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4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES
MÚLTIPLES
En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el
proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para
ello es necesario definir transformaciones geométricas de 2 2→ y 3 3→ ;
posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales
dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar
para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para
integrales triples.
4.1 INTRODUCCIÓN
En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una
función real de variable real en un intervalo cerrado [ ]a,b existe un
teorema que permite cambiar la variable de integración con la
finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla.
Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1
se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de
integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta
página.
TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida
Sea [ ]: ,f a b → una función continua y [ ]: ,g c d → una
función derivable con derivada ( )g t′ continua (es decir, g es
de clase C1) tal que [ ]( ) [ ]g c,d a,b⊂ , entonces
( ) ( ) ( )b d
a cf x dx f g t g t dt′= ∫ ∫ (IV.1)
La expresión: [ ]( ) [ ]g c,d a,b⊂
Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ ]a,b .
CV ( )( )
x g t
dx g t dt
=
′=
CLI
( )( )
t c x g c a
t d x g d b
= ⇒ = =
= ⇒ = =
Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial.
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Cuando se desea resolver una integral doble empleando un
cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se
deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por
ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación
geométrica del tipo 2 2→ .
4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE 2 2→
Una transformación geométrica del tipo 2 2→ se realiza
cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o
convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta
transformación se realiza por medio de una función 2 2T : → .
Sea T una función definida como 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂ , tal que:
( ) ( ) ( )( )1 2T u,v T u,v ,T u,v= (IV.2)
Donde:
( )1T u,v x= (IV.3)
( )2T u,v y= (IV.4)
Por lo tanto, la función de transformación es:
( ) ( )T u,v x, y= (IV.5)
La cual suele escribirse como:
( )( )
( )
1
2
T u,v xT u,v
T u,v y
= =
(IV.6)
En otras palabras, la función T transforma todo punto ( )u,v D′∈
en un punto ( )x, y D∈ .
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Por otra parte, como se busca resolver una integral doble
( )D
f x, y dA∫∫ empleando un cambio de variable, observe que al
componer las funciones f con T , se obtiene:
( )( ) ( )f T u,v f u,v= (IV.7)
En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la
región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la
función T .
Figura 4.1
Transformación geométrica de la región D′ en la región D
TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble
Sea 2:f → una función continua de las variables x y y
definida en la región 2D ⊂ . Sea T una función inyectiva que
transforma los puntos ( ) 2u,v D′∈ ⊂ en ( ) 2x, y D∈ ⊂ ,
mediante la expresión ( ) ( )T u,v x, y= . Suponga que T es de
clase C1 y que la derivada ( )T u,v′ es una matriz inversible
( )u,v D′∀ ∈ , entonces:
( ) ( )( ) ( )( )D D
x, yf x, y dA f T u,v dudv
u,v′
∂=
∂∫∫ ∫∫ (IV.8)
Una matriz ( )T u,v′ es
inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( )u,v D′∈ .
Por otra parte: ( ) ( )1D T D D T D−′ ′= ⇒ =
por lo cual T debe ser inyectiva.
La expresión: ( )( )f T u,v también
suele escribirse: ( ) ( )( )1 2f T u,v ,T u,v
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El término ( )( )x, yu,v
∂∂
se conoce como determinante del jacobiano y
se obtiene como:
( )( )
x xx, y u v
detu,v y y
u v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.9)
O también suele escribirse como:
( )( )
u v
u v
x xx, y
detu,v
y y
∂ = ∂
(IV.10)
Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la
transformación ( ) ( )T u,v x, y= más apropiada. En estos casos, se
propone una transformación inversa del tipo ( ) ( )1T x, y u,v− = , la
cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región D o
por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el
jacobiano ( )( )x, yu,v
∂∂
se obtiene mediante la propiedad:
( )( )
( )( )
1x, y u,vu,v x, y
∂ ∂=
∂ ∂ (IV.11)
En donde:
( )( )
x y
x y
u uu,v
detx, y
v v
∂ = ∂
(IV.12)
Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales
dobles puede escribirse como:
Al determinante del jacobiano:
( )( )x, yu,v
∂∂
también se le llama jacobiano.
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( ) ( )( )( )( )
1D D
f x, y dA f T u,v dudvu,vx, y
′=
∂∂
∫∫ ∫∫ (IV.13)
La demostración del teorema de cambio de variable en una
integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se
prueba dicho teorema en el caso particular que la función
integrando, f , es igual a la unidad, es decir:
( )( )D D
x, ydA dudv
u,v′
∂=
∂∫∫ ∫∫ (IV.14)
Demostración del Teorema de cambio de variable en una
integral doble, cuando la función integrando es igual a la
unidad:
Considere una región D′ definida como:
( ){ }0 0 0 0D u,v u u u u v v v v′ = ≤ ≤ + ∆ ∧ ≤ ≤ + ∆ (IV.15)
La cual se aprecia en la figura 4.2
Figura 4.2
Una región D′ en el plano uv
Por lo tanto la región D′ es un rectángulo cuyos vértices son los
puntos: ( )0 0A u ,v′ , ( )0 0B u u,v′ + ∆ , ( )0 0C u ,v v′ + ∆ y
( )0 0D u u,v v′ + ∆ + ∆ .
