,9694 0,9711 0,9715 0,9721 0,9739
4 6,14 0,9606 0,9627 0,9649 0,9657 0,9675 0,9690 0,9694 0,9699 0,9727
5 8,18 0,9603 0,9625 0,9643 0,9661 0,9665 0,9681 0,9684 0,9688 0,9721
6 10,23 0,9604 0,9623 0,9639 0,9653 0,9668 0,9684 0,9687 0,9692 0,9714
7 12,27 0,9605 0,9635 0,9647 0,9658 0,9682 0,9698 0,9701 0,9707 0,9727
8 14,32 0,9624 0,9634 0,9654 0,9662 0,9683 0,9699 0,9703 0,9708 0,9737
9 16,36 0,9640 0,9657 0,9677 0,9692 0,9705 0,9722 0,9727 0,9733 0,9763
10 18,41 0,9630 0,9644 0,9668 0,9683 0,9693 0,9709 0,9713 0,9719 0,9745
11 20,45 0,9637 0,9658 0,9677 0,9699 0,9715 0,9732 0,9737 0,9743 0,9763
12 22,50 0,9632 0,9648 0,9662 0,9686 0,9698 0,9715 0,9719 0,9725 0,9747
13 24,55 0,9627 0,9649 0,9658 0,9677 0,9695 0,9711 0,9715 0,9721 0,9745
14 26,59 0,9627 0,9643 0,9658 0,9677 0,9699 0,9716 0,9720 0,9726 0,9748
15 28,64 0,9650 0,9670 0,9678 0,9696 0,9718 0,9735 0,9740 0,9746 0,9776
16 30,68 0,9637 0,9651 0,9681 0,9692 0,9712 0,9729 0,9734 0,9740 0,9773
17 32,73 0,9637 0,9655 0,9681 0,9702 0,9715 0,9733 0,9737 0,9744 0,9779
18 34,77 0,9636 0,9657 0,9675 0,9700 0,9706 0,9723 0,9728 0,9734 0,9773
19 36,82 0,9652 0,9664 0,9685 0,9702 0,9719 0,9737 0,9742 0,9748 0,9782
20 38,86 0,9646 0,9669 0,9689 0,9700 0,9718 0,9735 0,9740 0,9747 0,9786
21 40,91 0,9665 0,9679 0,9700 0,9719 0,9737 0,9756 0,9761 0,9769 0,9798
22 42,95 0,9643 0,9658 0,9680 0,9692 0,9712 0,9729 0,9733 0,9740 0,9777
23 45,00 0,9637 0,9661 0,9683 0,9695 0,9722 0,9739 0,9744 0,9751 0,9778
24 47,05 0,9647 0,9661 0,9690 0,9701 0,9712 0,9729 0,9733 0,9740 0,9788
25 49,09 0,9654 0,9684 0,9694 0,9720 0,9737 0,9755 0,9761 0,9768 0,9807
26 51,14 0,9639 0,9667 0,9685 0,9702 0,9725 0,9742 0,9748 0,9754 0,9799
27 53,18 0,9648 0,9676 0,9691 0,9705 0,9728 0,9745 0,9751 0,9758 0,9798
28 55,23 0,9648 0,9662 0,9684 0,9705 0,9715 0,9733 0,9737 0,9744 0,9793
29 57,27 0,9644 0,9664 0,9689 0,9706 0,9731 0,9749 0,9755 0,9762 0,9797
30 59,32 0,9645 0,9671 0,9685 0,9708 0,9719 0,9737 0,9742 0,9748 0,9793
31 61,36 0,9657 0,9677 0,9702 0,9719 0,9736 0,9754 0,9759 0,9767 0,9803
32 63,41 0,9632 0,9648 0,9674 0,9686 0,9709 0,9726 0,9730 0,9737 0,9770
140
33 65,45 0,9637 0,9658 0,9665 0,9683 0,9700 0,9717 0,9721 0,9727 0,9765
34 67,50 0,9630 0,9644 0,9668 0,9679 0,9700 0,9716 0,9720 0,9726 0,9764
35 69,55 0,9636 0,9653 0,9669 0,9699 0,9712 0,9730 0,9734 0,9741 0,9779
36 71,59 0,9617 0,9639 0,9651 0,9670 0,9688 0,9704 0,9708 0,9713 0,9750
37 73,64 0,9615 0,9641 0,9652 0,9675 0,9687 0,9704 0,9707 0,9713 0,9748
38 75,68 0,9627 0,9643 0,9657 0,9673 0,9697 0,9713 0,9718 0,9723 0,9749
39 77,73 0,9640 0,9660 0,9677 0,9694 0,9708 0,9725 0,9730 0,9736 0,9767
40 79,77 0,9630 0,9652 0,9659 0,9679 0,9695 0,9712 0,9716 0,9722 0,9754
41 81,82 0,9634 0,9643 0,9666 0,9686 0,9693 0,9710 0,9714 0,9719 0,9748
42 83,86 0,9625 0,9636 0,9660 0,9682 0,9690 0,9706 0,9710 0,9716 0,9749
43 85,91 0,9630 0,9655 0,9666 0,9689 0,9698 0,9714 0,9719 0,9724 0,9758
44 87,95 0,9636 0,9649 0,9673 0,9695 0,9704 0,9721 0,9726 0,9732 0,9765
45 90,00 0,9643 0,9668 0,9691 0,9701 0,9721 0,9739 0,9744 0,9750 0,9789
46 92,05 0,9625 0,9650 0,9673 0,9682 0,9702 0,9719 0,9723 0,9729 0,9769
47 94,09 0,9621 0,9645 0,9667 0,9675 0,9694 0,9711 0,9715 0,9721 0,9758
48 96,14 0,9619 0,9640 0,9661 0,9679 0,9686 0,9702 0,9706 0,9711 0,9745
49 98,18 0,9629 0,9650 0,9667 0,9694 0,9710 0,9727 0,9732 0,9738 0,9770
50 100,23 0,9614 0,9645 0,9660 0,9673 0,9688 0,9704 0,9708 0,9714 0,9751
51 102,27 0,9615 0,9641 0,9655 0,9666 0,9687 0,9704 0,9707 0,9713 0,9738
52 104,32 0,9604 0,9627 0,9648 0,9670 0,9677 0,9693 0,9696 0,9701 0,9738
53 106,36 0,9623 0,9641 0,9658 0,9673 0,9687 0,9703 0,9707 0,9713 0,9747
54 108,41 0,9618 0,9644 0,9656 0,9679 0,9700 0,9716 0,9720 0,9726 0,9760
55 110,45 0,9637 0,9658 0,9677 0,9694 0,9710 0,9727 0,9732 0,9738 0,9783
56 112,50 0,9632 0,9648 0,9657 0,9682 0,9694 0,9710 0,9714 0,9720 0,9752
57 114,55 0,9633 0,9649 0,9669 0,9688 0,9695 0,9711 0,9715 0,9721 0,9754
58 116,59 0,9633 0,9654 0,9668 0,9682 0,9704 0,9721 0,9725 0,9731 0,9761
59 118,64 0,9644 0,9664 0,9683 0,9700 0,9716 0,9733 0,9738 0,9744 0,9787
60 120,68 0,9637 0,9651 0,9674 0,9686 0,9700 0,9716 0,9720 0,9726 0,9765
61 122,73 0,9648 0,9665 0,9681 0,9695 0,9709 0,9726 0,9730 0,9737 0,9762
62 124,77 0,9647 0,9667 0,9685 0,9702 0,9718 0,9735 0,9740 0,9747 0,9777
