1Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 5Transformadas de Fourier
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
2Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 5Transformadas de Fourier
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
3Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
– A composição de sistemas permite-nos obter sistemas mais complexos
– Ao interligarmos SLITs, o sistema composto resultante também éum SLIT
– Conhecendo a resposta em frequência de cada SLIT podemos determinar a resposta em frequência do sistema composto
– Isto permite-nos construir sistemas complexos e interessantes através da interligação de blocos de componentes simples
– Esta composição aplica-se de modo idêntico a sistemas discretos e contínuos
4Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
• Ligação em série ou cascata
– Sistema S1
• Resposta impulsiva h1(t)• Resposta em frequência H1(ω)
– Sistema S2
• Resposta impulsiva h2(t)• Resposta em frequência H2(ω)
– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)*h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω).H2(ω)
5Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
• Ligação em paralelo
– Sistema S1
• Resposta impulsiva h1(t)• Resposta em frequência H1(ω)
– Sistema S2
• Resposta impulsiva h2(t)• Resposta em frequência H2(ω)
– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)+h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω)+H2(ω)
x y
y1
y2
S1
S2
+
S
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5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
• Ligação com retroacção– Sistema S1
• Resposta impulsiva h1(t)• Resposta em frequência H1(ω)
– Sistema S2
• Resposta impulsiva h2(t)• Resposta em frequência H2(ω)
– Sistema S resultante• Não é possível calcular a resposta impulsiva de uma forma directa• Resposta em frequência
)()(1)()(
21
1
ωωωωHH
HH−
=
7Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
• Exemplo:– Considere um sistema discreto com
retroacção como na figura– Considere S1 definido como y(n)=0.9 x(n)– Considere S2 definido como y(n)=x(n-1)– H1(ω)=0.9 e H2(ω)=e-jω
– A resposta em frequência do sistema é dada por
ωω jeH −−
=9.019.0)(
8Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
• Exercício:– Determine a resposta em frequência do seguinte sistema
)()()(1)()()(1
)()(1
)(1)()(
)(
212
21
2
21
2
21
ωωωωωω
ωω
ωωω
ω
HHHHHH
HH
HHH
H
−−=
=
−−
−=
9Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 5Transformadas de Fourier
5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
10Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
– As séries de Fourier descrevem um sinal periódico como uma soma de exponenciais complexas
– Se a entrada do SLIT é uma soma de exponenciais complexas, então a resposta em frequência do SLIT descreve a resposta a cada uma das componentes exponenciais
– Podemos calcular a resposta do sistema a qualquer sinal de entrada periódico combinando as respostas aos componentes individuais
– A resposta de um SLIT a qualquer sinal de entrada pode ser obtida como a convolução do sinal de entrada e a resposta impulsiva
– A resposta impulsiva e a resposta em frequência dão-nos a mesma informação acerca do sistema mas em formas diferentes
– Vamos ver agora que a resposta impulsiva e a resposta em frequência estão relacionadas através da Transformada de Fourier
11Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(n)=ejωn
a saída tinha a forma y(n)=H(ω )ejωn
– Um SLIT com resposta impulsiva h(n) apresenta como saída y(n)correspondente ao sinal x(n)
– Se colocarmos na entrada deste sistema x(n)=ejωn obtemos
– Comparando as duas expressões obtemos
∑∞
−∞=−=∗=∈∀
mmnxmhnxnhnyInteirosn )()()()()(,
∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− ==∗=∈∀m
mjnj
m
mnj emheemhnxnhnyInteirosn ωωω )()()()()(, )(
∑∞
−∞=
−=∈∀m
mjemhHReais ωωω )()(,
12Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformada de Fourier Discreta
• A resposta em frequência H(ω) é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva– A resposta em frequência pode ser descrita como a soma
ponderada de exponenciais complexas, cujos pesos são as amostrasda resposta impulsiva
∑∞
−∞=
−=∈∀n
njenhHReais ωωω )()(,
13Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
– Se h(n) é real então H(ω)=H*(- ω)
que é a propriedade da simetria conjugada– Isto implica que
|H(- ω)| = |H(ω)|que significa que para qualquer SLIT com uma resposta impulsiva real, uma exponencial complexa com frequência ω sofre a mesma alteração de amplitude que uma exponencial complexa com frequência -ω
– Note também que ∀ ω∈Reais, H(ω+2π)= H(ω)
ou seja que a Transformada de Fourier Discreta é periódica com período 2π
14Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de M amostras– A resposta impulsiva deste sistema é dada por
∀ n∈ Inteiros, h(n)=δ(n-M)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF
– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada
Mjm
mj
m
mj
e
eMm
emhHReais
ω
ω
ω
δ
ωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
=
−=
=∈∀
∑
∑
)(
)()(,
15Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(t)=ejωt
a saída tinha a forma y(t)=H(ω )ejωt