Recuerde que :
DdA∫∫
representa el área de la región D.
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Considere ahora, una función de transformación ( )T u,v , la cual
puede aproximarse como:
( ) ( )0 0
uT u,v T u ,v T
v∆ ′≈ + ⋅ ∆
(IV.16)
Donde T ′ es la derivada de T evaluada en ( )0 0u ,v .
La imagen del rectángulo D′ bajo el efecto de la transformación T
propuesto en la expresión IV.16 se muestra en la figura 4.3
Figura 4.3
Región D′ bajo el efecto de la expresión IV.16
Entonces, la aproximación de T , planteada en IV.16, transforma
al rectángulo D′ en un paralelogramo con vértice en ( )0 0T u ,v y
con lados adyacentes, correspondientes a u∆ y v∆ , definidos por
los vectores: ( )iT u′ ⋅ ∆ y ( )jT v′ ⋅ ∆ , los cuales pueden escribirse
como:
( )0i
x x xuu v uT u u
y y yu v u
∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂′ ⋅ ∆ = = ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.17)
( ) 0j
x x xu v vT v vy y v yu v v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ⋅ ∆ = = ∆ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.18)
Los vectores iu∆ y jv∆
son:
0i
uu
∆ ∆ =
0jv
v
∆ = ∆
Por otra parte,
xx yuu u , u
y u uu
∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ x
x yvv v , vy v vv
∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂
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Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18
están evaluadas en ( )0 0u ,v .
Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:
x x x x x xu vu v u v u v
det det u v det u vy y y y y yu vu v u v u v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.19)
Empleando la ecuación IV.9, se tiene:
( )( )
( )( )
x xu vx, y x, yu v
det u v u vu,v u,vy yu v
u v
∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ ∆∂ ∂ ∂ ∂
∆ ∆ ∂ ∂
(IV.20)
Ahora, si la región D′ es dividida en pequeños rectángulos con
lados de longitud u∆ y v∆ , y se emplea la aproximación de T
planteada en IV.14, estos rectángulos son transformados en
pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los
vectores x yu , uu u∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂
y x yv , vv v∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂
, donde el área de cada
paralelogramo se obtiene como ( )( )x, y
u vu,v
∂∆ ∆
∂, entonces el área de
( )T D′ , denotada ( )T DA ′ se puede aproximar como:
( )( )( )T D
x, yA u v
u,v′
∂≈ ∆ ∆
∂∑∑ (IV.21)
Luego tomando el límite cuando u∆ y v∆ tienden a cero, en la
expresión anterior, resulta:
( )( )( )T D D
x, yA dudv
u,v′ ′
∂=
∂∫∫ (IV.22)
El área de un paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores:
( )a,b y ( )c,d
Se obtiene como el valor absoluto del determinante:
a b a cc d b d
=
Recuerde que u∆ y v∆ son longitudes, por lo tanto:
u u∆ = ∆
v v∆ = ∆
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Entonces, queda demostrada la ecuación ( )( )D D
x, ydA dudv
u,v′
∂=
∂∫∫ ∫∫
En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región D′ pr
medio de T .
Figura 4.4
Transformación T en una región D′
Calcular la integral doble 11D
dAxy+∫∫ , empleando un cambio de
variable adecuado, donde D es la región del plano en el primer
cuadrante limitada por y x= , 2y x= , 1xy = y 2xy = .
Solución:
A continuación se muestra el recinto D .
Figura 4.5
Región D del ejemplo 4.1
EJEMPLO 4.1
En este ejemplo, la transformación ( ) ( ), ,T u v x y= no
está dada por lo cual a partir de la gráfica se propone una transformación
( ) ( )1 , ,T x y u v− =
y x=
2y x=
D
1yx
=
2yx
=
2 22
,
( )2 2,
( )1 1,
( )1 2,
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A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:
( ), ,y xy u vx
=
Es decir:
( ) ( )1 , ,T x y u v− =
Con este cambio de variable, la región de integración cambia
mediante la expresión ( )1D T D−′ = , por lo tanto:
( ){ }1 2 1 2D u,v u v′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
En la figura 4.6 se observa la transformación de la región D a la
región D′ .