63 126,82 0,9663 0,9684 0,9694 0,9720 0,9737 0,9755 0,9761 0,9768 0,9807
64 128,86 0,9647 0,9679 0,9690 0,9701 0,9728 0,9745 0,9751 0,9758 0,9788
65 130,91 0,9666 0,9688 0,9701 0,9720 0,9738 0,9756 0,9762 0,9769 0,9806
66 132,95 0,9643 0,9667 0,9689 0,9709 0,9720 0,9737 0,9742 0,9749 0,9784
67 135,00 0,9646 0,9660 0,9682 0,9702 0,9721 0,9738 0,9743 0,9750 0,9769
68 137,05 0,9635 0,9650 0,9671 0,9682 0,9709 0,9726 0,9731 0,9737 0,9763
141
69 139,09 0,9642 0,9654 0,9673 0,9692 0,9701 0,9718 0,9723 0,9729 0,9766
70 141,14 0,9636 0,9654 0,9673 0,9690 0,9704 0,9721 0,9725 0,9731 0,9762
71 143,18 0,9645 0,9662 0,9678 0,9699 0,9712 0,9730 0,9734 0,9741 0,9776
72 145,23 0,9622 0,9647 0,9660 0,9672 0,9693 0,9709 0,9713 0,9719 0,9747
73 147,27 0,9621 0,9642 0,9657 0,9675 0,9692 0,9709 0,9713 0,9718 0,9737
74 149,32 0,9615 0,9632 0,9647 0,9661 0,9684 0,9700 0,9704 0,9709 0,9731
75 151,36 0,9633 0,9654 0,9674 0,9693 0,9710 0,9727 0,9732 0,9738 0,9758
76 153,41 0,9632 0,9648 0,9662 0,9676 0,9698 0,9715 0,9719 0,9725 0,9747
77 155,45 0,9632 0,9653 0,9661 0,9679 0,9695 0,9712 0,9716 0,9722 0,9746
78 157,50 0,9625 0,9651 0,9663 0,9686 0,9696 0,9712 0,9716 0,9722 0,9751
79 159,55 0,9648 0,9669 0,9696 0,9710 0,9723 0,9741 0,9746 0,9753 0,9776
80 161,59 0,9646 0,9658 0,9678 0,9696 0,9713 0,9730 0,9735 0,9741 0,9763
81 163,64 0,9644 0,9659 0,9682 0,9692 0,9704 0,9721 0,9725 0,9731 0,9756
82 165,68 0,9632 0,9648 0,9665 0,9690 0,9702 0,9718 0,9723 0,9729 0,9755
83 167,73 0,9645 0,9652 0,9669 0,9686 0,9701 0,9718 0,9722 0,9728 0,9764
84 169,77 0,9634 0,9656 0,9675 0,9694 0,9712 0,9729 0,9733 0,9740 0,9769
85 171,82 0,9650 0,9673 0,9682 0,9702 0,9721 0,9738 0,9743 0,9750 0,9783
86 173,86 0,9639 0,9651 0,9674 0,9695 0,9704 0,9721 0,9725 0,9731 0,9762
87 175,91 0,9657 0,9668 0,9691 0,9701 0,9721 0,9739 0,9744 0,9750 0,9769
88 177,95 0,9676 0,9687 0,9710 0,9719 0,9739 0,9757 0,9762 0,9770 0,9795
89 180,00 0,9724 0,9733 0,9753 0,9772 0,9778 0,9798 0,9806 0,9814 0,9839
142
4.3.4. Aproksymacja funkcji współczynnika kształtu k
Jak wykazano na wykresach, rozkład współczynnika podatności podłoża C oraz
współczynnika kształtu k na obwodzie wyrobiska eliptycznego przybiera postać funkcji
parzystej. Do dlaszych rozważań przyjmiemy ćwiartkę elipsy oraz zmienimy położenie
układu współżędnych (rys. 4.44).
Rysunek 4.44 Schemat do aproksymacji funkcji
W celu uzyskania wzoru dającego możliwość odtworzenia wykresu wartości
współczynnika kształtu k do celów obliczeniowych przeprowadzono aproksymację
funkcji. Poszukiwaną funkcję opisano za pomocą wielomianu. Dokładność
aproksymacji opisana została wzorem :
(4.2)
gdzie jest i-tą daną a fi jest wartością kombinacji liniowej badanej funkcji w i-tym
punkcie. W celu najlepszej aproksymacji wybrana została ta kombinacja liniowa, która
minimalizuje χ2. Wielkość wielomianu dobrano w oparciu o analizę wzrokową
(rys. 4.45) oraz o wartość średniego błędu kwadratowego. Statystykę tę obliczano jak
dla serii pomiarów, które podlegają przypadkowym odchyleniom od wartości
oczekiwanej, zgodnie ze wzorem (Kacperski 1997, Sobczyk 2000, Starzyńska 2005):
(4.3)
gdzie:
xi – wartość i-tego pomiaru współczynnika k uzyskana z aproksymacji,
– wartość i-tego pomiaru uzyskana z badań (wartość oczekiwana),
143
n – liczba pomiarów.
1)
2)
3)
Rysunek 4.45 Kroki aproksymacji funkcji współczynnika kształtu k (przykład dla elipsy o stosunku
półosi a/b = 1,25, liczba Poissona g = 0,25); (1 – aproksymacja wielomianem trzeciego stopnia, 2 –
aproksymacja wielomianem czwartego stopnia, 3 – aproksymacja wielomianem piątego stopnia)
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
144
Analizując wyniki obliczeń można zauważyć, że wraz ze wzrostem stosunku półosi
elipsy a/b rośnie stopień wielomianu funkcji aproksymującej. W ten sposób oznaczono
funkcje współczynnika k dla każdego z badanych przypadków a/b oddzielnie.
Dla a/b = 1,25:
(4.4)
Dla a/b = 1,5:
(4.5)
Dla a/b = 1,75:
(4.6)
Dla a/b = 2,0:
(4.7)
W aproksymacji funkcji k pominięto obliczenia dla elipsy o stosunkach półosi
a/b = 1,0 gdyż z przebadanych przykładów wynika, że w takim przypadku można
przyjąć wartość funkcji f(k) równą 1,0.
W celu uzyskania prawidłowych wartości funkcji f(k) do podanych wzorów należy
podstawić współczynniki funkcji przedstawione w tabelach 4.20 ÷ 4.23 oraz wartości
kąta j w radianach.
