Boole’sche Algebra
George Boole 1815 - 1864
1
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Ausgang yohne Spannung
Schalter a offen
+
a=0
y=0
2
2
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Ausgang yunter Spannung
Schalter a geschlossen
+
a=1
y=1
3
3
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Ausgang yohne Spannung
Schalter a offen
Schalter b offen
+
b=0
y=0
a=0
4
4
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Ausgang yohne Spannung
Schalter a offen
Schalter b geschlossen
+
b=1
y=0
a=0
5
5
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Ausgang yohne Spannung
Schalter a geschlossen
Schalter b offen
+
b=0
y=0
a=1
6
6
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Ausgang yunter Spannung
Schalter a geschlossen
Schalter b geschlossen
+
b=1
y=1
a=1
7
7
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y = a ∧ b
+
b
y
a
a b y0 00 11 01 1
0001
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
8
Konjunktion (and)
8
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+
b
y
a
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
9
a b y0 00 11 01 1
0001
Konjunktion (and)
y = a ∧ b
9
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+
b
y
a
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
10
a b y0 00 11 01 1
0001
Konjunktion (and)
y = a ∧ b
10
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+
b
y
a
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
11
a b y0 00 11 01 1
0001
Konjunktion (and)
y = a ∧ b
11
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+
y
x
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
12
a b y0 00 11 01 1
0001
y = a ∧ b
Konjunktion (and)
12
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
y
x
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
13
a b y0 00 11 01 1
0001
Konjunktion (and)
y = a ∧ b
13
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
y
x
Serienschaltung
0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1
x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)
x ∧ x = x (Idempotenz)
14
a b y0 00 11 01 1
0001
Konjunktion (and)
y = a ∧ b
14
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+
b
y
a a b y0 00 11 01 1
0111
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
15
Disjunktion (or)
y = a ∨ b
15
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+
b
y
a
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
16
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
16
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
b
y
a
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
17
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
17
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
b
y
a
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
18
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
18
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
y
x
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
19
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
19
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
+
y
x
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
20
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
20
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+
y
x
Parallelschaltung
0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1
x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)
21
Disjunktion (or)
a b y0 00 11 01 1
0111
y = a ∨ b
21
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y = ¬a
+
y
a
a y01
10
Ruhekontakt
¬0 = 1¬1 = 0
22
Negation (not)
22
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a ∧ b = b ∧ a
23
Kommutatives Gesetz der Konjunktion
+
a
y
b
+
b
y
a
23
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a ∨ b = b ∨ a
24
Kommutatives Gesetz der Disjunktion
+
b
y
a
+
a
y
b
24
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a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
25
Assoziatives Gesetz der Konjunktion
c
y
b
a
c
y
b
a
25
c
+
a
y
b
c
+
a
y
b
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a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
26
Assoziatives Gesetz der Disjunktion
26
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a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
27
Distributives Gesetz
27
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a ∧ 1 = aa ∨ 0 = a
28
Identitätsgesetz
28
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a ∧ 0 = 0a ∨ 1 = 1
29
Null-/Einsgesetz
29
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a ∧ ¬a = 0a ∨ ¬a = 1
30
Komplementärgesetz
30
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a ∧ a = aa ∨ a = a
31
Idempotenzgesetz
31
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a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a
32
Gesetz der Verschmelzung
32
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¬(¬a) = a
33
Doppeltes Negationsgesetz
33
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¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
34
DeMorgan’sches Gesetz
34