Figura 4.6
Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.1
Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio
de variable, se necesita determinar el jacobiano ( )( )x, yu,v
∂∂
, para lo
cual se emplea la propiedad IV.10, luego
( )( )
2
1
2 2
yu,v y y yx xdet ux, y x x x
y x
− ∂= = − − = − = − ∂
Con el cambio propuesto se obtiene la región D′
1 1yy x ux
= ⇒ = ⇒ =
2 2 2yy x ux
= ⇒ = ⇒ =
1 1xy v= ⇒ = 2 2xy v= ⇒ =
1v =
D
2v =
D′
1T −
Valor de u a la salida de D´
2u =
Valor de u a la entrada de D´
1u =
Por medio de la tranformación 1T − , la nueva región de integración D′ es una región rectangular.
Recuerde que:
y ux
vxy
=
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Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:
( )2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 11 1 2 2 1D
I dA dudv dudvxy v u v u
= = =+ + − +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1
2 1 3 2 22 1 2
lnI dv ln ln lnv
= = − +∫
( ) ( ) ( )21 1 3 2 21 2D
dA ln ln lnxy
= − +∫∫
Calcular la integral doble cosD
y x dAy x
− +
∫∫ , empleando un cambio
de variable adecuado, donde D es la región mostrada a
continuación.
Figura 4.7
Región D del ejemplo 4.2
EJEMPLO 4.2
1C
D
3C
4C
2Cwww.Mate
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Solución:
Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región
D se tiene:
1
2
3
4
: 0: 2 2: 0: 1 1
C xC y x y xC yC y x y x
== − ⇒ + === − ⇒ + =
A partir de la función integrando ( ), cos y xf x yy x
−= +
, se propone
una transformación del tipo ( ) ( )1 , ,T x y u v− = :
y x uy x v−
= +
Entonces:
( ){ }1 2D u,v v u v v′ = − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
La figura 4.8 muestra la transformación de la región D a la región
D′ por medio de 1T − .
Figura 4.8
Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.2
Con el cambio propuesto se obtiene la región D′
1 1y x v+ = ⇒ = 2 2y x v+ = ⇒ =
0
0
u xy
v xy u v
= −= ⇒ == ⇒ − =
0
0
u yx
v yx u v
== ⇒ == ⇒ =
1v =
D
2v =
D′
1T −
Valor de u a la salida de D´
u v= Valor de u a
la entrada de D´ u v= −
Por medio de la tranformación 1T − , la nueva región de integración D′ es una región tipo 2.
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Calculando el jacobiano ( )( )x, yu,v
∂∂
, se tiene que:
( )( )
1 11 1 2
1 1
u,vdet
x, y
− ∂ = = − − = − ∂
Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:
( ) ( )2 2
1 1
1 31 12 2
v
D v
y x uI cos dA cos dudv sen vdv seny x v−
− = = = = + − ∫∫ ∫ ∫ ∫
( )3 12D
y xcos dA seny x
−= +
∫∫
4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES
A continuación se describe un caso particular del cambio de
variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares.
Considere que se desea calcular una integral doble ( )D
f x, y dA∫∫ ,
donde D es una región como la mostrada en la figura 4.9.
Figura 4.9
Una región general D
Recuerde que:
( )1 ,y x u
T x yy x v
− − = = +
En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares.
D
2 2 21x y r+ =
2 2 22x y r+ =
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La región D está definida como sigue:
( ) ( ) ( ){ }2 2 2 21 2 1 2D x, y r x y r tg x y tg xθ θ= ≤ + ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.23)
Para expresar dicha región D en coordenadas polares, denotada
D′ , es necesario hacer la trasformación de coordenadas 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂ , señalada en la expresión IV.24:
( ) ( ) ( )T r, r cos ,rsen x, yθ θ θ= = (IV.24)
Por lo tanto la región D′ es:
( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.25)
En la figura 4.10 se observa como la región D′ del plano rθ es
transformada a través de la función T en la región D del plano
xy .
Figura 4.10
Transformación de la región D′ en la región D a través de ( ) ( )T r, x, yθ =
Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral
doble, se tiene:
( ) ( ) ( )( )D D
x, yf x, y dA f r cos ,rsen drd
r,θ θ θ
θ′
∂=
∂∫∫ ∫∫ (IV.26)
Para que la función: 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂
sea inyectiva es necesario que:
0 2θ π≤ <
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En donde el jacobiano de la transformación es:
( )( )
2 2
x x cos rsenx, y r
det det r cos rsenr, y y sen r cos
r
θ θθ
θ θθ
θ θθ
∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )( ) ( )2 2x, y
r cos sen rr,
θ θθ
∂= + =
∂ (IV.27)
Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a
coordenadas polares de una integral doble.