UWAGA: Wartości współczynników należy wpisywać z pełną dokładnością.
Obliczone błędy aproksymacji przedstawiono tabelarycznie (tab. 4.24).
145
Tabela 4.20 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,25
= 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30
a0 1,30408881672558 1,26745883721303 1,23718403018764 1,21040757571962 1,186661556806
a1 -0,079464850997855 - 0,0321170625120907 -0,0052370703701714 0,0062131162848662 0,0237954942069167
a2 -2,94662594412574 - 2,7469855272739 - 2,55120751320064 - 2,32235161227385 - 2,18041843294214
a3 4,52993406800602 4,09757614729429 3,71634408554886 3,29629602511086 3,06855354512237
a4 -2,69573510683803 - 2,39212113265023 - 2,13444118651697 - 1,85517948406985 - 1,73173849534333
a5 0,582901747370417 0,510388269837547 0,450041165576046 0,385272647215749 0,362972475921376
Tabela 4.20 c.d.
= 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
a0 1,16514331377744 1,14669918589022 1,12973180797193 1,11398964354751
a1 0,0366004081283526 0,0377604272112914 0,0417711309405925 0,0499233310173394
a2 - 2,01668823755474 - 1,8472353375746 - 1,71187612011508 - 1,60799556753725
a3 2,74571951403352 2,45735383298927 2,23091625755914 2,05758622579505
a4 - 1,5005691618233 - 1,31620827454266 - 1,17394920404098 - 1,06786884926806
a5 0,305289420871835 0,263620030944318 0,231773229396301 0,208777294038
146
Tebela.4.21 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,5
= 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30
a0 1,97919527035595 1,82284026920385 1,69542264258422 1,59490205081896 1,51319151843541
a1 -1,20969533337577 - 0,703663940250708 -0,311539891279442 -0,0965789667148027 0,000978383568392082
a2 - 18,8497849851254 - 17,1433583398552 - 15,79462974246 - 14,2158405969973 - 12,4324431862103
a3 69,420277731074 59,2504964156466 51,5246575241496 44,3334259942191 37,1786157053389
a4 - 109,240462968098 - 90,3078601154555 - 76,1972394174241 - 63,8775929725694 - 52,0628863892387
a5 89,2782396607037 72,279290181554 59,7740060636912 49,2207187319008 39,2759980223693
a6 - 37,0247894083521 - 29,5298642181338 - 24,0694239781973 - 19,5616934491076 - 15,3564311262781
a7 6,15793768000674 4,85638474492007 3,91530005478723 3,15048706419293 2,44150231719129
Tebela.4.21 c.d.
= 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
a0 1,44410516045067 1,38674038795437 1,33551368480954 1,2918805632798
a1 0,0835699162915326 0,102877921445422 0,137273792435389 0,150623153644359
a2 - 11,055028866475 - 9,66500410750181 - 8,60451190609729 - 7,61638842751669
a3 31,7884143906995 26,8255369548155 23,0368539077666 19,6022168078565
a4 - 43,3497485994628 - 35,6119387589293 - 29,780011655057 - 24,5097286814918
a5 32,0669114077664 25,7934032550426 21,1291633136123 16,8976162815561
a6 - 12,3503231414817 - 9,7675031971359 - 7,87163531665014 - 6,14000889004569
a7 1,940529032595 1,51369731492013 1,20404337463586 0,918976019976014
147
Tabela 4.22 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,75
= 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30
a0 4,06108186135688 3,20309234420669 2,68861348333156 2,33393354805855 2,08588321444816
a1 - 20,7046550316234 - 9,32892715994284 - 4,41548360530501 - 1,95971222786305 - 0,826366632174508
a2 8,72637194869942 - 49,4040243068623 - 61,4881747332055 - 59,648324433158 - 52,4552939387939
a3 286,389097349856 437,361794269969 417,392525047135 357,730458742294 290,950398596198
a4 - 1152,88604470416 - 1365,80318636409 - 1205,39482905854 - 981,951796731072 - 767,004820122077
a5 2153,21367206207 2305,44751326967 1952,14437705578 1542,53120160553 1172,99726168657
a6 - 2265,04466100976 - 2292,50321249407 - 1890,41882848039 - 1462,98682783673 - 1091,17284380397
a7 1375,31885248162 1342,29832112761 1086,43197722156 828,103281718187 608,648373739494
a8 - 450,237381322608 - 428,322561030374 - 341,893603204992 - 257,59669327633 - 187,167567044627
a9 61,5819428948024 57,4782311149907 45,388136178094 33,8869472153354 24,3954509500462
148
Tabela 4.22 c.d.
= 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
a0 1,89480146804515 1,7479832148299 1,63224818940359 1,53553121465189
a1 - 0,150432582363361 0,115629044824541 0,202647776201836 0,242651036253477
a2 - 45,5775274551805 - 38,1842578556936 - 31,4762698346071 - 26,0347668269869
a3 236,429559431145 187,55764734268 146,444582040831 114,559121304058
a4 - 599,676286478649 - 459,177730373279 - 344,36333966849 - 257,610098552976
a5 892,756279255239 666,375699111802 484,362527148213 349,208794130117
a6 - 814,02878978692 - 596,077368772038 - 422,687825077698 - 295,4821866179
a7 447,097715241967 322,573478930853 224,253717878945 152,731102595513
a8 - 135,813574045909 - 96,8438264752544 - 66,2502916168729 - 44,1272431884401
a9 17,5269956649798 12,379876098565 8,35743802090269 5,46072828136111
149
Tabela 4.23 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 2,0
= 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30
a0 40,7813925638154 14,7858314012254 6,93109230205365 4,6201300612131 3,52304396991355
a1 - 1257,34093635793 - 343,630317640738 - 92,5760482219521 - 35,4010931173292 - 15,7439543827119
a2 14300,7743508305 3476,64587516198 640,209297576209 87,7829984818264 - 53,2860604276537
a3 - 80821,8123315844 - 18469,9280927774 - 2569,86570256963 229,968451942 775,146013415052
a4 261174,317051467 57489,4755554052 6444,58936436386 - 1943,75890633675 - 3213,30285522061
a5 - 518880,328988057 - 111407,529025115 - 10506,7251514383 5268,05189084326 7146,70626274364
a6 655293,952025985 138237,291845076 11308,8357891288 - 7805,10020303027 - 9607,53828114715
a7 - 527465,92521263 - 109823,033908551 - 7971,25343207787 6926,45192470437 8039,48877615432
a8 262003,980621977 54003,5573929703 3538,0711851479 - 3674,11212291306 - 4098,76471495423
a9 - 73176,7308205323 - 14962,7213364516 - 896,845320757567 1075,70119919348 1166,11767432225
a10 8789,04384103625 1785,49077911478 98,9726723927098 - 133,857232822188 - 141,98744364732
150
Tabela 4.23 c.d.