– Um SLIT com resposta impulsiva h(t) apresenta como saída y(t)correspondente ao sinal x(t)
– Se colocarmos na entrada deste sistema x(t)=ejωt obtemos
– Comparando as duas expressões obtemos
∫∞
∞−
−=∈∀ ττωω ωτdehHReais j)()(,
∫∞
∞−
−=∗=∈∀ τττ dtxhtxthtyReaist )()()()()(,
∫∫∞
∞−
−∞
∞−
− ==∗=∈∀ ττττ ωτωτω dehedehtxthtyReaist jtjtj )()()()()(, )(
16Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformada de Fourier Contínua
• A resposta em frequência é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva
∫∞
∞−
−=∈∀ dtethHReais tjωωω )()(,
17Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de T segundos– A resposta impulsiva deste sistema é dada por
∀ t∈ Reais, h(t)=δ(t-T)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF
– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada
Tj
tj
tj
e
dteTt
dtethHReais
ω
ω
ω
δ
ωω
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
=
−=
=∈∀
∫
∫
)(
)()(,
18Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo discreto
– A Transformada de Fourier é dada por
4)0(11
)()(
4
3
0
=−−
=
=
=
−
−
=
−
∞
−∞=
−
∑
∑
Xee
e
emxX
j
jm
mj
m
mj
ω
ω
ω
ωω
19Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo contínuo
– A Transformada de Fourier é dada por
( )
1)0(2/
)2/sin(
1
)1(1
)()(
2/
2/2/2/
1
0
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−=
−−==
=
−
−−
−−
∞
∞−
−
∫
∫
X
e
eeejw
ej
dte
dtetxX
j
jjj
jtj
tj
ωω
ω
ω
ω
ωωω
ωω
ω
20Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformadas inversas– Inversa da Transformada de Fourier discreta
– Inversa da Transformada de Fourier contínua
∫∞
∞−
= ωωπ
ω deXtx tj)(21)(
∫=π
ω ωωπ
2
0)(
21)( deXnx nj
21Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Cálculo da transformada inversa– Através da definição– Divisão em fracções simples– Através da equivalência relativa a sinais básicos– Através das propriedades
22Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
23Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
24Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
- Tempo discreto- Frequência
Periódica
- Tempo contínuo- Frequência não
periódica
Não periódico no tempoFrequência contínua
Periódico no tempoFrequência discreta
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
∫∞
∞−
−= dtetxX tjωω )()(
∑∞
−∞=
−=n
njenxX ωω )()(
∑∞+
−∞==
k
tjkkeXtx 0)( ω
∑−
==
1
0
0)(p
k
njkkeXnx ω
∫ −=p
tjmm dtetx
pX
0
0)(1 ω
∑−
=
−=1
0
0)(1 p
m
jmkk emx
pX ω
∫∞
∞−
= ωωπ
ω deXtx tj)(21)(
∫=π
ω ωωπ
2
0)(
21)( deXnx nj
26Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exercício:– Calcule a Transformada de Fourier de:
• x(t)=e-2tu(t)• x(n)=(1/2)nu(n)
– Calcule a Transformada de Fourier inversa de
•
•
ωω
ω
ω2
81
411
311
)(jj
j
ee
eX
−−
−
−−
−=
127)(1)( 2 ++
=ωω
ωjj
X
27Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformada de Fourier de sinais finitos– Considere um sinal discreto y(n) que é finito– Defina-se um sinal periódico x(n) como
onde
– O sinal x(n) é periódico e portanto pode ser representado através da série de Fourier
– O sinal y’(n) é um sinal discreto genérico e portanto tem transformada de Fourier
∑∞+
−∞=−=∈∀
mmpnynxInteirosn )(')(,
⎩⎨⎧ −∈
=∈∀casosoutros
pnsenynyInteirosn
0]1,0[)(
)(',
28Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
∑
∑−
=
−
∞
−∞=
−
=
=∈∀
1
0)(
)(')(',
p
n
nj
n
nj
eny
enyYReais
ω
ωωω
∑
∑−
=
−
−
=
−
=
=∈∀
1
0
1
0
0
0
)(1
)(1,
p
n
jnk
p
n
jnkk
enyp
enxp
XInteirosk
ω
ω
)('1, 0ωkYp
XInteirosk k =∈∀
29Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformada de Fourier para sinais de fala
30Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
31Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
32Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
33Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Transformada de Fourier de sinais periódicos– A transformada de Fourier vai ser baseada em funções delta– A série de Fourier permite-nos trabalhar numa representação no
domínio da frequência de um sinal periódico sem lidar com as funções delta de Dirac
– Suponha-se que um sinal x(t) tem transformada de Fourier∀ ω∈Reais, X(ω)= 2πδ(ω-ω0)
– Usando a Transformada de Fourier Inversa obtemos
– A série de Fourier para x(t) é
tjtj edetxReaist 0)(221)(, 0
ωω ωωωπδπ
=−=∈∀ ∫∞
∞−
⎩⎨⎧ =
=∈∀outrosm
XInteirosm m 011
,
34Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
– Supondo agora que x(t) tem múltiplos deltas de Dirac na sua transformada de Fourier, cada um com diferentes pesos
resulta através da Transformada de Fourier Inversa
– Esta equação relaciona para sinais periódicos a Transformada de Fourier e as Séries de Fourier
∑∞
−∞=−=∈∀
mm mXXReais )(2)(, 0ωωδπωω
∑∞+
−∞==∈∀
m
tjmmeXtxReaist 0)(, ω
35Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere o sinal x(t) dado por
– Por inspecção da Tabela verificamos que
– Existem apenas dois coeficientes da Série de Fourier não nulos
)cos()(, 0ttxReaist ω=∈∀
⎩⎨⎧ =
=∈∀outrosm
XInteirosm m 01||2/1
,
)()()(, 00 ωωπδωωπδωω −++=∈∀ XReais
36Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
5.2 Transformadas de Fourier e propriedades
• Exemplo– Considere a seguinte onda quadrada
– Os coeficientes da Série de Fourier são
⎪⎩
⎪⎨
⎧≠
==∈∀
ímparmjmmeparm
mXInteirosm m
)/(100
02/1,
π