En algunas ocasiones, la región D es más general que la
planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a
continuación:
Figura 4.11
Una región más general D
TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Sea 2:f → una función continua en un rectángulo D′ ,
definido por ( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ , donde
2 10 2θ θ π≤ − < , entonces:
( ) ( )D D
f x, y dA f r cos ,rsen rdrdθ θ θ′
=∫∫ ∫∫ (IV.28)
Recuerde que:
( )r cos x
T r,rsen y
θθ
θ
= =
Y que la identidad fundamental es:
2 2 1cos senθ θ+ =
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Entonces, la región D de la figura 4.11 puede expresarse en
coordenadas polares como sigue:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.29)
Al emplear la ecuación de cambio de variable IV.19 resulta:
( ) ( )( )
( )2 2
1 1
r
D rf x, y dA f r cos ,rsen rdrd
θ θ
θ θθ θ θ=∫∫ ∫ ∫ (IV.30)
Existen, también, regiones generales D , que en coordenadas
polares, quedan definidas como:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.31)
En estos casos:
( ) ( )( )
( )2 2
1 1
r r
D r rf x, y dA f r cos ,rsen rd dr
θ
θθ θ θ=∫∫ ∫ ∫ (IV.32)
Calcular la integral doble 2
2
2 4
0 4
y
ydxdy
−
− −∫ ∫ , empleando un cambio de
variable a coordenadas polares.
Solución:
La región D está definida como
( ){ }2 2, 4 4 0 2D x y y x y y= − − ≤ ≤ − ∧ ≤ ≤
La función integrando es ( ) 1f x, y = y la función de transformación
a coordenadas polares es ( ) ( )T r, r cos ,rsenθ θ θ= , entonces, al
componer las funciones f con T , se obtiene:
( ) 1f T r,θ =
EJEMPLO 4.3
Este ejercicio se resolvió en el sistema de coordenadas cartesianas en el ejemplo 1.5 parte c del capítulo 1, y se obtuvo que:
2
2
2 4
0 42
y
ydxdy π
−
− −=∫ ∫
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Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben
definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura
4.12 se muestran, sobre la gráfica de la región D , los valores de
r y θ a la entrada y salida de dicha región.
Figura 4.12
Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3
Por lo tanto la región D′ , que se observa en la figura 4.13, está
definida como:
( ){ }0 2 0D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Resolviendo la integral resulta:
2
2
2 4 2
0 4 0 0 02 2
y
ydxdy rdrd d
π πθ θ π
−
− −= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
0 02rdrd
πθ π=∫ ∫
Valor de r a la salida de D
2r =
Valor de r a la entrada de D
0r =
D
Valor de θ a la entrada de D
0θ =
Valor de θ a la salida de D
θ π=
Figura 4.13
Región D′ ejemplo 4.3
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Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior
son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares.
Solución:
La región D , se define como:
( ){ }2 2, 4 16D x y x y= ≤ + ≤
En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la
entrada y salida de la región D .
Figura 4.14
Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.4
Entonces, la región D′ , tal como se ilustra en la figura 4.15, es:
( ){ }2 4 0 2D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Luego el área se obtiene como:
2 4 2
0 2 06 12A rdrd d
π πθ θ π= = =∫ ∫ ∫
2 4
0 212rdrd
πθ π=∫ ∫
EJEMPLO 4.4
En el ejemplo 3.3 del capítulo 3, y se obtuvo que:
12D
A dydx π= =∫∫
Valor de r a la salida de D
4r =
Valor de r a la entrada de D
2r =
D
0θ =
2θ π=
Figura 4.15
Región D′ ejemplo 4.3
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Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies:
2 22z x y= + y 2 220z x y= − − , empleando integrales dobles y
coordenadas polares.
Solución:
En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido S , que se
aprecia en la figura 4.16, viene dado por:
2 2 2 220 2D
V x y x y dA = − − − + ∫∫
donde ( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤
En la figura 4.17, donde se aprecia la región D , se señalan los
valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región.
Figura 4.17
Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.5
Donde ( ){ }0 2 0 2D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Entonces, al emplear la ecuación IV.18, se tiene que:
2 22 2 2 2 2
0 020 2 20 2
DV x y x y dA r r rdrd
πθ = − − − + = − − ∫∫ ∫ ∫
EJEMPLO 4.5
En el ejemplo 3.4 del capítulo 3, y se obtuvo que:
19,77678464V =
Valor de r a la salida de D
2r =
Valor de r a la entrada de D
0r =
D
0θ =
2θ π=
Como:
( )r cos x
T r,rsen y
θθ
θ
= =
Entonces: ( ) ( )2 22 2
2 2 2
x y r cos rsen
x y r
θ θ+ = +
+ =
Figura 4.16
Sólido S del ejemplo 4.5
Figura 4.18
Región D′ ejemplo 4.5
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146
2
0
40 80 40 1605 5 19,776784643 3 3 3
V dπ
θ π π = − = − ≈ ∫
Finalmente:
2 2 2
0 0
40 16020 2 53 3
r r rdrdπ
θ π π − − = − ∫ ∫
4.3 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE 3 3→
De manera similar a una transformación de 2 2→ , una
transformación geométrica del tipo 3 3→ se emplea cuando se
desea convertir o transformar una región tridimensional B del
espacio xyz en una nueva región B′ del espacio tridimensional
uvw.