= 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
a0 2,87413479368617 2,45589838179847 2,15960589023966 1,9399009918808
a1 - 7,00369183813305 - 3,22039945415708 - 1,27754525074822 - 0,302766152902542
a2 - 93,9861087184467 - 93,495208459268 - 84,7473904165777 - 72,9480396357391
a3 838,750130749964 719,982093385545 596,092400589431 478,38594077496
a4 - 3111,75164273987 - 2523,39501316453 - 2002,9859990153 - 1546,09564443919
a5 6560,8041178076 5144,60741031135 3976,89963701896 2989,43649458481
a6 - 8539,21965546977 - 6544,78590789524 - 4966,66889430416 - 3661,71079351507
a7 6990,60805441654 5269,1468178081 3944,42970514916 2865,31129659512
a8 - 3507,76964363291 - 2610,38098902861 - 1933,7397745134 - 1388,43517058224
a9 985,981725297502 726,354412861702 533,637760814215 379,574473152162
a10 - 118,917745767047 - 86,888563177235 - 63,4091686898913 - 44,756148529487
Tabela 4.24 Średni błąd kwadratowy aproksymacji funkcji współczynnika kształtu f(k)
= 0,10 = 0,15 = 0,20 = 0,25 = 0,30 = 0, 35 = 0,40 = 0,45 = 0,50
a/b = 1,25 0,000317 0,000243 0,000190 0,000152 0,000177 0,000101 0,000083 0,000070 0,000058
a/b = 1,5 0,001123 0,000762 0,000518 0,000378 0,000252 0,000170 0,000129 0,000101 0,000075
a/b = 1,75 0,004673 0,002900 0,001800 0,001095 0,000654 0,000386 0,000234 0,000138 0,000093
a/b = 2,0 0,195212 0,030787 0,004618 0,005149 0,003306 0,002174 0,001250 0,000784 0,000453
151
Z analizy błędów aproksymacji wynika, że funkcje f(k) dla stosunku półosi a/b = 2,0
oraz liczby Poissona 0,10 i 0,15 mają zbyt duże odchylenia od funkcji pierwotnej
uzyskanej z badań, potwierdza to również analiza wzrokowa, dlatego dla tych dwóch
przypadków wzory powyższe nie powinny być stosowane.
4.4. Przykład zastosowania opracowanej metody wyznaczania
wartości współczynnika podatności podłoża dla tunelu o przekroju
eliptycznym
W celu sprawdzenia praktycznej możliwości wykorzystania wzorów i wykresów
współczynnika k do wyznaczania współczynnika podatności podłoża C na obwodzie
wyrobiska przyjęto model tunelu, o parametrach zbliżonych do warunków
rzeczywistych:
- tunel drogowy dla dwujezdniowej drogi typu S w terenie niezabudowanym dla
prędkości przejazdowej 100 km/h, parametry skrajni zgodne z wymogami
zawartymi w przepisach (Rozporządzenie 1999, Rozporządzenie 2000),
- obudowa sklepiona o grubości 100 cm,
- parametry górotworu otaczającego tunel zbliżone do parametrów fliszu
karpackiego (Broniatowska i Gaszyński 2006, Wiłun 2000).
Na tej podstawie zbudowano w programie Robot Structural Analysis model tarczy o
parametrach: moduł sprężystości wzdłużnej tarczy Eg = 10000 MPa oraz liczba
Poissona g = 0,20 z centralnie umieszczonym otworem eliptycznym o wymiarach
półosi a = 8,0 m, b = 4,65 m, obciążonym od środka równomiernie rozłożonym
obciążeniem 1,0 MPa. Wyniki obliczeń przedstawiono w postaci wykresu (rys. 4.46).
W celu weryfikacji wybrano trzy punkty na obwodzie wyrobiska:
1) punkt w kluczu sklepienia (j = 0o),
2) punkt o azymucie j = 45o,
3) punkt na ociosie wyrobiska (j = 90o).
152
Rysunek 4.46 Rozkład wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska
eliptycznego o wymiarach półosi a = 8,0 m, b = 4,65 m; parametry górotworu: moduł sprężystości
wzdłużnej Eg = 10000 MPa, liczba Poissona g = 0,20
W tych punktach wartości współczynnika podatności podłoża C, obliczone przy
użyciu programu Robot Structural Analysis wynoszą: w 1 – 700,77 MN/m3, w 2 –
888,69 MN/m3, w 3 – 4366,65 MN/m
3.
Pierwszą metodą wyznaczenia współczynnika podatności podłoża na podstawie
współczynnika kształtu k jest metoda z użyciem nomogramów wykreślonych na
podstawie badań. Ponieważ rozpatrywane wyrobisko posiada stosunek półosi a/b = 1,72
należy dokonać interpolacji wartości odczytanych z uzyskanych nomogramów dla
stosunków półosi a/b = 1,5 oraz a/b = 1,75. Odczyty przedstawiono graficznie na
wykresie (rys. 4.47) oraz tabelarycznie (tab. 4.25).
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0,0 45,0 90,0 135,0 180,0
C [
MN
/m3]
j [...o]
153
Rysunek 4.47 Rozkład wartości współczynnika kształtu k na obwodzie wyrobiska eliptycznego o
stosunkach półosi a/b = 1,5 i a/b = 1,75; parametry górotworu: moduł sprężystości wzdłużnej Eg = 10000
MPa, liczba Poissona = 0,20
Korzystając z odczytanych wartości współczynnika kształtu k oraz wzoru (4.1)
obliczono wartości współczynnika podatności podłoża w zadanych punktach. Wartości
umieszczono w tabeli (tab. 4.25).
Tabela 4.25 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu nomogramów
Punkty
pomiarowe
Odczytana
wartość k dla
a/b = 1,50
Odczytana
wartość k dla
a/b = 1,75
Wartość k dla
a/b = 1,72 (po
interpolacji)
Współczynnik
podatności
podłoża Ck,
MN/m3
Współczynnik
podatności
podłoża Cel,
MN/m3
j = 0o 0,48 0,38 0,3920 702,51
j = 45o 0,61 0,48 0,4956 888,17
j = 90o 1,69 2,66 2,5436 4558,42
Metoda nomogramowa bywa często niedokładna, co wiąże się z precyzją oraz
skalą wykonania samych nomogramów jak i dokładnością odczytania wyników dlatego
w pracy przedstawiono wzory odtwarzające przebieg funkcji współczynnika kształtu.
Jest to metoda wygodniejsza w przypadku konieczności płynnego odczytu parametru k
na obwodzie wyrobiska. W przypadku tej metody również należy skorzystać z wzorów
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j [...o]
a/b=1,50
a/b=1,75
154
dla stosunków półosi elipsy a/b = 1,5 oraz a/b = 1,75 (wzór 4.5 i 4.6) i interpolować
funkcje do żądanego stosunku półosi a/b = 1,72. Do tego celu można użyć arkusza
kalkulacyjnego (np. Excel). Wyniki tego rozwiązania przedstawiono graficznie
(rys. 4.48).