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a b a ∧ b ¬(a ∧ b) ¬a ¬b ¬a ∨ ¬b0 00 11 01 1
0001
1110
1100
1010
1110
35
DeMorgan’sches Gesetz ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
35
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a b a ∨ b ¬(a ∨ b) ¬a ¬b ¬a ∧ ¬b0 00 11 01 1
0111
1000
1100
1010
1000
36
DeMorgan’sches Gesetz ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
36
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37
Boole'sche Algebra
Eine Boole'sche Algebra ist ein abgeschlossenes System, in dem zwei Operationen definiert sind, für die
• kommutatives, • assoziatives, • distributives und • Verschmelzungsgesetz gelten und in dem ein
• Nullelement, ein • Einselement und zu jedem Element ein • Komplement
existiert.37
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38
Beispiele für Boole'sche Algebren
• Mengenlehre• Aussagenlogik• Schaltalgebra
38
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39
Mengenlehre
• Durchschnitt zweier Mengen a ⋂ b (entspricht a ∧ b)• Vereinigung zweier Mengen a ⋃ b (entspricht a ∨ b)• Komplement einer Menge a (entspricht ¬a)• Leere Menge (entspricht 0)• Gesamtmenge (entspricht 1)
39
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40
Aussagenlogik
• Konjunktion zweier Aussagen (entspricht a ∧ b)• Disjunktion zweier Aussagen (entspricht a ∨ b)• Negation einer Aussage (entspricht ¬a)• Kontradiktion (entspricht 0)• Tautologie (entspricht 1)
40
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41
Schaltalgebra
• Serienschaltung zweier Schalter (entspricht a ∧ b)• Parallelschaltung zweier Schalter (entspricht a ∨ b)• Schalter mit Ruhekontakt (entspricht ¬a)• Permanente Unterbrechung (entspricht 0)• Permanente Verbindung (entspricht 1)
41
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y = a ≢ b
a b y0 00 11 01 1
0110
0 ≢ 0 = 00 ≢ 1 = 11 ≢ 0 = 11 ≢ 1 = 0
x ≢ 0 = xx ≢ 1 = ¬xx ≢ x = 0
42
Antivalenz
42
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Alle Boole’schen Funktionen mit zwei Parametern
a 0011b 01010000 y0 = 0
0001 y1 = a∧b
0010 y2 = a∧¬b
0011 y3 = a
0100 y4 = ¬a∧b
0101 y5 = b
0110 y6 = a≢b
0111 y7 = a∨b
a 0011b 01011111 y15 = 1
1110 y14 = ¬a∨¬b
1101 y13 = ¬a∨b
1100 y12 = ¬a
1011 y11 = a∨¬b
1010 y10 = ¬b
1001 y9 = a≡b
1000 y8 = ¬a∧¬b
43
43
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Spezielle Boole’sche Funktionen mit zwei Parametern
Peirce-Funktion Nor
y8 = ¬a∧¬b = ¬(a∨b)
44
44
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Spezielle Boole’sche Funktionen mit zwei Parametern
Sheffer-Funktion Nand
y14 = ¬a∨¬b = ¬(a∧b)
45
45
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
Spezielle Boole’sche Funktionen mit zwei Parametern
Implikation
y11 = a∨¬b = b⇒ay13 = ¬a∨b = a⇒b
46
46
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a⇒b“a impliziert b”“aus a folgt b”
“wenn a gilt dann gilt auch b”“a ist hinreichend für b”“b ist notwendig für a”
¬a∨b
a ... Prämisse b ... Conclusio
(a⇒b) ∧ (b⇒a) = (a ⇔ b) (0⇒x) = 1 "ex falso quodlibet''
47
Implikation
47
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Spezielle Boole’sche Funktionen mit zwei Parametern
Kontradiktiony0 = 0
Tautologiey15 = 1
48
48
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f(x,y) = ¬g(x,y)"f und g sind zueinaner komplementär"
Beispiele für komplementäre Funktionen:∧, nand ∨, nor≡, ≢0, 1
49
Komplementäre Funktionen
49
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f(x,y) = ¬g(¬x,¬y)"f und g sind zueinaner dual"
Beispiele für duale Funktionen:∧,∨
nand, nor≡, ≢
50
Dualität
50
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a b a ∧ b ¬a ¬b ¬a ∨ ¬b ¬(¬a ∨ ¬b)0 00 11 01 1
0001
1100
1010
1110
0001
51
Dualität a ∧ b = ¬(¬a ∨ ¬b)
51
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Oder-Gatter
Und-Gatter
&
≥1
52
Gatter
52
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Halbaddierwerk
≥1
& a b
s
& a b
c
& a b
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b)c = (a ∧ b)
53
53
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s = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b) = = ((¬a ∧ b) ∨ a) ∧ ((¬a ∧ b) ∨ ¬b) = = (¬a ∨ a) ∧ (b ∨ a) ∧ (¬a ∨ ¬b) ∧ (b ∨ ¬b) = = (b ∨ a) ∧ (¬a ∨ ¬b) = = (a ∨ b) ∧ ¬ (a ∧ b)c = (a ∧ b)
54
Halbaddierwerk
54
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&
≥1
&
a
a
b
b
s
c
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)
55
Halbaddierwerk
55
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&
≥1
&
a
a
b
b
s
c
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)
56
Halbaddierwerk
56
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
&
≥1
&
a
a
b
b
s
c
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)
57
Halbaddierwerk
57
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&
≥1
&
a
a
b
b
s
c
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)
58
Halbaddierwerk
58
© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich
≥1
≥1
≥1
a
a
b
b
s
c
a b c s0 00 11 01 1
0 00 10 11 0
s = ¬(¬(a ∨ b) ∨ ¬(¬a ∨ ¬b))c = ¬(¬a ∨ ¬b)
59
Halbaddierwerk
59
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60
Prozessor
60