Sea T una función definida como 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , tal que:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3T u,v,w T u,v,w ,T u,v,w ,T u,v,w= (IV.33)
Donde:
( )1T u,v,w x= (IV.34)
( )2T u,v,w y= (IV.35)
( )3T u,v,w z= (IV.36)
Entonces, la función de transformación T es:
( ) ( )T u,v,w x, y,z= (IV.37)
Por lo tanto, la función T transforma todo punto ( )u,v,w B′∈ en un
punto ( )x, y,z B∈ .
La función T también suele escribirse como:
( )
( )
( )
( )
1
2
3
T u,v,w x
T u,v,w T u,v,w y
T u,v,w z
= =
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147
El jacobiano ( )( )x, y,zu,v,w
∂∂
se obtiene como:
( )( )
x x xu v w
x, y,z y y ydetu,v,w u v w
z z zu v w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.39)
Existen dos casos particulares de cambios de variables para
integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de
coordenadas de rectangular a: coordenadas cilíndricas o
coordenadas esféricas.
TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple
Sea 3:f → una función continua definida en la región 3B ⊂ . Sea T una función inyectiva que transforma los
puntos ( ) 3u,v,w B′∈ ⊂ en ( ) 3x, y,z B∈ ⊂ , mediante la
expresión ( ) ( )T u,v,w x, y,z= . Suponga que T es de clase C1
y que la derivada ( )T u,v,w′ es una matriz inversible
( )u,v,w B′∀ ∈ , entonces:
( ) ( )( ) ( )( )B B
x, y,zf x, y,z dV f T u,v,w dudvdw
u,v,w′
∂=
∂∫∫∫ ∫∫∫ (IV.38)
El jacobiano también se denota como:
( )( )
u v w
u v w
u v w
x x x
x,y,zdet y y y
u,v,w
z z z
∂ =
∂
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148
4.3.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS
A continuación se describe como emplear un cambio de variable a
coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple.
Considere que se desea calcular una integral triple
( )B
f x, y,z dV∫∫∫ , donde B es un recinto como el mostrado en la
siguiente figura.
Figura 4.19
Una región general B
La región B está definida como sigue:
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2B x, y,z x, y D z x, y z z x, y= ∈ ∧ ≤ ≤ (IV.40)
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy . Si
dicha región D puede expresarse en coordenadas polares,
entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas,
definida 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , viene dada por:
( ) ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,z x, y,zθ θ θ= = (IV.41)
Por lo tanto la región B′ es:
En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas cilíndricas.
B
D
( )1z z x, y=
( )2z z x, y=
Figura 4.20
Proyección de la región D sobre el
plano xy
D
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149
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r,θ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.42)
Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral
triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación:
( )( )
2 2
0
0
0 0 1
x x x cos rsenr z
x, y,z y y ydet det sen r cos r cos rsenr, ,z r z
z z zr z
θ θθ
θ θ θ θθ θ
θ
∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )( ) ( )2 2x, y,z
r cos sen rr, ,z
θ θθ
∂= + =
∂ (IV.43)
Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:
TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas en una integral triple
Sea 3:f → una función continua en una región
tridimensional B′ , definido como:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r,θ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ,
donde 2 10 2θ θ π≤ − < , entonces:
( ) ( )B B
f x, y,z dV f r cos ,rsen ,z rdzdrdθ θ θ′
=∫∫∫ ∫∫∫ (IV.44)
La función T de transformación a coordenadas cilíndricas, también se escribe como:
( )
r cos x
T r, ,z rsen y
z z
θ
θ θ
= =
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150
Evalúe la integral triple B
xyzdV∫∫∫ , empleando coordenadas
cilíndricas, donde B está definida como:
( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≥
Solución:
El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran
a continuación, en la figura 4.21
Figura 4.21
Región B del ejemplo 4.6
Entonces, en coordenadas cartesianas:
2 2 4
0
x y
B DI xyzdV xyzdzdA
− −= =∫∫∫ ∫∫ ∫
donde D es la proyección de la región B en el plano xy . Lo que
interesa a continuación es definir dicha región D , mostrada en la
figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como D′ .