Rysunek 4.48 Wyniki obliczeń współczynnika kształtu k przy użyciu wzorów z aproksymacji funkcji f(k)
Ponieważ wzory funkcji wyprowadzone zostały dla układu obróconego o 90o, należy
ten fakt uwzględnić przy odczytach wartości funkcji k. Korzystając z zależności (4.1)
obliczono wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie elipsy o stosunku
półosi a/b = 1,72. Wyniki przedstawiono tabelarycznie (tab. 4.26).
Tabela 4.26 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu wzorów uzyskanych z
aproksymacji funkcji f(k)
Punkty
pomiarowe
Obliczona
wartość k dla
a/b = 1,50
Obliczona
wartość k dla
a/b = 1,75
Wartość k dla
a/b = 1,72 (po
interpolacji)
Współczynnik
podatności
podłoża Ck,
MN/m3
Współczynnik
podatności
podłoża Cel,
MN/m3
j = 0o 0,4863 0,3902 0,4017 1792,11 719,93
j = 45o 0,6124 0,4723 0,4891 1792,11 876,58
j = 90o 1,6954 2,6886 2,5694 1792,11 4604,71
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
-10 10 30 50 70 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
j […o]
a/b = 1,5
a/b = 1,75
a/b = 1,72
155
Porównanie metod zestawiono tabelarycznie (tab. 4.27).
Tabela 4.27 Porównanie wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska
eliptycznego uzyskanych na podstawie trzech metod: a) obliczenia programem Robot Structural Analysis,
b) obliczenia na podstawie nomogramów, c) obliczenia przy użyciu wzorów aproksymacyjnych
funkcji f(k)
Punkty
pomiarowe
Współczynnik podatności podłoża Cel, MN/m3 Błąd metody
obliczenia na
podstawie
nomogramów
[%]
Błąd metody
obliczenia przy
użyciu wzorów z
aproksymacji
funkcji f(k)
[%]
obliczenia
programem
Robot
Structural
Analysis
obliczenia na
podstawie
nomogramów
obliczenia przy
użyciu wzorów
aproksymacyjnych
funkcji f(k)
j = 0o 700,77 702,51 719,93 0,25 +2,73
j = 45o 888,69 888,17 876,58 -0,06 -1,36
j = 90o 4366,65 4558,42 4604,71 4,39 +5,45
Jak wynika z obliczonego przykładu, obie z powyższych metod są skuteczne w
określaniu wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska. W
przypadku pojedynczych odczytów wystarczającą jest metoda nomogramowa, przy
konieczności uzyskania wyników dla pełnego obwodu korzystne jest użycie metody
drugiej.
156
5. Podsumowanie i wnioski końcowe
5.1
W pracy przeanalizowano wpływ konstrukcji obudowy wyrobiska o przekroju
kołowym na wartość współczynnika podatności podłoża. Jak wynika z obliczeń grubość
folii jak i jej współczynnik sprężystości wzdłużnej nie wpływają znacząco na wartość
współczynnika podatności podłoża wg Winklera. Dla podanych założeń, wartość tego
współczynnika zawiera się w przedziale od 2220,85 do 2252,71 MN/m3, a zatem
różnica wynosi zaledwie 1,41 %. W obliczeniach wykazano, jak znacząco parametry
sprężyste górotworu otaczającego wyrobisko (współczynnik sprężystości górotworu
oraz liczba Poissona) wpływają na wartość współczynnika Winklera (dla przyjętych
danych wartość ta waha się od 710,87 do 4522,52 MN/m3). Brak obudowy wstępnej ma
swoje odzwierciedlenie w otrzymanych wynikach tego współczynnika. Jeśli porówna
się wartości otrzymane dla tunelu z obudową wstępną (bez folii hydroizolacyjnej) oraz
dla tunelu bez obudowy wstępnej, można zauważyć, że dla tych samych wartości
współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (Eg = 7000 MPa) wartość
współczynnika Winklera jest o ok. 21 % większa dla przypadku tunelu z obudową
wstępną.
5.2
Przeprowadzone obliczenia potwierdzają, że w przypadku nierównomiernego
obciążenia wyrobiska wartość współczynnika podatności podłoża na obwodzie
wyrobiska nie jest stała. W badaniach potwierdzono natomiast równomierny rozkład
wartości współczynnika C na obwodzie wyrobiska o przekroju kołowym (szczególny
przypadek elipsy o stosunku półosi a/b = 1) dla przypadku równomiernego obciążenia.
5.3
Uzyskane wyniki dla trzech powiązanych ze sobą modeli tarczy z otworem
eliptycznym wykazały zmianę wartości współczynnika podatności podłoża w
zależności od wymiarów otworu. W przypadku dwukrotnego powiększenia wymiarów
wyrobiska wartości tego współczynnika w badanych punktach na obwodzie maleją
dwukrotnie. W przypadku obrotu wyrobiska o 90o
przebieg funkcji współczynnika C
jest przesunięty w fazie o 90o.
157
5.4
Załączone wykresy przedstawiają jak kształtuje się rozkład współczynnika
podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska eliptycznego w zależności od stosunku
półosi elipsy a/b. Z badań tych wynika, że w przypadku stosunku półosi a/b = 2 oraz
niskich wartości liczby Poissona górotworu ( = 0,1) różnice pomiędzy wartością
współczynnika C w stropie wyrobiska i na ociosie są znaczne. Szczególny wzrost
wartości współczynnika dla rozpatrywanego przypadku odnotowuje się w otoczeniu
(±5) punktu na obwodzie elipsy o azymucie = 90o (por. rys. 4.34). Gdy wartość
stosunku a/b zbliża się do jedności oraz, gdy wzrasta wartość liczby Poissona
górotworu, dysproporcje w stropie i na ociosach maleją.
5.5
Na podstawie przeprowadzonych badań projektant otrzymuje narzędzie do
obliczenia współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska eliptycznego.
W tym celu może posłużyć się dwoma metodami.
A. Metoda nomogramowa – polegająca na odpowiedniej interpolacji i odczytaniu
wartości współczynnika kształtu k z dołączonych wykresów i przeliczeniu wg
wzoru (4.1) na wartość współczynnika podatności podłoża C w punkcie na
obwodzie wyrobiska.
B. Metoda analityczna – bazująca na wielomianach aproksymacyjnych uzyskanych
z badań (wzory 4.4 - 4.7). W metodzie tej mamy do dyspozycji wartości dla ¼
obwodu, dlatego projektant powinien odpowiednio ustawić swój układ
współrzędnych konstrukcji. Następnie, korzystając z arkusza kalkulacyjnego,
może dokonać obliczenia (interpolacji) funkcji współczynnika kształtu k dla
odpowiedniego stosunku półosi elipsy oraz wartości liczby PoissonaNa ich
podstawie oraz bazując na wzorze (4.1) dokonuje obliczenia wartości
współczynnika podatności podłoża C w punkcie na obwodzie obudowy
wyrobiska. Sposób postępowania wyjaśniono na przykładzie.
158
5.6
Wyniki pracy wykazały, że wartość współczynnika podatności podłoża C na
obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego jest zmienna. Wyniki pracy pozwalają
również na określenie wartości tego współczynnika dla zadanych warunków
geotechnicznych. Świadczy to o pełnej realizacji tezy pracy.
5.7
Wyniki pracy mogą być stosowane przy projektowaniu obudowy ostatecznej tuneli o
przekroju eliptycznym dla stosunku półosi w przedziale 1,0 a/b 2,0.
159
6. Literatura
Arioglu B., Yuksel A., Kurtuldu S., Arioglu E. 2002: NATM, EPBM and Cut and Cover
Tunnelling Applications in the Project of Izmir Met. Felsbau, Rock and Soil
Engineering. Rok 19, Nr 4.
ASTM 1992: Standard Test Method for Penetration Test and Split-Barrel Sampling of
Soils, D1586-9. Annual Book of ASTM.
Babendererde S.1991: Tunnelling Machines in Soft Ground: a Comparison of Slurry
and EPB Shield System. Tunneling and Underground Space Technology, Vol. 6, No. 2,
s. 169 – 174.
Bickel J. O., Kuesel T. R., King E. H. 1996: Tunnel Engineering Handbook, Second
Edition. Chapman & Hall, An International Thomson Publishing Company, New York.
Biot M. A. 1937: Bending of an Infinite Beam on an Elastic Foundation. Journal of
Applied Physics, 12(2), 155 – 164.
BN-73/0434-04: Wyrobiska korytarzowe poziome i pochyłe w kopalniach. Obudowa
murowa sklepiona. Wytyczne projektowania i obliczeń statycznych
BN-79/0434-04: Wyrobiska korytarzowe w kopalniach. Obudowa sklepiona. Wytyczne
projektowania i obliczeń statycznych.
Bougard I. F. 1984: Different Underground Tunnelling Methods. Advances in
Tunnelling Technology and Subsurface Use. Vol. 4, Nr 4.
Bournes C. 2005: TBM: design considerations for project. Proceedings of the 2005 ITA
– AITES World Tunnel Congress, Istanbul.
Broniatowska M., Gaszyński J. 2006: Badania wytrzymałościowe utworów fliszu
karpackiego w rejonie budowy zbiornika wodnego Świnna Poręba. Geotechnika i
budownictwo specjalne (red. D. Flisiak, M. Cała), XXIX ZSMGiG, Kraków – Krynica.
Burland J. B., Burbidge M. C. 1984: Settlement of foundations on sand and gravel.
160
Institute of Civil Engineers Glasgow.
Bustamante M., Gianeselli L. 1982: Pile bearing capacity prediction by means of static
penetrometer CPT. Proc. ESOPT II, Amsterdam.
Chudek M. 1986: Obudowa wyrobisk górniczych. Część I. Obudowa wyrobisk
korytarzowych i komorowych. Wydawnictwo Śląsk, Katowice.
Czaja P., Tajduś A. 2004: Światowe doświadczenia w budownictwie tuneli w skałach
zwięzłych. Seminarium naukowo-techniczne, Budownictwo tunelowe w Karpatach i
jego ekologiczne uwarunkowania, UWND AGH, Kraków.
Dąbrowski O., Kolendowicz T. 1983: Poradnik inżyniera i technika budowlanego. Tom
3. Mechanika Budowli. Arkady, Warszawa.
D'Appolonia D. J., D'Apolonia E., Brissette R. F. 1968: Settlement of spread footing on
sand. Journal of Soil Mechanics and Foundation, American Society of Foundation
Engineering Division, SMFE DIV. ASCE, 94 (SM3), 735 – 760.
Dawydow S.S. 1954: Obliczanie i projektowanie konstrukcji podziemnych.
Wydawnictwo MON, Warszawa.
Domańska D. 2002: Metoda szacowania nośności odrzwi obudowy stalowej łukowej.
Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 3, 14 – 21.
Dzierżęga A. 2004: Budowa tuneli w Szwajcarii. Geoinżynieria i Tunelowanie, nr 2,
34 – 39.
Eisenstein Z. 2000: Budownictwo tuneli w mieście. Budownictwo Górnicze i Tunelowe,
nr 3, 1 – 3.
Filcek H., Walaszczyk J., Tajduś A. 1994: Metody komputerowe w geomechanice
górniczej. Śląskie Wydawnictwo Techniczne, Katowice.
Filonenko-Borodich M.M. 1940: Some approximate theories of elastic foundations (in
Russian). Uchenye Zapiski Moskovskogo Universiteta, Mehanika, tom 46, 3 – 15.
161
Fischer H. 2001: Projektowanie sposobów wykorzystania przestrzeni podziemnej.
Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 2, s. 7 – 11.
Frydrych K. 2005: Wpływ konstrukcji obudowy tunelu o przekroju kołowym na wartość
współczynnika podatności podłoża. Górnictwo i Geoinżynieria, Kraków 2005, rok 29,
zeszyt 3/1, 225 – 235.
Frydrych K. 2008: Badania nad wpływem współczynnika podatności podłoża na
nośność obudowy wyrobiska podziemnego. Górnictwo i Geoinżynieria, Kraków 2008,
rok 32, zeszyt 1, 73 – 81.
Furtak K., Kędracki M. 2005: Podstawy budowy tuneli. Politechnika Krakowska,
Kraków.
Gałczyński S. 2001: Podstawy budownictwa podziemnego. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Wrocławskiej, Wrocław.
Gehring K. 1997: Tarczowe metody drążenia tuneli w terenach o gęstej zabudowie
powierzchni. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 2, 1 – 12.
Golec D. 1996: Nowa austriacka metoda drążenia tuneli w krajowym budownictwie
podziemnym. Konferencja Naukowo – Techniczna, Budownictwo podziemne, Kraków
26-27 września 1996 r.
Gorbunow-Posadow M. I. 1956: Obliczanie konstrukcji na podłożu sprężystym.
Wydawnictwo "Budownictwo i Architektura", Warszawa.
Grabowski Z., Obrycki M., Pisarczyk S., 2005: Fundamentowanie. Wyd. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.
Gróf V. 2002: Monitoring geotechniczny przy budowie tuneli drogowych na Słowacji.
Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 2, 37 – 45.
Hollen H. 1998: TBM versus Drill and Blast Tunnelling. Norwegian Tunnelling
Society, c.13.
Huber M.T. 1958: Stereomechanika techniczna: Wytrzymałość materiałów (wydanie II).
162
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
ITA 2000: ITA Working Group 14 „Mechanized Tunnelling”: Recommendations and
Guidelines for Tunnel Boring Machines (TBMs), ITA – AITES.
Jabłońska D. 2002: Zastosowanie nowoczesnych technologii do budowy obiektów
podziemnych. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 3, 35 – 44.
Jamiolkowski M., Ladd C.C., Germaine J. T., Lancelotta R. 1985: New developments in
field and laboratory testing of soils. Theme lecture, In: Proceedings of the 11th
International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, San
Francisco.