EJEMPLO 4.6
En el ejemplo 2.5 delcapítulo 2, y se obtuvo que:
98B
xyzdV =∫∫∫
Cambiando la ecuación de la esfera
2 2 2 4x y z+ + = a coordenadas cilíndricas se tiene:
2 2 24 4z x y r= − − = −B
Valor de z a la salida de B
24z r= −
Valor de z a la entrada de B
0z = www.M
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151
Figura 4.22
Región D del ejemplo 4.6
Así, la región D en coordenadas polares es:
( ) 1 2 02
D r, r πθ θ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Por otra parte, al componer la función integrando, ( ), ,f x y z xyz= ,
con la función de transformación, ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,zθ θ θ= , se
obtiene:
( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θ θ θ θ= =
Por lo tanto la integral triple es:
( ) ( )22 4 22
0 1 0
r
Bxyz dV r cos sen z r dzdrd
π
θ θ θ−
=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )3 22
20 1
42B
r rxyz dV cos sen drd
π
θ θ θ−
=∫∫∫ ∫ ∫
( ) 20
9 94 8B
xyz dV cos sen dπ
θ θ θ= =∫∫∫ ∫
22 4 320 1 0
98
rr cos sen z dzdrd
π
θ θ θ−
=∫ ∫ ∫
Valor de r a la salida de D
2r =
D
0θ =
2πθ =
Valor de r a la entrada de D
1r =
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152
Evalúe la integral triple ( )B
xyz dV∫∫∫ , donde B es la región del
primer octante comprendida entre los conos, ( )2 22z x y= + y
2 2z x y= + y el plano 4z = , empleando coordenadas cilíndricas.
Solución:
El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran
a continuación, en la figura 4.23
Figura 4.23
Sólido B del ejemplo 4.7
Como el valor de z cambia a la salida del sólido B, entonces, en
coordenadas cartesianas:
( ) ( ) ( )( )2 2
2 2 2 21 2
4 2
x y
B D x y D x yxyz dV xyz dzdA xyz dzdA
+
+ += +∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
donde 1D y 2D son las proyecciones del sólido B en el plano xy .
Dichas regiones 1D y 2D se pueden expresar en coordenadas
polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.
EJEMPLO 4.7
En el ejemplo 2.6 delcapítulo 2, y se obtuvo que:
( ) 64B
xyz dV =∫∫∫
Recuerde que las funciones del tipo
( ),z f x y= deben
expresarse en función de r y θ , por lo tanto:
( )2 22 2z x y r= + = y
2 2z x y r= + =
B
Valor de z a la salida de B
4z =
Valor de z a la entrada de B
z r=
Valor de z a la salida de B
2z r=
Valor de z a la entrada de B
z r=
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153
Figura 4.24
Región 1D del ejemplo 4.7
Figura 4.25
Región 2D del ejemplo 4.7
De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que:
( )
( )
1
2
8 4 02
0 8 02
D r, r
D r, r
πθ θ
πθ θ
′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Como la función integrando es ( ), ,f x y z xyz= , entonces:
( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θ θ θ θ= =
Ecuación de transformación a
coordenadas cilíndricas
( )
r cos x
T r, ,z rsen y
z z
θ
θ θ
= =
Recuerde que al definir una región D en coordenadas polares, dicha región se denota D′
Valor de r a la salida de D
4r = D1
0θ =
2πθ =
Valor de r a la entrada de D
8r =
Valor de r a la salida de D
8r = D2
0θ =
2πθ =
Valor de r a la entrada de D
0r =
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154
Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como
sigue:
( ) ( )
( )
4 4 220 8
8 2 220 0
B r
r
r
I xyz dV r cos sen z r dzdrd
r cos sen z r dzdrd
π
π
θ θ θ
θ θ θ
= = +
+
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )3 2 54 82 20 8 0 0
162 2
r r rI cos sen drd cos sen drdπ π
θ θ θ θ θ θ−
= +∫ ∫ ∫ ∫
2 20 0
256 1283 3
I cos sen d cos sen dπ π
θ θ θ θ θ θ= +∫ ∫
128 64 643 3
I = + =
Entonces:
4 4 8 23 32 20 8 0 0
64r
r rr cos sen z dzdrd r cos sen z dzdrd
π π
θ θ θ θ θ θ+ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4.3.2 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS
Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales
triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema
rectangular al sistema esférico.
Considere una integral triple ( )B
f x, y,z dV∫∫∫ , donde B es una
región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.
En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas esféricas.