Jaworski B. 2003: Budownictwo tunelowe w Szwajcarii. Budownictwo Górnicze i
Tunelowe, nr 2, 23 – 28.
Jendryś M., Żyliński R., Kleta H. 2003: Wpływ kształtu spągu na rozkład sił
wewnętrznych w obudowie wyrobiska tunelowego. Budownictwo Górnicze i Tunelowe,
nr 3, 9 – 12.
Kacperski J. L. 1997: Opracowanie danych pomiarowych. Wydanie II uzupełnione.
Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
Karakuş M., Fowell R. J. 2004: An insight into the New Austrian Tunnelling Method
(NATM). ROCKMEC’2004 – VIIth
Regional Rock Mechanics Symposium. Sivas,
Türkiye.
Kobiak J., Stachurski W. 1987: Konstrukcje żelbetowe. tom 2, Arkady, Warszawa.
Koegler F., Scheiding A. 1938: Baugrund und Bauwerk. W. Ernst u. Sohn, Berlin.
Kolymbas D. 2005: Tunelling and Tunnels Mechanics. A Rational Approach to
Tunnelling. Springer, Germany.
Konderla P., Kasprzak T. 1997: Metody komputerowe w teorii sprężystości. Część I.
Metoda elementów skończonych. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne. Wrocław.
163
Kosmalski M., Gmitrowski S. 1995: Drążenie tuneli na trasie szybkiej kolei podziemnej
"Ankaray" w Turcji. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 1, 2 – 9.
Kosmalski M., Kozłowski R. 2002: Nowoczesne, zmechanizowane tarcze do drążenia
tuneli metra w zawodnionych gruntach i słabych skalach. Budownictwo Górnicze i
Tunelowe, nr 4, 13 – 20.
Kosmalski M., Kozłowski R. 2003: Nowoczesne zmechanizowane tarcze do drążenia
tuneli metra w zawodnionych gruntach i słabych skałach. Inżynieria Bezwykopowa,
nr 4/2003.
Kosmalski M., Kozłowski R. 2005: Nowoczesne metody rozbudowy metra
warszawskiego w oparciu o zmechanizowane tarcze pełnoprzekrojowe. Górnictwo i
Geoinżynieria, Rok 29, Zeszyt 3/1, UWND AGH, Kraków.
Kuczyński J. 1980: Miejskie budowle sanitarne i podziemne. PWN, Warszawa,
Wrocław.
Madryas C., Ryż K. 2003: Współczesne technologie podziemnego budownictwa
komunikacyjnego. Metody drążenia tuneli komunikacyjnych. Inżynieria Bezwykopowa,
nr 2, 46 – 56.
Mateja J. 1982: Studium nad ustaleniem nośności stalowych odrzwi obudowy łukowej w
wyrobiskach udostępniających nienarażonych na bezpośredni wpływ ciśnień
eksploatacyjnych. Mysłowice, Prace Naukowo-Badawcze OBR BG „Budokop”.
Mitchell J. K., Gardner W. S. 1975: In situ measurement of volume change
characteristics, SOA report. [W:] Proceedings of the American Society of Civil
Engineering (ASCE) Special Conference on the In Situ measurement of soil properties.
Moayed R. Z. 2008: Foundation Size Effect on Modulus of Subgrade Reaction in Clayey
Soil. Electronic Journal of Geotechnical Engineering Volume 13, Bund. E
Moayed R. Z., Naeini S.A. 2006: Evaluation of modulus of subgrade reaction (Ks) in
gravely soils based on SPT results. IAEG2006 Engineering geology for tomorrow's
cities The 10th IAEG International Congress, Nottingham, United Kingdom, 6 – 10
164
September 2006, 505 – 510.
Modliński H. 1979: Poradnik projektanta przemysłowego, Temat 128, Mechanika
gruntów w praktyce inżynierskiej, część III, Własności mechaniczne gruntów. COBPBP
„BISTYP”.
Motyczka A. 2006: Tunelowanie metodami górniczymi: technologie drążenia małych
tuneli w budownictwie podziemnych obiektów inżynierskich. Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej, Gliwice.
Nowacki W. 1974: Mechanika budowli (wydanie trzecie). Państwowe Wydawnictwo
Naukowe, Warszawa.
Obst I. 2001: Tunele na nowej trasie szybkiej kolei Ingolstadt - Norymberga.
Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 3, 43 – 50.
Parry R. H. G. 1978: Estimating foundations settlements in sand from plate bearing test.
Geotechnique, 28, 413 – 430
Pasternak P. L. 1954: On a new Method of Analysis of an Elastic Foundation by Means
of Two Foundation Constants (in Russian). Gosudarstvennoe Izdatelstvo Literatury po
Stroitelstvu i Arhitekture, Moscow, USSR.
Pękacki W. 1971: Budownictwo górnicze podziemne, Część I, Wykonywanie wyrobisk
korytarzowych i komorowych. Wydawnictwo „Śląsk”, Katowice.
Piętkowski R. 1957: Mechanika gruntów. BA, Warszawa.
Piętkowski R., 1969: Fundamentowanie. Wyd. Arkady, Warszawa.
Pilecki Z. 2002: Wybrane zagadnienia projektowania i budowy tunelu drogowego
Laerdal. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 2, 46 – 54.
PN-B-02480:1986: Grunty budowlane. Określenie, symbole, podział i opis gruntów.
PN-B-03264:2002: Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone – Obliczenia statyczne i
projektowanie.
165
PN-G-05020:1997 Podziemne wyrobiska korytarzowe i komorowe - Obudowa sklepiona
- Zasady projektowania i obliczeń statycznych.
PN-G-05600:1998 Podziemne wyrobiska korytarzowe i komorowe. Obudowa
powłokowa. Zasady projektowania i obliczeń statycznych.
PN-G-06010:1998: Wyrobiska korytarzowe poziome i pochyłe w zakładach górniczych.
Przekroje poprzeczne symetryczne.
PN-H-93441-1:1994: Kształtowniki stalowe walcowane na gorąco dla górnictwa -
Ogólne wymagania i badania.
PN-H-93441-3:2004: Kształtowniki stalowe walcowane na gorąco dla górnictwa –
Kształtowniki typu V – Wymiary.
PN-S-02203:1997 Tunele komunikacyjne – Terminologia i klasyfikacja.
Poettler R., Raj M., Blankiewicz R., Starjakob F. 2003: Tunel -Trasa Zwierzyniecka.
Aspekty techniczne i ekonomiczne. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 2, 7 – 12.
Pokrovsky N. M. 1980: Driving horizontal working and tunnels. Mir Publishers,
Moscow.
Reese L. C., O' Neil M. W. 1987: Drilled shafts: Construction procedures and design
methods. U. S. Department of Transportation Federal Highway Administration Office of
Impletation Mc Leans, Virginia.
Reese L. C., Wright S. J. 1977: Drilled shaft manual. Vol. 1. U.S. Dept. of
transportation, offices of research and development, implementation div. HDV–2,
Washington D. C.
Rossiński B. 1963: Budownictwo betonowe. Fundamenty. Tom IX. Arkady, Warszawa.
Rozporządzenie 1999: Rozporządzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej z
dnia 2 marca 1999 r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać
drogi publiczne i ich usytuowanie (Dz.U.2010.65.407).
166
Rozporządzenie 2000: Rozporządzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej z
dnia 30 maja 2000 r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać
drogowe obiekty inżynierskie i ich usytuowanie (Dz.U.1999.43.430).
Rozporządzenie 2011: Rozporządzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej z
dnia 17 czerwca 2011 r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać
obiekty budowlane metra i ich usytuowanie (Dz.U.2011.144.859).
Rułka K., Wojtusiak A., Pękacki W., Stochel D. 1996: Doświadczenia krajowego
zaplecza projektowo-badawczego i i przedsiębiorstw w realizacji Wyrobisk Tunelowych
i budowli podziemnych metodami górniczymi. Główny Instytut Górnictwa, Katowice.
Rułka K., Wypchol N., Mateja J., Gruszka R. 1983: Zasady projektowania, obliczania i
doboru obudów dla długotrwałych wyrobisk korytarzowych i komorowych. Prace
Naukowo-Badawcze OBR BG „Budokop”, Mysłowice.
Sałustowicz A. 1955: Mechanika górotworu. Część 1. Mechanika górotworu.
Górnictwo Tom III. Wydawnictwo Górniczo-Hutnicze, Stalinogród.
Sałustowicz A. 1965: Zarys mechaniki górotworu. Wydawnictwo „Śląsk”, Katowice.
Sinha R. S. 1991: Underground structures, design and construction. Development In
Geotechnical Engineering, Elsevier Amsterdam – Oxford – New York – Tokyo.
Sobczyk M. 2000: Statystyka. Podstawy teoretyczne, przykłady-zadania. Wydawnictwo
Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin.
Stamatello H. 1970: Tunele i miejskie budowle podziemne. Arkady, Warszawa.
Starzyńska W. 2005: Statystyka praktyczna. Wydanie drugie zmienione. Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa.
Steiner W. 2001: Geotechniczne warunki drążenia tuneli z zastosowaniem maszyn TBM.
Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 1, 4 – 9.
Stypuła K. 2003: Doświadczenia metra warszawskiego. Problemy dynamiczne w
projektowaniu oraz podczas budowy i eksploatacji. Budownictwo Górnicze i Tunelowe,
167
nr 1, 9-16.
Świniański J. 2003: Ocena podatności podłoża przy wymiarowaniu płyt
fundamentowych. Inżynieria Morska i Geotechnika nr 5/2003, 314 – 319.
Szmelter J. 1980: Metody komputerowe w mechanice. PWN, Warszawa.
Terzaghi K. 1955: Evaluation of coefficient of subgrade reaction. Geotechnique, Vol. 5,
No. 4, 297 – 326.
Terzaghi K., Peck R. B. 1948: Soil mechanics in engineering practice. J. Wiley & Sons
Inc., New York.
Timoszenko S., Goodier J.N. 1962: Teoria sprężystości. PWN, Warszawa.
Ustawa 1985: Ustawa o drogach publicznych z dnia 21 marca 1985 r.
(Dz.U.2007.19.115 j.t).
Vesic A. S. 1961: Beams on elastic subgrade and the “Winkler's hypothesis. In:
Proceedings of the 5th International Conference on Soil Mechanics and Foundation
Engineering (ICSMFE), Paris, 845 – 850.
Walaszczyk J., Barnat A., Hachaj S., Bystrowski J., Toś W. 1993: Zastosowanie
informatyki w geomechanice. Materiały do ćwiczeń projektowych. Wydawnictwa AGH,
Kraków.
Wichur A. 1978: Zagadnienie obciążeń stycznych obudowy szybowej w świetle analizy
sprężystego modelu tarczy i pierścienia. Górnictwo, Rok 2, Zeszyt 1, 15 – 36.
Wichur A. 2009: Zagadnienia projektowania obudowy długotrwałych wyrobisk
podziemnych. Górnictwo i Geoinżynieria, Kraków, rok 33, zeszyt 3/1, 407 – 436.
Wichur A., Baran D., Frydrych K. 2009: Analiza wpływu wybranych czynników
górniczych i geotechnicznych na wartości sił wewnętrznych w obudowie sklepionej
wyrobisk korytarzowych. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, rok XV, nr 1, 10 – 15.
Wichur A., Frydrych K., Hapke M. 2010: Wpływ grubości obudowy sklepionej
168
betonowej na wartości sił wewnętrznych w tej obudowie. Górnictwo i Geoinżynieria,
Kraków, rok 34, zeszyt 2, 609 – 617.
Wichur A., Frydrych K., Piłat Ł. 2006: Badania nad wstępnym doborem grubości
betonowej obudowy sklepionej. Geotechnika i Budownictwo Specjalne ZSMGIG
XXIX, Kraków – Krynica 2006, 499 – 508.
Wichur A., Frydrych K., Strojek D. 2005: Zasady doboru obudowy powłokowej.
Górnictwo i Geoinżynieria, Kraków, rok 29, zeszyt 3/1, 499 – 509.
Wichur A., Gruszka R. 2001: Zasady projektowania obudowy długotrwałych
podziemnych wyrobisk korytarzowych. Budownictwo Górnicze i Tunelowe, nr 1,
34 – 42.
Wichur A., Tokarz A., Pękacki W. 1994: Podstawowe problemy budownictwa
podziemnego. Budownictwo podziemne, Wydawnictwo Scriptum, Kraków.
Wiłun Z. 2000: Zarys geotechniki. Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Wydanie 4,
Warszawa.
Winkler E. 1867: Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Dominicus, Prague.
Winterkorn H.F., Fang H.J. 1975: Foundation Engineering Handbook. Van Nostrand
Reinhold Company, New York.
Witryna internetowa: <http://www.en.structurae.de>
Witryna internetowa: <http://www.ita-aites.org>
Witryna internetowa: <http://www.metro.waw.pl>
Witryna internetowa: <http://www.pebeka.com.pl>
Witryna internetowa: <http://www.tunnelbuilder.com>
169
Załącznik 1 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,10 (wartość
współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 43,7250)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
170
Załącznik 2 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,15 (wartość
współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 15,2375)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
171
Załącznik 3 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,20
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
172
Załącznik 4 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,25
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ólc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
173
Załącznik 5 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,30
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
174
Załącznik 6 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,35
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
175
Załącznik 7 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,40
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
176
Załącznik 8 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,45
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ółc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0
177
Załącznik 9 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska
eliptycznego o stosunku półosi 1,0 a/b 2,0 dla liczby Poissona = 0,50
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0 15 30 45 60 75 90
wsp
ólc
zyn
nik
ksz
tałt
u k
[…o]
a/b = 2,0
a/b =1,75
a/b = 1,5
a/b = 1,25
a/b = 1,0