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155
Figura 4.26
Una región general B
Donde la región B puede escribirse de una manera sencilla si se
emplea una transformación T a coordenadas esféricas, definida 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , viene dada por:
( ) ( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cos x, y,zρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ= = (IV.45)
Entonces, la región B′ es:
( ){ }1 2 1 2 1 2B , ,ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.46)
Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe
determinar el jacobiano de la transformación, entonces:
( )( )
0
x x x cos sen cos cos sen sen
x, y,z y y ydet det sen sen sen cos cos sen, ,
z z z cos sen
θ φ ρ θ φ ρ θ φρ φ θ
θ φ ρ θ φ ρ θ φρ φ θ ρ φ θ
φ ρ φρ φ θ
∂ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 3
x, y,zsen sen cos cos sen
, ,
sen cos sen cos sen
ρ θ φ ρ θ φ φρ φ θ
ρ θ φ φ ρ θ φ
∂ = + + ∂
− − −
La función T de transformación a coordenadas esféricas, también se escribe como:
( )
cos sen x
T , , sen sen y
cos z
ρ θ φ
ρ θ φ ρ θ φ
ρ φ
= =
B( )1z z x, y=
( )2z z x, y=
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156
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 2 2
2 3 2 2 2 2
x, y,zsen cos sen cos sen cos sen
, ,
x, y,zsen cos sen sen sen cos
, ,
ρ φ θ θ φ φ θ θρ φ θ
ρ φ φ φ ρ φ φ φρ φ θ
∂ = + + + ∂
∂= + = +
∂
( )( )
2x, y,zsen
, ,ρ φ
ρ φ θ∂
=∂
(IV.47)
Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue:
Existen también otras regiones más generales que se pueden
definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B , , , ,ρ θ φ ρ θ φ ρ ρ θ φ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
(IV.49)
En ese caso, la integral triple queda como:
( ) ( )( )
( )2 2 2
1 1 1
2,
B ,f x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d d
θ φ ρ θ φ
θ φ ρ θ φρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
(IV.50)
TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas en una integral triple
Sea 3:f → una función continua en una región
tridimensional B′ , definida como:
( ){ }1 2 1 2 1 2B , ,ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ , donde
2 10 2θ θ π≤ − < y 2 10 φ φ π≤ − < , entonces:
( ) ( ) 2
B Bf x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d dρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ
′=∫∫∫ ∫∫∫
(IV.48) www.M
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157
Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el
volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1
y 4.
Solución:
El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:
( ){ }2 2 21 16B x, y,z x y z= ≤ + + ≤
Y su volumen es B
V dV= ∫∫∫
En la figura 4.24 se muestra el sólido B , pero para poder
identificar los valores de ρ , en la figura 4.28 se retira la porción
del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el
octante.
Figura 4.28
Porción de la región tridimensional B del ejemplo 4.8
Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la
región B , generalmente se proyecta dicha región sobre el plano
xy ; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya
que se obtienen dos círculos concéntricos, entonces, en
coordenadas esféricas la región tridimensional B es:
El volumen pedido en este ejercicio se planteó en el ejemplo 3.17 del capítulo 3; sin embargo, nótese lo fácil que resulta calcular dicho volumen en coordenadas esféricas.
EJEMPLO 4.8
Figura 4.27 Región tridimensional
B del ejemplo 4.8
Valor de ρ a la salida de B
4ρ =
BValor de ρ a la entrada de B
1ρ =
0φ =
φ π=
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158
( ){ }1 4 0 2 0B , ,ρ θ φ ρ θ π φ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
( )2 4 2
0 0 1BI xyz dV sen d d d
π πρ φ ρ θ φ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
2
0 0 021 42 84I sen d d sen d d
π π πφ θ φ π φ θ φ π= = =∫ ∫ ∫
2 4 2
0 0 184sen d d d
π πρ φ ρ θ φ π=∫ ∫ ∫
Resolver la integral triple B
xyzdV∫∫∫ planteada en el ejemplo 4.6,
pero empleando coordenadas esféricas:
Solución:
El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:
( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≥
Transformando a coordenadas esféricas se tiene:
2 2 2 4 2x y z ρ+ + = ⇒ =
( ) ( )2 22 2 1 1x y sen cos sen senρ φ θ ρ φ θ+ = ⇒ + =
( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1x y sen cos sen senρ φ θ θ ρ φ+ = ⇒ + = ⇒ =
2 2 22
11x y cscsen
ρ ρ φφ
+ = ⇒ = ⇒ =
Buscando la intersección entre 4ρ = y cscρ φ=
21 12 2
2csc sen
sencsc
ρφ φ
φρ φ
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
En el ejemplo 2.5 se resolvió la integral empleando coordenadas rectangulares, mientras que en el ejemplo 4.6 se empleó coordenadas cilíndricas.
EJEMPLO 4.8
La función T de transformación a coordenadas esféricas es:
( )
cos sen x
T , , sen sen y
cos z
ρ θ φ
ρ θ φ ρ θ φ
ρ φ
= =
Por otra parte, por definición, 0ρ ≥
Recuerde que el volumen entre dos esferas concéntricas se puede calcular como:
( )3 343
V R rπ= −
donde r: radio interno R: radio externo
Entonces:
( )4 64 1 843
V π π= − =
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159
Luego: 12 6
arcsen πφ = =
En la figura 4.29 se muestra la región B y se señalan los límites
de integración empleados en coordenadas esféricas.
Figura 4.29
Región B del ejemplo 4.8
Entonces la región B′ es:
( ) 4 0 02 2
B , , csc π πρ θ φ φ ρ θ φ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Luego, la función integrando es ( )f x, y,z xyz= . Al componer dicha
función con la transformación:
( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cosρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ=
Se tiene:
( ) ( ) ( )( ) 3 2f T , , cos sen sen sen cos cos sen sen cosρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ θ θ φ φ= =
Por lo tanto la integral triple es:
Recuerde que:
0 φ π≤ <
Valor de ρ a la salida de B
2ρ =
BValor de ρ a la entrada de B
cscρ φ=
6πφ =
2πφ =
Figura 4.30 Proyección del sólido B
sobre el plano xy
0θ =
2πθ =
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160
( ) ( )2 3 2 22 20
6B csc
I xyz dV cos sen sen cos sen d d dπ π
π φρ θ θ φ φ ρ φ ρ φ θ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
( )2 5 32 20
6csc
I cos sen sen cos d d dπ π
π φρ θ θ φ φ ρ φ θ= ∫ ∫ ∫
( )3 62 20
6
1 646
I sen cos sen cos csc d dπ π
π φ θ θ φ φ φ θ= −∫ ∫
20
9 94 8
I cos sen dπ
θ θ θ= =∫
Finalmente:
( )2 5 32 20
6
98csc
cos sen sen cos d d dπ π
π φρ θ θ φ φ ρ φ θ =∫ ∫ ∫
Calcular el volumen del sólido B definido por las superficies: 2 2 2x y x+ = , 0z = y 2 2z x y= + , empleando:
a) Coordenadas cartesianas.
b) Un cambio de variable adecuado.
Solución:
El volumen de un sólido B se obtiene mediante la integral B
dV∫∫∫ .
La superficie de ecuación 2 2 2x y x+ = puede escribirse como:
( )2 21 1x y− + = , por lo cual dicha ecuación es una superficie
circular cilíndrica. La superficie 0z = es un plano horizontal y la
superficie 2 2z x y= + es un paraboloide. A continuación se
muestra la gráfica del sólido B .
EJEMPLO 4.9www.M
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161
Figura 4.30
Sólido B del ejemplo 4.9
Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar
el sistema de coordenadas a emplear:
a) En el sistema de coordenadas cartesianas:
La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral
iterada B
dzdydx∫∫∫ , por lo que se debe identificar los valores que
toma la variable z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura
4.31 se muestra el primer orden de integración.
Figura 4.31
Primer orden de integración en coordenadas cartesianas para el sólido B del ejemplo 4.9
B
Valor de z a la entrada de B
0z =
Valor de z a la salida de B
2 2z x y= +
B
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162
Por lo tanto, el volumen se calcula como: 2 2
0
x y
DV dzdA
+= ∫∫ ∫
Donde D es la proyección del sólido B en el plano xy . Dicha
proyección se ilustra en la siguiente figura.
Figura 4.32
Región D del ejemplo 4.9
Por lo tanto la región bidimensional D está definida como:
( ){ }2 20 2 2 2D x, y x x x y x x= ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −
Por lo cual:
( )2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
0 2 0 0 2
x x x y x x
x x x xV dzdydx x y dydx
− + −
− − − −= = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )32 2 2 22
0
2 32 2 23 2
V x x x x x dx π = − + − = ∫
2 2 2
2
2 2
0 2 0
32
x x x y
x xdzdydx π
− +
− −=∫ ∫ ∫
b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es
emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las
superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema
son:
Valor de y a la salida de D
22y x x= −
Valor de y a la entrada de D
22y x x= − −
D
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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
163
( )2 2 22 2 2 0x y x r r cos r r cosθ θ+ = ⇒ = ⇒ − = , entonces:
2 2 2 2x y x r cosθ+ = ⇒ =
Para el paraboloide se tiene: 2 2 2z x y z r= + ⇒ =
En coordenadas cilíndricas la primera integración se realiza
respecto a la variable z, cuyo valor a la entrada del sólido es 0z =
y a la salida del sólido es 2z r= , tal como se mostró en la figura
4.31.
Cuando se proyecta el sólido en el plano xy se obtiene el disco
mostrado en la figura 4.32; sin embargo dicha región debe
definirse en coordenadas polares.
Figura 4.33
Región D del ejemplo 4.9
Así, la región D en coordenadas polares es:
( ){ }0 2 0D r, r cosθ θ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Luego el volumen en coordenadas polares es:
22 2 3 4
0 0 0 0 0 0
342
cos r cosV rdzdrd r drd cos d
π θ π θ πθ θ θ θ π= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
22
0 0 0
32
cos rrdzdrd
π θθ π=∫ ∫ ∫
La transformación es:
( )
r cos x
T r, ,z rsen y
z z
θ
θ θ
= =
donde: 2 2 2r x y= +
Valor de r a la salida de D
2r cosθ=
D
Valor de r a la entrada de D
0r = θ π=
0θ =
La gráfica de 2r cosθ= se obtiene
para [ ]0,θ π∈ .
Cuando 02
,πθ ∈ se
obtiene la semicircunferencia superior, mientras que
para 2
,πθ π ∈ , el radio
vector es negativo y por lo tanto se genera la semicircunferencia inferior.
Observe que calcular el volumen del sólido B en el sistema de coordenadas cilíndricas es mucho proceso más corto y sencillo que en coordenadas cartesianas.
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